UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMAS

ESPE

EXTENSIN LATACUNGA

Chicaiza Salazar William David.

Ingeniera de Electrnica e Instrumentacin, Quinto Nivel, Escuela Politcnica del Ejrcito Extensin Latacunga, Mrquez de Maenza S/N Latacunga, Ecuador.

email :deyvit_ch@hotmail.com Fecha de presentacin: Latacunga, jueves 4 de diciembre del 2014.

CONVOLUCION LINEAL Y CIRCULAR EN SISTEMAS DISCRETOS

RESUMEN: La convolucin es un valor que se extiende a todos los sistemas lineales invariantes del tiempo. Es una herramienta indispensable y fundamental en el anlisis de sistemas discretos. Sirve entre otras cosas para regularizar funciones y, por medio de aproximaciones de la identidad, permite verificar resultados importantes de la transformada de Fourier discreta, trabajaremos los procedimientos para realizar la operacin de convolucin ya sea lineal o circular aplicando pasos que suponen una convolucin para sistemas discretos. La idea de convolucin discreta es la misma que la de convolucin continua. Recordemos que la convolucin es una herramienta matemtica que permite obtener la respuesta de un sistema LTI en trminos de la misma respuesta debida al impulso.

PALABRAS CLAVE:

Convolucin discreta.

Convolucin lineal discreta.

Convolucin circular discreta.

DESARROLLO.

1. CONCEPTUALIZACIN. La convolucin discreta, nos explica como dos seales discretas [] , la entrada del sistema, y [] , la respuesta del sistema, se puede definir el resultado del sistema como:

[ ] = [] []

[] = [] [ ]

=

Cuando dos DFT sondadas (secuencias de tamao finito usualmente del tamao N), nosotros no podemos multiplicar esas dos seales as como as, como lo sugiere la frmula de arriba usualmente conocida como convolucin lineal.

Ya que las DFT son peridicas, tienen valores no cero para as la multiplicacin de estas dos seales ser no cero para . Requerimos definir otro tipo de convolucin que dar como resultado nuestra seal con vuelta teniendo el valor de cero fuera del rango = 0,1, , 1. Esto nos ayuda a desarrollar la idea de convolucin circular, tambin conocida como convolucin cclica o peridica.

2. CONVOLUCIN LINEAL

Para la convolucin entre dos seales, se

evaluar el rea de la funcin () ( ). Para ello, disponemos de muestras de ambas

seales en los instantes de tiempo NT, que

llamaremos [] [ ] (donde y son enteros). El rea es, por tanto,

[] = [ [] [ ]

=

]

[] = [ [] [ ]

=

]

La convolucin lineal en tiempo discreta se

termina por un intervalo de muestreo t=1.

[] = [] []

[] = [ [] [ ]

=

]

[] = [ [] [ ]

.

=.

]

[ . + . .. + .]

El dominio de la secuencia de convolucin,

es decir, el intervalo de valores de queda definido como:

[ . + . .. + .]

La longitud de la secuencia de convolucin.

Dada la secuencia de longitud a

convolucionar con la secuencia g de longitud

, la longitud de la secuencia de

convolucin se representa como y se

calcula como:

= + 1

Ejemplo: Para ilustrar el proceso de forma

genrica considrense las dos secuencias

siguientes:

= [ (1), (0), (1), (2)] = [(1) , (0), (1)] en donde:

. = 1

. = 2

. = 1

. = 1

Ahora se desarrolla en la tabla 1 la suma de

convolucin paras las secuencias dadas en

la ecuacin anterior.

Los productos en rojo corresponden con

ndices para los cuales el segundo operando

de la convolucin no tiene elementos

definidos. Ahora bien, realizando los

productos indicados se tiene que la

convolucin es:

= [ (2), (1) , (0), (1) , (2) , (3) ]

Donde:

(2) = (1)(1) (1) = (1)(0) + (0)(1) (0) = (1)(1) + (0)(0)

+ (1)(1) (1) = (0)(1) + (1)(0)

+ (2)(1) (2) = (1)(1) + (2)(0) (3) = (2)(1)

El clculo del dominio de la secuencia de

convolucin es como sigue: [ . + . .. + .]

[1 1,2 + 1] [2,3 ] La longitud de la secuencia de convolucin

queda definida como:

= 4

= 3

= + 1

= 4 + 3 1

= 6

PROPIEDADES:

Elemento neutro: [ ] [] = []

Conmutativa: =

Asociativa: ( ) ( )

= ( ) Distributiva:

( + ) = +

Conmutativa con respecto al producto por un escalar:

. ( ) = (. ) = (. )

Tabla 1. Convolucin para las secuencias = [ (1), (0), (1), (2)]

= [(1) , (0), (1)]

CALCULO:

Mtodo de la cinta deslizante. El mtodo matricial. Matricialmente.

