PITGORAS Y ARQUMEDES

PITGORAS Y ARQUMEDES

Virginia L. Gonzlez Carlos A. DOrio

Pitgoras y Arqumedes

De la ciencia de la Grecia arcaica

A la

Ciencia de la Grecia helenstica.

a-e-i-o-u- Ediciones

Cuaderno N 77

A, e, i, o, u. Biblioteca. Popular. Digital. Artesanal.

Dirigida por Roxana Barth y Carlos A. DOrio. Bibliotecarios.

Este libro puede ser reproducido total o parcialmente, por todos los medios conocidos, dando fe de su origen y no ser con fines de lucro. Se entregarn como Noticia de creacin un ejemplar a una o dos bibliotecas populareswww.noticiadecreacion.blogspot.com

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PRLOGO

El hombre puede conocer con el pensamiento el mundo que lo rodea porque su pensamiento discurre de la misma manera que los fenmenos de la naturaleza. Las leyes ms generales del pensamiento y de la conciencia son las mismas que rigen a todos los fenmenos naturales.

Tratamos de demostrar que la matemtica no es una ciencia y s, el lenguaje de las ciencias. Esta surge, despus de la escritura, como primera forma del pensamiento cientfico. Slo una vez desarrollado este lenguaje pueden surgir las ciencias.

El grado de desarrollo de las fuerzas productivas y con l, el desarrollo poltico, econmico, social, es la base real del hacer cientfico. Pero es necesaria una relativa independencia de la ciencia respecto a la utilidad de los resultados para que esta pueda desarrollarse.

Pitgoras busca descubrir en los nmeros el lenguaje del universo y ve en los nmeros en si la vida de ese universo. Descubre as el lenguaje que une los fenmenos de las cosas con el fenmeno humano.

Con Pitgoras se inicia el camino que conduce por un lado a Arqumedes. Pitgoras es el primer filsofo que muestra un fenmeno natural en su correcta correlacin matemtica. Arqumedes continuando esto busca en la observacin y la experiencia la base para el conocimiento y en la relacin matemtica su expresin comprensible a la mente humana, retornando luego a la experiencia. Se inicia el camino que recorrera la ciencia hasta el presente, con sus marchas y contramarchas.

INTRODUCCIN

Desde que tenemos nocin de la existencia humana, los recuerdos que se han conservado a travs del tiempo pareceran decir que siempre el hombre se pregunt sobre el misterio de su origen, de su ser, de su destino, expresando en todas sus manifestaciones artsticas, cientficas, creativas en general esa pregunta que llevaba dentro de si. La vida constantemente present y presenta cosas que le llenan de asombro, de dudas, de admiracin y de miedo, de infinitud y limitacin.

En la caverna de Altamira se conservan pinturas representando escenas de caza como un convocar quien sabe a que fuerzas, para tener xito o quiz en un adelantarse a los acontecimientos. La sepultura, de los seres que moran, con comida y herramientas era como un preparar a los muertos en un viaje hacia lo desconocido. Los megalitos de Stonehengue, un grito a la inmensidad. Las Venus de amplio vientre y caderas como un canto a la fecundidad que creaba nuevos seres que llevaran con ellos la permanente pregunta. Leyendas y dioses creaba y crea el hombre como una incesante respuesta a la incgnita de su existencia.

Homero convoca a todos los seres, mezcla de dioses y de hombres, para afirmar su existencia.

En Jonia comienza el perfeccionamiento de los instrumentos musicales. La pintura, la escultura, la poesa son formas en las que el griego busca resolver el misterio de su existencia. Pero es slo con la Grecia de Tales y Pitgoras, con el descubrimiento de la razn, que podemos decir que surge la filosofa y la ciencia como una pregunta total sobre el hombre, su origen, su destino, su universo. Y es en sus incipientes respuestas que surgen las bases de casi todas las ciencias de la naturaleza y del espritu que hoy han alcanzado tan tremendo desarrollo, dando respuesta a multitud de preguntas pero, dejando en su despliegue, ms inquietante an, del porqu y para qu del hombre y su destino.

PITGORAS Y EL DESARROLLO DE LAS FUERZAS PRODUCTIVAS.

En la poca de Pitgoras el hierro ya se templaba, Homero (IX a. C.) compara el chirriar del madero en el ojo del cclope con el chirriar del acero al ser templado en el agua. An, arco y flecha, eran armas fundamentales. Los barcos a vela y de remeros surcaban los mares. Se usaba el vidrio, se hilaba y teja el lino, algodn y lana con rueca y telar de mano. El reloj de sol ya tena gnomon orientado. Haba balanzas de relativa exactitud. Se tean los tejidos.

Debieron pasar algunos siglos para que se conocieran las catapultas y la clepsidra, el reloj de agua. Slo en tiempos de Platn, Arquilas de Taranto inventa la polea y el tornillo.

La principal fuerza productiva era la mano de obra esclava que junto al campesino, con arados de mano, trabajaban la tierra, molan la harina, las semillas de aceitunas para extraer el aceite de oliva o las uvas para hacer vino.

Las ciudades eran desarrolladas. Mientras Atenas caminaba hacia la democracia, en Samos tierra de Pitgoras y el resto de Jonia se instala una tirana con Polcrates.

