organizaciones matemáticas locales - atd-tad.org · chevallard a finales de los años 1980;...
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Departamento de Matemática Aplicada I
Programa de doctorado Técnicas Matemáticas Avanzadas y sus Aplicaciones
UNIVERSIDADE DE VIGO
Organizaciones Matemáticas Locales
Relativamente Completas1
Catarina Oliveira Lucas
2009-2010
1 Versión preliminar de un trabajo cuya versión final está presente en:
Lucas, C. (2010). Organizaciones matemáticas locales relativamente completas (Memoria de
investigación, Diploma de Estudios Avanzados). Universidad de Vigo.
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Memoria para optar al Diploma de Estudios Avanzados presentada por
Catarina Oliveira Lucas dentro del programa de doctorado Técnicas
Matemáticas Avanzadas y sus Aplicaciones del Departamento de
Matemática Aplicada I de la Universidad de Vigo bajo la dirección
de los Profesor Cecilio Fonseca Bon y José Manuel Casas Mirás.
Fdo.: Catarina Lucas Fdo.: Cecilio Fonseca Bon; José Manuel Casas Mirás
Candidata Directores
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Índice
Introducción ........................................................................................................................ 9
Capítulo 1 .......................................................................................................................... 11
Elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico…………………………………………………………….11
1.1.Distintos enfoques ............................................................................................................ 13
1.1.1.Programa Cognitivo ................................................................................................... 15
1.2.Enfoque Epistemológico ................................................................................................... 17
1.3. El enfoque Antropológico en el programa epistemológico ............................................. 20
1.3.1. La noción de praxeología matemática ..................................................................... 22
1.3.2. Clases de praxeologías: estructuras de complejidad creciente ................................ 26
1.3.3. El proceso de estudio de una organización matemática: organizaciones didácticas y momentos de estudio ........................................................................................................ 29
1.3.4. Los niveles de codeterminación didáctica ................................................................ 34
1.3.5. La estructura de las OM. Dinámica de las organizaciones matemáticas ................. 36
Capítulo 2 .......................................................................................................................... 43
Incompletitud de las organizaciones matemáticas escolares ................................................. 43
2.1. La razón de ser de las matemáticas ................................................................................. 44
2.1.1. Un estudio con “sentido” en la Escuela .................................................................... 44
2.1.2. Fenómeno del autismo temático ............................................................................. 47
2.1.3. El fenómeno de la desarticulación de las matemáticas ........................................... 49
2.2. La rigidez y desarticulación de las praxeologías matemáticas de la Enseñanza Secundaria ................................................................................................................................................ 51
2.2.1. Incompletitud de las organizaciones matemáticas .................................................. 52
2.2.2. Conjetura general: incompletitud de las organizaciones locales escolares. ............ 54
2.2.3. Aspectos de la rigidez de las organizaciones matemáticas que se estudian en la Enseñanza Secundaria ........................................................................................................ 55
2.3. Formulación del problema de investigación .................................................................... 60
Capítulo 3 .......................................................................................................................... 63
Indicadores Empíricos: Aspectos de la rigidez de las Matemáticas en la Enseñanza Secundaria
......................................................................................................................................... 63
3.1. Diseños Curriculares ........................................................................................................ 65
3.1.1. Programa oficial del 3.º ciclo/ESO ............................................................................ 66
3.1.2. Programa oficial del Secundaria/Bachillerato .......................................................... 70
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3.2. Manuales escolares.......................................................................................................... 78
3.2.1. La selección ............................................................................................................... 80
3.2.2. Resultados obtenidos por conjeturas ....................................................................... 81
3.3. Primer estudio exploratorio ............................................................................................. 94
3.3.1. Descripción del primer cuestionario ........................................................................ 94
3.4. Segundo estudio exploratorio ......................................................................................... 95
3.4.1. Descripción del segundo cuestionario ...................................................................... 95
3.4.1.1.Presentación del cuestionario ................................................................................ 97
3.4.1.2. Agrupamiento de los ítems en conjeturas y bloques .......................................... 101
3.4.1.3. Descripción de la muestra ................................................................................... 106
3.4.2. Análisis de los resultados obtenidos por bloques .................................................. 109
3.4.3. Análisis de los resultados obtenidos por conjeturas .............................................. 161
3.4.4. Síntesis .................................................................................................................... 173
Capítulo 4 ........................................................................................................................ 177
Conclusiones. Problemas abiertos y perspectivas de investigación ...................................... 177
Referencias Bibliográficas ..................................................................................................... 187
Anexos ................................................................................................................................... 194
9
Introducción
La Educación Matemática es una referencia de supuestos empíricos cuya competencia
de estudio sugiere la compresión de la naturaleza del saber matemático en la actividad
escolar y la utilización de esa interpretación para gestionar los fenómenos de la
enseñanza y aprendizaje en el marco de las instituciones educativas. Al parecer, el
avance de su dinámica nos conduce hacia un progreso reticular de teorías, desarrollos
y praxis. De eso se trata, la Didáctica es de la experiencia, pero se concibe en la
subjetividad, vuelve a la experiencia para enriquecer a la reflexión, retroacciones cada
vez más complejas e inexorables; sin temor a la equivocación, es un continuo
conjetural que dibuja el equilibrio de la forma en Educación Matemática.
Desde hace algún tiempo venimos observando una gradual desmotivación y falta de
interés de los alumnos en estudiar las matemáticas o las áreas que requieran un fuerte
componente matemático. Además, desde los años noventa hay una grande
preocupación por la falta de vocaciones científicas en la mayoría de los países
desarrollados. En España, las carreras de ciencias exactas y las técnicas tienen 77 000
estudiantes menos que en 1997 – las primeras, que han perdido un tercio del
alumnado. Ya en bachillerato, si en 2000 la mitad de los alumnos estudiaban opciones
de ciencias (incluidas de la Salud) y tecnología, en 2008 eran el 45%.
También en Portugal, las Universidades e Institutos de las ciencias exactas y las
técnicas están preocupadas con los bajos resultados del alumnado en las Matemáticas,
como es el caso de la UTL- Universidad Técnica de Lisboa que reunió los Presidentes de
los Departamentos de Matemáticas de las diversas Escuelas de la UTL con la finalidad
de analizar el problema. Después de un análisis, la Comisión de Presidentes torna claro
que la principal causa de los bajos niveles reside en la disparidad entre la preparación
obtenida por la mayoría del alumnado en Secundaria y la preparación esperada de
eses alumnos por los profesores universitarios. Sin embargo, creen no es posible la
alteración profunda de los contenidos de las matemáticas en las Universidades, ya que,
exigiría una gran diminución de la preparación básica en las matemáticas de la
Universidad, incompatible con las necesidades de los cursos de especialidad de los
10
últimos años. Por otro lado, surgió la propuesta de intervención de la Universidad en la
reestructuración curricular de la Enseñanza Secundaria y lo establecimiento de un
programa para este nivel ajustado a la Enseñanza Universitaria.
Pretendemos estudiar lo Problema de Investigación Docente en la Matemática
Institucional que consiste en la desaparición de la razón de ser de los contenidos que
constituyen el programa oficial de la Enseñanza Secundaria, la ausencia de conexión
entre elles, la falta de interdisciplinaridad, la inexistencia de momentos de
cuestionamiento y justificación de las técnicas utilizadas. Los factores referidos tienen
venido a provocar una rigidez y atomización de las matemáticas.
Para estudiar este Problema Docente sentimos la necesidad de recurrir a un modelo
teórico. Días históricos, dan cuenta de las tendencias en Educación Matemática. Entre
sus manifestaciones culturales, brota la Teoría Antropológica de lo Didáctico cuyo
objeto primario de investigación es el análisis de la actividad escolar matemática con
sus relaciones humanas e enmarcadas en ciertas instituciones sociales.
De acuerdo con este modelo teórico efectuamos estudios exploratorios en los diseños
curriculares, los libros de texto de las Matemáticas e analizamos los resultados
obtenidos con la aplicación de cuestionarios a una muestra de estudiantes de Portugal
y España.
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Capítulo 1
Elementos de la Teoría Antropológica de lo
Didáctico
12
13
La Teoría Antropológica de lo Didáctico fue iniciada por el investigador francés Yves
Chevallard a finales de los años 1980; básicamente es una posición de estudio cuyo eje
central es el hombre aprendiendo y enseñando la Estructura Matemática a través de
las relaciones humanas frente a la relatividad del saber científico con respecto a las
instituciones sociales. En lugar de plantear los problemas de enseñanza y aprendizaje
en términos de qué hacer para que tal o cual noción, actividad o problemática puedan
enseñarse o aprenderse mejor y, en consecuencia, investigar las dificultades que
surgen en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas buscando la
manera de superarlas, la TAD se pregunta cuáles son las condiciones que permiten,
facilitan o favorecen que determinadas actividades matemáticas y didácticas puedan
desarrollarse (existir, tener lugar, o “vivir”) en un determinado entorno institucional (la
escuela primaria, la escuela secundaria, la universidad, un entorno profesional
determinado o la sociedad en general) y cuáles son las restricciones que dificultan,
entorpecen o incluso impiden la puesta en práctica de estas actividades.
A lo largo del tiempo números trabajos, tesis y proyectos de investigación fueron
desarrollados en el ámbito de esta teoría.
1.1. Distintos enfoques
Tradicionalmente se consideraba que la enseñanza de las matemáticas era un arte y,
en consecuencia, difícilmente susceptible de ser analizado, controlado y sometido a las
reglas de la práctica científica. Esta forma de considerar la enseñanza y el aprendizaje
de las matemáticas fue evolucionando a medida que aumentaba el interés por explicar
los fenómenos didácticos. Desde los inicios de la didáctica de las matemáticas como
disciplina científica, se fue consolidando lo que Guy Brousseau (1986) llamó el enfoque
clásico en didáctica de las matemáticas. Este autor caracterizó esta primera
aproximación como aquella que postula que la actividad cognitiva del sujeto juega un
papel esencial y que puede ser descrita y explicada de manera relativamente
independiente de los otros aspectos de la relación didáctica. Se considera así que el
aprendizaje en general, y el de las matemáticas en particular, es un proceso
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psicocognitivo fuertemente influenciado por factores motivacionales, afectivos y
sociales. En Gascón (1998) encontramos enunciadas dos características generales de
este enfoque:
(a) Toma como problemática didáctica una ampliación bastante limitada de la
problemática espontánea del profesor. Esto significa que recoge, reformula, amplia y
sintetiza las cuestiones que constituyen inicialmente la problemática docente del
profesor, que acostumbran a estar muy condicionadas por las ideas dominantes en la
cultura escolar.
(b) Presenta el saber didáctico como un saber técnico, en el sentido de aplicación de
otros saberes fundamentales importantes de otras disciplinas, como la psicología, la
pedagogía, las ciencias cognitivas, etc.
Desde el punto de vista clásico, la didáctica de las matemáticas tiene como objetivo
principal proporcionar al profesor los recursos profesionales que éste necesita para
desarrollar su tarea profesional de la forma más satisfactoria posible y, en último
extremo, conseguir que el proceso de enseñanza obtenga unos resultados óptimos en
términos de aprendizaje de los alumnos.
En esta primera etapa, se pueden distinguir dos enfoques sucesivos en el desarrollo de
la problemática didáctica.
- El primero está centrado en el aprendizaje del alumno y su objeto primario de
investigación es el conocimiento matemático del alumno y su evolución. En
este caso delega explícitamente a la psicología la fundamentación científica de
la didáctica.
- El segundo enfoque amplia la problemática didáctica introduciendo cuestiones
relativas al profesor y a su formación profesional. El objeto primario de
investigación es, por tanto, la actividad y el pensamiento del profesor. En este
caso, se necesita una base multidisciplinar mucho más amplia que incluya,
entre otras cosas, la psicología educativa, la sociología y la epistemología de las
matemáticas para poder fundamentar la investigación.
Lo que caracteriza el enfoque clásico en didáctica de las matemáticas es la suposición
acrítica de que los saberes matemáticos no son problemáticos y que los saberes que se
utilizan para describir e interpretar los hechos didácticos no forman parte de la
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problemática didáctica que se plantea: estos saberes pueden ser “aplicados” pero no
pueden ser modificados como consecuencia de esta aplicación. (Barquero, 2009)
1.1.1. Programa Cognitivo
El cuestionamiento de la transparencia de lo “matemático” y la asunción inequívoca de
que el misterio está, en primer lugar, en las propias matemáticas constituye,
precisamente, el nacimiento del Programa Epistemológico y comporta que se tome la
actividad matemática como objeto primario de estudio, como nueva “puerta de
entrada” del análisis didáctico.
Una de las consecuencias de la juventud de la didáctica de las matemáticas como
disciplina científica es la falta de uniformidad respecto a las cuestiones problemáticas
que se deben tratar frente a la diversidad de marcos teóricos que conviven o coexisten
actualmente.
Según Gascón (1999), superada la etapa pre-científica, centrada en la problemática
espontánea de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, en la que los
problemas didácticos se formulan en términos de las “ideas dominantes” de la
institución didáctica, es posible distinguir dos programas de investigación en Didáctica
de la Matemática: el programa cognitivo y el programa epistemológico.
En el Programa Cognitivo se presupone de forma implícita que todo fenómeno
relativo a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas es reductible en última
instancia a determinados fenómenos cognitivos (en el sentido amplio de psico-
socio-lingüísticos). Su objeto primario de investigación lo constituye la actividad
cognitiva del sujeto (Bolea, 2002).
El Programa Epistemológico cuestiona y amplia radicalmente lo considerado
tradicionalmente como “matemático”. De modo que se cambia el problema
didáctico de caracterizar los conocimientos y las concepciones del profesor y la
incidencia de éstos sobre las prácticas docentes y sobre el aprendizaje
16
matemático de los alumnos por un nuevo problema didáctico que no se reduce
únicamente al ámbito de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
Históricamente la evolución inicial del programa cognitivo estuvo condicionada
explícitamente por limitaciones claras de la noción general de aprendizaje humano y
de los medios que estaban a disposición de los investigadores para describir el
conocimiento matemático del alumno. El primer punto de inflexión surgió en el ámbito
del International Group of the Psychology of Mathematics (PME) Education (Bauersfeld
& Skowronek, 1976), donde se reivindicó la necesidad de tomar en consideración un
tipo de aprendizaje específicamente matemático. Los investigadores de este grupo
comenzaron a tomar como nuevos objetos primarios de investigación los procesos
cognitivos relativos al aprendizaje matemático y empezaron a construir instrumentos
metodológicos para poder describir estos procesos. Cabe decir que, en la mayoría de
las investigaciones enmarcadas en este enfoque, no se realiza un cuestionamiento del
modelo epistemológico general de las matemáticas que se asume implícitamente.
Así, el Programa Cognitivo representa el primer análisis sistemático de los hechos
didácticos y se caracteriza por:
- Considerar el aprendizaje de las matemáticas como un proceso psicocognitivo,
fuertemente influenciado por factores motivacionales, afectivos y sociales.
- Su objeto primario de investigación está constituido por los procesos cognitivos
relativos a los conocimientos matemáticos del sujeto.
