planes de clase bloque 4

Plan de clase (1/2)

Escuela: _______________________________________Fecha: _____________________

Profr. (a): _______________________________________________________________________Curso: Matemticas 9

Eje temtico: SN y PA

Contenido: 9.4.1 Obtencin de una expresin general cuadrtica para definir el ensimo trmino de una sucesin.

Intenciones didcticas: Que los alumnos encuentren una expresin general cuadrtica de la forma y = x2 que represente el ensimo trmino de una sucesin figurativa usando procedimientos personales.

Consigna: Organizados en equipos, analicen la siguiente sucesin de figuras y respondan lo que se cuestiona. Si lo desean pueden utilizar su calculadora.

a) Si la sucesin contina en la misma forma, cuntos cubos se necesitan para formar la figura 5? Y para la figura 10? Y para la figura 100?

b) Cul es la expresin algebraica que permite conocer el nmero de cubos de cualquier figura que est en la sucesin?

c) Se sabe que una de las figuras que forman la sucesin tiene 2 704 cubos, qu nmero corresponde a esa figura en la sucesin?

d) Una figura con 2 346 cubos, pertenece a la sucesin? Por qu?

Consideraciones previas: Para las preguntas a) y b) tal vez sea necesario dar a los alumnos alguna orientacin, por ejemplo, indicarles que elaboren una tabla de dos columnas y pedirles que en ella anoten el nmero de cubos que tienen las primeras figuras de la sucesin. Luego pedirles que analicen la tabla y que traten de buscar la relacin que existe entre el nmero de la posicin de la figura y el nmero de cubos con los que est formada. Esto les permitir ver que el nmero de cubos de la sucesin es: 1, 4, 9, 16, 25, ; y que se trata de los cuadrados de los nmeros que expresan el orden de las figuras. Por consiguiente, la expresin algebraica que permite conocer el nmero de cubos de cualquier figura que est en la sucesin es n2En el caso del inciso c, es probable que algunos alumnos recurran al ensayo y error, otros tal vez planteen una ecuacin como: y a partir de ella determinen que la figura 52 es la que estara formada por 2 704 cubos.En el caso del inciso d, se espera que los alumnos digan que una figura con 2 346 cubos no pertenece a la sucesin porque no cumple con la regla general.Observaciones posteriores:1. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Muy tiltilUso limitadoPobre

Plan de clase (2/2)

Escuela: _______________________________________Fecha: _____________________

Profr. (a): _______________________________________________________________________Curso: Matemticas 9

Eje temtico: SN y PA

Contenido: 9.4.1 Obtencin de una expresin general cuadrtica para definir el ensimo trmino de una sucesin.

Intenciones didcticas: Que los alumnos encuentren una expresin general cuadrtica de la forma y = ax2 que represente el ensimo trmino de una sucesin figurativa usando procedimientos personales.Consigna: En equipos, con base en la siguiente sucesin de figuras, contesten las preguntas que se plantean.

Fig 1 Fig 2 Fig 3 Fig 4

a) Cuntos cuadritos tendr la figura 7, 10 y 13, respectivamente?

b) Cuntos cuadritos tendr la figura 100?

c) Encuentren una expresin algebraica que permita determinar la cantidad de cuadritos de cualquier figura que corresponda a la sucesin anterior.

Consideraciones previas:En el primer inciso se espera que los alumnos no tengan dificultad en encontrar el nmero de cuadros de las figuras solicitadas. Sin embargo, en el caso del b) y c), tal vez sea necesario ayudarlos. Por ejemplo, se les puede sugerir que encuentren la relacin que existe entre el nmero de la posicin de la figura, el nmero cuadritos de la base y el nmero de cuadritos de la altura; esto es con la finalidad de que se den cuenta que el nmero de cuadritos de la altura es el doble del nmero de cuadritos de la base y que el nmero de la posicin de la figura es el mismo nmero de cuadritos de la base. Con la determinacin de estas relaciones se puede establecer la regla general de la sucesin que se pide en el c). Por ejemplo, como la altura de cada figura es el doble de la base, entonces si la base es n, la altura es 2n; por lo que el nmero de cuadritos de cualquier figura es n(2n) que es lo mismo que 2n2.

