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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

Enrique Guzmán y Valle

“Alma Mater del Magisterio Nacional”

VICERRECTORADO ACADÉMICO

DIRECCIÓN DEL INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN

“Modelos de Interacción como Estrategia Metodológica en la Resolución de Problemas para el Aprendizaje de la Matemática en los alumnos del 6to. Grado de Educación Primaria, en las Instituciones Educativas Estatales, UGEL Nº 1, San Juan de Miraflores”.

MIGUEL ALEJANDRO JARA AHUMADA

Docente Investigador Responsable

DE LA PEÑA OLARTE, Ramón ALVAREZ ESPINOZA, MANUEL Docente Investigador Docente Investigador

PAZ MIRANDA, Susana Magali Docente Investigador

La Cantuta, 18 de diciembre del año 2010

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a. DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO

a.1. TÍTULO

“Modelos de Interacción como Estrategia Metodológica en la Resolución de

Problemas para el Aprendizaje de la Matemática en los alumnos del 6to. Grado

de Educación Primaria, en las Instituciones Educativas Estatales, UGEL Nº 1,

San Juan de Miraflores”.

b. EJECUTORES

b.1. Docente Investigador Principal

Miguel Alejandro JARA AHUMADA

Docente Principal a Dedicación Exclusiva

Doctor en Ciencias de la Educación

Facultad de Pedagogía y Cultura Física

b.2. Docentes Investigadores

De la Peña Olarte, Ramón

Docente Asociado a Dedicación Exclusiva

Magister en Educación Física

Facultad de Pedagogía y Cultura Física

Espinoza Alvarez, Manuel

Docente Asociado a dedicación exclusiva

Licenciado en Educación Física

Facultad de Pedagogía y Cultura Física

Paz Miranda, Susana Magali

Docente Auxiliar

Licenciada en Educación Primaria

Facultad de Pedagogía y Cultura Física

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c. JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN

c.1. Justificación y viabilidad de la investigación Propósito La investigación, mediante la aplicación de la teoría y los conceptos básicos, resolución de problemas en el área matemática, explicará las situaciones internas (desmotivación, eficacia en los aprendizajes) que afectan el proceso enseñanza aprendizaje en las matemáticas. Relevancia social Resulta muy importante para el hombre y la sociedad, facilitar al niño la resolución de problemas, a partir del conocimiento y la aplicación de las matemáticas, sobre cuya aplicación construya sus propias estrategias y adquiera habilidades en la solución de sus problemas que le suscitan en su vida diaria. La investigación va a beneficiar así al alumno como al docente y a la sociedad. Relevancia pedagógica Una de las estrategias de gran importancia en esta investigación es el uso adecuado de resolución de problemas, de los cuales muchos docentes no son conscientes de su importancia en el aprendizaje de los niños del sexto grado de educación primaria, desechando la resolución de problemas como estrategia de aprendizaje. La resolución de problemas como estrategia metodológica tendrá fines educativos, beneficiando al alumno, aprenderá las matemáticas haciendo lo que le gusta resolviendo problemas de su vida real y no le será traumático el paso al siguiente nivel. La relevancia se materializa por solución de los diversos problemas que permitirán el desarrollo de la creatividad del niño y del docente en el logro de actividades significativas.

d. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

d.1. DETERMINACIÓN DEL PROBLEMA

Las políticas de la educación peruana, para los diferentes niveles, los diseña el Ministerio de Educación, a través de las personas de turno y encargadas de la gestión pedagógica y administrativas. Las políticas educativas tienen seguimiento, solamente permanecen vigentes mientras los autores y gestores se mantienen en el gobierno de turno. La gestión pedagógica se materializa, a nivel de la Institución Educativa, en el documento llamado Proyecto Educativo Institucional, el mismo que contiene: la identidad de la Institución Educativa, el diagnóstico, la

propuesta pedagógica y la propuesta de gestión. A cada Institución Educativa y a cada docente (a nivel de aula), le interesa la diversificación, con la finalidad de adaptar las políticas educativas a la realidad –geográfica, cultural, social, económica– de la respectiva institución. Sin embargo, esta

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diversificación jamás se hace, porque los docentes no tienen interés ni motivación, en algunos casos; en otros, no han entendido el documento y los lineamientos pedagógicos, incluso carecen de capacitación y entrenamiento al respecto. Las instituciones educativas y los docentes se mueven en una rutina e inercia de indiferencia, pasividad y desmotivación. Desde el Ministerio de Educación, se propone una metodología para el Área de Matemática, llamada Resolución de Problemas, que comprenden: Modelos de Interacción docente, alumno y contenido, Modelo Guzmán, y Modelo Polya. Estos modelos de problemas permiten que el niño, mediante la actividad lúdica, ejercite sus capacidades lógicas y matemáticas, además potenciar las capacidades y habilidades de creatividad. Al respecto, se observa que los docentes del área referida se muestran indiferentes, resistentes al cambio, rudos, pasivos. Esta es una verdadera radiografía de la docencia peruana, cuyas consecuencias son demasiado terribles para la educación y los niños de nuestro país. Por ejemplo, se hizo la evaluación1 que cubrió los dominios de lectura, matemática, cuyo propósito fue obtener un perfil básico de conocimiento y habilidades, obtener indicadores contextuales que permita relacionar los resultados con las características de los estudiantes y escuelas. En esta evaluación quedaron determinadas las causas que no favorecen la adquisición de conocimientos ni de destrezas básicas en los egresados de educación primaria, entre otras son las siguientes: la inadecuada e incompetente administración y gestión educativa (el exceso de personal en las dependencias educativas, las bajas remuneraciones, y un sistema administrativo que no fomenta la promoción de la carrera magisterial), ineficiente ejecución del currículo (los maestros desconocen metodologías y estrategias para la diversidad, las clases dirigidas, pérdida de tiempo y carencia de materiales educativos). Frente a esta realidad educativa nacional, el Ministerio de Educación, a partir del año 1995, implementa el llamado “Plan Nacional de Capacitación Docente” (Programa Especial de Mejoramiento de la Calidad de la Educación (MECEP); desde entonces viene implementando acciones de Capacitación para docentes y directores en ejercicio, a nivel de todo el territorio nacional, con el propósito de favorecer el desarrollo de sus capacidades intelectuales, afectivas y éticas; y de esta manera mejorar su quehacer pedagógico actuando como agentes de cambio en la sociedad. Además se han obtenido resultados muy bajos en las pruebas de monitoreo nacional, en el área lógico matemática administrada por el Ministerio de Educación en el año 2003, en los centros educativos estatales cuyos edades de los estudiantes comprenden hasta 15 años. La evaluación estuvo referida a cómo los estudiantes utilizan lo aprendido en situaciones de la vida cotidiana, para fortalecer sus competencias matemáticas: pensar y razonar, argumentar, comunicar, modelizar, plantear y resolver problemas, representar, utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico, y

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sus operaciones. Los resultados indican que los docentes de dicha área no han sido preparados adecuadamente, emplean estrategias y recursos académicos inadecuados.

Si relacionamos las propuestas pedagógicas contemporáneas de la matemática, con los saberes matemáticos de los alumnos, observamos que el conocer, el saber matemático de una persona se reduce solamente identificar las definiciones y propiedades de cómo se debe enseñar la matemática, no determinan las variables específicas que dan sustento a los métodos prácticos2. A nivel de aula y grado, hasta el momento no han alcanzado el mejor rendimiento, los alumnos del sexto grado de educación primaria en el Área matemática. La realidad académica de los alumnos queda descrita en que no han aprendido a resolver problemas de la vida diaria, plantear problemas en función de sus necesidades; menos crear sus propios problemas en base a su realidad, no han trabajado mediante estrategias de aprendizajes adecuadas. El alumno carece de nociones de lo que es un problema, los pasos para la resolución de problemas. No ha desarrollado sus habilidades, sus destrezas. En la parte actitudinal, los alumnos quedan lejos de la responsabilidad, solidaridad, comunicación, etc.

d.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Problema general ¿Cuáles son y cómo influyen los modelos de interacción de resolución de problemas (modelo normativo, iniciativo y aproximativo, Guzmán y Polya) en los aprendizajes de los alumnos del sexto grado de educación primaria, área matemática, en las Instituciones Educativas estatales, UGEL Nº 1, S.J.M.?

Problemas específicos 1. ¿En qué medida el modelo de interacción docente, alumno y contenido favorece el aprendizaje de Resolución de Problemas, área matemática, de los alumnos? 2. ¿En qué medida el modelo Guzmán favorece el aprendizaje de búsqueda de estrategias para resolución de problemas, área matemática, de los alumnos? 3. ¿En qué medida el modelo Polya favorece el aprendizaje de habilidades para la resolución de problemas de la realidad, área matemática de los alumnos?

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e. HIPÓTESIS e.1. Hipótesis general Los modelos de interacción (modelo normativo, iniciativo, aproximativo, Guzmán y Polya) influyen significativamente en el buen aprendizaje de resolución de problemas, área matemática, de los alumnos del sexto grado de educación primaria, en las Instituciones Educativas Estatales, UGEL Nº 1, S.J.M.

e.2. Hipótesis específicas

1º La aplicación del modelo interactivo (normativo, iniciativo y aproximativo) influye significativamente en el aprendizaje de la resolución de problemas, área matemática de los alumnos. 2º La aplicación del modelo Guzmán influye significativamente el aprendizaje de la resolución de problemas, área matemática, de los alumnos. 3º La aplicación del modelo Polya influye significativamente el aprendizaje de la resolución de problemas, área matemática, de los alumnos.

f. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN f.1. OBJETIVO GENERAL Conocer cómo influyen los modelos de interacción como estrategia metodológica para la resolución de problemas (normativo, iniciativo y aproximativo, modelo Guzmán y Polya) en el mejor aprendizaje del área matemática, de los alumnos del sexto grado de educación primaria en las Instituciones Educativas Estatales, UGEL Nº 1, Lurín.

f.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Determinar el grado de influencia del modelo normativo, iniciativo y aproximativo para la resolución de problemas, área matemática, de los alumnos. 2. Determinar el grado de influencia del modelo Guzmán para la resolución de problemas, área matemática, de los alumnos.

3. Determinar el grado de influencia del modelo Polya para la resolución de problemas, área matemática, de los alumnos.

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g. VARIABLES Variable independiente: estrategia de resolución de problemas Variable dependiente: aprendizajes g.1. Operacionalización de variables a) variable independiente: estrategia de modelos interactivos para la

resolución de problemas 1º Dimensión 1: problemas tipo 1.1. Indicadores: a. indicador 1: modelo interactivo

2º dimensión 2: modelo guzmán a. indicador 1: creatividad estratégica 3º Dimensión 3: modelo Polya a. indicador 1: conocimiento de la situación real b) Variable dependiente: aprendizajes 1º Dimensión 1: aprendizajes conceptuales a. Indicador 1: nociones de aprendizaje b. Indicador 2: clases de enseñanza

2º Dimensión 2: aprendizajes procedimentales a. Indicador 1: habilidades b. Indicador 2: destrezas 3º Dimensión 3: aprendizajes actitudinales a. Indicador 1: responsabilidad b. Indicador 2: solidaridad c. Indicador 3: comunicación

h. LIMITACIONES DE LA INVESTIGACIÓN

h.1. Limitaciones bibliográficas En cuanto a bibliografía se refiere existe lo suficiente en cuanto a teoría: conceptos diversos, sus clasificaciones diversas, conceptos matemáticos, matemática recreativa; todas estas se ven limitadas en cuanto a estrategias, aplicaciones y resolución de problemas, área matemática, para su enseñanza y aprendizaje en el sexto grado educación primaria. h.2. Limitaciones en cuanto a tiempo y espacio La presente investigación se delimita a su planteamiento, aplicación y presentación en el lapso de 365 días calendario.

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h.3. Limitaciones del contexto socioeconómicas La investigación se sujetará a un presupuesto de gastos previamente estructurado realizando los reajustes necesarios durante su ejecución. En cuanto a su aplicación está dirigida a una clase social de niños perteneciente a la clase media baja. h.4. Limitaciones de tamaño y ámbito geográfico La investigación abarca una determinada área geográfica “Zona de Villa Alejandro” perteneciente al distrito de Lurín UGEL Nº 01- San Juan de Miraflores; por lo tanto, es factible su aplicación en dicho ámbito geográfico.

i. DESCRIPCIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE LA INVESTIGACIÓN i.1. Clase de Investigación La investigación es cuantitativa. i.2. Tipo de investigación El tipo de investigación es descriptiva correlacional, porque pretende explicar el aprendizaje favorable de los alumnos mediante la aplicación de modelos de resolución de problemas, a partir de la descripción de las variables: estrategias de resolución de problemas y aprendizajes de los alumnos del 6to. Grado de Educación Primaria en el Área Matemática, luego explicar la relación posible entre ambos.

.Este tipo de estudio tiene como propósito evaluar la influencia de una variable sobre la otra X Y. Es decir mide la variable Y de la aplicación de la variable X. i.3. Diseño de la Investigación La presente investigación es cuasi experimental. Además contamos con: 1º Ambiente en que se efectúa el experimento: aulas contiguas totalmente iguales, en su estructura y dimensiones; por consiguiente tienen la misma temperatura, intensidad de luz y la misma presión atmosférica. 2º Los grupos quedan constituidos: sección A, C.

DISTRIBUCION DE SECCIONES

SECCION GRUPO

A CONTROL

C EXPERIMENTAL

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3º El estímulo o variable experimental: los juegos didácticos

Esquema: GE __________ OY1 _________ X __________ OY3

GC __________ OY2 _________- X _________OY4

Donde los OY1 son las puntuaciones de las pruebas, tanto de entrada como de salida, en nuestro caso: O Y1 = OY2 GE = grupo experimental (sección A) GC = grupo control (sección B) X: Presencia del estímulo (juegos didácticos) - X: Ausencia del estímulo Así tenemos las hipótesis estadísticas: Ho H1 = H2 H1 H1 > H2 Corresponde al diseño con prueba–posprueba y grupos intactos (uno de ellos de control).

j. MARCO TEÓRICO

CONCEPTOS GENERALES DEL MARCO TEÓRICO 1.1. Algunas concepciones sobre las matemáticas.

En la reflexión sobre las propias concepciones hacia las matemáticas han surgido diversas opiniones y creencias sobre las matemáticas, la actividad matemática y la capacidad para aprender matemáticas. Para Godino, Batanero y Font (2004: 21) plantean que el tipo de matemática que queremos enseñar y la forma de llevar a cabo esta enseñanza debemos reflexionar sobre dos fines de esta enseñanza:

Que los alumnos lleguen a comprender y apreciar el papel de las matemáticas en la sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que las matemáticas han contribuido a su desarrollo.

Que los alumnos lleguen a comprender y a valorar el método matemático, esto es, la clase de preguntas que un uso inteligente de las matemáticas permite responder, las formas básicas de razonamiento y del trabajo matemático, así como su potencia y limitaciones.

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¿Qué es la matemática? Alsina (1998: 9) habla sobre la matemática “hoy la palabra matemática es de hecho una expresión genérica para describir un amplio abanico de disciplinas de gran desarrollo propio. Junto a este proceso se ha venido dando una enseñanza matemática que en un principio se dedicó a una élite y mucho después se extendió a grandes masas de la población, hasta hoy en que no se concibe una educación obligatoria sin una mínima formación matemática”. Dienes (1970:13) “las matemáticas son uno de los instrumentos esenciales para que las demás ciencias, puras o aplicadas, puedan seguir avanzando. Constantemente se ponen a punto nuevas técnicas matemáticas, que responden a las cambiantes condiciones de la física, de la química, de la biología, de la psicología o de la ingeniería, por no citar más que estas disciplinas”. Santillana Sánchez (1987: 6) “de acuerdo a las nuevas tendencias de la educación matemática en el nivel de educación primaria, hoy no se puede concebir el aprendizaje de esta ciencia sin la participación activa del educando a través de juegos de manipulación y desplazamiento de objetos concretos”. Perero (1994: 99) en su texto Historia e Historias de Matemáticas presenta definiciones de varios connotados matemáticos:

- “La ciencia de la cantidad” (Aristóteles). - “La ciencia del orden y la cantidad” (René Descartes). - “La matemática no estudia objetos sino relaciones entre

objetos; podemos reemplazar un objeto por otros siempre y cuando la relación entre ellos no cambie” (Henri Poincare).

- “En su significado más amplio, es el desarrollo de todo tipo de pensamiento formal, necesario y deductivo” (Alfred N. Whitehead).

De todas estas apreciaciones sobre la matemática se precisa que está formada por un corpus teórico y una actividad matemática que tienen características propias, como detallamos a continuación: a) La matemática como construcción Teórica o como Ciencia: es una ciencia abstracta sólo trabaja con símbolos, se ocupa de los números y usa el razonamiento lógico matemático, es secuencial, tiene una estructura ordenada que no se altera, es invariable rigurosa e indiscutible. La matemática es por lo tanto: exacta, abstracta, simbólica, rigurosa, lógica y objetiva.

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CIENCIA QUEHA

MATE

CER MÁTI

CA

MATEMÁ TICO

MÁTICO

b) La matemática como actividad: se aplica a situaciones de la vida real y resuelve situaciones vivenciales por eso es concreta, emplea estrategias metodológicas y propugna la creatividad.

La actividad matemática por lo tanto es: concreta, creativa, rigurosa, lógica e intuitiva.

Existe una relación biunívoca entre la matemática como ciencia y como quehacer matemático. La ciencia matemática proporciona el conocimiento con el cual se interpreta una situación; el quehacer matemático constituye un motor para perfeccionar, renovar y acrecentar el conocimiento matemático. De esta manera avanza la ciencia matemática.

Figura Nº 1- Relación entre Matemática y el Quehacer Matemático

Proporciona las teorías que permiten interpretar una situación

CA

Aporta nuevas ideas y teorías

Fuente: Solaris, calculo, matematizo y razono lógicamente, pág. 27.

1.2. Lo que nos dice el currículo oficial sobre la matemática

De acuerdo el MED (2009: 45) propugna que “La matemática forma parte

del pensamiento humano y se va estructurando desde los primeros años

de vida en forma gradual y sistemática, a través de las interacciones

cotidianas”.

