plan de clase n°4 matemática
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Plan de clase
N°4
Matemática
1º Medio
OA8 – OAj
Texto escolar 2020
Plan de clases N°4
Matemática
1º medio – OA8 – OAj (2020)
UCE – MINEDUC
Enero 2021
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¿Qué aprenderán?
OA 8. Mostrar que comprenden el concepto de homotecia:
• relacionándola con la perspectiva, el funcionamiento de instrumentos ópticos y
el ojo humano
• midiendo segmentos adecuados para determinar las propiedades de la
homotecia
• aplicando propiedades de la homotecia en la construcción de objetos, de
manera manual y/o con software educativo
• resolviendo problemas de la vida cotidiana y de otras asignaturas
OA j. Ajustar modelos, eligiendo los parámetros adecuados para que se acerque más
a la realidad.
Actitud: Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor en la resolución de problemas
y la búsqueda de nuevas soluciones para problemas reales.
Evaluación
Se sugiere evaluar:
• La construcción homotética con lápiz, regla y compás (Actividades 2 en p. 137, 3,
4, 5, 6 y 7 en p. 138 a 139 del Programa, 1, 2 y 3 en p. 186 del texto del estudiante)
• La modelación de situaciones relacionadas con la óptica (Actividades 7 en p. 139
del Programa, 4 en p. 187 del texto del estudiante) y artes visuales (Actividades 8
en p. 140 del Programa)
• La relación entre la homotecia y el teorema de Tales (Actividades 4 en p. 144, 5
en p. 145, 4 en p. 193 del texto del estudiante)
• La resolución de problemas asociados a la homotecia (Actividades 5, 6 en p. 187
del texto del estudiante)
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ACTIVIDADES DE APOYO SOCIOEMOCIONAL
Se sugiere una lista de actividades socioemocionales para que las asignaturas
incorporen en forma sistemática prácticas para favorecer un clima escolar positivo.
Estas actividades se presentan según los distintos momentos de la clase, facilitando así
su aplicación. Se incluyen actividades para inicio de la clase, para el cierre, para iniciar
trabajo grupal y para enfrentar conflictos.
La siguiente propuesta puede ser implementada flexiblemente ajustándose a los
contextos y necesidades de los estudiantes, tanto en las experiencias remotas como
presenciales de aprendizaje.
ACTIVIDADES PEDAGÓGICAS SUGERIDAS
Actividades sugeridas para el inicio de clases
Actividades sugeridas para el cierre de clases
Actividades sugeridas para antes de un trabajo en grupo
Actividades sugeridas para enfrentar conflictos
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RUTA DE APRENDIZAJE
Para responder la pregunta:
Clase 1
descubre la homotecia
a través de la
modelación de
situaciones.
¿Cómo modelar situaciones de ampliación, reducción o perspectiva?
Clase 2
calcula las medidas
entre las imágenes
proyectadas y el objeto
para encontrar las
propiedades de la
homotecia. Clase 3
modela situaciones
determinando el factor k
de una homotecia.
Clase 4
apliquen las
propiedades de la
homotecia en
situaciones
geométricas.
Clase 5
relaciona las
homotecias y sus
propiedades con el arte
o arquitectura por
medio de los puntos de
fuga.
Clase 6
descubre por medio de
homotecias el teorema
de Tales.
Clase 7
aplica el teorema de
Tales en la resolución de
problemas. Clase 8
aplica homotecias con
factores k negativos en
diferentes contextos.
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¿Qué se espera lograr?
Se espera lograr que los estudiantes descubran la homotecia a través de la modelación de
situaciones.
Clase 1 Enmarcar
Motivar la experimentación concreta para descubrir relaciones entre el fenómeno y
las características de la homotecia, modelando así situaciones reales. Para esto, se
sugiere comenzar con la presentación de una situación que involucre rayos de luz y
proyección de sombras.
¿La luz que proyecta la sombra es la luz del sol o de otro candelabro?
Se sugiere entregar la imagen a grupos de estudiantes para que conjeturen sobre la
forma en qué caen los rayos del sol o cómo podría ser con otro foco de luz. Organizar
las respuestas considerando dos posibilidades, una en la que los rayos provienen del
sol, por lo tanto, hay líneas paralelas y el otro en que la luz proviene de un foco y las
líneas no son paralelas.
Relevar la noción de paralelismo considerado que las rectas mantienen la misma
medida entre ellas, para concluir que la luz que proyecta la sombra es de un foco y
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no del sol. Otra alternativa es midiendo el ancho del foco o la altura y verificando
que son de diferente tamaño.
Ampliar el conocimiento
Realizar un experimento para construir el concepto de homotecia. Se puede apoyar
de la hoja de trabajo de la clase 1.
¿Cómo describimos matemáticamente esta situación?
Materiales:
Lámpara LED de un foco o vela
Pantalla de proyección confeccionada
con papel de mantequilla (1 pliegue
del tamaño de un cuaderno escolar)
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4 palitos planos de madera para
maquetas para hacer el marco de la
pantalla
2 clips para fijar la pantalla
1 objeto de proyección, como rollo
vacío de papel higiénico
Construcción del aparato:
Poner la lámpara led en el borde de la mesa y afirmar con los clips el marco de papel
de mantequilla, formando una pared. El marco se ha construido pegando los palitos
de madera alrededor del papel mantequilla para dar mayor estabilidad. Ubicar el
rollo vacío entre la lámpara y el pliego.
