Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

EL RINCÓN DE LOS PROBLEMAS

Enseñar a resolver problemas está íntimamente ligado a lo que llamamos

“enseñar a pensar”, que es, ciertamente, la tarea más difícil de la labor docente,

aunque muchas veces estos fracasos se relacionan con la falta de un método

adecuado y la ausencia de unas instrucciones precisas sobre el método a

emplear.

Como premisas fundamentales para resolver un problema, podemos plantear las

siguientes:

a) Existencia de un interés, lo que significa enfrentarnos a problemas con un cierto

atractivo.

b) La posibilidad de diversos métodos de resolución, lo que permite una discusión

abierta de las ventajas e inconvenientes de cada uno.

c) Tener deseos de resolver el problema, lo que significa estar dispuestos a

aceptar el reto.

George Pólya, en su libro Cómo plantear y resolver problemas, establece un

programa de actuación ante los problemas matemáticos. Para él, un problema se

resuelve correctamente si se siguen los siguientes pasos:

1. Comprender el problema.

2. Concebir un plan para descubrir la solución.

3. Ejecutar el plan y verificar el procedimiento.

4. Comprobar el resultado.

George Polya

El mejor premio que podemos esperar es la satisfacción del problema resuelto, de

haber conseguido encadenar razonamientos que nos han llevado a la respuesta

correcta y de adquirir, con éxito, las técnicas apropiadas en la resolución de otros

problemas de características similares.

Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

HE AQUÍ ALGUNOS PROBLEMAS PARA PENSAR…

¿Puede ser cierta la siguiente frase?

Anteayer yo tenía 33 años, y el año que viene cumpliré 36.

En caso de que sea cierta, ¿qué día es hoy y cuál es el día de mi cumpleaños?

Dos hermanos echaron una carrera de 100 metros. El mayor ganó por 3 metros,

es decir, cuando el mayor llegó a la meta, el menor había recorrido 97 metros.

Volvieron a echar la carrera, pero ahora el hermano mayor empezó tres metros por detrás

de la línea de salida. Suponiendo que los dos corrieron como la primera vez, ¿quién ganó

esta carrera?

Seis jóvenes se apuntaron a un curso de teoría de números. Con el propósito de

recordar más fácilmente sus nombres, el profesor los sentó en el orden siguiente:

• Lulú Nogués

• Aldo Sastre

• Edit Resnik

• Rucucu Atrogno

• Eric Incorto

• Emilse Ischia

¿Cuál es el sistema que usó?

Mi padre tiene 44 años. Mi perro, 8. Si mi perro fuese humano, tendría 66 años de

edad. ¿Qué edad tendría mi padre si fuera perro? ¿Cuántos años sumarían mi padre

y mi perro si ambos fueran humanos?

Juego con el celular

Convertido en uno de los elementos centrales de la cultura contemporánea, el

celular se incorporó a nuestras vidas no sólo como un teléfono móvil. Su tamaño

más pequeño ha ganado en prestaciones y hoy nos sirve de cámara fotográfica,

reproductor de música, grabador de voz, libreta de apuntes, juego electrónico,

agenda, calculadora y reloj, además de permitirnos hablar por teléfono, mandar

mails, SMS y navegar en la red.

En ocasiones de soledad colectiva que compartimos durante un viaje es

aprovechado para un encuentro privado con nuestro “celu”. Es una acción

contagiosa, alcanza que una persona saque su aparatito del bolsillo para que el

resto repitamos el ritual buscando en el bloquecito luminoso vaya a saber qué

secretos.

Pero no es nuestra intención desatar sentimientos tecnofóbicos. Si viajamos

apretados, no tenemos crédito ni para un mensaje y no da para escuchar música,

proponemos usar el celular como soporte para pensar el siguiente problema:

Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

Langford en el celu

He aquí una versión del problema de Langford en compañía del celular.

Mostremos en la pantalla del celular el número 112233 y ahora reordenémoslo de

modo tal que entre dos unos haya un solo número, entre los dos dos haya dos

números y entre los dos tres haya tres números. ¿Sale fácil no?

Ahora escribamos 11223344 en la pantalla y empecemos a mover los números

para que respete una ley como en el caso anterior, en este caso entre los dos

cuatros deben quedar cuatro números.

¿Vamos bien? Ahora es tiempo de partir de 1122334455 y luego de

112233445566 y analizar la unicidad de las soluciones encontradas (si es que se

encuentran)

El empleo del celular se limita aquí a servir de

pizarrón de bolsillo que, a diferencia del lápiz

y el papel que requieren las dos manos, se usa

con una, y funciona en la oscuridad. Ésa es

una inesperada ventaja evolutiva de nuestro

pulgar. Hace millones de años, los primates

que no tenían un pulgar en oposición no sólo

recogían menos fruta y se privaban del uso de

herramientas; tampoco podían enviar un SMS;

quedaban aislados, y sucumbían.