Observaciones posteriores:1. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (1/3)

Escuela: _______________________________________Fecha: _________

Profr. (a): ______________________________________________________Curso: Matemticas 9

Eje temtico: F. E. y M.

Contenido: 9.4.2 Anlisis de las caractersticas de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un tringulo rectngulo, un semicrculo y un rectngulo. Construccin de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.Intenciones didcticas: Que los alumnos anticipen las caractersticas de algunos cuerpos de revolucin.

Consigna 1: Organizados en equipos utilicen tres popotes como eje y peguen a cada uno de stos un tringulo rectngulo, un rectngulo y un semicrculo.

1. Anticipen qu cuerpo geomtrico se describe al girar cada figura.

2. Escriban las caractersticas de cada cuerpo generado.

Consideraciones previas: Es importante prever que los alumnos cuenten con los materiales necesarios (pueden ser otros similares a los propuestos) para realizar esta actividad y alentarlos para que con sus propias palabras describan las caractersticas de cada uno de los cuerpos generados: base(s), cara(s) curva(s) y plana(s), altura, generatriz (que corresponde a la hipotenusa del tringulo que lo genera y que no es la altura), cspide o vrtice, radio y dimetro, entre otras. Que concluyan por qu estos cuerpos se conocen como slidos de revolucin.

Consigna 2: Comenten con sus compaeros de equipo: qu cuerpo geomtrico se genera al trasladar un crculo de un plano a otro paralelo?

Consideraciones previas: Es importante que los alumnos analicen y comenten sus estrategias para realizar la traslacin de un crculo. Es probable que algunos digan que basta con trasladar el radio y trazar el nuevo crculo, respuesta que es correcta si la traslacin se efecta en un plano, pero el propsito de esta actividad es que imaginen el cuerpo que se describe (cilindro) al trasladar el crculo de un plano a otro paralelo.

Observaciones posteriores:

1. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (2/3)

Escuela: _______________________________________Fecha: _________



Contenido: 9.4.2 Anlisis de las caractersticas de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un tringulo rectngulo, un semicrculo y un rectngulo. Construccin de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.Intenciones didcticas: Que los alumnos establezcan la relacin entre las medidas de un cilindro y su desarrollo plano.Consigna: Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades:

Usen un tubo de cartn, de los que trae el papel sanitario, para trazar los crculos que puedan servir de tapa superior e inferior del tubo y recrtenlos.

Corten longitudinalmente el tubo y, completamente aplanado, pguenlo en un pliego de cartoncillo.

Peguen donde corresponda las dos tapas para formar el desarrollo plano del cilindro.

Anoten sobre las lneas que corresponda las siguientes medidas:

a) Altura del cilindro

b) Radio del cilindro

c) Permetro de la base del cilindro.

A partir del modelo pegado en el cartoncillo, construyan el desarrollo plano de un cilindro cuyas medidas sean 4 cm de radio y 10 cm de altura. Recrtenlo y armen el cilindro.

Consideraciones previas: Es necesario solicitar con anticipacin el material que usarn los alumnos para garantizar que sea el adecuado, ya que puede darse el caso de que los tubos sean de cartn muy grueso o de metal, con lo que no sera posible realizar la actividad.

Es importante analizar la relacin entre las medidas del cilindro y las del desarrollo plano y enfatizar el hecho de que la cara curva del cilindro es un rectngulo tal, que uno de sus lados coincide con la altura del cilindro y el otro coincide con el permetro de la base.






Plan de clase (3/3)

Escuela: _______________________________________Fecha: _________



Contenido: 9.4.2 Anlisis de las caractersticas de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un tringulo rectngulo, un semicrculo y un rectngulo. Construccin de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.Intenciones didcticas: Que los alumnos establezcan la relacin entre las medidas de un cono y su desarrollo plano.Consigna: Organizados en equipos, usen un cono de papel para tomar agua y realicen las siguientes actividades:

Tracen el crculo que puede servir de tapa al vaso.

Identifiquen y midan la altura del cono; asimismo, determinen el dimetro de la base.

Corten longitudinalmente el cono, desde la base hasta el vrtice y extindanlo.

Peguen el desarrollo plano del cono sobre un pliego de cartoncillo.

Anoten sobre las lneas que corresponda las siguientes medidas:

a) Radio del cono

b) Altura del cono

c) Generatriz del cono

d) Permetro de la base del cono

e) ngulo del sector circular que permite formar el cono.