- Asume, o cuando menos no cuestiona abiertamente, el modelo epistemológico
de las matemáticas dominante en las instituciones escolares.
- Ignora la relatividad institucional del conocimiento matemático.
Un ejemplo de una problematización que se produce desde dos perspectivas
diferentes (García, 2005):
- Problematización epistemológica: necesidad de problematizar las características de
las “situaciones reales” que permitan el desarrollo de un proceso de modelización con
fines didácticos (cuestionamiento de que las “situaciones reales”, por sí solas, posean
propiedades didácticas).
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- Problematización cognitiva: necesidad de profundizar en el conocimiento de los
procesos cognitivos activados por los estudiantes en la realización de tareas de
modelización y de aplicaciones.
1.2. Enfoque Epistemológico
De manera contemporánea al enfoque cognitivo en didáctica, surgió un nuevo punto
de vista cuando Guy Brousseau, con las primeras formulaciones de la Teoría de
Situaciones Didácticas en los años 70 (Brousseau, 1972), intuyó la necesidad, para la
didáctica, de crear un modelo propio, explícito y contrastable de la actividad
matemática que no la reduzca al estudio de los procesos cognitivos de los alumnos.
Este es el origen de lo que Brousseau denominó epistemología experimental o
didáctica fundamental (Brousseau, 1986).
El Programa Epistemológico ha ampliado su perspectiva y considera la Didáctica de la
Matemática como la ciencia del estudio de las condiciones de la producción y la
difusión de saberes útiles a la sociedad y a las necesidades del hombre (Brousseau,
1995).
Con la emergencia de la didáctica fundamental en los años ochenta, a partir de los
trabajos de Brousseau (1986) se postula que el objeto de la didáctica no es el estudio
de los procesos cognitivos de los estudiantes en el aprendizaje de un concepto, ni
tampoco la problemática del profesor con la enseñanza de este concepto, sino la
situación didáctica mediante la cual uno o varios alumnos consiguen apropiarse de un
saber matemático específico ya construido o en vías de construcción. Se pasa así a
considerar el proceso de enseñanza-aprendizaje en un entorno, en situación,
entendiéndose por situación el conjunto de relaciones establecidas explícita o
implícitamente entre los diversos elementos que la componen: el alumno o el grupo
de alumnos, el medio, entendido como el conjunto de objetos e instrumentos sin
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intención didáctica, y el de los profesores, portadores ellos sí de la intención de hacer
que el grupo de alumnos se apropie de un saber matemático.
El supuesto de que el profesor puede influir directamente sobre el aprendizaje de sus
estudiantes se ve claramente cuestionado, al reconocer que este no actúa, ni de hecho
puede actuar, de forma autónoma, sino que se encuentra sometido a un conjunto de
restricciones impuestas tanto desde la institución didáctica en la que se sitúa, como de
la propia actividad matemática. (García, 2005)
El nacimiento de la Teoría de Situaciones Didácticas provocó un cambio radical en la
concepción de la naturaleza de las matemáticas y de la didáctica de las matemáticas
como disciplina. La principal revolución fue postular la necesidad de una modelización
explícita y contrastable del saber matemático. O dicho de forma más simplificada,
ahora los alumnos y el profesor pasan a un segundo plano, para que la didáctica pueda
centrarse en el estudio de las condiciones de difusión del conocimiento matemático.
En términos generales, podemos decir que, en toda problemática didáctica existen
siempre, aunque algunas veces de forma implícita, tres componentes fundamentales:
1. una institución didáctica donde se formula el problema didáctico en cuestión;
2. un contenido matemático específico (por ejemplo: la derivada);
3. un proceso de enseñanza-aprendizaje relativo al contenido matemático (en el caso
de la derivada puede ser un proceso algébrico, geométrico, construido a partir del
límite, de la velocidad, etc.)
Según Chevallard (1998, p. 15): “El didacta de las matemáticas se interesa en el juego
que se realiza (…) entre un docente, los alumnos y un saber matemático. Tres lugares,
pues: es el sistema didáctico”.
“Lo didáctico deja de ser exclusivo del proceso de enseñanza-aprendizaje para
referirse a cualquiera de los aspectos del proceso de estudio. La didáctica de las
matemáticas se convierte, en definitiva, en la ciencia del estudio y de la ayuda al
estudio de las matemáticas” (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, p. 76).
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El enfoque antropológico adopta un punto de vista institucional, inscribiendo la
problemática didáctica dentro del marco antropológico general de las prácticas y
actividades humanas.
Así, la ampliación clave formulada por la didáctica fundamental fue el postulado de
Brousseau (1986) que refiere que todo fenómeno didáctico tiene un componente
matemático esencial, lo cual comporta la problematización del conocimiento
matemático y la necesidad de elaborar modelos epistemológicos de este conocimiento
por parte de la didáctica. De aquí que la didáctica fundamental también sea conocida
como aproximación epistemológica o programa epistemológico en didáctica de las
matemáticas, en contraposición al programa cognitivo que citábamos anteriormente.
(Barquero, 2009)
Dentro del Programa Epistemológico es posible identificar diferentes teorías didácticas
(Teoría de las Situaciones Didácticas, Teoría Ontológico-Semiótica, Teoría
Antropológica de lo Didáctico), que comparten su núcleo firme y, en gran parte, su
heurística positiva, pero que, en estos momentos, aún están en proceso de
elaboración y de articulación. Situamos nuestra investigación en la Teoría
Antropológica de lo Didáctico (TAD) dentro del Programa Epistemológico de
investigación en didáctica de las matemáticas, cuya emergencia ha provocado la
necesidad de considerar la actividad matemática institucionalizada como objeto
primario de investigación y ha supuesto la necesidad de construir, desde la propia
didáctica, modelos epistemológicos de esta actividad matemática institucional.
20
1.3. El enfoque Antropológico en el programa
epistemológico
Dado que la Teoría de Situaciones Didácticas plantea la necesidad, para la didáctica, de
redefinir los conocimientos matemáticos que son objeto de enseñanza y aprendizaje,
surgió la necesidad de incluir en la problemática didáctica un macroanálisis que
englobara el carácter institucional tanto de las prácticas de enseñanza y aprendizaje
que se desarrollan en el interior del sistema didáctico, como el de las mismas prácticas
matemáticas que se tratan de enseñar y aprender y que no se circunscriben en el
marco escolar. Se pone de manifiesto entonces, la necesidad de estudiar las
condiciones de creación y difusión del conocimiento matemático en las diferentes
instituciones sociales, desde las que son productoras y creadoras de conocimiento,
hasta las que lo utilizan como instrumento, pasando por las instituciones más
propiamente didácticas, es decir, centradas en el estudio de las matemáticas.
Esta ampliación del objeto de estudio de la didáctica que va más allá de las prácticas
estrictamente escolares es el punto de partida del llamado enfoque antropológico
inaugurado por Yves Chevallard (1992 y 1999). Este enfoque nace con las primeras
teorizaciones del proceso de transposición didáctica (Chevallard, 1985a), que ponen de
manifiesto que no es posible interpretar la matemática ni la actividad matemática que
se estudia en la escuela sin tomar en consideración el estudio de fenómenos
relacionados con los procesos de (re)construcción de las matemáticas que tienen el
origen en la institución productora de los saberes matemáticos.
En el ámbito del Programa Epistemológico de Investigación en didáctica de las
matemáticas nace un modelo teórico que consiste en cuestionar y reformular
nociones, métodos y procesos, que se designa por la Teoría Antropológica de lo
Didáctico.
A pesar de la complejidad del problema de la Educación Matemática, postulamos que
para resolverlo se requerirá un enfoque unitario, esto es, unos principios básicos que
21
permitan reformular y abordar todos los aspectos del problema. El enfoque unitario en
el que nos situaremos es el que proporciona el Programa Epistemológico de
Investigación en didáctica de las matemáticas y, más específicamente, la Teoría
Antropológica de lo Didáctico.
Podemos considerar que la Didáctica de las Matemáticas surge ante el fracaso de la
Pedagogía para dar respuesta a los problemas de la enseñanza de las Matemáticas,
partiendo del postulado de la necesidad de hacerse cargo, de forma integrada, de lo
“pedagógico” y lo “matemático”.
Esta ruptura con la Pedagogía fue la que permitió que emergiera la Didáctica de las
Matemáticas como nueva disciplina.
Históricamente esta ruptura se origina en el ámbito de lo que se considera el Enfoque
Cognitivo en Didáctica de las Matemáticas (Gascón 1998), cuya forma de integrar lo
“pedagógico” y lo “matemático” se realiza a través del estudio de las “concepciones”
de los sujetos de la institución escolar. En una primera etapa, las investigaciones se
centraron en el estudio de las concepciones de los alumnos.
En la mayoría de las investigaciones no se realiza un cuestionamiento profundo del
modelo epistemológico que se asume, el cual, considerado como perteneciente a la
institución matemática, se supone que escapa del control del didacta. El estudio de las
condiciones de creación y difusión del conocimiento matemático incluye la institución
matemática “sabia”, en la que la didáctica clásica renuncia intervenir.
La Teoría de la Transposición Didáctica distingue diferentes tipos de “saberes” o
“regímenes epistemológicos” de las matemáticas según si se considera:
el saber matemático “original” o “sabio”, tal como lo producen los
matemáticos y otros investigadores;
el saber matemático “a enseñar” tal como se designa oficialmente en los
programas y libros o tratados por la enseñanza;
el saber matemático tal como es realmente enseñado por los profesores en el
aula;
el saber matemático “aprendido” en el sentido de “disponible” para los
alumnos al final de los procesos de aprendizaje
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Las nociones de “saber sabio”, “saber a enseñar”, “saber enseñado” permiten poner en
evidencia, de un lado, la distancia que existe entre el saber matemático “producido por
los matemáticos” y la porción de saber matemático propuesto para ser estudiando en
una institución didáctica concreta y, de otro lado, la distancia entre este saber que ha
sido designado como el que se tiene que enseñar y el que realmente es implementado
en clase.
Una vez puesto en evidencia el proceso de transposición didáctica, con la consecuente
ampliación del objeto de estudio de la didáctica que esto supone, aparece la necesidad
de un modelo epistemológico lo suficientemente rico para poder describir el saber
matemático tanto si se sitúa en la institución “sabia” como si se trata de la práctica de
un estudiante universitario o de un alumno de primaria. (Barquero, 2009)
1.3.1. La noción de praxeología matemática
Con el objetivo de encontrar la modelización explícita y contrastable de la actividad
matemática, considerada dentro del conjunto de actividades humanas que se llevan a
cabo en las diferentes instituciones sociales, Chevallard introdujo a mediados de los
años 90 la noción de praxeología u organización matemática (OM) que es una de las
nociones clave de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 1996, 1999,
2002a y 2002b).
Uno de los postulados básicos de esta teoría consiste en considerar la actividad
matemática como una actividad humana más, por ello introduce la noción de
praxeología, negando la visión particularista del mundo social e incluyendo la actividad
matemática dentro de un modelo más amplio de actividad humana:
23
“toute activité humaine régulièrement accomplie peut être subsumée sous un modèle
unique, que résume ici le mot de praxéologie” (Chevallard, 1999, p. 223).
La noción de praxeología permite considerar al mismo tiempo y, atribuyéndoles
importancia equivalente, tanto la dimensión teórica como la dimensión práctica del
saber. En un artículo reciente Chevallard lo expone en los términos siguientes:
Una praxeología es, de algún modo, la unidad básica en que uno puede analizar la acción humana en general. [...] ¿Qué es exactamente una praxeología? Podemos confiar en la etimología para guiarnos aquí –uno puede analizar cualquier acto humano en dos componentes principales interrelacionados: praxis, i.e. la parte práctica, por un lado, y el logos, por el otro. “Logos” es una palabra griega que, desde los tiempos pre-Socráticos, ha sido utilizada constantemente para hacer referencia al pensamiento y razonamiento humano – particularmente sobre el cosmos. [...] [De acuerdo con] un principio fundamental de la TAD – la teoría antropológica de lo didáctico-, no pueden existir acciones humanas sin ser, al menos parcialmente, “explicadas”, hechas “inteligibles”, “justificadas”, “contabilizadas”, en cualquier estilo de “razonamiento” que pueda abrazar dicha explicación o justificación. La praxis, por tanto, implica el logos que, a su vez, implica volver a la praxis. En efecto, toda praxis requiere un apoyo en el logos porque, a la larga, ningún quehacer humano permanece sin cuestionar. Por supuesto, una praxeología podría ser deficiente, por ejemplo porque su “praxis” se compone de una técnica ineficaz –“técnica” es aquí la palabra oficial para designar una “forma de hacer”– y su componente “logos” consta casi completamente de puro sinsentido –¡al menos desde el punto de vista del praxeólogo!. Chevallard (2007) La noción de praxeología o de organización matemática (OM) constituye así la
herramienta fundamental para modelizar la actividad matemática, como una actividad
humana más, que se propone desde la TAD.
Como toda obra humana, una OM surge como respuesta a un conjunto de cuestiones y
como medio para llevar a cabo, en el seno de cierta institución, determinadas tareas
problemáticas. Más precisamente, las OM son el resultado final de una actividad
matemática que, como en toda actividad humana, concisamente, es posible distinguir
dos aspectos inseparables:
- El nivel de la práctica o praxis o del “saber hacer”, que engloba un cierto tipo
de problemas y cuestiones que se estudian, así como las técnicas para
resolverlos. Consta de tipos de tareas o de problemas y de técnicas o maneras
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de hacer sistemáticas y compartidas, en cierta institución, que son útiles para
realizar las tareas. Este primer bloque se denomina bloque práctico-técnico. Las
tareas o tipos de tareas no son datos que nos proporciona la naturaleza, éstos
son “obras” que provienen de cierta construcción institucional y cuya
reconstrucción en cierta institución es un objeto de estudio de la didáctica. Lo
mismo puede decirse del resto de componentes de las praxeologías.
- El nivel del logos o del “saber”, en el que se sitúan los discursos razonados
sobre la práctica que describen, explican y justifican las técnicas que se utiliza, y
que recibe el nombre de tecnología. Dentro del “saber” se postula un segundo
nivel de descripción-explicación-justificación que se denomina teoría.
Desarrollando un papel similar que la tecnología hace para las técnicas, la ahora
llamada teoría lo hace para la tecnología.
Las tareas problemáticas o cuestiones asociadas a una OM acaban cristalizando en uno
o más tipo de problemas, generados por el desarrollo de la actividad matemática del
estudio de las cuestiones iniciales. En general, podemos decir que si un tipo de
problemas es considerado en cierta institución es porque en Ia institución existe una
técnica matemática que permite, no sólo resolver estos problemas, sino también
generar muchos más problemas del mismo tipo.
Es muy habitual que una institución, en relación a cierto tipo de tarea, reconozca una
sola técnica (técnica canónica), o un pequeño número de procesos, y excluya técnicas
alternativas que pueden existir en otras instituciones. Esta exclusión tiene relación con
la ilusión de “naturalidad” de las técnicas institucionales. Ninguna técnica puede vivir
con normalidad en una institución si no aparece como una manera de hacer o
proceder correcta, comprensible y justificada.