Ruta del experimento:
• Considerar solo la base de la mesa ¿Qué propiedades existen entre el objeto
y la sombra? Realizar mediciones para conjeturar y verificar midiendo.
• Variar el experimento, acercando el objeto a la lámpara ¿Qué cambio se
puede notar en la sombra?
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• Dibujar un esquema en el cuaderno de ambas situaciones junto con sus
medidas ¿Qué tienen en común estas medidas, estos esquemas?
• Considerar la base de la mesa y el borde del objeto, en este caso el rollo de
papel higiénico vacío ¿Qué propiedades existen entre el objeto y la sombra?
• Variar el experimento, alejando el objeto de la lámpara ¿Qué cambio se
puede notar en la sombra?
• Dibujar un esquema en el cuaderno de las tres situaciones, centro,
acercamiento y alejamiento de la lámpara ¿Qué tienen en común estas
medidas, estos esquemas?
Posibles resultados del experimento:
• La sombra proyectada en la pantalla está paralela al objeto.
• La sombra siempre tiene un tamaño mayor que el objeto.
• Si el objeto se acerca a la lámpara, la sombra aumenta en tamaño.
• Si el objeto se aleja de la lámpara, la sombra disminuye su tamaño.
• Los esquemas o dibujos podrían ser similares a:
Explicar la homotecia como un modelo del proceso, indicando que hay una
correspondencia proporcional entre los bordes del rollo con la sombra, las
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condiciones de la homotecia, es tener un centro del cual se proyectan líneas rectas
y a los puntos de la figura se le asocian puntos sobre estas rectas.
Construir un esquema de una homotecia del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , dado el centro en el punto
𝑆, utilizando lápiz y escuadra.
Se marcan los puntos S y A trazando una línea recta 𝑎, que une ambos puntos.
Luego se traza una línea recta 𝑏 que une los puntos S y B.
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Se marca un segmento paralelo al segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ denominándolo 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ que
corresponde a la proyección homotética de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ según el centro 𝑆.
Comparar la construcción geométrica con el experimento de luz y sombra realizado
anteriormente y marcar que es la luz, la sombra y el objeto, relevando los rayos de
luz como las rectas 𝑎 y 𝑏.
Describir en las propias palabras que es una proyección homotética y cómo se
obtiene con una construcción geométrica. Relevar las diferentes posibilidades de
ubicar el objeto o segmento y las posibles proyecciones homotéticas.
Práctica guiada
Construir proyecciones homotéticas de segmentos sobre el plano cartesiano dados
el centro, un punto del segmento y una de las proyecciones. Organizar los pasos y
detallar los elementos del dibujo.
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Dibujar la proyección homotética en el plano cartesiano con centro en el punto
𝑆(3|3) del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , con 𝐴(9|9), que puede ser llamado preimagen de 𝐴’ y punto
B′(15|−3), que puede ser llamada imagen de 𝐵, construyendo el punto B y
determinando las coordenadas de los puntos faltantes.
Responder leyendo desde la construcción, las coordenadas de la imagen 𝐵´son (15| −
3) y las coordenadas de 𝐵 son (0|9).
Integración
Proponer una actividad de razonamiento en la cual se hacen variaciones al
experimento inicial, por ejemplo, en el experimento se mantienen fijas las posiciones
de la lámpara y del rollo de papel higiénico, pero se corre la pantalla, alejándose de
la lámpara y se pregunta por:
• ¿Qué efecto se puede observar en la sombra?
• ¿Qué significa el cambio en la construcción geométrica?
¿Qué se espera lograr?
Se espera lograr que los estudiantes calculen las medidas entre imágenes y preimágenes para
encontrar las propiedades de una homotecia.
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Clase 2 Enmarcar
Motivar las medidas que hay en una proyección homotética desarrollando
actividades relacionadas con el dibujo o con el arte. Se sugiere motivar un proyecto
integrado con la asignatura de arte, considerando otra ruta de aprendizaje
propuesta en la página https://www.curriculumnacional.cl/estudiantes/Educacion-
General/Matematica/Matematica-1-medio/79938:Unidad-3-Determinar-el-factor-
de-una-homotecia. Por ejemplo, realizando dibujos en perspectiva de nuestro
entorno e identificando el centro de la homotecia y las líneas paralelas.
Algunas de las preguntas que pueden ayudar a este desarrollo son:
• ¿Dónde marcarías el centro de la homotecia?
• ¿Cuáles líneas son paralelas?
• ¿Cuáles líneas son comparables con los rayos de luz?
Ampliar el conocimiento
Construir una proyección homotética y medir los diferentes trazos para conjeturar
sobre la razón que está involucrada. Para facilitar el descubrimiento de las relaciones
entre las medidas de los segmentos, se sugiere repetir la medida del segmento 𝑆𝐵̅̅̅̅
para construir el punto 𝐵’ del segmento sombra 𝐴’𝐵’̅̅ ̅̅ ̅. Se puede apoyar de la actividad
2 de la página 178 del texto escolar.
