parciales cálculo i.pdf

Universidad

Industrial de

Santander

Facultad de CienciasEscuela de Matem aticas

Abril de 2011Primer examenCalculo I

Prof. Doris Gonz alez

Grupo

Nombre: Codigo:

Instrucciones :

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen.No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1. a) Exprese el area de un triangulo equilatero como funcion de la longitud de uno de los lados.

b) Exprese la funcion H (x) = sec4 (√x) como la composicion de tres funciones f ◦ g ◦ h.

2. a) En la figura se proporciona la grafica de la funcion f (x).

1) Utilice la grafica de la funcion f (x) para dibujar la grafica de f−1 (x).2) Utilice la grafica de la funcion f (x) para dibujar la grafica de y = −1

2f (x) + 3.

b) ¿Como se relaciona la grafica de y = f (|x|) con la grafica de f (x)? Utilice este hecho paragraficar y = sen |x| .

3. Recuerde que en este punto solo debe contestar dos de los items.

a) Trace la grafica de la siguiente funcion y usela para determinar los valores de a para loscuales NO existe lım

x→af (x) si:

f (x) =

{

2− x si x < −1,x si −1 ≤ x < 1,

(x− 1)2 si x ≥ 1.

b) Trace la grafica de un ejemplo de una funcion f que cumpla con la siguiente condiciones:dom { f } = [−4, 5], lım

x→3+f (x) = 4, lım

x→3−f (x) = 2, lım

x→−2f (x) = 3, f (3) = 3, f (−2) =

1.

c) Evalue el lımite, si existe. lımh→0

1

h

(

1√1 + h

− 1

)

.

4. Se sabe que en condiciones ideales cierta poblacion de bacterias se duplica cada hora. Supon-ga que al principio hay 500 bacterias.

a) Establezca una expresion para la poblacion de bacterias despues de t horas.b) ¿Cuando la poblacion alcanzara 80000 bacterias?

Solucion del primer examen de Calculo I PS2011 — UIS-Bucaramanga

1. a) Exprese el area de un triangulo equilatero como funcion de la longitud de uno de los lados.Denote el lado con una variable, por ejemplo x.Ahora, el area de un triangulo se calcula como

A =(base) × (altura)

2=

x · h2

.

Por el teorema de Pitagoras se tiene que

x2 = h2 +(x

2

)2

x2 −(x

2

)2

= h2

=⇒ 3

4x2 = h2

=⇒√3

2x = h

(dado que x es una distancia, solo se considera la solucion positiva).Reemplazando el valor de h, se tiene que

A (x) =x ·

√32x

2=

√3

4x2.

b) Exprese la funcion H (x) = sec4 (√x) como la composicion de tres funciones f ◦ g ◦ h.

Observe queH (x) = sec4

(√x)

=(

sec(√

x))4

.

Por tanto, se ve que la funcion h (x) =√x.

La funcion g (h (x)) = sec (√x) =, es decir, g (x) = sec x.

La funcion f (g (h (x))) = (g (h (x)))4 = (sec (√x))

4, es decir, f (x) = x4.

2. a) En la figura se proporciona la grafica de la funcion f (x).1) Utilice la grafica de la funcion f (x) para dibujar la grafica de f−1 (x).

La grafica de la funcion f−1 (x) se puede dibujar haciendo que los puntos (a, b) de lagrafica y = f (x), se reflejen con respecto a la recta y = x, quedando convertidos enlos puntos de la forma (b, a), como se muestra a continuacion.

2) Utilice la grafica de la funcion f (x) para dibujar la grafica de y = −12f (x) + 3.

La grafica de la funcion que se solicita, se obtiene siguiendo los siguiente pasos:* 1

2f (x) reduce todas las coordenadas en y a la midad;

* −12f (x) hace que la grafica obtenida se refleje con respecto al eje x;

* −12f (x)+3 hace que la grafica que tenemos hasta el momento se traslade 3 unidades

hacia arriba.b) ¿Como se relaciona la grafica de y = f (|x|) con la grafica de f (x)? Utilice este hecho para

graficar y = sen |x| .Dado que |x| =

{

x, x ≥ 0,−x, x < 0 , entonces

y = f (|x|) ={

f (x) , x ≥ 0,f (−x) , x < 0.

Por tanto, y = f (|x|), refleja la grafica de y = f (x) , x ≥ 0 con respecto al eje y. (Observeque el efecto de componer con la funcion valor absolutos es que la funcion resultante espar).Por ejemplo:

En consecuencia, para el caso de la funcion y = sen |x| ={

sen (x) , x ≥ 0sen (−x) , x < 0

={

sen x, x ≥ 0,− sen x, x < 0

Ver grafica.

3. Recuerde que en este punto solo debe contestar dos de los items.

a) Trace la grafica de la siguiente funcion y usela para determinar los valores de a para loscuales NO existe lım

x→af (x) si:

f (x) =

{

2− x si x < −1,x si −1 ≤ x < 1,

(x− 1)2 si x ≥ 1.

f (−3) = 2 − (−3) = 5; lımx→−1− f (x) = 2 − (−1) = 3; 2 f (−1) = −1; lımx→1− f (x) = 1;f (1) = (1− 1)2 = 0.La grafica quedarıa:* para x < −1 como la semirecta que tiene pendiente −1 y se acerca por izquierda al punto(−3, 5)* para −1 ≤ x < 1 es el segmento de recta con pendiente 1, inicia en el punto (−1,−1) yse acerca por izquierda al punto (1, 1).* para x ≥ 1 es el parte derecha de la parabola (x− 1)2.

b) Trace la grafica de un ejemplo de una funcion f que cumpla con la siguiente condiciones:dom { f } = [−4, 5], lım

x→3+f (x) = 4, lım

x→3−f (x) = 2, lım

x→−2f (x) = 3, f (3) = 3, f (−2) =

1.Hay varıas opciones para una grafica con estas caracterısticas, por ejemplo:

c) Evalue el lımite, si existe. lımh→0

1

h

(

1√1 + h

− 1

)

.

lımh→0

1

h

(

1√1 + h

− 1

)

= lımh→0

1

h

(

1−√1 + h√

1 + h

)

= lımh→0

1−√1 + h

h√1 + h

· 1 +√1 + h

1 +√1 + h

(dado que tiene la forma0

0)

= lımh→0

1− (1 + h)

h√1 + h

(

1 +√1 + h

)

= lımh→0

−h

h√1 + h

(

1 +√1 + h

)

= lımh→0

−1√1 + h

(

1 +√1 + h

) =−1√

1 + 0(

1 +√1 + 0

) =−1

2.

4. Se sabe que en condiciones ideales cierta poblacion de bacterias se duplica cada hora. Supon-ga que al principio hay 500 bacterias.

a) Establezca una expresion para la poblacion de bacterias despues de t horas.b) ¿Cuando la poblacion alcanzara 80000 bacterias?

Observe que

P (0) = 500

P (1) = 500 · 2 = 1000

P (2) = 500 · 22 = 2000

P (3) = 500 · 23 = 4000

P (4) = 500 · 24 = 8000

En general, se tiene que una expresion para la poblacion en cualquier tiempo t es

P (t) = 500 · 2t.Ahora, para encontra el tiempo necesario para alcanzar 80000 debemos resolver la sigu-iente ecuacion

80000 = 500 · 2t =⇒ 2t =80000

500=⇒ 2t =

80000

500= 160 =⇒ t = log2 160 =

ln 160

ln 2≈ 7,3219

Es decir que el tiempo necesario para que la poblacion se 80000, es de aproximadamente7. 321 9 horas.

Universidad

Industrial de

Santander




Grupo

Nombre: Codigo:

Instrucciones :


1. Encuentre el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

a) f (x) =x2 + 1

3x+ 2.

b) g (x) =√25− x2.

c) h (x) = ln (2x− 3) .

d) F (x) =

5, si − 3 < x ≤ 2,

cosx, si 3 < x < 5,

2x+ 1, si 7 < x ≤ 12.

2. En la teorıa de la relatividad, la masa de una partıcula con rapidez v es

m = f (v) =m0

√

1− v2

c2

donde m0 es la masa en reposo de la partıcula y c es a rapidez de la luz en el vacıo. Encuentrela funcion inversa de f y explique su significado.

3. Un cultivo de bacterias inicia con 500 bacterias y duplica su tamano cada media hora.

a) ¿Cuantas bacterias existen despues de 3 horas?b) ¿Cuantas bacterias existen despues de t horas?c) ¿Cuantas bacterias existen despues de 40 minutos?d) Estime el tiempo para que la poblacion alcance 100000 bacterias.

4. Determine si la proposicion es verdadera o falsa. Si es verdadera, explıque por que. Si es falsa,explıque por que o de un ejemplo que refute la proposicion.

a) Si f es una funcion, entonces f (s+ t) = f (s) + f (t) .

b) Si f y g son funciones, entonces (g ◦ f) (x) = (f ◦ g) (x) .

c) tan−1 x =sen−1 x

cos−1 x.

d) Si f es una funcion uno a uno, entonces f−1 (x) =1

f (x).

e) f (x) = x3 − x7 es una funcion par.

Universidad

Industrial de

Santander


Septiembre de 2011Supletorio 1 er examenCalculo I

Grupo

Nombre: Codigo:

Instrucciones :


1. a) Encuentre el dominio de las siguientes funciones:

(i) f (x) =x2 + 1

3x+ 2. (ii) g (x) =

√25− x2

ln (2x− 3).

b) Evalue el lımite, si existe.

(i) lımx→1

(

1

x− 1+

1

x2 − 3x+ 2

)

(ii) lımh→0

(3 + h)−1 − 3−1

h


m = f (v) =m0

√

1− v2

c2

donde m0 es la masa en reposo de la partıcula y c es a rapidez de la luz en el vacıo. Encuentrela funcion inversa de f , evalue lım

m→m+

0

f−1(m) y explique el significado de la funcion inversa y del

lımite encontrado.

3. Un cultivo de bacterias inicia con 1000 bacterias y duplica su tamano cada tres horas.

a) ¿Cuantas bacterias existen despues de t horas?b) Estime el tiempo para que la poblacion alcance 100000 bacterias.


a) Si f es una funcion creciente, entonces f (s+ t) = f (s) + f (t) .



cos−1 x.

d) Si f es una funcion uno a uno, entonces f−1 (x+ h) = f−1 (x)− h.

e) f (x) =x3 − x7

x2 + 1es una funcion impar.

Universidad

Industrial de

Santander


Calculo I

Taller:Continuidad y Derivadas

Mayo 20 de 2011

1. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de friccion o una fuerza amortiguadora(como un amortiguador en un automovil) se modela a menudo mediante el producto de unafuncion exponencial y una funcion seno o coseno. Suponga que la ecuacion del movimiento deun punto sobre tal resorte es

s (t) = 2e−1,5t sen 2πt

donde s se mide en centımetros y t en segundos

a) Halle la velocidad despues que transcurren t segundos.b) ¿Cuales son la posicion inicial y la velocidad inicial de dicho punto del resorte?

2. a) En la Figura A se muestra la grafica de la funcion f . Enuncie, con razones, los numeros enque f no es diferenciable.

b) Considere la funcion

f (x) =

x2 − 1

x+ 1, x < 0, x 6= −1,

−2, x = −1,

sen x

x, x ≥ 0.

Analice la continuidad de la funcion f (x) cuando x = 0 y x = −1.

Figura A.

x

y

Figura B.

3. a) Determine las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva y = ln(

xex2

)

,

en el punto (1, 1).b) Hallar una parabola con ecuacion y = ax2+by+c, que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente

−8 en x = −1 y pasa a traves del punto (2, 15) .

4. a) La ecuacion x2 − xy + y2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyosejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos enque esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos sonparalelas.

b) Halle la derivada de la funcion y = cos√

1 + sen (arctan πx).

Universidad

Industrial de

Santander

Sede SocorroEscuela de Matem aticas

Primer examenCalculo I

Marzo 18 de 2011

Grupo S

Nombre: Codigo:

Instrucciones :


1. Un barco se mueve con una rapidez de 30 Km/h paralelo al borde recto de la playa. El barcoesta a 6 Km de la playa y pasa frente a un faro al medio dıa.

a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una funcion de d, la distancia que elbarco recorre desde el medio dıa; es decir, hallar f de modo que s = f(d).

b) Exprese a d como una funcion de t, el tiempo transcurrido desde el medio dıa; es decir,hallar g de tal manera que d = g(t).

c) Hallar f ◦ g. ¿Que representa esta funcion?

2. Resuelva para x

a) 2 ln(x) = 1. b) e2x+3 − 7 = 0.

3. a) Determine el dominio y el recorrido de la funcion

g(x) = sen−1(3x+ 1).

b) Encuentre una formula para la inversa de la funcion

f(x) =4x− 1

2x+ 3.

c) Determine las asıntotas verticales de la funcion

y =x

3x− 2x2.

4. Evalue cada uno de los siguientes lımites, sı existen.

a) lımx→−2

2− |x|2 + x

. b) lımh→0

(3 + h)−1 − 3−1

h

Profesores: Sandra C. Florez Rodrıguez, Adriana A. Albarracın Mantilla, Alvaro Patino Calvete, Manuel Gomez Carreno, Gilberto Arenas Dıaz

Universidad

Industrial de

Santander


Segundo examenCalculo I

Mayo 4 de 2011

Grupo S

Nombre: Codigo:

Instrucciones :Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen.No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.


s (t) = 2e−1,5t sen 2πt





f (x) =

x2 − 1

x+ 1, x < 0, x 6= −1,

−2, x = −1,

sen x

x, x ≥ 0.


Figura A.

x

y

Figura B.

3. a) Determine una ecuacion de la tangente a la curva y = ln(

xex2

)

, en el punto (1, 1).

b) La ecuacion x2 − xy + y2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyosejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos enque esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos sonparalelas.

4. a) Hallar una parabola con ecuacion y = ax2+by+c, que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente−8 en x = −1 y pasa a traves del punto (2, 15) .


sen (tanπx).


Soluci on del segundo examen de C alculo I — Sede Socorro


s (t) = 2e−1,5t sen 2πt



Soluci on .

v (t) =ds

dt=

d

dt

(

2e−1,5t sen 2πt)

= 2 (−1,5) e−1,5t sen 2πt+ 2 (2π) e−1,5t cos 2πt

= −3e−1,5t sen 2πt+ 4πe−1,5t cos 2πt

Posicion inicial:s (0) = 2e−1,5(0) sen [2π (0)] = 2 ∗ 1 ∗ 0 = 0.

Velocidad inicial:

v (0) = −3e−1,5(0) sen [2π (0)] + 4πe−1,5(0) cos [2π (0)]= −3 ∗ 1 ∗ 0 + 4π ∗ 1 ∗ 1 = 4π.

2. a) En la Figura A se muestra la grafica de la funcion f . Enuncie, con razones, los numeros enque f no es diferenciable.Soluci on .x = −4: no es diferenciable dado que la funcion en dicho valor es discontinua.x = −1: no es diferenciable dado que la derivada por derecha es distinta a la derivada porizquierda (en el punto (−1, f (−1)) hay un pico).x = 2: no es diferenciable dado que en dicho valor hay una discontinuidad al infinito.x = 5: no es diferenciable dado que en el punto (5, f (5)) hay una pendiente vertical.


f (x) =

x2 − 1

x+ 1, x < 0, x 6= −1,

−2, x = −1,

sen x

x, x ≥ 0.


Soluci on .

lımx→−1

f (x) = lımx→−1

x2 − 1

x+ 1= lım

x→−1

(x− 1) (x+ 1)

x+ 1= lım

x→−1(x− 1) = −2 = f (−1) ; luego la

funcion f (x) es continua en x = −1.

lımx→0+

f (x) = lımx→0+

sen x

x= 1 y lım

x→0−f (x) = lım

x→0−

x2 − 1

x+ 1= −1; por tanto el lım

x→0f (x) no

existe y en consecuencia f (x) no es continua en x = 0.


xex2

)


Soluci on .La derivada se obtiene como sigue:

dy

dx=

1

xex2

(

(1) ex2

+ x(

ex2

2x))

=ex

2

+ 2x2ex2

xex2=

1 + 2x2

x.

La pendiente de la recta tangente es:

dy

dx

∣

∣

∣

∣

(1,1)

=1 + 2x2

x

∣

∣

∣

∣

(1,1)

=1 + 2 (1)2

(1)= 3.