Construyan el desarrollo plano para hacer un vasito en forma de cono que mida 4 cm de radio y 10 cm de altura. Armen el vaso y verifiquen que tiene las medidas indicadas.

Consideraciones previas: Es importante que se distingan la altura del cono y la generatriz, pues es muy comn que los alumnos las confundan. Tambin se debe tomar en cuenta que los alumnos han estudiado el teorema de Pitgoras anteriormente y se espera que lo puedan usar para calcular la altura del cono. De igual forma, para calcular la medida del ngulo que determina el arco de circunferencia que se necesita para que ste corresponda a la medida del permetro de la circunferencia de la base, el alumno puede establecer una relacin de proporcionalidad. Por ejemplo, si la base del cono mide 8 cm de dimetro, su permetro es: d = 25.1 cm (aprox.). Si la generatriz a utilizar es de 12 cm, los 360 de la circunferencia cubriran una longitud de 75.4 cm (aprox.), por lo tanto; si 360 : 75.4 :: x : 25.1, entonces x es el nmero de grados de amplitud buscada.

24 () : 360 : : 8 () : x x = (360) x = 120






Plan de clase (1/2)

Escuela: _________________________________________ Fecha: ____________________

Profesor (a): _________________________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: FE y M

Contenido: 9.4.3 Anlisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ngulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

Intencin didctica: Que los estudiantes, a partir de la grfica de una recta, identifiquen a la pendiente como la razn de los catetos de los tringulos rectngulos construidos con la recta y el eje de las abscisas.

Consigna: Organizados en binas, y a partir de la grfica de la recta y = 0.5 x + 1, realicen lo que se pide:

a) Determinen la medida del ngulo A que se forma con la recta y el eje x.

b) Construyan tres tringulos rectngulos, considerando la recta y el eje de las abscisas o una paralela a sta.

c) Identifiquen y midan los catetos opuestos y adyacentes al ngulo A en cada tringulo.

d) Obtengan los cocientes de las razones formadas por el cateto opuesto entre el adyacente.

e) Verifiquen que los cocientes obtenidos son iguales y expliquen por qu.

f) Contesten: Qu relacin existe entre la pendiente de la recta y los cocientes de los catetos? Argumenten su respuesta.

Consideraciones previas

Con respecto a la primera pregunta, seguramente los alumnos se auxiliarn de transportador para determinar la medida del ngulo, sin embargo, despus de que hayan concluido que la razn entre los catetos de los tringulos formados entre la recta y el eje de las abscisas o una paralela a esta, es la pendiente de la recta o ngulo de inclinacin, se podr explicar que esta razn (cateto opuesto entre cateto adyacente) se le llama tangente y que en una tabla de funciones trigonomtricas o en una calculadora se puede ver que el ngulo cuya Tangente es 0.5 vale 26.6 aproximadamente.

La idea principal de la actividad es que los alumnos determinen que el valor de la pendiente de la recta (0.5) es el cociente de la razn entre el cateto opuesto y el cateto adyacente de cualquier tringulo rectngulo que se forma con la recta. En este caso, se espera que los alumnos puedan determinar que los cocientes de las razones formadas por el cateto opuesto entre el cateto adyacente es 0.5 de cualquier tringulo rectngulo formado entre la recta y el eje de las abscisas.

Es muy probable que los alumnos dibujen diferentes tringulos semejantes, por ejemplo:


4. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (2/2)

Escuela: _________________________________________ Fecha: ____________________

Profesor (a): _________________________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: FE y M

Contenido. 9.4.3 Anlisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ngulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

Intencin didctica: Que los estudiantes analicen la relacin entre la medida del ngulo y el valor de la pendiente en diferentes rectas.

Consigna. Organizados en equipos realicen la siguiente actividad:

Consideren las rectas de la siguiente ilustracin, las cuales forman con el eje horizontal un ngulo de 30, uno de 45 y otro de 60; para formar tres tringulos rectngulos, uno para cada ngulo, posteriormente completen la tabla y contesten las preguntas. Pueden utilizar un juego de geometra y una calculadora.

nguloMedida del cateto opuestoMedida del cateto adyacenteRazn

()Cociente (decimal)Pendiente

30

45

60

Comparen los resultados de su tabla con la elaborada por otro equipo, verifiquen que aunque los datos de las tres primeras columnas fueran diferentes, los de las dos ltimas coinciden y expliquen por qu.

