parÁbola
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PARÁBOLAPARÁBOLA
f(0,a)
x
y
Parábola: Lugar geométrico de todos los puntos de un plano que se mueven de tal manera que la distancia desde cualquiera de ellos a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales. Aplicando la definición: Pf= PS.
Lado Recto = 4a
Dir
ectr
iz
a a
P (x,y)
S
V (0,0)
x
Aplicando la definición:Pf=PS Distancia entre dos puntos, es decir distancia entre el punto P (x,y) y f(0,a) y la distancia entre PS= x+a
2 2( ) ( 0)x a y x a
Simplificando: 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
( 2 ) ( )
( 2 ) 2
4
x ax a y x a
x ax a y x ax a
y ax
Ecuación en Forma Típica de una parábola con su eje focal “Vertical”
x
y
x
y
Ecuación en forma típica:
2 4y ax
2 4y ax
Ecuación de la parábola en forma típica, cuando su eje focal es horizontal:
x
y
2 4x ay
2 4x ay
Parábola con vértice fuera del centro de coordenadas.
Ecuación en forma típica:
2( ) 4 ( )y k a x h 2( ) 4 ( )x h a y k
Ecuación de la parábola en forma General:
2 0y Dx Ey F 2 0x Dx Ey F
En la construcción se utiliza la siguiente terminología para los arcos parabólicos.
1. El claro de un arco parabólico es la distancia entre los extremos del arco.
a
b b
2. La altura del arco parabólico es la mayor altura del arco.
22 bx y
a
3. Área del arco parabólico.
2
3A Bh
h
B
4. La trayectoria parabólica de un objeto lanzado horizontalmente desde una altura desde una altura b, con una velocidad inicial de v m/s, se calcula en la física con la ecuación:
22 22
donde 9.8( / )8
vx y g m s
EJEMPLOS:
Hallar el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es:
Solución la ecuación corresponde al tipo
La parábola es horizontal y abre hacia la izquierda puesto que
El foco está en el punto (-2,0)y la directriz es la recta : x=-a, es decir x=2Para dibujar la gráfica :
2 4y ax
4 8 8LR a
84 8 2
4a a a
x
y
Encontrar la ecuación, determinar sus elementos y bosquejar la gráfica de la parábola con V(0,0) y foco (3,0).
Solución:
Como el foco está en el eje “x” positivo, la parábola es horizontal y abre hacia la derecha y su ecuación es del tipo:
La abscisa del foco nos da el valor de “a”, es decir a= 3, por lo tanto sustituyendo:
2 4y ax
2
2
4(3) por lo tanto la ecuación buscada es:
12
y x
y x
4 4(3) 12
Directriz: , es decir
3
LR a
x a
x
x
y
Problema 1: Para recibir señales de televisión, las antenas parabólicas utilizan un aparato receptor situado en un punto especial de su interior.
Las ondas de telecomunicaciones llegan a la superficie de la antena en forma paralela al eje. Cuando chocan contra la superficie de la antena, las ondas se desvían concentrándose en el receptor, situado en el punto correspondiente al foco de la sección parabólica.
La antena en cuestión tiene 2m de ancho, en la parte donde está Situado su aparato receptor.
¿A qué distancia del fondo de la antena está colocado el receptor de señales? Escribir la ecuación que describe a la sección parabólica de esta antena.
2m
Problema 2:
Una carretera atraviesa un cerro a través de un túnel, con forma de arco parabólico, que tiene 4 m de claro y 6m de altura, ¿cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 2m de ancho, para pasar sin atorarse dentro del túnel?
4m
1m 1m
6m
Problema 3:
En el ex convento del Desierto de los Leones, construido cerca de la Ciudad de México por los monjes Carmelitas, durante la época colonial, existen al igual que en muchas otras construcciones, gárgolas para el desalojo del agua de lluvia de azoteas planas. Si una de estas gárgolas se encuentra recibiendo a 3m del piso, y expulsa el agua que está recibiendo la azotea en un momento de fuerte lluvia, con una velocidad de 5 m/s, a que distancia del muro caerá el agua al llegar a tierra.
5 /v m seg
d
3m
Los tirantes de un puente colgante tienen forma de arco parabólico. Los extremos del cable alcanzan una altura de 20 m sobre el nivel del puente y se hallan a 300 m de distancia entre sí.
El punto más bajo del cable queda suspendido a 5m de altura sobre el puente.
A 100 m de distancia de este punto, ¿qué tan alto está el cable sobre el puente?
Problema 4: