1 DERIVACIÓN IMPLÍCITA Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo

explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El

procedimiento se conoce como derivación implícita.

Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.

Por ejemplo:

042 =−x define a y como una función implícita de x. Es claro que por medio de esta

ecuación x se define igualmente como función implícita de y.

Uno de los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar la ecuación

término a término, considerando y como función de x, y de la ecuación resultante

despejar dxdy , o lo que es lo mismo despejar y’.

Ejercicio 1.

Hallar dy/dx o y’en la función 102 736 =−+ xyyxax .

Solución Calculando la derivada:

102 736

dxdxy

dxdyx

dxdax

dxd

=−+

Derivando:

07)1(626 67235 =−−++dxdyyyyx

dxdyxax x

Pasando términos semejantes:

72563 6672 yyxaxdxdyxy

dxdyx +−−=− .

Factorizando:

2

( ) yxyaxdxdyyx 27563 6672 −+−=−

63

257

7266

yxyxaxy

dxdy

−−−

=

Es importante hacer notar que, en general, el resultado contendrá tanto a x como a y.

Ejercicio 2.

Encontrar la derivada de .023 4 =− yx

Solución

Se trata de una función implícita, como se mencionó anteriormente podemos encontrar

su derivada, despejando y y realizando la derivación con respecto a x.

Despejando y

4

4

23

23

xy

yx

=

=

una vez despejada y, podemos obtener su derivada

144

234

23 −

=

∂∂ xxxy , realizando las operaciones para simplificar la expresión

tenemos:

33 6;2

12xx

xy=

∂∂

.

En caso de que sea posible despejar y, la derivación implícita es muy sencilla, sin

embargo esto no siempre es posible.

Ejercicio 3.

011352 332 =++++ − yxxyyx

Solución Ya que mencionamos la formula para encontrar derivadas implícitas era:

y

x

ff

dydx −

=

3 Primeramente obtenemos la derivada parcial de la función con respecto a la variable x,

es decir xf ; siendo la función: 11352 332 ++++ − yxxyyx

0)1(5)1(22 3312 +++= −− yyxfx , simplificando:

522 33 ++= −yxyfx

Obteniendo la derivada parcial de la función con respecto a y tenemos:

0)1(30)3(2)3( 11132 +++−+= −−− yxyxf y ; simplificando:

363 422 +−= −xyyxf y

Sustituyendo en la fórmula:

363)522(

422

33

+−++−

= −

−

xyyxyxy

dydx

Ejercicio 4.

033323 =+−+− yxyx

Solución Derivando parcialmente la función con respecto a x, tenemos:

33 22 += −yxfx

Derivando parcialmente la función con respecto a y, tenemos:

32 33 −−= −yxf y

Sustituyendo en la fórmula:

3233

33

22

−−+

= −

−

yxyx

dydx

Ejercicio 5.

Encuentre y’ de la siguiente ecuación: 0654 323 =+−+− xxyxxy

Solución Se derivan ambos lados de la ecuación con respecto a x.

)0()6()5()()()4( 323 DxDxxDxxDxyxDxxyDx =+−+−

Derivando:

0053)2'(4'12 2232 =+−++−+ xxyyxyyxy

Simplificando:

0532'4'12 2232 =−+−−+ xxyyxyyxy

4

22

23

2322

2322

125324'

5324)12('5324''12

xxyxxyyy

xxyyxxyyxxyyyxyxy

−+−+−

=

+−+−=−

+−+−=−

Ejercicio 6.

Hallar y’ de la siguiente ecuación: 045 22 =−− yxyx

Solución

)0()4()()5( 22 DxyDxxyDxxDx =−− Realizándola derivada:

0'8'100'8)]()([10

=−+−=−+−

yyyxyxyyxyDxyxDxx

Factorizando:

yxyxy

yxyxyyxyyxy

yyxyyx

810'

10)8('10)'8'(

'8')10(

++

=

+=++=+

+=+

Ejercicio 7. Hallar y’ de la siguiente ecuación: 26432 =−++ yxxyyx Solución

0'64'42'3 322 =−+++ yyxyxyyyx Simplificando

yxyyxyyyx 42'6'4'3 322 −−=−+ Factorizando:

64342'

42)643('

22

3

322

−++−

=

−−=−+

xyxyxyy

yxyxyxy

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

5

Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

Ejemplo 1:

Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

Ejemplo 2:

Hallar , de la función implícita:

Ejemplo 3:

Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;

.

En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.

.

La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,

quitando paréntesis y ordenando los términos,

,

pasando algunos términos al lado derecho,

6

extrayendo el factor común ,

y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

dy/dx con derivadas parciales

Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:

donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,

y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.

Hallar , de la función implícita:

Ejemplo 4:

Primero,

Solución:

segundo,

7

Ahora el cociente,

Acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:

Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios, halle dy/dx por medio del proceso de diferenciación implícita

S o l u c i o n e s

8

9

10