Estas ideas nos hace comprender que aprender matemática es hacer

matemática; ante una situación problema el niño y la niña muestran

asombro, elaboran supuestos, buscan estrategias para dar respuestas a

interrogantes, descubren diversas formas para resolver las cuestiones

planteadas, desarrollan actitudes de confianza y constancia en la búsqueda

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de soluciones. El desarrollo de los conocimientos lógico matemático permite

al niño y a la niña realizar elaboraciones mentales para comprender el

mundo les rodea, ubicarse y actuar en él, representarlo e interpretarlo. El

entorno presenta desafíos para solucionar problemas y ofrece múltiples

oportunidades para desarrollar competencias (capacidades y actitudes)

matemáticas.

Por lo tanto el aprendizaje de las matemáticas, al igual que el de otras

áreas, es más efectivo cuando el estudiante está motivado. Por ello resulta

fundamental que las actividades de aprendizaje despierten su curiosidad y

correspondan a la etapa de desarrollo en la que se encuentra. Además, es

importante que esas actividades tengan suficiente relación con experiencias

de su vida cotidiana. Para alimentar su motivación, el estudiante debe

experimentar con frecuencia el éxito en una actividad matemática. El

énfasis en dicho éxito desarrolla en los estudiantes una actitud positiva

hacia la matemática y hacia ellos mismos.

1.3. Proceso de Aprendizaje del Niño y su Relación con la Matemática 1.3.1. Educación y Aprendizaje

Concebir la educación como un todo implica que ésta responda a las

exigencias de un mundo cambiante; y, desarrolle en las personas

condiciones que les permitan aprovechar a utilizar cada oportunidad que se

les presente de actualizar, profundizar y enriquecer sus saberes,

adaptándose a los cambios del momento.

Para cumplir estos objetivos, la educación debe estructurarse en torno

a cuatro aprendizajes fundamentales:

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Comprendo el mundo que nos rodea.

1° Aprender a Conocer

Es necesario que cada persona aprenda a comprender, conocer y describir

el mundo que lo rodea para poder desarrollarse y comunicarse con los

demás.

Por lo tanto,

Desarrollo mis capacidades y ejercito mi atención, memoria y pensamiento.

2° Aprender a Hacer

Poner en práctica los conocimientos, no como una repetición rutinaria, sino

como desarrollo de capacidades que nos permitan transformar el progreso

de los conocimientos en innovaciones, en el estudio, organización y

desempeño.

Aprendo a aprender.

Observo, comparo, analizo, sintetizo, razono lógicamente, registro datos, formulo y compruebo hipótesis; elaboro: . Conclusiones . Resúmenes . Informes

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3° Aprender a Vivir Juntos

Implica el descubrimiento gradual del otro, para lo cual es necesario el

conocimiento de uno mismo para ponerse en el lugar de los demás y

comprender sus reacciones.

4° Aprender a Ser

Debemos comprender el mundo que nos rodea para comportarnos de

manera responsable y justa. Para ello debemos aprovechar todas las

oportunidades posibles de descubrir y experimentar en el campo estético,

artístico, deportivo, científico, cultural y social, procurando que florezca mejor

la propia personalidad y estar así en condiciones de obrar con autonomía,

juicio y responsabilidad personal.

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1.3.2. Enseñanza de la Matemática

Si recurrimos a un diccionario de sinónimos, encontramos que construir

significa: edificar, fabricar, erigir, levantar, cimentar, fundar, etcétera.

Ahora bien, analizando cómo nuestros alumnos aprenden matemática en

general, y si nosotros como profesionales de la docencia arbitramos los

medios necesarios para que ellos la construyan.

Nos preguntamos ¿le damos nosotros el qué? y ¿el cómo que lo busquen

nuestros alumnos a través de la heurística? (arte de inventar) ¿O seguimos

haciéndoles padecer con ejercicios sin sentido (algunos largos y tediosos),

como padecimos nosotros a través de toda nuestra escolaridad y sin saber

para qué? y cuanto mejor nos acercáramos a dominar el algoritmo (reglas

secuenciales preestablecidas) que nos proponía el docente, nos

asegurábamos el resultado o sea él "éxito". ¿No les presentaremos

hermosos ejercicios maquillados, creyendo que son problemas?, porque

lo hemos escuchado o lo hemos leído en algún libro, artículo o en los

diseños curriculares que, la matemática se construye a través de

problemas.

Presentaremos ahora modelos de aprendizaje, pero antes deberíamos

hacernos las mismas preguntas; ¿cuál es nuestra concepción del proceso

de aprendizaje?, ¿cuál es nuestro conocimiento sobre este proceso?

Primeramente veamos:

a) Necesidades de aprendizaje de niños y niñas

En la conferencia mundial sobre Educación para todos, realizada en

Jomtien (Tailandia, 1990) se definieron las necesidades básicas de

aprendizaje, que abarcan tanto las herramientas esenciales para el

aprendizaje como los contenidos básicos del aprendizaje; las podemos

visualizar en el siguiente esquema:

b) Cambios en la educación primaria: en el marco mundial de

transformaciones llevó a nuestro país a revisar en qué situación se

encontraba el campo educativo: para ello encargó la realización de un

diagnóstico, a una comisión (diagnóstico 1993 por el MED, el Banco

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Mundial, PNUD, GTZ, UNESCO, OREALC). El resultado que ésta encontró

fue:

- Los egresados de primaria no dominan los conocimientos ni las

destrezas básicas que les permitirán continuar con éxito estudios de nivel

superior o les facilitaran su inserción productiva en la sociedad.

El informe de esta comisión identifica como causas las siguientes:

. Inadecuada e incompetente administración de la gestión educativa,

esto se evidencia en el exceso de personal en las dependencias

educativas, las bajas remuneraciones, y un sistema administrativo que no

fomenta la promoción en la carrera magisterial.

. Ineficiente ejecución del currículo, debido a que los maestros

desconocen metodologías y estrategias que no atienden a la diversidad, las

clases son dirigidas, se pierde el tiempo y se carece de materiales

educativos en las aulas.

Estas causas, con los aspectos que cada una conlleva permitieron el

planteamiento de las acciones de superación, para mejorar tanto la

administración como la calidad del proceso de enseñanza y aprendizaje.

1.3.3. Generando procesos de aprendizaje

Las nuevas corrientes pedagógicas si bien han transformado las

concepciones sobre los procesos de aprender de las niñas y niños,

mantienen la afirmación que todo aprendizaje persigue ante todo el

crecimiento intelectual de la persona.

El aprendizaje escolar se centra en dos agentes:

- Los que aprenden (las niñas y los niños).

- Los que enseñan (los docentes).

Aprendizaje y Enseñanza

Aprendizaje y enseñanza son dos términos que en la actualidad se

complementan e interrelacionan, si vemos las actividades que realizan los

agentes en cada uno de los procesos.

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Presentaremos ahora modelos de aprendizaje, pero antes deberíamos

hacernos las mismas preguntas; ¿cuál es nuestra concepción del proceso

de aprendizaje?, ¿cuál es nuestro conocimiento sobre este proceso?:

Piaget nos aporta una visión constructivista.

Ausubel nos habla de aprendizaje significativo.

Bruner nos ofrece el concepto de andamiaje.

Vygotsky nos aporta la zona de desarrollo próximo.

a) El constructivismo cognitivista de Piaget:

Su propósito fue postular una teoría del desarrollo que ha sido muy

discutida entre los psicólogos y los educadores, basado en un enfoque

holístico, que postula que el niño construye el conocimiento a través de

mucho canales: la lectura, la escucha, la exploración y "experimentando" su

medio ambiente.

o Las etapas establecidas por Piaget para el Desarrollo Cognitivo son

las siguientes:

- Sensoromotor (desde neonato hasta los 2 años) cuando el niño usa

sus capacidades sensoras y motoras para explorar y ganar

conocimiento de su medio ambiente.

- Pre operacional (desde los 2 a los 7 años) cuando los niños

comienzan a usar símbolos. Responden a los objetos y a los eventos

e acuerdo a lo que parecen que "son".

- Operaciones concretas (desde los 7 a los 11 años) cuando los niños

empiezan a pensar lógicamente.

- Operaciones formales (desde los 11 años en adelante) cuando

empiezan a pensar acerca del pensamiento y el pensamiento es

sistemático y abstracto.

Los tres mecanismos para el aprendizaje son:

- Asimilación: adecuar una nueva experiencia en una estructura

mental existente.

- Acomodación: revisar un esquema preexistente a causa de una

nueva experiencia.

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- Equilibrio: buscar estabilidad cognoscitiva a través de la asimilación y

la acomodación.

Los principales principios piagetianos en el aula son:

- Proveer un ambiente en el cual el niño pueda experimentar la

investigación espontáneamente. Los salones de clase deberían estar

llenos con auténticas oportunidades que reten a los estudiantes. Los

estudiantes deberían tener la libertad para comprender y construir

los significados a su propio ritmo a través de las experiencias como

ellos las desarrollaron mediante los procesos de desarrollo

individuales.

- El aprendizaje es un proceso activo en el cuál se cometerán errores

y las soluciones serán encontradas. Estos serán importantes para la

asimilación y la acomodación para lograr el equilibrio.

- El aprendizaje es un proceso social que debería suceder entre los

grupos colaborativos con la interacción de los "pares" (peers) en

unos escenarios lo más natural posible.

b) El constructivismo social de Vigotsky:

Es asociado con la teoría del constructivismo social que enfatiza la

influencia de los contextos sociales y culturales en el conocimiento y

apoya un "modelo de descubrimiento" del aprendizaje. Este tipo de

modelo pone un gran énfasis en el rol activo del maestro mientras que

las habilidades mentales de los estudiantes se desarrollan

"naturalmente" a través de varias "rutas" de descubrimientos.

Los tres principales supuestos de Vigotsky son:

1. Construyendo significados:

La comunidad tiene un rol central.

El pueblo alrededor del estudiante afecta grandemente la forma

que él o ella "ve" el mundo.

2. Instrumentos para el desarrollo cognoscitivo:

o El tipo y calidad de estos instrumentos determina el patrón y la tasa

de desarrollo.

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o Los instrumentos deben incluir: adultos importantes para el

estudiante, la cultura y el lenguaje.

3. La Zona de Desarrollo Próximo:

De acuerdo a la teoría del desarrollo de Vigostky, las capacidades de

solución de problemas pueden ser de tres tipos: i) aquellas realizadas

independientemente por el estudiante, ii) aquellas que no puede realizar

aún con ayuda y iii) aquellas que caen entre estos dos extremos, las que

puede realizar con la ayuda de otros.

Los principales principios vigotskianos en el aula son:

El aprendizaje y el desarrollo es una actividad social y colaborativa

que no puede ser "enseñada" a nadie. Depende del estudiante

construir su propia comprensión en su propia mente.

La Zona de Desarrollo Próximo puede ser usado para diseñar

situaciones apropiadas durante las cuales el estudiante podrá ser

provisto del apoyo apropiado para el aprendizaje óptimo.

Cuando es provisto por las situaciones apropiadas, uno debe tomar

en consideración que el aprendizaje debería tomar lugar en

contextos significativos, preferiblemente el contexto en el cual el

conocimiento va a ser aplicado.

El lenguaje fue la principal preocupación de Vigotsky como instrumento de

mediación, por encima de todas las demás, ya que él tenía en cuenta

mucho más en mente cuando se refería a los signos como instrumentos

sicológicos, como serían la nemotecnia, los sistemas de símbolos

algebraicos, las obras de arte, la escritura, los esquemas, los diagramas,

los mapas, los mecanismos de dibujo, todo tipo de signos convencionales.

En el siguiente cuadro presentamos el papel que desempeñan las

niñas y los niños y el docente en el modelo educativo centrado en el

aprendizaje.

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Figura Nº 2 Características de los Modelos Educativos

MODELO EDUCATIVO Agentes

Centrado en la enseñanza Centrado en el aprendizaje

Niños y Niñas

Aprenden las explicaciones

Adquieren conocimientos

Realizan tareas

Preparan exámenes

Aprueban o desaprueban

Realizan actividades mentales

Construyen su propio aprendizaje a partir de sus saberes previos

Aprenden a aprender

Se autoevalúan

Explica los temas de clase

Expone conocimientos

Encarga tareas

Elabora exámenes

Califica y ve resultados

Activa conocimientos previos

Diseña actividades de aprendizaje

Genera conocimientos a través de técnicas y recursos metodológicos.

Enseña a aprender.

Evalúa procesos.

Fuente: MED. Manual para Docentes de Educación Primaria, Plancad pág. 67

En el modelo centrado en la enseñanza, el rol de los niños y niñas es

reactivo, es decir, reaccionan a las actividades realizadas por el docente y centran

su atención en la adquisición de conocimientos.

En el modelo centrado en el aprendizaje, el rol de de las niñas y de los

niños es proactivo, es decir para aprender activan todas sus facultades.

Esto nos lleva a conceptualizar la enseñanza y aprendizaje:

Aprendizaje, es un proceso de construcción de conocimientos

elaborado por los propios niños y niñas en interacción con la

realidad, con apoyo de mediadores, que se evidencia cuando dichas

elaboraciones les permiten enriquecer y transformar sus esquemas

anteriores.

Enseñanza como: conjunto de ayudas previstas e intencionadas que

el docente ofrece a las niñas y niños para que construyan sus

aprendizajes en relación con su contexto.

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Los Los conocimientos nuevos se unen a los conocimientos que ya pos

ES ACTIVO Porque depende De la voluntad y participación del Que aprende. Las niñas y niños Aprenden mejor y más rápido por que participan de La acción, apren den haciendo.

ES SITUADO Parte de si tuaciones de la realidad y responde a Su contexto.

ES COOPERATIVO Todos aprenden de todos, esto crea mejores condiciones de trabajo y facilita la adquisición de saberes.

ES UN FENÓMENO SOCIAL Las niñas y niños aprenden en comunidad y no en forma aislada. La interacción refuerza el aprendizaje.

ES INTERCULTURAL La diversidad cultural constituye un recurso que potencia la construcción del aprendizaje. Cada niña o niño aporta sus experiencias y su forma de entender la realidad.

Figura Nº3: Características del Aprendizaje Significativo

CARACTERÍSTICAS APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO

ES UN PROCE SO INTERNO Y PERSONAL Los conocimien tos nuevos se unen a los co nocimientos que ya poseen los niños y niñas. Es personal por que cada niño o niña le atribuye un significado a lo que aprende.

Fuente: Elaborado por el autor

1.3.4. Tendencias de la didáctica en la matemática

Solaris (s/a: 39) “Respondiendo a la visión de que el aula se debe convertir

en un espacio de quehacer matemático se han desarrollado varias

tendencias en la didáctica de la matemática:”

23

DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

Figura Nº 4- Tendencias de la Didáctica en la Matemática. La importancia de la actividad del Resalta niño o niña para construir el apren

dizaje

Usando

la intuición la relación con el

Tendencias entorno

LA INCULTURACIÓN

EL TRATAMIENTO HOLÍSTICO DEL EDUCANDO

LA

HEURÍSTICA

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

LA

ETNOMATEMÁTICA

EL

APRENDIZAJE A TRAVÉS

DEL JUEGO

Esta corriente propone que existe una gran similitud entre el proceso cómo la humanidad ha desarrollado el conocimiento matemático y el proceso de aprendizaje matemático que realiza cada persona. Por ello, recomiendan utilizar la historia de la matemática como una fuente para extraer de ella situaciones de aprendizaje pudiendo desarrollar los procesos e ideas que se aplicaron para resolver esos problemas.

Considera al educando como un ser integral. Desde esta propuesta, la enseñanza de la matemática debe promover el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes. Para lo cual debe tener en cuenta el entorno del educando y su mundo interior, sus expectativas y emociones con respecto a la matemática.

Considera que la enseñanza de la matemática debe darse a través de la resolución de problemas. Es actualmente el método más promovido para generar el aprendizaje significativo. Persigue transmitir de manera sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas.

Dentro de esta tendencia los niños y las niñas no solo deben resolver problemas sino que deben ser capaces de matematizar situaciones de su entorno de modo que generen sus propios conocimientos matemáticos, es decir interpretar una realidad a través de la matemática para hallarle solución.

Esta tendencia postula que cada cultura ha desarrollado su propio pensamiento matemático y sus propios conceptos. Los que se adquieren de una manera social, así como el lenguaje. Entonces para poder enseñar las matemáticas universales deberíamos partir del pensamiento matemático local.

Resalta la gran similitud que hay entre las características de la matemática y la de los juegos: las reglas, la competitividad, la simbología, etc. El maestro o maestra debe planificar un juego en la que se dé una actividad matemática, que un primer momento estará implícita. Luego las acciones que se dieron en el juego se podrán simbolizar. Aquí la matemática se hace explicita, incluso se puede seguir el juego en este nivel. Esta tendencia reconoce el poder motivador de los juegos.

Fuente: solaris, Calculo, Matematizo y Razono Lógicamente. pág. 39.

24

1.4. Fines de la Enseñanza de la Matemática Para Solaris (s/a: 41) Las finalidades de la enseñanza matemática con

relación a los niños y niñas:

En cuanto a la Formación Intelectual:

El ejercicio de la razón hace posible fundamentar y argumentar.

El razonamiento lógico permite estructurar el conocimiento.

La intuición, la deliberación y la comprobación se convierten en

estrategias para hallar la verdad.

El lenguaje matemático permite conocer e interpretar la realidad.

Mentalmente construimos modelos matemáticos para manipular la

realidad.

En cuanto a la Formación Ética:

Se ejercita la perseverancia y la voluntad.

Se busca la verdad, asumiendo el análisis como proceso previo a la

toma de decisiones.

En cuanto a la Formación Socio-Política:

Una convivencia basada en el diálogo, capaz de aceptar y fundamentar

opiniones.

Acceder a la información cuantitativa sobre los asuntos de interés

colectivos (leerlos, examinarlos, interpretarlos), para tener una acción u

opinión frente a ellos.

Hacer cálculos proyectivos sobre el desenvolvimiento de fenómenos

sociales, previendo su desenvolvimiento.

Dar elementos para una mejor distribución y organización de los bienes

colectivos.

De esta manera, las matemáticas ofrecerán a los niños y a las niñas las

siguientes oportunidades de:

a) Desarrollar el pensamiento crítico que les permita abordar una situación

analizando sus elementos, la veracidad de ellos, las relaciones que hay

entre ellos, sus causas y consecuencias, para tomar una postura, una

opinión o una decisión.

b) Manejar el lenguaje matemático para interpretar información matemática

que reciban y para expresarse matemáticamente.

