8/17/2019 Pauta_informe5_IN1005C

http://slidepdf.com/reader/full/pautainforme5in1005c 1/2

     D    e    p    a    r    t    a

    m    e    n    t    o     d    e     M    a    t    e    m     ´    a    t     i    c    a   y     F     ´   ı    s     i    c    a     A    p     l     i    c    a     d    a    s  -

     U     C     S     C     2     0

     1     2

     P    a   u    t    a     I    n     f    o    r    m

    e     5   :   –     C    a     l    c   u     l    o     I     I     (     I     N     1     0     0

     5     C     )

UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS

Pauta Informe 5: Integrales impropiasCALCULO II (IN1005C)

Problema 1.   [30 Puntos]  Resolver la siguiente integral

   40

2x

x2 − 1 dx

Desarrollo:Esta integral es impropia ya que la funcion f (x) =  2x

x2 − 1 no es acotada en

[0,

4], pero si es acotada en  [0,

1−ǫ

] y  [1 +ǫ,

4] para ǫ >

 0  y suficientemente pequeno.Luego   (4 Puntos )

   40

2x

x2 − 1dx   = lım

ǫ→0+

   1−ǫ

0

2x

x2 − 1dx + lım

ǫ→0+

   41+ǫ

2x

x2 − 1dx

(6 Puntos )

Haciendo sustitucion simple   w   =   x2 − 1   entonces   dw   = 2x, ası   x  = 0  y  x  = 1 − ǫ

entonces   w   =  −1  y  w   = (1 − ǫ)2 − 1 =   ǫ2 − 2ǫ  respectivamente y si  x   = 1 + ǫ  y

x = 4   entonces  w  =  ǫ2 + 2ǫ  y  w  = 15 respectivamente, ası

   40

2x

x2 − 1dx   = lım

ǫ→0+

   1−ǫ

0

2x

x2 − 1dx + lım

ǫ→0+

   41+ǫ

2x

x2 − 1dx

= lımǫ→0+

   ǫ2−2ǫ

−1

1

wdw + lım

ǫ→0+

   15ǫ2+2ǫ

1

wdw

= lımǫ→0

+ln |x|

ǫ2−2ǫ

−1

+ lımǫ→0

+ln |x|

15

ǫ2+2ǫ

= lımǫ→0+

(ln |ǫ2 − 2ǫ| − ln 1) + lımǫ→0+

(ln 15− ln |ǫ2 + 2ǫ|)

= ln 15 + lımǫ→0+

ln |ǫ2 − 2ǫ| −   lımǫ→0+

ln |ǫ2 + 2ǫ|

(16 Puntos )

Ninguna de los dos limites existe, por tanto la integral no converge.   (4 Puntos )

8/17/2019 Pauta_informe5_IN1005C

http://slidepdf.com/reader/full/pautainforme5in1005c 2/2

     D    e    p    a    r    t    a

    m    e    n    t    o     d    e     M    a    t    e    m     ´    a    t     i    c    a   y     F     ´   ı    s     i    c    a     A    p     l     i    c    a     d    a    s  -

     U     C     S     C     2     0

     1     2

     P    a   u    t    a     I    n     f    o    r    m

    e     5   :   –     C    a     l    c   u     l    o     I     I     (     I     N     1     0     0

     5     C     )

2   IN1005C - Taller 2012

Problema 2.   [30 Puntos]  Demuestre que la siguiente integral converge

   ∞

0

sen2(x)

1 +  x4dx

Desarrollo:  Primero observemos que si esta integral converge entonces

   ∞

0

sen2(x)

1 +  x4dx =

   10

sen2(x)

1 +  x4dx +

   ∞

1

sen2(x)

1 +  x4dx

(5 Puntos )

Luego la

   10

sen2(x)

1 +  x4dx existe pues la funcion es continua en  [0, 1], por otro lado

(5 Puntos )

sen2 x ≤ 1· 1

1 +  x4≥ 0   ⇔ sen2 x

1 +  x4≤ 1

1 +  x4

⇔sen2 x

1 +  x4≤

1

1 +  x4≤

1

x4,   ∀x ∈ [1,∞[

(10 Puntos )

y como    ∞

1

1

x4dx converge por ser una p−integral con p  = 4  > 1 entonces  

  ∞

1

sen2(x)

1 + x4

dx

converge. Ası   (8 Puntos )

   ∞

0

sen2(x)

1 +  x4dx

Converge   (2 Puntos )

TB/RL/MG/AC Miercoles 2 Mayo de 2012