Suceder lo mismo con otros ngulos? Comprubenlo y concluyan.

Consideraciones previas:

Si a algunos estudiantes les pareciera mejor trazar cada recta en un plano cartesiano, permtales que lo hagan para que tengan ms claridad en los procedimientos.

Es posible que al construir los tringulos rectngulos algunos equipos no consideren las medidas de los catetos con nmeros enteros, permita que lo hagan para comparar libremente los cocientes, identifiquen que estn tratando con tringulos semejantes y puedan llegar de manera ms natural a la generalizacin.

Priorice la atencin a las dudas que surjan y aproveche el trabajo de los equipos para que ellos mismos puedan identificar y aclarar sus diferencias.

Observe que las conclusiones se dirijan a identificar la relacin entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ngulo que se forma con la abscisa y el cociente de los catetos (opuesto/adyacente).






Plan de clase 1/2

Escuela: __________________________________________ Fecha: ___________________Profesor (a): _________________________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: FE y M

Contenido: 9.4.4 Anlisis de las relaciones entre los ngulos agudos y los cocientes entre los lados de un tringulo rectngulo.

Intenciones didcticas: Que los alumnos adviertan la constante de dividir el cateto opuesto o adyacente entre la hipotenusa en tringulos rectngulos semejantes y la relacionen con la medida del ngulo agudo de referencia.

Consigna: Organizados en parejas, y a partir de la grfica de la recta y = 1.5x + 1, realicen lo que se pide:

Tomen los datos necesarios de la grfica y completen la siguiente tabla. Utilicen su calculadora y consideren hasta diezmilsimos en los clculos y resultados. Luego, respondan lo que se cuestiona.

TringuloMedida del ngulo AMedida del cateto opuestoMedida del cateto adyacenteMedida de la hipotenusaRazn Seno(

)Razn Coseno(

)

ABC

ADE

AFG

AHI

a) Cmo es el resultado de la razn seno en los cuatro tringulos? ___________________ Y el de la razn coseno? _____________________________A qu creen que se deba esto?____________________________________________

_______________________________________________________________________

b) Con una calculadora cientfica, obtengan el seno y el coseno de los cocientes obtenidos. Los resultados coinciden con la medida del ngulo A?______________ Por qu? ______________________________________________________________________


La idea central es que los alumnos concluyan que todos los cocientes que resultan de dividir, por ejemplo, el cateto opuesto entre la hipotenusa son constantes. Este cociente constante, con ayuda de una calculadora, puede servir para obtener el valor del ngulo de la recta y a la inversa, conociendo el valor del ngulo se puede obtener el valor del cociente constante.Prever que los estudiantes lleven calculadora cientfica a la clase y el profesor las tablas con los valores de las razones trigonomtricas de seno y coseno. En ambos casos, se sugiere que el profesor explique su uso para obtener la medida del ngulo a partir del cociente del cateto opuesto o adyacente y la hipotenusa.

La discusin de las respuestas al inciso a es muy importante y se espera que los alumnos se den cuenta de que se trata de tringulos semejantes y a eso se debe que todos los cocientes que resultan de dividir, por ejemplo, el cateto opuesto entre la hipotenusa son constantes. Esto mismo sucede con las otras razones.

Con respecto al inciso b, se espera que puedan determinar que sen(0.8320) es aproximadamente 56 y lo mismo que para el cos(0.5547) es aproximadamente 56.






Plan de clase 2/2

Escuela: _________________________________________ Fecha: ____________________

Profesor (a): _________________________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: FE y M

Contenido. 9.4.4 Anlisis de las relaciones entre los ngulos agudos y los cocientes entre los lados de un tringulo rectngulo.Intenciones didcticas: Que los alumnos reflexionen acerca de la relacin que existe entre las razones trigonomtricas de un ngulo y las de su complemento.

Consigna: Organizados en equipos, contesten lo que se plantea enseguida.

1. Cunto suman los ngulos M y N en el tringulo rectngulo que aparece abajo?________ 2. Qu nombre reciben esos ngulos?________________3. Calculen los valores de las razones de los ngulos M y N.