La ecuacion de la recta tangente es:

y − 1 = 3 (x− 1) =⇒ y = 3x− 2.

b) La ecuacion x2 − xy + y2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyosejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos enque esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos sonparalelas.Soluci on .Para encontrar los puntos debemos hacer que y = 0, implicando que x2 − x (0) + (0)2 = 3,entonces x2 = 3, y por tanto x =

√3 o x = −

√3. Luego los puntos donde la elipse cruza

el eje x son(√

3, 0)

y(

−√3, 0)

.Por otra parte, derivando implıcitamente tenemos que

2x−(

y + xdy

dx

)

+ 2ydy

dx= 0 =⇒ (2x− y) + (2y − x)

dy

dx= 0 =⇒ dy

dx=

y − 2x

2y − x.

Luego la pendiente en cada punto es:

dy

dx

∣

∣

∣

∣

(√3,0)

=y − 2x

2y − x

∣

∣

∣

∣

(√3,0)

=(0)− 2

(√3)

2 (0)−√3

=−2(√

3)

−√3

= 2

ydy

dx

∣

∣

∣

∣

(−√3,0)

=y − 2x

2y − x

∣

∣

∣

∣

(−√3,0)

=(0)− 2

(

−√3)

2 (0)−(

−√3) =

2(√

3)

√3

= 2.

Por tanto la pendiente de las rectas tangentes en los dos casos es 2, y en consecuenciason paralelas.


Soluci on .La derivada de la parabola es y′ = 2ax+ b.Ahora:y′ (1) = 4 = 2a (1) + b =⇒ 2a+ b = 4.y′ (−1) = −8 = 2a (−1) + b =⇒ −2a + b = −8.

y (2) = 15 = a (2)2 + b (2) + c =⇒ 4a + 2b+ c = 15.

En consecuencia se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales{

2a+ b = 4 (1)−2a + b = −8 (2)4a+ 2b+ c = 15 (3)

Observe que la ecuacion (3) es equivalente a 2 (2a+ b) + c = 15, pero de la (1) se obtieneque 2 (4) + c = 15, y en consecuencia c = 15− 8 = 7.

{

2a+ b = 4 (1)−2a+ b = −8 (2)

=⇒ 2b = −4 =⇒ b = −2.

Reemplazando en (1) se obtiene que 2a+ (−2) = 4 =⇒ 2a = 6 =⇒ a = 3.Por tanto la ecuacion de la parabola es

y = 3x2 − 2x+ 7.


sen (tanπx).

Soluci on .

dy

dx= − sen

√

sen (tan πx) · 1

2√

sen (tanπx)· cos (tanπx) · sec2 (πx) · π

= −π · sen√

sen (tanπx) · cos (tan πx) · sec2 πx2√

sen (tan πx).

Universidad

Industrial de

Santander


TallerCalculo I

Agosto de 2011

Grupo

Nombre: Codigo:

1. Una embarcacion parte al medio dıa en direccion Norte con una velocidad de30 km/hr. Una hora mas tarde una segunda nave sale del mismo sitio en di-reccion Este con rapidez de 40 km/hr. ¿Con que rapidez se separan a la 1:30pm?

2. Evaluar los siguientes lımites:

a) lımx→0

cos(ax)− cos(bx)

x2

b) lımx→0+

(tan(2x))x

3. Encuentre los intervalos sobre los cuales f(x) = 2x3 + 3x2 − 36x es:

a) creciente,b) decreciente,c) concava hacia abajo,d) concava hacia arriba.

4. Si se cuenta con 12000cm2 de material para hacer una caja con base cuadraday la parte superior abierta, encuentre el volumen maximo posible de la caja.

5. Un modelo aplicado para el rendimiento R de un cultivo agrıcola como unafuncion del nivel de nitrogeno N en el suelo (que se mide en las unidadesapropiadas) es

R =α2N

1 +N +N2,

donde α es una constante. ¿Que nivel de nitrogeno proporciona el mejor rendimien-to? ¿Que pasa con el rendimiento cuando el nivel de nitrogeno es muy grande?¿Es cierto que la mayor razon de crecimiento se obtiene cuando N = 1/2?

Universidad

Industrial de

Santander


Calculo I

Taller:Lımite, Continuidady Reglas de derivaci on

Junio de 2011

1. De acuerdo con la grafica de la funcion f (x) responda justificando claramente su afirmaci on .

a) lımx→−3

f (x), lımx→0−

f (x),

lımx→2

f (x), lımx→4

f (x).

b) Indique los puntos donde la funciones discontinua y que clase de dis-continuidad presenta.

c) Escriba las ecuaciones de lasasıntotas verticales y horizontales(si las hay).

d ) ¿Se puede aplicar el teorema delvalor intermedio en el intervalo[−4,−3]?

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6

y = f(x)


a) lımx→−2

f (x), lımx→2

f (x), lımx→3

f (x).

b) Indique los puntos donde la funcion esdiscontinua y que clase de discontinuidadpresenta.

c) Escriba las ecuaciones de las asıntotasverticales y horizontales (si las hay).

d ) ¿Se puede aplicar el teorema del valorintermedio en el intervalo [−2, 2]?

1

2

3

4

−1

−2

−3

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

y = f(x)


a) lımx→−2

f (x), lımx→0

f (x), lımx→2

f (x).

b) Indique los puntos donde la funcion esdiscontinua.

c) En que punto o puntos la funcion tienediscontinuidad removible.

d ) Escriba las ecuaciones de las asıntotasverticales y horizontales (si las hay).

e) Se puede aplicar el teorema del valor in-termedio en el intervalo [1, 2].

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7 x

yy = f(x)

•

4. Para cada una de las siguientes funciones, determine el valor o los valores de la constante k, que hacenque la funcion sea continua en para el valor de x dado.

a) g (x) =

{

kx2 + 2x, x ≤ 18x− k2, x > 1

x = 1.

b) g (x) =

{

(kx)2 − kx+ 1, x < 13x− 2, x ≥ 1

x = 1.

c) g (x) =

k cos x, x < 1x2 − k, 1 ≤ x < 25− kx, x ≥ 2

x = 1 y x = 2.

5. Evalue los siguientes lımites:

a) lımx→−∞

|x||x|+ 1

.

b) lımθ→0

sen(2θ)

θ + sen θ.

c) lımx→1

x2 + 2x− 3

x2 − 3x+ 2.

d ) lımx→2+

x2 + 3x− 10

x+ 5.

e) lımθ→0

2θ

θ − sen θ.

f ) lımx→1

x+ 1

x2 − x− 2.

g) lımx→1+

1− x

|1− x| .

h) lımθ→0

sec 2θ tan 2θ

θ.

i) lımx→−∞

x25 + x

x10 (2x15 + π).

6. Determine lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h, para cada una de la siguientes funciones

a) f (x) = senx. b) f (x) = cosx. c) f (x) = 3x2 + 2x+ 1.

7. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que x5 + x = 1 tiene una solucion en [−1, 1].

8. Determine si la afirmacion dada es falsa o verdadera. Si es verdadera, explique por que. Si es falso,explique por que o de un contraejemplo de lo establecido.

a) Si f(1) = −1 y f(2) > 0, entonces existe un numero c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0.

b) Si f(x) es continua en 3 y f(3) = 4 y f(4) = 2 entonces lımx→5

2f(2x− 6) = 4.

c) Si f (x) y g (x) son dos funciones discontinuas en x = a, entonces f (x)·g (x) es tambien discontinuaen x = a.

d ) Si lımx→a

f (x) = 0 y lımx→a

g (x) = 0, entonces lımx→a

[f(x) · g (x)] es cero.

e) Si lımx→a



[f(x)/g (x)] no existe.

9. a) Si f(x) =x+ 1

x− 1, encuentre f ′(x) utilizando la definicion de la derivada.

b) Utilizando la definicion de derivada encuentre f ′(x), siendo f(x) =√2x+ 1

10. Halle la derivada de las siguientes ecuaciones(

dy

dx

)

a) y = 2arctan(sen x),

b) y =

√

1 + sen(√

3x)

,

c) y =

√

x

x2 + 1,

d ) x3 − x2y + xy2 − y3 = 6,

e) y = cot(sec 7x)).

f ) y =[

1 + (2 + 3x)−3/2]2/3

.

11. a) Si f(x) = h(g(x)) y h(2) = 55, g(−1) = 2, h′(2) = −1 y g(−1) = 7, determine f ′(−1).

b) Si y = (1 + u3)2 y u = (1− x2)1/2, calculedy

dx.

12. Sea

g(x) =

{ −1− 2x si x < −1x2 si −1 ≤ x < 1x si x ≥ 1

determine en que puntos del dominio la funcion g es diferenciable. Proporcione una formula para g′ ytrace las graficas de g y g′.

13. Halle una ecuacion de la recta tangente a la curva x = sen 2y en el punto (1, π/4).

14. Encuentredy

dx, despues escriba una ecuacion para la recta tangente a la grafica de la ecuacion

xy3 − x5y2 = 4 en el punto (1, 2).

15. La ecuacion(

x2 + y2)2

= x2 − y2 representa una lemniscata. Determine los puntos de la lemniscatadonde la tangente es horizontal y los puntos donde la tangente es vertical.

Universidad

Industrial de

Santander


Examen OpcionalCalculo I

Junio 10 de 2011

Grupo S

Nombre: Codigo:

Instrucciones :

No se permite el uso de tel efonos celulares durante el examen .Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen.No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. a) Determine lımx→∞

g (x), si para todo x > 1/9 se cumple que

7ex − 21x

3ex< g (x) <

7√x√

9x− 1.

b) Evaluar el siguiente lımite lımx→0

x (x− 1) (1− ex)

cos x sen2 x.

2. a) Encuentre todos los puntos en [0, 2π], en la grafica de la funcionf (x) = 2 senx + sen2 x en los cuales la recta tangente es hori-zontal. ¿Existen puntos donde la recta tangente sea vertical?

b) Si h(x)=√

4+3 [f (x)]2, donde f (1)=4 y f ′(1)=7, hallar h′(1).

3. Trace la grafica de una funcion que cumpla las condiciones dadas.f (2) = 2, f ′ (−2) = 3, f ′ (x) > 0 si |x| < 2, f ′ (x) < 0 si |x| > 2,lımx→2

|f (x)| = ∞ y f ′′ (x) > 0 para todo x 6= 2.

4. Un modelo aplicado para el rendimiento R de un cultivo agrıcolacomo una funcion del nivel de nitrogeno N en el suelo (que semide en las unidades apropiadas) es

R =α2N

1 +N +N2,

donde α es una constante. ¿Que nivel de nitrogeno proporciona elmejor rendimiento? ¿Que pasa con el rendimiento cuando el nivelde nitrogeno es muy grande? ¿Es cierto que la mayor razon decrecimiento se obtiene cuando N = 1/2?


Universidad

Industrial de

Santander



29 de julio de 2011

Grupo

Nombre: Codigo:

Instrucciones :Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas .

Resuelva cuatro de los siguientes cinco puntos, uno en cada pagina de su hoja de examen.

No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.

El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.

Todos los puntos tienen el mismo valor.

No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1. Considere la funcion

g (x) =

√−x si x < 0,

4− x2 si 0 ≤ x < 2,

(x− 4)2 si x > 2.

a) Evalue cada lımite, si existe.

(i) lımx→0+

g(x). (ii) lımx→0−

g(x). (iii) lımx→0

g(x).

(iv) lımx→2+

g(x). (v) lımx→2−

g(x). (vi) lımx→2

g(x).

b) ¿Donde es discontinua g?c) Trace la grafica de g.


s (t) = 3e−t/2 cos(πt),

donde s se mide en centımetros y t en segundos.¿Cuales son la posicion y la velocidad de dicho punto del resorte pasados cinco segundos?

3. La ecuacion x2 + xy + y2 = 5 representa una “elipsegirada”; es decir, una elipse cuyos ejes no son paralelos alos ejes de coordenadas, como se muestra en la grafica.Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x ydemuestre que las rectas tangentes en estos puntos sonparalelas.

x

y

4. a) Si h (x) =√

4 + 3 [f (x)]4, donde f (1) = 2 y f ′ (1) = 3, hallar h′ (1).

b) Halle la derivada de la funcion f(x) =(

xcos2 x)

sen x.

5. a) (i) Pruebe que la ecuacion ln x = 3− 2x tiene cuando menos una raız real.(ii) Halle un intervalo de longitud 0,01 que contenga una raız de dicha ecuacion.

b) Encuentre una ecuacion para la tangente a la curva y = ex que pasa a traves del origen.

Solucion del segundo examen de Calculo I

1. Considere la funcion

g (x) =

√−x si x < 0,

4− x2 si 0 ≤ x < 2,

(x− 4)2 si x > 2.

a) Evalue cada lımite, si existe.Soluci on .(i) lım

x→0+g(x) = lım

x→0+4− x2 = 4− (0)2 = 4.

(ii) lımx→0−

g(x) = lımx→0−

√−x =

√−0 = 0.

(iii) lımx→0

g(x) no existes porque los lımites laterales son distintos.

(iv) lımx→2+

g(x) = lımx→2+

(x− 4)2 = (2− 4)2 = 4.

(v) lımx→2−

g(x) = lımx→2−

4− x2 = lımx→2−

4− (2)2 = 0.

(vi) lımx→2

g(x) no existes porque los lımites laterales son distintos.

b) ¿Donde es discontinua g?Soluci on . Cada una de las partes de la funcion g (x) es continua en el intervalo donde sedefine, se tiene problemas solo en x = 0 y x = 2, en dicho puntos los lımites no existen,y ademas en x = 2 las funcion no esta definida, por tanto en dichos puntos la funcion esdiscontinua.

c) Trace la grafica de g.

x

y


s (t) = 3e−t/2 cos(πt),

donde s se mide en centımetros y t en segundos.¿Cuales son la posicion y la velocidad de dicho punto del resorte pasados cinco segundos?

Soluci on . La posicion a los cinco segundos es

s (5) = 3e−5/2 cos(5π) = −3e−5/2 ≈ −0,246 25 (cm).

La velocidad es la derivada del desplazamiento, ası aplicando derivada del producto se tieneque

v (t) = s′ (t) = −3

2e−t/2 cos(πt)− 3πe−t/2 sen(πt).

Luego la velocidad a los cinco segundos es

v (5) = −3

2e−5/2 cos(5π)− 3πe−5/2 sen(5π) = −3

2e−5/2(−1)− 0 ≈ 0,123 13 (cm/s2).

3. La ecuacion x2+xy+y2 = 5 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes noson paralelos a los ejes de coordenadas, como se muestra en la grafica. Encuentre los puntosen que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos sonparalelas.Soluci on . Los puntos donde la elipse cruza el eje x son aquellos donde y = 0.

x2 + x · (0) + (0)2 = 5 =⇒ x2 = 5 =⇒ x =√5 o x = −

√5.

Luego los puntos de corte son P1

(√5, 0)

y P2

(

−√5, 0)

.

Para que las rectas tangentes a la elipse en esos puntos sean paralelas se necesita que lapendiente sean iguales.

La pendiente de la recta tangente es mT se encuentra por medio de la derivadady

dx.

Entonces tenemos:x2 + xy + y2 = 5,

derivando implıcitamente se tiene

2x+

(

y + xdy

dx

)

+ 2ydy

dx= 0,

despejando ady

dxse obtiene

(x+ 2y)dy

dx= − (2x+ y) =⇒ dy

dx= −2x+ y

x+ 2y.

La pendientes en los puntos son:

mTP1=

dy

dx

∣

∣

∣

∣

P1

= − 2√5 + 0√

5 + 2 · 0= −2

y

mTP2=

dy

dx

∣

∣

∣

∣

P2

= − 2(

−√5)

+ 0(

−√5)

+ 2 · 0= −2.

Luego las pendientes en dichos puntos son iguales y por tanto las rectas son paralelas.

4. a) Si h (x) =√

4 + 3 [f (x)]4, donde f (1) = 2 y f ′ (1) = 3, hallar h′ (1).

Soluci on . Aplicando regla de la cadena se tiene que

h′ (x) =1

2

(

4 + 3 [f (x)]4)−1/2 (

12 [f (x)]3)

[f ′ (x)] .

Reemplazando en x = 1 se obtiene

h′ (1) =1

2

(

12 [f (1)]3)

[f ′ (1)]√

4 + 3 [f (1)]4=

6 (2)3 (3)√

4 + 3 (2)4=

9 (2)4

2√13

=72

13

√13 ≈ 19,969207.

b) Halle la derivada de la funcion f(x) =(

xcos2 x)

sen x.