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Medir los segmentos 𝑆𝐵̅̅̅̅ y 𝑆𝐵’̅̅ ̅̅ , anotando sus observaciones y concluyendo que es el
doble. A continuación, medir los segmentos 𝑆𝐴̅̅̅̅ y 𝑆𝐴’̅̅ ̅̅ para concluir que también es el
doble.
Conjeturar sobre la relación entre la medida del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐴’𝐵’̅̅ ̅̅ ̅ verificando a
través de la medición y concluyendo la razón de la homotecia 2:1
Práctica guiada
Desarrollar actividades para determinar la razón de la homotecia y observar en qué
situaciones reales se utiliza el proceso homotético.
¿Qué razón homotética se ha utilizado para ampliar la foto del perrito?
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Explicar la homotecia, indicando que el procedimiento de ampliar la foto responde
a una homotecia de centro Z y que la imagen y la preimagen se ven igual con la
única diferencia de tener diferentes tamaños. Medir los segmentos ZA y Z𝐴′ y
completar con al menos un segmento paralelo.
Determinar la relación que existe entre la estatura de la imagen del perro y la original,
la cual es independiente de las mediciones particulares o del tamaño de la imagen
recibida, se cumple que el largo del segmento 𝐴´𝐵´ (imagen) es el doble del largo del
segmento 𝐴𝐵 (preimagen) y por lo tanto están en la razón 2:1.
¿Cómo podemos analizar la situacion dada en una fotografía?
Relevar la homotecia como un modelo que nos permite analizar la fotografía y
determinar ciertas condiciones de la construcción o posición de los objetos, por
ejemplo, preguntando ¿con qué transformación geométrica se puede modelar la
situación? Medir tamaños y distancias para responder ¿Qué propiedad existe entre el
tamaño del florero pequeño y el florero grande? Suponer, para trazar las rectas, que
ambos floreros están puestos en la misma línea y no uno más detrás que el otro.
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Las mediciones son individuales, pero deben resultar las siguientes relaciones entre
las imágenes y preimágenes:
• |𝑆𝐴´| ≈ 2,3|𝑆𝐴|
• |𝐴´𝐵´ | ≈ 2,3|𝐴𝐵|
• |𝑆𝐵´| ≈ 2,3|𝑆𝐵|
Las propiedades de la homotecia se relacionan con la razón de la homotecia y cada
vez que se toma el segmento mayor y se divide por el segmento menor
correspondiente, se obtiene el mismo valor denominado 𝑘:
𝑘 =𝑆𝐵′̅̅ ̅̅ ̅
𝑆𝐵 𝑘 =
𝑆𝐴′̅̅ ̅̅ ̅
𝑆𝐴 𝑘 =
𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐴𝐵
Práctica independiente
Proponer actividades para determinar y calcular las medidas entre imágenes y
preimágenes que promuevan la comprensión de la razón 𝑘 en las homotecias. Se
puede apoyar de la hoja de trabajo de la clase 2.
Ticket de salida
Promover una actividad para determinar la razón en la posición de objetos dados en
imágenes. Por ejemplo, en la siguiente imagen se muestran las muñecas rusas
llamadas Matryoshka y se quiere determinar el centro que proyecte desde la más
pequeña a la más grande para argumentar la conjetura de que la altura de la
muñeca más grande es tres veces la altura de la más pequeña.
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Relevar aquellas respuestas que dibujan las rectas, marcan las paralelas y aunque se
obtienen medidas diferentes entre los diferentes grupos, concluyen que la razón es 3.
Según el contexto, se sugiere preguntar sobre las razones entre las otras muñecas.
¿Qué se espera lograr?
Se espera lograr que los estudiantes modelen situaciones determinando el factor k de una
homotecia.
Clase 3 Enmarcar
Motivar la determinación del factor o razón de una homotecia a través de la
resolución de problemas. Se sugiere considerar temas posibles de realizar o conocidos
por los jóvenes, por ejemplo, el dibujo de objetos utilizando la proyección.
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Algunas de las preguntas que pueden motivar el desarrollo del problema son:
• ¿Cómo se logra el dibujo en la polera?
• ¿Qué puntos se deben marcar primero?
• ¿Qué líneas paralelas se deben trazar sobre la polera?
• ¿Alcanzará el dibujo en la polera?
• ¿De qué tamaño me quedará el dibujo?
• ¿Qué se debe hacer para que el tamaño sea menor o mayor?
Ampliar el conocimiento
Explicar de manera sencilla y previo a resolver el problema de la polera, la forma de
determinar el valor 𝑘 de la homotecia, considerando primero la homotecia de un
segmento.
Considerar la homotecia con centro S del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y imagen 𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ según el factor
𝑘. Además, otra homotecia con el mismo centro 𝑆, con el factor 𝑘 ´ que aumento el
segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ al segmento 𝐴´´𝐵´´̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅.