4. Qu relacin existe entre el seno de un ngulo y el coseno de sus complemento?_____ _______________________________________________________________________

5. Si el seno de un ngulo de 30 grados es igual a 0.5, a qu es igual el coseno de un ngulo de 60 grados?____________________________6. A qu es igual el producto de la tangente de un ngulo de 30 grados por la tangente de un ngulo de 60 grados?__________________

Consideraciones previas: En este momento es importante que los alumnos recuerden que los ngulos agudos de un tringulo rectngulo siempre son complementarios (suman 90) y dejarlos que exploren con diferentes tringulos rectngulos para responder la ltima pregunta. Tambin es importante que concluyan que: el seno de un ngulo es igual al coseno de su complemento y que la tangente de un ngulo es recproco o inverso multiplicativo a la tangente de su complemento.

Se les puede dejar como tarea el problema que se enuncia ms abajo. La finalidad es que indaguen la manera de obtener la medida que falta. Al revisarla es importante que vean la necesidad de recurrir al teorema de Pitgoras para obtenerla.Escriban las razones trigonomtricas (seno, coseno, tangente) para el siguiente tringulo rectngulo.


4. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.


Plan de clase 1/3

Escuela: __________________________________________ Fecha: ___________________

Profesor (a): _________________________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: FE y M

Contenido: 9.4.5 Explicitacin y uso de las razones trigonomtricas, seno, coseno y tangente.

Intenciones didcticas: Que los alumnos utilicen el crculo unitario para identificar la variacin de las razones trigonomtricas seno, coseno y tangente, a medida que crece o disminuye el ngulo agudo asociado.

Consigna. En parejas, abran el archivo G9B4C5.ggb. En l aparece un crculo con radio igual a 1 como se muestra enseguida.

1. Den clic en el cono , luego, muevan el punto B sobre la circunferencia de manera que el ngulo crezca o disminuya. Analicen con detalle qu es lo que sucede con cada una de las razones trigonomtricas.

2. Es verdad que el seno del ngulo es igual a y? _______ por qu? ________________

___________________________________________________________________________

3. Es verdad que el coseno del ngulo es igual a x? _______ por qu? ______________

___________________________________________________________________________

3. Es verdad que la tangente del ngulo es igual a ? _______ por qu? __________

___________________________________________________________________________


Para realizar esta actividad es necesario contar equipo de cmputo y con el programa Geogebra instalado. Si no hay suficientes equipos para que los alumnos los utilicen individual o en grupos pequeos, el profesor puede utilizar un equipo y un proyector, de tal manera que todos los alumnos puedan ver los efectos al manipular la construccin geomtrica. La idea central de esta actividad es que los alumnos analicen qu sucede cuando vara el ngulo . Para ello, ser necesario hacerles alguna preguntas, como por ejemplo, cul es el valor de seno, coseno y tangente cuando el ngulo mide 30, 45, 60 y 90?

El crculo unitario se llama as porque el radio mide una unidad, el centro del crculo est en el origen del plano cartesiano, los ngulos se generan de derecha a izquierda. Cuando se marca un ngulo se hace con el giro del radio que mide uno. Si se traza una perpendicular del punto que forma el radio con la circunferencia hacia el eje de las X se forma un tringulo rectngulo. La funcin seno en el crculo unitario queda entonces como y/h (cateto opuesto entre hipotenusa) pero como h = 1, entonces el seno es igual a y. El coseno queda como x/h, pero como h = 1, el coseno es igual a x.

En el tringulo ABE, la tangente es igual a y/x. Si se traza un tringulo ALK, semejante a ABE, con la prolongacin de h y la tangente KL, entonces puede establecerse la siguiente igualdad:

BE/AE = KL/AK, pero como AK = 1, entonces, BE/AE = KL

Se puede concluir que la tangente de (BE/AE) es igual a KL o bien al valor de la ordenada del punto L.

En caso de que no se pueda realizar la actividad con el Software propuesto, se podra realizar con lpiz y papel. Para ello se puede proporcionar a los alumnos el siguiente crculo unitario y pedirles que determinen los tringulos rectngulos, para lograrlo tendrn que trazar las perpendiculares al eje X y que pasen por los puntos C; D; E y F. Posteriormente los alumnos tendrn que hacer las mediciones necesarias para concluir que el seno, coseno y tangente del ngulo es igual a y, x y BK, respectivamente.

