15

sujeto a restricciones lineales, la ecuación de normalidad es:

Las ecuaciones ortogonales son

y la restricción de no negatividad

El principal teorema de la programación geométrica es dado gracias a Duffin, Peterson, and Zener (3) y es descrito abajo.

THEOREM 1-1 (3) Si x satisface las restricciones del programa primal y satisface las restricciones del programa dual, entonces

Además, bajo las mismas condiciones, si, y solo si,

y para

16

El teorema principal nos proporciona las relaciones fundamentales entre las variables del primal y el dual en el óptimo. Como cada término del primal, el cálculo de las variables del dual involucra resolver un sistema lineal con el logaritmo de las variables del primal como desconocidas.

El programa dual tiene una ventaja computacional en que todas sus restricciones son lineales. Además, ha sido probado que es cóncavo y tiene el mismo punto de maximización como Entonces, el máximo global del dual que es calculado corresponde al punto mínimo global del primal.

Programas Polinomiales generalizados

Passy (10) extiende los programas geométricos para incluir las funciones polinomiales generales. Estos resultados se producen cuando la restricción positiva de los coeficientes en todos los términos es relajado.

La introducción de la función signo con cada término se obtiene un programa muy similar a un programa geométrico.

Usando las mismas convenciones geométricas del programa, el programa polinomial primal general es:

Minimizar

Sujeto a

Donde

17

con

tal que

y

Una restricción de función signo es introducido por conveniencia.

Es 1 ó -1 dependiendo de cómo este escrito la restricción.

Correspondiente al primal anterior, existe un programa quasidual el cual es definido como pseudomaximo

Donde

Donde

sujeto a las restricciones lineales

18

Y las restricciones de no negatividad

Y la restricción de calificación

, si y solo si

Para la programación polinomial generalizada, un tipo más débil de dualidad es exhibido. Haciendo x el conjunto de variables primales que satisface el programa primal y el conjunto de variables duales satisface las restricciones del programa dual. Usando estas definiciones, el siguiente teorema introducido por Passy (10):

TEOREMA 1-2 Si x0 está en x y es el mínimo del programa primal, tal que

Para todo donde es un escalar positivo real, existe un

conjunto de variables reales en tal que

Más aun, las condiciones necesarias del teorema de Kuhn-Tucker(8) para el máximo del

programa dual son satisfechas en que es

Donde la función Lagrangiana del programa dual está dado por

y son los multiplicadores de lagrange. También, para x 0 en x y en sí, y solo si,

y para

El teorema de la dualidad en la programación matemática comúnmente tiene dos aspectos:

(a) El programa primal en un programa de minimización restricto, y el programa dual es un programa de maximización restricto.

(b) La existencia de una solución para uno de estos programas asegura la existencia de una solución para otra,

20

en cuyo caso las funciones objetivo evaluadas son iguales.

El teorema de la programación geométrica verifica ambos aspectos. El teorema del programa polinomial generalizado no satisface (a) en el cual el dual no es un problema de maximización. El termino pseudomaximizacion es usado en su reemplazo y es definido como la búsqueda para un punto estacionario que satisface el programa dual. Los programas polinimiales generalizados satisfacen (b) en el cual un punto estacionario del dual asegura que un punto estacionario existe para el primal y ambas funciones objetivo evaluadas con iguales.

En resumen, la solución general del dual del programa polinomial generalizado en general no da un mínimo global para el primal. Un mínimo o máximo o punto de silla local puede ser el resultado.

Aunque, los programas duales polinimiales generalizados no son problemas de maximización restrictos, tienen la ventaja del cálculo de las restricciones lineales. La siguiente transformación de la función objetivo del dual

También ayuda en su cálculo. Passy (10) que lo anterior es valido para todo en cerca y que el punto de

pseudomaximizacion de y de son idénticos. La función transformada, aunque no es cóncava en general, como es el caso de la programación geométrica.

Blau (1) , usando los resultados teóricos de Passy(10), desarrollo un algoritmo computacional para los programas polinimiales generalizado.

21

Se hacen ciertas suposiciones en el desarrollo del algoritmo:

(a) Las restricciones de las funciones signo, y de la función objetivo en el mínimo local son conocidos.

(b) En la función langrangiana

Los multiplicadores de lagrange existen en el mínimo local x0 y son estrictamente positivos:

En el inciso (b), cuando se amplió para incluir las condiciones de Kuhn-Tucker, en esencia, significa que todas las restricciones son muy ajustados o activas en el punto óptimo. Note que, esta es la definición Blau de la buena formulación.

El método de Blau entonces es para encontrar un punto estacionario de la función objetivo quasidual

sujeto a

22

y las condiciones positivas

donde

Los términos del dual transformados puedes ser ordenados para formar

La sustitución de las restricciones lineales que contienen… nos da como resultado

Introduciendo (M + N + I) multiplicadores clásicos de Lagrange, se forma la función de Lagrange. Por definición, las parciales de esta función se desvanecen en un punto estacionario. Entonces, un (T + N + 2M + 1) sistema de ecuaciones no lineal debe ser resuelto. Blau se aprovecha de la separabilidad del sistema lineal logarítmico; que dado un vector de multiplicadores de Lagrange, el vector dual… está completamente determinado. Esta característica permite un método iterativo para resolver el sistema no lineal que requiere invertir una matriz (N + M + 1) en cada iteración. Este cálculo es significativamente más fácil que invertir la matriz (T + 2M +N +1) necesaria en cada

23

iteración para el método clásico de Newton para solucionar los sistemas originales.