Por lo tanto, la existencia de una técnica supone que existe en su entorno un discurso
interpretativo y justificativo de la técnica, que es lo que llamamos una tecnología.
Además de justificar la técnica y hacerla inteligible, la tecnología tiene la función de
aportar elementos para modificar la técnica con la finalidad de ampliar su alcance y, lo
que es más importante, hacer posible la producción de nuevas técnicas. También
forman parte de la tecnología asociada a una técnica las proposiciones que describen
25
su alcance, su relación con otras técnicas, las posibles generalizaciones y las causas de
sus limitaciones.
Denominamos teoría (asociada a una tecnología) a la tecnología de esta tecnología. La
decisión de tomar dos niveles de interpretación-justificación es, obviamente, una
decisión metodológica relativamente arbitraria y basada en un principio de
“economía” de los términos teóricos.
Las nociones introducidas son relativas a la institución de referencia así, por ejemplo,
una determinada técnica matemática utilizada en la universidad, no tiene porqué vivir
en secundaria. Las nociones también son relativas a la función que desarrollan como
objetos matemáticos en una actividad matemática determinada. Un ejemplo sería el
de la regla de l’Hôpital que puede ser justificación en Secundaria de una técnica de
cálculo de límites (función tecnológica) o bien formar parte de una tarea matemática
en la universidad, como por ejemplo la que requiere justificar su aplicación bajo ciertas
condiciones.
Esta descripción de los componentes de una OM pone de manifiesto que, lejos de ser
independientes, estos componentes están fuertemente relacionados entre sí. Con ello
queremos decir que, por ejemplo, el desarrollo de las técnicas genera nuevos tipos de
problemas y provoca nuevas necesidades tecnológicas, o más en general, el bloque
práctico-técnico no puede vivir aisladamente en una institución, requerirá la existencia
del “discurso racional” que justifique la técnica y muestre su pertinencia para llevar a
cabo el tipo de tareas.
El sistema formado por estos dos bloques, o cuatro componentes, constituye una
praxeología (organización) matemática que consideramos la unidad mínima en que
puede ser descrita la actividad matemática, como sugiere el esquema que se sigue:
Componentes Bloque
tarea práctico-técnico Saber hacer
técnica
tecnología tecnológico-teórico Saber
teoría
Tabla 1 – Componentes de una praxeología u organización matemática (OM)
26
1.3.2. Clases de praxeologías: estructuras de complejidad
creciente
Posteriormente, con el objetivo de tener herramientas más precisas para analizar los
procesos didácticos institucionales, Chevallard (1999) introdujo la distinción entre
diferentes tipos de praxeologías según el grado de complejidad de sus componentes:
- Praxeologías puntuales (u organizaciones matemáticas puntuales – OMP), si están
generadas por lo que se considera en la institución como un único tipo de tareas. Esta
noción es relativa a la institución considerada y está definida, en principio, a partir del
bloque práctico-técnico. En este primer tipo de organización los tipos de problemas y
las técnicas tienen un claro papel predominante. De hecho raramente se encuentran
las praxeologías puntuales ya que generalmente, una teoría responde a varias
tecnologías, cada una de las cuales a su vez justifica y hace inteligible varias técnicas
correspondientes a varias tipos de tareas. Las praxeologías puntuales irán así
combinándose integrando cada vez una estructura más compleja y relativamente más
completa de sus componentes.
- Praxeologías locales, resultado de la integración de diversas praxeologías puntuales.
Esta integración comporta que el discurso tecnológico asuma protagonismo, ya que
algunas técnicas pierden el carácter auto-tecnológico. Cada praxeología local está
caracterizada por una tecnología, que sirve para justificar, explicar, relacionar entre sí y
producir las técnicas de todas las praxeologías puntuales que la integran. En general,
las praxeologías puntuales se integran en praxeologías locales para poder dar
respuesta a cuestiones problemáticas que no podían ser resueltas con ninguna de las
praxeologías puntuales de partida.
- Praxeologías regionales, se obtienen mediante la coordinación, articulación y
posterior integración, alrededor de una teoría matemática común, de diversas
praxeologías locales. Esta integración comporta que el discurso teórico tome el papel
central. La reconstrucción institucional de una teoría matemática requiere elaborar un
27
lenguaje común que permita describir, interpretar, relacionar, justificar y producir las
diferentes tecnologías de las praxeologías locales que integran la praxeología regional.
- Praxeologías globales, que surgen agregando varias praxeologías regionales a partir
de la integración de diferentes teorías.
Podemos citar muchos ejemplos de OMP concretas que viven en Secundaria, tantos
como tipos de tareas: descomponer en factores un polinomio con raíces enteras;
resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas; determinar la
ecuación de una recta dada por un punto y un vector director; etc. Pero para describir
adecuadamente cada una de las OMP citadas, deberíamos detallar con cierta precisión
el tipo exacto de tareas que estamos considerando y las pequeñas variaciones de la
técnica que se consideran en la institución de referencia como una “misma técnica”.
Incluso sería preciso especificar en qué punto una determinada variación de una
técnica concreta ya no puede ser considerada por la institución de referencia como la
“misma” técnica y, por tanto, cuáles son las nuevas OMP que aparecen y cuál es su
relación con la OMP inicial. También habría que describir los elementos tecnológicos
que permitirían describir e interpretar dicha actividad matemática (aunque queden
implícitos) y hasta la teoría que constituye el horizonte en el que podría situarse.
(Fonseca, 2004)
Ya hemos dicho que una OML permite plantear y resolver problemas (o, al menos,
responder ante ellos) que en las OMP iniciales no podían formularse con toda
propiedad. Resulta, por tanto, que estas nuevas cuestiones problemáticas deberían
constituir la “razón de ser” que dan sentido a la OML. Pero, paradójicamente, en
determinadas instituciones matemáticas se produce el siguiente fenómeno: a medida
que las OMP se integran para constituir organizaciones más complejas (locales,
regionales y globales), la relación entre la cuestión y la respuesta tiende a invertirse
hasta el punto que las razones de ser de la OM (o conjunto de cuestiones
problemáticas que le dan sentido porque son las cuestiones a las que ésta responde)
tienen tendencia a desaparecer (Chevallard, 1999). Entre los múltiples ejemplos de
este fenómeno podemos citar el caso de la geometría en la enseñanza secundaria
española. En efecto, aunque la problemática de la geometría sintética que se estudia
28
en la enseñanza secundaria obligatoria en España (de 12 a 16 años) podría dar sentido
a la geometría analítica que se estudia en el Bachillerato (de 16 a 18 años) –puesto que
las técnicas analíticas permiten resolver muchas de las cuestiones geométricas que no
podían abordarse con las técnicas sintéticas– lo cierto es que la geometría analítica se
presenta de una forma completamente desconectada de la problemática de la
geometría sintética que, en el Bachillerato, ya ha desaparecido completamente
(Gascón, 2002).
De la misma forma que era fácil citar ejemplos de etiquetas que aluden a OMP
concretas, también es relativamente sencillo citar mediante etiquetas ejemplos de
OMR específicas. En efecto, para hacer referencia a una OMR bastará citar la teoría
matemática común que sirve, en cada caso, para unificarla. En la actual Enseñanza
Universitaria, por ejemplo, podemos encontrar etiquetas que, aunque con diferente
grado de generalidad, hacen referencia a teorías matemáticas que proporcionan un
lenguaje común para determinadas OMR. Entre éstas podemos citar: la teoría de
Galois; la teoría de ecuaciones diferenciales lineales; el álgebra lineal; la teoría de la
medida; la teoría de funciones analíticas y la teoría de los grupos de Lie, entre otras
muchas. Pero, de nuevo, hay que reconocer que para describir adecuadamente una
OMR sería preciso describir, además de la teoría unificadora, las OML que la integran,
las relaciones que se establecen entre dichas OML constituyentes y las nuevas
cuestiones problemáticas que pueden abordarse en la OMR final y que no podían
abordarse en ninguna de las OML iniciales. (Fonseca, 2004)
29
1.3.3. El proceso de estudio de una organización matemática:
organizaciones didácticas y momentos de estudio
En la sociedad constantemente aparecen situaciones que requieren una respuesta por
parte del individuo y, sobre todo, por parte de las instituciones que estructuran la
sociedad. Puede haber una simple demanda de información o una cuestión en sentido
débil frente a la cual la persona conoce la respuesta o la puede conocer fácilmente.
Pero la situación cambia cuando aparecen cuestiones frente a las que la persona no
conoce su respuesta, es decir, no dispone de ninguna técnica conocida para abordar la
cuestión, entonces esta situación se transforma en problemática y puede dar origen a
una cuestión en sentido fuerte. En este caso la respuesta que buscamos no es una
simple información, sino que para poder responder eficientemente será necesaria la
elaboración de una técnica y, más concretamente, de una praxeología completa
relativa al tipo de problema planteado. Así que el estudio de cuestiones en sentido
fuerte requerirá la creación o construcción de respuestas en sentido fuerte, es decir, la
construcción de toda una nueva organización praxeológica.
Se podría imaginar un mundo o realidad institucional en la que las actividades
humanas estuviesen regidas por praxeologías bien adaptadas que permitiesen realizar
de forma “instantánea” las tareas que fueron surgiendo, pero esta realidad no existe,
las instituciones son recorridas por una dinámica praxeológica que resulta de un
trabajo complejo y continuo en las instituciones. Constantemente, en el universo de
las tareas a realizar en una institución, surgen tareas problemáticas que requerirán la
producción o reproducción de nuevas praxeologías que, en la medida que ya existan
en otra institución, se podrá proponer importarlas.
Cuando una comunidad X, que se propone estudiar una cierta cuestión problemática Q
relativa a cierto tipo de tarea T, forma lo que se denomina un sistema de estudio o
sistema didáctico, denotado por S(X; QT). En la mayoría de los procesos de estudio,
aparece la figura del ayudante al estudio o director de estudio (Y) y el sistema didáctico
se designará entonces por S(X; Y; QT). Se entra así en la dimensión específica de la
didáctica.
30
En el desarrollo y análisis de la actividad matemática, aparecen dos aspectos
inseparables: por un lado, la obra matemática que puede construirse a partir del
estudio de las cuestiones problemáticas y, por otro lado, la manera en que puede ser
construida la obra matemática, es decir, la manera en que puede organizarse el
proceso de estudio de las cuestiones.
El primer aspecto (el producto) es de hecho el resultado de la construcción, es decir, la
praxeología o organización matemática (OM).
El segundo aspecto es el proceso de estudio y construcción, lo que se denominará
organización didáctica (OD).
Se trata, en efecto, de dos aspectos inseparables porque no hay organizaciones
matemáticas sin un proceso de estudio que las genere, pero tampoco hay un proceso
de estudio sin organizaciones matemáticas en construcción.
Como en toda organización praxeológica, una OD se articula en tipos de tareas,
técnicas, tecnologías y teorías que, en este caso, se denominan didácticas, pero ¿cómo
se describe dicha organización? La consideración de diversos procesos de estudio
permite detectar varios aspectos o tipos de situaciones que necesariamente están
presentes en todos ellos, es decir, dimensiones que estructuran cualquier proceso de
elaboración matemática independientemente de las características culturales, sociales,
individuales, etc. Denominaremos a este tipo de aspectos con la noción de momentos
de estudio o momentos didácticos.
Chevallard (1999) postula que el proceso de estudio se sitúa en un espacio
determinado por seis momentos didácticos, sin presuponer una estructura lineal de los
procesos de estudio. Cada momento puede ser vivido con diferentes intensidades, en
tiempos diversos, tantas veces como se necesite a lo largo del proceso de estudio e
incluso es habitual que algunos de ellos aparezcan simultáneamente. Lo que sí es
importante destacar es que cada uno de los seis momentos de estudio tiene una
función específica necesaria para llevar a cabo correctamente el proceso y que existe
una dinámica interna global que se manifieste en el carácter invariante de ciertas
relaciones entre los citados momentos.
31
Los seis momentos didácticos pueden ser descritos mediante las siguientes etiquetas:
el momento del primer encuentro, el momento exploratorio, el momento del trabajo de
la técnica, el momento tecnológico-teórico, el momento de la institucionalización y el
momento de la evaluación.
En 1999, Chevallard (pp. 249-255), describe los seis momentos del estudio de una
organización praxeológica O en los términos siguientes:
1. El primer momento de estudio es el del primer encuentro con la organización O
que está en juego. Un tal encuentro puede tener lugar de varias maneras, pero
un modo de encuentro (o de reencuentro) inevitable, a menos que uno se
quede en la superficie de la obra O, es el que consiste en encontrar O a través
de al menos uno de los tipos de tareas constitutivas de O. Este primer
encuentro con el tipo de tareas puede a su vez tener lugar en varias veces, en
función sobre todo de los entornos matemáticos y didácticos en los que se
produce: se puede volver a descubrir un tipo de tareas como se vuelve a
descubrir una persona que se creía conocer.
2. El segundo momento es el de la exploración de un tipo de tareas y de la
elaboración de una técnica relativa a este tipo de tareas. En realidad, el estudio
y la resolución de un problema de un tipo determinado va siempre a la par con
la constitución de al menos un embrión de técnica, a partir de la cual una
técnica más desarrollada podrá eventualmente emerger. El estudio de un
problema particular, espécimen de un tipo estudiado, aparecería así, no como
un fin en sí mismo, sino como un medio para la constitución de una técnica de
resolución. Se trama así una dialéctica fundamental: estudiar problemas es un
medio que permite crear y poner en marcha una técnica relativa a los
problemas de un mismo tipo, técnica que será a continuación el medio para
resolver de manera casi rutinaria los problemas de este tipo.
3. El tercer momento del estudio es el de la constitución del entorno tecnológico-
teórico. De una manera general, este momento está en interrelación estrecha
con cada uno de los otros momentos. Así, desde el primer encuentro con el
tipo de tareas, se establece generalmente una relación con el entorno
32
tecnológico-teórico anteriormente elaborado, o con gérmenes de un entorno
por crear que se precisará mediante una relación dialéctica con la emergencia
de la técnica. Sin embargo, por razones de economía didáctica global, a veces
las estrategias de dirección de estudio tradicionales hacen en general de este
tercer momento la primera etapa del estudio.
4. El cuarto momento es el del trabajo de la técnica, que debe a la vez mejorar la
técnica volviéndola más eficaz y más fiable, lo que exige generalmente retocar
la tecnología elaborada hasta entonces, y acrecentar la maestría que se tiene
de ella. Este momento de puesta a prueba de la técnica supone en particular
unos cuerpos de tareas adecuados tanto cualitativamente como
cuantitativamente.
5. El quinto momento es el de la institucionalización, que tiene por objeto precisar
lo que es exactamente la OM elaborada, distinguiendo claramente, por una
parte los elementos que, habiendo concurrido a su construcción, no le hayan
sido integrados y, por otra parte, los elementos que entrarán de manera
definitiva en la organización matemática considerada, distinción que buscan
precisar los alumnos cuando le preguntan al profesor, a propósito de tal
resultado o tal procedimiento, si hay o no que “saberlo”.