MTODO DE LA CINTA DESLIZANTE

Para convolucionar una secuencia con una secuencia :

La secuencia se mantiene sin alteraciones. La secuencia g se refleja y

se desplaza de adelante hacia atrs.

En cada desplazamiento, se realiza el producto punto. En el caso de

secuencias finitas slo se consideran

aquellos productos punto que no son

nulos.

Ahora bien, siguiendo los pasos dados, se

consideran las dos secuencias siguientes:

= [ (1), (0), (1), (2)] = [(1) , (0), (1)]

EL MTODO MATRICIAL

Considrense las dos secuencias

siguientes:

= [ (1), (0), (1), (2)] = [(1) , (0), (1)] El planteamiento de la convolucin

considerando los factores no nulos y

factorizando los factores de la secuencia se logra el siguiente planteamiento:

[ (2)

(1)

(0)

(1)

(2)

(3) ]

=

[ (1) (0) (1)

000

0(1)(0)(1)

00

00

(1)(0)(1)

0

000

(1)(0)(1) ]

[

(1)(0)(1)(2)

]

La ecuacin anterior se puede expresar en

forma compacta de la forma siguiente:

[ ] = En donde:

=

[ (1) (0) (1)

000

0(1)(0)(1)

00

00

(1)(0)(1)

0

000

(1)(0)(1) ]

= [

(1)(0)(1)(2)

]

[ ] =

[ (2) (1) (0) (1) (2) (3) ]

MTODO DE MALLA

Considrense las dos secuencias

siguientes:

= [ (1) , (0), (1) , (2)] = [(1) , (0), (1)] Primero se crea una malla tal como se ilustra

en la tabla 3 en el rengln superior se coloca

la secuencia en tanto que en la columna ms a la derecha se coloca la secuencia g,

se realizan sumas en diagonal hacia abajo

izquierda. Los totales son los elementos de

la secuencia de convolucin:

f(-1) f(0) f(1) f(2)

f(-1)g(-1) f(0)g(-1) f(1)g(-1) f(2)g(-1) g(-1) f*g(-2) f(-1)g(0) f(0)g(0) f(1)g(0) f(2)g(0)

g(0) f*g(-1) f(-1)g(1) f(0)g(1) f(1)g(1) f(2)g(1) g(1) f*g(0)

f*g(1) f*g(2) f*g(3)

Tabla 3. Mtodo de la malla.

donde:

(2) = (1)(1) (1) = (1)(0) + (0)(1) (0) = (1)(1) + (0)(0) + (1)(1) (1) = (0)(1) + (1)(0) + (2)(1) (2) = (1)(1) + (2)(0) (3) = (2)(1)

Ejemplo:

[] = 1

2 [] + 2[ 1]

[ ] = [] [ 3]

Tabla 2. Mtodo de cinta deslizante.

[] = [ ] = [

(0)(1)(2)

0

0(0)(1)(2)

] [(0)(1)

]

[] = [ ] = [

1110

0111

] [1/21

]

< 0, [] = 0

[0] =1

2

[1] =5

2

[2] =5

2

[3] = 2 > 3, [] = 0

3. CONVOLUCIN CIRCULAR.

Convolucin circular de dos secuencias de

dos secuencias () () . Dada la secuencia de duracin finita () de longitud y dada la secuencia () tambin de longitud . La convolucin queda representada como () = () () y matemticamente, la convolucin circular se define como:

() = () ( )

1

=0

Para ejemplificar el comportamiento

peridico de la frmula, sta se desarrolla

para = 3, es decir, sean las secuencias peridicas siguientes:

= [ (0), (1), (2)] = [(0), (1) , (2)]

Desarrollando la frmula de la convolucin

circular.

Cuando una funcin es peridica, con un periodo de , entonces las funciones, tales como

existentes, su convolucin

es tambin peridica e igual a:

( ) () = [ ( + )

=

]

0+

0

( )

si es una extensin peridica de otra

funcin, g, entonces se sabe que es

circular, cclica, o peridica de una

convolucin de y . (0) = (0)(0) + (1)(1) + (2)(2) (1) = (0)(1) + (1)(0) + (2)(1) (2) = (0)(2) + (1) (1) + (2)(0) Puede notarse que algunos de los ndices en las

frmulas de convolucin son negativos. Se puede

aprovechar la periodicidad de las series de tal forma

que:

(1) = (2) (2) = (1) (3) = (0)

Figura 1. (a) Representacin del operador f. (b) Acomodo de los operadores f y g para la convolucin circular

Figura 2. Proceso de convolucion circular para las secuencias

= [ (0), (1), (2)] = [(0), (1) , (2)]

Entonces las ecuaciones de la convolucin

se escriben como: (0) = (0)(0) + (1)(2) + (2)(1) (1) = (0)(1) + (1)(0) + (2)(2) (2) = (0)(2) + (1) (1) + (2)(0)

Longitud de la secuencia de

convolucin circular.

