paso a paso_ cálculo de Áreas (1).pdf

8/16/2019 Paso a Paso_ Cálculo de Áreas (1).pdf

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INTEGRALES DEFINIDAS- CALCULO DE ÁREAS(RESOLUCIÓN PASO A PAS0)

Teorema fundamental del cálculo integral


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REGLA DE BARROW


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ÁREA DE UNA FUNCIÓN


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3 Calcula el área del recinto limitado por la parábola f(x) = x2 y las rectas y = 0, x = 1, x = 3.

Área limitada por la gráfica de dos funciones


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EJERCICIOS ADICIONALES I – CALCULO DE AREAS


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Ejercicios Propuestos:


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EJERCICIOS ADICIONALES II – CALCULO DE ÁREAS


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10/21



11/21


a) b) c)

d) e) f)

g)


12/21



13/21



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15/21



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EJERCICIOS ADICIONALES III – CALCULO DE ÁREAS

1.-Calcular la integral 3

2 2 1dx

x

x

Solución: x

x

x

x x

A

x

B

x

A x B x

x x2 1 1 1 1 1

1 1

1 1

( )( )

( ) ( )

( )( )

x A x B x ( ) ( )1 1

Para x = -1, B 1

2

Para x= 1, A = 1

2

121121121

12

1

12 x L x Ldx

xdx

xdx

x x =

= L x x( . ) 1 1 Por tanto,

38)11(

1

3

22 L L x x Ldx

x

x

2.-Calcula el área del recinto l imitado por la parábola y=x 2 y las rectas y=0, x=2, x=6.

Solución:La recta y=0 es el eje x.

El área del recinto limitado por una función f(x), el eje x y la rectas x=a, x=b, viene dada por el valor

absoluto de la integral b

adx x f I )( siempre que la función f(x) no corte al eje x en ningún punto

interior del intervalo [a,b]

6

2

2dx x I =

=3

20832

36

3

336

2

3

x

Area= 208

3

208

3

2 u


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3.- Calcul a el área l imitada por la curva y = x 3 – 6x

2 + 8x y el eje x

Solución:

Calculamos los puntos de corte de la curva con el eje x : x x x3 26 8 0

4;2086

00)86(

2

2

x x x x

x x x x

Los puntos de corte obtenidos son 0, 2 y 4 , por tanto el área pedida se halla resolviendo las integrales:

I1= 2

0

23 )86( dx x x x

I2= 4

2

23 )86( dx x x x

I1= 4424

2

0

234

x x

x;

I2= 4424

4

2

234

x x

x;

Area=4+-4=8 u2

4.-Cal cul a el área del recinto l imi tado por la parábola de ecuación y = 9 – x 2 y el eje de abscisas.

Solución

Determinamos los puntos de corte de la curva con el eje x:

9-x2=0 x=3; x=-3

36)927()927(3

9)9(

3

3

33

3

2

x xdx x I

Area=36 u 2 =36 u 2


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5.-Calcula el área del recinto limi tado por la parábola y=4x-x 2 y el eje de abscisas en

el in tervalo [0,6]

Solución:

Comprobamos si hay puntos de corte

dentro del intervalo [0,6].4x-x2=0x(4-x)=0x=0; x=4

Como hay un punto de corte dentro delintervalo [0,6] que es x = 4, las integralesa plantear son:

4

0

2

1 )4( dx x x I

4

0

32

32

x x

I 1 32 64

3

96 64

3

32

3

6

4

2

2 )4( dx x x I ;3

56

3

32)7264(

32

6

4

32

2

x x I

Area= 32

3

56

3

88

3

2 ; Area = 88

3u

6.- H al la el área comprendida entr e las parábolas y = 8 – x 2 ; y = x 2

Solución:

Buscamos los puntos de corte de las dos curvas:8 2 8 4 22 2 2 x x x x

Los límites de integración son -2 y 2

La función a integrar es la diferencia de las dos funciones.

8 8 22 2 2 x x x , por tanto,

2

2

32

2

2

3

28)28(

x xdx x I

I

( ) ( )16 16

316

16

332

32

3

64

3

Area u u 64

3

64

3

2 2


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7.-Hall a el área comprendida entre las curvas y=6x-x 2 ; y=x 2 -2x

Solución:

6 2 2 8 02 2 2 x x x x x x

2 4 0 0 4 x x x x( ) ;

Función a integrar:( ) ( ) x x x x x x2 2 22 6 2 8

4

0

23

4

0

2

43

2

)82( x

x

dx x x I

128 192

3

64

3 Área=

64

3

64

3

2u

8.-Ar ea del recinto limi tado por la parábola y=3x-x 2 y la recta y=x-3

Solución:Límites de integración: 3 3 2 3 02 2 x x x x x

Resolviendo la ecuación se obtiene x=3; x=-1

Función a integrar: 3

32

33)32(

3

1

23

3

1

2

x x x

dx x x I

Area= 32

3

32

3

2u

9.-Hall a el área del r ecin to l imitado por la parábola de ecuación y=x 2 , la recta de ecuación y=x+2 y eleje OX.

Límites de integración: Son los puntos de corte de la parábola y la recta

x x x x2 22 2 0

12

231

291 x

Función a integrar: x x 2 2 (Diferencia de las dos funciones)

Hemos de resolver la integral siguiente:

2

9

32

2)2(

2

1

322

1

2

x x

xdx x x I Area u u

9

2

9

2

2 2


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10.-Calcula el área del recinto l imitado por la parábola de ecuación y=2(1-x 2 ) y la

recta de ecuación y=0

Solución:

Como la curva es simétrica respecto al eje de

ordenadas, podemos integrar entre 0 y

3

2

y multiplicar el resultado por 2.

Límites de integración: 2 1 1 3 2 3

2

2 2( ) x x x

Función a integrar: 2 1 1 3 22 2

( ) ( ) x x

23

0

2 )23( dx x I =

2

3

0

3

3

23

x x 2

3

2 Area u 4

3

2

2

11.-Calcula el área del recin to l imitado por l a curva de ecuación y x 2 y la rectay=x.

Solución:

Límites de integración:2 4 4 02 2 x x x x x x

x x x( ) ; 4 0 0 x = 4

Función a integrar: 2 x x

4

0

2

14

0)2()2( dx x xdx x x I

4

0

23

23

4

x x=8

3 ; Área=

8

3

2u


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12.-Hall a el área del recin to l imi tado por las gráficas de las funciones y=Lx, y=1 y los

ejes de coordenadas.

Solución:

Observando el dibujo, el área pedida será la diferencia

entre las integrales

e

dx0

.1 y e

dx Lx1

.

e xdx I ee

001 .1

1)10()(11

2 ee x xLx Lxdx I ee

(por partes)

Area=I I e1 2

1 u2

13.- Halla el área del recinto limitado por la parábola y x 2, la recta de ecuación y x 2 y el

eje OX

Solución:

Punto de corte de la parábola y el eje OX:

x x2 0 0

Punto de corte de la recta y el eje =OX:

x x2 0 2

Punto de corte de la parábola y la recta:

x x x x2 22 2 0

2

1

2

31

2

811 x

La solución x = -2 está fuera del eje OX, por tanto, sólo hemos de considerar el valor

x =1

Observando el dibujo, hemos de resolver las integrales siguientes:

2

1)2( ;

3

1 2

12

1

0

2

1 dx x I dx x I ; Area u 1

3

1

2

5

6

2

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