25

c) Desarrollar estrategias para que economicen sus acciones, permitiendo

que organicen óptimamente sus actividades con respecto al tiempo, al

espacio y a sus fines.

d) Habituarse a buscar la verdad, actitud en que se sustenta la ética, base

de los valores que propician una convivencia saludable y solidaria.

e) Desarrollar habilidades y actitudes para el diálogo, escuchando y

proporcionando argumentos.

Figura Nº 5 - Oportunidades que ofrece la Matemática a los alumnos.

Organizo adecuadamente Expreso mis opiniones. mis actividades. Interpreto información Dialogo y escucho. para saber responder. Tomo mis propias decisiones. Soy solidario.

Fuente: Elaborado por el autor.

1.5. Factores que Influyen en el Rendimiento de los Alumnos en el Área

Matemática.

Existen diversos factores que influyen en el rendimiento de los alumnos en

el área Matemática. Estas influencias pueden ser negativas o positivas.

Esto depende del tipo de factor y de las circunstancias que lo rodeen y las

técnicas que el docente aplica para mantener motivados a los alumnos

durante la clase.

Un factor del rendimiento de los alumnos en el área Matemática lo

constituye el medio ambiente social y familiar donde se desenvuelve el

educando, ya que éste proporciona un modelo de vida, una cultura que le

permite actuar y vivir de un modo determinado.

26

Entre los factores que determinan el rendimiento escolar, tenemos los

siguientes:

La Herencia

El sujeto trae una serie de caracteres, los cuales están condicionados

por el medio ambiente donde se desarrolla.

Estos caracteres tienen cierta influencia en el rendimiento de los

alumnos en el área Matemática, porque dan al individuo un carácter

determinado, según el cual se desarrollan sus habilidades.

La Inteligencia

Es un factor que influye en el rendimiento de los alumnos en el área

Matemática. Los alumnos de una inteligencia superior a la normal tienen

mayores ventajas que los alumnos de inteligencia inferior.

Existen diferentes tipos de inteligencia. No puede decirse, por ejemplo,

que todos los alumnos inteligentes dominen las matemáticas, y los que no

las dominan no sean inteligentes. Además, la inteligencia está

condicionada al grado de salud física sobre todo mental en el educando,

como a situaciones emotivas. En lo que se refiere al rendimiento escolar, un

niño puede tener problemas emocionales, ser inteligente y no rendir bien

en la escuela, justamente por estos problemas.

La Alimentación

Puede influir en forma favorable o desfavorable. Si es nutritiva,

balanceada, y está de acuerdo con la edad y necesidades del niño, su

influencia será positiva; en cambio, si es una alimentación pobre de

vitaminas, minerales, proteínas, calcio, etc., y no satisface las necesidades

del niño, su influencia será negativa. El niño mal alimentado se agota

rápido, y no puede hacer mucho esfuerzo.

El Sueño

El sueño para todo ser humano es indispensable, más aún para el niño,

quien gasta energías en el juego, en el estudio y a veces en el trabajo. Por

27

este motivo, para que un niño tenga un rendimiento satisfactorio, y para una

buena salud, es necesario que duerma ocho horas diarias como promedio.

La Recreación

Nadie puede dedicarse a trabajar, alimentarse y dormir, y los

niños mucho menos, puesto que ellos por naturaleza buscan el juego,

aunque se trate de una responsabilidad. Los niños toman el juego como

actividad principal. De acuerdo con esta concepción, los jardines de la

infancia enseñan a los niños, exitosamente, jugando.

La Salud

Como sabemos es un factor preponderante en el rendimiento

escolar. Un niño sano necesariamente tiene que tener un buen rendimiento

en el área de Matemática, mejor que un niño enfermo.

El Medio Ambiente Familiar:

Cuando el medio ambiente familiar está bien constituido, brinda un

ambiente favorable para el desenvolvimiento del niño, le da calor de hogar,

amor, comprensión, etc.; todo lo cual contribuye en forma favorable en el

rendimiento escolar.

El Método de Enseñanza del Docente

Lograr que el niño preste atención durante la clase de matemática

es tarea difícil para el docente. Si éste no aplica el método correcto para

mantener motivado al alumno, el sólo pronunciar matemática para los niños

les resulta tedioso debido a experiencias pasadas donde les impusieron

demasiadas tareas dirigidas y poco entretenidas. El método será el camino,

la vía, el modo, el procedimiento empleado para llegar al alumno.

1.5. Principios Didácticos para la Enseñanza de la Matemática

Solaris (s/a: 65) “Estos principios que se propone servirán de guías que

van a orientar el quehacer pedagógico de la matemática. No constituyen

una receta para que se siga estrictamente. Los principios son:”

28

a) Partir de la Realidad y volver a ella

La escuela primaria debería ser un espacio donde los alumnos expresen

libremente sus inquietudes, formulen sus preguntas, las preguntas que

surgen de su interés al querer entender el mundo, y no las preguntas que

surgen frente a los procedimientos que deben aprender de memoria sin

entender el por qué del proceso ni su utilidad.

Respondiendo a las necesidades de los alumnos, la matemática es un

instrumento que los ayuda a interpretar el mundo. Por ello, su enseñanza

debe partir de situaciones cotidianas que tengan parecido con las que viven

según su periodo de desarrollo y contexto. Además debe posibilitar el

conocer otras experiencias de vida.

De esta manera la matemática volverá a la realidad y ofrecerá información

que sirva para tomar una decisión, formarse una opinión o realizar una

acción.

Los principios para partir de la realidad y volver a ella deben ser:

Utilizando situaciones cotidianas para abstraer el conocimiento

matemático o para plantear problemas matemáticos. Por ejemplo:

Tenemos 3 cajas de 12 lápices de colores, ¿qué hago para que cada

grupo tenga igual cantidad de lápices de colores?

Diseñando situaciones cotidianas donde los niños y niñas puedan

aplicar las habilidades y conocimientos matemáticos que desarrollan.

Ejemplo: ¿Qué forma podemos darle a esta cometa? ¿Recuerdan lo

que saben sobre las figuras geométricas? ¿Cómo pueden cortar los

papeles para forrarla?

b) La Construcción del Lenguaje Matemático

La ciencia matemática es cada vez más usada para dar soluciones a los

problemas que surgen en otras áreas del conocimiento, es una manera

sintética de mostrar y manejar información. Nos encontramos rodeados de

gran cantidad de información expresada en términos matemáticos.

29

UN SISTEMA SIMBÓLICO

CONCEPTOS

LENGUAJE MATEMÁTICO

PROCEDIMIENTOS

Corresponden a las elaboraciones sintácticas, ya que responden a las reglas cómo se construyen las expresiones simbólicas. Ejemplo: cuando decimos “cómo hemos resuelto esa adición”, estamos interpretándola sintácticamente.

Corresponden a las elaboraciones semánticas, ya que se refieren a los contenidos de las expresiones. Ejemplo: cuando interpretamos la expresión 34+23=57 como una adición sin reagrupación (o canje), estamos entendiéndola semánticamente.

Por ejemplo, en los mercados, los carteles con los precios de los

productos, etc.

Actualmente, la matemática es usada como un lenguaje a través del cual

comunicamos hechos y situaciones. Basta abrir un periódico para

comprobar esto. La matemática, al ser parte de la realidad, está presente

en la vida cotidiana. Por ello, los niños y niñas van aprendiendo términos

matemáticos a la vez que van aprendiendo a hablar. De esta manera, van

usando intuitivamente muchas nociones matemáticas.

No todos nosotros utilizamos la matemática para informarnos. Ya que

informarnos significa más que solo leer datos, es comprender como se

llegan a esos datos y lo que significan esos datos en el contexto, solo de

esta manera podremos determinar su veracidad.

Aprendemos muchas cosas de las matemáticas, pero no desarrollamos la

capacidad de leer comprensivamente y expresarnos en lenguaje

matemático. Así nos convertimos en analfabetos matemáticos; un

analfabetismo tal vez menos urgente, pero más extendido y sutil; por lo

tanto, peligroso. Tengamos en cuenta que acceder a la información es un

requisito para ejercer con responsabilidad nuestra ciudadanía.

Figura Nº 6 El Lenguaje Matemático

Fuente: Solaris, Calculo, Matematizo y Razono Lógicamente. pág. 71.

30

Por tanto, los principios para estimular la construcción del lenguaje

matemático son los siguientes:

Utilizar el lenguaje matemático adecuadamente en cualquier

actividad donde se requiera. Por ejemplo, cuando enseñamos figuras

geométricas a través del origami: doblamos el papel por la diagonal,

etc.

Diseñar actividades para que los niños y niñas ejerciten el lenguaje

matemático. Ejemplo, vamos a jugar: adivina, adivinador. Ustedes

escogen un casillero, les leo la situación que corresponde al

casillero que han elegido. Si representan la situación con el

enunciado matemático correcto ganan un punto, sino pierden su

turno.

c) Pensar Matemáticamente o el Ejercicio de la Razón

Las nociones y procedimientos matemáticos deben ser aprendidos por los

niños y las niñas a través del ejercicio de la inducción y deducción.

Es necesario desarrollar la matemática dentro de una perspectiva

constructivista; porque sólo posibilitando un espacio de quehacer

matemático en el aula, los niños y niñas inducen y deducen con el fin de

aprender.

La Inducción. Consiste en formular conclusiones a partir de las

observaciones que hemos realizado o de la información que recibimos. Por

ejemplo, si un niño tiene aptitudes para el dibujo, podemos esperar que

gane el concurso de dibujo.

La inducción es necesaria en el proceso de elaboración del conocimiento,

pues nos da la pista por donde están las regularidades o constantes de las

que podemos desprender las reglas. Pero las conclusiones a las que

llegamos por inducción son sólo probables, basta una excepción para que

la regla no funcione.

31

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

A través de la inducción, identificamos regularidades.

Los resultados son probables; un contraejemplo elimina la conclusión.

Partimos de nuestras observaciones.

DEDUCCIÓN MATEMÁTICA

Siempre está asociado a un proceso de inducción.

Los resultados son relativos. En el tiempo se pueden dar cambios.

Sabemos de antemano la conclusión a la que queremos llegar.

Figura Nº 7 Inducción Matemática

CARACTERÍSTICAS

Fuente: Solaris, Calculo, Matematizo y Razono Lógicamente, pág. 73

La deducción completa el proceso de construir la regla (o conocimiento),

pues a través de derivar conclusiones de las reglas ya comprobadas podemos

estar seguros de que nuestra regla va a funcionar.

Figura Nº 8 Deducción Matemática

CARACTERÍSTICAS

Fuente: Solaris, Calculo, Matematizo y Razono Lógicamente, pág. 74

La inducción y la deducción requieren la intervención de las habilidades

intelectuales más altas: el análisis y síntesis, las cuales implican el ejercicio

de las habilidades de atención, observación, comprensión y aplicación. Por

eso, la enseñanza de la matemática dentro de una perspectiva

constructivista posibilita el desarrollo de habilidades intelectuales, las cuales

sostienen un pensamiento crítico.

El aprendizaje de la matemática desarrolla el razonamiento lógico, sólo si

dentro de las situaciones de enseñanza aprendizaje el docente posibilita la

construcción de las nociones, el desarrollo de estrategias personales de

32

cálculo y la creación de situaciones problemáticas, situaciones donde se

activa el razonamiento lógico y no sólo la memoria.

El razonamiento lógico es la herramienta que posibilitará la transferencia de

los aprendizajes de la matemática a diversas situaciones que se presenten,

además posibilitará la construcción de nuevos aprendizajes.

Las actividades de matemáticas que se proponen en la clase deben

estimular el razonamiento lógico de una manera natural, porque es así

como forma parte de nuestro pensamiento.

Desde los primeros grados hay que educar en el razonamiento lógico a

través de una metodología que estimule el poder descubrir relaciones,

simbolizarlas, comprobarlas, y sobre todo que establezca un dialogo lógico

en la comunicación cotidiana entre el docente y sus alumnos.

Leamos lo que Santaló dice al respecto (1994: 69) “No hace falta incluir en

los programas una parte de lógica, con silogismos, cuantificadores y tablas

de verdad como conocimientos básicos a los que hará referencia cuando

llegue el momento. Es mejor ir aprendiendo las leyes del razonamiento de

manera natural, como algo inherente al lenguaje, de la misma manera como

se aprende a hablar…”.

Por lo tanto, los principios para fomentar el pensamiento matemático deben

ser:

Posibilitar a los alumnos para que construyan nociones matemáticas

a través de procesos inductivos y deductivos.

Apoyar al desarrollo del pensamiento lógico cuando utilizamos en el

diálogo con los alumnos enunciados (si… entonces), conjunción (y),

disyunción (o), negación (no es cierto que…).

1.6. RESOLVER SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

Cuando se hace la interrogante para qué enseñar matemática, muchos

contestan que es para resolver problemas. Sin duda, ésta es una de las

33

RESOLVER LA SITUACIÓN PLANTEADA.

TOMAR DECISIONES O ASUMIR POSTURAS.

TRADUCIR LA SITUACIÓN EN LENGUAJE MATEMÁTICO.

finalidades de la enseñanza de la matemática, pero sólo es posible

cumplirla si se entiende como problema la necesidad de resolver

situaciones cotidianas a través de la interpretación y actividad matemática.

Los alumnos deben aprender a descubrir las situaciones matemáticas que

están presentes en los diversos momentos cuando se nos presentan en la

vida diaria, traducirlas al lenguaje matemático para poder darles solución.

Las fases del proceso de resolución de problemas, podemos identificarlas

como:

Por tanto, los principios para estimular la resolución de problemas deben ser:

Plantear diversas situaciones que motiven el interés de los alumnos para

resolverlas utilizando la matemática. Por ejemplo, se puede plantear: para

celebrar el aniversario de nuestra Institución Educativa se han dado tres

ideas: hacer un paseo, organizar un almuerzo familiar o realizar un día

deportivo invitando a otros colegios. ¿Cómo decidiremos qué actividad

realizar? Las respuestas de los alumnos pueden ser: ¡preparemos

presupuestos para saber cuánto costará cada actividad!, ¡hagamos una

encuesta para saber qué quieren hacer los alumnos de la escuela!

El error es parte del proceso de aprendizaje. Acostumbremos a los

alumnos a identificar sus errores y analizarlos para que sean situaciones

de aprendizaje.

34

1.6.1. El Proceso de Resolución de Problemas

El proceso de resolución de problemas es esencial en el aprendizaje

matemático, no como motivación inicial o aplicación final, sino como el

medio mismo por el cual se aprende. Es precisamente la capacidad

resolutiva que logren los niños y niñas la que indicará la calidad de la

educación matemática que se imparta en nuestro país; por ello, constituye

el quehacer fundamental en la escuela.

Para lograr las competencias necesarias para resolver problemas, es

necesario que:

a. Los problemas se contextualicen, es decir que se planteen en

contextos que les den significado. Las situaciones vinculadas con sus

juegos, sus deportes, la vida familiar, su cultura, su historia, su comunidad,

son, en este sentido, significativas.

Se menciona continuamente en todo el currículo, que los problemas deben

estar ligados al entorno, a la realidad inmediata. Esto es válido en general,

pero debe tenerse presente que la realidad vista por un adulto no

corresponde a la realidad percibida por los niños. Considerando ello, se

debe trabajar también situaciones imaginadas, fantásticas y creadas por

ellos mismos. La situación también puede ser construida especialmente por

el maestro porque las situaciones naturales no siempre permiten abordar el

aprendizaje deseado.

En todos los casos, los niños y niñas aprenden en situaciones ligadas a un

contexto para ser capaces de transferir posteriormente sus conocimientos a

otras situaciones no conocidas y finalmente a situaciones

descontextualizadas.

b.Las situaciones varían continuamente, tanto en lo que se refiere al

contexto, al lenguaje verbal o gráfico utilizado, como en la forma de tratar el

concepto. Los problemas deben permitir utilizar el concepto en situaciones

diferentes cada vez y en toda su amplitud. Por eso deben evitarse los

35

problemas tipo, donde sólo se cambian las cantidades y toda la estructura

permanece inalterable.

c. Los problemas deben variar también, en relación con el tipo de

dificultad: con datos completos, incompletos o inútiles, con información

numérica o sin ella, con una o varias soluciones. Los problemas abiertos

son especialmente importantes porque invitan a preguntar, a formular

conjeturas, a buscar analogías, etc.

d. Los problemas se deben formular en un lenguaje sencillo, teniendo

en cuenta el nivel de lectura logrado por los niños y niñas, para que la

comprensión verbal no sea obstáculo y se pueda centrar la atención en lo

matemático.

e. Los problemas deben corresponder a las capacidades reales de los

niños y niñas. Si son demasiado simples o ya conocidos por ellos, no existe

el reto ni la emoción de trabajar algo nuevo; sencillamente ya no son un

problema. Si, por el contrario, el nivel es demasiado alto, y está más allá de

sus posibilidades, el esfuerzo resulta vano. Los niños pierden interés,

fracasan repetidas veces y, en todo caso, sólo memorizan el procedimiento

para hallar la solución.

f. Generalmente se maneja como problema una situación conocida

donde se le pide al niño que repita un procedimiento e incluso una

respuesta; este tipo de "problema" no ayuda al desarrollo de habilidades

matemáticas.

g. Los alumnos y alumnas trabajan grupalmente, para que intercambien

ideas, contrasten sus caminos y soluciones hallados y lleguen a soluciones

grupales. Pero también debe haber un trabajo individual que dé ocasión

para que el niño reflexione sobre su propio aprendizaje.

36

h. El profesor o profesora está permanentemente alerta para conocer

los procedimientos seguidos por los niños, a fin de disminuir tensiones,

estimularlos y formar actitudes de trabajo matemático como la

perseverancia y la tenacidad en la búsqueda de soluciones. Este trabajo de

observación y acompañamiento permite al maestro, conocer y comprender

el origen de los errores, para que, a partir de ellos, se pueda restablecer el

equilibrio y ayudarlos en la construcción del conocimiento.

Por ello, el maestro se convierte en el mediador entre los conocimientos

que posee el niño y la niña y los que se pretende que ellos construyan.

La resolución de problemas es una capacidad compleja. El trabajo en la

escuela se centrará en el desarrollo de las habilidades, estrategias y

actitudes que componen esta competencia transversal para todas las áreas

del currículo y requiere:

.Comprender el problema, lo que significa saber reconocer que

existe un problema, apropiarse de la situación, representarla,

saber extraer e identificar los datos, descubrir la pertinencia de

éstos y explicar lo que se busca.

Seleccionar el procedimiento adecuado a la naturaleza y

condiciones del problema. Esto implica elaborar o seleccionar

estrategias o técnicas y formular conjeturas sobre las posibles

soluciones.