Soluci on . Esta funcion se puede escribir como f(x) = h (x) sen x, donde h (x) = xcos2 x.

f ′ (x) = h′ (x) sen x+ h (x) cos x

lnh (x) = cos2 x · ln x =⇒ h′ (x)

h (x)= 2 cosx (− sen x) ln x+ cos2 x

1

x

=⇒ h′ (x) = h (x)

[

cos2 x

x− 2 cosx sen x

]

= xcos2 x

[

cos2 x

x− 2 cosx sen x

]

.

Por tanto

f ′ (x) = xcos2 x

[

cos2 x

x− 2 cosx sen x

]

sen x+ xcos2 x cosx

= xcos2 x

[(

cos2 x

x− 2 cosx sen x

)

sen x+ cosx

]

.

a) (i) Pruebe que la ecuacion ln x = 3− 2x tiene cuando menos una raız real.Soluci on . Considere la funcion f (x) = 3− 2x− ln x, dado que ln x es continua para x > 0y que 3−2x es continua para todo x, se tiene que f (x) es continua para todo x > 0. Ahora,f (1) = 3 − 2 (1)− ln (1) = 1 > 0 y f (2) = 3− 2 (2)− ln (2) = −1 − ln 2 ≈ −1. 693 1 < 0, yen particular f (x) es continua en [1, 2], entonces f satisface las condiciones del teoremade valor intermedio, en consecuencia existe c ∈ (1, 2) tal que f (c) = 0, es decir, existe unaraız real c de la ecuacion ln x = 3− 2x.(ii) Halle un intervalo de longitud 0,01 que contenga una raız de dicha ecuacion.Soluci on . Observe quef (1) = 3− 2 (1)− ln (1) = 1 > 0f (2) = 3− 2 (2)− ln (2) = −1− ln 2 ≈ −1. 693 1 < 0f (1,5) = 3− 2 (1,5)− ln (1,5) = − ln (1,5) ≈ −0,405 47 < 0f (1,3) = 3− 2 (1,3)− ln (1,3) = 0,137 64 > 0f (1,4) = 3− 2 (1,4)− ln (1,4) = −0,136 47 < 0f (1,35) = 3− 2 (1,35)− ln (1,35) = −1. 045 9× 10−4 < 0f (1,34) = 3− 2 (1,34)− ln (1,34) = 0,027 33 > 0Luego, el intervalo de longitud 0,01 que contiene la raız de dicha ecuacion es [1,34; 1,35] .

b) Encuentre una ecuacion para la tangente a la curva y = ex que pasa a traves del origen.Soluci on . Sea (a, b) el punto de la curva y = ex que pertenece a la tangente que pasa porel origen.La ecuacion de la recta tangente a la curva y = ex que pasa por el origen es

y − 0 = m (x− 0) =⇒ y = mx. (∗)Por otra parte, dado que (a, b) pertenece a la curva y = ex, entonces b = ea.La derivada de y (x) = ex es y′ (x) = ex, por tanto, y′ (a) = ea, y en consecuencia, laecuacion de la recta tangente en el punto (a, ea) es

y − ea = ea (x− a) =⇒ y = eax− aea + ea

pero por la ecuacion (∗) se tiene que

ea − aea = 0 =⇒ ea (1− a) = 0 =⇒ a = 1.

Por tanto m = e1, y entonces la ecuacion de la recta tangen a la curva y = ex que pasa porel origen es

y = ex.

Universidad

Industrial de

Santander


Supletorio 3 er examenCalculo I

Agosto de 2011

Grupo

Nombre: Codigo:Instrucciones :


1. Seag(x) =

{ −1− 2x si x < −1x2 si −1 ≤ x < 1x si x ≥ 1

(a) Determine en que puntos la funcion es discontinua. (b) Determine en quepuntos del dominio la funcion g es diferenciable. (c) Proporcione una formulapara g′ y (d) trace las graficas de g y g′.

2. Encuentredy

dx, despues escriba una ecuacion para la recta tangente a la grafica

de la ecuacion xy3 − x5y2 = 4 en el punto (1, 2). ¿Existen puntos donde la rectatangente sea horizontal? ¿Existen puntos donde la recta tangente sea vertical?Si existen, ¿cuales son dichos puntos? Explique.

3. a) Si f(x) = h(g(x)) y h(2) = 55, g(−1) = 2, h′(2) = −1 y g′(−1) = 7, determinef ′(−1).

b) Encuentre y′′ si x7 + y7 = 1.

4. Encuentredy

dx, si:

a) y = cot(sec 5x).2

3

b) y =[

1 + (2 + 7x)−3/2]2/3

.

c) x3 cos y + sen(2x2y) = x2y2.

Universidad

Industrial de

Santander


Tercer examenCalculo I

19 de agosto de 2011

Grupo

Nombre: Codigo:.

Instrucciones :

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas .

Resuelva cada punto en una pagina de su hoja de examen.




No se permite el uso de tel efonos celulares durante el examen .

1. Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 4 millaspor hora y la otra camina hacia el noreste a 2 millas por hora. ¿Que tan rapidocambia la distancia entre las personas despues de media hora?

2. Si un resistor de R ohms se conecta a los bornes de una baterıa de E volts conresistencia interna r, en tal caso la potencia (en watts) en el resistor externo es

P =E2R

(R + r)2.

Si E y r son constantes pero R varıa, ¿cual es el valor maximo de la potencia?

3. Trace la grafica de una funcion que cumpla con las condiciones dadas.f (0) = 0, f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, lım

x→∞f (x) = 0, lım

x→6f (x) = ∞,

f ′ (x) > 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), f ′ (x) < 0 en (−2, 1) y (6, 9),f ′′ (x) < 0 en (−∞, 0) y (12,∞) , y f ′′ (x) > 0 en (0, 6) y (6, 12) .

Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los inter-valos de concavidad, las asıntotas, y los maximos y mınimos.

4. a) Encuentre la aproximacion lineal de la funcion g (x) = 3√1 + x en a = 0 y

aplıquela para hacer una aproximacion a los numero 3√0,99 y 3

√1,05. Ilustre

dibujando g y la recta tangente.b) ¿Existe una funcion f tal que f (0) = −1, f (2) = 4 y f ′ (x) ≤ 2 para toda x?

(Explique claramente su respuesta).

Universidad

Industrial de

Santander




Grupo

Nombre: Codigo:..

Instrucciones :

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas .

Resuelva cada punto en una pagina de su hoja de examen.




No se permite el uso de tel efonos celulares durante el examen .

1. Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 2 millaspor hora y la otra camina hacia el noreste a 4 millas por hora. ¿Que tan rapidocambia la distancia entre las personas despues de media hora?

2. Si un resistor de R ohms se conecta a los bornes de una baterıa de E volts conresistencia interna r, en tal caso la potencia (en watts) en el resistor externo es

P =E2R

(R + r)2.

Si E y r son constantes pero R varıa, ¿cual es el valor maximo de la potencia?

3. Trace la grafica de una funcion que cumpla con las condiciones dadas.f (0) = 0, f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, lım

x→∞f (x) = 0, lım

x→6f (x) = −∞,

f ′ (x) < 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), f ′ (x) > 0 en (−2, 1) y (6, 9),f ′′ (x) > 0 en (−∞, 0) y (12,∞) , y f ′′ (x) < 0 en (0, 6) y (6, 12) .

Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los inter-valos de concavidad, las asıntotas, y los maximos y mınimos.

4. a) Encuentre la aproximacion lineal de la funcion g (x) = 3√1 + x en a = 0 y

aplıquela para hacer una aproximacion a los numero 3√0,95 y 3

√1,01. Ilustre

dibujando g y la recta tangente.b) ¿Existe una funcion f tal que f (0) = −1, f (2) = 4 y f ′ (x) ≤ 2 para toda x?

(Explique claramente su respuesta).

Solucion del tercer examen de Calculo I

1. (Tema A) Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 4 millas por hora y la otracamina hacia el noreste a 2 millas por hora. ¿Que tan rapido cambia la distancia entre las personasdespues de media hora?

Solucion.

bx

yz

dx

dt= 4 millas/h

dy

dt= 2 millas/h

θ

x(t) = 4t, y(t) = 2t, z2 = x2 + y2 − 2xy cos θ,

Como θ = 135◦, cos 135◦ = −√2/2, entonces

z2 = x2 + y2 +√2xy. (∗)

Ahora, x(0,5) = 2 e y(0,5) = 1, y por tanto,

[z(0,5)]2 = 22+12+2√2 =⇒ z(0,5) =

√

5 + 2√2 ≈ 2,7979.

Por otra parte, como en el problema se pidedz

dt, entonces se deriva implıcitamente la ecuacion (∗),

obteniendo

2zdz

dt= 2x

dx

dt+ 2y

dy

dt+

√2

(

xdy

dt+ y

dx

dt

)

,

al despejardz

dt, se tiene

dz

dt=

(2x+√2y)

dx

dt+ (2y +

√2x)

dy

dt2z

.

Evaluando cuando t es media hora, se obtiene

dz

dt

∣

∣

∣

∣

t=0,5

=(2 ∗ 2 +

√2 ∗ 1)(4) + (2 ∗ 1 +

√2 ∗ 2)(2)

2 ∗√

5 + 2√2

=10 + 4

√2

√

2√2 + 5

≈ 5,5959.

El cambio de la distancia entre las dos personas despues de media hora es de aproximadamente 5,5959millas por hora.

1. (Tema B) Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 2 millas por hora y la otracamina hacia el noreste a 4 millas por hora. ¿Que tan rapido cambia la distancia entre las personasdespues de media hora?

Solucion.

bx

yz

dx

dt= 2 millas/h

dy

dt= 4 millas/h

θ

x(t) = 2t, y(t) = 4t, z2 = x2 + y2 − 2xy cos θ,

Como θ = 135◦, cos 135◦ = −√2/2, entonces

z2 = x2 + y2 +√2xy. (∗)

Ahora, x(0,5) = 1 e y(0,5) = 2, y por tanto,

[z(0,5)]2 = 12+22+2√2 =⇒ z(0,5) =

√

5 + 2√2 ≈ 2,7979.

Por otra parte, como en el problema se pidedz

dt, entonces se deriva implıcitamente la ecuacion (∗),

obteniendo

2zdz

dt= 2x

dx

dt+ 2y

dy

dt+

√2

(

xdy

dt+ y

dx

dt

)

,

al despejardz

dt, se tiene

dz

dt=

(2x+√2y)

dx

dt+ (2y +

√2x)

dy

dt2z

.

Evaluando cuando t es media hora, se obtiene

dz

dt

∣

∣

∣

∣

t=0,5

=(2 ∗ 1 +

√2 ∗ 2)(2) + (2 ∗ 2 +

√2 ∗ 1)(4)

2 ∗√

5 + 2√2

=10 + 4

√2

√

2√2 + 5

≈ 5,5959.

El cambio de la distancia entre las dos personas despues de media hora es de aproximadamente 5,5959millas por hora.

2. Si un resistor de R ohms se conecta a los bornes de una baterıa de E volts con resistencia interna r, ental caso la potencia (en watts) en el resistor externo es

P =E2R

(R+ r)2.

Si E y r son constantes pero R varıa, ¿cual es el valor maximo de la potencia?Solucion.Para encontrar el valor maximo de la potencia se debe derivar P (R). Entonces,

P ′ (R) =d

dR

(

E2R

(R+ r)2

)

=E2 (R+ r)2 −E2R (2 (R+ r))

(R+ r)4=

E2 (R+ r) [(R+ r)− 2R]

(R+ r)4=

E2 (r −R)

(R+ r)3.

Ahora se deben encontrar los puntos crıticos de la funcion, para ello se iguala la derivada a cero, dadoque no hay puntos donde la derivada no exista, ya que las condiciones del problema indican que E y r

son constantes positivas. Luego, P ′ (R) = 0, implica que E2(r−R)

(R+r)3= 0, y en consecuencia, (r −R) = 0,

de donde se obtiene que r = R.

Ahora, al encontrar la segunda derivada se obtiene

P ′′ (R) =d

dR

(

E2 (r −R)

(R+ r)3

)

= 2E2 R− 2r

(R+ r)4.

Al evaluarla en R = r, se obtiene

P ′′ (r) = 2E2 r − 2r

(r + r)4= − 1

8r3E2 < 0.

Como la segunda derivada es negativa, entonces la funcion es concava hacia abajo; por el criterio de lasegunda derivada se tiene que el punto crıtico corresponde a un valor maximo de la funcion P (R), y enconsecuencia el valor maximo de la potencia es

P (r) =E2r

(r + r)2=

E2

4r.

(Observacion: la ultima parte tambien se puede hacer aplicando el criterio de la primera derivada).

3. (Tema A) Trace la grafica de una funcion que cumpla con las condiciones dadas.f (0) = 0, f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, lım

x→∞f (x) = 0, lım

x→6f (x) = ∞,

f ′ (x) > 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), f ′ (x) < 0 en (−2, 1) y (6, 9),

f ′′ (x) < 0 en (−∞, 0) y (12,∞) , y f ′′ (x) > 0 en (0, 6) y (6, 12) .

Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad, lasasıntotas, y los maximos y mınimos.Solucion.

Las condiciones f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, implican que los numeros x = −2, x = 1 y x = 9 soncrıticos.La condicion lım

x→∞f (x) = 0, implica que y = 0 es una asıntota horizontal.

La condicion lımx→6

f (x) = ∞, implica que x = 6 es una asıntota vertical.

f ′ (x) > 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), implica que en dichos intervalos la funcion es creciente.

f ′ (x) < 0 en (−2, 1) y (6, 9), implica que en dicho intervalos la funcion es decreciente.

f ′′ (x) < 0 en (−∞, 0) y (12,∞) , implica que en dichos intervalos la funcion es concava hacia abajo, y

f ′′ (x) > 0 en (0, 6) y (6, 12), implica que en dichos intervalos la funcion es concava hacia arriba.

El hecho que en x = −2 la derivada cambia de signo positivo a negativo, implica que f(−2) es un valormaximo local.El hecho que en x = 1 la derivada cambia de signo negativo a positivo, implica que f(1) es un valormınimo local.El hecho que en x = 9 la derivada cambia de signo negativo a positivo, implica que f(9) es un valormınimo local.Relacionando todo lo anterior se obtiene que un esbozo de la grafica de la funcion que cumple con lascondiciones es:

f ′ + − − ++f ր ց ր ց րf ′′ − −+ +f

b

3. (Tema B) Trace la grafica de una funcion que cumpla con las condiciones dadas.f (0) = 0, f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, lım

x→∞f (x) = 0, lım

x→6f (x) = −∞,

f ′ (x) < 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), f ′ (x) > 0 en (−2, 1) y (6, 9),

f ′′ (x) > 0 en (−∞, 0) y (12,∞) , y f ′′ (x) < 0 en (0, 6) y (6, 12) .

Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad, lasasıntotas, y los maximos y mınimos.Solucion.

Las condiciones f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, implican que los numeros x = −2, x = 1 y x = 9 soncrıticos.La condicion lım

x→∞f (x) = 0, implica que y = 0 es una asıntota horizontal.

La condicion lımx→6

f (x) = −∞, implica que x = 6 es una asıntota vertical.

f ′ (x) < 0 en (−∞,−2), (1, 6) y (9,∞), implica que en dichos intervalos la funcion es decreciente.

f ′ (x) > 0 en (−2, 1) y (6, 9), implica que en dicho intervalos la funcion es creciente.

f ′′ (x) > 0 en (−∞, 0) y (12,∞) , implica que en dichos intervalos la funcion es concava hacia arriba, y

f ′′ (x) < 0 en (0, 6) y (6, 12), implica que en dichos intervalos la funcion es concava hacia abajo.

El hecho que en x = −2 la derivada cambia de signo negativo a positivo, implica que f(−2) es un valormınimo local.El hecho que en x = 1 la derivada cambia de signo positivo a negativo, implica que f(1) es un valormaximo local.El hecho que en x = 9 la derivada cambia de signo positivo a negativo, implica que f(9) es un valormaximo local.Relacionando todo lo anterior se obtiene que un esbozo de la grafica de la funcion que cumple con lascondiciones es

f ′ − + + −−f ց ր ց ր ցf ′′

+ +− −f

b

4. a) (Tema A) Encuentre la aproximacion lineal de la funcion g (x) = 3√1 + x en a = 0 y aplıquela para

hacer una aproximacion a los numero 3√0,99 y 3

√1,05. Ilustre dibujando g y la recta tangente.

Solucion.

g′ (x) =d

dx

(

3√1 + x

)

=1

3 (x+ 1)2/3. g′ (0) =

1

3 (0 + 1)2/3=

1

3.