UN PROBLEMA DE ÁRBOLES En un terreno de forma cuadrada, un propietario quiere construir una casa. En dicho terreno están plantados 15 árboles a una misma distancia (como se aprecia en la figura). ¿Cómo dividir el terreno en 5 partes de igual forma y tamaño, de modo que cada una de esas partes contenga el mismo número de árboles?

Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

Extraña pareja

¿Qué sorprendente, escandalosa y osada relación hay entre la física y la

matemática? Una es una ciencia natural, y se refiere a las cosas que existen,

mientras que la otra es una ciencia formal, que prescinde, en teoría, de la

necesidad de un mundo al que se le aplique.

La física describe el universo; la matemática, el pensamiento; y hasta hay quienes

le niegan siquiera ese mínimo contacto con la realidad material.

Algo tienen en común esas dos ciencias: ninguna de ellas es exacta. La física

perdió esa categoría con el advenimiento de la mecánica cuántica y su principio de

incertidumbre; y la matemática lo hizo a partir de Kurt Gödel, y sus ideas de

incompletitud e indecidibilidad. Sin embargo, y a pesar de esos hechos irrefutables

de la historia reciente, el conjunto de la física y la matemática se conoce en

muchos ámbitos como el de las ciencias exactas; justamente lo que no son. Y

donde se acepta que eso ya no les cuadra, se inventó lo de ciencias duras, lo que

requiere costosas e incómodas explicaciones. ¿En qué sentido son duras? ¿En

sus procedimientos de validación? ¿Duras de entender? ¿Duras de matar?

¿Duras de corazón?

El hecho es que esas ciencias forman un dúo indisoluble, a pesar de sus

profundas diferencias de origen y de objeto de estudio. ¿No hay, acaso, mucha

gente que da clases de física y matemática, con la misma naturalidad que si las

diera de química y biología, o de historia y geografía? Si tantos y tantas enseñan

física y matemática a la vez ¿por qué no abundan, en cambio, profesores y

profesoras de política y equitación; inglés y artes marciales, economía y música, o

geodesia y filosofía?

Algo profundo y desconocido une a los integrantes de esta célebre pareja. Galileo

Galilei dijo que el universo es un libro abierto ante nuestros ojos, escrito en lengua

matemática. Cualquiera sea la inmensa distancia epistemológica, hay entre esas

ciencias una atracción sin límites; se buscan una a la otra con frenesí, y cuando se

encuentran, como en la palanca de Arquímedes, la relatividad de Einstein o la

cuántica de Heisenberg, se arrojan con desenfreno una sobre otra, y se dan un

festín como si no hubiera un mañana.

Mientras subsista ese misterio, disfrutemos la inexactitud de las ciencias.

Q.e.d., Quod erat demonstrandum, es una expresión latina que significa:

lo que se quería demostrar

Tiene su origen en la frase griega όπερ έδει δείξαι (óper édei deíjai), que usaron muchos matemáticos, entre ellos Euclides y Arquímedes, para señalar que habían alcanzado la demostración que buscaban.

Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

Cortar la torta entre tres comensales

Le propongo pensar el siguiente problema. Hay una torta y tres personas

dispuestas a comerla. Ninguno quiere comer menos que los otros. Y no hay forma

de “medir” para saber con exactitud cómo generar tres porciones iguales, por lo

que hay que elaborar una estrategia que permita que los tres queden satisfechos.

¿Cómo hacer?

Este problema, que parece totalmente irrelevante, puede adquirir impensada

actualidad. Por ejemplo, si tres países se disputan una porción de tierra, ¿cómo

hacen para dividirla de manera tal que no se genere un conflicto entre ellos?

También puede suceder que haya que distribuir una herencia entre tres personas

y lograr que la operación deje contentos a todos.

Estoy seguro de que usted puede aportar más y mejores ejemplos.

Pero lo que surge de estos casos es que lo que parece totalmente inocuo e

irrelevante en realidad sólo lo es en el contexto de tener que cortar una torta, ya

que, en otro escenario y en otras condiciones, tener una estrategia que satisfaga a

todos los involucrados ya no es algo tan trivial. Y aunque mucha gente no lo

perciba, elaborar esa estrategia también es hacer matemática.

El problema de la torta es un clásico dentro de la matemática. Hay mucha

literatura escrita y soluciones de diferente tipo. Yo voy a presentar sólo una de

ellas, que no es necesariamente la mejor.

Es sólo una de las tantas que se conocen. Y, por supuesto, no es una idea mía,

sino una respuesta que circula desde hace mucho tiempo.

Antes de dejarla/o que reflexione, quiero proponerle –para empezar– que piense

un problema un poco más sencillo. Algo muy parecido al planteo original, sólo que

en lugar de suponer que hay tres personas para comer, se trata, en principio, sólo

de dos. Es decir, hay que dividir la torta en dos porciones que dejen contentos a

los comensales.