El desarrollo de las matemticas recin se iniciaba. Tales nace unos 60 aos antes, deduce el teorema que hoy lleva su nombre, predice el eclipse de sol del 28 de mayo de 585 a. C. No se conocan las cnicas (Menecmo, 350 a. C.). Slo en tiempos de Arqumedes (287 212) se conocen las leyes de la palanca y se calcula el dimetro de la Tierra.

Pensamos que la ubicacin en el nivel de desarrollo de una sociedad permite ver los lmites del pensamiento humano en la poca que se estudia. As, Marx, refirindose al anlisis del valor de las mercancas que hace Aristteles dice, lo que impeda a Aristteles leer en la forma-valor de las mercancas que todos los trabajos se expresan all como trabajo humano indistinto y por consiguiente iguales, era el hecho de que la sociedad griega se apoyaba en el trabajo de los esclavos y tena como base natural la desigualdad de los hombres y de sus fuerzas de trabajo. El secreto de la expresin del valor, la igualdad y la equivalencia de todos los trabajos, puesto que son trabajo humano y en la medida en que lo son - slo poda descifrarse en el momento en que la idea de la igualdad humana adquiere la tenacidad de un prejuicio popular. Pero ello ocurre nicamente en una sociedad en la cual la forma-mercanca se ha convertido en la forma general de los productos del trabajo y en la que, por ende, la relacin de los hombres entre si como productores de mercancas, que se intercambian entre s, es la relacin social dominante. El genio de Aristteles se exhibe en el hecho de que en la expresin del valor de las mercancas descubri una relacin de igualdad. El estado particular de la sociedad en que viva fue lo nico que le impidi encontrar el contenido real de dicha relacin (El Capital. Tomo 1, cap. 1, pg. 76).

PITGORAS Y LAS DUDAS DE SU EXISTENCIA

Pitgoras nace hacia el 572 a. C. , en la isla de Samos, cerca de Mileto, en el mar Egeo. Era una colonia jnica de griegos. No han llegado a nosotros escritos de este sabio pero s dichos y opiniones. No es posible discernir las creaciones de Pitgoras de las de sus discpulos o seguidores.

Del excelente libro de Kirk y Raven, con citas originales griegas de Herodoto, Herclito, Empdocles y comentarios por sus autores sacamos las conclusiones siguientes:

Pitgoras naci en Samos y alcanza su acm, los 40 aos, en 532 a. C. bajo el gobierno del tirano Polcrates. Huyendo de esta tirana se establece en el sur de Italia, parte de la Magna Grecia, en Crotona. All, segn Digenes Laercio alcanza una posicin poltica prestigiosa redactando leyes para los italiotas y adquiriendo renombre junto con tres cientos de sus discpulos. Realizan una excelente administracin de gobierno, de corte aristocrtico. Finalmente debe retirarse a Metaponto, localidad cercana, donde muere posiblemente en 500 a. C. La cudruple divisin o quadrivium que se conserv casi dos milenios se debe a Pitgoras, esta era, aritmtica o nmeros absolutos, msica o nmeros aplicados, geometra o magnitudes en reposo y astronoma o magnitudes en movimiento.

Los primeros pitagricos no disponan de una forma simple de notacin numrica, usaban un sistema similar a nuestro domin o dados. Los pitagricos enunciaron proposiciones como esta: La unidad es el origen y el comienzo de todos los nmeros, pero ella misma no es un nmero. Distinguieron los nmeros primos de los compuestos. Sin el simbolismo moderno algebraico, distinguan las cantidades dadas de las constantes. Los nmeros pares e impares recibieron nombres especiales al lado de las series de los cuadrados y los cubos. Junto a las series aritmticas y geomtricas ya conocidas estudiaron otras como la de los nmeros triangulares, 1, 3, 6, 10, 15, que se obtienen como sumas sucesivas de los nmeros naturales.

Empdocles dice de Pitgoras que era un hombre extraordinario de mxima sabidura, experto en toda clase de obras sabias, que vea con facilidad las cosas que existen en 10 o 20 generaciones de hombres.

NMEROS, RELIGIN Y POLTICA.

Matemticas viene del griego y significa, cosa aprendida, leccin, conocimiento, ciencia, arte, enseanza.

Los que aprendan y saban. Eso eran los pitagricos.

Pitgoras fund en Crotona una especie de hermandad o asociacin religiosa fuera de la cual no se poda divulgar la doctrina pitagrica. Escritos originales de Pitgoras slo aparecen en la poca de Filolao (fines del siglo V a. C.) por ello, muchos de los descubrimientos matemticos de la comunidad fueron atribuidos a Pitgoras.

Pitgoras, pensamos nosotros, funda esta comunidad para activar polticamente, sobre el mundo, sobre la sociedad crotoniense, y, la teora de esta accin est basada en el estudio de las leyes de las matemticas y el secreto era parte de la actividad poltica. Hay una serie de reglas a las que deban ajustarse los pitagricos que, no parecen ms que reglas de la conspiracin.

Rega la igualdad, incluso con las mujeres, Porfirio, en su vida de Pitgoras, cita a Teano, una mujer que se hizo tambin famosa y que se cas con Pitgoras.

