pauta (4)

MAT 108 - Calculo IPauta Prueba N3

Viernes 26 de junio,2015.

1. Sea f : [3, 3] R una funcion continua representada en el grafico. f es derivable en elintervalo ] 3, 3[ salvo en dos puntos.

a) Determine los intervalos donde la derivada de f es positiva.

b) Determine los valores de x en el intervalo ] 3, 3 [ en los que la derivada de f es cero.c) Determine los valores de x para los que f alcanza maximos y mnimos locales y maximos

y mnimos globales para 3 x 3. Indique claramente a que corresponde cada punto.d) Determine los intervalos donde f (x) es negativo y la coordenada x del punto de inflexion

de f .

Solucion:

a) La derivada de f es positiva si x ]3,1[ ]0, 25

[ ]85, 52

[Criterios de correccion:

1 punto por identificar cada intervalo. (total: 3 puntos)

b) La derivada de f es cero en x = 1;x = 25;x = 8

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Criterios de correccion:

1 punto por cada uno. (total: 3 puntos)

c) En x = 3 f tiene un minimo global.

En x = 1 f tiene un maximo local.

En x = 0 f tiene un mnimo local.

En x = 25f tiene un maximo local.

En x = 85f tiene un mnimo local.

En x = 52f tiene un maximo global.

En x = 3 f tiene un mnimo local.


0.5 punto por identificar cada punto con su respectiva clasificacion. (total: 3.5 pun-tos)

d) f (x) es negativo si x ]3, 0[ ]0, 1[

f tiene un punto de inflexion en x = 1.


1 punto por cada intervalo.

0.5 punto por identificar el punto de inflexion.

2. El costo total al producir x unidades de un cierto artculo esta dado por

C(x) = x +400

x

dolares, con 1 x 0 si x > 20Luego C es creciente en ]20,+[ y decreciente en ]1, 20[


1 punto por la derivada de C.

1 punto por cada intervalo.

b) Como C cambia de decreciente a creciente en x = 20, por el criterio de la primera deri-vada, se tiene en x = 20 un valor mnimo local para C, es decir, se deben producir 20artculos para minimizar el costo.


2 puntos por aplicar algun criterio.

1 punto por determinar el numero de artculos.

c) Estudiando el signo de C (x) =800

x3Como x 1 se tiene que C (x) > 0, es decir C es concava hacia arriba en todo su dominio.


1 punto por la segunda derivada de C.

1 punto por determinar el signo de la segunda derivada.

1 punto por identificar el intervalo de concavidad.

d) Grafico:


1 punto porque la grafica sea concava hacia arriba.

1 punto por indicar el valor mnimo en x = 20.

1 punto por considerar el dominio dentro del grafico.

Observacion: Si el alumno no considera el dominio de C y hace los analisis sin considerarx 1 descontar 1 punto en cada tem.

3. Considere la funcion g(x) = x sen(2x) ln(2x + 1)ex

con x > 12, cuyo grafico se muestra en

la figura.

a) Calcule g(x).

b) Determine la aproximacion lineal de g(x) en x0 = 0 y utilcela para aproximar g(18).c) Represente graficamente la aproximacion lineal en la figura.

d) Sabiendo que g tiene una unica inversa local en una vecindad del origen calcule (g1) (0).

Solucion:

a) Se tiene que

g(x) = [x sen(2x)] [

ln(2x + 1)

ex

]

= [sen(2x) + x cos(2x) 2][

(ln(2x + 1)) ex ln(2x + 1) (ex)(ex)2

]

= sen(2x) + 2x cos(2x)[(

22x+1

) ex ln(2x + 1) exe2x

]

= sen(2x) + 2x cos(2x) 2 (2x + 1) ln(2x + 1)ex(2x + 1)


1 punto por la derivada del producto.

2 puntos por la derivada del cuociente.

b) Se sabe que la aproximacion lineal en x0 = 0 esta dada por

L(x) = g(0)(x 0) + g(0)

Luego, como g(0) = 0 y g(0) = 2 se obtieneL(x) = 2x

As, el valor aproximado de g(18) es

g

(1

8

) L

(1

8

)= 2 1

8=

1

4


1 punto por escribir la formula de la aproximacion lineal.

1 punto por determinar la ecuacion de L(x).

1 punto por aproximar g en 18.

c) Graficamente,


3 puntos por graficar correctamente la recta.

d) Utilizando el teorema de la funcion inversa se tiene que

(g1)(0) =1

g(g1(0))

Dado que se conoce g(x) basta determinar g1(0). A partir del grafico, se observa queg1(0) = 0. Luego, g(0) = 2 y por lo tanto

(g1)(0) = 12


1 punto por escribir la formula de la inversa.

1 punto por determinar la preimagen de 0.

1 punto por obtener la derivada de la inversa en x = 0.

4. Se estima que dentro de t anos la poblacion p de cierta comunidad suburbana sera

p(t) = 10 20(t + 1)2

miles de habitantes. Un estudio ambiental indica que el nivel promedio diario de contaminantesen funcion del numero de habitantes sera:

c(p) =4

5

p2 + p + 139

unidades de contaminantes, cuando la poblacion sea p miles.

a) Calcule e interprete las derivadasdp

dt(1) y

dc

dp(5).

b) A que razon cambiara el nivel promedio diario de contaminantes con respecto al tiempodentro de un ano ?

c) Indique si la cantidad promedio diario de contaminantes c crece o decrece al aumentarel tiempo.

d) En cuanto se estabilizara la cantidad promedio diario de contaminantes pasado muchotiempo ?

Solucion:

a)dp

dt=

40

(t + 1)3y por tanto

dp

dt(1) = 5 e indica que el numero de habitantes aumento en

5000 durante el primer ano.

dc

dp=

2(2p + 1)

5p2 + p + 139

y por tantodc

dp(5) =

22

65e indica que el nivel promedio de conta-

minantes aumenta en22

65cuando la poblacion es de 5000 habitantes.


1 punto por calcular cada derivada.

0.5 punto por interpretar cada derivada.

b) Usando la regla de la cadena se tiene:dc

dt=dc

dp dpdt

luego,dc

dt(1) =

dc

dp(5)

dp

dt(1) =

22

65 5 = 22

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2 puntos por utilizar la regla de la cadena.

2 puntos por calcular la derivada.

c) Comodc

dt=dc

dp

dp

dt=

2(2p + 1)

5p2 + p + 139

40(t + 1)3

cada termino en la expresion es positivo, luego la cantidad promedio diario de contami-nates crece al aumentar el tiempo.


2 puntos por plantear la derivada dcdt

.

2 puntos por determinar su valor y ver que es positiva en el intervalo.

Observacion: Esto tambien se puede hacer construyendo C en funcion de t. En tal casoasignar 2 puntos por C(t) y 2 puntos por derivar y observar que esta derivada espositiva.

d) La poblacion despues de mucho tiempo se obtiene:

lmt

p(t) = lmt

10 20(t + 1)2

= 10

luego, la cantidad promedio diaria se estabilizara en el valor c(10) 12,6Criterios de correccion:

1 punto por determinar el valor pedido.

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