Universidad San SebastianFacultad de Ingeniera y TecnologaINGE1006 - Mecanica

CCQ/AFP

Pauta Prueba Solemne III

Problema 1 La masa m de 2,0 [kg] parte del reposo desde el punto A a una altura hA = 5,0 [m].En su recorrido desciende por una pendiente sin roce hasta llegar al segmento horizontal de largo1,0 [m] BC donde el coeficiente de roce cinetico es 0,2. A continuacion sube en direccion a la cimaen D, tambien sin roce, cuya altura es hD = 3,0 [m]. Luego desciende hasta alcanzar el trayectohorizontal EF de 1,2 [m] de extension, que esta a una altura hF = 1,5 [m], donde nuevamentehay roce cinetico (c = 0,2). Finalmente comprime al resorte de constante elastica k = 300 [N/m].Determine

a) (5 pts.) El trabajo realizado por la fuerza de roce en el tramo BC.

Primero determinamos la fuerza de roce

Aplicamos la segunda ley de Newton sobre el eje verticalFy = N mg = 0 = N = mg

entonces la fuerza de roce esFr = cN = cmg

Por definicion de trabajo de una fuerza constante

WBC =~Fr ~r = (cmg i)

(BC i

)= cmgBC

1

Reemplazando los valores correspondientes se obtiene para el trabajo del roce en el intervaloBC

WBC = 0,2 2,0 9,8 1,0 = 3,92 J (1)

b) (10 pts.) La rapidez del bloque en D

Definamos la situacion inicial en el punto A. La energa mecanica inicial es solo potencialgravitacional.

Ei = mghA = 2,0 9,8 5,0 = 98 J

La energa mecanica final, en D, es cinetica y potencial gravitacional

Ef =1

2mv2D +mghD =

1

2 2,0 v2D + 2,0 9,8 3,0 = v2D + 58,8 J

El trabajo de las fuerzas no conservativas desde A hasta D es dado por el trabajo de lafuerza de roce1 que se calculo en la pregunta anterior

WFNC = WBC = 3,92 J

Entonces aplicamos el teorema del trabajo y la energa y obtenemos

v2D + 58,8 98 = 3,92 = vD =3,92 + 98 58,8

Tras los calculos, la rapidez en D es dada por

vD = 5,94m

s(2)

c) (5 pts.) El trabajo realizado por la fuerza de roce en el tramo EF .

La fuerza de roce es dada por2

Fr = cN = cmg

Entonces el trabajo en el intervalo EF es

WEF =~Fr ~r = (cmg i)

(EF i

)= cmgEF

que tras los calculosWEF = 0,2 2,0 9,8 1,2 = 4,70 J (3)

1La otra fuerza no conservativa, la normal, no realiza trabajo porque es perpendicular a los desplazamientosinfinitesimales.

2Los detalles del calculo son identicos a los de la pregunta a).

2

d) (10 pts.) La maxima compresion del resorte.

Existen a lo menos dos formas de encontrar la compresion del resorte.

Forma 1: Tomemos como situacion inicial cuando el bloque esta en D.

La energa mecanica inicial es cinetica y potencial gravitatoria.

Ei =1

2mv2D +mghD =

1

2 2,0 5,942 + 2,0 9,8 3,0 = 94,1 J

La energa mecanica final, cuando el resorte alcanza la maxima compresion, sera potencialelastica y potencial gravitatoria

Ef =1

2k (x)2 +mghF =

1

2 300 (x)2 + 2,0 9,8 1,5 = 29,4 + 150 (x)2 (4)

El trabajo de las fuerzas no conservativas desde D hasta que el resorte se comprime almaximo es solo el trabajo del roce en EF calculado en la pregunta c)

WFNC = WEF = 4,70 J

Aplicando el teorema trabajo y la energa y despejando la maxima compresion del resorte

29,4 + 150 (x)2 94,1 = 4,70 = x =

94,1 29,4 4,70150

= 0,63 m (5)

Forma 2: Tomemos como situacion inicial cuando el bloque esta en A.