Los pitagricos crean en la trasmigracin de las almas. El alma recorre cuando muere, primero animales de tierra, luego de mar y finalmente de aire. Esta doctrina sugiere en el fondo la unidad de todo lo viviente.

La concepcin de que la substancia del alma est emparentada con el ter, o la substancia de los astros, parece que haba existido ya durante algn tiempo como parte del complejo cuerpo de creencias populares. Fue, posiblemente Pitgoras el primer griego que, de un modo explcito la consider como algo de importancia moral K y R. pg. 23.

El Repblica, 600 a, b, segn la traduccin citada por K y R., Platn dice refirindose a Pitgoras, fue especialmente amado por su trato y, sus discpulos, conservando an hoy da su norma de vida, se distinguan de alguna manera de todos los dems hombres.

Los pitagricos estaban de acuerdo con los dems fsicos en que el ser existe en tanto y en cuanto es sensible. Pero partan de unos principios abstractos cual son los nmeros.

A la muerte de Pitgoras, la escuela se dividi en dos sectas, la de los acusmticos y la de los matemticos que se cio al campo cientfico.LA MATEMTICA PITAGRICA.

Para algunas clases de enseanza escolar.

Pitgoras descubre la relacin que hay entre los sonidos emitidos por una cuerda vibrante y su longitud. Si una cuerda de un monocordio emite el Do, la cuerda dividida en dos emitir el Do, pero ms agudo. ( ver apndice 1)

Junto a las series aritmticas y geomtricas ya conocidas, estudiaron otras como la de los nmeros triangulares, 1, 3, 6, 10, 15 que se obtienen como sumas sucesivas de los nmeros naturales, 1, 2, 3, 4, 5, 6

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 101 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 * 1 hasta aqu 1

* * 2 hasta aqu 3

* * * 3 hasta aqu 6

* * * * 4 hasta aqu 10

* * * * * 5 hasta aqu 15

Si esta pirmide la interrumpimos en 4

* 1 hasta aqu 1

* * 2 hasta aqu 3

* * * 3 hasta aqu 6

* * * * 4 hasta aqu 10

Obtenemos la tetraquis de la dcada, por ella hacan sus ms solemnes juramentos.

La serie de los nmeros cuadrados se obtiene sumando sucesivamente los nmeros impares:

* 1 1 1

* * * 3 1+3=4 2

* * * * * 5 1+3+5=9 3

* * * * * * * 7 1+3+5+7=16 4

* * * * * * * * * 9 1+3+5+7+9=25 5

* * * * * * * * * * * 11 1+3+5+7+9+11=36 6

La serie 2, 6, 12, 20, 30 se obtiene sumando los nmeros pares:

* * 2 2=2

* * * * 4 2+4=6

* * * * * * 6 2+4+6=12

* * * * * * * * 8 2+4+6+8=20

* * * * * * * * * * 10 2+4+6+8+10=30

O bien multiplicando cada par de nmeros naturales sucesivos:

1x2=2

2x3=6

3x4=12 4x5=20

5x6=30

Si construimos una serie de cuadrados o paralelogramos semejantes cuyos lados sean 1,3,5,7, la figura que debe aadirse a cada uno de ellos para obtener la siguiente fue llamada por los griegos gnomon, cuya rea estara representada por un trmino de la serie de los nmeros impares, interesante costumbre griega de combinar la geometra con la teora de los nmeros.

9 + + + + + + + +.+ + 7 + + + + + + Cuadrados y sus diferencias + + 5 + + + + impares.+ + +

+ + + 3 + ++ + + ++ + + + 1

As como el producto de dos nmeros estaba asociado con reas cuadrada o rectangular el producto de tres factores se interpretaba como un volumen.

La serie de nmeros impares y la de sus cuadrados:

1 =1 1 = 1 = 1

+

1+3 =4 4 = 2 = 3

+

1+3+5 =9 9 = 3 = 6

+1+3+5+7 = 16 16 = 4 = 10 +1+3+5+7+9 = 25 25 = 5 = 15 +1+3+5+7+9+11 =36 36 = 6 = 21LA GEOMETRA PITAGRICALos pitagricos formularon las definiciones de los elementos fundamentales, lnea, superficie Desarrollaron una teora bastante completa del tringulo. Demostraron que la suma de sus ngulos es igual a dos rectos. Una teora de los cuerpos csmicos. Conocan los cinco poliedros regulares. Euclides demostr que no son posibles ms.

Pitgoras estableci la prueba matemtica. Fue el primer europeo que insisti en que los postulados (axiomas) deben establecerse al principio, en el desarrollo de la geometra y que todo el desarrollo descansa en las aplicaciones del razonamiento deductivo partiendo de esos axiomas.

Antes de Pitgoras nadie se haba dado clara cuenta de ello, la geometra haba sido una coleccin de reglas a las que se haba llegado en forma emprica, sin una clara indicacin de que estuvieran relacionadas entre s y sin la ms leve sospecha de que pudieran deducirse de un nmero relativamente pequeo de postulados.

Axioma, verdad evidente por si misma.

