TEMA:CEROS DE FUNCIONESCuando se desea encontrar ceros en funciones lo que se quiere decir es encontrar raíces de laecuación f(x)=0 donde a, ]f : [ b ⊂ ℜ→ ℜEn la interpretación geométrica las raíces de la función se muestran como el corte de la gráficacon el eje de abscisas.

En ocasiones calcular los ceros de las funciones es sencillo pero si no se pudiera resolver f(x)=0 analiticamente, se tienen metodos para aproximar estos ceros; en general son métodos iterativos, es decir se necesita la construcción de una sucesión mediante una relación x n n≥o de recurrencia con un dado y (*)donde es una función que depende del x0 (x ), ∀xn+1 = ϕ n n ≥ 0 ϕ método iterativo.Cuando la sucesión converge hacia la raíz de f, es decirx n n≥o

limn→+∞

xn = α

se dice que el método iterativo (*) es convergente.

Los métodos de aproximación de raíces de ecuaciones se necesita conocer, un intervaloque contenga solo una raíz, o un punto inicial que esté suficientemente cerca de ella.

Por esto primero es necesario antes de aplicación de un método de aproximación eslocalizar la raíz con ello se refiere a encontrar un intervalo que la contenga y separar la raíz,encontrando un intervalo que solo contenga dicha raíz.

Ejemplo:Localizar y separar la raíces de la ecuación f(x)=0, siendo f(x)=x+ ex

Para este ejemplo se utilizará el Teorema de Bolzana para ello calculemos(0)f → 1 < 0(− ) −f 1 → 1 + e

1 < 0luego de ahí se tiene Además es única ya que f es estrictamente creciente: ε(− , ) raíz de f.α 1 0

.´(x)f = 1 + ex > 0

Metodo de biseccion :Confinar en un intervalo cada vez más pequeño un cero de la función descartando la mitad del intervalo que no contiene a la raíz (en la que f no cambia de signo).PROCESOa) Elegir > 0. Tomar n = 0, = a, = b y = ε a0 b0 e0 2

b −a0 0

b) Dados n 0, [ ; ] tal que f( )f( ) < 0 y = , tomar = ≥ an bn an bn en 2b −an n xn 2

b +an n

b.1) , parar y devolver como aproximación de la solución.e| n| ≤ ε xnb.2) Si f( )f( ) < 0, hacer = , = , = y n=n+1 y repetir el paso b).an xn an+1 an bn+1 xn en+1 2

en

b.3) Si f( )f( ) < 0, hacer = , = , = y n = n+1 yxn bn an+1 xn bn+1 bn en+1 2en

repetir el paso b).

Ejemplo:

Encontrar soluciones, con un error de 0.01, siendo f(x)= , en b=[1,3.2].x 4xx3 − 7 2 + 1 − 6Datos:a=1, b=3.2, .01ε = 0= e0 .12

3.2−1 = 1 f(1)=2 ; f(3.2)=­0.1121 f( )f( ) =­0.2242< 0⇒ 1 .23

= , = =2.1, = =0.55an+1 1 bn+1 xn en+1 21.1

f(1)=2 ; f(2.1)=1.791 f( )f( ) =3.582⇒ 1 .12luego la raíz está entre [2,2.1]

Método de Aproximaciones SucesivasEs un método iterativo donde se toma un aproximación inicial x0 ∈ [a, b] y calcular los demástérminos de la sucesión mediante lax n n≥o

relación = g( ).xn+1 xn

La sucesión así calculada se llama de aproximaciones sucesivas.x n n≥o

Este método se suelen terminar las iteraciones cuando:

x| n|x −x| n n−1| ≤ εya que este criterio refleja mejor la magnitud de los términos de la sucesión.

Algoritmo (de aproximaciones sucesivas)a) Elegir [a; b] y > 0.xo ε εb) Dados n 0 y ≥ xn

b.1) Si parar y devolver como aproximación de la, n ,xnx −x| n n−1| ≤ ε ≥ 1 xn

solución.b.2) Hacer = g( ) y repetir el paso b).xn+1 xn

EjemploPor ejemplo, la ecuación tiene una raíz en el intervalo (1, 2) ya que f(1)=­1<0(x)f = x3 − x − 1 = 0y f(2)=5>0. Esta ecuación puede escribirse de la formax = x3 − 1En este caso,(x)ϕ = x3 − 1 y (x) xϕ′ = 3 2

y por tanto,(x)ϕ′ ≥ 3 para 1≤ x ≤ 2

en consecuencia, no se cumplen las condiciones de convergencia del proceso de iteración. Siescribimos la ecuación en la formax = √3 x − 1como se podrá verificar si cumple las condiciones de convergencia, obteniéndoserápidamente un valor aproximado de la raíz buscada.