Ser necesario ayudar a los alumnos para el trazo de los tringulos semejantes ABK






Plan de clase 2/3Escuela: _________________________________________ Fecha: ____________________

Profesor (a): _________________________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: FE y M

Contenido. 9.4.5 Explicitacin y uso de las razones trigonomtricas, seno, coseno y tangente.

Intenciones didcticas: Que los alumnos usen las razones trigonomtricas para resolver problemas.

Consigna. Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas. Para ello, usen su calculadora cientfica o la tabla de razones trigonomtricas.

Consideraciones previas:Es importante asegurar que los alumnos cuenten con una calculadora cientfica o la tabla de razones trigonomtricas que va como anexo 1 en este plan.

En el caso del problema 1, slo existe un camino para resolverlo, que es usando la razn tangente.

En el problema 2, es probable que surjan diversos caminos, por ejemplo, con la razn tangente se puede calcular la altura de la torre. Luego, con este dato se podra aplicar el Teorema de Pitgoras para determinar la hipotenusa, que en este caso, representa la longitud del tirante que sostiene a la torre. Otros alumnos, quiz no se les ocurra usar el Teorema de Pitgoras, por lo que para resolver el problema usen la razn coseno para calcular la longitud del tirante, luego, con la razn seno, obtengan la altura de la torre.

Con respecto al problema 3, se espera que los alumnos reconozcan que el esquema del puente representa un tringulo issceles, por lo que se puede dividir en dos tringulos rectngulos, donde uno de los catetos mide 9 m. Por lo que haciendo uso de la razn tangente se determina que la profundidad de la barranca es de 9 metros porque:

(tan 45)(9 m) = (1) (9 m) = 9 m

En el caso del problema 4, para responder el inciso a, se debe calcular h con la razn seno y que resulta 5.84 m; sin embargo, hay que considerar que es un clculo aproximado. Finalmente, se espera que puedan determinar que la longitud total del barandal es de aproximadamente 21.6 metros y la distancia del cauce al comienzo de la rampa es de aproximadamente 5.5 metros.

En el caso del problema 5, una forma de resolverlo es a partir de establecer un sistema de ecuaciones y despejar h en cada ecuacin para luego resolver el sistema por igualacin.

Finalmente, resulta que la altura de la torres es de aproximadamente 10.88 metros.

En la puesta en comn es importante que los alumnos expongan y argumenten claramente a sus compaeros sus procedimientos y clculos, para que concluyan que depender de la situacin que plantee el problema y los datos que contenga, la eleccin de la razn trigonomtrica.






Anexo 1.Plan de clase 3/3

Escuela: _________________________________________ Fecha: ____________________

Profesor (a): _________________________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: FE y M

Contenido. 9.4.5 Explicitacin y uso de las razones trigonomtricas, seno, coseno y tangente.

Intenciones didcticas. Que los alumnos utilicen las razones trigonomtricas y el teorema de Pitgoras para calcular valores de ngulos y lados de tringulos rectngulos.Consigna: Individualmente, calculen los valores que se piden en cada caso. Usen su calculadora cientfica o la tabla de razones trigonomtricas.

Consideraciones previas:Ahora se tienen tringulos rectngulos con algunas medidas de lados y ngulos y se trata de calcular las medidas faltantes. Algunas herramientas que pueden utilizar los alumnos son el teorema de Pitgoras, las razones trigonomtricas y la relacin entre las medidas de los ngulos interiores de un tringulo. La expectativa es que puedan ser utilizadas de manera flexible y que los estudiantes argumentan sus decisiones.

Por ejemplo, para encontrar los elementos faltantes de la figura B, los alumnos pueden seguir alguno de los siguientes procedimientos:

a) Utilizar la razn tangente para encontrar la medida de a, despus la razn seno para obtener c y finalmente la medida del ngulo B con la razn coseno.

b) Calcular la medida de c con la razn coseno, despus obtener la medida de a con el teorema de Pitgoras y finalmente la medida del ngulo B con la razn seno.

c) Obtener la medida del ngulo B (52), a sabiendas que los tres ngulos interiores deben sumar 180 y ya se tiene uno de 38 y otro de 90, despus utilizar el seno de B para calcular c y finalmente usar el teorema de Pitgoras para calcular la longitud de a.