Hallar la solución y evaluar la pertinencia de las respuestas.

Comunicar sus hallazgos en forma oral, escrita, gráfica o

simbólica.

Tener confianza en la propia capacidad del niño para resolver

problemas.

Ser perseverante en la búsqueda de soluciones.

La resolución de problemas tiene la finalidad de aprender matemáticas a

partir de la investigación y también de aplicar y conectar las matemáticas

que se conocen. En la etapa primaria se ha de trabajar este procedimiento

en dos sentidos, lo que debería llevar a ver a la matemática como un todo

37

¿FUNCIONA?

(no fragmentado en bloques o partes) y valorar su utilidad dentro y fuera de

la escuela.

Ante las actitudes tan negativas del alumnado y de los sentimientos de

fracaso de los enseñantes, hay que hacer una reflexión sobre este aspecto

esencial del aprendizaje de la matemática y aplicar este procedimiento de

manera que produzca el efecto deseado.

Todos los alumnos pueden aprender métodos para resolver problemas. A

partir de comunicarles estrategias generales, cada uno desarrollará otras

más personales y las enriquecerá progresivamente.

Ninguno resolverá todos los problemas; lo más importante es que todos

estén dispuestos a hacerlo sin desesperarse. Tener recursos para

emprender la resolución y reconocer si la solución o las soluciones

obtenidas son correctas, sin ayuda del profesor, es el objetivo prioritario.

Figura Nº 9 - Fases para la Resolución de Problemas

NO

SI

Fuente: MED, Matemática para la vida, pág. 46

COMPRENSIÓN DEL PROBLEMA

DISEÑO O ADAPTACIÓN DE UNA ESTRATEGIA

RETROSPECCIÓN Y VERIFICACIÓN

EJECUCIÓN DE LA ESTRATEGIA

38

1.6.2. Clases de problemas

a. Problema: Concepto

Parra (1990:22) define un problema como “una realidad incompleta, una

pregunta que demanda una respuesta, una pulsión, una incitación a salir de

un estado de desequilibrio a otro de equilibrio”. Pero agrega también: “un

problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea (o que se

plantea él mismo) dispone de los elementos para comprender la situación

que el problema describe y no dispone de un sistema de respuestas

totalmente constituido que le permita responder de manera inmediata”.

A partir de estas definiciones, el enfoque conceptual adoptado caracteriza

un problema por tres elementos:

• Aceptación: El individuo o grupo acepta el problema como tal y se

compromete con su resolución

• Desafío: No existe un procedimiento o método evidente que permita hallar

la solución de manera directa.

• Exploración: El compromiso fuerza la exploración de nuevos

procedimientos o métodos para atacar la resolución

1.6.3. CLASES DE PROBLEMAS

Se puede distinguir las siguientes clases de problemas:

PROBLEMAS TIPO

Para el MED (2005: 35) “Los problemas tipo son aquellos en cuyo

enunciado esta implícitamente expresada la operación que tiene que

realizar el estudiante para obtener la respuesta del problema”.

Andrea vendió 4 camisas a 15,00 soles cada una. Si le pagaron con un billete de 100,00 nuevos soles, ¿cuánto tendrá que dar de vuelto?

PROBLEMAS HEURÍSTICOS

Lea y analice el enunciado de los problemas siguientes:

39

- 2 manzanas se pueden cambiar por un plátano. 1 plátano se puede

cambiar por 3 naranjas. ¿Cuántas manzanas obtendré con 9 naranjas?

- René debe pagar $25 nuevos soles por una chompa.

¿De cuántas maneras puede pagar si sólo tiene monedas de 1 y 5

nuevos soles y un billete de 10 nuevos soles?

En ninguno de los enunciados de los dos problemas anteriores hay

expresiones que sugieran el procedimiento a utilizar para resolver el

problema planteado. En cada caso, es necesario pensar y buscar una

estrategia que permita encontrar una respuesta.

Por lo tanto un problema es heurístico cuando en cuyo enunciado no se

sugiere implícitamente el procedimiento a aplicar, incidiéndose más en

la búsqueda de una estrategia para encontrar la solución.

PROBLEMAS DERIVADOS DE PROYECTOS

Analiza y caracteriza los enunciados de estas situaciones problemas:

- Nuestro salón necesita guardar los trabajos realizados, para mantener

el orden. Toma las medidas del espacio libre y calcula las dimensiones

que debería tener el estante. Finalmente, elabora un presupuesto para

la confección del mismo.

- Los alumnos de sexto grado de educación primaria de la institución

educativa Nº 7098 quieren viajar a la ciudad de Ica.

¿Qué presupuesto necesitan?

Por lo tanto: un problema derivado de proyecto es aquél que se genera

en la formulación de un proyecto a ejecutarse en una situación real.

PROBLEMAS DE ROMPECABEZAS

Los problemas de rompecabezas son aquellos cuya solución se

encuentra por ensayo y error.

40

- Tres cuadrados

En el dibujo representado en la figura, quitar tres cerillas, de tal forma

que resulten tres cuadrados iguales.

- En la figura ¿cuántos rectángulos hay?

- En la figura ¿cuántos triángulos hay?

1.6.4. LAS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS DE POLYA

A George Polya (matemático húngaro 1887 – 1985), en las tres últimas décadas de su larga carrera, le interesó de sobremanera la enseñanza de la matemática ofreciendo por tanto grandes aportes a la pedagogía matemática. Cuando explica el método heurístico en la enseñanza de la resolución de problemas, define los siguientes pasos:

. Entender el enunciado.

. Planteamiento o imaginar un plan.

. Ejecutar el plan.

. Comprobar la solución obtenida. En el nivel de Educación Primaria se pondrá énfasis en la fase de comprensión del problema y en la fase de planteamiento con el fin de desarrollar la conciencia de la relación entre el problema y la estrategia usada en su solución.

41

Veamos qué significa cada uno de estos pasos: 1º. Entender el Enunciado del Problema / Familiarización El niño (a) debe comprender el problema analizando detalladamente el enunciado, con el propósito de identificar los datos presentados, la pregunta y las condiciones. El maestro debe señalar que se lea el problema con tranquilidad, sin presiones, ni apresuramientos, que se juegue con la situación, que se pierda el miedo inicial. Algunas preguntas que pueden facilitar el trabajo de los alumnos son: - ¿Cuál es la incógnita? - ¿De qué trata el problema? - ¿Cuáles son los datos? - ¿Cuáles son las condiciones? - ¿Es posible cumplir las condiciones? - ¿Son suficientes las condiciones para hallar la incógnita? - ¿O son insuficientes? - ¿O son redundantes? - ¿O son contradictorias? - ¿Recuerdas otro problema que hayas resuelto con una pregunta o preguntas equivalentes?

Para que el niño entienda mejor el problema, puedes realizar las siguientes actividades: - Dibuje una figura - Adopta una notación adecuada - Separa las diferentes partes de las condiciones. 2º Concepción de un Plan/Búsqueda de estrategias

Aquí, el alumno comienza a explorar la situación. Es en esta fase donde una lista de estrategias heurísticas deben ser útiles; dependiendo de la estructura del problema podrá elegir la más adecuada. El alumno establece un plan de respuesta al problema. La idea es convertir al alumno en un verdadero investigador, para lo cual deberá esforzarse en desarrollar su originalidad y creatividad al máximo. Necesita utilizar toda su intuición poniendo a prueba su habilidad para encontrar la clave de las acciones que debe realizar para encontrar la solución. Las preguntas que se les hace a los niños están dirigidas a que encuentren analogías, puedan generalizar, descomponer, etc.: - ¿Te has encontrado con un problema semejante? - ¿Lo ha visto antes de forma diferente? - ¿Conoces algún problema relacionado? - ¿Conoces algún teorema que pueda ser útil? - ¿Puedes plantearlo de forma distinta? - ¿Puedes utilizar el mismo camino recorrido para resolver otro problema?

42

- ¿Puedes introducir algunos elementos auxiliares que te permitan resolver el problema?

También pueden ser pertinentes estas estrategias: Mira la incógnita e intenta recordar algún problema familiar que tenga una incógnita igual o parecida. Se trata de hacer suyo el problema, relacionarlo con la experiencia personal. He aquí un problema relacionado con el suyo, y que se ha resuelto antes. En tal caso trata de responder:

¿Podría utilizarlo?

¿Podría utilizar su resultado?

¿Podría utilizar su método?

¿Debería introducir algún elemento auxiliar que pueda utilizar?

¿Podría replantear el problema?

¿Podría volverlo a replantear de otra forma diferente todavía? Vuelve al planteamiento original. Si no puedes resolver el problema propuesto, intenta resolver primero algún problema que se relacione con él mismo. Las siguientes cuestiones te ayudarán: ¿Podrías imaginarte algún problema más sencillo, relacionado con éste? ¿Algún problema más general? ¿Algún problema más particular? ¿Algún problema análogo? ¿Podrías resolver alguna parte del problema? Mantén sólo una parte de las condiciones, abandona la otra parte: ¿Hasta qué punto se determina entonces la incógnita?, ¿cómo puedes variar? ¿Puedes extraer algo práctico a partir de los datos? ¿Puedes pensar en otros datos adecuados para hallar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita, o los datos, o las dos cosas si hace falta, para que la incógnita esté más próxima a los datos nuevos? ¿Haz utilizado todas las condiciones? ¿Has tenido en cuenta todos los conceptos esenciales que intervienen en el problema? Ésta es una de las fases más importantes en el proceso de solución de problemas pues depende mucho de los conocimientos previos con los que cuenta el estudiante, así como de la calidad del pensamiento.

3º. Ejecución del Plan

Se procede a ejecutar las estrategias de solución, efectuando la o las operaciones que permitirán encontrar la respuesta al problema.

43

Se debe recomendar al niño que al seguir su plan con trole cada uno de sus pasos, que actúe con flexibilidad, si las cosas se complican demasiado que intente otro camino. Esto es lo que se llama un adecuado manejo entre el principio de perseverancia y el principio de variedad. Por otra parte, es necesario examinar tantos aspectos como sea posible.

Cuando lleve a cabo su plan de re4swolución, compruebe cada paso: ¿Puedes ver claramente que el paso es correcto?, ¿Puedes demostrar que es correcto?

4º. Verificación de la Solución En esta etapa el niño deberá efectuar una visión crítica del trabajo realizado. Es necesario que el alumno se convenza de que la solución es correcta, efectuando una labor autocrítica, tratando de generalizar a través de la situación. Las preguntas sugeridas son: ¿Puedes comprobar el resultado? ¿Cómo has llegado a la solución? ¿Puedes comprobar el razonamiento? ¿Por qué ese camino te llevó a la solución? ¿Puedes extraer el resultado de otra manera? ¿Puedes percibirlo a primera vista? ¿Puedes utilizar el resultado, o el método, para algún otro problema? Otras estrategias: Además, Polya propuso el empleo de diversos métodos heurísticos tales como:

Descomponer el problema en subproblemas más simples

Usar diagramas o gráficas

Trabajar el problema hacia atrás.

1.6.5. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SCHOENFELD

Schoenfeld (Santos, 1992) se dedicó desde 1985 a proponer actividades de aprendizaje en el aula. Su interés se centraba en la necesidad de propiciar situaciones similares a las condiciones que los matemáticos experimentan en el proceso del desarrollo de las matemáticas. Asume una postura de novato-experto. Su modelo de resolución aborda las siguientes fases:

Análisis

Exploración

Comprobación de la solución

44

1ª. Análisis del Problema. Tres estrategias nos ayudan: a) Trazar un diagrama, si es posible. b) Examinar casos particulares, y para ello:

Elegir valores especiales que sirvan para ejemplificar el problema

Examinar casos límites, para explorar la gama de posibilidades.

Asignar a los parámetros valores y buscar una pauta inductiva. a) Probar a simplificar el problema: b) Sacando partido de posibles simetrías, o c) Mediante razonamientos sin pérdida de generalidad (incluidos los cambios de escala).

2ª. Exploración Nos plantea tres posibles estrategias de exploración del problema: 1ª) Examinar problemas esencialmente equivalentes. Con varios métodos: a) Por sustitución de las condiciones por otras equivalentes. b) Por recombinación de los elementos del problema de distintos modo c) Introduciendo elementos auxiliares. d) Replanteando el problema mediante: - El cambio de perspectiva o notación.

- Considerando el razonamiento por contradicción o el contra recíproco. - Suponiendo que se dispone de una solución y determinando cuáles serían sus propiedades. 2ª) Examinar problemas ligeramente modificados. También con varios métodos:

a) Eligiendo sub-objetivos (por satisfacción parcial de las condiciones). b) Relajando una condición y tratando de volverla a imponer. c) Descomponiendo el problema en casos y estudiando caso por caso.

3ª) Examinar problemas ampliamente modificados. Para ello podemos: a) Construir problemas análogos con menos variables. b) Mantener fijas todas las variables menos una, para determinar qué efectos tiene esa variable. c) tratar de sacar partido de problemas afines que tengan similares formas, datos o conclusiones parecidos.

3ª. Comprobación de la Solución Obtenida Hemos de responder a cuestiones como: a) ¿Verifica la solución obtenida los siguientes criterios específicos?

45

¿Utiliza todos los datos pertinentes? ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables? ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional?

b) ¿Verifica los criterios generales siguientes? ¿Es posible obtener la solución por otro método? ¿Puede quedar concretada en casos particulares? ¿Es posible reducirla a resultados conocidos? ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?

1.6.6. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS KANTOWSKY Kantowsky (citado en Alsina, 1980) propone los siguientes procesos heurísticos que se pueden emplear en un proceso de solución de problemas matemáticos:

1. Dibujar un diagrama. 1. Examinar un caso especial. 2. Identificar lo que se busca y lo que se da. 3. Identificar información relevante e irrelevante (examinar toda la

información dada) 4. Trabajar hacia adelante desde el principio con la información dada. 7. Trabajar hacia atrás desde la conclusión. 8. Buscar un patrón o encontrar una generalización 9. Buscar un problema relacionado (énfasis en estructura similar) 10. Buscar un teorema, definición, operación o algoritmo que se aplique

al problema. 11. Resolver parte del problema. 12. Verificar la solución. 13. Examinar si existe otra manera de encontrar la solución (soluciones

alternas). 14. Examinar si se puede obtener otra solución (originalidad), y 15. Estudiar el proceso de resolución.

1.6.7. LAS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS DE GUZMÁN: MODELO GUZMÁN. Este esquema corresponde al modelo propuesto por Miguel de Guzmán en sus libros Para pensar mejor y Aventuras matemáticas.

Este modelo consta de cuatro fases:

Fase 1: Familiarización con el problema.

Fase 2: Búsqueda de estrategias

Fase 3: Llevar adelante la estrategia

Fase 4: Revisar el proceso y sacar consecuencias de él.

En cada una de las fases las pautas a seguir son:

Al comienzo, en la familiarización con el problema debemos actuar sin prisas, pausadamente y con tranquilidad: Hay que conseguir tener una idea

46

clara de los elementos que intervienen: datos, relaciones, incógnitas, etc. En resumen, antes de hacer, trata de entender. Una vez que hemos entendido el problema, pasamos a buscar estrategias que nos permiten resolverlo. En esta fase no iniciamos el ataque del problema sino que vamos apuntando todas las ideas que surjan relacionadas al problema. Es conveniente pensar y disponer de más de una estrategia o camino a desarrollar en la fase posterior. Tras acumular varias opciones de resolución, es el momento de llevar adelante la estrategia elegida. La llevamos adelante trabajando con confianza y sin apresuramientos. Conviene no echarse atrás ante la primera dificultad que surja, ni continuar con la estrategia si las cosas se complican demasiado. En el caso de no acertar con el camino correcto, es el momento de volver a la fase anterior y reiniciar el proceso. Seguimos de esta forma hasta cerciorarnos de haber llegado a la solución. Por último, queda la fase más importante del problema, la de revisión del proceso y sacar consecuencias de él. En esta fase, que no debe faltar cuando hayamos resuelto o no el problema, no debemos reflexionar sobre todos los incidentes del camino seguido, sobre si es posible extender las ideas que hemos tenido a otras situaciones, sobre el problema en sí y sobre nuestros estados de ánimo a lo largo de todo el proceso recorrido.

Figura Nº 10 – Modelo Guzmán para la Solución de Problemas.

I

FAMILIARIZACIÓN

CON ELPROBLEMA

. Antes de hacer trata de entender.

. Toma el tiempo necesario.

. Actúa sin prisas y con tranquilidad.

. Imagínate los elementos.

. Juega con los elementos del problema.

. Pon en claro la situación de partida, la de llegada y lo que debes lograr.

. Busca información que te pueda ayudar.

.Encara la situación con gusto e interés.

II

BÚSQUEDA DE

ESTRATEGIAS

. Busca y anota las ideas que se te ocurran.

. No desarrolles las ideas hasta que no poseas varias.

. Estas estrategias te pueden ayudar:

Empezar por lo fácil. Experimentar y buscar regularidades o pautas. Hacer esquemas, figuras, diagramas. Modificar el problema. Escoger un lenguaje, una notación apropiada. Buscar semejanza con otro problema o juego. Escoger la simetría de la situación. Suponer el problema resuelto. Suponer que no, ¿a dónde nos lleva? Piensa en técnicas generales: inducción, proceso Diagonal, etc.

III

LLEVAR ADELANTE

. Llevar adelante las etapas de la idea anterior

. Procura no mezclarlas, de una en una.

. Trabaja con tenacidad y decisión en cada idea.

. Trabaja con flexibilidad en las situaciones que se compliquen demasiado.

. Cuando consideres que has llegado al final, observa a fondo la solución

47

LA ESTRATEGIA que obtienes.

IV

REVISAR EL

PROCESO Y SACAR

CONSECUENCIAS

. Examina con detenimiento y profundidad el camino que has seguido.

. ¿Cómo has llegado a la solución? Si no lo has resuelto ¿por qué no has llegado a la solución? . Trata de entender que las cosas han marchado y por qué han marchado. . Busca un modo más sencillo u otro modo de resolverlo. . Intenta trasladar el método seguido a otras situaciones. . Reflexiona sobre tus estados de ánimo y tu proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro.

Fuente: Sulca y otros, Estrategias Lúdicas para la Enseñanza de la Matemática en Educación Primaria, pág.25

1.7. ALGUNAS RECOMENDACIONES QUE AYUDAN A COMPRENDER

MEJOR LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS.

