Programa de Matemática Cálculo II – MAT430

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PAUTA TALLER Nº1 CÁLCULO 2 “Tanques con salmuera”

PARTE I a) Indique a qué ritmo ingresa sal al tanque 1, escribiendo las unidades de medida de cada variable. (8 puntos)

=)(1 te Flujo de salmuera ⋅Concentración de sal de entrada.

l

glte 25

min8)(1 ⋅=

min200)(1

gte =

Respuesta: La sal ingresa al tanque 1 a un ritmo constante de 200 g/min

b) Escriba la expresión que representa la concentración de sal en el tanque 1 en cada instante; y que corresponde a la misma concentración de sal que sale del tanque. (6 puntos)

l

gtX

l

g

capacidad

tX

1600

)()( =

c) Indique a qué ritmo sale sal del tanque 1, escribiendo las unidades de medida de cada variable. (Exprese el resultado como fracción simplificada) (8 Puntos)

=)(1 ts Flujo de salmuera ⋅Concentración de sal de salida.

l

gtXlts

1600

)(

min8)(1 ⋅=

min200

)()(1

gtXts =

Respuesta: La sal sale del tanque 1 a un ritmo variable de 200

)(tX g/min

d) Escriba la ecuación diferencial )()()( 11 tstetX −=′ completándola con las expresiones

obtenidas en las preguntas a) y c). (6 puntos)

[ ]lgtX

tX200

)(200)( −=′

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e) Complete los siguientes pasos: (10 puntos en total) Paso 1: (2 puntos) Escriba la ecuación en la forma:

qtXptX =⋅+′ )()(

200200

)()( =+′ tX

tX

Paso 2: (2 puntos) Escriba p y q:

p = 200

1

q = 200

Paso 3: (2 puntos)

Calcule dtp ⋅∫

dt⋅= ∫ 200

1

t200

1=

Paso 4: (4 puntos)

Calcule dtqedtp

⋅⋅∫∫⋅

dtet

⋅⋅= ∫ 200200

1

dtet

⋅⋅

⋅⋅= ∫ 200200200

1200

1

dtet

⋅⋅⋅⋅= ∫ 200

1200200 200

1

te 200

1

40000 ⋅=

f) Desarrolle la solución de la ecuación diferencial planteada en la pregunta d) (8 puntos)

⋅∫+⋅∫= ∫⋅⋅−

dtqeCetXdtpdtp

)(

⋅+⋅=

− tteCetX 200

1

200

1

40000)(

40000)( 200

1

+=⋅− t

CetX

g) Si al inicio hay 25 kg de sal en el tanque 1, determine el valor de C y escriba la función )(tX

completa asociada a la situación. (8 puntos)

40000250000

200

1

+=⋅−

Ce 015000 Ce=

C=15000

Función 4000015000)( 200

1

+=⋅− t

etX

h) Utilice la función )(tX obtenida en la pregunta g) para calcular la cantidad de sal en el

tanque 1, cuando han transcurrido 2,5 horas. (6 puntos)

50,470854000015000)(150

200

1

=+=⋅−

etX

Respuesta: Cuando han transcurrido 2,5 horas, hay 47085,5 g de sal en el tanque.

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