Curso: CII2750 Optimizacion

Profesores: Paul Bosch, Rodrigo Lopez

Fernando Paredes, Pablo Rey

Examen

Fecha: Viernes 13 de diciembre de 2013 Semestre Primavera 2013

Duracion maxima: 120 minutos

Problema 1 (2 puntos)

Noble Amazon vende libros en linea. La administracion intenta determinar cuales son losmejores sitios para los almacenes de la companıa. Se estan considerando cinco ubicacionesposibles. La mayorıa de las ventas se hace a clientes en Estados Unidos. La demanda semanalpromedio de cada una de las regiones del paıs, el costo promedio de envıo desde cada almacena cada region del paıs, el costo fijo semanal de cada almacen si esta en funcionamiento y lacapacidad maxima de cada almacen (si esta en funcionamiento) se muestran en la siguientetabla:

CapacidadUbicacion Costo Promedio de envıo (dolares/libro) Costo fijo del almacendel almacen Noroeste Suroeste Medio Oeste Sureste Noreste (por semana) (libros/semana)Spokane, WA $2.40 $3.50 $4.80 $6.80 $5.75 $40 000 20 000Reno, NV $3.25 $2.30 $3.40 $5.25 $6.00 $30 000 20 000Omaha, NE $4.05 $3.25 $2.85 $4.30 $4.75 $25 000 15 000Harrisburg, PA $5.25 $6.05 $4.30 $3.25 $2.75 $40 000 25 000Jacksonville, FL $6.95 $5.85 $4.80 $2.10 $3.50 $30 000 15 000Demandade clientes 8000 12000 9000 14000 17000(por semana)

Formule un problema de programacion lineal mixto que le permita determinar que sitios dealmacen le convienen a Noble Amazon y como se deben distribuir los libros desde cada almacena cada region del paıs para minimizar el costo total.

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Problema 2 (2 puntos)

Considere la funcion f : R3 → R definida por f(x1, x2, x3) = 12x21 + x22 + x23 + x1x2 + 2x2 − 2x3.

(a) (0,7 puntos) Encuentre los puntos crıticos de f y clasifıquelos. Para los puntos crıticosencontrados que correspondan a mınimos, indique si se trata de mınimos globales o sololocales. Justifique.

(b) (0,6 puntos) Considere ahora el problema de optimizacion:

min f(x1, x2, x3) =1

2x21 + x22 + x23 + x1x2 + 2x2 − 2x3

s.a.

5− 2x1 − 2x2 + x3 ≤ 0 (P2)

Para cada uno de los mınimos globales de f encontrados en el punto (a), indique si sonpuntos de optimo global del problema (P2) o no. Justifique.

(c) (0,7 puntos) Determine todos los optimos globales del problema (P2).

Problema 3

Considere el siguiente problema de programacion lineal:

min z = x1 + 2x2 − x4s.a.

x1 + x2 + x3 + x4≤ 62x1 − x2 + 3x3 − 2x4≥ 5

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4≥ 0 .

(P)

(a) (0,5 puntos) Determine el problema dual (D) de (P) y resuelvalo.

(b) (0,5 puntos) A partir de la solucion optima de (D), resuelva el problema primal (P) usandoel teorema de Holgura Complementaria.

(c) (0,5 puntos) Determine una base optima B para (P) y calcule el vector de multiplicadoressimplex usando dicha base B. Compare dichos multiplicadores simplex con las compo-nentes de la solucion optima del problema dual (D).

(d) (0,5 puntos) Sin resolver de nuevo el problema (P), calcule cuanto varıa y, determine sidisminuye o aumenta, el valor optimo de (P) al disminuir el lado derecho de la segundarestriccion de (P) en un 4%.

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Pauta

Problema 1

- Parametros del problemai Indice para los almacenes i = 1, 2, 3, 4, 5 en el orden de la tablaj Indice para las regiones del paıs j = 1, 2, 3, 4, 5 en el orden de la tablacij Costo unitario promedio de envıoSi Capacidad del almacen iDj Demanda de la region jKi Costo fijo del almacen i

- Variables de decision

xij : Cantidad de libros enviados desde almacen i a la region j

yi :

{1, Si se coloca en funcionamiento el almacen i0, Si no

- Restricciones

- Capacidad y activacion

5∑j=1

xij ≤ Siyi ∀i = 1, 2, 3, 4, 5

- Satisfaccion de la demanda

5∑i=1

xij ≥ Dj ∀j = 1, 2, 3, 4, 5

- Naturaleza de las variables

xij ≥ 0 yi ∈ {0, 1} ∀i, j = 1, 2, 3, 4, 5

- Funcion Objetivo

Minimizar z =5∑

j=1

5∑i=1

cijxij︸ ︷︷ ︸+5∑

i=1

Kiyi︸ ︷︷ ︸costo variable costo fijo

Problema 2

(a) Para determinar los puntos crıticos, resolvemos el sistema ∇f = 0:

0 = ∇f(x1, x2, x3) =

x1 + x2x1 + 2x2 + 2

2x3 − 2

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que tiene como unica solucion: x∗ =

2−21

.