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El factor 𝑘 de una homotecia es el número con el cual se multiplican los largos de
todos los lados de una preimagen para obtener los largos de todos los lados de la
imagen proyectada.
𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑘 · 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴′′𝐵′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑘′ · 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
Si el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 3𝑐𝑚 , 𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ = 4,5𝑐𝑚 y 𝐴′′𝐵′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 12𝑐𝑚. Determinar los factores 𝑘 ´y 𝑘´´
de las homotecias consideradas.
𝑘 =𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
Entonces:
𝑘 =𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅=
4,5
3= 1,5
Además,
𝑘 =𝐴′′𝐵′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
Entonces:
𝑘 =𝐴′′𝐵′′̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅=
12
3= 4
Práctica guiada
Resolver el problema de la polera, tomando las medidas de alto de la imagen y del
alto del cuadro donde se quiere que vaya la imagen en la polera. A continuación, se
presenta una idea aproximada de solución, considerando que la medida del
segmento AB de la imagen es 3cm y se quiere poner en un marco de 6cm.
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𝑘 =𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅=
6𝑐𝑚
3𝑐𝑚= 2
Explicar el significado del factor 𝑘 = 2 para los otros segmentos, esto significa que se
debe ubicar el centro 𝑆 para que se cumpla la homotecia, es decir, se debe cumplir
que el segmento 𝑆𝐴̅̅̅̅ = 2𝑆𝐴’̅̅ ̅̅ y el segmento 𝑆𝐵̅̅̅̅ = 2𝑆𝐵’̅̅ ̅̅
Resolver un problema de búsqueda del centro de la homotecia y del factor k,
haciendo conjeturas de manera inicial.
¿Será posible que el círculo verde sea una homotecia del círculo naranjo?
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Argumentar si algebraicamente la semicircunferencia de color verde podrá resultar
como imagen de una homotecia aplicada a la semicircunferencia de color rojo,
determinando primero un posible factor 𝑘 sin saber la posición del centro 𝑆 de la
homotecia.
Suponer que hay un factor 𝑘 que relaciona los radios de ambas circunferencias
R′B′̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑘 · 𝑅𝐵̅̅ ̅̅ resulta 𝑘 =R′B′̅̅ ̅̅ ̅̅
𝑅𝐵̅̅ ̅̅
R′B′̅̅ ̅̅ ̅ = 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 y RB̅̅ ̅̅ = 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
Con lo cual se podría suponer que el factor 𝑘 de la homotecia es:
𝑘 =4
2= 2
¿Se puede determinar el centro de una homotecia que transforma la
semicircunferencia de color rojo en la semicircunferencia de color verde?
Determinar gráficamente el centro 𝑆 y verificar el resultado con otro punto, midiendo
los segmentos que se forman o calculando las medidas de los arcos según el ángulo.
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El centro de la homotecia es S y transforma la semicircunferencia de color rojo en la
semicircunferencia de color verde. Se trazan dos rectas que pasan por los pares de
puntos 𝐴 y 𝐴´ y B y 𝐵´. Estas rectas intersecan en el centro de la homotecia 𝑆. Entre los
segmentos de imagen y preimagen se mide el factor 𝑘 = 2 y con el par de los puntos
𝐶 y 𝐶 ´ se verifica el mismo factor 𝑘 = 2.
¿Es posible encontrar otro centro de otra homotecia con el mismo factor 𝑘?
Trasladar una de las semicircunferencias de tal manera que ambas tengan un centro
común 𝑍 y verificar que si tienen el mismo factor. En esta posición las
semicircunferencias son concéntricas. Cada radio de la semicircunferencia de color
verde es imagen del radio respectivo de la circunferencia de color rojo.
Ticket de salida
Proponer una actividad final para determinar el factor de homotecia. Por ejemplo,
entregando una figura con algunas medidas y preguntando por alguna medida
faltante.
Las medidas en la siguiente figura son:
• 𝑆𝐴̅̅̅̅ = 3
• 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 1,5
• 𝑆𝐶̅̅̅̅ = 4
• Factor de homotecia 𝑘 = 1,5
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Determina las medidas de 𝑆𝐴′̅̅ ̅̅ , 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ y 𝑆𝐶′̅̅ ̅̅ .
¿Qué se espera lograr?
Se espera lograr que los estudiantes apliquen las propiedades de la homotecia en situaciones
geométricas.
Clase 4 Enmarcar
Motivar la aplicación de las propiedades para resolver problemas en situaciones
geométricas. Resaltar que esta etapa es la base para el desarrollo de las habilidades
de diseño de objetos. Relevar la importancia de determinar el factor 𝑘 de la
homotecia para resolver problemas, indicando que este factor permite determinar
medidas y proyecciones homotéticas de puntos, segmentos y figuras completas.
¿Cómo describirías lo que pasa en esta figura?
