Didctica de la Matemtica I.

Prof. Ana S. Martnez; Mnica Olave; Yacir Testa.Prof. Adsc. Cecilia Anyul.

Pract. Alarcn, Cecilia; Botta, Martin; Castao, Raquel; Daz, Ana Clara.

PLANIFICACIN

Tema del da

Funcin de segundo grado: optimizacin.

Tiempo disponible

90 minutos.

Objetivos

Promover el anlisis de datos.

Trabajar en resolucin de problemas.

Desarrollar procesos de razonamiento.

Promover el trabajo grupal.

Contenidos a abordar en la clase

Concepto de funcin. Funcin de segundo grado: representacin grfica, analtica y su interpretacin (mximo).

Conceptos previos de los estudiantes:

Expresiones algebraicas.

Factorizacin.

Conceptos de funcin y funcin cuadrtica. Clculo de permetro y rea de un rectngulo.

Esquema de la clase

Primeros 45 minutos1. Inicio de la clase (tiempo estimado: 5 minutos)

a. Se arman los grupos de trabajo.b. Se entrega la letra del problema.

2. Desarrollo de la clase (tiempo estimado: 20 minutos)

a. Los estudiantes trabajan en el problema, mientras se pasa la lista.b. Se pasa por los equipos, observando el trabajo y evacuando posibles dudas.

3. Cierre (tiempo estimado: 20 minutos)

a. Se lee en voz alta el cuento, pidindole a dos alumnos que representen al abuelo y al nieto respectivamente.

b. Se realiza la primera puesta en comn.Segundos 45 minutos

1. Inicio de la clase (tiempo estimado: 5 minutos)

a. Se arman los grupos de trabajo.b. Continan con el trabajo iniciado la clase anterior. Recordamos la situacin planteada y hasta dnde habamos avanzado en la actividad.

c. Si no se hizo antes, se plantean las preguntas en las que queremos que trabajen.

2. Desarrollo de la clase (tiempo estimado: 20 minutos)

a. Los estudiantes trabajan en el problema, mientras se pasa la lista.

b. Se pasa por los equipos, observando el trabajo y evacuando posibles dudas.

3. Cierre (tiempo estimado: 20 minutos)

a. Se realiza la segunda puesta en comn.

Las actividades y su anlisis a priori:

El problema a trabajar en la clase es el siguiente:1. Lee la siguiente historia:-Abuelo, me cuentas un cuento antes de dormir?

-Oye Filo, yo creo que es mejor que te duermas ya. Maana empiezan las clases y has perdido la costumbre de madrugar. El cuento te lo contar maana.

Venga, abuelo, no me va a dar sueo si no me cuentas antes un cuento.

-Vale, vale, mi querido nio. Cuenta la historia, que hace ms de cuatrocientos aos, un faran llamado Sesostris dividi las tierras de las orillas del Nilo en cuadrados, fjate bien, en cuadrados, todos iguales, y reparti entre sus sbditos para que las cultivasen. A cambio, evidentemente, stos tenan que pagar un impuesto todos los aos.

-Ah, s, ya s, aquellas tierras eran frtiles. El Nilo se desabordaba y las regaba.

-Las irrigaba y las abonaba, pero tambin modificaba los lmites de las parcelas y a veces hasta se llevaba una parte. En esos casos, el propietario iba a ver al faran para decirle que no le pareca justo seguir pagando el mismo impuesto que antes. Entonces Sesostris enviaba a sus funcionarios para que calcularan cunto se haba reducido el terreno y, basndose en el resultado, calculaba el nuevo impuesto.

-Me parece justo.

-Los funcionarios del faran iban al sitio provisto de las cuerdas y estacas. Clavaban stas en los vrtices del cuadrado y despus las unan de dos en dos con las cuerdas; una vez tensadas, servan de regla y a lo largo de ellas trazaban el surco que marcaba el lmite. A los tcnicos que hacan este trabajo los llamaban estiradores de cuerdas.

-Que historia tan bonita! A m los antiguos egipcios me gustaban mucho. Pero vete t a saber por qu el faran hizo precisamente cuadrados. Los rectngulos no le gustaban?

-Calma, calma para hacer de faran hay que ser muy astuto, muchacho! Y escoger un cuadrado en vez de un rectngulo es cuestin de astucia! A ver si consigo explicrtelo: si t eres un colono en una tierra y te entregan una cuerda de determinada longitud, pongamos de 200 metros, para delimitar el trozo de terreno que ser tuyo, qu escoges, un rectngulo o un cuadrado? A igual permetro, que es de 200 metros en ambos casos, qu forma te conviene ms?

-Bueno, ambas formas me agradan. Pero seguramente quiero que mi terreno sea lo ms extenso posible, as puedo cultivar lechugas, tomates, patatas, que me gustan mucho fritas y con un poco de ktchup, pepinospuedo construir un gallinero

-Vale, vale, lo he entendido: t quieres que lgicamente tenga la mayor superficie posible.

(Extrado del libro Mr. Cuadrado de Anna Cerasoli, captulo 1: rase una vez NO, NO!)

2. Presta atencin al prrafo que comienza Calma, calma Cmo responderas a las preguntas que se planten en l? Forma de resolucin sugerida:

Desarrollo tentativo de la clase

Los alumnos trabajan en la actividad. Se espera que primero calculen las reas de distintos rectngulos de permetro 200 metros y que observen que el cuadrado es el que tiene mayor rea.Nos proponemos justificar formalmente esta conjetura.Primera puesta en comn:

Se exponen los resultados que obtuvieron y se realiza una tabla de datos para organizar la informacin con que ellos hayan trabajado. En la misma ubicaremos la informacin de los lados diferentes, el permetro y el rea. Observamos que es indistinto trabajar con uno u otro lado y graficamos los datos que estn en la tabla tomando a uno de sus lados como variable independiente. Notaremos que el grfico nos sugiere una parbola.

Es as que conjeturamos que si el rea se asocia a una funcin de segundo grado, podemos hallar una expresin analtica para la misma.

Luego para ayudar a que encuentren la expresin analtica se les pedir:

Consideren un rectngulo cualquiera de permetro 200 m, cmo expresas su permetro y su rea en funcin de los lados?

Puedes expresar su rea en funcin de uno de sus lados?Los alumnos trabajan en los equipos en estas preguntas.

Segunda puesta en comn:Volviendo a la puesta en comn: Observamos que las medidas de los lados estn entre 0 y 100 metros (si no fuera as no se formara un rectngulo) e identificamos el dominio. Se pone en comn en el pizarrn la expresin analtica de la funcin hallada, realizando los pasos necesarios para llegar a ella. Graficamos el rea en funcin de uno de los lados y la interpretamos (identificamos el mximo).

Concluimos que, en este caso, el rectngulo que para un permetro de 200 metros es el cuadrado. Comentamos que se puede generalizar este resultado para un rectngulo cualquiera de permetro dado con el mismo procedimiento.

Evaluacin

Se tomar en cuenta el trabajo logrado como grupo y a nivel individual y la participacin oral durante la puesta en comn. Lo primero lo evaluaremos yendo grupo por grupo y observando cmo trabajan, si lo hacen en conjunto o no. Lo segundo viendo cada uno en particular, lo que pregunta cada uno y lo que plantean en sus cuadernos. Y lo ltimo se evala durante la puesta en comn, quien levanta la mano y se anima a contar de qu forma llegaron a la solucin.

Bibliografa

'Elementos a tener en cuenta para la planificacin de una clase y la reflexin posterior a la misma' - Cristina Ochoviet.

2