La idea es tratar de cortarla de manera que la división sea “justa”, en el sentido de

que ninguno de los dos tenga nada para objetar. ¿Cómo hacer? La solución es

relativamente sencilla. (¿Quiere pensarla por su lado?)

La idea es que uno de los dos comensales se ocupe de cortarla en dos partes y el

otro decida con cuál de las dos porciones se queda. Ésta parece una solución

justa, equitativa: “Uno corta, el otro elige”.

Ahora vuelvo al problema original: si en lugar de dos comensales hay que

distribuirla entre tres, sin que ninguno pueda reclamar nada, ¿cómo conviene

hacer?

Acá la/lo dejo pensar a usted. Se trata entonces de elaborar una estrategia que

deje contentos a todos. No es fácil. Pero tampoco imposible.

Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

ALGUNAS CITAS

Alguien preguntó a Einstein qué armas se usarían en la III Guerra Mundial. Einstein contestó: No lo sé, pero sí sé las que se usarán en la IV: piedras y palos.

Dios existe, ya que las matemáticas son consistentes, y el Diablo existe, ya que no podemos probar eso (A. Weyl).

En 1688 la Universidad de Cambridge designó a Isaac Newton como su representante en el Parlamento de Inglaterra. Parece que no fue una buena elección: en todo su mandato, la única intervención conocida de Newton fue para pedir que se abriera una ventana.

Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

Teniendo en cuenta de que, la

distancia de la tierra a la luna es 384 400 km y pensando en que queremos cubrir esta

distancia, con un papel que se dobla sucesivamente por la

mitad, cuyo grosor inicial es de 0,1 cm, la ecuación que

muestra el número “n” de veces que habría que doblar este papel para alcanzar la luna es:

Supongo que habréis escuchado alguna vez el mito de que

no se puede doblar una hoja de papel más de 7 veces. Si

aún no lo habéis intentado, probadlo, veréis que no hay manera.

Eso es debido a que cada vez que doblas el papel, su

tamaño se reduce a la mitad y su grosor se duplica, hasta el

punto de ser físicamente imposible doblarlo después de 6 o

7 pliegues.

En SoyPlastic vi un video de National Geographic donde

construyen una hoja de papel de 400 metros cuadrados que

pesaba cerca de 40 kilos, bajo la teoría de que cuando más

grande es la hoja de papel, más pliegues se pueden hacer.

Así consiguen doblarlo hasta 10 veces, ….

Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

LOS NÚMEROS Y SU SIGNIFICADO

1. El padre, la unificación el

corazón.

2. La dualidad, la madre, actuar

con calma.

3. La creación, hacer las cosas

bellas.

4. Estabilidad materialista.

5. Intuición basada en cosas

tangibles.

6. Amor – Sexo – Separaciones.

7. Victoria con muchas luchas.

8. Justicia y paciencia.

9. Soledad para obtener

beneficios personales.

10.Cambios positivos y negativos.

Indica que nada es estable.

Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

En Europa de la edad media,

multiplicaban empleando un

método hindú perfeccionado por

los árabes.

845 x 326 = 275 470

Para obtener el resultado final

sumaban oblicuamente los

resultados parciales.

2 4

1 2

1 5

1 6

4 8

8

1 0

2 4

3 0

6a

8

5a

4

4a

5 3

3a

2 2a

6 1a

2

7

5

4

7

0

Los egipcios para efectuar, la

multiplicación, recurrieron ellos a las

duplicaciones, sucesivas, las cuales

eran adecuadamente seleccionadas y

sumadas después.

32 x 27

1…………. 32 16…………. 512

2…………. 64 8…………. 256

4…………. 128 2…………. 64

8…………. 256 1…………. 32

16………. 512 27…………. 864

Los egipcios dividían duplicando y tomando mitades.

105 16

1 vez 16 ….. 16

2 veces 16 ….. 32*

4 veces 16 ….. 64*

8 veces 16….. 128

1/2 veces 16….. 8*

1/4 veces 16….. 4

1/8 veces 16….. 2

1/16 veces 16….. 1*

32

64

8

1

105

2

4

1/2

1/16

6 16

9

Se necesitan buscar los números que en la 2da.

columna sumen 105. Luego la suma de los

correspondientes número de la columna de la

izquierda, nos da el cociente buscado o sea 6 16

9

1er. Paso 2do. Paso 3er. Paso

Los hindúes utilizaron ya la

notación a/b para indicar la

división, la cual figura en el libro de

Aritmética, de Leonardo de Pisa

(1175 - 1250). También los árabes

indicaron la división por medio de

fracciones. Pero un libro publicado

en 1669. Fue RAHN quien empleo

el signo para indicar la división.

El actual signo que usamos (:) fue

introducido por LEIBNITZ en 1684.