Postulado: suposicin arbitraria establecida por el matemtico mismo. La segunda contribucin sobresaliente de Pitgoras es el descubrimiento que, le humill y le desol, de que los nmeros naturales comunes, 1, 2, 3 son insuficientes para la construccin de la matemtica, hasta la forma rudimentaria en que l la conoci. Antes de este capital descubrimiento predic como un profeta, que toda la naturaleza, el universo entero, fsico, metafsico, mental, moral, matemtico estn construidos segn la norma discontinua de los nmeros naturales 1, 2, 3 y slo es interpretable en funcin de estos ladrillos proporcionados por Dios. Dios, declara Pitgoras, es en efecto nmero, y por nmero quera referirse al nmero natural comn.

Sin embargo he aqu lo que haba derrumbado su teora: es imposible encontrar dos nmeros naturales tales que el cuadrado de uno de ellos sea igual al doble del cuadrado del otro. Esto puede ser probado por un simple razonamiento que est al alcance de cualquiera que tenga nociones de lgebra elemental. En realidad Pitgoras encontr su tropiezo en geometra, la razn entre el lado de un cuadrado y una de sus diagonales no puede ser expresada como razn de dos nmeros naturales. En otra forma podemos decir que la raz cuadrada de 2 es irracional, o sea que no es igual a un nmero natural o fraccin decimal exacta, o suma de los dos, obtenida dividiendo un nmero natural por otro. Un concepto geomtrico tan simple como el de la diagonal de un cuadrado, desafa a los nmeros naturales 1, 2, 3, 4 y niega la primitiva filosofa pitagrica.

Parece ser que Pitgoras fue el primero entre los griegos que adopt la idea de que la Tierra es una esfera y otro pitagrico de que tena movimiento sobre su rbita. Identific las estrellas de la maana y las de la tarde. Su universo era una esfera dotada de una especie de vida.

PITGORAS Y LA UNIDAD DEL MUNDO

Para Pitgoras la esencia del mundo estaba dada por su unidad. La mnada, el uno, era la base de la perfeccin.

Si partimos de que el mundo parte y es la unidad de all se deriva la posibilidad de su cognoscibilidad, porque hay un nico lenguaje de los procesos mentales con el resto del mundo natural.

Hay una unidad entre pensamiento y desarrollo de los procesos naturales por su origen nico. Si el pensamiento es la culminacin de un largo desarrollo, desde la construccin del Universo, de los ncleos atmicos ms livianos, las estrellas, la construccin de ncleos ms pesados, los procesos qumicos de autoduplicacin, la vida, el pensamiento, la vida social y la conciencia humana, es evidente que el pensamiento abarca y sintetiza todas las leyes del devenir.

Pero es claro que la demostracin y la comprobacin de la unidad del mundo slo est dada por la experiencia y en cierta forma est fuera del pensar racional, por ello la afirmacin hecha al comienzo de nuestra exposicin:

El hombre puede conocer con el pensamiento el mundo que lo rodea porque su pensamiento discurre de la misma manera que los fenmenos de la naturaleza. Las leyes ms generales del pensamiento y de la conciencia son las mismas que rigen a todos los fenmenos naturales . Debera tomarse como un postulado bsico , anterior a toda demostracin y de l partimos para realizar este estudio.

Despus de Pitgoras el hombre trat de expresar todos los fenmenos del mundo real en relaciones numricas y se pregunt si estas relaciones reflejan realmente el mundo de las cosas y pueden ser las cosas mismas o son slo una aproximacin del conocimiento que van siendo sustituidas por nuevas relaciones. O an ms, son slo ilusiones que slo reflejan el mundo interior del hombre sin relacin con el mundo real?

Desde que Pitgoras redujo a relaciones numricas los sonidos de la escala musical todos los fenmenos naturales tuvieron su expresin numrica. Algunos nmeros tienen una atraccin especial y parecen abarcar el Universo entero. Las constantes de atraccin universal G, la velocidad de la luz c, la del cuanto de accin h y la de probabilidad de Boltzman k entre otras. Pero ser despus de todo que estas constantes podrn reducirse a una nica relacin como notas de una cuerda vibrante pitagrica donde el uno reine por sobre todos o, detrs de cada nmero volver a desplegarse otra vez la naturaleza en su infinita policroma?

ARQUMEDES DE SIRACUSA

(287-212 a. C.)

Arqumedes naci en Siracusa (Sicilia) en el ao 278 a. C. Hijo del astrnomo Fidias, de quin seguramente hered su vocacin cientfica, estaba vinculado de alguna manera con la familia real. Estudi en Alejandra y sus maestros fueron Conos de Samos, Dosieto de Pelusa y Eratstenes. Dedic toda su vida a la investigacin cientfica, no obstante ello su vida estuvo plagada de ancdotas. La ms conocida es narrada por Vitrubio en Sobre la arquitectura: Arqumedes hizo muchos inventos admirables y variado pero, de todos, el que voy a exponer me parece que manifiesta una sutileza infinita. Cuando Hiern reinaba en Siracusa, por los xitos logrados en sus empresas , se propuso ofrecer en un cierto templo una corona de oro a los dioses inmortales; contrat el trabajo a un precio estipulado y pes una exacta cantidad de oro que dio al contratista. El artesano entreg en la fecha acordada y con satisfaccin del rey, una pieza de orfebrera exquisitamente terminada, y correspondiendo el peso de la corona exactamente al peso del oro entregado.