Entre otros se recomiendan:

Expresar el problema con otras palabras.

Indicar los datos con los que se cuenta para resolver el problema.

Separar los datos relevantes y los no relevantes.

Indicar cuál es la meta del problema.

Representar el problema en otro formato (gráfico, diagrama, dibujos,

etc.).

Señalar dónde reside la dificultad.

Señalar qué datos no presentes necesitaríamos para resolver el

problema.

Buscar un problema semejante que hayamos resuelto.

Analizar primero algún ejemplo concreto cuando el problema es muy

general.

Buscar situaciones (escenarios, contextos, tareas, etc.) en los que

pueda presentar el problema. Estas recomendaciones tienen como

finalidad esencial desarrollar en el alumno la reflexión antes de

actuar, y a que planifique su propio proceso de resolución.

1.7.1. Factores que Intervienen en la Solución de un Problema

Resolver un problema es un proceso que requiere, además de la

experiencia y los conocimientos previos, intuición para hallar la estrategia

adecuada y la presencia de determinadas condiciones sicológicas en la

persona que lo va a resolver.

48

Entre los diversos factores que podemos considerar son:

a) Factores relacionados con la experiencia

Edad

Conocimientos previos

Familiaridad con las estrategias de solución

Familiaridad con el contexto y el contenido del programa.

b) Factores afectivos

Presión

Ansiedad

Interés

Perseverancia

c) Factores cognitivos

Memoria

Habilidad numérica

Capacidad de cálculo

Capacidad lógica

1.7.2. Juegos de Estrategias en la resolución de problemas.

Estos juegos apoyan el desarrollo de la capacidad de razonamiento en la

resolución de problemas buscando diversas alternativas de solución; es

decir, hacer uso de la heurística.

Dentro de estos juegos tenemos:

Juegos con la problemática del entorno del niño.

Analogías.

Mensajes lógicos.

Problemas heurísticos

49

a). Problemas heurísticos

La heurística (“problema solving”) en la enseñanza de la matemática.

La palabra heurística, como muchas otras ricas en contenido, aparece en

más de una categoría gramatical. Cuando se encuentra como sustantivo, se

identifica con el arte o la ciencia del descubrimiento, una disciplina digna de

estudio. Cuando aparece como adjetivo, se refiere a cosas más concretas

como estrategias heurísticas, reglas heurísticas o incluso silogismos y

conclusiones heurísticas. Claro está que estos dos usos están íntimamente

relacionados ya que la heurística usualmente propone estrategias

heurísticas que guían el descubrimiento.

En matemáticas, la heurística existe desde la Grecia antigua. Sin embargo,

la formalización y el alto grado de rigor en matemáticas le han restado

importancia al estudio del descubrimiento, considerándolo más bien de

interés para la psicología. Aunque existe el campo de la teoría de la

demostración, éste nada tiene que ver con encontrar patrones de

demostración o reglas para probar teoremas.

Una excepción en el estudio de la heurística en matemáticas es el trabajo

pionero Polya (1984: 128), matemático de origen húngaro, quien dedicó

gran parte de su trabajo (además de sus investigaciones originales en la

teoría de funciones y probabilidad) a desarrollar una teoría heurística para

la resolución de problemas en matemáticas. La noción de heurística se le

atribuye a Pappus (300 d.c.), quien propone la rama de estudio denominada

"analyomenos", que bien puede traducirse como "el tesoro del análisis" o "el

arte de resolver problemas". Dos son las estrategias principales que se

proponían para resolver problemas en geometría: la primera consiste en

asumir que la solución está dada y se trabaja "desde atrás" hasta

encontrarse con algo ya conocido o que se sabe verdadero. La otra es

"hacia adelante": se empieza considerando el conocimiento matemático

(axiomas y teoremas ya probados) y se trabaja hacia el resultado. A estos

dos métodos se les denomina análisis y síntesis respectivamente.

50

Un ejemplo no matemático que ilustra estos dos tipos de razonamiento es

el siguiente Polya (1984: 145):

"Una mujer primitiva quiere cruzar un riachuelo; pero no lo puede hacer en

la forma usual porque la lluvia de la noche anterior lo ha convertido en río.

Así, cruzar el río se convierte en el objetivo del problema; ¨cruzar el río ¨es

la incógnita X de este problema¨. La mujer recuerda que ha cruzado otros

ríos caminando sobre troncos caídos. Voltea a su alrededor buscando algún

árbol caído, siendo ésta su nueva incógnita, su Y. No encuentra ningún

árbol caído que le pueda servir, pero hay muchos árboles parados a lo largo

del río; cómo desearía que alguno de ellos se cayera. Puede hacer que

alguno de estos árboles caiga sobre el río? Aquí hay una gran idea y un

nuevo objetivo: ¿cómo hacerle para tirar uno de estos árboles sobre el río y

así cruzar?

Este hilo de ideas ilustra el método de análisis. Se comienza por la meta y

se infieren las condiciones necesarias para lograr este objetivo. Si esta

mujer primitiva es exitosa en llevar a cabo su análisis, pudiera ser la

inventora del hacha y los puentes. El método de síntesis es el de llevar a

cabo estas ideas en acciones en dirección contraria: para cruzar el río,

busca un tronco caído para usarlo de puente. Si no encuentras ninguno,

busca el árbol más adecuado tal que al tirarlo, su tronco sirva de puente

para cruzar. En general, es más natural empezar por el método de análisis

y luego realizar la síntesis. "análisis es invención, síntesis es ejecución

(Polya, p.146).

51

EJEMPLOS DE PROBLEMAS HEURÍSTICOS EN EDUCACIÓN

PRIMARIA.

- Juan cambia 10 pelotas de fútbol por una bicicleta. ¿10 bicicletas por

cuantas pelotas se podrá cambiar?

- Deseo cambiar dos pantalones por cuatro vestidos

y cuatro vestidos por ocho zapatillas

¿Cuántos pantalones tengo que cambiar para obtener 16 zapatillas?

- Si tres piñas se puede cambiar por una sandia

Una sandía se puede cambiar por 4 melones

¿Cuántas piñas obtendré con 9 ?

52

- En hipermercados METRO, hay una oferta: por la compra de un pollo a la brasa te obsequian tres bolsas de arroz

¿Cuántos pollos comprarías, si quieres tener 24 bolsas de arroz?

- En la tienda de DON PEPE se puede cambiar:

una torta por tres helados

y por tres helados nos dan 6 queques

¿Cuántas tortas tengo que comprar para obtener 24 queques?

- Si 3 aves se pueden cambiar por una garza

una garza se puede cambiar por 3

¿Cuántos aves obtendré con 6 osos

53

- Si 8 caramelos pueden cambiar por 12 chocolates

12 chocolates se pueden cambiar por 24 gaseosas.

¿Cuántos caramelos obtendré con 48 gaseosas ?

- Si cada manzana cuesta S/. 0,50 y por cada manzana me regalan 02

uvas, ¿cuántas manzanas compró con 06 uvas?

- Si cada pelota cuesta S/.5,00 Nuevos Soles y por cada pelota me

regalan 02 banderas, ¿cuántas pelotas tendré si compro con 06

banderas?

+ = 9 uvas

0,50

+

0,50

+

0,50

+ +

+ + = S/. 1,50

+

=

+ + + +

=

54

- Si cada lápiz cuesta S/. 1,00 Nuevo Sol y por cada lápiz le regalan 03

stickers, ¿cuántos lápices compro si tengo 09 stickers?

PROBLEMAS HEURÍSTICOS 1er GRADO

La señora Josefina se va al y

se da cuenta que el precio de una equivale a dos . Si compra 5

¿a cuántas equivaldrían?.

y se van al y al comprar los se

dan con la sorpresa de que por cada 2 recibe 5

paquetes de . Si ellos invitaran a dos parejas más,

¿Cuál sería el total de paquetes de que recibirían?

=

55

En el el precio de 5 Kg. de equivale a

3Kg de . Si la llevará 10 Kg. de

¿cuántos Kg. de le corresponderían? 2do GRADO

se va a la con 30 soles y se da cuenta que el precio de:

1 equivale a 1

1 equivale a 2

2 equivale a 1

Pregunta 1: Si compra 3 ¿a cuántos equivalen?

Pregunta 2: Si compra 8 ¿a cuántas equivalen?

Pregunta 3: Para que tenga 6 ¿cuántas debe comprar?

56

3er GRADO

venderá y a una y por cada

cobrará 2 Kg. de y por cada cobrará 2

. ¿Cuántos Kg. de y cuántos recibió si vendió 5

y 3 ?

va a trabajar a un para vender ,

el dueño le dice que le pagará 10 soles por cada 15 Kg de que venda. ¿Cuántos Kg. a vendido sI ha cobrado 40 soles?

Necesita para hacer su pollada, para ello intercambiará

kilos de por , si por cada 2 kilos de le dan un

. ¿cuántos kilos de tendrá que dar para que le den 10

?

57

4to GRADO

se va a la ferretería y hace trueques para intercambiar herramientas y las tarifas son así:

por 5 un

por 4 2 bolsas de

por 6 1 Pregunta 1:

¿cuántos tuvo que dar para recibir 3 ? Pregunta 2:

Si recibe 6 bolsas de y dos ¿cuántos y tuvo que intercambiar?

Pregunta 3

Entregó 8 y 10 ¿cuánto de y recibió?

58

1.8. ALGUNAS RECOMENDACIONES QUE AYUDAN A COMPRENDER MEJOR LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS. Entre otros se recomiendan:

Expresar el problema con otras palabras. Indicar los datos con los que se cuenta para resolver el problema. Separar los datos relevantes y los no relevantes. Indicar cuál es la meta del problema. Representar el problema en otro formato (gráfico, diagrama, dibujos,

etc.). Señalar dónde reside la dificultad. Señalar qué datos no presentes necesitaríamos para resolver el

problema. Buscar un problema semejante que hayamos resuelto. Analizar primero algún ejemplo concreto cuando el problema es muy

general. Buscar situaciones (escenarios, contextos, tareas, etc.) en los que

pueda presentar el problema. Estas recomendaciones tienen como finalidad esencial desarrollar en el alumno la reflexión antes de actuar, y a que planifique su propio proceso de resolución.

1.9. MODELOS DE APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA

Nos preguntamos ¿le damos nosotros el qué? y ¿el cómo que lo busquen nuestros alumnos a través de la heurística? (arte de inventar) ¿O seguimos haciéndoles padecer con ejercicios sin sentido (algunos largos y tediosos), como padecimos nosotros a través de toda nuestra escolaridad y sin saber para qué? y cuanto mejor nos acercáramos a dominar el algoritmo (reglas secuenciales preestablecidas) que nos proponía el docente, nos asegurábamos el resultado o sea él "éxito". ¿No les presentaremos hermosos ejercicios maquillados, creyendo que son problemas?, porque lo hemos escuchado o lo hemos leído en algún libro, artículo o en los diseños curriculares que, la matemática se construye a través de problemas.

Siguiendo con este análisis presento tres modelos de enseñanza propuesto por Brousseau (1998:66) donde se pone en juego la relación: docente, alumno, saber: El modelo llamado normativo (centrado en el contenido) El modelo llamado iniciativo (centrado en el alumno) El modelo llamado aproximativo (centrado en la construcción del saber por el alumno)

59

D

A

S

A

D

A S

1º Modelo Normativo: centrado en el contenido

El docente (D) muestra nociones, las introduce, provee los ejemplos. El alumno (A) aprende, escucha, debe estar atento; luego imita, entrena, ejercita y al final aplica. El saber (S) ya está acabado, está construido.

En este modelo, el rol del docente es transmitir la teoría matemática.

Los alumnos deben memorizar toda la aritmética, fórmulas y procedimientos, además de las estrategias que usa el docente; luego deben identificar los casos en que se aplica cada uno de ellos para aplicarlos tal como le fueron enseñados.

La ejercitación tiene el objetivo de que repita los métodos aprendidos,

suele ser monótona. En este modelo, los libros de texto son muy importantes porque en ellos está la teoría que deben aprender los alumnos. Esta teoría no pierde vigencia en el tiempo ni en el espacio sin interesar el contexto.

El aprendizaje de la matemática se puede realizar en la interacción del

alumno con su libro. Los alumnos asumen su responsabilidad y entran al juego didáctico en

el que aprenden, escuchan deben estar atentos, entrenan a la par con el profesor, ejercitan por su cuenta y al final aplican las técnicas en la solución de problemas aplicados.

2º Modelo Iniciativo En este modelo los alumnos representan un papel relevante ya que para el planteamiento de una determinada situación de enseñanza se toman en cuenta sus intereses, sus necesidades, el entorno donde se desarrollan.

El docente escucha a sus alumnos, suscita su curiosidad, los motiva, les ayuda a utilizar fuentes de información, responde a sus demandas.

60

D

A S

El alumno busca, organiza, luego estudia, aprende. El saber está ligado a las necesidades de la vida, del entorno. En este modelo se establece la relación entre el conocimiento matemático y la realidad. Se enseña a los alumnos a utilizar el conocimiento matemático para resolver situaciones de su entorno, que el docente ha establecido. El contexto se usa como un recurso para el aprendizaje. En este modelo el conocimiento en sí se estructura en un segundo plano pero ya en el proceso se vincula precisamente con lo que los alumnos requieren en su actividad cotidiana. 3º El Modelo Aproximativo

Se propone a partir de modelos, de concepciones existentes en los alumnos, “ponerlos a prueba” para mejorarlos, modificarlos o construir nuevas concepciones con el fin de lograr que él construya su conocimiento. El docente propone y organiza una serie de situaciones con distintos obstáculos, organiza las diferentes fases de la investigación.

Organiza la comunicación de la clase, propone los elementos convencionales del saber (notaciones, terminología). El saber es considerado con su lógica propia. En el modelo aproximativo, los aprendizajes matemáticos son construidos por los alumnos a partir de la búsqueda de solución a diversas situaciones. El aprendizaje de la matemática puede darse como un proceso colectivo; hay interacción entre las ideas y conocimientos de los alumnos con el docente.

61

k. MÉTODOS Y TÉCNICAS k.1. Clase de investigación, es cuantitativa por que exige medir sus variables. k.2. Tipo de investigación, el tipo de investigación es aplicada. k.3. Nivel de Investigación, la investigación es explicativo correlacional. Es explicativo, porque explica la naturaleza e importancia de los juegos didácticos, a partir de la descripción de las variables: juegos didácticos y aprendizajes de los alumnos del 6to. Grado de Educación Primaria en el Área Lógico Matemática, luego explicar la relación posible entre ambos. k.4. Diseño de la investigación La presente investigación es cuasi experimental, los grupos no se designarán al azar ni se emparejan, se tomaran los grupos intactos, no habrá intervención para la formación de los grupos; pues contamos con los tres elementos básicos que intervienen en la observación experimental: 1º Ambiente en que se efectúa el experimento: aulas contiguas totalmente iguales, en su estructura y dimensiones; por consiguiente tienen la misma temperatura, intensidad de luz y la misma presión atmosférica. 2º Los grupos quedan constituidos: sección A y sección B.

DISTRIBUCION DE SECCIONES

SECCION GRUPO

A Control

C Experimental

3º El estímulo o variable experimental: los juegos didácticos

Esquema:

GE __________ OY1 _________ X __________ OY3

GC __________ OY2 _________- X _________OY4

Donde los OY1 son las puntuaciones de las pruebas, tanto de entrada

como de salida, en nuestro caso:

62

O Y1 = OY2

GE = grupo experimental (sección C)

GC = grupo control (sección D)

X: Presencia del estímulo (juegos didácticos)

- X: Ausencia del estímulo

Así tenemos las hipótesis estadísticas:

Ho H1 = H2

H1 H1 > H2

Corresponde al diseño con prueba–posprueba y grupos intactos (uno de ellos de control). El diseño es explicativo. El nivel de estudio: explicativo.

l. MATERIALES E INSTRUMENTOS

l.1. INSTRUMENTOS

PROCESO DE ELABORACION DEL INSTRUMENTO En la elaboración del cuestionario deberemos tener en cuenta lo siguiente: . Su estructura, los datos a recabar obedecen a un plan estructurado. . La posibilidad de cuantificar los datos recolectados. . Objetividad . Contenido de las preguntas, las preguntas serán cerradas utilizando un lenguaje sencillo teniendo en cuenta la introducción al cuestionario, las preguntas de apertura, la lógica de la entrevista y la ubicación de las preguntas sensitivas.

PROCESO DE APLICACIÓN DEL INSTRUMENTO Primeramente observaremos el comportamiento del grupo de personas a observar a través de la aplicación del cuestionario; luego, conocer el escenario con el tipo de observación elegido, informarse del propósito, tener en cuenta los momentos de observación previamente establecidos.

Se recurrirá a la aplicación de los siguientes instrumentos:

a) Test de diagnóstico

b) Prueba de rendimiento en el área lógico matemática

c) Prueba final.

El test diagnóstico

Este test nos permitirá saber cuál es la situación de entrada de los alumnos en el Área lógico matemática; además averiguar de sus deficiencias, cuáles son sus aspectos positivos que en el momento de inicio poseen.

Prueba de rendimiento en el área lógico matemática

63

Serán pruebas especiales de desarrollo, en la cual se exigirá al alumno que aplique sus conocimientos en una variedad de situaciones. Para el cálculo de confiabilidad de la prueba, utilizaremos para la parte descriptiva la media aritmética y la desviación estándar (s), y, para establecer la estadística de prueba emplearemos la formula:

Recogida de Datos

El Test de diagnóstico se realizará durante el desarrollo del año académico, tomada sorpresivamente en forma personal en ningún caso anónimo. Las pruebas reformadas en fechas programadas. Técnicas para el procesamiento y análisis de los datos obtenidos. a. Rutina del test de diagnóstico: - Puntuaciones directas vaciadas en una matriz, para obtener la

desviación estándar y el coeficiente de variación de las respuestas correctas según los niveles cognoscitivos considerados.

- Calcular los porcentajes de aciertos y desaciertos por niveles cognoscitivos.

- Calcular el grado real de solución de cada nivel (diferencia en los valores z) usando la tabla de áreas de la curva normal.

- Comparación de la variabilidad de los dos grupos. b. Pruebas de rendimiento en el Área Lógico Matemática. Serán calificadas sobre veinte puntos y cada pregunta será ponderada en la calificación.

l.2. MATERIALES

MATERIALES INSTRUMENTOS

BIENES: - Materiales de

impresión. - Filmadora - Cámara fotográfica - Casetes

MODELOS DIDÁCTICOS: - Normativo. Iniciativo y

Aproximativo. - Modelo Guzmán. - Modelo Polya. - PRUEBA DE

RENDIMIENTO EN EL ÁREA MATEMÁTICA.