Dado que varios valores se pueden obtener con diferentes herramientas, se sugiere que los estudiantes validen sus resultados utilizando ms de una, por ejemplo, si obtienen el valor del ngulo B con alguna razn trigonomtrica, que verifiquen que al sumar los tres ngulos interiores obtengan 180 ; si la longitud de c la obtienen utilizando el teorema de Pitgoras, que comprueben que se obtiene el mismo resultado utilizando alguna razn trigonomtrica.






Plan de Clase (1/3)

Escuela: ________________________________________________________Fecha: ________

Profr. (a): _________________________________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: MI

Contenido: 9.4.6 Clculo y anlisis de la razn de cambio de un proceso o fenmeno que se modela con una funcin lineal. Identificacin de la relacin entre dicha razn y la inclinacin o pendiente de la recta que la representa.

Intenciones didcticas: A partir de cierta informacin, que los alumnos construyan tablas y grficas y que a partir de stas, relacionen cantidades y obtengan nueva informacin.

Consigna: Organizados en binas, resuelvan el siguiente problema.1.- Los tres hermanos Prez asistieron al cine. El boleto de entrada cuesta $40.00:

a) Cunto pagaron por las tres entradas? ________________

b) Si cada uno llev un invitado, cunto se pag en total para que todos entraran? _________

c) Si adems asistieron los padres de los hermanos Prez, cunto se pag por todos? ______

A partir de la informacin anterior, completen la siguiente tabla:

Personas368

Costo ($)160480

Con los datos obtenidos en la tabla anterior, tracen la grfica correspondiente.

Consideraciones previas:

Si el tiempo lo permite, los alumnos pueden formular otras preguntas para ser analizadas y contestadas por el grupo. Por ejemplo:

1) Cunto se pagar por dos personas?

2) Si se cuenta con $350.00 cul es el mayor nmero de personas que pueden ser invitadas?

Antes de pasar a otra actividad, es importante que el profesor verifique que los alumnos alcancen soltura en el manejo de la informacin que proporcionan la tabla y la grfica.


13. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

14. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de Clase (2/3)

Escuela: ________________________________________________________Fecha: ________

Profr. (a): _________________________________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: MI


Intenciones didcticas: Que los alumnos obtengan, a partir de la grfica de una funcin lineal, las razones de cambio del fenmeno que representa.

Consigna: Organizados en binas, analicen la siguiente grfica que muestra los cambios en el precio de un artculo durante los primeros meses del ao, posteriormente den respuesta a las preguntas.

a) Cunto vari el precio del primero al tercer mes? __________________________

b) Cunto vari el precio del primero al cuarto mes? _________________________

c) Suponiendo que el incremento fue el mismo cada mes, cunto vari el precio del tercero al sexto mes? _____________________________d) Cul es el incremento mensual del precio del artculo? _________________________

e) Si el primer mes corresponde a enero, cul es el precio del artculo en marzo? __________

f) Si el incremento fue el mismo cada mes, cul ser el precio del artculo en diciembre? ________________________

g) Respecto al inciso a, encuentren el cociente del incremento en el precio entre el nmero de meses, es decir la razn de cambio. Encuentren la razn de cambio en los incisos b y c y comprenla con la del inciso a. Cmo son? ________________________________________

h) Qu relacin tienen las razones de cambio que encontraron en el inciso g y la respuesta del inciso d? ____________________________________________________________________

Consideraciones previas: Es posible que los alumnos confundan el precio del artculo y el incremento del mismo, en tal caso es preciso distinguir dichos valores. Por ejemplo, en el quinto mes el precio del artculo es de $1800.00 y el incremento respecto al tercer mes es de $600.00.

Tambin puede ser que los estudiantes tengan dificultad para interpretar la tarea o para establecer las razones que se piden en el inciso g, en tal sentido convendra analizar detenidamente la consigna, que en otras palabras, se trata en cada caso de determinar la razn entre el incremento del precio del artculo respecto al tiempo. Por ejemplo, la razn de cambio del inciso a es la siguiente: Incremento en el precio 1200 600 600

Razn de cambio = ----------------------------------- = ----------------------- = ---------= 300

Tiempo transcurrido 3 1 2

Lo cual significa que el precio del artculo se incremento $300.00 por mes, respuesta de la pregunta del inciso d.