6. El sexto momento es el de la evaluación, que se articula con el momento de la
institucionalización. En la práctica, llega siempre un momento en el que se
debe observar lo aprendido, porque este momento de reflexión donde,
cualquiera que sea el criterio y el juez, se examina el valor de lo que se ha
aprendido, este momento de verificación que, a pesar de los recuerdos de
infancia, no es en absoluto invención de la institución escolar, participa de
hecho de la “respiración” misma de toda actividad humana.
En efecto, todo proceso de estudio de una organización matemática presupone la
existencia inicial de la organización matemática que se va a estudiar, pero el estudio de
la misma es también, en un sentido amplio, un proceso de creación, o digamos de
33
recreación, en el caso de las instituciones didácticas. Por consiguiente, la construcción
de una praxeología matemática contempla el estudio de la misma y viceversa.
Surge pues una nueva concepción de la Didáctica de las Matemáticas en la que lo
didáctico se identifica con todo aquello que se relacione con el estudio y con la ayuda
al estudio:
“La didáctica de las matemáticas es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de las matemáticas. Su objetivo es llegar a describir y caracterizar los procesos de estudio – o procesos didácticos – de cara a proponer explicaciones y respuestas sólidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos (alumnos, profesores, padres, profesionales, etc.) que se ven llevados a estudiar matemáticas o a ayudar a otros a estudiar matemáticas” (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, p. 60). Todo proceso de estudio de una organización matemática, en cuanto que actividad
humana, puede ser modelizado mediante una praxeología que, en este caso, será
denominada praxeología didáctica.
Como toda praxeología, estará compuesta de un conjunto de tareas didácticas
problemáticas, de técnicas didácticas para abordarlas y de tecnologías y teorías
didácticas que las expliquen y justifiquen. (Chevallard, 1999).
La integración progresiva de las dimensiones didáctica y matemática queda así
modelizada mediante las nociones de praxeologías matemáticas y didácticas y, sobre
todo, mediante el postulado antropológico que afirma que, en la contingencia, en la
historia de las instituciones, las praxeologías matemáticas y didácticas no pueden vivir
por separado. De esta manera, todo proceso de estudio de las matemáticas como
proceso de construcción o reconstrucción de OM, consiste en la utilización de una
determinada OD, con su componente práctico (formado por tipos de tareas y técnicas
didácticas) y su componente teórico (formado por tecnologías y teorías didácticas).
En definitiva, y aunque a veces se considera el producto (la praxeología matemática)
como si fuera independiente de todo el proceso, en realidad se trata de una
abstracción. En la historia de las instituciones sociales no hay productos sin procesos y,
por lo tanto, lo que se analiza son procesos didácticos cuya unidad mínima de análisis
son las praxeologías didácticas (relativas a ciertas praxeologías matemáticas).
34
1.3.4. Los niveles de codeterminación didáctica
Yves Chevallard inicialmente había propuesto una jerarquía de niveles de
codeterminación entre las formas de estructurar las cuestiones matemáticas a estudiar
y las maneras de organizar el estudio de las mismas en la escuela:
El principio fundador de las didácticas, al menos en el sentido brousseauniano de la
palabra, es que no sólo lo transmitido depende de la herramienta con la que se
pretende conseguir su transmisión, sino que también (recíprocamente) las
organizaciones “transmisoras”, es decir didácticas, se configuran de manera
estrechamente vinculada a la estructura dada de lo que hay que transmitir. En otros
términos, las organizaciones didácticas dependen fuertemente de las organizaciones
por enseñar - las OM, si se trata de organizaciones matemáticas (Chevallard, 2001).
Podemos esquematizar dicha jerarquía mediante una sucesión de niveles de
estructuración de las citadas organizaciones matemáticas (OM) y organizaciones
didácticas (OD) que va desde el nivel más genérico, la sociedad, hasta el más
específico, una cuestión matemática concreta que se propone en una institución
escolar determinada para ser estudiada:
Sociedad Escuela Pedagogía Disciplina Área Sector Tema Cuestión
Se postula que en cada uno de estos niveles se producen restricciones particulares
mutuas entre las OM y las OD, esto es:
- la estructuración de las OM en cada nivel de la jerarquía condiciona las formas
posibles de organizar su estudio;
- la naturaleza y las funciones de los dispositivos didácticos existentes en cada nivel
determinan, en gran parte, el tipo de OM que será posible reconstruir o estudiar en
dicha institución escolar (Fonseca, 2004).
El estudio de las condiciones de existencia y evolución de las OM y OD muestra que,
cuando el profesor y los alumnos se enfrentan a un saber que se debe enseñar o
35
aprender, lo que puede suceder está muy determinado por un conjunto de
condiciones y de restricciones que no se pueden reducir a aquellas inmediatamente
identificables dentro del aula (conocimiento previo de los alumnos, material didáctico
del que se dispone, etc.). Bien es cierto que estos aspectos son muy importantes, pero
no debemos olvidar la existencia de muchas otras condiciones que se requieren y que
surgen más allá del espacio de la clase y del conocimiento o tema que se quiere
estudiar.
Más recientemente, Chevallard (2001, 2002b & 2007) ha completado la anterior escala
o jerarquía de niveles de codeterminación entre las organizaciones matemáticas (OM)
escolares y las correspondientes organizaciones didácticas (OD), es decir, entre las OM
que viven o pueden vivir en una institución y la forma que tiene esta institución para
(re)construirlas.
Figura 2. Escala de niveles de codeterminación entre OM y OD
Vamos a referirnos al trabajo de Bosch & Gascón (2006) donde encontramos citada
una de las principales funciones de esta escala de niveles:
¿Por qué una nueva ampliación del objeto de estudio con la correspondiente
complejidad del marco teórico? La respuesta es siempre la misma: para liberarse de las
36
concepciones espontáneas del conocimiento matemático que, al analizar su objeto de
estudio, los investigadores podrían asumir sin cuestionarlas previamente. Las
praxeologías “puntuales”, “locales”, “regionales” y “globales” se corresponden con los
niveles inferiores: los de la cuestión, el tema, el sector y el ámbito. Quizá debido a su
familiaridad con el “problema del profesor” (“dado un contenido matemático para ser
enseñado, ¿cuál es la mejor forma de hacerlo?”), a menudo los didactas asumen como
incuestionable la delimitación de contenidos que ofrecen las instancias educativas o
académicas. Hay que situarse en un nivel de generalidad superior para preguntarse,
por ejemplo, y dada una organización curricular concreta, por qué están divididos los
contenidos en estos bloques temáticos y no en otros, o cuáles son los criterios para
determinar esta división y qué tipo de restricciones causa sobre la actividad concreta
que pueden realizar profesores y estudiantes.
1.3.5. La estructura de las OM. Dinámica de las organizaciones
matemáticas
La descripción estructural de una OM debe completarse con los rasgos principales de
las relaciones que se establecen necesariamente entre dichos componentes, esto es,
con un primer análisis de lo que denominaremos dinámica interna de las
organizaciones matemáticas y que aquí sólo insinuaremos utilizando la citada noción
de “praxeología matemática”. Existe un segundo nivel de análisis de la dinámica de las
organizaciones matemáticas: el análisis de la dinámica institucional, que hace
referencia a las condiciones de la génesis y desarrollo de una organización matemática
en una institución dada. Este estudio puede considerarse como el estudio de la
ecología institucional de las organizaciones matemáticas y está muy relacionado con
los fenómenos de transposición institucional del saber matemático (Chevallard, 1991).
En la TAD toda actividad de estudio e investigación parte de una cuestión generatriz Q,
formulada en una institución I, que permite hacer emerger un tipo de problemas y una
técnica de resolución de dichos problemas, así como una tecnología apropiada para
justificar y comprender mejor la actividad matemática que se ha llevado a cabo.
37
El trabajo (Fonseca, 2004) pone de manifiesto una extraordinaria rigidez en la
Enseñanza Secundaria de las matemáticas. El alumnado tiene problemas con la
nomenclatura, maneja una sola técnica, no es capaz de distinguir entre tarea directa y
tarea inversa, no interpreta las técnicas y, lo que es más importante, tiene una
extraordinaria dificultad para trabajar con tareas abiertas.
La respuesta a esta problemática fue la creación en (Fonseca, 2004), de un nuevo
dispositivo didáctico, situado dentro de la ingeniería didáctica: “Organizaciones
Matemáticas Locales Relativamente Completas (OMLRC)”, que posibilita la conexión
entre la Enseñanza Secundaria y la Enseñanza Universitaria, niveles poco estudiados
desde la investigación experimental.
El proceso de estudio de una OMLRC tiene dos partes diferenciadas, una relativa al
proceso de construcción o reconstrucción de la propia OM determinada por los
Momentos Didácticos, y otra, relativa al propio producto resultante, que viene
determinado por unos indicadores. Es a partir de ambas facetas: proceso de
construcción y producto como se determina el grado de completitud de la OML:
a) El proceso de construcción de una OMLRC, es un proceso de Ingeniería
Didáctica y, viene caracterizado mediante determinadas propiedades y
relaciones entre los Momentos Didácticos:
OD1. Momento de Equipamiento Praxeológico en el que haya necesidad de retomar
nociones y conceptos de otras praxeologías que tenemos a nuestra disposición y que
tengan una relación con las tareas y las técnicas de la nueva OM a estudiar.
OD2. Debe haber un Momento del primer encuentro con un tipo de tareas Tq asociado
a una cuestión problemática q “con sentido”, que conduzca a alguna parte (que no sea
una cuestión “muerta” en el sentido de Chevallard (2002b).
OD3. El proceso de reconstrucción de una OML debe contener momentos
exploratorios en los que la comunidad de estudio tenga la oportunidad de construir y
38
empezar a utilizar una técnica inicial 0 potencialmente útil para realizar las tareas del
tipo Tq.
OD4. La exploración de una OML debe desembocar en un verdadero trabajo de la
técnica que se inicia rutinizando 0 hasta provocar un desarrollo progresivo de dicha
técnica. La técnica debe sufrir un desarrollo progresivo que permita generar técnicas
nuevas, cada vez más potentes que nos permitan ir ampliando el campo de problemas.
OD5. La OD debe integrar los diversos instrumentos del trabajo matemático. En
particular, las Calculadoras Simbólicas deben permitir construir nuevas técnicas
matemáticas que, cuando se utilizan adecuadamente, mejoran la eficacia y la
economía del trabajo matemático y amplían el tipo de problemas que se pueden
estudiar. Corresponde al momento de las tecnologías de información y comunicación.
OD6. En la reconstrucción de una OML deben aparecer nuevas cuestiones matemáticas
relativas a las técnicas que se utilizan, esto es, cuestiones relativas a la interpretación,
la justificación, y el alcance de dichas técnicas, así como a las relaciones que se
establecen entre ellas (denominamos “cuestionamiento tecnológico” al conjunto de
estas cuestiones). La respuesta a estas cuestiones requerirá la realización de nuevas
tareas matemáticas que también pasarán a integrarse en la OML en construcción. Para
llevar a cabo todo este conjunto de tareas matemáticas será necesario utilizar un
marco tecnológico-teórico que es el que permitirá construir (además de justificar,
interpretar y relacionar) todas las técnicas necesarias.
OD7. En el proceso de reconstrucción de una OML es necesario ir institucionalizando
progresivamente (no de una vez por todas) aquellos elementos que deben ser
considerados como “matemáticos” por la comunidad de estudio, para distinguirlos de
los que han hecho, a lo largo del proceso, el papel de meros instrumentos auxiliares de
la construcción.
OD8. Ligado a la institucionalización, también es preciso evaluar la calidad de los
componentes de la OML construida: los tipos de tareas (¿están bien identificados?,
¿existen especímenes suficientemente variados de cada tipo?, ¿a qué cuestiones están
39
asociados?, ¿están relacionados con el resto de la actividad de los estudiantes o bien
están aislados?); las técnicas (¿están suficientemente trabajadas?, ¿son fiables?, ¿son
económicas?, ¿son las más pertinentes para realizar las tareas presentadas?); y el
discurso tecnológico (¿es suficientemente explícito?, ¿ayuda efectivamente a
interpretar y justificar las técnicas?, ¿permite variar las técnicas en la dirección
adecuada para construir nuevas técnicas?
Una Organización Matemática debe ser estructural, pero también dinámica, esto es,
debe existir una interrelación de los momentos que, por sí sólo, ya son
multidimensionales.
La noción de Momento Didáctico se utiliza, no tanto en el sentido cronológico, como
en el sentido de dimensión de la actividad. Lo importante no es el orden en que se
realicen los diferentes momentos del proceso de estudio, sino la estructura interna de
las relaciones que deben establecerse forzosamente entre ellos.
b) El proceso de construcción de la OM es un producto de ingeniería matemática.
Para medir el grado de completitud de una Organización Matemática Local
utilizaremos los indicadores referidos por Cecilio Fonseca, en 2004, y un
indicador más reciente al final:
OML1. Deben aparecer tipos de tareas asociados al “cuestionamiento tecnológico”,
esto es, tareas que hagan referencia a la interpretación, la justificación, la fiabilidad, la
economía y el alcance de las técnicas, así como a la comparación entre ellas. El grado
de completitud dependerá del grado de integración de todos los tipos de tareas. Una
OML será menos completa cuantos más tipos de tareas aisladas existan, esto es,
tareas realizables mediante técnicas que no están relacionadas entre sí por ningún
elemento tecnológico.
OML2. Existencia de diferentes técnicas para cada tipo de tareas y de criterios para
elegir entre ellas. Una OML será más completa en la medida que, dado un tipo
concreto de tareas de OML, existan dos o más técnicas que permitan realizar algunas
40
de las tareas concretas de ese tipo. Este indicador de la completitud comporta que en
la OML existan, además, los elementos tecnológicos que permiten discernir, para cada
tarea concreta, cuál es la técnica más fiable y económica para llevar a cabo dicha tarea.
OML3. Existencia de diferentes representaciones de la actividad matemática. La
flexibilidad de las técnicas utilizadas debe permitir la utilización de diferentes
representaciones, pero también deben existir criterios explícitos para elegir la
representación más adecuada, dependiendo de la actividad matemática en la que
estas técnicas se hayan inmersas.
OML4. Existencia de tareas y de técnicas “inversas”. La flexibilidad de las técnicas debe
también permitir trabajar tareas inversas como, por ejemplo, aquellas definidas
intercambiando los datos y las incógnitas del problema o, a partir de la respuesta,
analizar la situación de partida.
OML5. Interpretación del funcionamiento y del resultado de la aplicación de las
técnicas. Debe existir un tipo de tarea que permita al alumno interpretar el real
funcionamiento de una técnica para, a posteriori, percibir su beneficio matemático o
ventaja en relación con otras técnicas.
