República Bolivariana de Venezuela.

Ministerio del Poder Popular para la Educación.

Instituto Universitario Politécnico

“Santiago Mariño”

Planos y rectas en el espacio

Profesor: REALIZADO POR:

DOMINGO MENDEZ JESUS FERRER C.I:24.720.518

ING.ELECTRICA

SECCION:

Geometría en el Espacio

Es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma.

Base de la Geometría en el Espacio

Esta amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales

Sistema de Coordenadas rectangulares en el espacio

El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) es un objeto matemático formado por dos rectas perpendiculares trazadas sobre un plano llamadas "ejes", la recta horizontal es el eje X, la recta vertical es el eje Y. El plano queda dividido en cuatro partes llamados cuadrantes.

Primer cuadrante "I": Región superior derecha

Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda

Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda

Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha

Distancias entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje (x) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje (y) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

Distancia entre una recta y un punto: Dada una rectar: Ax+By+C=0 y P= (p1, p2) un punto no contenido en ella. La

distancia entre el punto y la recta viene dada por: 

Distancia entre dos rectas: Si dos rectas en el plano no son paralelas, se cortan en un punto y por tanto la distancia entre ambas será 0. Sólo tiene sentido estudiar la distancia entre dos rectas si éstas son paralelas. Sean r:Ax+By+C=0 y s:A'x+B'y+C'=0 dos rectas paralelas. Para hallar la distancia entre ambas se toma un punto de una de ellas, por ejemplo de r, y se calcula la distancia de ese punto a s.

Distancia de un punto a un plano Si desde un punto se traza una perpendicular y varias oblicuas a un plano, la perpendicular es menor que las oblicuas. Llamaremos distancia de un punto a un plano a la longitud del segmento de perpendicular comprendido entre el punto y el plano.

Ángulos directores

Se llaman ÁNGULOS DIRECTORES de un vector, a los ángulos que el vector forma con las direcciones positivas de los ejes coordenados. Estos ángulos deberán ser tomados entre 0 y π (0° y180 ° ¿.

Si el vector V está en R3 y sus componentes son: (v1, v2, v3) tiene tres ángulos directores: α (ángulo formado con la dirección positiva del eje x); β (ángulo formado con la dirección positiva del eje y) γ (ángulo formado con la dirección positiva del eje z).

Cosenos directores

Se le llaman cosenos directores, respecto de un sistema o de coordenadas ortogonales con origen O y ejes x, y, z, a los cosenos de los ángulos a que el mismo forma con el sentido positivo de los ejes coordenados.

• Sus fórmulas son:

cos2α+cos2 β+cos2 γ=1

cos β= Aγ∕ A ∕ cos γ= AZ

∕ A ∕ cos∝= AX∕ A ∕

• Para encontrar el módulo del vector “A” se utiliza la siguiente fórmula:

• Se sustituye el modulo del vector y se despeja α, β, γ en la formula correspondiente a su eje.

• Posteriormente se sustituye en la fórmula de suma de cosenos.

• Ejemplo: Mediante los cosenos directores determinar los ángulos de α, β, γ del vector (4, 5, 3)

Plano

Un plano está determinado por:

•Tres puntos no alineados.

•Dos rectas que se cortan determinan un plano y solo uno.

•Dos rectas paralelas.

•Una recta y un punto exterior a esta.

Plano Euclidiano

Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.

Sistema de coordenadas cartesianas.

La ecuación del eje x es, y = 0 la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyas coordenadas son (0,0) .

Se denomina también eje, de las abscisas al eje (x), y eje de las ordenadas al eje (y). Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes I, II, III y IV, en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas).

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

OA=X A i+ y A j

La posición del punto A será:

A=¿)

Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.

La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:

d AB=√¿¿

Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.

Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

AB=( XB−X A ) i+( y B− y A) j

Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada.

 

El Plano R3

En un espacio euclidiano tridimensional ℝ3, podemos hallar los siguientes hechos, (los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores).

Dos planos o son paralelos o se intersecan en una línea.