Describir la figura como una homotecia con centro 𝑆, que transforma el cuadrado de
color rojo (preimagen) en el cuadrado de color celeste (imagen). Determinar
mediante medición el factor 𝑘 de la homotecia. Relevando que, aunque las
mediciones son individuales, debe resultar un factor aproximado:
𝑘 =5
4= 1,25
Invertir la imagen con la preimagen para encontrar un factor 𝑘 que describa el
proceso homotético inverso. Considerar la homotecia con el mismo centro 𝑆 que
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transforma el cuadrado de color celeste (preimagen) en el cuadrado de color rojo
(imagen). Determinar mediante medición el factor 𝑘∗de esta homotecia y explicar la
relación que existe entre ambos factores, indicando que uno es el inverso
multiplicativo del otro.
𝑘∗ =4
5= 0,8
El factor 𝑘∗ es el inverso multiplicativo del factor 𝑘.
𝑘 ∙ 𝑘∗ =5
4∙ 0,8 = 1
Ampliar el conocimiento
Completar figuras utilizando el factor de homotecia en figuras sobre el plano
cartesiano. Por ejemplo, el triángulo ABC de color rosado, tiene los vértices en los
puntos A(15|9), B(15|0) y C(21|6) y para obtener la homotecia se considera el origen
𝑂(0, 0) como centro y un factor 𝑘 =1
3 .
Determinar las coordenadas del punto 𝐶’ primero utilizando el dibujo y luego de
manera algebraica.
1. Abscisa
21 ∙1
3= 7
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2. Ordenada
6 ∙1
3= 2
Así el punto 𝐶’ tiene coordenadas (7|2).
Comprobar los resultados realizando la homotecia inversa, es decir, transformar el
triángulo A’B’C’ en el triángulo ABC con una homotecia de factor 3 y centro en el
origen.
• 𝐴´(5|3) → 𝐴(15|9)
• 𝐵′(5| 0) → 𝐵(15|0)
• 𝐶′(7|2) → 𝐶(21|6)
Práctica guiada
Diferenciar las transformaciones homotéticas según el factor mayor a 1 o menor que
1 y dando sentido de agrandar o reducir figuras. Por ejemplo, identificar la
transformación que ocurre en las siguientes figuras pensando que siempre se
comienza con la figura de perímetro rojo y el centro está en 𝑆.
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Algunas de las preguntas que pueden motivar el desarrollo del ejercicio son:
• ¿Por qué las transformaciones de las preimágenes de perímetro en rojo a las
imágenes de perímetro celeste son homotecias?
• ¿En cuál de las homotecias resulta una imagen de mayor tamaño o menor
tamaño?
• ¿Qué se puede verificar de los factores 𝑘1 (𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1) y 𝑘2 (𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2)?
Relevar que las figuras son semejantes y medir ángulos interiores y lados de las figuras,
en la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 los ángulos interiores de los triángulos tienen la misma medida y las
razones entre los lados de la preimagen y los lados de la imagen tienen el mismo valor.
En la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2 se puede verificar midiendo que todos los puntos del cuadrado
(preimagen) están a la misma distancia con el centro y todos los puntos de la imagen
tienen entre sí la misma distancia con el centro.
Explicar que en la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 1 el tamaño de la imagen es menor que el tamaño de la
preimagen y que significa que el factor 𝑘1 de la homotecia es menor a 1. En la 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2
el tamaño de la imagen es mayor que el tamaño de la preimagen, lo que significa
que el factor 𝑘2 de la homotecia es mayor a 1.
Relacionar el factor k con el área de las figuras, con un ejemplo donde se tiene una
homotecia con factor 𝑘 = 2 que transforma el triángulo ΔSAB en el triángulo ΔS𝐴´𝐵´.
¿Cuántas veces más grande es el contenido del área de la imagen del triángulo
ΔS𝐴´𝐵´ en comparación con la preimagen ΔSAB?
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Relevar que el factor entre las áreas es 4 que es el número cuadrado de 𝑘 = 2.
Práctica independiente
Proponer actividades de aplicación de las propiedades de la homotecia en
situaciones geométricas, ya sea para completar figuras como para encontrar
relaciones entre ellas. Se sugiere realizar la actividad 4a en la página 181 del texto del
estudiante.
Reflexión
Proponer una actividad de argumentar sobre las posibilidades que se tienen con los
factores homotéticos 0, 1, ½ entre otras. Por ejemplo, si existiera una homotecia con
el factor 𝑘 = 0 ¿cuál seria la imagen de todas las figuras 2D? Relevando las repuestas
que indican que todos los lados de las imágenes de las figuras 2D se reducirían al
tamaño 0 y todas las figuras tendrían un solo punto como imagen.
¿Qué se espera lograr?
Se espera lograr que los estudiantes relacionen las homotecias y sus propiedades con el arte o
arquitectura por medio de los puntos de fuga.
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Clase 5 Enmarcar
Relacionar los puntos de fuga con las homotecias y los factores por medio de
actividades de dibujo. Se sugiere, según el contexto, realizar un proyecto
interdisciplinario basándose en la propuesta
https://www.yoaprendomas.cl/docentes/Educacion-General/Artes-Visuales-1-
medio/AR1M-OA-01/223588:Proyecto-interdisciplinario-Perspectiva-y-homotecia-2020.
Algunas de las preguntas que pueden motivar esta relación son:
• ¿Qué impresión de dimensión te da el dibujo?
• ¿Cómo describirías este dibujo?