Ahora, g (0) = 1. Por tanto, la aproximacion lineal de la funciong (x) es

y − g (0) =1

3(x− 0) =⇒ y =

1

3x+ 1.

Luego,

3√

0,99 = 3√

1− (0,01) ≈ 1

3(−0,01) + 1 ≈ 0,99667

y3√

1,05 = 3√

1 + (0,05) ≈ 1

3(0,05) + 1 ≈ 1,0167

x

y

a) (Tema B) Encuentre la aproximacion lineal de la funcion g (x) = 3√1 + x en a = 0 y aplıquela para

hacer una aproximacion a los numero 3√0,95 y 3

√1,01. Ilustre dibujando g y la recta tangente.

Solucion.Analoga al Tema A, solo cambia en los valores a aproximar

3√

0,95 = 3√

1− (0,05) ≈ 1

3(−0,05) + 1 ≈ 0,98333

y3√

1,01 = 3√

1 + (0,01) ≈ 1

3(0,01) + 1 ≈ 1,0033

b) ¿Existe una funcion f tal que f (0) = −1, f (2) = 4 y f ′ (x) ≤ 2 para toda x? (Explique claramentesu respuesta).Solucion.La pendiente determinada por los puntos es

m =f(2)− f(0)

2− 0=

4− (−1)

2=

5

2.

Como la pregunta dice f ′ (x) ≤ 2 para toda x, entonces f debe ser continua en [0, 2] y diferenciableen (0, 2). Por tanto, por el TVM, existe c ∈ (0, 2) tal que f ′(c) = 2,5, lo cual es contradictorio con lacondicion dada: f ′(x) ≤ 2, por esto una funcion de este estilo no puede existir.Se puede observar adicionalmente, que en el caso sencillo en el cual la grafica de la funcionesta por arriba del segmento que une los puntos (0,−1) y (2, 4) (ver Figura A), se tiene que cuandolos valores de x ∈ (0, c) la pendiente es mayor que 2,5. Analogamente, si se observa el caso en elcual la grafica de la funcion este por debajo del segmento que uno los puntos (0,−1) y (2, 4) (verFigura B), se tiene que para valores de x ∈ (c, 2) la pendiente es mayor a 2,5. Por tanto, no puedeexistir una funcion con las caracterısticas que se piden.

x

y

Figura A.

x

y

Figura B.

Criterios para la evaluacion:

1. a) (0,2) Hacer el grafico;b) (0,3) plantear la relacion y encontrar los valores de x, y y z a la media hora;c) (0,4) derivar implıcitamente;d ) (0,35) despejar correctamente y dar la respuesta a la pregunta.

2. a) (0,6) Encontrar la derivada;b) (0,4) encontrar el numero crıtico;c) (0,25) aplicar el criterio para determinar si es maximo o mınimo y responder la pregunta.

3. a) (0,2) Intervalos de crecimiento y decrecimiento;b) (0,2) intervalos de concavidad;c) (0,2) maximos y mınimos;d ) (0,2) asıntotas horizontal y vertical;e) (0,45) grafica de la funcion.

4. a) 1) (0,325) Encontrar la aproximacion lineal;2) (0,15) encontrar cada aproximacion.

b) 1) (0,3) Encontrar la pendiente dada por los puntos;2) (0,325) hace la interpretacion del Teorema del Valor Medio.

Universidad

Industrial de

Santander


Supletorio 3 er examenCalculo I

Agosto de 2011

Grupo

Nombre: Codigo:

Instrucciones :


1. Un globo sube con rapidez constante de 5 pies/s. Un nino va en bicicleta porun camino recto a una rapidez de 12 pies/s. Cuando pasa bajo el globo, esteesta a 50 pies arriba de el. ¿Que tan rapido se incrementa la distancia entre elnino y el globo 6 segundo mas tarde?

2. Trace la grafica de una funcion que cumpla las condiciones dadas.f es impar, f ′ (x) > 0 para 0 < x < 3, f ′ (x) < 0 para x > 3, lım

x→∞f (x) = 2,

f ′′ (x) < 0 para 0 < x < 4 y f ′′ (x) > 0 para x > 4.Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los inter-valos de concavidad, las asıntotas, y los maximos y mınimos.

3. Un modelo aplicado para el rendimiento R de un cultivo agrıcola como unafuncion del nivel de nitrogeno N en el suelo (que se mide en las unidadesapropiadas) es

R =α2N

1 +N +N2,

donde α es una constante. ¿Que nivel de nitrogeno proporciona el mejor rendimien-to? ¿Que pasa con el rendimiento cuando el nivel de nitrogeno es muy grande?¿Es cierto que la mayor razon de crecimiento se obtiene cuando N = 1/2?

4. a) Una ventana tiene la forma de un cuadrado coronado por un trianguloequilatero. La base de la ventana se mide como si tuviera un ancho de75 cm, con un error posible en la medicion de 2 mm. Use diferenciales paraestimar el error posible maximo al calcular el area de la ventana.

b) Suponga que f(0) = −3 y f ′(x) ≤ 5 para todos los valores de x. ¿Que tangrande es posible que sea f(2)?

Universidad

Industrial de

Santander



Agosto de 2011

Grupo

Nombre: Codigo:.

Instrucciones :


1. Sea f (x) = 3√x.

a) Si a 6= 0, use la definicion de derivada para hallar f ′ (a).b) Demuestre que f ′ (0) no existe.c) Demuestre que y = 3

√x tiene una tangente vertical en el punto

(0, 0).

2. Un pequeno fabricante de electrodomesticos encuentra que le cues-ta por semana 120 millones de pesos producir 1500 hornos paratostar y 150 millones de pesos producir 2000 hornos para tostar.

a) Exprese el costo como una funcion del numero de hornos paratostar que se producen, suponiendo que la relacion es lineal.Trace la grafica correspondiente.

b) ¿Cual es la pendiente de la grafica y que representa?c) ¿Cual es la interseccion y de la grafica y que representa?

3. Se entra grava por medio de una cinta transportadora a razon de45 metros cubicos por minuto; las dimensiones de sus fragmentospermiten formar una pila en forma de cono cuyo diametro y alturason siempre iguales. ¿Que tan rapido se incrementa la altura dela pila cuando esta mide 15 metros de alto?

4. Encuentre el area del rectangulo mas grande que puede inscribirse

en la elipsex2

9+

y2

16= 1.

Universidad

Industrial de

Santander



Agosto de 2011

Grupo

Nombre: Codigo:.

Instrucciones :


1. Sea f (x) = 3√x.

a) Si a 6= 0, use la definicion de derivada para hallar f ′ (a).b) Demuestre que f ′ (0) no existe.c) Demuestre que y = 3

√x tiene una tangente vertical en el punto

(0, 0).

2. Un pequeno fabricante de electrodomesticos encuentra que le cues-ta por semana 90 millones de pesos producir 1000 hornos paratostar y 120 millones de pesos producir 1500 hornos para tostar.

a) Exprese el costo como una funcion del numero de hornos paratostar que se producen, suponiendo que la relacion es lineal.Trace la grafica correspondiente.


3. Se entra grava por medio de una cinta transportadora a razon de36 metros cubicos por minuto; las dimensiones de sus fragmentospermiten formar una pila en forma de cono cuyo diametro y alturason siempre iguales. ¿Que tan rapido se incrementa la altura dela pila cuando esta mide 12 metros de alto?

4. Encuentre el area del rectangulo mas grande que puede inscribirse

en la elipsex2

25+

y2

16= 1.

Solucion de examen opcional.

1. a) Tenga en cuenta que el factor x− a es equivalente a tener una diferencia de cubos, esto es,

x− a =(

x1/3 − a1/3)(

x2/3 + x1/3a1/3 + a2/3)

.

Ahora, si a 6= 0, se tiene

f ′ (a) = lımx→a

f (x)− f (a)

x− a= lım

x→a

x1/3 − a1/3(

x1/3 − a1/3) (

x2/3 + x1/3a1/3 + a2/3)

= lımx→a

1

x2/3 + x1/3a1/3 + a2/3=

1(

a2/3 + a1/3a1/3 + a2/3) =

1

3a2/3.

Por tanto, f ′ (a) = 13a

−2/3.

b)

f ′ (0) = lımh→0

f (0 + h)− f (0)

h= lım

h→0

h1/3 − 0

h= lım

h→0

1

h2/3.

La funcion g (h) = 1h2/3 crece indefinidamente cuando h → 0, por tanto el lımite no existe, y en

consecuencia f ′ (0) no existe.

c) Observe que la funcion f (x) = 3√x es continua para todo numero real, en particular para x = 0.

Ahoralımx→0

∣

∣f ′ (x)∣

∣ = lımx→0

1

3x2/3= ∞,

en consecuencia se tiene que f posee una tangente vertical en x = 0.

2. (Tema A)

a) Denotese por y el costo de producir x cantidad de hornos. Dado que el problema dice que el modeloes lineal, se tienen dos puntos de dicha lınea: (1500, 120) y (2000, 150). Por tanto,

m =150− 120

2000 − 1500=

3

50,

y utilizando la ecuacion punto-pendiente de una recta, se obtiene

y − 120 =3

50(x− 1500) =⇒ y =

3

50x− 90 + 120 =⇒ y =

3

50x+ 30.

b) La pendiente de la grafica es 350 (millones / hornos) o equivalentemente $60 000 por horno, y repre-

senta que la producion de cada horno cuesta $60 000.c) La interseccion con el eje y es 30 (millones) y representa el costo de funcionamiento (independiente

de si hace hornos o no, el administrador tiene que gastar a la semana 30 millones de pesos en elfuncionamiento de la industria).

(Tema B)

a) Denotese por y el costo de producir x cantidad de hornos. Dado que el problema dice que el modeloes lineal, se tienen dos puntos de dicha lınea: (1000, 90) y (1500, 120). Por tanto,

m =120 − 90

1500 − 1000=

3

50,

y utilizando la ecuacion punto-pendiente de una recta, se obtiene

y − 90 =3

50(x− 1000) =⇒ y =

3

50x− 60 + 90 =⇒ y =

3

50x+ 30.

(Observe que la respuesta es equivalente a la del Tema A)

3. (Tema A)

Las condiciones del problema dicen que dVdt = 45 (m3/min.).

V =1

3πr2h =

1

3π

(

h

2

)2

=1

12πh3 =⇒ dV

dh=

1

4πh2.

Ahora,dV

dt=

dV

dh

dh

dt=⇒ 45 =

(

1

4πh2

)

dh

dt=⇒ dh

dt=

180

πh2.

Cuando h = 15 m,dh

dt

∣

∣

∣

∣

h=15

=180

π (15)2=

4

5π≈ 0,254 65 m/min.

Por tanto, la rapidez de incremento de la altura cuando la pila mide 15 metros de alto es aproximada-mente 0,254 65 m/min.

(Tema B)

Las condiciones del problema dicen que dVdt = 36 (m3/min.).

V =1

3πr2h =

1

3π

(

h

2

)2

=1

12πh3 =⇒ dV

dh=

1

4πh2.

Ahora,dV

dt=

dV

dh

dh

dt=⇒ 36 =

(

1

4πh2

)

dh

dt=⇒ dh

dt=

144

πh2.

Cuando h = 12 m,dh

dt

∣

∣

∣

∣

h=12

=144

π (12)2=

1

π≈ 0,318 31 m/min.

Por tanto, la rapidez de incremento de la altura cuando la pila mide 12 metros de alto es aproximada-mente 0,31831 m/min.

4. (Tema A)El area del rectangulo inscrito es A = (2x) (2y) = 4xy. Ahora, como la ecuacion de la elipse esx2

9 + y2

16 = 1, se obtiene al despejar y en funcion de x que

y2

16= 1− x2

9=⇒ y2 = 16

(

9− x2

9

)

=⇒ y =4

3

√

9− x2.

(Observe que solo se considera le valor positivo de y dado que en este caso representa una longitud).De lo anterior se obtiene que el area en funcion del lado x es

A (x) = 4x

(

4

3

√

9− x2)

=16

3x√

9− x2.

(Se debe considerar a x ∈ [0, 3]).Ahora

A′ (x) =16

3

(

√

9− x2 +x (−2x)

2√9− x2

)

=16

3

(

9− 2x2√9− x2

)

.

Los numeros crıticos se obtienen cuando cuando A′ (x) es cero o no existe. A′ (x) no existe cuandox = 3, pero en dicho caso el area es cero. Ahora, A′ (x) = 0 si 9 − 2x2 = 0, y esto implica que

x =√

92 = 3

√2

2 (observe que nuevamente solo se considera el valor positivo de x). Es claro que 0 < 3√2

2 ,

A′ (0) = 163

(

9−2·02√9−02

)

= 16 > 0; tambien es claro que 3√2

2 <√8 < 3, A′

(√8)

= 163

(

9−2·8√9−8

)

= 163 (−7) < 0,

y por el criterio de la primera derivada se obtiene que en x = 3√2

2 hay un valor maximo del area

A

(

3√2

2

)

=16

3

(

3√2

2

)

√

9− 9

2=

16

3· 92= 24.

Por tanto, el area del rectangulo mas grande que se puede inscribir en la elipse es 24 (unidades2).

(Tema B)El area del rectangulo inscrito es A = (2x) (2y) = 4xy. Ahora, como la ecuacion de la elipse esx2

25 + y2

16 = 1, se obtiene al despejar y en funcion de x que

y2

16= 1− x2

25=⇒ y2 = 16

(

25− x2

25

)

=⇒ y =4

5

√

25− x2.

(Observe que solo se considera le valor positivo de y dado que en este caso representa una longitud).De lo anterior se obtiene que el area en funcion del lado x es

A (x) = 4x

(

4

5

√

25− x2)

=16

5x√

25 − x2.

(Se debe considerar a x ∈ [0, 5]).Ahora

A′ (x) =16

5

(

√

25− x2 +x (−2x)

2√25− x2

)

=16

5

(

25− 2x2√25− x2

)

.

Los numeros crıticos se obtienen cuando cuando A′ (x) es cero o no existe. A′ (x) no existe cuandox = 5, pero en dicho caso el area es cero. Ahora, A′ (x) = 0 si 25 − 2x2 = 0, y esto implica que

x =√

252 = 5

√2

2 (observe que nuevamente solo se considera el valor positivo de x). Es claro que 0 < 5√2

2 ,

A′ (0) = 165

(

25−2·02√25−02

)

= 16 > 0; tambien es claro que 5√2

2 <√24 < 5, A′

(√24)

= 165

(

25−2·24√25−24

)

=

165 (−23) < 0, y por el criterio de la primera derivada se obtiene que en x = 5

√2

2 hay un valor maximo delarea

A

(

5√2

2

)

=16

5

(

5√2

2

)

√

25− 25

2=

16

5· 252

= 40.

Por tanto, el area del rectangulo mas grande que se puede inscribir en la elipse es 40 (unidades2).

Criterios para la evaluacion:

1. a) (0,55) Responder correctamente item (a);b) (0,35) Responder correctamente item (b);c) (0,35) Responder correctamente item (c);

2. a) 1) (0,35) Encontrar la pendiente;2) (0,4) Encontrar la ecuacion de la recta;

b) (0,25) Interpretacion de la pendiente;c) (0,25) Interpretacion de la interseccion con el eje y;

3. a) (0,2) Grafica;b) (0,2) ecuacion del volumen;c) (0,4) derivada implıcita;d ) (0,2) despejar dh/dt;e) (0,25) evaluar y responder la pregunta.

4. a) (0,2) Grafica;b) (0,2) ecuacion del area a maximizar;c) (0,2) despejar una de las variables en la elipse;d ) (0,4) reemplazar en el area y derivar correctamente;e) (0,25) aplicar criterio y responder la pregunta.

Universidad

Industrial de

Santander


Validaci onCalculo I


Grupo

Nombre: Codigo:.

Instrucciones :No se permite el uso de tel efonos celulares durante el examen .La nota obtenida en este examen se computar a, sin importar si es inferior a la nota definitiva .Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen.No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. Un punto fijo de una funcion f es un numero c en su dominio tal que f (c) = c. (La funcion no mueve ac; este permanece fijo).

a) Dibuje la grafica de una funcion continua con dominio [0, 1] cuyo recorrido tambien se encuentre en[0, 1]. Localice un punto fijo de f .

b) Intente graficar una funcion continua con dominio [0, 1] y recorrido [0, 1] que no tenga un punto fijo.¿Cual es el obstaculo?

c) Use el teorema del valor intermedio para comprobar que cualquier funcion continua con dominio[0, 1] y recorrido en [0, 1] tiene que tener un punto fijo.