Sin embargo, hubo indicios despus, de que le haban quitado ora a la corona y aadido una parte igual de plata. Indignado Hiern por la ofensa y sin encontrar la manera de poder probar el hurto, rog a Arqumedes que estudiara el asunto. Mientras se ocupaba de esto, Arqumedes fue por casualidad al bao pblico y, al introducirse en la baera, se dio cuenta de que sala tanta agua fuera de esta como parte de su cuerpo haba entrado. No se qued as, sino que saltando fuera de la baera, movido por la alegra y, yendo desnudo a su casa, gritaba diciendo que haba encontrado lo que quera. Porque mientras corra exclamaba, Eureka, Eureka!

Se dice entonces que siguiendo su descubrimiento, hizo dos masas de peso igual al que tena la corona, una de oro y otra de plata. Despus llen de agua hasta el borde un vaso amplio. En l puso la masa de plata, lo que hizo salir una cantidad de agua igual al volumen de esa masa. Sac entonces la masa y volvi a llenar el vaso con una cantidad de agua igual a la que haba salido y, que procur medir. De este modo encontr cuanta agua corresponda a la masa de plata. Una vez sabido esto, puso igualmente la masa de oro en el vaso llena y, despus de quitarla, aadi por el mismo motivo el agua que faltaba, encontrando que no era la misma que antes sino, menos y la cantidad menor era el exceso de una masa de plata, con el mismo peso sobre una base de oro. Despus de llenar de nuevo el vaso, puso en el agua la corona misma, y encontr que corresponda ms agua a la corona que a la masa de oro del mismo peso. Reflexionando pues sobre el hecho de haber ms agua para la corona que para la masa de oro hall que haba mezcla de plata en el oro y, puso en claro el hurto del contratista. (Ver apndice 2).

Dadme un punto de apoyo y mover el mundo. Plutarco de refiere a esta clebre frase del siracusano del siguiente modo: Arqumedes, pariente y amigo del rey Hiern, le haba escrito que es posible, con una fuerza dada, mover un peso dado. Y dicen, que movido de manera juvenil por la fuerza de la demostracin, afirm que si dispusiera de otra Tierra, una vez pasado a ella, podra mover la primera. Hiern se maravill y le pidi que pusiera en marcha el problema y le mostrara algo grande movido por una fuerza pequea. Arqumedes hizo remolcar a tierra una nave real de tres palos, con gran esfuerzo y muchos brazos, introdujo en ella una multitud de hombres y la carga ordinaria y, sentado a distancia, movi sin esfuerzo y tranquilamente con la mano izquierda un sistema de cables y poleas y acerc el barco tan lisamente y sin obstculos como si corriera por el mar. Atnito el rey y viendo el poder de la mquina, convenci a Arqumedes para que le construyera mquinas de ataque y defensa para todo tipo de asedios.

Mientras los pitagricos se debatan entre mantener su visin del mundo y mutilar a la geometra o, mantener a la geometra y anular su metafsica, los matemticos encararon el problema tcnicamente. Eudoxo de Cnido encuentra una salida, la cual se resume en una definicin, un principio y un mtodo. Define las proporciones (igualdad de razones), que luego son incluidas por Euclides en sus Elementos. Arqumedes, por su parte, incluye esta definicin como postulado en su libro De la esfera y del cilindro, ya que su intuicin matemtica le advierte de que se trata de una proposicin de la cual se puede partir, o sea un postulado. Hoy este postulado es el ms importante postulado de la continuidad, indispensable en el anlisis infinitesimal. Es por eso de que se advierte en los escritos de Arqumedes una estrecha analoga con los mtodos infinitesimales actuales, con los cuales se pueden calcular las cuadraturas y curvaturas de Arqumedes mediante integrales definidas. En este postulado, desempea un papel fundamental el mtodo de exhaucin, ideado y aplicado por Eudoxo, ya que es la traduccin geomtrica de la operacin del paso al lmite, caracterstica de los mtodos infinitesimales. En casi todos los trabajos de Arqumedes se ven determinaciones de centros de gravedad, reas y volmenes obtenidos a travs del mtodo de exhaucin. Pero como este mtodo demostrativo exige el conocimiento previo del resultado por demostrar, surge el interrogante: Cmo obtena Arqumedes esos resultados que luego demostraba rigurosamente?

Tal vez sea el momento de mencionar el escrito ms importante de Arqumedes: El Mtodo

La esencia de las demostraciones de las proposiciones de El Mtodo se deducen de una cualquiera de ellas.

Veamos un ejemplo:

Determinar la equivalencia de un slido A con otro slido conocido. Estas proposiciones comprenden tres etapas:

1) Geomtrica. Se compara una seccin s del slido A, a una distancia x de un punto fijo o con la seccin o secciones S conocidas y se establece la proposicin:

s : S = x : h

siendo h una distancia fija.