OML6. Existencia de tareas matemáticas “abiertas”. En las tareas abiertas los datos se
tratan como si fuesen desconocidos (parámetros) y las incógnitas no son valores
concretos sino las relaciones que se establecen entre ellos. El estudiante ha de decidir,
ante una situación matemática o extramatemática determinada, qué datos debe
utilizar y cuáles son las incógnitas. En este nivel se incluyen las tareas de modelización
matemática.
OML7. Necesidad de construir técnicas nuevas capaces de ampliar los tipos de tareas.
Simultáneamente, la tecnología y la teoría son los componentes para la construcción
de técnicas nuevas, capaces de ampliar los tipos de problemas que se pueden abordar
y, en consecuencia, los tipos de tareas de una organización matemática local.
41
OML8. La posibilidad de perturbar la situación inicial o modificar la hipótesis del
sistema para estudiar casos diferentes permite ampliar y completar el proceso de
estudio.
Hay que subrayar, que la noción de “completitud” es relativa. No tiene sentido hablar
de OML “completas” ni de OML “incompletas”. Se trata, en todo caso, de una cuestión
de grado: existen OML más o menos “completas” que otras en función del grado en
que sus componentes cumplen las condiciones descritas por los indicadores (Fonseca,
2004). Dualmente, el grado de completitud de una OML depende de la medida en que,
a lo largo de su proceso de construcción, se cumplan OD1-OD8.
El estudio de las Organizaciones Matemáticas Locales Relativamente Completas,
posibilitan la conexión entre la Enseñanza de Secundaria y la Enseñanza Universitaria,
niveles pocos estudiados desde la investigación experimental (Bosch, M., Fonseca, C. y
Gascón, J (2004)).
42
43
Capítulo 2
Incompletitud de las organizaciones matemáticas
escolares
44
2.1. La razón de ser de las matemáticas
2.1.1. Un estudio con “sentido” en la Escuela
Si denominamos “razón de ser” de una organización matemática a las cuestiones,
inicialmente problemáticas, a las que dicha OM responde, podemos decir que muchas
de las organizaciones matemáticas que se proponen para ser estudiadas en la escuela
han perdido su razón de ser y su “sentido”.
Recientes estudios que se apoyan en la Teoría Antropológica de lo Didáctico pretenden
crear una razón de ser de las organizaciones matemáticas de forma que sea posible
responder a las cuestiones del tipo:
- Cuáles son las razones históricas que motivaron la construcción de una determinada
OM?
- Cuáles son las situaciones problemáticas a las que responde la OM?
- Que situaciones problemáticas nuevas emergen?
- Que problemas viene a resolver que no resuelva ninguna de las OM estudiadas
anteriormente? Esto es, cuál es la ventaja del estudio de la OM en cuestión?
En la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) se postula que, para que una cuestión
matemática pueda estudiarse con “sentido” en la Escuela, es necesario:
a) Que provenga de cuestiones que la Sociedad propone que se estudien en la
Escuela (legitimidad cultural o social). Viene determinada por la Noosfera,
conjunto de las fuentes de influencias que actúan en la selección de los
contenidos que serán parte de los programas escolares y que determinan todo
el funcionamiento del proceso didáctico.
b) Que aparezca en ciertas situaciones “umbilicales” de las matemáticas, esto es,
situadas en la raíz central de las matemáticas (legitimidad matemática).
45
c) Que conduzcan a alguna parte, esto es, que esté relacionada con otras
cuestiones que se estudian en la Escuela, sean estas matemáticas o relativas a
otras disciplinas (legitimidad funcional).
d) Además de las legitimidades anteriores Gascón (2003) estudiaremos también la
legitimidad didáctica. Es importante estudiar cuales son para una noción
matemática determinada, por un lado, las dificultades y las restricciones que
impiden su estudio y, por otro lado, que condiciones permiten mejorar el
proceso de estudio de las cuestiones matemáticas relacionadas con aquella
cuestión.
Según Berta Barquero, en 2006, la legitimidad funcional tiene poca presencia en la
matemática escolar:
“ ...las matemáticas no se enseñan a partir de las necesidades de modelizar situaciones
o cuestiones que surgen en el ámbito de las diversas disciplinas sino que se presentan
como unas herramientas básicas que el alumno debe aprender a manejar sin saber de
antemano que tipos de problemas estas herramientas le permitirán resolver... “
En suma, la legitimidad matemática se refiere a dominios intramatemáticos (por
ejemplo: el límite, la continuidad, sistemas de números) y la legitimidad funcional se
refiere a dominios extramatemáticos (por ejemplo: sistemas físicos, biológicos,
sociales, etc.).
Para que una cuestión sea estudiada en una determinada institución escolar, es
necesario que en esta institución se construya toda una jerarquía de niveles que
contengan a dicha cuestión, cumpliendo las referidas legitimidades (consultar Escala
de niveles de codeterminación entre OM y OD, página 33, capítulo 1). Además, es
importante tener en cuenta que la sucesión de niveles es relativa no sólo a la cuestión
o grupo de cuestiones consideradas, sino también al período histórico y a la institución
escolar en la que nos situemos.
Sin embargo, el hecho de que se construya esta jerarquía no garantiza la calidad de su
estudio. Es necesario que esta cuestión provenga de ciertas cuestiones primarias y que
46
“conduzca a alguna parte”. Si no es así, la cuestión carece de sentido puesto que ha
desaparecido la razón de ser de su estudio en la Escuela. En tal caso, se dice que es una
cuestión encerrada en sí misma o una cuestión “muerta” (Chevallard, Bosch y Gascón,
1997).
Como explican Bosch & Gascón (2006) en el artículo conmemorativo de los 25 años de
transposición didáctica:
“La limitación más fuerte ocurre cuando el proceso de transposición no es capaz de
mantener o recrear una posible “razón de ser” de los conocimientos que la escuela se
propone transmitir. ¿Por qué son tan importantes los triángulos? ¿Para qué sirven los
límites de funciones? ¿Por qué necesitamos de los polinomios? Una enseñanza que no
toma en consideración estos interrogantes se convierte rápidamente en lo que
Chevallard denomina una educación “monumentalista”, donde se invita a los
estudiantes a contemplar instrumentos que la humanidad construyó con esfuerzo, que
sirvieron para grandes propósitos y que hay que conocer y admirar aunque ya no se
sepa cuál es su utilidad. En estos casos se requiere un trabajo permanente de revisión o
“retoma” de los procesos transpositivos que debe traspasar el ámbito genérico en el
que se desarrollan habitualmente las decisiones curriculares para adentrarse hasta el
nivel más concreto de las actividades matemáticas que realizan los alumnos en el
aula.”
Desde el punto de vista del Sistema de Enseñanza, es decir, si nos situamos en el punto
de vista de la institución docente de la que el profesor-enseñante es agente, se da por
supuesto que el profesor conoce lo que tiene por misión enseñar. Así el profesor se ve
llevado a considerar todo objeto de enseñanza únicamente como tal objeto. De esta
forma, el profesor no se preguntará ¿qué es una construcción geométrica?, ¿qué es el
Álgebra?, ¿qué es una demostración?¿qué es la modelización matemática? sino más
bien se verá llevado a plantearse: ¿qué tengo que enseñar y cómo tengo que enseñar a
mis alumnos a propósito o en relación con la modelización matemática?
47
En otros términos, como indica Chevallard (1990, p. 4):
“[…] el profesor-enseñante, como agente de la institución docente, no formulará
cuestiones a propósito del saber que tiene que enseñar más que poniendo entre
paréntesis la cuestión del saber y de su propia relación con el saber; o cuando menos,
relativizando la cuestión: esta cuestión no se plantea porque hay alumnos, y hay que
enseñar(les) […]. Esta manera de reaccionar permite ignorar un problema fundamental
de la enseñanza: permitiendo evitarlo, se permite negarlo.”
Una de las líneas recientes de investigación del enfoque que propone la Teoría
Antropológica de lo Didáctico refiere a la necesidad de introducir en los sistemas de
enseñanza procesos de estudio funcionales (y no formales), diseños en una perspectiva
no-monumentalista, en que los saberes no son monumentos que el profesor enseña,
sino los materiales y conceptos útiles para estudiar y resolver situaciones
problemáticas.
2.1.2. Fenómeno del autismo temático
Chevallard (2001) considera que el “oficio de profesor”, tal y como es concebido por la
sociedad, asigna al profesor la responsabilidad de escoger las cuestiones que se
estudian en la escuela, y los temas en torno a las que estas se organizan. Se observa
pues un abandono, por parte del profesor, de los niveles superiores al temático,
fenómeno que identifica como del autismo temático del profesor.
Es importante volver a destacar que esto no significa, en absoluto, que el profesor no
tenga inquietudes ni formule sus opiniones respecto al resto de los niveles de
codeterminación, sino que, en el conjunto de responsabilidades asignadas en tanto
que sujeto de una institución escolar, no tiene la obligación de ir más allá. Por ello,
otros autores (Gascón, 2004b) proponen que sería más correcto hablar del fenómeno
del autismo temático de la institución escolar.
48
La consecuencia más impresionante de este aislamiento del profesor en la jerarquía de
los niveles de determinación didáctica, según afirma Chevallard (2001), se encuentra
en la desaparición de las razones de ser de las OM enseñadas en el nivel temático.
En otras palabras,
“la situación subalterna que la sociedad impone al profesor en la gestión de la difusión
del conocimiento conduce a difundir conocimientos no motivados, formales, de los que
demasiado a menudo ignoramos lo que permiten conocer” (Chevallard, 2001, p. 6).
Se observa así una escisión entre los temas y las cuestiones (donde el profesor tiene la
libertad y la obligación de operar) y la disciplina, las áreas y los sectores (entendidos
como lo matemático, ámbito en el que el profesor no interviene).
Este último ámbito le viene dado al profesor en los currículos y disposiciones oficiales,
y queda determinado, incuestionable paradójicamente, desde los niveles pedagógicos,
esto es, desde los niveles superiores a los niveles disciplinares.
El profesor está abocado, en su oficio de profesor, a no ir mucho más allá del nivel
temático, lo que acarrea importantes consecuencias didácticas.
El profesor, como responsable de diseñar y gestionar el proceso de estudio de un
conjunto de temas matemáticos, sólo tiene la posibilidad de elegir, dentro de cada
tema, las cuestiones matemáticas que van a ser estudiadas por los alumnos y, aunque
puede agrupar dichas cuestiones en ciertos temas, no puede incidir de manera
relevante en los niveles superiores de la jerarquía.
Aparece así, en la siguiente figura, una profunda escisión entre temas y cuestiones por
un lado (ámbito de actuación del profesor) y disciplina, áreas y sectores (ámbito de “lo
matemático” por oposición a “lo pedagógico”):
49
Figura 1
Las nociones de “saber sabio”, “saber a enseñar”, “saber enseñado”, que permiten
poner en evidencia, de un lado, la distancia que existe entre el saber matemático
“producido por los matemáticos” y la porción de saber matemático propuesto para ser
estudiando en una institución didáctica concreta y, de otro lado, la distancia entre este
saber que ha sido designado como el que se tiene que enseñar y el que realmente es
implementado en clase.
Lo que importa no es el que la situación que se estudia sea más o menos “real” pero sí
el proceso de estudio que este punto de partida sea capaz de generar, lo que nos
remite de nuevo al problema de las razones de ser de la organizaciones matemáticas
que se estudian en la escuela.
2.1.3. El fenómeno de la desarticulación de las matemáticas
La presión de la noosfera2 (el lugar donde se piensa la enseñanza de los saberes) sobre
el sistema de enseñanza provoca que este aislamiento se extienda sobre las
instituciones escolares por razones que poco tienen que ver con lo didáctico, sino más
bien con el peso de cada disciplina dentro del sistema de enseñanza y con la
afirmación de su especificidad como garantía de su supervivencia.
2 Literalmente Noosfera significa: "sphere of human thought", esto es, “esfera de la mente” o capa
mental de la Tierra, es una palabra y concepto que fue acuñado en París en 1926, conjuntamente por Jules le Roi, [filósofo francés y estudiante de Henri Bergson], el paleontólogo y teólogo Jesuita P. Teilhard de Chardin y el Geoquímico ruso Vladimir Vernadsky.
50
Una de las consecuencias de este aislamiento disciplinar, impuesto desde los niveles
superiores de codeterminación didáctica, es la desaparición de las razones de ser de
las organizaciones matemáticas que actualmente se estudian en las instituciones
escolares (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997).
Las matemáticas, que han ido evolucionando a lo largo de la historia como respuesta a
cuestiones problemáticas, a menudo mixtas, esto es, en las que se mezclan los
componentes matemáticos con los no matemáticos, aparecen en las instituciones
escolares como saberes acabados, dotados de un cierto carácter intemporal y
perpetuo, como si siempre hubiesen estado ahí. La transposición didáctica actúa, fruto
de estas restricciones que provienen del nivel de la sociedad, creando pasajes
matemáticos anecdóticos (la factorización de polinomios, las funciones lineales o las
operaciones con matrices), que el estudiante se limita, en la mayoría de los casos a
visitar para luego olvidar (García, 2005).
Raras veces se le da al estudiante la posibilidad de saber de dónde vienen las
matemáticas que estudia y hasta donde van. Chevallard (2005b) identifica este
fenómeno como el fenómeno de la monumentalización de las organizaciones
matemáticas escolares.
Parece existir un amplio consenso en la comunidad de investigación en didáctica de la
matemática sobre la necesidad de que “vuelvan” a la escuela las razones de ser de los
saberes matemáticos que se estudian.
En muchos casos, esta necesidad de dotar de sentido a los conocimientos matemáticos
se lleva a cabo de forma artificial, generando graves disfunciones en el sistema
didáctico, pues no se le da al estudiante la oportunidad de conocer las limitaciones y el
alcance de estas reconstrucciones artificiales.
Puesto que las “razones de ser” de una organización matemática, esto es, las
cuestiones a las que dicha organización matemática responde, cumplen, entre otras, la
función de integrar los diferentes componentes de la misma, deducimos que la
desaparición escolar de las “razones de ser” de las organizaciones matemáticas
51
propuestas para ser estudiadas en la escuela provoca el debilitamiento progresivo de
su articulación (García, 2005).
Gascón (2004a) considera que todo intento de incidir sobre el fenómeno de la
desarticulación de las matemáticas escolares debe basarse en un cambio radical de la
epistemología ingenua dominante en las instituciones escolares, caracterizada por la
separación de lo matemático y lo didáctico, y sobre la que se sustenta la respuesta
psicopedagógica.
Propone, como una posible forma de llevar a cabo esta transformación, la integración
en el programa de estudio de las “razones de ser” de las organizaciones matemáticas
enseñadas. Éstas deberían ser integradas como cuestiones generatrices del proceso de
estudio de estas organizaciones matemáticas, en vez de como meros “elementos
decorativos”.
2.2. La rigidez y desarticulación de las praxeologías
matemáticas de la Enseñanza Secundaria
La detección y el análisis del fenómeno de la desarticulación de la matemática escolar,
descrito anteriormente, ha permitido formular problemas de investigación en didáctica
de la matemática. Entre otros, hemos citado: Dificultades en el paso de estudiar
matemáticas en Bachillerato a estudiar matemáticas en la Universidad (Fonseca,
2004).