2. Un semicırculo con diametro PQ descansa sobre un trianguloisoscels PQR para formar una region en forma de cono, comola que se ilustra en la figura. Si A (θ) es el area del semicırculoy B (θ) es el area del triangulo, halle

lımθ→0+

A (θ)

B (θ).

3. Un cono de radio r centımetros y altura h centımetros se introduce por la punta con una rapidez de 1cm/s en un cilindro alto de radio R centımetros que contiene una parte de agua (R > r). ¿Que tan rapidosube el nivel del agua en el instante en que el cono esta totalmente sumergido?

4. Dos postes verticales, PQ y ST , se aseguran por medio deun cable PRS extendido desde el extremo superior del primerposte hasta un punto R sobre el piso y, a continuacion, hasta elextremo superior del segundo poste, como se ve en la figura.Demuestre que se tiene la longitud mas corta de ese cablecuando θ1 = θ2.

5. A partir de las condiciones dadas para una funcion f , determine claramente los intervalos de crecimientoy decrecimiento, los intervalos de concavidad, las asıntotas, los puntos de inflexion y los maximos ymınimos. Por ultimo, trace la grafica de una funcion que cumpla con dichas condiciones.f es una funcion impar, lım

x→∞f (x) = 1, lım

x→5f (x) = −∞,

f ′ (x) > 0 en (0, 3) y (5, 8), f ′ (x) < 0 en (3, 5) y (8,∞),f ′′ (x) < 0 en (0, 5) y (5, 10) , y f ′′ (x) > 0 en (10,∞).

Universidad

Industrial de

Santander


TallerCalculo I

Funciones y LımitesProf. Gilberto Arenas Dıaz

1. Encuentre el dominio de las siguientes funciones.

a) f (x) =

√x− 1

x2 + 1.

b) h (x) = (f ◦ g) (x), donde f (x) =1

x2 + 1y g (x) =

√x+ 1 .

2. a) Evalue f (−π/2), f (0), f (1) y trace el grafico de la funcion f (x) definida como sigue:

f (x) =

{

cosx si x < 0,3/2 si x = 0,

x2 + 2 si x > 0.

b) Verifique si la funcion dada es invertible y si lo es encuentre su inversa: f (x) =−x

1 + x.

3. Se debe construir un corral rectangular para animales, se usara una pared como uno de loscuatro lados. El pie de cerca para los otros tres lados cuesta $ 5 000 y debe gastar $ 1 000 porcada pie de pintura para la parte de la pared que forma el cuarto lado del corral. Se tienen$ 180 000 para dicho trabajo. ¿Cuales dimensiones maximizan el area del corral que se debeconstruir?

4. a) Se sabe que la relacion entre la temperatura en grados Celsius y la temperatura en gradosFahrenheit es lineal y que al nivel del mar, el agua se congela a 32 oF (0 oC) y hierve a212 oF (100 oC). Determine una ecuacion lineal que relacione dichas temperaturas y uselapara determinar que temperatura Fahrenheit corresponde a 30 oC.

b) Se corta un borde de ancho uniforme de un pedazo de tela rectangular. El pedazo de telaresultante es de 20 por 30 cm. Si el area original era el doble de la actual, halle el anchodel borde que se corto.

5. A partir de la grafica de la funcion seno, grafique detalladamente f(x) = 3 sen(

x− π

2

)

+ 1.

b b b b b b b b

−2π −π π 2π


a) lımθ→0

1− θ−1

θ − θ−1. b) lım

x→−1

x+ 1

x2 − x− 2. c) lım

x→−5+

x2 + 3x− 10

x+ 5.

d) lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h, donde f (x) = x2 + x.

Universidad

Industrial de

Santander


Primer examenCalculo I

Septiembre de 2011

Grupo S

Nombre: Codigo:

Instrucciones :Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen.No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1. El costo mensual de conducir un automovil depende del numero de kilometrosque se recorren. Manuel encontro que en el mes de julio recorrer 800 kilometrosle costo 160 000 pesos y en el mes de agosto le costo 135 000 pesos recorrer600 kilometros.

a) Exprese el costo mensual como funcion de la distancia recorrida, suponien-do que la correspondencia es lineal. Trace la grafica correspondiente.


2. Se da la grafica de f . Usela para trazarla grafica de las funciones:

a) y = f(x

2

)

− 1.

b) y = f−1(x− 2).

y

x0 1

1f(x)

3. El crecimiento de una colonia de abejas en funcion del tiempo t, en dıas,esta determinado por la ecuacion

P (t) =150 000

1 + 49e−t/10.

a) ¿Cuantas abejas habıa inicialmente?b) Encuentre la inversa de la funcion P (t) y explique su significado.c) ¿En cuanto tiempo habra una colonia de 100 000 abejas?

4. Evalue cada uno de los siguientes lımites, sı existen.

a) lımx→−2

2− |x|2 + x

. b) lımx→1

(

1

x− 1+

1

x2 − 3x+ 2

)

Profesores: Adriana A. Albarracın Mantilla, Sandra C. Florez Rodrıguez, Ernesto Benıtes Rodrıguez, Manuel Gomez Carreno, Gilberto Arenas Dıaz.

Universidad

Industrial de

Santander


Taller ComplementarioTema: Funciones - ModelosCalculo I

Octubre de 2011

1. Una refinerıa se localiza al norte de la orilla deun rıo recto que es de 2 km de ancho. Se debeconstruir una tuberıa desde la refinerıa hasta untanque de almacenamiento que se localiza alsur de la orilla del rıo 6 km al este de la refinerıa.El costo de instalacion de la tuberıa es 400.000dolares/km en tierra hasta el punto P al norte dela orilla y 800.000 dolares/km bajo el rıo hasta eltanque. Encuentre una expresion para el costode la tuberıa en funcion de la distancia entre larefinerıa y el punto P .

2. El crecimiento de un feto de mas de 12 sema-nas se puede aproximar mediante la formulaL = 1,53t − 6,7, en la cual L es la longitud encm, y t la edad en semanas. La longitud pre-natal se puede determinar mediante ultrasonido.Calcule la edad aproximada de un feto cuya lon-gitud es 28 cm.

3. Halle la expresion para la funcion cuadraticacuya grafica se muestra en la Figura A.

y

x0 1

1(0, 1)

(−2, 2)

(1,−2.5)

Figura A.4. Se va a construir un canal para el agua de lluvia

a partir de una lamina de metal de 30 cm de an-cho doblando hacia arriba una tercera parte dela lamina en cada lado a traves de un angulo θ.Encuentre una expresion para el area frontal delcanal en funcion del angulo θ. (Ver Figura B).

θ θ

10 cm 10 cm 10 cmFigura B.

5. Una ventana normanda tiene la forma de unrectangulo coronado por un semicırculo. Si elperımetro de la ventana es de 30 pies, expreseel area A de ella como funcion del ancho de la

6. Las ballenas azules recien nacidas tienen apro-ximadamente 24 pies de longitud y pesan 3toneladas. Las ballenas bebes maman durante7 meses, y para cuando son destetadas, confrecuencia tienen 53 pies de largo y pesan 23ton.Sean L y W la longitud (en pies) y el peso(en toneladas), respectivamente, de una ballenaque tiene t meses de edad.

a) Si L y t estan relacionadas linealmente, ex-prese L en funcion de t.

b) ¿Cual es el aumento diario de longitud deuna ballena bebe? (1 mes = 30 dıas).

c) Si W y t estan linealmente relacionados,exprese W en terminos de t.

d ) ¿Cual es el incremento diario en el peso,de una ballena bebe?

7. a) Encuentre el dominio de

h(x) =|2 + 5x|√x2 − 1

.

b) Considere la siguiente funcion

g(x) =

1− 2x, x < −1;3, −1 < x < 3;√x+ 1, x > 3.

Encuentre dom g, g(−2), g(0), g(2), g(5) ytrace su grafica.

c) Dada la funcion

f (x) =

(x+ 2)2 + 2 si x < −2|x|+ 1 si |x| ≤ 2√x− 2 + 3 si 2 < x.

Grafique la funcion f (x) y determine su do-minio y su recorrido.

8. Resuelva la siguiente desigualdad:

x+ 1

2− x<

x

3 + x.

9. Encuentref(x+ h)− f(x)

h, si

a) f(x) =x− 1

x+ 2.

b) f(x) = ax2 + bx+ c.

Universidad

Industrial de

Santander


Taller (funciones)Calculo I

Octubre de 2011Gilberto ARENAS

Grupo

Nombre: Codigo:

1. Dados los siguientes graficos, determine cual no es la grafica de una funcion con regla deasignacion y = f (x).

a)

b)

c)

d)

e)

f )

2. Dada la funcion f , determine el dominio y el recorrido

a) f (x) =1√

x2 − 4. b) f (x) =

1

x2 + 1. c) f (x) =

{

x si x ≤ 0,x2 + x si 0 < x.

3. Conteste verdadero o falso justificando su respuesta

a) El dominio de la funcion f (x) =

√

2− 3x

1 + xes el conjunto

(

23,∞)

.

b) El dominio de (f ◦ g) (x) , cuando f (x) =√x y g (x) =

1 + x

x− 1es el conjunto (−∞,−1] ∪

[1,∞) .

c) El recorrido de la funcion t (x) =√x2 + 1 es el conjunto R

+.

4. Con base en el grafico de la funcion polinomica f (x), determine:

a) dominio y recorrido,

b) {x ∈ R : f (x) ≥ 0}.

c) f (−2) , f (2) , f (0) .

5. Dada la funcion

f (x) =

(x− 2)2 + 2 si x < −2| |x| − 4| si |x| ≤ 2√x− 1 + 1 si 2 < x.

Grafique la funcion f (x) y determine su dominio y su rango.

Universidad

Industrial de

Santander


Taller (funciones)Calculo I

Octubre de 2011Gilberto ARENAS

Grupo

Nombre: Codigo:

1. Dados los siguientes graficos, determine cual no es la grafica de una funcion con regla deasignacion y = f (x).

a)

b)

c)

d)

e)

f )

2. Dada la funcion f , determine el dominio y el recorrido

a) f (x) =1√

x2 − 4. b) f (x) =

1

x2 + 1. c) f (x) =

{

x si x ≤ 0,x2 + x si 0 < x.

3. Conteste verdadero o falso justificando su respuesta

a) El dominio de la funcion f (x) =

√

2− 3x

1 + xes el conjunto

(

23,∞)

.

b) El dominio de (f ◦ g) (x) , cuando f (x) =√x y g (x) =

1 + x

x− 1es el conjunto (−∞,−1] ∪

[1,∞) .

c) El recorrido de la funcion t (x) =√x2 + 1 es el conjunto R

+.

4. Con base en el grafico de la funcion polinomica f (x), determine:

a) dominio y recorrido,

b) {x ∈ R : f (x) ≥ 0}.

c) f (−2) , f (2) , f (0) .

5. Dada la funcion

f (x) =

(x− 2)2 + 2 si x < −2| |x| − 4| si |x| ≤ 2√x− 1 + 1 si 2 < x.

Grafique la funcion f (x) y determine su dominio y su recorrido.

Universidad

Industrial de

Santander


TallerCalculo I

Noviembre de 2011G. Arenas Dıaz

Grupo

Nombre: Codigo:

1. De acuerdo con la grafica de la funcion f (x) responda justificando clara-mente su afirmaci on .

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6

a) lımx→−3

f (x), lımx→−0

f (x), lımx→2

f (x), lımx→4

f (x).

b) Indique los puntos donde la funcion es discontinua y que clase de discon-tinuidad presenta.

c) Escriba las ecuaciones de las asıntotas verticales y horizontales (si las hay).d) ¿Se puede aplicar el teorema del valor intermedio en el intervalo [−4,−3]?

2. Determine si la afirmacion dada es falsa o verdadera. Si es verdadera, expliquepor que. Si es falso, explique por que o de un contraejemplo de lo establecido.

a) Si f(1) = 1 y f(2) < 0, entonces existe un numero c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0.b) Si f(x) es continua en 3 y f(3) = 4 y f(4) = 2 entonces lım

x→52f(2x− 6) = 4.

c) Si f (x) y g (x) son dos funciones discontinuas en x = a, entonces f (x)·g (x)es tambien discontinua en x = a.

d) Si lımx→a




3. Determine el valor o los valores de la constante k (si existen), para que la fun-cion

g (x) =

k cosx, x < 0x2 + k, 0 ≤ x < 23kx− 1, x ≥ 2

sea continua en x = 0 y x = 2.


a) lımx→−∞

|x||x|+ 1

. b) lımθ→0

sen(2θ)

θ + sen θ. c) lım

x→1

x2 + 2x− 3

x2 − 3x+ 2. d) lım

x→2+

x2 + 3x− 10

x+ 5.

e) lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h, donde f (x) = sen x.

5. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que x5 + x = 1 tiene unasolucion en [−1, 1].

6. Si f(x) =x+ 1


7. Encuentredy

dx, despues escriba una ecuacion para la recta tangente a la grafica

de la ecuacion xy3 − x5y2 = 4 en el punto (1, 2).

8. Sea

g(x) =

{ −1− 2x si x < −1x2 si −1 ≤ x < 1x si x ≥ 1

determine en que puntos del dominio la funcion g es diferenciable. Proporcioneuna formula para g′ y trace las graficas de g y g′.

9. Si f(x) = h(g(x)) y h(2) = 55, g(−1) = 2, h′(2) = −1 y g(−1) = 7, determinef ′(−1).

10. Encuentredy

dx, si:

a) y = cot(sec 7x)).2

3

b) y =[

1 + (2 + 3x)−3/2]2/3

.

Universidad

Industrial de

Santander



Diciembre de 2011Gilberto Arenas Dıaz

Grupo

Nombre: Codigo:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Nota : No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.El profesor no responder a preguntas, porque parte de la evaluaci on es la comprensi on de losenunciados .

1. a) Si f(x) =x− 1

x + 1, encuentre f ′(x) utilizando la definicion de

derivada.b) (i) Pruebe que la ecuacion 3

√x = 1 − x tiene cuando menos

una raız real en el intervalo (0, 1).(ii) Halle un intervalo de longitud 0,01 que contenga una raız dedicha ecuacion.

2. Encuentredy

dx, despues escriba una ecuacion para la recta normal

a la grafica de la ecuacion x2y3 − x5y2 = 4 en el punto (1, 2).¿Existen puntos donde la recta tangente sea horizontal?, si exis-ten, ¿cuales son dichos puntos?

3. Sea

g(x) =

{ −1− 2x si x < −1,x2 si −1 ≤ x < 1,x si x ≥ 1.

Determine en que puntos del dominio la funcion g es diferenciable.Proporcione una formula para g′ y trace las graficas de g y g′.

4. Encuentredy

dx, si:

a) y = arctan(sec2 7x)).2

3b) y =

[

x2 +(

2 + 3x4)−3/2

]2/3

.

c) f(x) =(

xcos2 x)

senx.

Universidad

Industrial de

Santander


TallerCalculo I

Repaso de funcionesProf. Gilberto Arenas

1. Encuentre el dominio y el recorrido de lassiguientes funciones:

a) f (x) =x2 + 1

3x+ 2.

b) g (x) =√25− x2.

c) h (x) = ln (2x− 3) .

d) F (x) =

5, si − 3 < x ≤ 2,

cos x, si 3 < x < 5,

2x+ 1, si 7 < x ≤ 12.

2. El costo mensual de conducir un automovildepende del numero de kilometros que serecorren. Manuel encontro que en el mesde julio recorrer 800 kilometros le costo160 000 pesos y en el mes de agosto lecosto 135 000 pesos recorrer 600 kilomet-ros.

a) Exprese el costo mensual comofuncion de la distancia recorrida,suponiendo que la correspondencia eslineal. Trace la grafica correspondiente.

b) ¿Cual es la pendiente de la grafica yque representa?

c) ¿Cual es la interseccion y de la graficay que representa?

3. Un barco se mueve con una rapidez de 30Km/h paralelo al borde recto de la playa. Elbarco esta a 6 Km de la playa y pasa frentea un faro al medio dıa.

a) Exprese la distancia s entre el faro y elbarco como una funcion de d, la dis-tancia que el barco recorre desde elmedio dıa; es decir, hallar f de modoque s = f(d).

b) Exprese a d como una funcion de t,el tiempo transcurrido desde el mediodıa; es decir, hallar g de tal manera qued = g(t).

c) Hallar f ◦ g. ¿Que representa esta fun-cion?

4. Resuelva para x

a) 2 ln(x) = 1. b) e2x+3 − 7 = 0.