Este es el unico punto crıtico de la funcion f . Para ver de que tipo es, calculamosel hessiano de la funcion en el punto. Como la funcion es cuadratica, el hessiano esconstante, e igual a la matriz:

∇2f(x1, x2, x3) =

1 1 01 2 00 0 2

.

Esta matriz es definida positiva, ya que los determinantes de los menores principales a lolargo de la diagonal son todos positivos:

D1 = det[1] > 0

D2 = det

[1 11 2

]= 1 > 0

D3 = det

1 1 01 2 00 0 2

= 2 > 0

Por lo tanto, el punto x∗ es un mınimo. Ademas, como el hessiano es definido positivoen todo R3, la funcion f es (estrictamente) convexa, por lo que el punto x∗ es un mınimoglobal.

(b) El punto x∗ encontrado en el punto anterior no es mınimo global, ya que no es siquieraun punto factible para (P2).

(c) Para encontrar todos los mınimos globales a (P2) vamos a utilizar el metodo de losmultiplicadores de Lagrange. Para poder aplicar el metodo, debemos asegurarnos primeroque el problema tiene optimo global. Pero esto es ası ya que el problema es convexo y lafuncion objetivo esta acotada inferiormente.

Como el problema es convexo con ls funciones continuamnte diferenciables, las condicionesde Karush, Kuhn y Tucker son necesarias y suficentes. Es decir, un punto es optimo globalsi y solo si cumple las condiciones.

Analizamos dos casos: (1) la unica restriccion no es activa; (2) la unica restriccion sı esactiva.

(1) La restriccion no es activa: en este caso, las condiciones se reducen a ∇f = 0. Por

lo visto en (a), el unico punto que satisface esta condicion es x∗ =

2−21

. Pero

en el punto (b) vimos que no era factible para (P2).

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(2) La restriccion sı es activa: en este caso, la condicion queda ∇f +λ∇g = 0 con λ ≥ 0(aquı g(x1, x2, x3) = 5− 2x1 − 2x2 + x3). Es decir, x y λ ≥ 0 deben satisfacer:

0 = ∇f(x1, x2, x3) + λ∇g(x1, x2, x3)

=

x1 + x2x1 + 2x2 + 2

2x3 − 2

+ λ

−2−2 + 2

+1

Lo que resulta en el sistema:

x1 + x2 − 2λ = 2

x1 + 2x2 − 2λ = −2

2x3 + λ = 2

2x1 + 2x2 − x3 = 5

que tiene solucion: x1 = 143

, x2 = −2, x3 = 13, λ = 4

3. Esta solucion corresponde al

unico mınimo global de (P2).

Problema 3

(a) El problema dual (D) de (P) es:

max 6u1 + 5u2s.a.

u1 + 2u2 ≤ 1u1 − u2 ≤ 0u1 + 3u2 ≤ 2u1 − 2u2 ≤ −1u1 ≤ 0, u2≥ 0 .

(D)

Resolviendo (D) graficamente trazando las curvas de nivel sobre el dominio se obtienecomo solucion optima unica el punto: u = (−3

5, 15)>.

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(b) Como ambas variables duales son distintas de cero, entonces ambas restricciones del prob-lema primal(P) son activas en la solucion optima. Luego: x1 + x2 + x3 + x4 = 6 y2x1 − x2 + 3x3 − 2x4 = 5.

Dado que las restricciones 1 y 2 del Dual (D) son inactivas en el optimo u, entoncesx1 = x2 = 0. Finalmente tenemos el sistema:

x3 + x4 = 6

3x3 − 2x4 = 5 ,

que tiene solucion x3 = 175

, x4 = 135

.

(c) Consideremos la base optima B =

(1 13 −2

)asociadas a las variable x3 y x4. Entonces,

B−1 =

(25

15

35−1

5

).

El vector ( fila ) de multiplicadores simplex usando la Base B viene dado por: π> =

c>BB−1 = (0,−1)

(25

15

35−1

5

)= (−3

5, 15).

Comprobamos que las componentes de este vector son iguales a las componentes de lasolucion optima del problema dual (D).

(d) ∆z = u2∆b2 = 15(−0.2) = −0.04. Luego, el valor optimo disminuye en 0.04.

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