2) Mecnica: Se considera la proporcin anterior como condicin de equilibrio entre las secciones s y S que estn suspendidas en loa extremos de una palanca con punto de apoyo en o y a las distancias h y x , respectivamente. (Ver apndice 3)

Hasta aqu, el proceso que se sigue es riguroso y el resultado se deduce de los postulados o teoremas demostrados en otros trabajos.

3) Etapa final. Utilizando la perfrasis: las secciones llenan o compones el slido, Arqumedes traslada todas las secciones de A a la distancia h suspendindolas con el centro de gravedad comn y supone que esta superposicin recompone el slido A (absurdo). Deduce luego que el slido A a la distancia h de o, equilibra el slido conocido y, como conoce el centro de gravedad de este encuentra la relacin buscada del slido A con slidos conocidos.

En El Mtodo, Arqumedes calcula la superficie de un segmento de parbola empleando en mtodo de exhaucin y calcula por medios mecnicos con una imaginaria palanca los pesos de dos figuras, una de un valor fcilmente calculable y la otra cuya superficie busca, tenemos as la ley de la palanca que an emplean los metalrgicos. (ver apndice N 3). Pero en su obra Arqumedes, si bien trat de comprender la manifestacin numrica de los fenmenos, no trata de sustituir su esencia por nmeros. La esencia seguir desconocida. Es slo la forma de la materia la que est expresada por nmeros. Pero, en la relacin esencia y forma, no es la forma la esencia de las cosas?

Arqumedes hizo grandes contribuciones a la astronoma, a la mecnica y a la matemtica aplicada. Invent mtodos para encontrar las reas de figuras planas curvilneas y los volmenes limitados por superficies curvas y aplic estos mtodos a muchos casos especiales, incluyendo el crculo, la esfera, segmentos de parbola, el rea limitada por dos radios y dos pasos sucesivos de una espiral, segmentos de una esfera y segmentos de superficies engendradas por la revolucin de rectngulos (cilindros), tringulos (conos), parbolas (paraboloides), hiprbolas (hiperboloides) y elipsis (esferoides), alrededor de sus ejes principales. Ide un mtodo para calcular la razn de la circunferencia de un crculo y su dimetro y fij un valor de entre 3,1/7 y 3,10/71.

Tambin encontr mtodos para hallar las races cuadradas aproximadas, lo que muestra que se anticip a la invencin hecha por los hindes respecto a las fracciones continuas peridicas.

Adems de sus escritos perdidos, podemos citar:

- De la esfera y del cilindro (libros I y II) de los cuales citaremos el siguiente teorema:

La superficie de una esfera es equivalente a 4 veces su crculo mximo. Hoy escribimos S = 4..r

- Medida del crculo: tratado breve compuesto por tres proposiciones. La tercera es: El permetro de todo crculo es menor que el triple del dimetro aumentado de la sptima parte, pero es mayor que el triple del dimetro aumentado los 10 setenta y un avo de partes del mismo Siendo D el dimetro y P el permetro:

(3+10/71).D < P < (3+1/7).D Igual a:

223/71 . D < P < 22/7. D

A su vez:

3,14084 D < P < 3,142857.D

El promedio de estos dos valores da:

3,14185 frente al valor actual de: 3,14159

LA MECNICA DE ARQUMEDES

Expresa los primeros teoremas matemticos que se conocen. En sobre el equilibrio de los planos determina el centro de gravedad de una serie de figuras.

En el estudio de la palanca, Arqumedes admite desde el principio como evidentes:

1.- Magnitudes de igual peso que actan a igual distancia del punto de apoyo se equilibran.

2.- Magnitudes de igual peso que actan a distancias desiguales del punto de apoyo no se equilibran y, desciende la que est situada a la mayor distancia.

De estas proposiciones se deduce:

3.- Magnitudes conmensurables o inconmensurables se equilibran cuando son inversamente proporcionales a sus distancias al punto de apoyo.

LA COMPARACIN ENTRE PITGORAS Y ARQUMEDES.

1.- Pitgoras nace en la llamada Grecia arcaica, entre los aos 580 520 a.C.

Arqumedes en la Grecia Helenstica en los tiempos de Alejandra entre los aos 287 212 a. C.

2.- Entre Pitgoras y Arqumedes no slo han trascurrido ms de tres siglos sino que la ciencia y la tcnica han avanzado considerablemente. Grecia es un imperio que abarca todo el Mediterneo. Eratstenes ha medido el dimetro de la Tierra y trazado mapas que amplan el mundo conocido. 3.- Pitgoras no logra desprenderse de los dioses para interpretar la ciencia, esta le sirve no slo para cuantificar los dioses sino, que son los dioses mismos. Arqumedes no los nombra en ningn tratado.

4.- Para Pitgoras, los nmeros, en ltima instancia, son las cosas mismas.

Para Arqumedes los nmeros son un medio para acercarse, comprender y trasformar la realidad.

5.- La experiencia poco cuenta para Pitgoras. Para Arqumedes los nmeros son base de nuevas ciencias, el principio de las ciencias.