5. Un cultivo de bacterias inicia con 1000 bac-terias y duplica su tamano cada media hora.

a) ¿Cuantas bacterias existen despues de3 horas?

b) ¿Cuantas bacterias existen despues det horas?

c) ¿Cuantas bacterias existen despues de40 minutos?

d) Estime el tiempo para que la poblacionalcance 100000 bacterias.

6. El crecimiento de una colonia de abejas enfuncion del tiempo t, en dıas, esta determi-nado por la ecuacion

P (t) =150 000

1 + 49e−t/10.

a) ¿Cuantas abejas habıa inicialmente?b) Encuentre la inversa de la funcion P (t)

y explique su significado.c) ¿En cuanto tiempo habra una colonia

de 100 000 abejas?

7. Determine si la proposicion es verdadera ofalsa. Si es verdadera, explıque por que. Sies falsa, explıque por que o de un ejemploque refute la proposicion.

a) Si f es una funcion, entoncesf (s+ t) = f (s) + f (t) .

b) Si f y g son funciones, entonces(g ◦ f) (x) = (f ◦ g) (x) .


cos−1 x.

d) Si f es una funcion uno a uno, entonces

f−1 (x) =1

f (x).


Universidad

Industrial de

Santander


Calculo I

Taller suplementarioEnero de 2012Prof. Gilberto Arenas Dıaz

1. Determine si cada una de las afirmaciones es cierta o falsa. Justifique claramente su respuesta.

a) Si f(c) es un maximo local de la funcion f entonces f ′(c) = 0.

b) Toda funcion de la forma f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d con a 6= 0 tiene puntos de inflexion.

c) Si h(x) = (f ◦ g)(x) y g(2) = 3, f ′(3) = 4, f ′(2) = 5, g′(2) = 2, entonces h′(2) = 10.

d ) f(x) = (1− x2)1/2(3 + x2)−1 satisface las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1].

e) Para la funcion f(x) = −3x5+5x3, f(1) = 2 es un maximo relativo y O(0, 0) un punto de inflexion.

2. Un globo esferico con un radio inicial r = 5 pulgadas comienza a desinflarse en el instantet = 0 y su radio t segundos mas tarde es r = (60− t) /12 pulgadas. ¿A que razon (en pulgadas cubi-cas/segundo) sale el aire del globo cuando t = 30?

3. El aire sale de un globo esferico a razon constante de 300π cm3/seg. ¿Cual es el radio del globo cuandosu radio decrece a razon de 3 cm/segundo?

4. Suponga que va a fabricar una caja rectangular con una base cuadrada, con dos materiales distintos.El material de la tapa y los cuatro lados de la caja cuesta $1 por pie cuadrado; el material de la basecuesta $2 por pie cuadrado. Determine las dimensiones de la caja con el maximo volumen posible, si sele permite gastar $144 para el material.

5. Un avion que vuela a una altura de 25000 pies tiene una falla en el indicador de la velocidad del aire.Para determinar su velocidad, el piloto ve un punto fijo en el piso. En el momento en que el angulo dedepresion (desde la horizontal) de su lınea de vision es 65o, observa que este angulo aumenta a razonde 1,5o por segundo. ¿Cual es la rapidez del avion?

piso

x

θ

25000 pies

6. Una lata de aceite debe tener un volumen de 1000 pulgadas cubicas y la forma de un cilindro con fondoplano pero cubierto por una semiesfera. Desprecie el espesor del material de la lata y determine lasdimensiones que minimizaran la cantidad de material necesario para fabricarla.

h

r

A = 2πr2

7. Al derretirse una bola de nieve con radio inicial de 12 cm, su radio decrece a una razon constante.Comienza a derretirse cuando t = 0 (horas) y tarda 12 horas en desaparecer.

a) ¿Cual es la razon de cambio del volumen cuando t = 6?b) ¿Cual es la razon de cambio promedio del volumen de t = 3 a t = 9?

8. Un granizo esferico pierde masa por la fusion uniforme sobre su superficie, durante su caıda. En ciertoinstante, su radio es 2 cm, y su volumen decrece a razon de 0,1 cm3/seg. ¿Que tan rapido decrece suradio en ese instante?

9. Usted debe fabricar una lata cilındrica con fondo pero sin tapa, a partir de 300π pulgadas cuadradas deuna hoja metalica. No debe desperdiciarse la hoja de metal; se le permite ordenar una pieza circularde cualquier tamano para labase y cualquier pieza rectangular adecuada para formar su lado curvo,siempre que se cumplan las restricciones. ¿Cual es el volumen maximo posible de dicha lata?

10. Un observador sobre el piso ve un avion que se aproxima, volando a velocidad constante y a una alturade 20 000 pies. Desde su punto de vista, el angulo de elevacion del avion aumenta a 0.5o por segundo,cuando el angulo es 60o. ¿Cual es la velocidad del avion?

11. Una escalera de 41 pies de largo descansa sobre una pared vertical, cuando comienza a resbalar. Suparte superior se desliza hacia abajo sobre la pared, mientras que su parte inferior se mueve sobreel piso a una velocidad constante de 10 pies/seg. ¿Que tan rapido se mueve la parte superior de laescalera cuando esta a 9 pies del suela?

12. Esbozar la grafica de la funcion f (x) = −3x5+5x3 indicando puntos crıticos, valores extremos, intervalosde crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexion e intervalos de concavidad.

13. Trace la grafica de f (x) =x2

x2 − 1. Identifique y etiquete todos los extremos, puntos de inflexion, inter-

secciones con los ejes y asıntotas. Muestre la estructura de concavidad, intervalos de crecimiento y dedecrecimiento, ası como el comportamiento de la grafica en ±∞ y para x cerca de las discontinuidadesde la funcion.

14. Aplique sus conocimientos sobre graficas, para relacionar cada funcion con su grafica.

a) senx+ cosx.

b)x3

x2 − 1.

c)x2

x2 − 1.

d ) x1/3 (3− x)2/3.

e)x

x2 − 1.

f )1

x2 − 1.

α)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

β)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

γ)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

δ)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

ε)-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

ζ)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Universidad

Industrial de

Santander



Enero de 2012Prof. Gilberto Arenas D.

Grupo S

Nombre: Codigo:

Instrucciones :


1. Se instala una camara de television a 4000 pies de la base de una plataformade lanzamiento de cohetes. El angulo de elevacion de la camara tiene quecambiar con la proporcion correcta con el objeto de tener siempre a la vista alcohete. Asimismo, el mecanismo de enfoque de la camara tiene que tomar encuenta la distancia creciente de la camara al cohete que se eleva.Suponga que el cohete se eleva verticalmente y que su rapidez es 600 pies/scuando se ha elevado 3000 pies.

a) ¿Que tan rapido cambia la distancia de la camara de television al coheteen ese momento?

b) Si la camara de television se mantiene dirigida hacia el cohete, ¿que tanrapido cambia el angulo de elevacion de la camara en ese momento?

2. Trace la grafica de una funcion continua que cumple las siguientes condiciones:f (−x) = −f (x), f ′ (x) < 0 si 0 < x < 2, f ′ (x) > 0 si x > 2, f ′ (2) = 0,lımx→∞

f (x) = −2, f ′′ (x) > 0 si 0 < x < 3, f ′′ (x) < 0 si x > 3.

3. Una lata de aceite debe tener un volumen de 1000pulgadas cubicas y la forma de un cilindro con fon-do plano pero cubierto por una semiesfera. Des-precie el espesor del material de la lata y deter-mine las dimensiones que minimizaran la cantidadde material necesario para fabricarla.

h

r

A = 2πr2

4. Determine si la proposicion es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique porque. Si es falsa, explique por que o de un ejemplo que refute la proposicion.

a) Si f ′ (c) = 0, entonces f tiene un maximo o un mınimo local en c.b) Si f es continua sobre (a, b) entonces f alcanza un valor maximo absoluto

f (c) y un valor mınimo absoluto f (d) en algunos numeros c y d en (a, b) .

c) Existe una funcion f tal que f (x) < 0, f ′ (x) < 0 y f ′′ (x) > 0 para todo x.d) Si f ′ (x) existe y es diferente de cero para todo x, en tal caso f (1) 6= f (0) .

Soluci on de Tercer Examen C1SS11SS

1. Se instala una camara de television a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes.El angulo de elevacion de la camara tiene que cambiar con la proporcion correcta con el objeto de tenersiempre a la vista al cohete. Asimismo, el mecanismo de enfoque de la camara tiene que tomar encuenta la distancia creciente de la camara al cohete que se eleva.Suponga que el cohete se eleva verticalmente y que su rapidez es 600 pies/s cuando se ha elevado3000 pies.

a) ¿Que tan rapido cambia la distancia de la camara de television al cohete en ese momento?b) Si la camara de television se mantiene dirigida hacia el cohete, ¿que tan rapido cambia el angulo

de elevacion de la camara en ese momento?

Soluci on .

a) . z2 = x2 + y2 =⇒ z2 = 40002 + y2 =⇒ 2zz′ = 2yy′ =⇒ z′ =y

zy′

z2 = x2 + y2 =⇒ z2 = 40002 + 30002 =⇒ z = 5000

z′ =3000

5000600 = 360pies/seg

b) . tan θ =y

4000=⇒ sec2 θ · θ′ = y′

4000=⇒ θ′ =

y′

4000 sec2 θ

tan θ =y

4000=⇒ tan θ =

3000

4000=

3

4=⇒ θ = arctan

3

4

tan2 θ + 1 = sec2 θ =⇒ sec2 θ =

(

3

4

)2

+ 1 =25

16=⇒ sec θ =

5

4

=⇒ θ′ =y′

4000 sec2 θ=⇒ θ′ =

600

40002516

=12

125≈ 0,096 rad/seg

2. Trace la grafica de una funcion continua que cumple las siguientes condiciones:f (−x) = −f (x), f ′ (x) < 0 si 0 < x < 2, f ′ (x) > 0 si x > 2, f ′ (2) = 0, lım

x→∞f (x) = −2, f ′′ (x) > 0 si

0 < x < 3, f ′′ (x) < 0 si x > 3.

Soluci on .f (−x) = −f (x) =⇒que f es impar y por tanto f (0) = 0.

f ′ (x) < 0 si 0 < x < 2 =⇒ que f es decreciente en (0, 2) y por ser impar tambien en (−2, 0) .

f ′ (x) > 0 si x > 2 =⇒ que f es creciente en (2,∞) y por ser impar tambien en (−∞,−2) .

f ′ (2) = 0, lımx→∞

f (x) = −2 =⇒ por ser impar entonces lımx→−∞

f (x) = 2.

f ′′ (x) > 0 si 0 < x < 3 =⇒ que f es concava hacia arriba en (0, 3) y por ser impar es concava haciaabajo en (−3, 0) .

f ′′ (x) < 0 si x > 3 =⇒ que f es concava hacia abajo en (3,∞) y por ser impar es concava hacia arribaen (−∞,−3).

Por ser creciente despues de x = 2, entonces f (2) < −2, y por ser impar f (−2) > 2.

Un esbozo de la grafica es como el que sigue.

x

y

3. Una lata de aceite debe tener un volumen de 1000 pulgadas cubicas y la forma de un cilindro con fondoplano pero cubierto por una semiesfera. Desprecie el espesor del material de la lata y determine lasdimensiones que minimizaran la cantidad de material necesario para fabricarla.Soluci on .Sean r el radio del cilindro recto circular y de la semiesfera y h la altura del cilindro. (r y h en mts). Elvolumen V del silo es constante e igual a

V = πr2h+ 12

(

43πr

3)

= πr2h+ 23πr

3. (1)

Si A es el area del silo.

A = πr2 + 2πrh+ 12 (4πr

2) = 3πr2 + 2πrh (2)

Debemos hallar r y h para que la cantidad del material sea mınimo para un volumen constante V = 1000.Como A esta en funcion de r y h, podemos despejar h en (1) y reemplazarla en (2) para que A quedeen funcion de una sola variable.

h =

(

V − 2

3πr3)

1

πr2=

V

πr2− 2r

3

A(r) =

(

3πr2 + 2πr

(

V

πr2− 2

3r

))

=

(

5

3πr2 +

2V

r

)

, r > 0.

Hallemos los puntos crıticos de A y determinemos su naturaleza.

A′(r) =10

3πr − 2V

r2=

10πr3 − 6V

3r2.

A′(r) = 0 =⇒ 10πr3 − 6V = 0 =⇒ r =

(

3V

5π

)1/3

(A′(0) no existe, pero 0 6∈ Dc y por lo tanto no es punto crıtico).

A′(r) < 0 en

(

0,

(

3V

5π

)1/3)

, A′(r) > 0 en

(

(

3V

5π

)1/3

,+∞)

Luego, A tiene en r =

(

3V

5π

)1/3

un mınimo. La altura h es

h =V (5π)2/3

(3V )2/3π− 2

3

(

3V

5π

)1/3

=

(

3V

5π

)1/3

.

Reemplazando el valor de V = 1000 se tiene que

r = h =

(

3 · 10005π

)1/3

=3

√

600

π≈ 5,758 8pies.

4. Determine si la proposicion es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por que. Si es falsa, expliquepor que o de un ejemplo que refute la proposicion.

a) Si f ′ (c) = 0, entonces f tiene un maximo o un mınimo local en c. FALSOb) Si f es continua sobre (a, b) entonces f alcanza un valor maximo absoluto f (c) y un valor mınimo

absoluto f (d) en algunos numeros c y d en (a, b) . FALSOc) Existe una funcion f tal que f (x) < 0, f ′ (x) < 0 y f ′′ (x) > 0 para todo x. FALSOd ) Si f ′ (x) existe y es diferente de cero para todo x, en tal caso f (1) 6= f (0). VERDADERO

Soluci on .

a) FALSOb) FALSOc) FALSOd ) VERDADERO

Universidad

Industrial de

Santander




Grupo

Nombre: Codigo:

Instrucciones :


1. Encuentre el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

a) f (x) =x2 + 1

3x+ 2.

b) g (x) =√25− x2.

c) h (x) = ln (2x− 3) .

d) F (x) =

5, si − 3 < x ≤ 2,

cosx, si 3 < x < 5,

2x+ 1, si 7 < x ≤ 12.


m = f (v) =m0

√

1− v2

c2

donde m0 es la masa en reposo de la partıcula y c es a rapidez de la luz en el vacıo. Encuentrela funcion inversa de f y explique su significado.

3. Un cultivo de bacterias inicia con 500 bacterias y duplica su tamano cada media hora.

a) ¿Cuantas bacterias existen despues de 3 horas?b) ¿Cuantas bacterias existen despues de t horas?c) ¿Cuantas bacterias existen despues de 40 minutos?d) Estime el tiempo para que la poblacion alcance 100000 bacterias.


a) Si f es una funcion, entonces f (s+ t) = f (s) + f (t) .



cos−1 x.

d) Si f es una funcion uno a uno, entonces f−1 (x) =1

f (x).


Universidad

Industrial de

Santander


Calculo I

Taller:Continuidad y Derivadas

Mayo 20 de 2011


s (t) = 2e−1,5t sen 2πt





f (x) =

x2 − 1

x+ 1, x < 0, x 6= −1,

−2, x = −1,

sen x

x, x ≥ 0.


Figura A.

x

y

Figura B.

3. a) Determine las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva y = ln(

xex2

)

,

en el punto (1, 1).b) Hallar una parabola con ecuacion y = ax2+by+c, que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente

−8 en x = −1 y pasa a traves del punto (2, 15) .

4. a) La ecuacion x2 − xy + y2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyosejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos enque esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos sonparalelas.


1 + sen (arctan πx).

Universidad

Industrial de

Santander


Calculo I

Taller:Lımite, Continuidady Reglas de derivaci on

Junio de 2011

1. De acuerdo con la grafica de la funcion f (x) responda justificando claramente su afirmaci on .a) lım

x→−3f (x), lım

x→0−f (x),

lımx→2

f (x), lımx→4

f (x).

b) Indique los puntos donde la fun-cion es discontinua y que clasede discontinuidad presenta.

c) Escriba las ecuaciones de lasasıntotas verticales y horizon-tales (si las hay).

d) ¿Se puede aplicar el teorema delvalor intermedio en el intervalo[−4,−3]?

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6

y = f(x)


x→−2f (x), lım

x→2f (x), lım

x→3f (x).

b) Indique los puntos donde la funciones discontinua y que clase de discon-tinuidad presenta.

c) Escriba las ecuaciones de las asınto-tas verticales y horizontales (si lashay).

d) ¿Se puede aplicar el teorema del val-or intermedio en el intervalo [−2, 2]?