Dadas dos secuencias de

cardinalidad , la convolucin circular de ambas funciones () () es otra funcin () de cardinalidad y cuyo origen es el primer elemento que aparece en

la secuencia.

MTODO DE LOS CRCULOS

CONCNTRICOS.

Sea la secuencia = [ (0) , (1) , (2)] el primer operando de una convolucin

circular. ste operando puede

representarse con puntos equidistantes

sobre un crculo.

Los puntos se numeran en el sentido de las

manecillas del reloj tal como ilustra la figura

1.a. Preste atencin en donde se coloca el

primer elemento de la secuencia. Sea la

secuencia = [(0), (1) , (2)] el segundo operando de una convolucin

circular.

Este operando se representa con puntos

equidistantes sobre un crculo inscrito en el

crculo del operando . Los puntos se numeran en sentido contrario al de las

manecillas del reloj y haciendo coincidir el

origen de la secuencia con el origen de la secuencia . La figura 1.b ilustra tal acomodo. Ya dispuestos los crculos, se

realiza el siguiente algoritmo:

0 . Se realiza el producto punto de los

vectores tal como indican los

crculos concntricos.

El crculo interior se gira un paso en sentido del reloj de manecillas.

Se repiten los pasos hasta que = 1.

La figura 2 ilustra el proceso de convolucin

circular para las secuencias dadas.

Convolucin circular, mtodo matricial.

Sean las secuencias peridicas de

cardinalidad = 3 siguientes: = [ (0), (1), (2)] = [(0), (1) , (2)]

En una seccin pasada se desarroll la

frmula de la convolucin circular para

[0,1,2] resultando: (0) = (0)(0) + (1)(2) + (2)(1) (1) = (0)(1) + (1)(0) + (2)(2) (2) = (0)(2) + (1) (1) + (2)(0)

Ahora las frmulas se expresan en forma

matricial de la forma siguiente:

[

(0)

(1) (2)

] = [(0)(1)(2)

(2)(0)(1)

(1)(2)(0)

] [(0)(1)(2)

]

Simplificando la frmula se tiene que:

[ ] = En donde:

= [(0)(1)(2)

(2)(0)(1)

(1)(2)(0)

] = [(0)(1)(2)

]

Obsrvense las columnas de la matriz y ntese que los elementos de la secuencia

() se acomodan por columnas que se rotan hacia abajo.

TEOREMA DE APROXIMACIN DE LA

CONVOLUCIN LINEAL CON LA

CONVOLUCIN CIRCULAR.

Clculo de la convolucin lineal con la

convolucin circular. Dada la secuencia no

peridica () , de longitud a

convolucionar con la secuencia no peridica

() de longitud , la longitud de la

secuencia de convolucin se representa

como . Para calcular la convolucin

lineal a partir de la convolucin circular se

Figura 3. Aplicacin del mtodo de los crculos concntricos.

agregan ceros a las dos secuencias de tal

forma que su cardinalidad sea + 1.

Ejemplo: Convoluciones las secuencias

peridicas = [2,5,0,4] y = [4,1,3,0] , su convolucin circular es:

(0) = (0)(0) + (1)(3)

+ (2)(2) + (3)(1)

= 2 4 + 5 0 + 0 3 + 4 1 = 12

(1) = (0)(1) + (1)(0)

+ (2)(3) + (3)(2)

= 2 1 + 5 4 + 0 0 + 4 3 = 34

(2) = (0)(2) + (1)(1)

+ (2)(0) + (3)(3)

= 2 3 + 5 1 + 0 4 + 4 0 = 11

(3) = (0)(3) + (1)(2) + (2)(1) + (3)(0) = 2 0 + 5 3 + 0 1 + 4 4 = 31

4. CONCLUSIONES.

El concepto de convolucin discreta es la misma que la de convolucin continua.

La convolucin es un instrumento poderoso al determinar el resultado de un sistema despus de saber la una impulso del sistema. Puede ser

tambin til al ver la convolucin grficamente con nuestros propios ojos

y poder manejar el concepto.

Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de seal no tiene sentido realizar convoluciones aplicando estrictamente la definicin ya

que solo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. Es

necesario, pues, una aproximacin numrica. 5. BIBLIOGRAFA.

[1] MAIXX.FILES.WORDPRESS., [En lnea]. Available:

http://maixx.files.wordpress.com/2012/10/dsp_cap03_convolucion_11_02_01.pdf. [ltimo acceso: 03 Diciembre

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[2] ARANTXA.II.UAM., [En lnea]. Available: http://arantxa.ii.uam.es/~taao1/teoria/tema4/tema4.pdf. [ltimo acceso:

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[3] INGENIERIAS.UGTO, [En lnea]. Available:

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[4] SENALESYSISTEMASV.BLOGSPO, [En lnea]. Available:

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[6] AGAMENON.TSC.UAH, [En lnea]. Available:

http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/ittst/sl/apuntes/ANEXOConvolucionDiscreta.pdf. [ltimo acceso: 03

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