Este método se limita a la búsqueda de un punto estacionario y requiere un punto de partida para la inicialización. Blau informó (1) que un punto estacionario no se obtiene si aproximaciones pobres se utilizan para la inicialización.

Los programas lineales como programas geométricos

Federowicz, en Duffin (3, p. 265), a demostrado que todos los programas lineales pueden ser expresados como programas geométricos de un tipo especial. Un programa lineal puede ser expresado en general como

Minimizar

Sujeto a

Donde y son constantes arbitrarias Usando la siguiente transformación

Y la monotonicidad la función logaritmo permite que el programa geométrico resultante:

24

Sujeto a

El programa geométrico dual puede formarse a partir del primal. Luego, utilizando las mismas transformaciones de logaritmo, un programa lineal dual puede obtenerse a partir del programa geométrico dual. Tenga en cuenta que los programas geométricos formados son un tipo especial en el cual cada restricción tiene un término o es un monomio.

La condensación de Términos

Duffin (2) ha demostrado que un programa geométrico puede definir un conjunto de programas lineales. Esta linealización es de uso tanto analíticamente y computacionalmente. Un ejemplo analítico es descrito en (2) donde la dualidad de la programación geométrica es demostrada utilizando sólo la teoría de programación lineal. Los métodos de cálculo de programas lineales por lo tanto se pueden aplicar a programas geométricos. Duffin sugiere que una condensación de términos en un programa geométrico puede ser de utilidad computacional. El método esencial de condensación es tomar una restricción

Donde

Siendo términos de la restricción.

25

Dado un conjunto de pesos no negativos tal que

Entonces un programa condensado o restringido se puede obtener,

Entonces

Esto es una consecuencia directa la de desigualdad geométrica donde

Esta condensación de términos en monomios permite a la programación lineal ser usado como un método computacional. Esta condensación puede ser usado para reducir el número de términos en un problema con una reducción resultante en el grado de dificultad (número de términos = número de variables = 1).

Un programa geométrico linearalizado usando un conjunto de pesos está relacionado con el problema original por

26

Así, un límite inferior se obtiene resolviendo el problema condensado. Un criterio eficiente para la elección de los pesos iniciales y para ajustar los pesos en cada iteración no se ha desarrollado. Un desarrollo adicional del principio de condensación permite que los programas geométricos manejen coeficientes negativos. Para ilustrar esto, un programa geométrico debe tener restricciones de la forma

donde es un posinomio. Si una restricción tiene coeficientes negativos, puede ser escrito

Una nueva variable puede ser añadida para formar

Dividiendo por xn+1 nos da

Esto es equivalente a dos restricciones

Haremos que sea un posinomio condensado Ahora

27

es una restricción estándar de la programación geométrica. Una selección de pesos, por lo tanto, dará un límite inferior en el problema original. El método general de condensación da un límite inferior en el problema original. La convergencia al óptimo no ha sido demostrada.

Note que la condensación de problemas con coeficientes negativos reduce el grado de dificultad por el número de términos condensados. Esta reducción puede eliminar la independencia de las variables primarias si el grado de dificultad es negativo. Cabe señalar que existen pesos que hacen que la restricción lineal resultante conjunto resulte inconsistente.

Maximización restringida de polinomios mediante la Programación Geométrica

Pascual y Ben-Israel (9) extendieron la programación geométrica a la maximización de una función objetivo posinomial sujeto a restricciones posinomiales. Este problema en una forma general es

Minimizar

Sujeto a

Sea T0 el número de términos en g0 (x) que forma un vector con T0 componentes

28

y

Usando la desigualdad geométrica, una nueva función objetivo

Satisface

El tratamiento anterior de… es la misma que la condensación de Duffin (2). El problema es esta ahora en forma de programación geométrica estándar. Añadiendo un índice m para cada término y exponente de los M + 1 polinomios, el dual puede escribirse como

Maximizar

Donde

Sujeto a restricciones lineales de igualdad

29

y las condiciones de no negatividad

Se ha demostrado (9) que el mínimo (máximo de del problema anterior), sujeto a las restricciones en el vector de , resuelve el problema original. Además, las siguientes relaciones tienen al óptimo:

y

Si

El cálculo de la óptimo utilizando este método se puede simplificar para dos casos especiales.

Caso A; no hay una solución única Esto ocurre cuando la matriz exponente es de rango m y si N = M + 1.

Caso B; para cualquier vector hay una solución única para... de las restricciones duales. Esto sucede si N = T0 = M = rango de A. En este caso, minimizar maximiza, se reduce a minimizar

30

Este método de cálculo se extiende a la programación geométrica a una clase más grande de problemas. La idea de minimizar la maximización se desarrolla más en el próximo capítulo.

Descomposición de los programas geométricos

Heyman y Avriel (7) han desarrollado un método de descomposición para una clase especial de problemas de programación geométricas. En muchos problemas de optimización, muchas variables aparecen en grupos distintos con pocas variables relativas a apareciendo en más de un grupo. Un ejemplo es la optimización de los objetivos de una empresa multiplanta. Sólo unas pocas variables de decisión se refieren al funcionamiento total y la mayoría de las variables se limitan a las decisiones relativas a una sola planta.

Una forma general de la clase de programas geométricos que puede ser resuelto por la descomposición es del tipo

Minimizar

sujeto a

donde z es un vector cuyas componentes son las variables de acoplamiento con el sistema principal y los subsistemas. es el posinomio que contiene los términos de la función objetivo con variables primarias contenidas en z. es un posinomio que contiene los términos de la función objetivo que tienen variables de acoplamiento z