• ¿En qué profesión se usa esta forma de dibujar?
• ¿Qué figura se puede representar con los segmentos 𝑍𝐴´, 𝑍𝐵´, 𝑍𝐶 ´, 𝑍𝐷´ ?
• ¿Qué transformación geométrica existe entre los cuadrados 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 y 𝐴´𝐵´𝐶´𝐷´?
Ampliar el conocimiento
Determinar el centro y dibujar el punto de fuga con líneas que unen los puntos de dos
figuras homotéticas. Medir los segmentos paralelos para determinar el factor de
homotecia y facilitar el procedimiento.
¿Por qué se puede determinar una homotecia que transforma el cuadrado pequeño
en el cuadrado grande?
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Determinar el centro 𝑍 de esta homotecia dibujando las líneas de construcción,
relevando que las mediciones pueden ser individuales, pera la razón entre el largo y el
ancho en ambos rectángulos debe ser la misma, en este caso 2: 1, dos es a uno. Dado
que las razones de lados correspondientes en ambos rectángulos son iguales, los
rectángulos son semejantes y se puede determinar una homotecia que transforma un
rectángulo al otro. El centro 𝑍 resulta como punto de intersección de dos líneas de
construcción que unen dos pares de puntos, la imagen y la preimagen.
Reforzar la forma de pirámide que representa la imagen 3D con la punta Z y el
rectángulo grande como área basal.
Práctica guiada
Transferir la noción del punto de fuga y del centro de la homotecia a imágenes
cotidianas o conocidas, por ejemplo, un dibujo de dos alamedas bordeadas de
álamos.
Conjeturar en cuál de los dibujos hay una perspectiva y verificar la conjetura con la
determinación del centro de homotecia o del punto de fuga 𝐹.
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Relevar aquellas respuestas que indican que la imagen de la derecha representa una
perspectiva. En ambos lados de cada alameda los álamos están en una línea. Los
álamos resultan como imágenes de un álamo que es preimagen de una homotecia
cuyo centro y punto de fuga es el punto de fuga 𝐹. La imagen de la izquierda no
representa una perspectiva porque no existe un punto de fuga común. Esta imagen
tiene dos homotecias y existen dos puntos de fuga.
Definir perspectiva como la imagen de la alameda de la derecha que representa una
perspectiva porque ambas homotecias llevan a un mismo punto de fuga 𝐹.
Práctica independiente
Se sugiere un trabajo en diferentes grupos y una posterior presentación en pleno. Para
esto, se da a elegir a los diferentes grupos alguna de las pinturas de famosos pintores
que están presentadas como galería en la sala de clases. Una vez elegida la pintura se
debe determinar el o los puntos de fuga y la razón de las homotecias o de las
homotecias que están involucradas en la pintura.
Algunas de las pinturas que se pueden dar a elegir son:
Edvard Munch 1863-1944
Theo van Rysselberghe 1862-1922
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Ferdinand Hodler 1853-1918
Ferdinand Hodler 1853-1918
Vincent van Gogh 1853-1890
Vincent van Gogh 1853-1890
Anónimo (≈ 1860) Estación Central Frankfurt (Alemania)
Paul Gaugin 1848-1903
Algunas de las respuestas son:
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Edvard Munch 1863-1944
Theo van Rysselberghe 1862-1922
Ferdinand Hodler 1853-1918
Ferdinand Hodler 1853-1918
Vincent van Gogh 1853-1890
Vincent van Gogh 1853-1890
Anónimo (≈ 1860)
Estación Central Frankfurt (Alemania) Paul Gaugin 1848-1903
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Reflexión
Proponer una actividad final para detectar el momento en que cambia la perspectiva
en una obra de arte. Por ejemplo, en una de las pinturas de Vincent van Gogh.
¿En qué parte se nota una segunda
perspectiva con un segundo punto de fuga?
Relevar aquellas respuestas en las cuales se dibujan las líneas de las homotecias para
responder.
El primer haz de líneas a la izquierda lleva al primer punto de fuga y el segundo haz de
líneas lleva al segundo punto (virtual) de fuga que se encuentra fuera de la obra. Hay
dos diferentes homotecias.
¿Qué se espera lograr?
Se espera que los estudiantes descubran por medio de homotecias el teorema de Tales.
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Clase 6 Enmarcar
Motivar el descubrimiento de teoremas y propiedades por medio de los conocimientos
adquiridos sobre las propiedades de las homotecias, relevando el factor de la
homotecia y la razón entre los segmentos que se mantiene. Se sugiere presentar en un
dibujo con segmentos de color azul, morado rojo y naranjo, la homotecia de un
segmento.
Algunas de las preguntas que pueden orientar el desarrollo del descubrimiento son:
• ¿Qué transformación geométrica se representa?
• ¿Qué posición mutua tienen las rectas 𝑔 y ℎ?
• ¿Qué razón se mantiene?
• ¿Qué se hace para encontrar el factor?
• Si se conocen todas las medidas ¿de cuántas maneras podrías encontrar el
factor de la homotecia?