1

2

3

4

−1

−2

−3

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

y = f(x)


x→−2f (x), lım

x→0f (x), lım

x→2f (x).

b) Indique los puntos donde la funciones discontinua.

c) En que punto o puntos la funciontiene discontinuidad removible.

d) Escriba las ecuaciones de las asınto-tas verticales y horizontales (si lashay).

e) Se puede aplicar el teorema del valorintermedio en el intervalo [1, 2].

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7 x

yy = f(x)

•

4. Para cada una de las siguientes funciones, determine el valor o los valores de la constante k,que hacen que la funcion sea continua en para el valor de x dado.

a) g (x) =

{

kx2 + 2x, x ≤ 18x− k2, x > 1

x = 1.

b) g (x) =

{

(kx)2 − kx+ 1, x < 13x− 2, x ≥ 1

x = 1.

c) g (x) =

k cosx, x < 1x2 − k, 1 ≤ x < 25− kx, x ≥ 2

x = 1 y x = 2.


a) lımx→−∞

|x||x|+ 1

.

b) lımθ→0

sen(2θ)

θ + sen θ.

c) lımx→1

x2 + 2x− 3

x2 − 3x+ 2.

d) lımx→2+

x2 + 3x− 10

x+ 5.

e) lımθ→0

2θ

θ − sen θ.

f ) lımx→1

x+ 1

x2 − x− 2.

g) lımx→1+

1− x

|1− x| .

h) lımθ→0

sec 2θ tan 2θ

θ.

i) lımx→−∞

x25 + x

x10 (2x15 + π).

6. Determine lımh→0

f (x+ h)− f (x)

h, para cada una de la siguientes funciones

a) f (x) = sen x. b) f (x) = cosx. c) f (x) = 3x2 + 2x+ 1.

7. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que x5 + x = 1 tiene una solucion en[−1, 1].

8. Determine si la afirmacion dada es falsa o verdadera. Si es verdadera, explique por que. Si esfalso, explique por que o de un contraejemplo de lo establecido.

a) Si f(1) = −1 y f(2) > 0, entonces existe un numero c ∈ (1, 2) tal que f(c) = 0.b) Si f(x) es continua en 3 y f(3) = 4 y f(4) = 2 entonces lım

x→52f(2x− 6) = 4.

c) Si f (x) y g (x) son dos funciones discontinuas en x = a, entonces f (x) · g (x) es tambiendiscontinua en x = a.

d) Si lımx→a



[f(x) · g (x)] es cero.

e) Si lımx→a




9. a) Si f(x) =x+ 1


b) Utilizando la definicion de derivada encuentre f ′(x), siendo f(x) =√2x+ 1

10. Halle la derivada de las siguientes ecuaciones(

dy

dx

)

a) y = 2arctan(senx),

b) y =

√

1 + sen(√

3x)

,

c) y =

√

x

x2 + 1,

d) x3 − x2y + xy2 − y3 = 6,

e) y = cot(sec 7x)).

f ) y =[

1 + (2 + 3x)−3/2]2/3

.

11. a) Si f(x) = h(g(x)) y h(2) = 55, g(−1) = 2, h′(2) = −1 y g(−1) = 7, determine f ′(−1).

b) Si y = (1 + u3)2 y u = (1− x2)1/2, calculedy

dx.

12. Sea

g(x) =

{ −1− 2x si x < −1x2 si −1 ≤ x < 1x si x ≥ 1

determine en que puntos del dominio la funcion g es diferenciable. Proporcione una formulapara g′ y trace las graficas de g y g′.

13. Halle una ecuacion de la recta tangente a la curva x = sen 2y en el punto (1, π/4).

14. Encuentredy


xy3 − x5y2 = 4 en el punto (1, 2).

15. La ecuacion (x2 + y2)2= x2 − y2 representa una lemniscata. Determine los puntos de la lem-

niscata donde la tangente es horizontal y los puntos donde la tangente es vertical.

Universidad

Industrial de

Santander


Junio de 2011Tercer examenCalculo I


Grupo

Nombre: Codigo:

Instrucciones :


1. Utilice la definicion de la derivada para encontrar f ′(2)

si f(x) =1

2x + 4.

2. Escriba una ecuacion para la recta tangente y otra parala recta normal a la curva y =

√1 + 4 sen x en el punto

(0, 1).

3. Encuentre la quinta y la n-esima derivada de y = 5(4x+1).

4. Si h(x)=√

4+3f(x), donde f(1)=7 y f ′(1)=4, hallar h′(1).

5. Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

a) y = ex+3 − log5(1 + 2x) b) y = (tan x)1/x

c) y = x arctan√x

a

a2 d ) y =t

1− t2

e) x2 cos y + sen 2y = xya2

aaa

f ) y =

{

2x + 3 si x < 04 si 0 ≤ x < 55x2 − 9 si x > 5

Universidad

Industrial de

Santander


Junio de 2011TallerCalculo I

Prof. Gilberto Arenas

Grupo

Nombre: Codigo:

Instrucciones :

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Este taller debe ser realizado en grupos de maximo tres integrantes.

1. Utilice la definicion de la derivada para encontrar f ′(2)

si f(x) =1

2x + 3.

2. Escriba una ecuacion para la recta tangente y otra parala recta normal a la curva y =

√1 + 4 sen x en el punto

(0, 1).

3. Encuentre la quinta y la n-esima derivada de y = A(Bx+C).

4. Si h(x)=√

4+3[f(x)]2, dondef(1)=2 yf ′(1)=7, hallar h′(1).

5. Encuentre la derivada de las siguientes funciones. (Paracada funcion determine donde es discontinua y hagalos mismo para la derivada).

a) y = ex2+3−log5(x

2+2x) b) y = (tan x)1/x3

c) y = x arctan(1 +√x)

a2

a2d ) y =

t3

1− t2

e) x2 cos y + sen 2y = xya2

aaa

f ) y =

{

2x + 3 si x < 04 si 0 ≤ x < 55x2 − 9 si x > 5

Universidad

Industrial de

Santander


TallerCalculo I

Junio de 2011


s (t) = 2e−1,5t sen 2πt





f (x) =

x2 − 1

x+ 1, x < 0, x 6= −1,

−2, x = −1,

sen x

x, x ≥ 0.


Figura A.

x

y

Figura B.


xex2

)


b) La ecuacion x2 − xy + y2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyosejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos enque esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos sonparalelas.



sen (tanπx).

Universidad

Industrial de

Santander


Segundo ExamenCalculo I

Octubre de 2010Doris Gonz alez

Grupo

Nombre: Codigo:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones ade-cuadas.

1. Determine si la proposicion es verdadera o falsa. Justifique claramente su re-spuesta.

a) Si lımx→5

f(x) = 0 y lımx→5

g(x) = 0, entonces el lımx→5

f(x)

g(x)no existe.

b) Si f tiene un dominio [0,∞] y no tiene asıntota horizontal entonceslımx→∞

f(x) = ∞ o lımx→∞

f(x) = −∞.

c) Si f es continua en [−1, 1] y f(−1) = 4 y f(1) = 3, entonces existe unnumero r tal que r ∈ (−1, 1) y f(r) = π.

d) Si 2x− 1 ≤ f (x) ≤ x2 para 0 < x < 3, lımx→1

f(x) = 1.

2. Trace la grafica de una funcion f que cumpla todas las siguientes condiciones:

a) lımx→−∞

f(x) = −2

b) lımx→0−

f(x) = 0

c) lımx→−3+

f(x) = ∞

d) lımx→3−

f(x) = −∞e) lım

x→3+f(x) = 2

f ) f es continua desde la derecha en 3.

3. Encuentre los siguientes lımites:

a) lımx→−3

x2 − 9

x2 + 2x− 3

b) lımx→∞

√x2 − 9

2x− 6

c) lımx→0

sen 6x

2x

d) lımx→5

f(x) si f(x) =

{

2x+ 1, si x > 5

11, si x < 5

Universidad

Industrial de

Santander


Examen FinalCalculo I

Abril 23 de 2012

Grupo

Nombre: Codigo:

Lea con atenci on las siguientes instrucciones :No se permite el uso de calculadoras ni de tel efonos celulares durante el examen.Resuelva cuatro de los siguientes cinco puntos, indique claramente cuales se deben considerar para califica r,de no hacerlo, se calificaran los cuatro primeros items.Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen.No se permite el prestamo de borradores, reglas, lapices, etc.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. Un vaso tiene la forma de un cono de altura igual a 10 cm y de radio 3 cm, enla parte superior. Si el agua se vierte en el vaso a razon de 2 cm3/s, ¿que tanrapido sube el nivel del agua cuando esta tiene 5 cm de profundidad?

2. Se esta transportando un tubo de acero por un pasillo de 9 pies de ancho. Alfinal de este existe una vuelta en angulo recto hacia otro pasillo mas angostode 6 pies de ancho (vea la Figura A). ¿Cual es la longitud del tubo mas largoque se puede hacer pasar horizontalmente por la esquina?

3. En la Figura B se muestra un circunferencia con radio 1 inscrita en la parabolay = x2. Encuentre las coordenadas del centro de la circunferencia.

Figura A.

y = x211 b

b b

Figura B.

4. Trace la grafica de una funcion que cumpla con las siguientes condiciones:f es impar, f ′ (1) = f ′ (3) = f ′ (5) = 0, f ′ (x) < 0 en (0, 1), (2, 3), (5, 8),f ′ (x) > 0 en (1, 2), (3, 5), f ′′ (x) < 0 en (4, 6), f ′′ (x) > 0 en (0, 2), (2, 4), (6,∞),lımx→2

f (x) = ∞ y lımx→∞

f (x) = −1.

5. a) Demuestre que la ecuacion 2x − 1 − sen x = 0 tiene exactamente una raızreal.

b) Encuentre dy/dx si y sen(

x2)

= x cos(

y2)

.

c) Halle el lımite lımx→0+

(1 + sen x)lnx.

Solucion del examen final de Calculo I

1. Un vaso tiene la forma de un cono de altura igual a 10 cm y de radio 3 cm, enla parte superior. Si el agua se vierte en el vaso a razon de 2 cm3/s, ¿que tanrapido sube el nivel del agua cuando esta tiene 5 cm de profundidad?Soluci on.

dV

dt= 2 cm3/s, ¿

dh

dt

∣

∣

∣

∣

h=5cm?

h

r=

10

3=⇒ r =

3

10h

V =1

3

(

πr2)

h =⇒ V =1

3

(

π

(

3

10h

)2)

h =3π

100h3

dV

dt=

dV

dh· dhdt

=⇒ dV

dt=

9π

100h2 · dh

dtdh

dt=

dV/dt

dV/dh=

dV/dt

9πh2/100=⇒ dh

dt

∣

∣

∣

∣

h=5cm=

2

9π (5)2 /100=

8

9πcm/s.

2. Se esta transportando un tubo de acero por un pasillo de 9 pies de ancho. Alfinal de este existe una vuelta en angulo recto hacia otro pasillo mas angostode 6 pies de ancho (ver la figura A). ¿Cual es la longitud del tubo mas largo quese puede hacer pasar horizontalmente por la esquina?Soluci on. Del grafico se tiene que la longitud del tubo es dada por (se consi-derara el cuadrado de la longitud, ya que hace mas sencillo el proceso alge-braico)

L = (9 + x)2 + (6 + y)2 .

Observe que se tiene la siguiente relacion entre x y y,

6 + y

9 + x=

6

x=⇒ 6 + y =

6

x(9 + x) =⇒ y =

54

x,

luego

L (x) = (9 + x)2 +

(

6 +54

x

)2

, x > 0.

(Observe que cuando el valor de x es muy grande entonces la longitud tambienes muy grande, lo mismo pasa si el valor de x se aproxima a cero, por tanto sedebe busca el valor que hace que la longitud sea mınima, es decir, el mınimode dicha funcion).La derivada de esta funcion es

L′ (x) = 2 (9 + x) + 2

(

6 +54

x

)(

−54

x2

)

=2

x3

(

x4 + 9x3 − 324x− 2916)

=2

x3

{

x3 (x+ 9)− 324 (x+ 9)}

=2

x3(x+ 9)

(

x3 − 324)

.

Dado que x > 0, entonces se debe revisar cuando L′ (x) = 0, esto implicaque (x+ 9)

(

x3 − 324)

= 0, de donde x = −9 (no tiene sentido en el ejercicio) ox = 3

√324. Ahora

L′′ (x) =2

x4

(

x4 + 648x+ 8748)

,

de donde claramente se tiene que L′′ ( 3√324)

> 0, por tanto, por el criterio dela segunda derivada, se tiene que el valor encontrado hace que la longitud seamınima. Luego

L(

3√324)

=(

9 +3√324)2

+

(

6 +54

3√324

)2

y la longitud del tubo mas largo que pasa por la esquina es

ℓ =

√

(

9 +3√324)2

+

(

6 +54

3√324

)2

ft.

3. En la figura B se muestra una circunferencia con radio 1 inscrita en la parabolay = x2. Encuentre las coordenadas del centro de la circunferencia.Soluci on. De la figura se tiene que el centro es de la forma (0, h), por tanto lacircunferencia tiene la ecuacion x2 + (y − h)2 = 1, derivando implıcitamente setiene

2x+ 2 (y − h) y′ = 0 =⇒ y′ = − x

y − h.

Por otra parte, y = x2, entonces y′ = 2x, como en el punto las pendientes soniguales, entonces se tiene que

− x

y − h= 2x =⇒ y = h− 1

2.

(Dado que y = x2, entonces tambien se tiene que x2 = h − 12 o h = 1

2 + x2).Reemplazando y = h− 1

2 en la ecuacion de la circunferencia,

x2 +

((

h− 1

2

)

− h

)2

= 1 =⇒ x2 +1

4= 1 =⇒ x2 =

3

4=⇒ x = ±

√3

2

y

h =1

2+

3

4=

5

4.

Es decir, el centro de la circunferencia es(

0, 54)

.

4. Trace la grafica de una funcion que cumpla con las siguientes condiciones:f es impar, f ′ (1) = f ′ (3) = f ′ (5) = 0, f ′ (x) < 0 en (0, 1), (2, 3), (5,∞),f ′ (x) > 0 en (1, 2), (3, 5), f ′′ (x) < 0 en (4, 6), f ′′ (x) > 0 en (0, 2), (2, 4), (6,∞),lımx→2

f (x) = ∞ y lımx→∞

f (x) = −1.

Soluci on. El signo de la derivada dice donde f es creciente y donde decre-ciente

(0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 5) (5,∞)f ′ − + − + −f ց ր ց ր ց

El signo de la segunda derivada dice donde f es concava hacia abajo y dondeconcava hacia arriba

(0, 2) (2, 4) (4, 6) (6,∞)f ′′ + + − +f ∪ ∪ ∩ ∪

Como f es impar, entonces se tiene que

(−∞,−5) (−5,−3) (−3,−2) (−2,−1) (−1, 0)f ′ − + − + −f ց ր ց ր ց

y(−∞,−6) (−6,−4) (−4,−2) (−2, 0)

f ′′ − + − −f ∩ ∪ ∩ ∩

La condicion f impar y f ′ (1) = f ′ (3) = f ′ (5) = 0, implican que f ′ (−1) =f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0; ahora, si agregamos las caracterısticas encontradascon la primera y segunda derivada, se obtiene que en x = −5, 1, 3 hay valoresmınimos locales, y en x = −3,−1, 5 hay maximos locales.La condicion f impar junto con el hecho que lım

x→2f (x) = ∞, implican que x = −2

y x = 2 son asıntotas verticales. La condicion f impar, junto con el hecho quelımx→∞

f (x) = −1 implican que y = −1 y y = 1 son asıntotas horizontales.