Es importante que los alumnos busquen algunos ejemplos de cantidades que cambian de manera proporcional con el tiempo, permitiendo la razn de cambio saber cunto aumentan o disminuyen, por ejemplo: la distancia recorrida cuando la velocidad es constante, el costo de una llamada de larga distancia, el inters que se paga por un prstamo de dinero, etctera.

Hay que poner especial atencin a las respuestas que den los alumnos al inciso (d), ya que la razn de cambio que se obtiene en este inciso permitir establecer la generalizacin correspondiente.






Plan de Clase (3/3)

Escuela: ________________________________________________________Fecha: ________

Profr. (a): _________________________________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: MI


Intenciones didcticas: Que los alumnos relacionen diferentes razones de cambio con la inclinacin o pendiente de las rectas que las representan.

Consigna: La siguiente grfica muestra el costo del servicio telefnico de dos compaas, con base en la informacin que proporciona, respondan lo que se pide.

a) Cul es la razn de cambio (incremento en el costo por llamada) en cada compaa? _______________________________________________________________________

b) Cul es la relacin entre las razones de cambio y la pendiente o inclinacin de las rectas?________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) Por qu el costo de las 100 primeras llamadas telefnicas es el mismo en las dos compaas?____________________________________________________________________________________________________________________________________

d) Cul es el incremento en el costo de 50 a 100 llamadas en la Compaa A? ____________________________Y en la B?__________________________________

e) En la Compaa A, el incremento en el costo de 1 a 50 llamadas es el mismo que de 51 a 100 llamadas? ___________________Y en la B?____________________________

Consideraciones previas: Al igual que en el plan anterior es importante no confundir incremento en el costo y el costo del servicio En la compaa A el incremento en el costo de 1 a 50 llamadas es de $75.00 y el costo de las primeras 50 llamadas es de $225.00. Si los alumnos tienen dificultades para identificar y obtener costos e incrementos, puede proponrseles el llenado de una tabla como la siguiente para cada compaa: Compaa A

Llamadas011050100

Costo total ($)150151.50165.00

Incremento ($)01.5015.00

Una vez que quede aclarado el significado de incremento o razn de cambio, se puede plantear la siguiente pregunta:Si la razn de cambio en la compaa A fuera la misma que en la compaa B, cmo seran las rectas que representan a ambos fenmenos? cmo seran sus pendientes?






Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Cara plana

(base)

Cara curva

Generatriz

Cspide

Altura

Base

Radio

Generatriz

Altura

sen M =

cos M =

tan M =

sen N =

cos N =

tan N =

10

8

6

20 m

?

37

1. Cul es la altura del asta bandera, si a cierta hora del da el ngulo que forma el extremo de su sombra con la punta del asta mide 37?

65

30 m

x

y

2. Cul es la altura de la torre y la longitud del tirante que la sostiene?

3. Un puente de 18 m de largo atraviesa por una barranca como se muestra en el siguiente esquema. Cul es la profundidad de la barranca?

4. Se desea construir un puente sobre un ro que mide 10 m de ancho, de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinacin de 20

a) Cul debe ser la longitud del barandal?

b) A qu distancia del cauce se situar el comienzo de la rampa?

5. Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ngulos de elevacin desde los puntos A y B. Con los datos de la figura, cul es la altura de la torre?

b = __________

c = __________

( B = __________

a = __________

c = __________

( B = __________

c = __________

( A = __________

( B = __________

a = __________

( A = __________

( B = __________

$

Nmero de personas

Costo de entrada al cine

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12

200

160

120

80

40

0

Observen la grfica y contesten:

Cunto se pagar por cinco personas? _____________

Cunto se pagar por nueve

personas? _____________

$

meses

Variacin del precio de un artculo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2200

1800

1400

1000

600

200

Nmero de llamadas

Costo ($)

100

300

150

Compaa B

Compaa A

0

0

Costo del servicio telefnico

_1269074119.unknown

_1394975967.unknown

_1395570654.unknown

_1395585958.unknown

_1392128910.unknown

_1392733472.unknown

_1261819622.unknown

planes de clase bloque 4

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