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Escuela de MatematicasAlgebra Lineal ITaller 1Prof: Felix Paez14 de junio de 2012

M ATRICES

1. Dadas las matrices

A =1 1 23 4 50 1 1

B =0 2 13 0 57 6 0

y C =0 0 23 1 00 2 4

Realice las siguientes operaciones:

a) A 2B b) C A B c) 4C 2B + 3 A

2. Teniendo en cuenta las matrices A, B Y C del numeral anterior. Encuentre matrices D y E tales queA + B + C + D y 3D 2B + 8 A 4E sean la matriz nula de 3 3.

3. Dadas las matrices

A =1/ 4 1/ 3 6/ 83/ 2 7/ 3 12/ 3 5/ 6 7/ 12

y B = 2/ 3 3/ 2 2/ 35/ 6 4 1/ 6

2 4/ 3 0

Encuentre A + B trabajando con matrices de entradas enteras, es decir, en A y B saque como factor com un1/ 12 y utilice la propiedad (A + B ) = A + B

4. Dadas las siguientes matrices

A = 1 4 6

2 3 51 0 4

B =2 3 51 0 62 3 1

C = 1 60 4

2 3 y D = 7 1

42 3 5

Realice AB y CD e indique los 10 productos que se pueden efectuar tomando de a dos de estas matrices.

5. Si A y B son matrices tales que se AB existe y si es un escalar. Diga si las siguientes iguales se cumplen justicando su respuesta.

(AB ) = ( A )B (A )B = A(B )

6. Muestre cuales de las siguientes matrices son equivalentes

A = 3 5 24 2 3 1 2 4

B = 2 3 51 0 4

3 3 9 y C = 1 5 62 0 3

4 2 7

7. Resuelva por medio de matrices los siguientes sistema de ecuaciones.

x 2y + 3z = 114x + y z = 42x y + 3 z = 10

2x + y + 6 z = 185x + 8z = 163x + 2 y 10z = 3

x + y z = 74x y + 5 z = 46x + y + 3 z = 20

2x + 6 y 4w + 2 z = 4x w + z = 5

3x + 2 y 2w = 2

8. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales con par ametro

2x + y 2z = 2x z = 1x + 2 y = 1

determine para que valores de el sistema tiene unica soluci on.

9. Determine si cada una de las siguientes matrices son invertible. de serlo halle su inversa.

A = 1 6 2

2 3 57 12 4

B =3 2 10 2 20 0 1

y C =

1 1 1 11 2 1 21 1 2 11 3 3 2

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10. Dadas las matrices

A = 1 3 4

1 9 62 4 8

y B =3 2 10 4 57 2 1

Encuentre una matriz X tal queAX = B

11. Resolver los siguientes problemas:

a) Un editor publica un posible exito de librera en tres presentaciones distintas: Libro de bolsillo, club delectores y edici on de lujo. Cada libro de bolsillo necesita un minuto para el cosido y 2 para el pegado. Cadalibro para el club de lectores necesita 2 minutos para el cosido y 4 para el pegadocada libro de edici onde lujo necesita 3 minutos para el cosido y 5 para el pegado. Si la planta de cosido esta disponible 6 horasdiarias y la planta de pegado 11 horas. Cuantos libros de cada presentaci on se pueden hacer por da demodo que las plantas se aprovechen al m aximo.

b) Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de alimento a un lago que mantiene a tresespecies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana, un promedio de dos unidades delalimento A, tres unidades del alimento B y dos unidades de alimento C. Cada pez de la especie 2, consumecada semana un promedio seis unidades del alimento A, doce unidades del alimento B y cinco unidadesdel aliment C. Para un pez de la especie 3, el consumo semanal promedio es cuatro unidades del alimentoA, tres unidades del alimento B y cinco unidades del alimento C. Cada semana se proporciona al lago 3000unidades del alimento A, 3000 del B y 3500 del C. Si se supone que todo el alimento es ingerido, cu antospeces de cada especie pueden coexistir en el lago?

c) Tres tipos de ardillas han sido llevadas a una isla con una poblaci on inicial total de 2000. Despu es de 10

a nos, la especie I ha duplicado su poblaci on y la especie II ha incrementado su poblaci on en un 50 %,mientras que la especie III se ha extinguido. Si la poblaci on total se ha incrementado en 500, determine lapoblaci on inicial de las tres especies.

d) Un nutricionista prepara una dieta que tiene tres tipos de alimentos A, B y C. Cada onza de alimento Acontiene 2 unidades de protenas, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza delalimento B contiene 3 unidades de protenas, 2 unidades de grasa y una unidad de carbohidratos. Por suparte, cada onza del alimento C contiene 3 unidades de protenas, 3 unidades de grasa y 2 unidades decarbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 27 unidades de protenas, 26 unidades de grasay 22 unidades de carbohidratos. Cuantas onzas de cada tipo de alimento deben utilizarse.

e) Sup ongase que los tres puntos (1, 5), ( 1, 1) y (2, 7) est an en la par abola p(x) = ax 2 + bx + c.I) Determine un sistema lineal de tres ecuaciones con tres inc ognitas que deba resolverse para determi-

nar a, b y c.II) Resolver el sistema lineal que se obtuvo en el inciso anterior para a, b y c.

f) Un empleado de cierta empresa extranjera debe visitar Bogot a, Medelln y la hermosa Bucaramanga y encada ciudad debe permanecer mnimo 2 dias. Suponga que en cada una de las 3 ciudades gasta 10 d olaresdiarios en trasporte. Los gastos diarios de alimentaci on son: En Bogot a 20 d olares En Medelln 30 d olares yen la hermosa Bucaramanga 30 d olares. Por concepto de del hotel el gastos diario es, en Bogot a 40 d olares,en Medelln 20 d olares y en la hermosa Bucaramanga 20 d olares. Suponiendo que los vi aticos totales porlos tres conceptos est an distribuidos como sigue: 140 d olares para transporte, 320 d olares destinados a laalimentaci on y 480 para el hotel.

I) Determine el numero de dias que el empleado puede permanecer en cada una de las 3 ciudades.II) Encuentre el gasto total en Bogot a.

II I) Como cambiara la soluci on si no tuviera la condici on de permanecer mnimo 2 dias en cada ciudad?

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