6.- Pitgoras es el primer sabio que form escuela que perdur por siglos. Arqumedes no form escuela pero ech las bases de las ciencias que an hoy perduran.7.- Pitgoras arranca de la experiencia (escala musical y sus relaciones numricas), pero como est construyendo un lenguaje, casi se desprende de ella. Arqumedes retorna permanentemente a ella y echa las basas de nuevas ciencias, de la mecnica, de la hidrosttica

8.- Para Pitgoras la ciencia es la bsqueda de un modo de vida, la relacin concreta con el Todo. Es esencialmente un filsofo, un conductor religioso y social.

Arqumedes no es un filsofo, no busca hacer coincidir la vida con la filosofa, Vive como un investigador y busca resultados cientficos.9.- Puede verse en toda la historia anterior del pensamiento que la religin, las matemticas y la astronoma tienen una estrecha relacin en el desarrollo de ese pensamiento. Pitgoras en este sentido contina con esta tradicin. Es un conductor religioso, poltico, mstico.

Arqumedes, rompiendo con esa tradicin mira los resultados matemticos como valederos en relacin con la experiencia. Arqumedes es un cientfico.CONCLUSIN:La ciencia actual parece ser la sntesis de estos dos hombres. Y, el nmero la esencia de todo.

Qu es ese tomo de esencia nica y los elementos de la tabla peridica, cuya esencia es el nmero, el nmero de orden?

Y los Quarks, esencialmente nmeros.

Pitgoras busca en el nmero la unidad del mundo que los filsofos milesianos buscaban en el agua, el aire, el apeirn.

Hoy la ciencia se manifiesta fundamentalmente en nmeros, creando la ilusin de que en ltima instancia el nmero es la realidad.

Dijimos que el hombre puede conocer con el pensamiento el mundo que lo rodea porque su pensamiento discurre de la misma manera que los fenmenos del mundo de las cosas. Las leyes generales del pensamiento y de la conciencia son las mismas que rigen a toda la materia.

No obstante esto, la ciencia slo puede surgir cuando es posible la relativa independencia del conocimiento de los resultados prcticos que de l puedan obtenerse. Surge en Grecia y muere por un tiempo con ella. Pero por otro lado la ciencia se realimenta despus, por la confirmacin y utilizacin de sus resultados.

En el andar histrico, la ciencia para desarrollarse necesita de un acumular de datos de la experiencia, de un crecimiento del mundo real. As, despus de desaparecer con Grecia, durante la Edad Media, acumula y resurge como ciencia otra vez con Galileo.

En nuestros das es posible que existan juntos la acumulacin por trabajadores cientficos, ligados en su quehacer a resultados inmediatamente utilizables y el trabajo de cientficos que hacen ciencia como actividad independiente del pensamiento pero, no pudindose en muchos casos separar claramente ambas actividades, ms an, marchamos a la unidad de ambos quehaceres, cuando la ciencia sea el producto de todo el que trabaja.

La necesidad de que la bsqueda, la investigacin deje de ser algo ligado a otro quehacer y se trasforme en el quehacer en s mismo, que dejando de ser algo en si, pase a ser algo para s, transformndose en ciencia. Por ejemplo, la actividad fsica pasa a deporte cuando el deporte da su propia respuesta.

En un comienzo la separacin del que piensa del que trabaja permite pasar al pensamiento cientfico ( Grecia, desprecio del trabajo fsico, nacimiento de la ciencia). Luego esa misma separacin conservada en el mundo del pensamiento detiene el desarrollo cientfico ( Edad Media. La idealizacin en esta poca de Aristteles llev a despintar a las esculturas griegas que estaban vistosamente coloreadas por sus creadores). Luego el investigador redescubre la prctica (Galileo, etc.) y resurge en nueva forma la ciencia.

La matemtica surge quiz como la primera ciencia porque la inteligencia humana discurre como la propia naturaleza y los nmeros son la forma ms general con que nos unimos cientficamente a ella.

Si bien debemos recordad con nfasis de que la ciencia surge de la experiencia en el caso de la ciencia de los nmeros, estos comparten una doble existencia. Para contar aprendimos a contar animales, pero detrs de esto hay algo ms, los nmeros son a la vez formas del pensar, entes naturales y entes del pensamiento humano.

Mientras que en otras ciencias digamos, la qumica, slo despus de mucho tiempo pudo disearse una combinacin qumica ms o menos compleja, con los nmeros podemos avanzar en mucho sin la relacin directa con la experiencia.

Y otra vez estamos en el comienzo, la unidad del hombre con el todo no se hace slo con los nmeros, son ellos quiz un camino. Faltan los colores expresables tambin en nmero de onda, pero estos nmeros no son los colores, sino su paso por la razn. Y, la msica tambin expresable por nmeros pero que no son la msica misma. Debemos volver a pintar con colores vivos el blanco mrmol de la ciencia para lograr que ella como todos los dems quehaceres humanos sirvan para el hombre concreto que vaga por el mundo con el alma perdida, trasformado en nmero, el nmero de desocupados por que la ciencia es mal utilizada y mal comprendida y se usa no para descubrir el mundo sino para destruirlo.

BIBLIOGRAFA

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Gilles Cohen Tannoudji. Les constantes universelles et la phisique de lhorizon. La Recherche. Pag. 756-759. N 278. J. A. 1995.APDICES

Apndice 1.Para algunas clases de la enseanza escolar.