La energa mecanica inicial solo potencial gravitatoria.

Ei = mghA = 2,0 9,8 5,0 = 98,0 J

La energa final, cuando el resorte alcanza la maxima compresion, fue calculada en (4)

Ef = 29,4 + 150 (x)2 (6)

El trabajo de las fuerzas no conservativas desde A hasta que el resorte se comprime almaximo es el es el trabajo del roce en BC (calculado en la pregunta a)) mas el trabajo delroce en EF (calculado en la pregunta c))

WFNC = WBC +WEF = 3,92 4,70 = 8,62 J

Aplicando el teorema trabajo y la energa y despejando la maxima compresion del resorte

29,4 + 150 (x)2 98,0 = 8,62 = x =

98,0 29,4 8,62150

= 0,63 m

3

Problema 2 La esfera 1 de masa 0,5 kg, se mueve con una velocidad (2,0 3,0 ) m/s. En alguninstante, ella impacta con la esfera 2 de masa 1,5 kg, que se mueve con una rapidez de

5 m/s,

en una direccion de 63,43 sobre la direccion negativa del eje x. Asumiendo que no existen fuerzasexternas presentes, determine

a) (5 pts.) La energa cinetica del sistema antes de la colision.

La rapidez de la esfera 1 antes de la colision es

vi =

22 + (3)2 =

13m

s

y la rapidez inicial de la esfera 2

Vi =

5m

s

Entonces la energa cinetica inicial del sistema es

Ki =1

2mv2i +

1

2MV 2i =

1

2 0,5

(13)2

+1

2 1,5

(5)2

= 7,0 J (7)

b) (10 pts.) La velocidad final de la esfera de 1,5 kg, si la velocidad de la esfera de 0,5 kgdespues de la colision es (1,0 + 3,0 ) m/s.Primero obtengamos las componentes de la velocidad inicial de la esfera 2.

~Vi =(

5 cos 63,43 +

5 sen 63,43 )

= (1,0 + 2,0 ) ms

donde los signos han sido escogidos de modo que la velocidad apunta hacia el segundo cua-drante.

Entonces el momentum inicial es la suma de los momenta de cada esfera

~pi = m~vi +M~Vi = 0,5 (2,0 3,0 ) + 1, 5 (1,0 + 2,0 )

tras los calculos se obtiene~pi = (0,5 + 1,5 ) kgm

s

Por otro lado el momentum final, despues del choque

~pf = m~vf +M~Vf = 0,5 (1,0 + 3,0 ) + 1,5 (Vx + Vy )

de modo que~pf = (0,5 + 1,5Vx) + (1,5 + 1,5Vy)

Como se trata de un choque, se satisface ~pi = ~pf

0,5 + 1,5 = (0,5 + 1,5Vx) + (1,5 + 1,5Vy) (8)

4

que por componentes lleva a las siguientes ecuaciones

0,5 = 0,5 + 1,5Vx1,5 = 1,5 + 1,5Vy

De donde obtenemos de manera directa la velocidad de la esfera 2

Vx = 0 , Vy = 0 = ~Vf = (0,0 + 0,0 ) ms

(9)

La esfera 2 queda en reposo tras el impacto.

c) (5 pts.) La energa cinetica del sistema despues de la colision Que tipo de choque experi-mentan las esferas?

La energa cinetica tras la colision es la suma de las energa de cada esfera.

Kf =1

2m (vf )

2 +1

2M (Vf )

2

donde(vf )

2 = (1)2 + 32 = 10 , (Vf )2 = 02 + 02 = 0

Entonces la energa cinetica final es

Kf =1

2 0,5 10 = 2,5 J (10)

Como la energa inicial es de Ki = 7,0 J podemos concluir que se trata de un choqueinelastico.