Este estudio del problema de las discontinuidades matemáticas y didácticas que
existen entre la Enseñanza Secundaria y la Enseñanza Universitaria ha puesto de
manifiesto que ese desnivel no depende exclusivamente de la forma de organizar la
Enseñanza Secundaria, sino también de la forma como son desarrollados los
conocimientos matemáticos en el primer año de la Universidad.
52
Trabajos posteriores, centrados en el ámbito de la Enseñanza Secundaria consideran
las discontinuidades como una manifestación de un problema didáctico más general
que afecta toda la enseñanza de las matemáticas a partir de la Secundaria y que se
pone de manifestó especialmente en el cambio de etapa educativa o de institución
escolar. (García, 2005; Ruiz-Higueras, Estepa y García, 2006)
Podemos distinguir tres aspectos del problema de la desarticulación del currículo de
las matemáticas:
1. la atomización y la rigidez de las organizaciones matemáticas que se estudian
en Secundaria (Fonseca, 2004)
2. la transición entre las dos instituciones: de la secundaria a la universitaria.
3. la desarticulación del currículo universitario.
El primer punto constituirá la perspectiva de investigación de este trabajo: la rigidez e
incompletitud de las praxeologías locales escolares matemáticas que se estudian en
Secundaria. Los restantes puntos tenemos intención de explorarlos más adelante, en
una próxima investigación.
2.2.1. Incompletitud de las organizaciones matemáticas La tesis de Cecilio Fonseca, en 2004, pone de manifiesto la atomización y la rigidez de
las organizaciones matemáticas y consecuente inflexibilidad en los conocimientos
adquiridos por los alumnos que frecuentan el primer año de la universidad en los
cursos de Matemática e Ingenierías.
Este trabajo pone de manifiesto la rigidez en el tipo de tareas y en el tipo de técnicas
que los alumnos utilizan en Secundaria, por las dificultades de los estudiantes para
responder correctamente a cuestiones formuladas de una forma distinta de la usual o
tradicional. En consecuencia de eso, concluimos que hay una incompletitud de algunos
temas matemáticos en las organizaciones que se estudian en Secundaria.
53
La atomización de las praxeologías matemáticas se debe al hecho de estar
uniformizada la asociación de una solo técnica para resolver cada tipo de tarea. Sería
fundamental que el alumnado manipulase diversas técnicas y que descubriese su
utilidad para que, en un determinado momento, poder analizar y comparar el coste de
utilizar una u otra técnica, y así, decidir cuál es la técnica más adecuada para resolver
un determinado tipo de problema propuesto. También de hecho, mayoritariamente,
las tareas aparecen aisladas, sin una articulación entre ellas y sin una posible razón de
ser, lo que provoca que los problemas no tengan sentido para los estudiantes. De este
modo, seria relevante relacionar y establecer una conexión entre las diversas tareas.
Así, en la Enseñanza Secundaria, las matemáticas surgen como una secuencia de
conocimientos puntuales que consisten básicamente en aplicar técnicas
predeterminadas a un cierto tipo de problemas, después de una presentación teórica
descriptiva por parte del profesorado.
En esta presentación pocas veces se cuestiona la necesidad de justificar la técnica
utilizada para la actividad matemática, ni tampoco, cuál es su ámbito de actuación.
Otra cuestión importante que puede dificultar la enseñanza de las matemáticas es la
construcción de un discurso teórico muy reducido e insuficiente para explicar, justificar
y desenvolver las técnicas. Un trabajo prolongado de modelización de situaciones
matemáticas o extra-matemáticas seria esencial para la generación y desenvolvimiento
de nuevas técnicas por parte del alumnado.
Fonseca postula que la incompletitud de las organizaciones matemáticas que se
estudian en Secundaria está relacionada con una incompletitud didáctica y por la
ausencia de un cuestionamiento inicial que condicione a la razón de ser de las
principales nociones y técnicas.
54
2.2.2. Conjetura general: incompletitud de las organizaciones
locales escolares.
El problema docente de partida puede formularse inicialmente como un problema de
discontinuidad entre la matemática escolar de Secundaria y la matemática escolar de
la Universidad que pone de manifiesto la existencia de distintos contratos didácticos
en ambas instituciones.
Utilizando la Teoría Antropológica de lo Didáctico y, en particular, la noción de
organización matemática puntual, local y regional, formulamos una conjetura general.
Esta conjetura servirá de base para reformular el problema docente como un
verdadero problema didáctico en el ámbito del Programa Epistemológico de
Investigación en Didáctica de las Matemáticas.
La referida conjetura general fue dividida en tres partes:
1. hipótesis relativa a la enseñanza de las matemáticas en la Secundaria,
representada por H(S);
2. hipótesis relativa a la transición de la Secundaria para la Universidad,
representada por H(S-U);
3. hipótesis relativa a la enseñanza de las matemáticas en la Universidad,
representada por H(U);
En la presente investigación vamos a concentrarnos en la primera hipótesis referente a
la Enseñanza Secundaria que corresponde al objeto de estudio.
55
Para tal, citaremos literalmente la referida conjetura:
Más adelante pretendemos ampliar este estudio de la actividad matemática a la
Universidad y, así, construir nuevas hipótesis que relacionen la actividad matemática
que se lleva a cabo en la Enseñanza Secundaria con la actividad matemática que se
desarrolla en la Enseñanza Universitaria.
2.2.3. Aspectos de la rigidez de las organizaciones matemáticas
que se estudian en la Enseñanza Secundaria
A partir de la conjetura general, Fonseca propone cinco conjeturas específicas (C1 a C5)
que explicitan algunos de los aspectos y características principales de esta rigidez que
postulamos: la rigidez de las Organizaciones Matemáticas Puntuales que se estudian al
nivel de Secundaria. Las conjeturas específicas que formularemos a continuación
H(S): En S el estudio de las praxeologías matemáticas se centra en el bloque técnico-práctico
[T/], siendo muy escasa la incidencia del bloque tecnológico-teórico [/] sobre la actividad
matemática que se realiza efectivamente. Esta separación funcional entre ambos bloques se
pone de manifiesto, en particular, en la ausencia de todo tipo de cuestionamiento
tecnológico de los tipos de tareas y las técnicas matemáticas de S. Así, por ejemplo, no se
cuestiona hasta qué punto están justificadas las técnicas que se utilizan, ni la interpretación
de los resultados que proporcionan dichas técnicas, ni su alcance o dominio de validez, ni su
pertinencia para llevar a cabo una tarea determinada, ni su eficacia, ni su economía, ni sus
relaciones con otras técnicas, ni sus limitaciones, ni las posibles modificaciones que podrían
sufrir dichas técnicas para aumentar su eficacia en la realización de ciertas tareas. En
resumen, la actividad matemática que se lleva a cabo en S es esencialmente práctico-técnica
y raramente alcanza el nivel tecnológico. Por todo ello las OM que se estudian en S son
puntuales, muy rígidas y aisladas (o poco coordinadas entre sí), lo que dificulta, e incluso
impide, que en dicha institución se reconstruyan efectivamente OML relativamente
completas. (Fonseca 2004)
56
deben interpretarse, por lo tanto, a partir de la conjetura general enunciada
anteriormente.
El enunciado de estas cinco conjeturas resulta de la negación de las características
OML1-OML8 que permiten construir una Organización Matemática Local
Relativamente Completa (OMLRC). Posteriormente contrastaremos empíricamente
dichas conjeturas específicas que ya fueron contrastadas en el sistema educativo
español y ahora, en la presente investigación, se replicará el contraste en el sistema
educativo portugués.
C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la nomenclatura
En U se considera que la “nomenclatura” es irrelevante y que un simple cambio de los
símbolos que se utilizan para poner en marcha una técnica no puede representar una
modificación importante de la actividad matemática. Pero en S la rigidez de las OMP
puede llevar a identificar y hasta confundir la técnica con los objetos semióticos (ya
sean símbolos, gráficos o palabras escritas u orales) que constituyen su soporte
material (Bosch, 1994).
Entre los múltiples ejemplos de esta dependencia podemos citar:
- la representación gráfica de una función cuya variable independiente es
- el límite de una sucesión con variable
- el desarrollo del cuadrado de un binomio;
- la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado completas está
restringida a la determinación de la incógnita
- las reglas de derivación de funciones en relación a la variable
- la integración de funciones en relación a la variable
- la resolución de ecuaciones trigonométricas con incógnita
57
C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del
resultado obtenido
Debido a la escasa incidencia del bloque tecnológico-teórico en las praxeologías
matemáticas que se estudian (reconstruyen), en S no se exige interpretar
adecuadamente el resultado de aplicar una técnica para considerar que dicha técnica
ha estado “correctamente” utilizada. Así, por ejemplo, el uso escolar de las técnicas
para calcular límites de funciones y la forma habitual de utilizar muchas de las técnicas
para resolver ecuaciones (por ejemplo, ecuaciones irracionales) no incluye la
verificación de las soluciones obtenidas.
Lo anterior no significa que un profesor concreto (o determinados libros de texto) no
interprete los resultados que se obtienen al aplicar las técnicas matemáticas y hasta la
manera concreta de aplicarlas. Significa que ésta no es una de las responsabilidades
que el contrato didáctico institucional asigna a los alumnos en S. Así, el contrato no
permite evaluar negativamente a un alumno de S que habiendo aplicado
correctamente las técnicas haya “olvidado” interpretar los resultados que dicha
aplicación ha proporcionado. Por otro lado, si un profesor, sujeto de la institución
Secundaria, evalúa negativamente a los alumnos que no interpretan correctamente el
resultado no podrá mantener por mucho tiempo este criterio a riesgo de alienarse de
Secundaria.
Entre los diversos ejemplos asociados a esta conjetura podemos indicar:
- la aplicación de las técnicas de derivación de una función en S no incluye la
interpretación de la derivada como variación de la función;
- el cálculo del límite de una función racional no implica la interpretación de su
valor relacionando la velocidad de convergencia del numerador con la
velocidad de convergencia del denominador;
- la interpretación física de la derivada, muchas veces, también no es explorada
en Secundaria por no formar parte del contrato didáctico;
- La discontinuidad no es interpretada como un cambio abrupto en el grafico de
la función;
58
C3. Cada tarea está asociada a una técnica privilegiada
Cuando los estudiantes ingresan a la Universidad se necesita que determinadas
Organizaciones Matemáticas Puntuales de la Enseñanza Secundaria no sean
problemáticas para los estudiantes, esto es, que formen parte de lo que denominamos
su “medio matemático”– para que puedan utilizarse de manera flexible a lo largo del
proceso de estudio universitario. En particular, cuando existen dos técnicas
matemáticas “equivalentes en U” para un cierto subtipo de tareas (como, por ejemplo,
dos reglas de derivación para una misma función), se requiere que la elección más
adecuada o la utilización indistinta, no provoque ningún tipo de problemas a los
estudiantes que inician sus estudios en U. Sin embargo, en la Enseñanza Secundaria se
utilizan técnicas rígidas y desarticuladas, no formando parte del contrato didáctico (ni,
por tanto, de la responsabilidad matemática del alumno) elegir de todas las técnicas
que conoce, cuál será la más adecuada, económica o eficaz para una determinada
tarea. En coherencia con este hecho, no es frecuente en la práctica docente del
profesor, ni en los manuales escolares, la presencia de más de una técnica para llevar a
cabo una determinada tarea.
Podemos así conjeturar la existencia de una técnica privilegiada asociada a cada tipo
de tarea en la Enseñanza Secundaria.
Esta técnica privilegiada adquiere un carácter auto-tecnológico y provoca la
desaparición de las otras técnicas. Desde el punto de vista del alumno, la supremacía y
mecanización de una sola técnica, provocan el desinterés en conocer varios procesos
para resolver un problema matemático; condicionando el estudiante a creer que es
suficiente el dominio de una solo técnica para alcanzar el éxito en las matemáticas, no
siendo necesario el estudio de otras posibles técnicas que pueden resolver el
problema.
Podemos presentar algunos ejemplos de técnicas auto-tecnológicas:
- la regla de derivación de funciones polinómicas;
- la “regla de tres” en la proporcionalidad directa o en el cálculo de porcentajes;
- la “regla de Ruffini” en la división de polinomios.
59
C4. No hay reversión de las técnicas para realizar la tarea “inversa”
Uno de los aspectos más importantes de la rigidez de las Organizaciones Matemáticas
Puntuales de la Enseñanza Secundaria se manifiesta en la no reversión de las técnicas
matemáticas correspondientes. En términos del contrato didáctico podemos decir que,
en Secundaria, no forma parte de la responsabilidad matemática del alumno invertir
una técnica para llevar a cabo la tarea inversa. Podría decirse, más en general, que el
contrato didáctico en S no asigna al alumno la responsabilidad de modificar una
técnica “conocida” de manera adecuada para llevar a cabo una tarea un poco diferente
a la tarea inicial. Esto significa que no obedece a uno de los indicadores de la
completitud de una OML descritos en el primer capítulo: la posibilidad de cambiar la
hipótesis inicial. Esta conjetura implica, en particular, que cuando existen dos tareas
“inversas” entre sí (esto es, tareas con los datos y las incógnitas intercambiados) las
correspondientes técnicas suelen tratarse como si fueron “independientes”. Por
ejemplo, la substitución de la tarea usual “resolver un sistema de ecuaciones lineales “
por la tarea inversa “dada la solución escribir un sistema de ecuaciones lineales”
representa una situación problemática para los estudiantes, una vez que la tarea
inversa está ausente en los manuales escolares y, consecuentemente los alumnos no
están acostumbrados a este tipo de tarea.
C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización
Mayoritariamente los problemas de secundaria, en lo referente al estudio de la
modelización, parten de modelos matemáticos ya construidos y lo que se le pide al
alumno es la manipulación del modelo. A nuestro juicio la situación sería más rica si
englobase la construcción del modelo.
La ausencia de técnicas de modelización comporta que este proceso constituya una de
las actividades más problemáticas y menos reguladas en la Enseñanza Secundaria.
Pocas veces surge una situación abierta donde el estudiante tiene la responsabilidad
60
de decidir cuáles son los datos que se necesitan para formular correctamente un
problema matemático o una cuestión suficientemente fértil que, una vez explorada,
permita la generación de nuevos problemas y nuevas situaciones. Por el contrario, en
la institución Secundaria, los problemas matemáticos se presentan aislados, sin
encadenamiento, los ítems poco articulados entre sí, con enunciados cerrados en que
figuran todos los datos necesarios para la resolución de la situación problemática y el
alumno no tiene que seleccionar la información pertinente para resolver los problemas
propuestos.
2.3. Formulación del problema de investigación
El trabajo que presentamos nace del estudio de las dificultades que surgen en la
enseñanza de las matemáticas en el 3.º ciclo de la Enseñanza Secundaria en Portugal
(correspondiente a la ESO del sistema escolar español) y Secundaria (correspondiente
al bachillerato del sistema escolar español).