En la grafica se hace un esbozo de una funcion que cumple todas las condi-ciones encontradas.

b b b b b b bb b b b b b b

5. a) Demuestre que la ecuacion 2x − 1 − sen x = 0 tiene exactamente una raızreal.Soluci on. Una funcion tiene una unica raız real si ella es continua, monotonay tiene algun punto donde es positiva y otro donde es negativa. Considerela funcion f (x) = 2x− 1 − sen x, la cual claramente es continua en todo R.Ahora, si se deriva se obtiene que f ′ (x) = 2− cosx ≥ 1, ∀x ∈ R, dado quecosx ∈ [−1, 1], en consecuencia f (x) es estrictamente creciente ∀x ∈ R.Ahora f (0) = −1 < 0 y f (π) = 2π − 1 ≈ 5,2832 > 0, entonces se verificaque f (x) satisface las hipotesis mencionadas, y en consecuencia existe unvalor c ∈ [0, π] tal que f (c) = 2c− 1− sen c = 0.

b) Encuentre dy/dx si y sen(

x2)

= x cos(

y2)

.Soluci on. Al derivar implıcitamente y aplicar la regla de la cadena, se ob-tiene

dy

dxsen(

x2)

+ y cos(

x2)

· 2x = cos(

y2)

+ x

(

− sen(

y2)

· 2ydydx

)

despejando se obtiene

dy

dx·(

sen(

x2)

+ 2xy sen(

y2))

= cos(

y2)

− 2xy cos(

x2)

de donde se obtiene

dy

dx=

cos(

y2)

− 2xy cos(

x2)

sen (x2) + 2xy sen (y2).

c) Halle el lımite lımx→0+

(1 + sen x)lnx.

Soluci on. Observe que en el lımite se tiene una de las formas de indeter-minacion (1∞), pero utilizando el hecho de la siguiente igualdad

(1 + sen x)lnx = eln{(1+senx)ln x} = eln x·ln(1+senx)

se tiene que

lımx→0+

(1 + sen x)lnx = lımx→0+

elnx·ln(1+senx) = elım

x→0+lnx·ln(1+senx)

.

Ahora, lımx→0+

lnx·ln (1 + sen x) tambien tiene una indeterminacion de la forma

(0 · ∞), entonces

lımx→0+

lnx · ln (1 + sen x) = lımx→0+

ln (1 + sen x)

1/ lnx

= lımx→0+

cosx

sen x+ 1

− 1

x ln2 x

= lımx→0+

− cosx

sen x+ 1· x ln2 x

= lımx→0+

− cosx

sen x+ 1· lımx→0+

x ln2 x

= −1 · lımx→0+

x ln2 x = − lımx→0+

x ln2 x.

El ultimo lımite tambien tiene la forma de la indeterminacion (0·∞), entonces

lımx→0+

x ln2 x = lımx→0+

ln2 x

1/x= lım

x→0+

2x lnx

− 1x2

= lımx→0+

−2x lnx.

Este lımite tiene de nuevo la misma forma de indeterminacion, entonces

lımx→0+

−2x lnx = −2 lımx→0+

lnx

1/x= −2 lım

x→0+

1/x

−1/x2= 2 lım

x→0+x = 2 · 0 = 0.

Por tanto,

lımx→0+

(1 + sen x)lnx = elım

x→0+lnx·ln(1+senx)

= e0 = 1.

Universidad

Industrial de

Santander


Habilitaci onCalculo I

Abril 30 de 2012

Grupo

Nombre: Codigo:

Lea con atenci on las siguientes instrucciones :No se permite el uso de tel efonos celulares durante el examen .La nota obtenida en este examen se computar a, sin importar si es inferior a la nota definitiva .Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen.No se permite el prestamo de borradores, reglas, lapices, etc.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. Si P(

a, a2)

es cualquier punto en la parabola y = x2, excepto el origen y seaQ el punto donde la lınea normal cruza la parabola una vez mas. Determineel valor de a que hace mas corta la longitud del segmento de lınea PQ. (VerFigura A).

2. La ecuacion x2 − xy + y2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, unaelipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B).Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que lasrectas tangentes en estos puntos son paralelas.

b P

b

Q

x

y

Figura A.

x

y

Figura B.

3. Un cono de radio r centımetros y altura h centımetros se introduce por la puntacon una rapidez de 1 cm/s en un cilindro alto de radio R centımetros que con-tiene una parte de agua (R > r). ¿Que tan rapido sube el nivel del agua en elinstante en que el cono esta totalmente sumergido?

4. Trace la grafica de una funcion que cumpla con las siguientes condiciones:f es par, f(0) = 1, f ′ (−1) = f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0,f ′ (x) > 0 en (0, 1), (2, 3), (5,∞), f ′ (x) < 0 en (1, 2), (3, 5),f ′′ (x) > 0 en (4, 6), f ′′ (x) < 0 en (0, 2), (2, 4), (6,∞),lımx→2

f (x) = −∞ y lımx→∞

f (x) = 2.

Soluci on de la Habilitaci on de C alculo I

1. Si P (a, a2) es cualquier punto en la parabola y = x2, excepto el origen y sea Q el punto dondela lınea normal cruza la parabola una vez mas. Determine el valor de a que hace mas corta lalongitud del segmento de lınea PQ.

Soluci on.Como y = x2, entonces y′ = 2x, ası la pendiente de la recta tangente en el punto (a, a2) es 2a yla pendiente de la recta normal es − 1

2a, para a 6= 0. Una ecuacion para la recta normal es

y − a2 = − 1

2a(x− a) .

Reemplazando x2 por y se encuentra la coordenada x del punto de interseccion de la rectanormal con la parabola

x2 − a2 = − 1

2a(x− a) =⇒ 2ax2 + x− 2a3 − a = 0

=⇒ x =−1 ±

√

1− 4 (2a) (−2a3 − a)

2 (2a)=

−1±√1 + 16a4 + 8a2

4a

=−1±

√

(4a2 + 1)2

4a=

−1± (4a2 + 1)

4a.

Luego x = a o x = −a− 12a

. Por tanto las coordenadas del punto Q son(

−a− 12a,(

−a− 12a

)2)

.

El cuadrado de la distancia entre P y Q es dado por

L =

(

−a− 1

2a− a

)2

+

[

(

−a− 1

2a

)2

− a2

]2

=

(

−2a− 1

2a

)2

+

[(

a2 + 1 +1

4a2

)

− a2]2

=

(

4a2 + 2 +1

4a2

)

+

(

1 +1

4a2

)2

=

(

4a2 + 2 +1

4a2

)

+ 1 +1

2a2+

1

16a4

= 4a3 + 3 +3

4a2+

1

16a4.

Derivando L con respecto a a se obtiene

L′ = 8a− 6

4a3− 4

16a5=

32a6 − 6a2 − 1

4a5

Dado que a 6= 0, entonces se debe encontrar cuando L′ = 0, pero

32a6 − 6a2 − 1 =(

2a2 − 1) (

4a2 + 1)2

,

entonces L′ = 0 si 2a2 − 1 = 0, de donde a = ± 1√2. Ahora

L′′ = 8 +9

2a4+

5

4a6> 0,

por tanto, a = ± 1√2

hace que la longitud del segmento de recta PQ se la mas corta posible.

2. La ecuacion x2 − xy + y2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejesno son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos en que estaelipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas.

Soluci on .Para encontrar los puntos debemos hacer que y = 0, implicando que x2 − x (0) + (0)2 = 3,entonces x2 = 3, y por tanto x =

√3 o x = −

√3. Luego los puntos donde la elipse cruza el eje

x son(√

3, 0)

y(

−√3, 0)

.

Por otra parte, derivando implıcitamente tenemos que

2x−(

y + xdy

dx

)

+ 2ydy

dx= 0 =⇒ (2x− y) + (2y − x)

dy

dx= 0 =⇒ dy

dx=

y − 2x

2y − x.

Luego la pendiente en cada punto es:

dy

dx

∣

∣

∣

∣

(√3,0)

=y − 2x

2y − x

∣

∣

∣

∣

(√3,0)

=(0)− 2

(√3)

2 (0)−√3

=−2(√

3)

−√3

= 2

ydy

dx

∣

∣

∣

∣

(−√3,0)

=y − 2x

2y − x

∣

∣

∣

∣

(−√3,0)

=(0)− 2

(

−√3)

2 (0)−(

−√3) =

2(√

3)

√3

= 2.

Por tanto la pendiente de las rectas tangentes en los dos casos es 2, y en consecuencia lasrectas tangentes son paralelas.

3. Un cono de radio r centımetros y altura h centımetros se introduce por la punta con una rapidezde 1 cm/s en un cilindro alto de radio R centımetros que contiene una parte de agua (R > r).¿Que tan rapido sube el nivel del agua en el instante en que el cono esta totalmente sumergido?

Soluci on. Considere la siguiente notacion:y : altura sumergida en el cono.x : radio correspondiente a la altura sumergida.H : altura inicial del cilindro.H+s : altura del liquido que queda en el cilindrodespues de empezar a sumergir el cono.Observese que el volumen de agua se puedeencontrar de dos formas:

(a) Multiplicando el area de la base (πR2) porla altura (H + s):

V = πR2 (H + s)

(b) Sumando el volumen inicial (πR2H) conel volumen del cono en cada momento(13πx2y):

V = πR2H +1

3πx2y

H

R

h

r

s

x

y

Como las dos ecuaciones son iguales, se tiene que πR2s =1

3πx2y =⇒ s =

x2y

3R2.

De la figura se tiene la siguiente relacionr

h=

x

yla cual implica que x =

r

hy.

Reemplazando esto en la ecuacion para s se obtiene que la altura del cilindro esta dada por

s =x2y

3R2=⇒ s =

(

rhy)2

y

3R2=⇒ s =

r2y3

3R2h2.

Ahora, comody

dt= 1cm/s, entonces cuando la altura es h el tiempo transcurrido es tambien h;

y como el problema pide encontrards

dt

∣

∣

∣

∣

t=h

, entonces

ds

dt=

ds

dy· dydt

=⇒ ds

dt=

3y2r2

3R2h2· dydt

=⇒ ds

dt

∣

∣

∣

∣

t=h

=(h)2 r2

R2h2· (1) = r2

R2.

Es decir, la rapidez con que sube el nivel del agua cuando el cono esta totalmente sumergido

esds

dt

∣

∣

∣

∣

t=h

=r2

R2.

4. Trace la grafica de una funcion que cumpla con las siguientes condiciones:f es par, f(0) = 1, f ′ (−1) = f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0,f ′ (x) > 0 en (0, 1), (2, 3), (5,∞), f ′ (x) < 0 en (1, 2), (3, 5),f ′′ (x) > 0 en (4, 6), f ′′ (x) < 0 en (0, 2), (2, 4), (6,∞),lımx→2

f (x) = −∞ y lımx→∞

f (x) = 2.

Soluci on. El signo de la derivada dice donde f es creciente y donde decreciente

(0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 5) (5,∞)f ′ + − + − +f ր ց ր ց ր

El signo de la segunda derivada dice donde f es concava hacia abajo y donde concava haciaarriba

(0, 2) (2, 4) (4, 6) (6,∞)f ′′ − − + −f ∩ ∩ ∪ ∩

Como f es par, entonces se tiene que

(−∞,−5) (−5,−3) (−3,−2) (−2,−1) (−1, 0)f ′ − + − + −f ց ր ց ր ց

y(−∞,−6) (−6,−4) (−4,−2) (−2, 0)

f ′′ − + − −f ∩ ∪ ∩ ∩

La condicion f par y f ′ (1) = f ′ (3) = f ′ (5) = 0, implican que f ′ (−1) = f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0;ahora, si agregamos las caracterısticas encontradas con la primera y segunda derivada, seobtiene que en x = −5, 5 hay valores mınimos locales, y en x = −3,−1, 1, 3 hay maximoslocales.

La condicion f par junto con el hecho que lımx→2

f (x) = −∞, implican que x = −2 y x = 2 son

asıntotas verticales. La condicion f par, junto con el hecho que lımx→∞

f (x) = 2 implican que

y = 2 es asıntota horizontal.En la grafica se hace un esbozo de una funcion que cumple todas las condiciones encontradas.

b b b b b b bb b b b b b b

b

b

y

x

y = f(x)

Distribucion del puntaje

1. 0,2: derivar la ec. de la parabola0,2: encontrar la ecuacion normal0,2: encontrar las coordenadas del punto Q

0,3: encontrar la ecuacion para la distancia entre P y Q

0,2: derivar la ecuacion de la distancia0,15: el resto

2. 0,3: Encontrar los puntos de corte con los ejes0,4: derivar implicitamente y despejar dy/dx0,3: reemplazar en los puntos de corte0,25: determinar que las rectas tangentes son paralelas

3. 0,2: Interpretacion del problema0,4: encontrar s en funcion de y

0,2: analizar relacion entre h y t

0,2: aplicar regla de la cadena0,25: encontrar ds/dt cuando t = h

4. 0,2: Intervalos de crecimiento y decrecimiento;0,2: intervalos de concavidad;0,2: maximos y mınimos;0,2: asıntotas horizontal y vertical;0,45: grafica de la funcion.

Universidad

Industrial de

Santander


Habilitaci onCalculo II

Abril 30 de 2012

Grupo

Nombre: Codigo:

Instrucciones :

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen.No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de calculadoras ni de telefonos celulares durante el examen.

1. Encuentre la derivada de la funcion g(x) =

∫ x

√x

et

tdt

2. Determine una funcion f tal que x2 = 1 +

∫ x

1

√

1 + [f(t)]2dt, para

toda x > 1.

3. Determine el area de la superficie obtenida al hacer girar la curvay = sen(πx), 0 ≤ x ≤ 1, respecto al eje x.

4. Determine el volumen del solido cuya base es un cuadrado convertices ubicados en (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0,−1) y todas las sec-ciones transversales perpendiculares al eje x son semicırculos.

5. El tanque de la figura esta lleno de agua, calcule el trabajo nece-sario para bombear todo el agua por el orificio indicado.

15 m

5 m

20 m

6 m

Universidad

Industrial de

Santander


Habilitaci onEc. DiferencialesAbril 30 de 2012Doris E. Gonz alez R.

Grupo

Nombre: Codigo:

Instrucciones :

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen.No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de calculadoras ni de telefonos celulares durante el examen.

1. Resuelva la ecuacion diferencial (x− 3)2 y′′ + (x− 3) y′ + y = 0.Establezca un intervalo donde este definida la solucion.

2. Un tanque en forma de cono cilındrico recto y lleno al tope, conel vertice hacia arriba, esta goteando agua por un orificio circularsituado en la parte inferior. Suponga que el tanque tiene 20pies dealtura y radio de 8pies, y el orificio circular tiene radio de 2pulgadas,localizado en el centro de la base circular . Asuma que el coefi-ciente de friccion/contraccion es de c = 0,6 y g = 32ft/seg2. Si eltanque esta lleno cuanto tardara en vaciarse?

3. Un proyectil disparado desde un arma tiene un peso de w = mgy velocidad v tangente a su trayectoria de movimiento. Ignore laresistencia del aire y todas las demas fuerzas que actuan sobreel proyectil, salvo su peso, y determine un sistema de ecuacionesdiferenciales que describan la trayectoria del movimiento. Resuel-va el sistema.

4. Cuando una viga uniforme esta soportada por una base elastica,

la ecuacion diferencial para su deflexion y(x) esd4y

dx4+4a4y =

w(x)

EI,

donde a es una constante. Encuentre la deflexion y(x) de una vigade longitud π soportada elasticamente y que esta empotrada enconcreto por ambos extremos cuando se aplica una carga con-centrada wo en x = π/2.

Universidad

Industrial de

Santander


Taller sobre derivadasCalculo I

Marzo de 2013Prof. Doris Gonz alez

Grupo

Nombre: Codigo:

1. Sea

g(x) =

{ −1− 2x si x < −1x2 si −1 ≤ x < 1x si x ≥ 1

(a) Determine en que puntos la funcion es discontinua.(b) Determine en que puntos del dominio la funcion g es diferenciable.(c) Proporcione una formula para g′ y(d) trace las graficas de g y g′.

2. Encuentredy


xy3 − x5y2 = 4 en el punto (1, 2). ¿Existen puntos donde la recta tangente sea horizontal? ¿Existenpuntos donde la recta tangente sea vertical? Si existen, ¿cuales son dichos puntos? Explique.

3. a) Si f(x) = h(g(x)) y h(2) = 55, g(−1) = 2, h′(2) = −1 y g′(−1) = 7, determine f ′(−1).

b) Encuentre y′′ si x7 + y7 = 1.

4. Encuentredy

dx, si:

a) y = cot(sec 5x).2

3

b) y =[

1 + (2 + 7x)−3/2]2/3

.

c) x3 cos y + sen(2x2y) = x2y2.

d ) y = cos√

sen (tan πx).


xex2)


b) Hallar una parabola con ecuacion y = ax2 + by + c, que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente −8en x = −1 y pasa a traves del punto (2, 15) .

6. La ecuacion x2−xy+ y2 = 3 representa una “elipsegirada”; es decir, una elipse cuyos ejes no son para-lelos a los ejes de coordenadas (ver Figura A). En-cuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje xy demuestre que las rectas tangentes en estos pun-tos son paralelas.

x

y

Figura A.

parciales cálculo i.pdf

Documents