SERVICIOS:

- Pasajes

- Viáticos

- Consultoría

- Alquiler de equipos.

1-n

S

μ Xt

64

m. UNIVERSO Y/ MUESTRA

m.1. Población m.1. 1. Delimitación espacial y temporal La Investigación se realizará en el ámbito Geográfico del distrito de Lurín, Provincia de Lima, Departamento Lima, perteneciente a la UGEL Nº 01, San Juan de Miraflores.

m.1.2. Definición de la población La población objetivo o de estudio está conformada por todos los alumnos del sexto grado de educación primaria de la jurisdicción de de Lurín. El reporte de la matrícula es como sigue:

DISTRIBUCION DE LA POBLACIÓN OBJETIVO, POBLACIÓN REFINADA Y

GRUPOS

SECCION POB.

OBJETIVO

POB.

REFINADA *

GRUPO

A 28 28 control

C 28 28 experimental

TOTAL 56 56

* No se consideran alumnos de otras secciones, ni repitentes.

n. TRATAMIENTO DE DATOS Una vez recopilado los datos y contando ya con un banco de datos con la información adecuada; el tratamiento y análisis estadístico de los datos lo realizaremos usando la estadística descriptiva e inferencial a través del uso de los estadígrafos de centralización y dispersión así como también para la verificación y contrastación de resultados utilizaremos la prueba de hipótesis: estadística de prueba. Además nos apoyaremos en el uso de paquetes, tales como:

Minitab

Fox Pro

Excel

SPSS

o. RESULTADOS

o.1 SELECCIÓN Y VALIDACIÓN DE LOS INSTRUMENTOS

o.1.1 Selección de los Instrumentos

65

a) Prueba de entrada

El instrumento examen se aplicó a los alumnos, para indagar su aprendizaje acerca de los indicadores de cada una de las dimensiones de la Variable de estudio. La prueba pre test tiene la siguiente estructura:

Primera sección: Resolución de problemas del modelo normativo, iniciativo y aproximativo, está constituida por diez preguntas de conocimiento referidos a problemas normativos. Segunda Sección: Resolución de problemas de Polya, constituida por diez preguntas de conocimiento referidos a resolución de problemas. Tercera Sección: Resolución de problemas del modelo Guzmán, constituida por cinco preguntas de conocimiento referidos a operaciones combinadas. b) Prueba de salida El iinstrumento examen que se aplicó a los alumnos, para indagar su aprendizaje acerca de los indicadores de cada una de las dimensiones de la Variable de estudio. La prueba post test tiene la siguiente estructura:

Primera sección: Problemas modelo normativo, está constituida por diez preguntas de conocimiento referidos a las figuras geométricas. Segunda Sección: Problemas modelo Polya, constituida por seis preguntas de conocimiento referidos resolución de problemas. Tercera Sección: Problemas modelo Guzmán, constituida por cuatro constituida por cinco preguntas de conocimiento referidos a operaciones combinadas.

o.1.2 Análisis de validez y confiabilidad

La validez establece relación del instrumento con las variables que pretende medir y, la validez de construcción relaciona los ítems del cuestionario aplicado con los basamentos teóricos y los objetivos de la investigación para que exista consistencia y coherencia técnica. El criterio de validez se puede medir por el coeficiente Alfa Cronbach, el instrumento es válido cuando el coeficiente es igual o mayor a 0.6.

El criterio de confiabilidad del instrumento, se determina en la presente investigación, por el coeficiente de Alfa Cronbach, desarrollado por J. L. Cronbach, requiere de una sola administración del instrumento de medición y produce valores que oscilan entre uno y cero. Es aplicable a escalas de

66

varios valores posibles, por lo que puede ser utilizado para determinar la confiabilidad en escalas cuyos ítems tienen como respuesta más de dos alternativas. Entendemos por confiabilidad el grado en que el cuestionario es consistente al medir las variables que mide. Su formula determina el grado de consistencia y precisión; la escala de valores que determina la confiabilidad está dada por los siguientes valores: CRITERIO DE CONFIABILIDAD VALORES

No es confiable 0 a 0.6

Baja confiabilidad 0.06 a 0.69

Existe confiabilidad 0.7 a 0.75

Fuerte confiabilidad 0.76 a 0.89

Alta confiabilidad 0.9 a 1

La fórmula del estadístico de confiabilidad Alfa de Crombach:

K: El número de ítems

Si2 :Sumatoria de Varianzas de los Ítems

T2 : Varianza de la suma de los Ítems

Coeficiente de Alfa de Crombach

Mediante la aplicación del Software estadístico SPSS V 15.0 se obtuvo la confiabilidad Alfa de Crombach en el cuestionario aplicado a cada una de las variables. a) Confiabilidad de la Prueba de Entrada El instrumento examen de entrada se aplico a una muestra piloto de diez alumnos del sexto grado de primaria de la institución educativa estatal Nº 7098 UGEL Nº 01-SJM, obteniendo el siguiente resultado de confiabilidad con la aplicación del programa SPSS versión 15.

Resumen del procesamiento de los casos

N %

Casos

Válidos 10 100.0

Excluidos(a) 0 .0

Total 10 100.0

a Eliminación por lista basada en todas las variables del procedimiento.

2

2

11

T

i

S

S

K

K

67

Estadísticos de fiabilidad

Alfa de Cronbach

N de elementos

.881 25

El resultado obtenido del coeficiente Alfa de Cronbach es igual a 0.881, dicho instrumento es válido por ser mayor a 0.6, es decir cumple con los objetivos de la investigación. También el instrumento es confiable por ser mayor a 0.7 dicho instrumento presenta consistencia interna. b) Confiabilidad de la prueba de salida El instrumento prueba de salida se aplico a una muestra piloto de diez alumnos del sexto grado de primaria de la institución educativa estatal Nº 7098 UGEL Nº 01-SJM, obteniendo el siguiente resultado de confiabilidad con la aplicación del programa SPSS versión 15.

Resumen del procesamiento de los casos

N %

Casos Válidos 10 100.0

Excluidos(a) 0 .0

Total 10 100.0

a Eliminación por lista basada en todas las variables del procedimiento.

Estadísticos de fiabilidad

Alfa de Cronbach N de elementos

.890 20

El resultado obtenido del coeficiente Alfa de Cronbach es igual a 0.890, dicho instrumento es válido por ser mayor a 0.6, es decir cumple con los objetivos de la investigación. También el instrumento es confiable por ser mayor a 0.7 dicho instrumento presenta consistencia interna.

68

TRATAMIENTO ESTADÍSTICO E INTERPRETACIÓN DE CUADROS

Se desarrolla el estudio descriptivo mediante tablas y gráficos para una la

variable y dimensiones de estudio.

TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

TABLA Nº 1

GÉNERO DE LOS GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL DE LOS ALUMNOS

DEL SEXTO GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

GRUPOS TOTAL

EXPERIMENTAL CONTROL

N % N % N %

GENERO FEMENINO 15 53.8% 20 73.1% 33 63.5%

MASCULINO 13 46.2% 8 26.9% 19 36.5%

TOTAL 28 100% 28 100% 52 100%

15 niños del sexto grado de educación primaria de la institución

educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, son del género

femenino, del grupo experimental y representan el 53.8%.

13 niños del sexto grado de educación primaria de la institución

educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, son del género

masculino, del grupo experimental y representan el 46.2%.

20 niños del sexto grado de educación primaria de la institución

educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, son del género

femenino, del grupo de control y representan el 73.1%.

8 niños del sexto grado de educación primaria de la institución

educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, son del género

masculino, del grupo de control y representan el 26.9%.

35 niños del sexto grado de educación primaria de la institución

educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, son del género

femenino, y representan el 63.5%.

21 niños del sexto grado de educación primaria de la institución

educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, son del género

masculino y representan el 36.5%.

69

GRÁFICO Nº 1.

GÉNERO DE LOS GRUPOS CONTROL Y EXPERIMENTAL DE LOS ALUMNOS DEL QUINTO GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN

EDUCATIVA ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

15 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, son del género femenino, del grupo experimental.

20 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, son del género femenino, del grupo de control.

13 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, son del género masculino, del grupo experimental.

8 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, son del género masculino, del grupo de control.

GENERO

MASCULINOFEMENINO

Rec

ue

nto

20

15

10

5

0

7

19

12

14

Gráfico de barras

CONTROL

EXPERIMENTAL

GRUPOS

70

GRÁFICO Nº 2 GÉNERO DE LOS ALUMNOS DEL SEXTO GRADO DE PRIMARIA DE LA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

El 37% de los alumnos del quinto grado de primaria de la

institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 1, son del genero

masculino.

El 63% de los alumnos del quinto grado de primaria de la

institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 1, son del genero

femenino.

33

63%

19

37%

FEMENINO

MASCULINO

71

TABLA Nº 2

EDAD GRUPOS DE CONTROL Y EXPERIMENTAL DE LOS ALUMNOS DEL SEXTO GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA

ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

GRUPOS TOTAL

EXPERIMENTAL CONTROL

N % N % N %

EDAD

9

2 7.7% 4 11.5% 5 9.6%

10

20 76.9% 24 88.5% 45 82.7%

11

3 7.7% 0 .0% 2 3.8%

13

2 3.8% 0 .0% 1 1.9%

14

1 3.8% 0 .0% 1 1.9%

TOTAL 28 100.0% 28 100.0% 54 100.0%

2 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 9 años de edad, son del grupo experimental y representan el 7.7%.

20 niños del xexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 10 años de edad, son del grupo experimental y representan el 76.9%.

2 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 11 años de edad, son del grupo experimental y representan el 7.7%.

1 niño del sexto grado de educación primaria de de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 13 años de edad, es del grupo experimental y representan el 3.8%.

1 niño del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 14 años de edad, es del grupo experimental y representan el 3.8%.

3 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 9 años de edad, son del grupo de control y representan el 11.5%.

23 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 10 años de edad, son del grupo de control y representan el 88.5%.

5 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 9 años de edad y representan el 9.6%.

43 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 10 años de edad y representan el 82.7%.

72

GRÁFICO Nº 3 EDAD GRUPOS DE CONTROL Y EXPERIMENTAL DE LOS ALUMNOS DEL

SEXTO GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 01

3 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 9 años de edad y son del grupo de control.

20 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01 -SJM, tienen 10 años de edad y son del grupo experimental.

23 niños del sexto grado de educación primaria de de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 10 años de edad y son del grupo de control.

2 niños del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 11 años de edad y son del grupo experimental.

1 niño del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 13 años de edad y es del grupo experimental.

1 niño del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 14 años de edad y es del grupo experimental.

EDAD

141311109

Recu

en

to

25

20

15

10

5

0

23

311

2

20

2

Gráfico de barras

CONTROL

EXPERIMENTAL

GRUPOS

73

GRÁFICO Nº 4

EDAD DE LOS ALUMNOS DEL SEXTO GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

5 niños del sexto grado de educación primaria de la institución

educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 9 años de edad y

representan el 9.6%.

43 niños del sexto grado de educación primaria de la institución

educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 10 años de edad

y representan el 82.7%.

2 niños del sexto grado de educación primaria de la institución

educativa estatal nº 7098 UGEL nº 01-SJM, tienen 11 años de edad

y representan el 3.85%.

9

10

11

13

14

EDAD

Los sectores muestran frecuencias

74

TABLA Nº 3

COMPARACIÓN DE MEDIAS PARA EL GRUPO DE CONTROL Y EXPERIMENTAL EN LA PRUEBA PRE TEST DE LOS ALUMNOS DEL SEXTO

GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

GRUPOS

EXPERIMENTAL CONTROL

Media Desviación

típ. Media

Desviación típ.

APRENDIZAJE 10.3846 3.26284 11.5769 2.43595

DESCUBRIMIENTO 32.2692 9.20242 30.1154 5.59519

ESTRATEGIA 14.4615 9.78665 16.0000 5.69210

OPERATORIO 7.5000 4.84768 12.5000 6.51920

10.3846. es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje en el grupo experimental de la prueba pre test.

11.5769. es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje en el grupo de control de la prueba pre test.

32.2692 es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje de figuras geométricas, dimensión descubrimiento en el grupo experimental de la prueba pre test.

30.1154 es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje de figuras geométricas, dimensión descubrimiento en el grupo de control de la prueba pre test.

14.4615 es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje de resolución de problemas, dimensión estrategia en el grupo experimental de la prueba pre test.

16.0000 es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje de resolución de problemas, dimensión estrategia en el grupo de control de la prueba pre test.

7.5000 es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje de operación combinada, dimensión operatorio en el grupo experimental de la prueba pre test.

12.5000 es el promedio de los alumnos con respecto aprendizaje de operación combinada, dimensión operatorio en el grupo de control de la prueba pre test.

75

GRÁFICO Nº 5 COMPARACIÓN DE PROMEDIOS PARA EL GRUPO DE CONTROL Y

EXPERIMENTAL EN LA PRUEBA PRE TEST DE LOS ALUMNOS DEL SEXTO GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA

ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

12 es el promedio con respecto al aprendizaje del grupo de control en la

prueba pre test.

30 es el promedio con respecto al aprendizaje de figuras geométricas,

dimensión descubrimiento del grupo de control en la prueba pre test.

16 es el promedio con respecto al aprendizaje de resolución de problemas,

dimensión estrategia del grupo de control en la prueba pre test.

13 es el promedio con respecto a aprendizaje de operación combinada, la

dimensión operatorio del grupo de control en la prueba post test.

3230

1416

8

13

1012

0

5

10

15

20

25

30

35

DESCUBRIMIENTO ESTRATEGIA OPERATORIO APRENDIZAJE

EXPERIMENTAL

CONTROL

76

TABLA Nº 4

COMPARACIÓN DE MEDIAS PARA EL GRUPO DE CONTROL Y EXPERIMENTAL EN LA PRUEBA POST TEST DE LOS ALUMNOS DEL SEXTO

GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

GRUPOS

EXPERIMENTAL CONTROL

Media Desviación

típ. Media

Desviación típ.

APRENDIZAJE 16.15 1.405 12.19 1.721

DESCUBRIMIENTO 44.58 4.254 30.44 7.147

ESTRATEGIA 21.19 4.673 15.54 3.982

OPERATORIO 16.44 2.022 14.04 3.470

16.15 es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje en el grupo experimental de la prueba post test.

12.19 es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje en el grupo de control de la prueba post test.

44.58 es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje de figuras geométricas, dimensión descubrimiento en el grupo experimental de la prueba post test.

30.44 es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje de figuras geométricas, dimensión descubrimiento en el grupo de control de la prueba post test.

21.19 es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje de resolución de problemas, dimensión estrategia en el grupo experimental de la prueba post test.

15.44 es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje de resolución de problemas, dimensión estrategia en el grupo de control de la prueba post test.

16.44 es el promedio de los alumnos con respecto al aprendizaje de operación combinada, dimensión operatorio en el grupo experimental de la prueba post test.

14.04 es el promedio de los alumnos con respecto aprendizaje de operación combinada, dimensión operatorio en el grupo de control de la prueba post test.

77

GRÁFICO Nº 6 COMPARACION DE PROMEDIOS PARA EL GRUPO DE CONTROL Y

EXPERIMENTAL EN LA PRUEBA POST TEST DE LOS ALUMNOS DEL SEXTO GRADO DE EDUCACION PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA

ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

16 es el promedio con respecto al aprendizaje del grupo experimental en la

prueba post test.

45 es el promedio con respecto a la dimensión descubrimiento del grupo

experimental en la prueba post test.

21 es el promedio con respecto a la dimensión estrategia del grupo

experimental en la prueba post test.

16 es el promedio con respecto a la dimensión operatorio del grupo

experimental en la prueba post test.

45

30

21

16 1614

16

12

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

DESCUBRIMIENTO ESTRATEGIA OPERATORIO APRENDIZAJE

EXPERIMENTAL

CONTROL

78

TABLA Nº 5

COMPARACIÓN DE MEDIAS PARA EL GRUPO DE CONTROL RESPECTO AL PRE TEST Y POST TEST DE LOS ALUMNOS DEL SEXTO GRADO DE

EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

INTERVENCIÓN

PRE TEST POST TEST

Media Desviación típ. Media Desviación

típ.

APRENDIZAJE 11.5769 2.43595 12.1923 1.72091

DESCUBRIMIENTO 30.1154 5.59519 30.4423 7.14748

ESTRATEGIA 16.0000 5.69210 15.5385 3.98227

OPERATORIO 12.5000 6.51920 14.0385 3.46965

11.5769 es el promedio con respecto al aprendizaje del grupo de control en la prueba pre test.

12.1923 es el promedio con respecto al aprendizaje del grupo de control en la prueba post test.

30.1154 es el promedio con respecto al aprendizaje de figuras geométricas, dimensión descubrimiento del grupo de control en la prueba pre test.

30.4423 es el promedio con respecto al aprendizaje de figuras geométricas, dimensión descubrimiento del grupo de control en la prueba post test.

16 es el promedio con respecto al aprendizaje de resolución de problemas, dimensión estrategia del grupo de control en la prueba pre test.

15.5325 es el promedio con respecto al aprendizaje de resolución de problemas, dimensión estrategia del grupo de control en la prueba post test.

12.5000 es el promedio con respecto al aprendizaje de operaciones combinadas, la dimensión operatorio del grupo de control en la prueba pre test.

14.0385 es el promedio con respecto al aprendizaje de operaciones combinadas, la dimensión operatorio del grupo de control en la prueba post test.

79

GRÁFICO Nº 7

COMPARACIÓN DE PROMEDIOS PARA EL GRUPO DE CONTROL RESPECTO AL PRE TEST Y POST TEST DE LOS ALUMNOS DEL SEXTO GRADO DE

EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

12 es el promedio con respecto al aprendizaje del grupo de control en la

prueba pre test y post test.

30 es el promedio con respecto a la dimensión descubrimiento del grupo de

control en la prueba pre test y post test

16 es el promedio con respecto a la dimensión estrategia del grupo de

control en la prueba pre test y post test

13 es el promedio con respecto a la dimensión operatorio del grupo de

control en la prueba post test.

14 es el promedio con respecto a la dimensión operatorio del grupo de

control en la prueba post test.