Método de NewtonEn este método a partir de una aproximación inicial del cero de la función, se va actualizando x0 dicho punto a través del cero de la recta tangente en .x0 La sucesión de este método se genera mediante la siguiente relación:xn+1 = xn −

f(x )nf (x )′ n

La forma de detener las iteraciones es similar al método de aproximaciones sucesivas|| xnx −xn−1 n || < ε0Algoritmo:a) Elegir [a; b] y > 0.x0 ε εb) Dados n 0 y .≥ xn

b.1) b.1) Si parar y devolver como aproximación de la, n ,xnx −x| n n−1| ≤ ε ≥ 1 xn

solución.b.2) Hacer y repetir el paso b)xn+1 = xn −

f(x )nf (x )′ n

Ejemplo.Calcular el cero de la función f(x) = tg(x)­ x que corresponde a n = 1, sabiendo que los cerosestán en los entornos de los puntos xn = (n+1/2) πSi tomamos x0 = 4.7:(x ) g(x ) x g(4.7) .7 6.012759f o = t o − o = t − 4 ≃ 7(x ) xf ′ = 1

cos x2 − 1 = tg2

.6883318 (x ) 6.87x1 = x0 −f(x )of (x )′ 0

= 4 → f 1 ≃ 3.6669845 (x ) 7.34x2 = 4 → f 2 ≃ 1.6311833 (x ) .66x3 = 4 → f 3 ≃ 7.5804731 (x ) .91x4 = 4 → f 4 ≃ 2.528429 (x ) .846x5 = 4 → f 5 ≃ 0.4991381 (x ) .119x6 = 4 → f 6 ≃ 0.493564 (x ) .119x7 = 4 → f 7 ≃ 0.4934096 (x ) .9x8 = 4 → f 8 ≃ 2 × 10−6

Método de la Secante:El método de la Secante es una variante del método de Newton para el caso en que no sea posible calcular la derivada de f(x) de una forma analítica.En este caso, se sustituye el valor f’( ) en el algoritmo, por el valorxn

x −xn n−1

f(x )−f(x )n n−1

que corresponde a una aproximación de f’( ): Para iniciar elxnalgoritmo, son necesarias dos aproximaciones iniciales, y x0 x1RAÍCES MÚLTIPLES:

Método de Müller:En este método se hace una aproximación parabólica de una función. A partir de una aproximación inicial del cero de la función, se calcula la parábola tangente. Es un extension x0 del metodo de la Secante

Requiere de tres aproximaciones xx0, 1, x2 Determina una tercer aproximación. El método consiste en obtener los coeficientes de tres puntos de la parábola.

Si tomamos:(x ) (x )(x ) (x ) y = f 0 + f ′ 0 − x0 + 2

f (x )′′ 0 − x0 2

con y=0, haciendo las operaciones respectivas

x1 = x0 + f (x )′′ 0

−f (x )±′ 0 √ f (x ) −2f(x )f (x )[ ′ 0 ]2 0 ′′ 0

Ejemplo:calcular los ceros de y=ln( ) con una proximidad x=0.1x sen2 + 1tomando como punto de partida =0.1x0(x)f ′ = 1+sen x2

2sen(x)cos(x) = sen(2x)1+sen x2

(x)f ′′ =(1+sen x)2 2

2cos(2x)(1+sen x)−2sen(x)cos(x)sen(2x)2

x1 = x0 + f (x )′′ 0

−f (x )±′ 0 √ f (x ) −2f(x )f (x )[ ′ 0 ]2 0 ′′ 0 .0129298≃ 0 ⇒ (x ) .000167156 f 1 ≃ 0x2 .000257272≃ 0 ⇒ (x ) .61889 f 2 ≃ 6 × 10−8

x3 .04230≃ 1 × 10−7 ⇒ (x ) .08802 f 3 ≃ 1 × 10−14

Método de Newton Raphson para raíces múltiples.Este método se usa para encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer la derivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz.

Fórmulaxi+1 = xi −

f(x )f (x )i ′ i

[f (x ) ]−f(x )f (x )′ i2

i ′′ i

AlgoritmoPara calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que xi+1 tiene pendientem = (x )f ′ i

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:(x ) (x )(x )y − f ′ i = f ′ i − xi

Hacemos y=0:(x ) (x )(x )− f ′ i = f ′ i − xi

Y despejamos x:

x = xi −f(x )if (x )′ i

Que es la fórmula iterativa de Newton­Raphson para calcular la siguiente aproximación: ), sixi+1 = xi −

f(x )if (x )′ i

(xf ′ i =/ 0

Bibliografíahttp://books.google.com.ec/books?id=i_62GoNHjgIC&pg=PA89&lpg=PA89&dq=ejemplos+de+metodos+numericos+de+ceros+de+funciones&source=bl&ots=mwzHghpcLI&sig=M8upOAlTfmOF9s­ZxxbRkRW9Now&hl=es&sa=X&ei=yE9gUbiRHpXB4APGtIG4DA&ved=0CEIQ6AEwAw#v=onepage&q=ejemplos%20de%20metodos%20numericos%20de%20ceros%20de%20funciones&f=false

http://departamento.us.es/edan/php/asig/LICFIS/LFIPC/Tema8FISPC0809.pdf

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cifus/numerico/notasweb2.pdf

http://www2.dis.ulpgc.es/~lalvarez/teaching/mn/2010MnTransparenciasTema2_CalculoCeros.pdf

http://eisc.univalle.edu.co/cursos/web/material/750017M/4/MN_Raices.pdf