Situándonos en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico, proponemos un
conjunto de conjeturas relativas a la rigidez de la actividad matemática que es posible
llevar a cabo en la actual enseñanza portuguesa y española, efectuando un estudio
paralelo, al ya efectuado por Cecilio Fonseca, en España.
De una forma más precisa, mostramos en qué sentido las organizaciones matemáticas
que se estudian en el 3.º ciclo y Secundaria son puntuales, rígidas y poco articuladas
entre sí, lo que les impide integrarse para formar organizaciones matemáticas locales
relativamente completas.
El estudio experimental pone de manifiesto que la desarticulación curricular no se
limita solo al aula, se manifiesta también en el currículum oficial, en los libros de texto
y en la OM enseñada, lo que nos conduce a situar la incompletitud de las
organizaciones matemáticas escolares de la Enseñanza Secundaria en el origen de las
discontinuidades matemáticas y didácticas entre la Secundaria y la Universidad:
61
- en la Enseñanza Secundaria son construidas OMPs/OMLs incompletas y
desarticuladas, según una fuerte componente practico-técnica y una débil
componente tecnológico-teórica.
- en la Enseñanza Universitaria son construidas OMLs también incompletas y
desarticuladas pero, al contrario de S, con una fuerte componente tecnológico-
teórica y una débil componente practico-técnica. (Fonseca, 2004)
Por lo tanto, también no se articulan la praxis de S con el logos de U. La
“incompletitud” de las matemáticas estudiadas tanto en S como en U estaría
relacionada con una “incompletitud didáctica” causada por una débil realización de
algunas dimensiones importantes del proceso de estudio y por la ausencia de un
cuestionamiento inicial que motive una razón de ser a las principales nociones y
técnicas que los alumnos deben aprender a manipular.
El principal objetivo de la investigación es verificar si hay una rigidez técnica en las
organizaciones matemáticas de la Enseñanza Secundaria.
Pretendemos con este estudio, más que comparar la situación de desarticulación y
atomización de las matemáticas en los dos países, tener una percepción de si el
problema existe solo en las instituciones escolares españolas o si, por el contrario, es
una situación problemática que envuelve las instituciones escolares de otros países.
El estudio exploratorio de la presente investigación consiste en establecer una
comparación de los resultados experimentales obtenidos contrastando los cinco
aspectos de la rigidez de las OM que se estudian en S y que hemos caracterizado
mediante las conjeturas C1-C5. Para el contraste experimental de dichas conjeturas
hemos elegido dos tipos de datos empíricos como indicadores de las características de
las organizaciones matemáticas que se reconstruyen en la institución de la Enseñanza
Secundaria portuguesa y española:
Las respuestas de una muestra de estudiantes, de escuelas secundarias
portuguesas (alumnos del último año de bachillerato) y del primer año de una
universidad española, a las tareas matemáticas propuestas en un cuestionario
62
con diversos ítems construidos y agrupados de forma a ser posible, a posteriori,
comparar y contrastar algunas técnicas o tareas;
Los datos obtenidos del análisis y recopilación de los tipos de tareas que
propone una muestra de manuales aprobados oficialmente por las autoridades
educativas portuguesa y española para su uso en la enseñanza del 3.º ciclo
(ESO) y secundaria (bachillerato). Estos datos pueden considerarse la
“respuesta de los libros de texto” al citado cuestionario.
Es importante referir que el objeto de estudio cuando analizamos las respuestas al
cuestionario no son los alumnos, esto es, no interesa para la investigación los
conocimientos matemáticos de los estudiantes. Lo que nos interesa es ver qué tipo de
tareas y que tipos de técnicas institucionales se proponen en el estudio de la actividad
matemática de secundaria.
De una forma general, pretendemos con esta investigación poner de manifiesto que la
atomización, la rigidez, la unicidad, la algebrización y consecuente incompletitud de las
organizaciones matemáticas de la Enseñanza Secundaria es un fenómeno didáctico
sociológico relativamente independiente del profesor o de la cultura pedagógica del
alumno.
En un segundo punto, pretendemos estudiar algunos casos particulares y explicar las
diferencias más significativas entre las respuestas de los estudiantes de España y de
Portugal, a partir de diferencias en los currículos y los libros de texto de los dos
sistemas escolares.
63
Capítulo 3
Indicadores Empíricos
Aspectos de la rigidez de las Matemáticas en la
Enseñanza Secundaria
64
65
Inicialmente procuramos efectuar una abordaje de los programas oficiales de las
matemáticas en Portugal y en España, en particular, de la enseñanza obligatoria del
sistema escolar español o 3.º ciclo de Portugal y de la Enseñanza Secundaria
portuguesa (correspondiente al bachillerato del sistema escolar español), explorando
los respectivos diseños curriculares.
Posteriormente, fue efectuada un análisis de las conjeturas formuladas en el capítulo
anterior en los manuales escolares o libros de texto de las matemáticas de diversas
editoriales y, al final, presentaremos los resultados de un estudio exploratorio que
consistió en la aplicación de un cuestionario a una muestra de alumnos portugueses
que frecuentan las clases de la disciplina de matemática en el 12.º año de escolaridad
(correspondiente al último año de bachillerato del sistema de enseñanza español) y
estudiantes universitarios del sistema de enseñanza española.
3.1. Diseños Curriculares
Para visualizar mejor las diferencias en la distribución de cursos y designación de nivel
de enseñanza en Portugal y España presentamos la siguiente tabla:
Portugal España
nivel años nivel cursos
3.ºciclo 3 ESO 3+1(A/B)
Secundario 3 Bachillerato 2
Total 6 6
Tabla 2 – Estructura curricular en los dos países
66
3.1.1. Programa oficial del 3.º ciclo/ESO
El Gobierno Español fija las enseñanzas mínimas de la Educación Secundaria
Obligatoria (ESO) para toda España en los aspectos básicos del currículo referidos a los
objetivos, las competencias básicas, los contenidos y los criterios de evaluación. La
finalidad de las enseñanzas mínimas es asegurar una formación común a todos los
alumnos y alumnas dentro del sistema educativo español y garantizar la validez de los
títulos correspondientes. Sin embargo, las regiones tienen autonomía para acrecentar
otras enseñanzas a las mínimas.
Las enseñanzas de la Educación Secundaria Obligatoria están divididas por areas:
“Números”, “Geometría”, “Algebra”, “Funciones y gráficas” y “Estadística y
probabilidad” que pueden ser consultadas en los Anexos.
La ESO en España está formada por 4 años: el 1.º, el 2.º, el 3.º y el 4.º curso. En este
último curso los estudiantes tienen la opción A o la opción B.
Por otro lado, el 3.ºciclo en Portugal es formado por 3 años: el 7.º, el 8.º y el 9.º año de
escolaridad.
El currículo portugués es único y está organizado en tablas que presentan los tópicos y
objetivos específicos para cada área de las matemáticas: “Números e Operações”,
“Geometria”, “Álgebra” y “Organização e tratamento de dados”. Estas tablas pueden
ser consultadas en los Anexos.
Para comparar los programas oficiales de las matemáticas en Portugal y en España fue
necesario establecer una correspondencia entre los dos sistemas de enseñanza
presentada en la siguiente tabla:
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Tema Contenidos
Portugal España
Números Números inteiros • Multiplicação e divisão, propriedades • Potências, raiz quadrada e raiz cúbica Números racionais • Representação, comparação e ordenação • Operações, propriedades e regras operatórias em Q • Efectuar operações com potências de base racional (diferente de zero) e expoente inteiro. • Calcular o valor de expressões numéricas que envolvam números racionais.
Números reais • Noção de número real e recta real • Relações < e > em R • Intervalos
Números enteros • Divisibilidad de números naturales. • Múltiplos y divisores comunes • Los números negativos • Potencias de exponente entero y operaciones con potencias. •Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas. •Estimación y obtención de raíces aproximadas. Números racionales •Fracciones y decimales en entornos cotidianos. •Operaciones con fracciones y comparación de números racionales. •Transformación de fracciones en decimales y viceversa. Números decimales exactos y periódicos. Fracción generatriz. •Razón y proporción. Proporcionalidad directa e inversa. •Porcentajes para expresar composiciones o variaciones. Los porcentajes en la economía. Aumentos y disminuciones porcentuales. Porcentajes sucesivos. Interés simple y compuesto. Uso de la hoja de cálculo para la organización de cálculos asociados a la resolución de problemas cotidianos y financieros. •Utilización de la notación científica para representar números grandes. • Error absoluto y relativo. Su aplicación para la expresión de números muy grandes y muy pequeños. Números reales •Intervalos. Significado y diferentes formas de expresar un intervalo. • Representación de números en la recta numérica.
Geometría
Triângulos e quadriláteros • Soma dos ângulos internos e externos de um triângulo • Congruência de triângulos • Propriedades, classificação e construção de quadriláteros Sólidos geométricos • Área da superfície e volume • Critérios de paralelismo e perpendicularidade entre planos, e entre rectas e planos Circunferência • Ângulo ao centro, ângulo inscrito e ângulo excêntrico
Triángulos e cuadriláteros • Clasificación de triángulos y cuadriláteros a partir de diferentes criterios • Propiedades y relaciones en estos polígonos Sólidos geométricos •Clasificación de poliedros y cuerpos de revolución. Utilización de propiedades, regularidades y relaciones para resolver problemas del mundo físico. • Resolución de problemas que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes de cuerpos geométricos. •Utilización de procedimientos tales como la composición, descomposición, intersección, truncamiento, dualidad, movimiento, deformación o desarrollo de poliedros para analizarlos u obtener otros. • Paralelismo y perpendicularidad • Métodos inductivos y deductivos para analizar relaciones y propiedades en el plano. Circunferencia •Construcción de polígonos regulares con los instrumentos de dibujo habituales.
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• Lugares geométricos • Circunferência inscrita e circunferência circunscrita a um triângulo • Polígono regular inscrito numa circunferência Semelhança • Noção de semelhança • Ampliação e redução de um polígono • Polígonos Semelhantes • Semelhança de triângulos Isometrias • Translação associada a um vector • Propriedades das Isometrias Teorema de Pitágoras • Demonstração e Utilização Trigonometria no triângulo rectângulo • Razões trigonométricas de ângulos agudos • Relações entre razões Trigonométricas
• Medida y cálculo de ángulos en figuras planas. • Lugar geométrico. •Construcciones geométricas sencillas: mediatriz, bisectriz.. Estimación y cálculo de perímetros de figuras. Estimación y cálculo de áreas mediante fórmulas, triangulación y cuadriculación. Semejanza • Proporcionalidad de segmentos. Identificación de relaciones de semejanza. • Ampliación y reducción de figuras. • Obtención, cuando sea posible, del factor de escala utilizado. Razón entre las superficies de figuras semejantes. • Utilización de lo teorema de Tales para obtener medidas y comprobar relaciones entre figuras. Isometrías •Planos de simetría en los poliedros. •Empleo de herramientas informáticas para construir, simular e investigar relaciones entre elementos geométricos. •Traslaciones, simetrías y giros en el plano. •Elementos invariantes de cada movimiento. •Coordenadas geográficas y husos horarios. •Interpretación de mapas y resolución de problemas asociados. Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas. Teorema de Pitágoras • Aplicación de lo teoremas de Pitágoras a la resolución de problemas geométricos y del medio físico.
Álgebra
Sequências e regularidades • Termo geral de uma sequência numérica • Representação • Expressões algébricas Equações • Equações do 1.º grau a uma incógnita • Equações literais • Operações com Polinómios • Equações do 2.º grau a uma incógnita • Sistemas de duas equações do 1.º grau a duas incógnitas Inequações • Inequações do 1.º grau a uma incógnita Funções • Conceito de função e de gráfico de uma função • Proporcionalidade directa e inversa como funções • Funções linear e afim
• Funções do tipo y = ax2
Secuencias numéricas •Empleo de letras para simbolizar números desconocidos y números sin concretar •Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa. • Obtención de fórmulas y términos generales basada en la observación de pautas y regularidades. • Progresiones aritméticas y geométricas. Sucesiones recurrentes. •Expresiones algebraicas. Ecuaciones •Ecuaciones de primer grado con una incógnita. •Manejo de expresiones literales •Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. •Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. •Resolución de ecuaciones a partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos. Funciones y gráficas. •Organización de datos en tablas de valores. •Coordenadas cartesianas. •Obtención de la relación entre dos magnitudes directa o inversamente proporcionales a partir del análisis de su tabla de valores y de su gráfica. •Representación gráfica de una situación dada por una tabla de valores, de un enunciado o de una expresión algebraica sencilla.
69
•Utilización de calculadoras gráficas y programas de ordenador para la construcción e interpretación de gráficas. •Estudio de las características de la gráfica: dominio, continuidad, monotonía, extremos y puntos de corte. •Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica. •La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo. •Estudio y utilización de otros modelos funcionales no lineales: exponencial y cuadrática. Utilización de tecnologías de la información para su análisis.
Organización y tratamiento de datos
Planeamento estatístico • Especificação do problema • Recolha de dados • População e amostra Tratamento de dados • Organização, análise e interpretação de dados – histograma •Medidas de localização e dispersão •Discussão de resultados
Probabilidade • Noção de fenómeno aleatório e de experiência aleatória • Noção e cálculo da probabilidade de um acontecimento
Estadística •Atributos y variables discretas y continuas. •Formulación de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos y diseño de experiencias para su comprobación. •Diferentes formas de recogida de información. Tratamiento de datos •Organización en tablas de datos recogidos en una experiencia. • Frecuencias absolutas y relativas, ordinarias y acumuladas. Diagramas de barras, de líneas y de sectores. Análisis de los aspectos más destacables de los gráficos. •Medidas de centralización y dispersión Probabilidad •La regla de Laplace •Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar.
Capacidades Transversales
Resolução de problemas • Compreensão do problema • Concepção, aplicação e justificação de estratégias Raciocínio matemático • Formulação, teste e demonstração de conjecturas • Indução e dedução • Argumentação
Comunicação matemática • Interpretação • Representação • Expressão • Discussão
Resolución de problemas •Análisis del enunciado •Ensayo y error o la división del problema en partes, y comprobación de la solución obtenida. •Planificación y utilización de procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización. •Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas.
Raciocinio matemático •la inducción o la búsqueda de problemas afines, y comprobación del ajuste de la solución a la situación planteada. Comunicación matemática •Interpretación •Descripción verbal de procedimientos de resolución de problemas utilizando términos adecuados. •Expresión verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales, y procedimientos de resolución de problemas con la precisión y rigor adecuados a la situación.
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Al analizar la tabla comparativa si verifica que hay algunas diferencias entre los diseños
curriculares portugués y español. Por un lado las Inecuaciones del primer grado y la
Trigonometría del triángulo rectángulo son temas abordados en el 3.º ciclo de Portugal
y no en la ESO de España, por otro lado, las Coordenadas geográficas y husos horarios,
Progresiones aritméticas y geométricas, Sucesiones recurrentes, Resolución de
ecuaciones a partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos, Estudio
y utilización de modelos exponenciales son contenidos estudiados en España y que no
están presentes en el diseño curricular del 3.ºciclo portugués.