30 30

1616

1314

12 12

0

5

10

15

20

25

30

DESCUBRIMIENTO ESTRATEGIA OPERATORIO APRENDIZAJE

PRE TEST

POST TEST

80

TABLA Nº 6

COMPARACIÓN DE MEDIAS PARA EL GRUPO EXPERIMENTAL RESPECTO AL PRE TEST Y POST TEST DE LOS ALUMNOS DEL SEXTO GRADO DE

EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

INTERVENCIÓN

PRE TEST POST TEST

Media Desviación típ. Media Desviación

típ.

APRENDIZAJE 10.3846 3.26284 16.1538 1.40548

DESCUBRIMIENTO 32.2692 9.20242 44.5769 4.25369

ESTRATEGIA 14.4615 9.78665 21.1923 4.67349

OPERATORIO 7.5000 4.84768 16.4423 2.02152

10.3846 es el promedio con respecto al aprendizaje del grupo experimental

en la prueba pre test.

16.1538 es el promedio con respecto al aprendizaje del grupo experimental

en la prueba post test.

32.2692 es el promedio con respecto al aprendizaje figuras geométricas,

dimensión descubrimiento del grupo experimental en la prueba pre test.

44.5769 es el promedio con respecto al aprendizaje de figuras geométricas,

dimensión descubrimiento del grupo experimental en la prueba post test.

14.4615 es el promedio con respecto al aprendizaje de resolución de

problemas, dimensión estrategia del grupo experimental en la prueba pre

test.

21.1923 es el promedio con respecto al aprendizaje de resolución de

problemas, dimensión estrategia del grupo experimental en la prueba post

test.

7.5 es el promedio con respecto al aprendizaje de operaciones

combinadas, la dimensión operatorio del grupo experimental en la prueba

pre test.

16.4423 es el promedio con respecto al aprendizaje de operaciones

combinadas, la dimensión operatorio del grupo experimental en la prueba

post test.

81

GRÁFICO Nº 8

COMPARACIÓN DE PROMEDIOS PARA EL GRUPO EXPERIMENTAL RESPECTO AL PRE TEST Y POST TEST DE LOS ALUMNOS DEL SEXTO

GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA ESTATAL Nº 7098 UGEL Nº 1

16 es el promedio con respecto al aprendizaje del grupo experimental en la

prueba post test.

45 es el promedio con respecto a la dimensión descubrimiento del grupo

experimental en la prueba post test.

21 es el promedio con respecto a la dimensión estrategia del grupo

experimental en la prueba post test.

16 es el promedio con respecto a la dimensión operatorio del grupo

experimental en la prueba post test.

32

45

14

21

8

16

10

16

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

DESCUBRIMIENTO ESTRATEGIA OPERATORIO APRENDIZAJE

PRE TEST

POST TEST

82

HIPÓTESIS GENERAL

Los modelos de interacción (modelo normativo, iniciativo, aproximativo, Guzmán y Polya) influyen significativamente en el buen aprendizaje de resolución de problemas, área matemática, de los alumnos del sexto grado de educación primaria, en las Instituciones Educativas Estatales, UGEL Nº 1, S.J.M.

a) hipótesis estadística

Ha: En la prueba pre-test los alumnos del grupo experimental obtienen menor rendimiento que en la prueba post test. H0. En la prueba pre-test los alumnos del grupo experimental obtienen mayor o igual rendimiento que en la prueba post test.

b) Nivel de significación de α=5% (0.05).

Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se

rechaza Ho.

c) se realiza la prueba t de student.

La prueba t de student que se desarrolla es: Diferencia de medias emparejadas. Puesto que se quiere ver si hay diferencia entre el rendimiento en las pruebas pre-test y post-test, Es decir contraste para un mismo grupo en dos momentos.

nS

dt

d

c

/

Donde:

n

dd

i y

1

2

12

n

ddS d

Se llevo a cabo los cálculos mediante el programa spss versión 15.

83

Estadísticos de muestras relacionadas

Media N Desviación

típ. Error típ. de

la media

PRE TEST APRENDIZAJE

10.38 28 3.263 .640

POST TEST APRENDIZAJE

16.15 28 1.405 .276

Prueba de muestras relacionadas

Diferencias relacionadas

t gl

Sig. (bilate

ral) Media Desviació

n típ.

Error típ. de

la media

95% Intervalo de confianza para la

diferencia

inferior superio

r

PRE TEST - POST TEST

-5.769 3.386 .664 -7.137 -4.402 -8.688 25 .000

De acuerdo a los resultados obtenidos con el programa, el t c = -8.688

d) regiones críticas

- t0 = t ( , n-1 )

- t0 = t ( 0.05 , 26-1 )

- t0 = t ( 0.05 , 25)

De acuerdo a la tabla t de student, el punto crítico es:

- t0 = -1.708

La zona de aceptación es mayor a -1.708

La zona de rechazo es igual o menor a -1.708

e) Decisión

Se rechaza la hipótesis nula H0, si t c cae en la zona de rechazo. La prueba resulta ser significativa. Se acepta la hipótesis alterna Ha.

El t c = -8.688 está dentro de la zona de rechazo, entonces se rechaza la hipótesis nula H0, y se acepta la hipótesis alterna Ha. La prueba resulta ser significativa.

f) Interpretación

En la prueba pre-test los alumnos del grupo experimental obtienen menor rendimiento que en la prueba post test. Ello se debe a que el modelo iniciativo, normativo y aproximativo, Polya y Guzmán han influido significativamente en el buen aprendizaje del área de matemática de los alumnos del grupo experimental del sexto grado de educación primaria de la institución educativa estatal nº 7098, UGEL nº 1, S.J.M.

84

Hipótesis especifica 1

La aplicación del modelo interactivo (normativo, iniciativo y aproximativo) influye significativamente en el aprendizaje de la resolución de problemas, área matemática de los alumnos.

a) hipótesis estadística

Ha: En la prueba pre-test los alumnos del grupo experimental obtienen menor aprendizaje de las figuras geométricas que en la prueba post test. H0. En la prueba pre-test los alumnos del grupo experimental obtienen mayor o igual aprendizaje de las figuras geométricas que en la prueba post test.

b) Nivel de significación de α=5% (0.05).

Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.

c) se realiza la prueba t de student.

Diferencia de medias emparejadas. Puesto que se quiere ver si hay diferencia entre el aprendizaje de figuras geométricas en las pruebas pre-test y post-test, Es decir contraste para un mismo grupo en dos momentos.

nS

dt

d

c

/

Donde:

n

dd

i y

1

2

12

n

ddS d

Se llevo a cabo los cálculos mediante el programa spss versión 15.

Estadísticos de muestras relacionadas

Media N Desviación típ. Error típ. de la

media

PRE TEST FIGURA GEOMETRICA 32.2692 26 9.20242 1.80474

POST TEST FIGURA GEOMETRICA 44.5769 26 4.25369 .83422

85

Prueba de muestras relacionadas

De acuerdo a los resultados obtenidos con el programa, el t c = -6.955

d) Regiones críticas

- t0 = t ( , n-1 )

- t0 = t ( 0.05 , 26-1 )

- t0 = t ( 0.05 , 25)

De acuerdo a la tabla t de student, el punto crítico es:

- t0 = -1.708

La zona de aceptación es mayor a -1.708

La zona de rechazo es igual o menor a -1.708

e) Decisión Se rechaza la hipótesis nula H0, si t c cae en la zona de rechazo. La prueba resulta ser significativa. Se acepta la hipótesis alterna Ha.

El t c = -6.955 está dentro de la zona de rechazo, entonces se rechaza la hipótesis nula H0, y se acepta la hipótesis alterna Ha. La prueba resulta ser significativa.

f) Interpretación En la prueba pre-test los alumnos del grupo experimental obtienen menor aprendizaje en la resolución de problemas los problemas que en la prueba post test, ello se debe a que la aplicación del modelo interactivo en la solución de problemas han influido significativamente en el aprendizaje de resolución de problemas. Hipótesis especifica 2 La aplicación del modelo Guzmán influye significativamente el aprendizaje de la resolución de problemas, área matemática, de los alumnos.

Diferencias relacionadas

t gl Sig.

bilateral Media Desviación

típ.

Error típ. de la

media

95% Intervalo de confianza para la

diferencia

Superior Inferior

PRE TEST FIGURA GEOMETRICA - POST TEST FIGURA GEOMETRICA -12.30769 9.02339 1.76963 -15.95232 -8.66307 -6.955 25 .000

86

a) hipótesis estadística Ha: En la prueba pre-test los alumnos del grupo experimental obtienen menor aprendizaje de resolución de problemas que en la prueba post test. H0. En la prueba pre-test los alumnos del grupo experimental obtienen mayor o igual aprendizaje de resolución de problemas que en la prueba post test. b) Nivel de significación de α=5% (0.05). Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se

rechaza Ho.

c) Se realiza la prueba t de student.

Diferencia de medias emparejadas. Puesto que se quiere ver si hay diferencia entre el aprendizaje de resolución de problemas en las pruebas pre-test y post-test, Es decir contraste para un mismo grupo en dos momentos.

nS

dt

d

c

/

Donde:

n

dd

i y

1

2

12

n

ddS d

Se llevo a cabo los cálculos mediante el programa spss versión 15.

Estadísticos de muestras relacionadas

Media N Desviación típ. Error típ. de la

media

PRE TEST RESOLUCION PROBLEMA

14.4615 26 9.78665 1.91932

POST TEST RESOLUCION PROBLEMA 21.1923 26 4.67349 .91655

Prueba de muestras relacionadas

Diferencias relacionadas

t gl Sig.

bilateral Media Desviación

típ.

Error típ. de la

media

95% Intervalo de confianza para la

diferencia

Superior Inferior

PRE TEST RESOLUCION PROBLEMA - POST TEST RESOLUCIOON PROBLEMA

-6.73077 9.71826 1.90591 -10.65606 -2.80548 -3.532 25 .002

De acuerdo a los resultados obtenidos con el programa, el t c = -3.532

87

d) regiones críticas

- t0 = t ( , n-1 )

- t0 = t ( 0.05 , 26-1 )

- t0 = t ( 0.05 , 25)

De acuerdo a la tabla t de student, el punto crítico es:

- t0 = -1.708

La zona de aceptación es mayor a -1.708

La zona de rechazo es igual o menor a -1.708

e) Decisión

Se rechaza la hipótesis nula H0, si t c cae en la zona de rechazo. La prueba

resulta ser significativa. Se acepta la hipótesis alterna Ha.

El t c = -3.532 está dentro de la zona de rechazo, entonces se rechaza la

hipótesis nula H0, y se acepta la hipótesis alterna Ha. La prueba resulta ser

significativa.

f) Interpretación

En la prueba pre-test los alumnos del grupo experimental obtienen menor

aprendizaje de resolución de problemas que en la prueba post test. Ello se

debe a que la aplicación del modelo Guzmán ha influido significativamente en

el aprendizaje de resolución de problemas.

Hipótesis especifica 3

La aplicación del modelo Polya influye significativamente el aprendizaje de la resolución de problemas, área matemática, de los alumnos.

a) Hipótesis estadística

Ha: En la prueba pre-test los alumnos del grupo experimental obtienen menor aprendizaje al aplicar el modelo Polya que en la prueba post test. H0. En la prueba pre-test los alumnos del grupo experimental obtienen mayor o igual aprendizaje del modelo Polya que en la prueba post test.

88

b) Nivel de significación de α=5% (0.05)

Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se

rechaza Ho.

c) Se realiza la prueba t de student.

Diferencia de medias emparejadas. Puesto que se quiere ver si hay diferencia

entre el aprendizaje de figuras geométricas en las pruebas pre-test y post-test,

Es decir contrate para un mismo grupo en dos momentos.

nS

dt

d

c

/

Donde:

n

dd

i y

1

2

12

n

ddS d

Se llevo a cabo los cálculos mediante el programa spss versión 15.

Estadísticos de muestras relacionadas

Media N Desviación

típ.

Error típ. de la media

PRE TEST OPERACION COMBINADA 7.5000 26 4.84768 .95071

POST TEST OPERACION COMBINADA 16.4423 26 2.02152 .39645

Prueba de muestras relacionadas

Diferencias relacionadas

t gl Sig.

bilateral Media Desviación

típ.

Error típ. de la media

95% Intervalo de confianza para la

diferencia

Superior Inferior

PRE TEST OPERACION COMBINADA - POST TEST OPERACION COMBINADA -8.94231 4.85660 .95246 -10.90393 -6.98069 -9.389 25 .000

89

De acuerdo a los resultados obtenidos con el programa, el t c = -9.389

d) Regiones críticas

- t0 = t ( , n-1 )

- t0 = t ( 0.05 , 26-1 )

- t0 = t ( 0.05 , 25)

De acuerdo a la tabla t de student, el punto crítico es:

- t0 = -1.708

La zona de aceptación es mayor a -1.708

La zona de rechazo es igual o menor a -1.708

e) Decisión Se rechaza la hipótesis nula H0, si t c cae en la zona de rechazo. La prueba resulta ser significativa. Se acepta la hipótesis alterna Ha. El t c = -9.389 está dentro de la zona de rechazo, entonces se rechaza la hipótesis nula H0, y se acepta la hipótesis alterna Ha. La prueba resulta ser significativa.

f) Interpretación En la prueba pre-test los alumnos del grupo experimental obtienen menor aprendizaje del modelo Polya que en la prueba post test, ello se debe a que la aplicación de los pasos para resolver un problema de acuerdo a Polya ha influido significativamente en el aprendizaje de operaciones combinados,

90

p. CONCLUSIONES

Los resultados del estudio nos permiten realizar las siguientes conclusiones: 1º La mayoría de los alumnos, tanto en el grupo control, como en el experimental son mujeres (33) que representa el 63,5%. Las edades más frecuentes en ambos grupos son de 10 años (43) que representa el 82.7%; por lo tanto, se concluye que, tanto el grupo experimental, como el grupo control, son similares en sus indicadores demográficos de edad y género. 2º No existe diferencia significativa en el grupo control y en el grupo experimental en La solución de problemas antes de la intervención, pues sus promedios son aproximadamente iguales en rendimiento. 3º Existe diferencia significativa en los grupos control y en el grupo experimental. Se observa un incremento significativo en el grupo experimental después de la intervención. Lo que indica que la aplicación de estrategias en la resolución de problemas ayudan a incrementar el rendimiento en los alumnos en el curso de matemática.

4º No existen diferencias significativas en el grupo control antes y después de la intervención. Lo que indica que en el grupo control no se observó mejoras significativas en la resolución de problemas. 5º Existe diferencia significativa en el grupo experimental antes y después de la intervención. Se observa un incremento significativo después de la intervención.

Con lo que se concluye que los modelos de resolución de problemas: normativo, iniciativo, aproximativo,Polya, y Guzmán ayudan al aprendizaje de los contenidos del área Matemática, de los alumnos del sexto grado de Educación Primaria, en la Institución Educativa N° 7098, Villa Alejandro, Lurín. 6º La aplicación de estrategias para la rsolución de problemas matemáticos ayudan a incrementar el rendimiento conceptual en los alumnos en el área Matemática en forma significativa. 7º La introducción de modelos de resolución de problemas ayudan significativamente en el rendimiento procedimental y conductual en los alumnos en el área Matemática.

91

q. RECOMENDACIONES

1. Podrán hacer estudios de rendimiento en el área Matemática y los juegos didácticos en los grados inferiores: de 1er. a 5to. grados de Educación Primaria, a través de esta fuente de investigación. Así se podrá establecer la relación de los modelos de resolución de problemas y su influencia en los aprendizajes en el área de Matemática, ya que en la mayoría de las instituciones educativas estatales surgen como un problema nacional y podrán aplicar dichos instrumentos de referencia en una muestra determinada como una estrategia metodológica.

2. Se recomienda utilizar otros diseños de investigación científicos

pedagógicos cuantitativos y cualitativos, como investigaciones descriptivas, experimentales, tecnológicas y proyectivas.

3. Está permitido utilizar esta investigación científico pedagógico en su

aplicación total o parcial (monografías, proyectos, tesis, trabajos en general) si se cita la fuente y el autor.

4. Para lograr mayor inferencia de aplicabilidad a una población más

grande, se recomienda realizar el estudio a nivel nacional.

5. Continuar con los estudios de investigación, a nivel general, en docentes del nivel de Educación Primaria para poder medir el tiempo de eficacia de los Diseños Curriculares, ya que los niveles hallados en los participantes son una señal de alerta para la educación en el área de Matemática.

Futuras Intervenciones y/o estudios Al haber establecido al final de la aplicación de los modelos de resolución de problemas que se han logrado resultados en forma positiva, la directora del nivel de Educación Primaria y los docentes del sexto grado han acordado aplicar los modelos de resolución de problemas en el área Matemática, por lo que se les facilitó el material con la finalidad de que sean aplicados en el sexto grado de Educación Primaria.

92

r. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Aebli, Hans. (1972). Una Didáctica Fundada en la Psicología de Jean Piaget. Buenos Aires, Editorial Kapelusz, 210 pp.

2. Alberts Ingrid y otros (1997). Poemas con Números. Lima, ediciones MED. 3. Alsina Catalá, Claudi y otros (2000).Invitación a la Didáctica de la geometría. España, Editorial Síntesis, S.A. 142 pp. 4. Asociación Solaris Perú (2005). Calculo, Matematizo y Razono Lógicamente: Módulo de Formación Docente Área De Lógico Matemática. Lima, Ediciones Asociación Solaris Perú. 112 pp. 5. Álvarez Álvarez, Ángel. (1996). Actividades Matemáticas con Materiales Didácticos. Madrid. Narcea S.A. de Ediciones. 166 pp. 6. Arellano Bados, Teresa (1996). Área Lógico-Matemática: Guía para Docentes. Lima, Ediciones MED. 7. Basili, Francisco y otros (1996). Sugerencias y Reflexiones Para Mejorar Aprendizajes. Lima, Ediciones MED.

8. Cabrera O., Mónica. (2003). Metodología Activa en la Enseñanza de la Matemática. Lima, Ediciones UPC., 118 p. 9. Cascallana, María Teresa (1988). Iniciación a la Matemática: Materiales y Recursos Didácticos. España, Ediciones Santillana Aula XXI, 233 pp. 10. Castro, Enrique (1990). Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. España, Editorial Síntesis, S.A., 626 pp. 11. Cofre J., Alicia y Tapia A., Lucila (1998). Cómo Desarrollar el Razonamiento Lógico y Matemático. Chile, Editorial Universitaria Fundación Educacional del Arauco, 310 pp. 12. Conafe (1987). Cómo Aprendemos Matemática. México, Ediciones DF. 13. Comas, Margarita (1965). Metodología de la Aritmética y la Geometría. Buenos Aires, Editorial Losada S.A., 108 pp.

