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Universidad Católica de la Santísima Concepción

Departamento Matemática y Física Aplicada CC/KT/JP/cc/kt/jp

CERTAMEN Nº2 ESTADISTICA MAT 2203 17-05-2013 100 minutos

Problema 1.: (15 puntos) Sea una población cuya distribución de probabilidad viene dada por

1 2

1

0 2

1

1 )1(2

1

)(

x

x

x

xXP

Donde 0<θ<1. Utilizando una muestra aleatoria simple ),...,( 1 nXX

a) Obtener un estimador del parámetro θ por el método de los momentos

Primero se debe obtener la E(X)

2

1

2

11

2

10)1(

2

1)1()(

3

1

i

i

i xXPxXE (5pts)

Luego;

Primer momento poblacional 2

1)(1 XEm (2pts)

Primer momento muestral xn

xm

n

i

i 1

1ˆ

Igualando 2

1ˆ2

1ˆ)( 11 xxmm es el estimador obtenido por el método de los

momentos. (3pts.)

b) Comprobar si es insesgado

Por demostrar que ˆE , en efecto;

2

1

2

1

2

1

2

1ˆ xExEE (4 pts.)

Por lo tanto el estimador ̂ obtenido por el método de los momentos es insesgado (1pto.)

Problema 2.: (15 puntos) En una ciudad A se toma una muestra de 98 jefes de hogar, de los cuales

48 habían sido poseedores de acciones de Telefónica. Mientras que en otra ciudad B se selecciona

otra muestra aleatoria de tamaño 127 jefes de hogar, de los cuales 21 han sido poseedores de acciones

de Telefónica. Obtener un intervalo de confianza al nivel del 95% para la diferencia entre las

proporciones de jefes de hogar que han sido poseedores de ese tipo de acciones en ambas ciudades.

Datos:

X: Jefes de hogar que han sido poseedores de acciones de telefónica de la ciudad A

Y: Jefes de hogar que han sido poseedores de acciones de telefónica de la ciudad B

490.098

48ˆ

48

98

x

x

p

x

n

165.0127

21ˆ

21

127

y

y

p

y

n

(5pts.)

96.1025.0

2

05.0

2

ZZZ

Luego,

y

yy

x

xx

yxyxn

qp

n

qpzppPP

ˆˆˆˆˆˆ

0

Sustituyendo la expresión anterior se tiene:

127

)835.0)(165.0(

98

)510.0)(490.0(96.1165.0490.0 yx PP (5pts.)

2

Por lo tanto el intervalo de confianza para yx PP es:

(0.208; 0.443) (3pts.)

Respuesta: Como el cero está fuera del rango del intervalo, esto nos indica que es bastante más

probable que un jefe de hogar de la ciudad A haya tenido acciones de telefónica que un jefe de hogar

de la ciudad B. (2pts)

Problema 3.: (15 puntos) La operación de una cadena de montaje de una fábrica está programada

para realizarse en un tiempo promedio de 30 minutos, pero se piensa que se demora más. La

población tiene una desviación estándar igual a 4 minutos.

X: Tiempo en minutos de operación de una cadena de montaje

35

64

4

x

n

a) Establezca la prueba de hipótesis adecuada si una muestra aleatoria de 64 observaciones

arroja un tiempo promedio de 35 minutos. Utilice un nivel de significación de 0.01

1.

30:

30:

1

0

H

H

2. α=0.01

3. R. C. “Rechazar 0H si ZZc ” (5pts.)

32.201.0 ZZ

4. Cálculos

10

64

4

3035

n

xZ c

5. Concusión.

Puesto que 10cZ , cae en la región crítica, hay suficiente evidencia al 99% de confianza

para indicar que el tiempo promedio de operación es superior a 30 minutos.

b) Calcule el valor-p y comente

0)10()( ZPZZPpv c

Existe evidencia muy fuerte en contra de 0H (5pts.)

c) Encuentre la probabilidad de error tipo I si la regla de decisión es: “Rechazar "31 si 0 xH

022750.0

)2(

8

4

3031

)30/31xP(

) verdaderaes /HRechazar (

I) Tipoerror Cometer (

00

ZP

ZP

HP

P

(5pts.)

Problema 4.: (15 puntos) Se miden los tiempos de atención al cliente en dos mesones de atención de

dos entidades bancarias, para ello se toman dos muestras aleatorias independientes de 10 para el

banco 1 con una media de 9.97 minutos y varianza 0.18. Para el banco 2 se toma una muestra de 7

clientes, con una media de 10.37 minutos y varianza 0.06. Los tiempos de espera son los siguientes

(en minutos).

3

Suponiendo que ambas variables aleatorias se distribuyen normal:

a) ¿Existe evidencia suficiente para concluir que la varianza de la atención al cliente es diferente para

los dos bancos? .Contraste la hipótesis con una confianza del 95% para llegar a una conclusión.

Datos:

18.0

97.9

10

2

1

1

1

S

x

n

06.0

37.10

7

2

2

2

2

S

x

n

(3pts.)

1.

2

2

2

11

2

2

2

10

:

:

H

H

2. α=0.05

3. R. C. “Rechazar 0H si 1,1,

21,1,

21 2121

o

nn

cnn

c FFFF ”

23148.04320.0

11

9,6,025.0

6,9,975.01,1,

21 21

F

FFnn

523.56;9;025.01,1,

221

FFnn

(5pts.)

4. Cálculos

306.0

18.02

2

2

1 S

SFc

5. Conclusión:

Puesto que 3cF cae en la región de aceptación, no existe evidencia suficiente para rechazar 0H ,

con un 95% de confianza, por lo tanto las varianzas son iguales.

b) ¿Los datos apoyan la información que la atención promedio del banco 1 es menor a la atención

promedio del banco 2? Para obtener su conclusión, pruebe la hipótesis con una confianza del 95%.

1.

211

210

:

:

H

H

2. α=0.05

3. R.C. “Rechazar 0H si 2, 21 nnc tt ”

7531.115,05.02, 21 tt nn (5pts.)

4. Cálculos

3633.0132.015

06.0618.09

2

)1()1(

21

2

22

2

112

pp S

nn

SnSnS

234.2

7

1

10

13633.0

37.1097.9

11

)(

21

2121

nnS

xxt

p

c

5. Conclusión: Puesto que 234.2ct cae en la región crítica, existe evidencia suficiente para

rechazar 0H al 5% de nivel de significación, por lo tanto, la atención promedio del banco 1 es

menor a la atención promedio del banco 2. (2pts.)