Ampliar el conocimiento
Relevar las respuestas para orientar las condiciones que se dan en la homotecia de un
segmento con centro en S, indicando que el dibujo representa la transformación
homotética con el centro S. Las rectas 𝑔 y ℎ están paralelas y los segmentos o los
triángulos que se forman son semejantes.
Realizar experimentos con palitos de madera (brochetas) para descubrir el teorema de
Tales. Se puede apoyar del programa de estudio página 41, actividades 1, 2, 3 y 4.
Para los diferentes experimentos se sugiere un trabajo grupal y una posterior
presentación de los resultados.
Experimento 1. Si son paralelas se mantienen las razones debe resultar 𝒂: 𝒃 = 𝒄: 𝒅
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Formar un ángulo agudo con dos palitos de brochetas, r y s, fijándolos en sus puntas.
Encima de ellos colocar otros dos palitos, p y q, en posición transversal y paralela entre
sí, como se muestra en la figura siguiente:
• Medir el largo de los segmentos a, b, c y d.
• Calcular las razones 𝑎 ∶ 𝑏 y 𝑐 ∶ 𝑑.
• Comparar estas razones y describir lo qué les llama la atención.
• Mantener el palito p en posición fija y mover el palito q encima de los palitos r
y s, a otra posición paralela.
• Medir los nuevos segmentos b y d, calcular otra vez las razones 𝑎 ∶ 𝑏 y 𝑐 ∶ 𝑑, las
comparar entre sí y anotar las observaciones.
• Mover los palitos p y q sobre los palitos r y s, y los dejan en posición paralela.
• Medir los nuevos segmentos, calculan las razones respectivas y comparan los
resultados.
• Generalizar y verbalizar los resultados.
Experimento 2. Si no son paralelas las razones no son iguales 𝒂: 𝒃 ≠ 𝒄: 𝒅
Colocar los palitos de brochetas r y s y los palitos paralelos como en la actividad
anterior. Dejar el palito p en su posición y giran el palito q de tal forma que no quede
paralelo, como se muestra a continuación:
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• Conjeturar acerca de las razones 𝑎 ∶ 𝑏 y 𝑐 ∶ 𝑑.
• Medir los segmentos a, b, c y d, calcular las razones respectivas y comparar el
resultado con la conjetura.
• Probar con otras posiciones de los palitos.
• Generalizar y verbalizar los resultados.
Explicar el teorema de Tales (1), la igualdad entre las razones 𝑎 ∶ 𝑏 y 𝑐 ∶ 𝑑 se genera
solamente si las rectas p y q son paralelas.
Experimento 3. Extender el teorema a otro par de segmentos.
Formar un ángulo agudo con dos palitos de brochetas, r y s, fijándolos en sus puntas.
Encima de ellos colocar otros dos palitos, p y q, en posición transversal y paralela entre
sí, como se muestra en la figura siguiente:
• Medir los segmentos 𝑆𝐴, 𝑆𝐴′ , 𝑆𝐵, 𝑆𝐵′ y los segmentos paralelos 𝑒 y 𝑓.
• Calcular la razón 𝑒 ∶ 𝑓 y compararla con 𝑆𝐴′ ∶ 𝑆𝐴 y con 𝑆𝐵′ ∶ 𝑆𝐵.
• Describir qué les llama la atención.
• Explicar el resultado con las propiedades de la homotecia.
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Concluir que, aunque las mediciones son individuales, siempre debe resultar:
𝑒: 𝑓 = 𝑆𝐴′: 𝑆𝐴
𝑒: 𝑓 = 𝑆𝐵′ ∶ 𝑆𝐵
Los palitos están en una situación de homotecia con el centro 𝑆. Las razones 𝑒: 𝑓, 𝑆𝐴′ ∶
𝑆𝐴 y 𝑆𝐵′ ∶ 𝑆𝐵 representan el factor 𝑘 de la homotecia y debe ser igual para cada par
de imagen y preimagen. La igualdad 𝑒: 𝑓 = 𝑆𝐴′ ∶ 𝑆𝐴 se llama teorema de Tales 2.
Práctica guiada
Transferir los experimentos a un caso particular, identificando el máximo de igualdades
entre las razones de los segmentos.
• 𝑙 ∥ 𝑚
• 6: 4 = 7,5: 5
• 4,5: 3 = 6: 4
• 4,5: 3 = 7,5: 5
¿Qué se espera lograr?
Se espera que los estudiantes apliquen el teorema de Tales en la resolución de problemas.
Clase 7 Práctica guiada
Resolver un problema aplicando el teorema de Tales y los conocimientos de
homotecias.
¿Cómo se puede determinar el ancho del riachuelo?
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Los segmentos 𝐵𝐶, 𝐵𝐷, y 𝐷𝐸 están medidos y con el teorema 2 de Tales se puede
determinar:
|𝐷𝐸|
|𝐵𝐶|=
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15≈ 3,5
Dado que hay una homotecia y los segmentos BC es paralelo a DE, se tiene que:
|𝐴𝐷|
|𝐴𝐵|≈ 3,5
Con el redondeo resulta:
|𝐴𝐷| = 3,5|𝐴𝐵|
Además, según el dibujo:
|𝐴𝐷| = |𝐴𝐵| + 25 → 3,5|𝐴𝐵| = |𝐴𝐵| + 25
3,5|𝐴𝐵| − |𝐴𝐵| = 25
|𝐴𝐵|(3,5 − 1) = 25
|𝐴𝐵| =25
2,5= 10
El ancho del riachuelo 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es de aproximadamente 10m.