Los sonidos y los nmeros.

Los griegos haban inventado un instrumento llamado monocorde con el cual, dicen, que Pitgoras demostr que la longitud de la cuerda tiene una relacin de:

2/1 para la octava nota

4/3 para la cuarta nota

3/2 para la quinta nota

El monocorde:

Si la cuerda tensada produce por

ejemplo, el do, dividida en dos partes

iguales producir un do una octava ms

alta. Si dividimos el espacio en 24

partes iguales, los 3 primeros 24 avos

darn el re, 3 ms, darn el mi, 2 ms darn el fa, 4 ms el sol, 4 ms el la y 5 ms el si.

La escala diatnica (do, re, mi, fa, sol, la ,si, do) es una sucesin particular de tonos y semitonos utilizada por los griegos y transformada en la escala de referencia de la msica occidental. La altura de sus notas se puede caracterizar de manera unvoca por la frecuencia de vibracin de las ondas sonoras asociadas. La relacin existente entre dos notas es llamada intervalo `por los msico. As el intervalo entre el do y el sol se llama quinta y entre el do y el do situado siete notas ms arriba se llama octava. Estos intervalos son muy estables para la percepcin, pero las relaciones de frecuencia precisas que les caracterizan han variado en el curso de la historia segn la evolucin de las teoras musicales.

Nota: do1re1mi1fa1 sol1 la1 si1 do2Frec. 65,273,481,5687 97,87 108,7 122,3 130,5Interv 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

Los pitagricos haban determinado las relaciones no, de frecuencia pero s de longitudes de la cuerda vibrante, la cual es equivalente a la inversa (la frecuencia es la inversa de la longitud de onda) Expresaban todas las relaciones bajo la forma de proporciones de nmeros enteros, potencias de 2 y 3.

La escala pitagrica contiene la relacin de frecuencia siguiente, dada por cada nota en relacin al do original:

doremifasollasi do

19/881/644/33/227/16243/728 2

BIBLIOGRAFA

Assayag, G. y Cholleton, A. Musique, nombres et ordinateurs. La recherche N 276julio-agosto 1995, vol 26 pg.809

Prelat, Carlos A. El mundo de las vibraciones y de los sonidos Espasa Calpe. Bs. As. 1991.

APENDICE 2

Sobre la determinacin de la densidad.

Oro D= 19,3

Densidad de la corona 100g de Ag = 9,2 cm3 Plata D=10,5

Oro, 100 cm3 Plata 100 cm3DIAGRAMA 1

Volumen de la corona100g de Au, 5,18 cm3

Oro, 100g Plata 100g

DIAGRAMA 2

(Nota las dimensiones son aproximadas)En Los cuerpos flotantes Arqumedes establece los fundamentos de la hidrosttica: Postulamos que la naturaleza de un fluido es tal que estando sus partes dispuestas de una manera uniforme y continua, las partes menos comprimidas son desplazadas por aquellas que lo estn ms, mientras que cada parte est comprimida por el fluido situado encima de ella y segn la direccin de la vertical, salvo que ese fluido est encerrado en algunas partes o est comprimido por alguna otra cosa. Un cuerpo menos denso que el fluido y abandonado en l no se sumergir totalmente, sino hasta que el volumen del fluido desalojado por la parte sumergida tenga igual peso que el de todo el cuerpo

Se dice que Arqumedes en su investigacin sobre la corona de oro haba medido la diferencia de los volmenes desalojados por cuerpos de igual peso pero de diferente densidad y as comprobado que la corona estaba fabricada por una aleacin y no por oro puro.

Los metales, oro y plata, solidifican en el mismo sistema cristalino, sistema cbico de caras centradas y la longitud de las aristas del cubo unitario son prcticamente iguales en los dos metales. Esto permite la formacin de soluciones sin variacin de los parmetros, sustituyendo un tomo metlico por otro en la red cristalina, lo que permite predecir variaciones lineales de volmenes y densidades en las diversas aleaciones de oro y plata.

En el grfico n 1 tomamos en las ordenadas las variaciones de la densidad para un volumen constante de 100 cm3 de aleacin, variando la composicin.

En el grfico n 2, el que posiblemente poda haber tenido en mente Arqumedes, las ordenadas representan el volumen de la aleacin y las abscisas, la relacin en peso de oro y plata en 100 gramos de aleacin.

En un diagrama de fases, la aleacin a una temperatura en la cual coexisten las dos fases, slida y lquida, la relacin entre ellas se calcula con una supuesta palanca como se ve en la figura 1.

En una operacin, en lo que a la palanca se refiere, que es similar al clculo de la superficie del segmento de parbola, los metalrgicos calculan de esta manera la relacin slido lquido en una aleacin en proceso de solidificacin o de fusin.

PITGORAS Y ARQUMEDES

De la ciencia de la Grecia Arcaica a la ciencia de la Grecia Helenstica.

Virginia L. Gonzlez y Carlos A. DOrio

Seminario de Historia de las ideas cientficas, profesor Miguel de Asa.

Universidad Nacional de San Martn. 1996

Terminado de imprimir en Villa Marqus de Aguado, Partido de Gral. San Martn, en diciembre de 2012

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