93

14. Corbalán, Fernando (1998). La Matemática Aplicada a la Vida Cotidiana. Barcelona. Editorial Grao, de Servis Pedagogics. 172 pp. 15. Díaz Barriga, Frida y Hernández Rojas, Gerardo (s/a). Estrategias Docentes para un Aprendizaje Significativo. México, Ediciones Mc Graw Hill. 16. Dienes, Zoltan. (1970). La Construcción de las Matemáticas. España, Editorial Vinces-Vives, 177 pp. 17. Fasce, Jorge y Martiña, Rolando (1994). Cómo Enseñar Matemática en la Escuela Primaria. Argentina, Librería El Ateneo Editorial.154 p. 18. Gardner, Martín (1979). Miscelánea Matemática. España, Salvat Editores S.A., 196 pp. 19. Guzmán, M. de (1991) El Arte de Pensar Mejor. Barcelona, Editorial Labor.

20. Jurado, Cristina (1993). Didáctica de la Matemática en la Educación Peruana Intercultural Bilingüe. Quito, Ediciones Abyala. 21. La Hora, M. Cristina (1996). Actividades Matemáticas. Madrid, Narcea, S.A. de Ediciones, 174 pp. 31. Ladera Pardo, Victorino (2000). Didáctica de la Matemática: Teoría y Práctica. Lima, Ediciones Abedul, 232 pp. 22. Leif, J. y Dézaly, R. (1961). Didáctica del Cálculo, de las Lecciones de Cosas y de las Ciencias Aplicadas. Buenos Aires, Editorial Kapelusz, 334 pp.

23. Mandel Noriega, Francisca (1974). Didáctica de la Matemática en la Escuela Primaria. Argentina, Editorial Kapelusz S.A., 144 pp. 24. Magnus Enzensberger, Hans (2001). El Diablo de los Números. Munich, Ediciones Ciruela, 256 pp. 25. Márquez, Cristina del Carmen (1985). Enseñar a Pensar. Buenos Aires, Editorial Kapelusz, 88 pp. 26. Ministerio de Educación (2002). Manual para Docentes de Educación Primaria. Plan Nacional de Capacitación Docente. Lima, Ediciones MED. 152 pp.

94

27. Ministerio de Educación (2008). Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular Educación Primaria. Lima. Ediciones MED, 78pp. 28. Ministerio de Educación (2001). Evaluación de los Aprendizajes en el Marco de un Currículo por Competencias. Lima. Ediciones MED,100 pp. 29. Ministerio de Educación (2001). Fichas Pedagógicas para el Aula. Lima. Ediciones MED, 128 pp. 30. Narváez, Ana María y Pasco, Consuelo (1999). Matemática en el Aula… ¿para qué? Lima, Ediciones Tarea, 58 pp. 31. Ontoria Peña, Antonio y otros (2005). Potenciar la Capacidad de Aprender a Aprender. Lima, Ediciones Empresa Editora El Comercio S.A., 196 pp. 32. Palacio Peña, Joaquín (2003). Didáctica de la Matemática: Búsqueda de Relaciones de Contextualización de Problemas. Lima, Fondo Editorial del Pedagógico San Marcos, 266 pp.

33. Pardo de Sande, Irma (1995). Didáctica de la Matemática para la Escuela Primaria. Argentina, Ediciones El Ateneo, 450 pp. 34. Parra, Cecilia (1994). Didáctica de las Matemáticas. Ecuador, Editorial Pardos. 35. Perelman, Y.I. (1973). Matemáticas Recreativas. Moscú, Editorial MIR, 200 pp. 36. Picard Nicole (1975). Matemática y Juego de Niños. Bilbao España. Editorial Derclee de Bronwer. 37. Picard, Nicole (1972). La Conquista del Número I. Barcelona, Editorial Teide- Barcelona, 120 pp. 38. Piaget, Jean (1983). Psicología y Pedagogía. España, Ediciones Sarpe. 230 pp. 39. Rae Gordon y McPhillimy, W. N. (1978). El Aprendizaje en la Escuela Primaria: Un Enfoque Sistemático. España, Ediciones Santillana Aula XXI, 180 pp. 40. Riveros Rojas, Marta y Zanocco Soto, Pierina (1992). Geometría: Aprendizaje y Juego. Chile, Ediciones Universidad Católica de Chile, 159 pp.

95

41. Rodríguez Araínga, Walabonso (1965). Didáctica de las Operaciones Fundamentales. La cantuta, Lima, Ediciones El Nuevo Educador, 230 pp. 42. Schroeder, Joachim (1997). El Universo de los Números. Lima. Ediciones Cooperación Alemana al Desarrollo.

43. Schroeder, Joachim (1998) ¿Cómo Podemos Acercarnos a las Diferentes Etnomatemáticas? Lima, Ediciones MED, 102 pp.

44. Sulca Arbaiza, Arturo y otros (2004). Estrategias Lúdicas para la Enseñanza de la Matemática en Educación Primaria. Lima, Editorial San Marcos, 136 pp. 45. Vigostky, L. (1978). Pensamiento y Lenguaje. La Habana, Ediciones Revolucionaria.

46. www.uco.es/~1marea; tendencias innovadoras en la educación matemática.

96

s. ANEXOS

97

ANEXO Nº 1

INFORME SOBRE JUICIO DE EXPERTO DEL INSTRUMENTO DE INVESTIGACIÓN

I. DATOS GENERALES

APELLIDOS Y NOMBRES DEL EXPERTO:……

INSTITUCIÓN DONDE LABORA:…………

INSTRUMENTO MOTIVO DE LA EVALUACIÓN: Cuestionario para el

alumno

AUTOR DEL INSTRUMENTO: Miguel Alejandro Jara Ahumada

TÍTULO DE LA TESIS: “Modelos de Interacción como Estrategia Metodológica

en la Resolución de Problemas para el Aprendizaje de la Matemática en los alumnos del 6to. Grado de Educación Primaria, en las Instituciones Educativas Estatales, UGEL Nº 1, San Juan de Miraflores”.

II. ASPECTOS DE VALIDACIÓN

III. OPINIÓN DE APLICABILIDAD: ………………………………………………………

IV. PROMEDIO DE VALORACIÓN: ………………………………

FECHA: …………………………. ………………………………………………………

FIRMA DEL EXPERTO

INDICADORES CRITERIOS DEFICIENT

E

1-20

REGULA

R

21-40

BUEN

A

41-60

MUY

BUEN

O

61-80

EXCELKEN

TE

81-100

1. CLARIDAD Esta formulado con lenguaje

apropiado.

2. OJETIVIDAD Esta expresado en conductas

observables.

3. ACTUALIDAD Adecuado al avance de la

ciencia y la tecnología

4. ORGANIZACIÓN Existe una organización

lógica entre variables e

indicadores.

5. SUFICIENCIA Comprende los aspectos en cantidad y calidad.

6.

INTENCIONALIDAD

Adecuado para valorar

aspectos para la educación

matemática.

7. CONSISTENCIA Coherencia entre la

formulación del problema,

objetivos e hipótesis.

8 COHERENCIA Entre los índices,

indicadores y dimensiones.

9. METODOLOGÍA La estrategia responde al

propósito de la

investigación.

98

ANEXO 2 Los datos que se han considerado para la validación de los instrumentos pre test y post test se muestran en la siguiente tabla

PRUEBA ENTRADA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

3 4 4 0 5 5 5 5 5 3 3 1 1 0 0 0 5 0 5 0 0 2.5 2.5 2.5 2.5

3 0 0 0 5 0 5 5 0 3 0 0 0 4 0 0 0 4 4 0 2.5 2.5 0 0 0

4 3 1 0 5 0 5 0 5 1 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 2.5 2.5 0 0 0

0 4 4 0 5 0 5 0 5 3 0 0 1 4 0 0 4 0 4 4 5 5 0 0 5

5 4 3 5 0 0 0 0 0 0 4 1 3 4 0 0 0 0 0 0 2.5 2.5 0 0 0

5 5 4 5 5 5 5 5 5 3 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 0 5 5 5 0

2 5 0 0 5 0 5 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2.5 2.5 0 0 0

4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 2 2 4 4 0 4 4 4 4 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5

5 5 4 0 5 5 5 5 5 3 3 2 1 4 4 0 0 4 4 4 0 5 5 5 5

3 1 3 0 5 0 5 5 5 3 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 2.5 2.5 0 0

PRUEBA SALIDA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5 0 3 5 5 5 3 5 5 3 2 3 5 0 0 5 5 3 5 5

5 5 4 5 5 5 4 0 5 5 4 4 5 5 0 5 3 3 5 5

5 5 5 5 5 5 4 3 5 5 3 4 5 0 0 5 3 5 5 0

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 0 5 5 5 5 5 5

5 5 4 5 5 5 3 5 5 5 4 4 5 5 0 5 5 5 0 5

5 0 3 5 5 2 1 3 2 0 3 4 5 0 0 0 5 5 5 3

5 5 3 0 0 1 3 0 1 0 2 4 5 0 0 5 0 3 0 3

0 0 0 3 5 2 2 3 0 5 3 4 5 0 0 0 5 3 3 5

5 5 1 2 0 3 0 0 0 3 4 5 5 0 0 5 3 0 5 3

5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 5

99

ANEXO Nº 3

FOTOGRAFÍAS

Alumnos resolviendo problemas de perímetros y áreas de figuras

geométricas

100

t. ÍNDICE GENERAL

Pág.

EJECUTORES 3

INDICE DE GRÁFICOS 101

ÍNDICE DE FIGURAS 102

ÍNDICE DE TABLAS 102

ÍNDICE DE ANEXOS 103

RESUMEN EN IDI0MA ESPAÑOL 105

RESUMEN EN IDIOMA INGLÉS 107

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1. Justificación de la investigación. 4

1.2. Planteamiento y formulación del problema. 4

1.3. Hipótesis 7

1.4. Objetivos de la Investigación. 7

1.5. Variables. 8

1.5. Limitaciones de la investigación. 8

1.6. Descripción de las características de la investigación 9

MARCO TEÓRICO

2.1. La matemática: concepciones 10

2.2. Proceso de aprendizaje de la matemática 13

2.3. Enseñanza de la matemática 16

2.4. Tendencias de la didáctica en la matemática 22

2.5. Fines de la enseñanza de la matemática. 14

2.6. Resolver situaciones problemáticas 32

2.7. Proceso de resolución de problemas 34

2.8. Clases de problemas 38

2.9. Estrategias didácticas de Polya 40

2.10. Estrategias didácticas de Schoenfeld 43

101

2.11. Estrategias didácticas de Kantowsky. 45

2.12. Estrategias didácticas de Guzmán 45

2.11. Problemas heurísticos 49

2.13. Ejemplos de problemas heurísticos 51

2.14. Recomendaciones para comprender problemas 58

2.15. Modelo normativo 59

2.15. Modelo Iniciativo 59

2.16. Modelo aproximativo 60

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

3.1. Métodos y técnicas. 61

3.2. Materiales e instrumentos 62

3.3. Universo y muestra 64

TRATAMIENTO DE DATOS Y RESULTADOS

4.1. Tratamiento de datos. 64

V. CONCLUSIONES. 90

VI. RECOMENDACIONES. 91

VII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 92

VIII. ANEXOS 96

VIII. INDICE GENERAL 100

IX. FIRMAS 104

X. RESUMEN EN IDIOMA ESPAÑOL 105

XI. ABSTRACT. 107

ÍNDICE DE GRÁFICOS

GRÁFICO Pág.

1. Géneros de los grupos control y experimental 69

2. Géneros de los alumnos del sexto grado 70

102

3. Edad de los grupos control y experimental 72

4. Edad de los alumnos del sexto grado 73

5. Comparación de promedios grupo experimental y

control en el pretest. 75

6. Comparación de promedios grupo control y experimental

en el postest. 77

7. Comparación de promedios grupo control pre y postest. 79

8. Comparación de promedios grupo experimental pretst

y postest. 81

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura Pág.

1. Relación entre ciencia matemática y quehacer matemático 12

2. Características de los modelos educativos 21

3. Características de los aprendizajes significativos 22

4. Tendencias de la didáctica de la matemática 23

5. Oportunidades que ofrece la matemática 25

6. El lenguaje matemático 29

7. Inducción matemática 31

8. Deducción matemática 31

9. Fases de la resolución de problemas 37

10. Modelo Guzmán 46

ÍNDICE DE TABLAS

Número Pág.

1. Género de los participantes distribuidos por grupo. 68

3. Edad de los participantes distribuidos por grupo. 71

3. Comparación de medias grupo control y experimental en el Pre

test. 74

103

4. Comparación de medias grupo control y experimental en el Post

test. 76

5. Comparación de medias para muestras relacionadas en el grupo

control respecto al Pre test y Post test. 78

6. Comparación de medias para el grupo experimental respecto al

Pre test y Post test. 80

ÍNDICE DE ANEXOS

Número Pág.

Anexo 1. Informe sobre juicio de expertos. 97

Anexo 2. Resultados validados prueba de entrada y salida 98

Anexo 3. Fotografía. 99

104

u. Firmas

---------------------------------------------------------

MIGUEL ALEJANDRO JARA AHUMADA

DOCENTE COORDINADOR DE INVESTIGACIÓN

-------------------------------------------- -----------------------------------------------

DE LA PEÑA OLARTE RAMÓN MANUEL ALVAREZ ESPINOZA

DOCENTE INVESTIGADOR DOCENTE INVESTIGADOR

------------------------------------------------

PAZ MIRANDA SUSANA MAGALI

DOCENTE INVESTIGADOR

105

v. RESUMEN EN IDIOMA ESPAÑOL

RESUMEN

En el presente trabajo se ha demostrado científicamente en qué medida la aplicación de las estrategias en la resolución de problemas los modelos normativos, iniciativos, aproximativos, modelo Polya y Guzmán aplicados al aprendizaje de los alumnos del sexto grado de Educación Primaria, área matemática, en las Instituciones Educativas Estatales, UGEL Nº 01, San Juan de Miraflores.

El objetivo general de esta investigación ha sido determinar la relación que existe entre los modelos de resolución de problemas y el aprendizaje de los estudiantes del sexto grado de Educación Primaria, área matemática. Para tal fin, se usó una serie de estrategias, habilidades y técnicas de aprendizaje.

Se trabajó con dos grupos: una sección constituida por 28

alumnos participantes, quinto grado “C”, que representa el grupo experimental; y el grupo control, constituido por 28 alumnos participantes, quinto grado “A”.

La creatividad en la resolución de problemas se realizó

durante los meses de junio y octubre del año 2010. Los resultados obtenidos: - en cuanto a género de los

participantes, en el grupo control, 20 pertenecen al género femenino que representa el 73,1%: mientras que, en el grupo experimental, 15 alumnos representan el 53,8%; en relación con el 26,9% del grupo control que representa 7 alumnos del grupo control y el 46,2% que representa 12 alumnos del género experimental: por lo tanto, en el grupo control predomina el género femenino, como lo muestra la tabla Nº 1.

En cuanto a la edad, hay una diferencia relativa del 11,6%; en

cuanto al grupo control, hay 24 niños de 10 años (88,5%) en relación con el 76,9% (20 niños) del grupo experimental (ver tabla Nº 2).

106

En cuanto a la comparación de medias para los grupos control

y experimental en el pretest, no existe diferencia significativa en la resolución de problemas antes de la intervención, pues sus promedios son aproximadamente iguales en rendimiento, como lo muestra la tabla Nº 3 y el gráfico Nº 5; tan solo existe una diferencia relativa del 5,5% en operaciones del grupo control en relación con el grupo experimental.

En cuanto a la comparación de medias para los grupos

experimental y control en la prueba postest, existe diferencia significativa en la resolución de problemas tales como aprendizaje, la diferencia es de 3,96% del grupo experimental a grupo control; el 14,14% de diferencia del grupo experimental al grupo control en el módulo del modelo normativo, aproximativo e iniciativo hay una diferencia del 5,65% del grupo experimental al grupo control; y, en el modelo Polya, la diferencia es de 2,40% del grupo experimental al grupo control.

Con lo que se concluye que los modelos de resolución de problemas: Normativo, aproximativo, iniciativo, Polya y Guzmán influyen significativamente en el buen aprendizaje de la resolución de problemas, área Matemática, de los alumnos del sexto grado de Educación Primaria, en la Institución Educativa Nº 7098, Villa Alejandro, Lurín.

107

w. RESUMEN EN IDIOMA INGLÉS

ABSTRACT

In this paper has demonstrated scientifically to what extent the implementation strategies in troubleshooting iniciativos, approximate, normative models model applied to the learning of students in the sixth grade of primary education, mathematics, in the State educational institutions, UGEL No. 01 area Pólya and Guzmán San Juan de Miraflores. The overall objective of this research has been to determine the relationship between models troubleshooting and learning of students in the sixth grade of elementary school mathematics area. A series of strategies, skills and learning techniques used for this purpose. Worked with two groups: a section consisting of 28 participating students, fifth grade "C", represents the experimental group and the control group, consisting of 28 participating students, fifth grade "A". Creativity in solving problems was conducted during the months of June and October of the year 2010. Results achieved:-gender of participants in the control group, 20 belong to the feminine gender representing 73.1%: while in the experimental group, 15 students represent 53.8%; in relation to 26.9% of the control that represents 7 students in the group control and 46.2% representing 12 students of the experimental genre group – is therefore the group control dominated feminine, as shown in table no. 1. Age, there is a relative difference of 11.6%; in the control group, there are 24 children aged 10 (88,5%) in relation to the 76.9% (20 children) in the experimental group (see table no. 2).

As regards the comparison of means for the control group and

experimental in the pre - test, not There is significant difference in mathematical blocks before the intervention, since their averages are approximately equal in performance as shows it table no. 3 and chart No. 5.

In the comparison mean for the experimental group and control test pos test exists significant difference in mathematical blocks such as learning the difference is 3,96 per cent of the experimental group to

108

control group; the 14,14 per cent of the experimental group to the control group difference in module of discovery, strategies, there is a difference of the 5,65 per cent of the group experimental group control; and in operative exercises the difference is of 2,40 per cent of the experimental group to the control group. It concludes that the games teaching: iniciativos, approximate, normative models model Polya and Guzmán, help learning content area Mathematics, students in the sixth grade of primary education in the Educational institution no. 7098, Villa Alejandro, Lurin.