Práctica independiente
Proponer actividades de resolución de problemas de aplicación de la homotecia y los
teoremas de Tales. Se sugiere realizar las actividades 4 a y 4 b en la página 93 del texto
del estudiante.
Reflexión
Proponer una actividad de reflexión y conjetura sobre la cantidad de paralelas y de
aplicaciones que se pueden dar con el teorema de Tales.
¿Se puede aplicar el teorema de tales para más
de dos paralelas que están cortando los dos rayos de la homotecia?
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Relevar aquellas respuestas que se basan en ejemplos numéricos y aquellas generales
que indican que es posible aplicar el teorema de Tales, ya que se pueden considerar
homotecias con el mismo centro 𝑆 y diferentes factores de homotecia 𝑘.
¿Qué se espera lograr?
Se espera lograr que los estudiantes apliquen homotecias con factores k negativos en diferentes
contextos.
Clase 8 Enmarcar
Motivar la aplicación de homotecias con factores negativos por medio de actividades
y experimentos. Por ejemplo, lo que ocurre con el funcionamiento de una cámara
oscura, que se utilizaban antiguamente para tomar fotografías.
¿Hay coincidencias con una homotecia?
Relevar aquellas respuestas que conjeturan que si hay coincidencias y completar con
la acción de trazar más rayos de la luz que provienen del faro.
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¿Qué llama la atención entre el faro (preimagen) y la imagen en la pared de la
cámara oscura?
Explicar la relación de este nuevo conocimiento con lo adquirido sobre la homotecia,
indicando que esto es una homotecia con centro negativo. La imagen en la pantalla
es semejante al objeto fuera de la cámara oscura. Todos los rayos de la luz que
provienen del objeto pasan por un orificio en la parte delantera de la cámara oscura.
Este orificio se puede modelar geométricamente con el centro de una homotecia. La
imagen está en dirección contraria al objeto que está de pie. La Imagen y preimagen
están en diferentes lados del centro de homotecia.
Ampliar el conocimiento
Se sugiere un trabajo experimental y colaborativo confeccionando una cámara oscura
y experimentando con ella.
Material
• 1 rollo vacío de papel de confort
• Papel de mantequilla
• Papel de aluminio
• Cartulina negra en ambos lados
• Rollo de scotch
• Aguja (en la mano del profesor) para perforar un orificio en el papel de aluminio.
• Velita de árbol de navidad
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Realización
• Armar con el papel de aluminio una tapa para un extremo del rollo.
• Armar con el papel de mantequilla una tapa para el otro extremo del rollo y que
sirva de pantalla de la camera oscura.
• Enrollar el rollo con la cartulina negra de tal manera que se forme un manto
alrededor del rollo y fijarla con una cinta de scotch.
• Pinchar con la aguja un orificio en el centro del papel de aluminio.
• Poner la velita frente al orificio en alguna distancia segura, prenderla y
observar por atrás de la pantalla de la camera oscura. Describir la figura.
• Variar la distancia de la velita acercándose al orificio. Describir la observación.
• Variar la distancia de la velita alejándose del orificio. Describir la observación.
Relevar aquellas observaciones en las cuales se indica que la imagen está invertida,
luego de pasar por el orificio de la camera oscura. Eventualmente, se esperan
esquemas de los resultados o dibujos explicativos e indicaciones tales como si se
acerca la velita hacia el orificio se agranda la imagen de la velita y si se aleja la velita
desde el orificio se achica la imagen de la velita.
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Práctica guiada
Transferir el experimento con la cámara oscura al modelo geométrico de una
homotecia.
¿Dónde debe estar el centro S de una
homotecia que modela la cámara oscura?
Explicar que el centro de la homotecia debe estar en cualquier parte de la línea
puteada entre los puntos 𝑃 y 𝑃´.
Construir la imagen 𝑄´ del punto 𝑄 mediante una homotecia dada por 𝑆 y el par de
puntos 𝑃 y 𝑃´, para explicar el porqué de la imagen invertida.
• Trazar una recta 𝑟 que pasa por el punto 𝑄 y el centro 𝑆.
• Trazar una recta 𝑔 por los puntos 𝑃 y 𝑄.
• Trazar una la paralela ℎ a la recta 𝑔.
• La recta ℎ interseca la recta 𝑟 en el punto 𝑄´.
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Práctica independiente
Proponer actividades de aplicación de homotecias con factor negativo. Se sugiere
realizar la actividad 2 en página 180 del texto del estudiante.
Reflexión
Proponer una actividad de conjeturar sobre el efecto que tiene el factor de homotecia
-1. Por ejemplo, preguntando ¿Cuál es el factor 𝑘 de una homotecia cuya imagen está
de cabeza y tiene el mismo tamaño?