Una línea es paralela a un plano o interseca al mismo en un punto o es contenida por el plano mismo.

Dos líneas perpendiculares a un mismo plano son necesariamente paralelas entre sí.

Dos planos perpendiculares a una misma línea son necesariamente paralelos entre sí.

Entre un plano Π cualquiera y una línea no perpendicular al mismo, existe solo un plano tal que contiene a la línea y es perpendicular al plano Π.

Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo, existe un número infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π.

Ecuación del plano

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores:

Punto P = (x1, y1, z1)

Vector u = (ux, uy, uz)

Vector v = (a2, b2, c2)

( x , y , z )=¿,y1 , z1 ¿+m (ux ,u y ,uz )+n (a2 ,b2 ,c2)

Esta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

|( x−p )uv |=0=¿¿

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:

a ( x−h )+b ( y−k )+c ( z− j )=0

 Posición relativa entre dos planos

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2. Sus posiciones relativas pueden ser:

Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.

Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.

Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

Características de los subconjuntos llamados planos

•Por tres puntos del espacio, no situados en línea recta, pasa un plano y solo uno.

•Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una recta común que contiene a ese punto (recta de intersección).

•Si una recta tiene dos puntos en un plano, entonces están contenida en dicho plano.

Ángulo formado por dos rectas

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:

• Sus vectores:

• Sus pendientes:

• Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son:= (-2, 1) y = (2, -3).

• Las rectas r y s se cortan en un punto A, que es vértice de un triángulo obtusángulo en A. Determina el ángulo A de ese triángulo

r ≡ x−12

= γ3 s≡ x

1= γ−2

−2

V⃗r=(2,3 ) V⃗s= (1,−2 )

cos α ¿|2.1−3 .(−2)|

√22+32 .√12+(−2)2 ¿0,49614

α=60 ° 15´ A¿180 °15 ´=119° 45 ´

Rectas y planos

•Una recta y un plano son paralelas si no se intersecan.

•Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta contenida en dicho plano (Criterio de paralelismo de recta y plano).

•La recta es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por su punto de intersección.

•La recta es perpendicular, al menos, a una de las rectas que pasan por su punto de intersección

Rectas en el espacio

Definimos una recta r como el  conjunto de los puntos del

plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .

Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector  t iene igual

dirección que , luego es igual a   multipl icado por un escalar:

Rectas en R3

Sea P0(x0, y0, z 0) un punto que pertenece a la recta L, convector director d diferente del vector cero dado por (a,b,c).Se define a L como el conjunto de puntos P(x ,y ,z ) tales que la dirección del vector P0P es paralela a d.

Ecuaciones paramétricas de la recta

Si operamos en la ecuación vectorial  de la recta llegamos a la igualdad:

Para que se verif ique esta igualdad, se deben cumplir:

Ecuaciones continúas de la recta

Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la   intersección de los planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta  quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si t ienen el mismo vector director o la misma pendiente.

U⃗ ¿ V⃗

U1

U2 ¿V 1

V 2

A1

B1=A2

B2

mr=m s

r=AX+By+C=0

r ∥s V⃗ r=V⃗ s ¿ (−B , A)

S=AX+By+K=0 K ∈ R

Rectas perpendiculares

Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

ms=−1mr

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

V⃗ r . V⃗ s=0

r=AX+By+C=0 V⃗ r ¿(−B , A)

r⊥ s

S≡−BX+Ay+K=0 K∈R V⃗ s=(A , B)

Ejemplos:

1  Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A (3,5).¿mr∥ms

mr ∥ms=−1

2

y−5=−12

( x−3 ) 2 y−10=−x+3

x+2 y−13=0

mr⊥ms

mr=−1

2

ms=2

y−5=2 .(x−3)

2x – y – 1 = 0

2  Calcula k  para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas y perpendiculares .

Características de los subconjuntos llamados rectas

•Dos puntos determinan una recta y solo una.

•Por un punto pasan infinitas rectas.

•El conjunto de puntos de una recta se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números reales, de manera que se conserva el orden.

•Si dos rectas tienen dos puntos en común son coincidentes. .