5

Problema 3 El bloque de masa M = 4,0 kg se mueve inicialmente hacia la derecha con rapidezde 0,5 m/s mientras el bloque de masa m = 0,5 kg es mantenido por la mano de un estudiantecomprimiendo a un resorte de constante k = 200 N/m en 0,2 m. Antes que el bloque M lleguea las cercanas del resorte, el estudiante retira la mano y el bloque m avanza hacia la izquierda ygolpea al bloque M en un choque elastico. Despreciando el rozamiento, determine

a) (5 pts.) La rapidez de m antes de impactar a M .

Consideremos el bloque m. En un principio posee solo energa potencial elastica y cuando sesepara del resorte solo tiene energa cinetica.

La energa inicial es

Ei =1

2k (x)2 =

1

2 200 0,22 = 4 J

Por otro lado la energa final

Ef =1

2mv2i =

1

2 0,5 v2i = 0,25v2i

El trabajo de las fuerzas no conservativas es solo el trabajo de la fuerza normal quecomo ya se ha discutido es nulo

WFNC =>

0W ~N = 0 (11)

Entonces, aplicando el teorema del trabajo y la energa, tenemos que la rapidez del bloque mantes de impactar es

4 = 0,25v2i = vi =

4

0,25= 4,0

m

s

b) (10 pts.) La rapidez de M y m despues del impacto.

Como se trata de un choque, se debe conservar el momentum3 pxi = pxf

El momentum inicial es

pxi = + MVi mvi = 4,0 0,5 0,5 4,0 = 0 kgm

s

y el momentum final4

pxf = MVf + mvf = 4,0 Vf + 0,5 vf3Si bien el momentum se conserva en tres dimensiones, basta con considerar el momentum en el eje horizontal x

que apunta hacia la derecha.4Los signos han sido elegidos pensando en que los bloques rebotaran.

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entonces tenemos la siguiente ecuacion de conservacion del moemntum en el eje horizontal

4,0 Vf + 0,5 vf = 0 (12)

Por otro lado el choque es elastico, es decir conserva la energa durante el choque. Laenerga inicial antes del choque es

Ei =1

2mv2i +

1

2MV 2i =

1

2 0,5 4,02 + 1

2 4,0 0,52 = 4,5 J

y la energa final despues del choque

Ef =1

2MV 2f +

1

2mv2f = 2,0 V

2f + 0,25 v

2f

de donde obtenemos la siguiente ecuacion de conservacion de la energa

2,0 V 2f + 0,25 v2f = 4,5 (13)

Entonces debemos resolver el siguiente sistema formado por las ecuaciones (12) y (13). De laecuacion (12) obtenemos

vf =4,0

0,5Vf = 8,0 Vf

Reemplazamos en (13)

2,0 V 2f + 0,25 (8,0 Vf )2 = 4,5 = Vf =

4,5

18,0

de donde se obtiene

Vf = 0,50m

s= vf = 8,0 0,50 = 4,0 m

s(14)

c) (5 pts.) Despues del choque m se devuelve hacia el resorte. Cual es la compresion maximadel resorte?

Nuevamente realizamos conservacion de la energa.

La energa inicial es solo cinetica

Ei =1

2mv2f =

1

2 0,5 4,02 = 4,0 J

y la energa final es solo potencial elastica

Ef =1

2k (x)2 =

1

2 200 (x)2 = 100 (x)2

El trabajo de las fuerzas no conservativas es nulo5 entonces

4,0 = 100 (x)2

5Esto ya lo discutimos en la pregunta a).

7

de modo que la maxima compresion es dada por

x =

4,0

100= 0,2 m (15)

Es simpatico constatar que el bloque m vuelve a la misma condicion que antes del impacto.

El puntaje total de la Prueba Solemne 3 es 70 puntos.

La exigencia de la Prueba Solemne 3 es de un 60 %.

La nota mnima de aprobacion es un 4,0 correspondiente a obtener 42 puntos.

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