pauta_informe5_in1005c
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8/17/2019 Pauta_informe5_IN1005C
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D e p a r t a
m e n t o d e M a t e m ´ a t i c a y F ´ ı s i c a A p l i c a d a s -
U C S C 2 0
1 2
P a u t a I n f o r m
e 5 : – C a l c u l o I I ( I N 1 0 0
5 C )
UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS
Pauta Informe 5: Integrales impropiasCALCULO II (IN1005C)
Problema 1. [30 Puntos] Resolver la siguiente integral
40
2x
x2 − 1 dx
Desarrollo:Esta integral es impropia ya que la funcion f (x) = 2x
x2 − 1 no es acotada en
[0,
4], pero si es acotada en [0,
1−ǫ
] y [1 +ǫ,
4] para ǫ >
0 y suficientemente pequeno.Luego (4 Puntos )
40
2x
x2 − 1dx = lım
ǫ→0+
1−ǫ
0
2x
x2 − 1dx + lım
ǫ→0+
41+ǫ
2x
x2 − 1dx
(6 Puntos )
Haciendo sustitucion simple w = x2 − 1 entonces dw = 2x, ası x = 0 y x = 1 − ǫ
entonces w = −1 y w = (1 − ǫ)2 − 1 = ǫ2 − 2ǫ respectivamente y si x = 1 + ǫ y
x = 4 entonces w = ǫ2 + 2ǫ y w = 15 respectivamente, ası
40
2x
x2 − 1dx = lım
ǫ→0+
1−ǫ
0
2x
x2 − 1dx + lım
ǫ→0+
41+ǫ
2x
x2 − 1dx
= lımǫ→0+
ǫ2−2ǫ
−1
1
wdw + lım
ǫ→0+
15ǫ2+2ǫ
1
wdw
= lımǫ→0
+ln |x|
ǫ2−2ǫ
−1
+ lımǫ→0
+ln |x|
15
ǫ2+2ǫ
= lımǫ→0+
(ln |ǫ2 − 2ǫ| − ln 1) + lımǫ→0+
(ln 15− ln |ǫ2 + 2ǫ|)
= ln 15 + lımǫ→0+
ln |ǫ2 − 2ǫ| − lımǫ→0+
ln |ǫ2 + 2ǫ|
(16 Puntos )
Ninguna de los dos limites existe, por tanto la integral no converge. (4 Puntos )
8/17/2019 Pauta_informe5_IN1005C
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D e p a r t a
m e n t o d e M a t e m ´ a t i c a y F ´ ı s i c a A p l i c a d a s -
U C S C 2 0
1 2
P a u t a I n f o r m
e 5 : – C a l c u l o I I ( I N 1 0 0
5 C )
2 IN1005C - Taller 2012
Problema 2. [30 Puntos] Demuestre que la siguiente integral converge
∞
0
sen2(x)
1 + x4dx
Desarrollo: Primero observemos que si esta integral converge entonces
∞
0
sen2(x)
1 + x4dx =
10
sen2(x)
1 + x4dx +
∞
1
sen2(x)
1 + x4dx
(5 Puntos )
Luego la
10
sen2(x)
1 + x4dx existe pues la funcion es continua en [0, 1], por otro lado
(5 Puntos )
sen2 x ≤ 1· 1
1 + x4≥ 0 ⇔ sen2 x
1 + x4≤ 1
1 + x4
⇔sen2 x
1 + x4≤
1
1 + x4≤
1
x4, ∀x ∈ [1,∞[
(10 Puntos )
y como ∞
1
1
x4dx converge por ser una p−integral con p = 4 > 1 entonces
∞
1
sen2(x)
1 + x4
dx
converge. Ası (8 Puntos )
∞
0
sen2(x)
1 + x4dx
Converge (2 Puntos )
TB/RL/MG/AC Miercoles 2 Mayo de 2012