Sin embargo, si un estudiante de ESO de España elige en el cuarto curso/año la Opción
B aún estudia los siguientes temas:
- Expresión de raíces en forma de potencia. Radicales equivalentes. Comparación
y simplificación de radicales. Utilización de la jerarquía y propiedades de las
operaciones para realizar cálculos con potencias de exponente entero y
fraccionario y radicales sencillos;
- Resolución de inecuaciones. Interpretación gráfica. Planteamiento y resolución
de problemas en diferentes contextos utilizando inecuaciones;
- Razones trigonométricas;
- Funciones definidas a trozos;
- Reconocimiento de modelos funcionales: función cuadrática, de
proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica;
- Probabilidad condicionada.
3.1.2. Programa oficial del Secundaria/Bachillerato
En España el alumnado que opte por la modalidad de Ciencias y tecnología deberá
cursar matemáticas I en 1º curso y matemáticas II en 2º curso.
En la Educación Secundaria Obligatoria el alumnado ya estudió materias que le
proporcionan una cultura científica básica. En el bachillerato parte del alumnado va a
seguir profundizando en esta línea. Lo característico de esta materia va a residir en el
71
enfoque interdisciplinario, a través de la selección de determinados problemas
relacionados con problemas reales, abordados desde enfoques CTS (ciencia-
tecnología-sociedad) que preparen para la participación ciudadana.
Bachillerato (Currículo3 de Bachillerato para Galicia)
El Estatuto de autonomía de Galicia, en su artículo 31, determina que es competencia
plena de la Comunidad Autónoma gallega el reglamento y administración de la
enseñanza en toda su extensión, niveles y grados, modalidades y especialidades, sin
perjuicio de lo dispuesto en el artículo 27 de la Constitución y en las leyes orgánicas
que, conforme al punto primero de su artículo 81, la desarrollen. Asimismo, establece
que le corresponde al Estado fijar los aspectos básicos del currículo en relación a los
objetivos, contenidos y criterios de evaluación que constituyen las enseñanzas
mínimas a las que se refiere la disposición adicional primera, punto 2, letra c, de la Ley
orgánica 8/1985, de 3 de julio, reguladora del derecho a la educación.
MATEMÁTICAS I Y II
Los contenidos de matemáticas en el bachillerato de ciencias y tecnología se presentan
agrupados en bloques con un criterio propio de la disciplina, lo que no significa que el
álgebra lineal, la geometría, el análisis y la estadística y probabilidad tengan que
enseñarse necesariamente aisladas unas de las otras, ni tampoco por el orden en el
que figuran en este documento dentro de cada curso. Las muchas relaciones que
existen entre los contenidos de estos bloques deben hacerse explícitas en el proceso
de su enseñanza. La iniciación al cálculo de límites, derivadas e integrales se basa en el
álgebra y en la topología de la recta, pero también la geometría proporciona una
interpretación intuitiva de los conceptos inherentes a esos contenidos. Las evidentes
relaciones entre el álgebra y la geometría se manifiestan con claridad en los dos
3 La Ley orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de educación, en el artículo 6.1 capítulo III determina que se entiende por
currículo el conjunto de objetivos, competencias básicas, contenidos, métodos pedagógicos y criterios de evaluación de cada una de las enseñanzas reguladas por la citada ley.
72
cursos. El álgebra aporta la potencia de su lenguaje simbólico y la geometría una
interpretación más próxima de los objetos algébricos.
Descripción
En el bloque de geometría de matemáticas I se amplían las nociones de trigonometría
introducidas en la ESO para aplicarlas a la medición indirecta de longitudes y ángulos y
a la resolución de triángulos. El concepto de vector y sus operaciones sirven de base a
la comprensión y a la resolución de los problemas afines y métricos del plano. El
estudio de los lugares geométricos, en particular las cónicas, se ve hoy facilitado con el
empleo de herramientas informáticas. Los contenidos de análisis de este curso amplían
la gama de funciones elementales que deben ser conocidas mediante su expresión
analítica por el alumnado. Se introduce también la idea intuitiva de límite, que puede
ser tratado numéricamente con la ayuda de la tecnología adecuada, y una iniciación al
concepto y al cálculo de derivadas y de algunas de sus aplicaciones. Los contenidos de
estadística y probabilidad le ofrecen al alumnado nuevas herramientas para ampliar el
estudio del azar. En las distribuciones bidimensionales debe enfatizarse más la
interpretación de los resultados que los procedimientos de cálculo del coeficiente de
correlación y la recta de regresión, que siempre pueden hacerse con la ayuda de la
calculadora o de otras tecnologías.
MATEMÁTICAS I
Contenidos.
Aritmética y álgebra.
-Números reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias en la recta real. Intervalos
y entornos.
-Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones.
-Utilización de las herramientas algébricas en la resolución de problemas.
Geometría.
-Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo.
-Utilización de la trigonometría en la resolución de triángulos y problemas geométricos
diversos.
73
-Vectores en el plano. Operaciones. Producto escalar: interpretación geométrica.
Módulo de un vector.
-Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ángulos.
-Utilización de las técnicas de la geometría analítica para la resolución de problemas
métricos en el plano.
-Idea de lugar geométrico en el plano. Identificación y obtención de las ecuaciones de
las cónicas.
Análisis.
-Funciones reales de variable real: clasificación y características básicas de las
funciones polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera,
trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
-Dominio, recorrido, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y convexidad y
concavidad.
-Operaciones con funciones.
-Aproximación, numérica y gráfica, al concepto de límite de una función, tendencias y
continuidad.
-Tasa de variación media. Aproximación, numérica y gráfica, al concepto de derivada
de una función en un punto.
-Funciones derivadas de las funciones elementales. Reglas de derivación: suma,
producto y cociente.
-Aplicación de la derivada al estudio del crecimiento y decrecimiento y de los extremos
relativos de las funciones polinómicas sencillas. Trazado de sus gráficas.
-Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de manera analítica o
gráfica, que describan situaciones reales.
Estadística y probabilidad.
-Distribuciones bidimensionales. Correlación y regresión lineal.
-Probabilidad: propiedades. Probabilidad condicionada, regla del producto, de la
probabilidad total y de Bayes.
-Distribuciones binomial y normal.
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MATEMÁTICAS II
Contenidos.
Álgebra lineal.
-Empleo de las matrices como herramienta para representar y operar con datos
sacados de tablas y gráficos procedentes de diferentes contextos.
-Operaciones con matrices. Aplicación de las operaciones y de sus propiedades en la
resolución de problemas extraídos de contextos reales.
-Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Rango de una matriz.
Matriz inversa.
-Utilización de las propiedades de las matrices y los determinantes en la discusión y
resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Geometría.
-Vectores en el espacio. Operaciones.
-Producto escalar, vectorial y mixto. Interpretación geométrica.
-Ecuaciones de la recta y el plano. Resolución de problemas de incidente, paralelismo y
perpendicularidad entre rectas y planos.
-Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias,
áreas y volúmenes.
Análisis.
-Concepto de límite de una función. Cálculo de límites sencillos.
-Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad.
-Concepto de derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica y física.
-Función derivada. Cálculo de funciones derivadas. Derivada de la suma, del producto y
del cociente de funciones y de la función compuesta.
-Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales y globales de una
función. Problemas de optimización.
-Representación gráfica de funciones polinómicas y racionales.
75
-Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas encerradas
bajo una curva. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo
de áreas de regiones planas.
En Portugal existe más de un posible diseño curricular para cada año de escolaridad de
la Enseñanza Secundaria.
De acuerdo con la selección del curso/área a frecuentar por el alumno, este podrá
tener clases de Matemática A, Matemática B, o mismo, Matemática Aplicada a las
Ciencias Sociales. Esta división es hecha de la siguiente forma:
Matemática A: Cursos Científico-Humanísticos de Ciencias e Tecnologías e de Ciencias
Socioeconómicas.
Matemática B: Curso Científico-Humanístico de Artes Visuales, Cursos Tecnológicos de
Construcción Civil e Edificaciones, de Electrotecnia y Electrónica, de Informática, de
Administración, de Marketing y de Deporte.
Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales:
10º, 11º / 11º, 12º Años: Curso Científico-Humanístico de Ciencias Sociales y Humanas
10º, 11º, 12º Años: Curso Tecnológico de Ordenación del Territorio y Medio Ambiente
En esta investigación estudiaremos sólo el diseño curricular de la Matemática para los
Cursos Científico-Humanísticos de Ciencias e Tecnologías y de Ciencias
Socioeconómicas. El diseño curricular de la Matemática B puede ser consultado en los
anexos. Lo referente a la Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales no fue analizado
en el presente estudio.
Así, se sigue la presentación de un cuadro que describe la distribución de los temas de
Matemática A durante los tres años de la Enseñanza Secundaria portuguesa:
76
Matemática A
77
Con el uso numérico y gráfico de nuevas funciones – racionales e incluyendo radicales
– se amplían los conocimientos relativos a las funciones. En el 10.º y 11.º año de
escolaridad se privilegian funciones que relacionan variables con significado concreto.
Las nociones de tasa media de variación y de tasa de variación/derivada desempeñan
un papel central, siendo introducidas recurriendo al uso informal de la noción de
límite. El concepto de tasa de variación es importante para las disciplinas de
”Economía” y ”Física y Química” por el que es ventajoso que sea explorado en
coordinación con estas disciplinas, en los respectivos cursos generales. La utilización de
ejemplos concretos de esas disciplinas, la realización de actividades comunes o la
presentación de algún aspecto en una de esas disciplinas para posterior desarrollo en
la disciplina de Matemáticas son algunas das posibilidades que se ofrecen a los
profesores.
Observamos que consta del diseño curricular de Bachillerato de España el estudio de
Matrices, Determinantes e Introducción al concepto de integral. En lo en tanto, en
Portugal los referidos contenidos sólo son estudiados en la Universidad. Por otro lado,
la Descomposición de polinomios en factores es bastante explorada en Portugal y no lo
es en España.
A fin de confirmar esta hipótesis que sitúa el origen del problema en la estructura de
las organizaciones matemáticas escolares, llevaremos a cabo en el que sigue nuevos
análisis de los datos proporcionados por los libros de texto.
78
3.2. Manuales escolares
El manual escolar o libro de texto es una publicación especializada, con identidad
propia, que nace en respuesta a las necesidades del sistema general y público de
enseñanza y del modelo de enseñanza simultánea. Es un libro fácilmente reconocible
por su estructura y porque está rotulado claramente indicando la materia que trata y a
quién va dirigido.
Su desarrollo está vinculado a los avances tecnológicos de las artes gráficas, a los
cambios en la ilustración y diseño editorial, y a los modelos pedagógicos y políticas
educativas dominantes. En éste, se pueden distinguir tres grandes épocas: Una de
manuales de autor, otra de mayor difusión popular que está vinculada a las series
escolares y a las enciclopedias, y una tercera que corresponde a la última generación
de manuales escolares.
Desde su aparición el libro de texto ha sido motivo de polémica en diferentes aspectos:
1. Inicialmente el debate se situó en torno a la necesidad o no de la regulación política
de los manuales. Aquí se enfrentaron dos posiciones extremas: libertad absoluta de los
profesores a la hora de elegir texto o subordinación al principio de uniformidad y, por
lo tanto, texto único. La cuestión se zanjó con el sistema de lista autorizada por una
comisión oficial que permitió conjugar la uniformidad con la libertad de elección del
profesor.
2. Posteriormente la polémica se desplazó hacia la cuestión de la bondad pedagógica
del manual y el papel que debía jugar en el proceso de enseñanza. Aquí se enfrentaron
las posiciones pedagógicas progresistas, críticas con los libros de texto por ser lo
instrumento característico de la enseñanza tradicional.
3. Un tercer aspecto de discusión fue el de los abusos en la redacción, extensión,
precio y comercialización de los libros de texto.
Los manuales escolares han resistido a los embates de la crítica y a través de su
metamorfosis se hay constituido en una constante material del sistema didáctico.
Así para el estudio de las conjeturas, hemos utilizado un segundo tipo de datos
empíricos, los manuales, que, al igual que las respuestas de los estudiantes al
79
cuestionario, consideramos como indicadores de las características de las
organizaciones matemáticas que viven en la enseñanza del 3.º ciclo y secundaria.
Se trata de los datos obtenidos del análisis de una muestra de libros de texto que
desarrollan el currículum oficial de la enseñanza del 3.º ciclo, (7.º, 8.º e 9.º año de
escolaridad, correspondiente al alumnado con 12-15 años) y de la Enseñanza
Secundaria (10.º, 11.º e 12.º año de escolaridad, correspondiente al alumnado con 15-
18 años).
Con este estudio constatamos que sería también interesante comparar las
conclusiones con las resultantes de una investigación en España referentes al mismo
período (cursos de la Enseñanza Secundaria y bachillerato).
En el caso de la Enseñanza Secundaria hemos tomado los libros de texto
correspondientes a la Matemática A, ésto es, referente a los cursos Científico-
Humanísticos de Ciencias e Tecnologías e de Ciencias Socioeconómicas.
80
3.2.1. La selección
Vamos comenzar por presentar una tabla con la identificación de los libros de texto en
que fue efectuado el estudio de las características de las organizaciones matemáticas.
La elección de los manuales se ha hecho teniendo en cuenta su amplia difusión en
todas las instituciones escolares del país. Fueron analizados dos libros de texto de cada
año de escolaridad como muestra la siguiente tabla:
Año de escolaridad Título Editorial Año de publicación
7.º Espaço7 Edições Asa 2007
7.º Matemática Dinâmica Porto Editora 2006
8.º EnigMat Edições Asa 2008
8.º Matemática Dinâmica Porto Editora 2005
9.º Matemática em Acção Lisboa Editora 2009
9.º Matemática 9 Porto Editora 2002
10.º Espaço 10 Edições Asa 2007
10.º Matemática A
(Funções I) + (Geometria I)
Porto Editora 2004
11.º Infinito Areal Editores 2009
11.º Matemática A (Funções II) Porto Editora 2007
12.º Matemática A
(Funções III) + (Trigonom)
Porto Editora 2009 + 2007
12.º Infinito Areal Editores 2006
81
3.2.2. Resultados obtenidos por conjeturas
Para llevar a cabo este estudio hemos considerado, para cada conjetura, el tema del
currículum que incluye los ítems del cuestionario relativos a dicha conjetura y, a
continuación, hemos formulado una conjetura específica para cada uno de dichos
temas.
C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la nomenclatura
El cuestionario proponía la exploración de esta conjetura especificando en cuatro
temas concretos: Derivación, Límites, Representación gráfica de funciones elementales
y Álgebra (en particular, ecuaciones de segundo grado completas). Proponemos para
cada uno de estos temas una especificación de la conjetura C1. Después de analizar los
manuales citados anteriormente en los diversos temas, podemos observar los
siguientes resultados de recuento:
Bloque Conjetura
1.1. En el cálculo de límites de funciones (o sucesiones) predomina la letra x (o n) como
designación de la variable? O surgen limites de sucesiones constantes para una variable
distinta de la usual, como por ejemplo, n
n
p 2
15lim
?
C1A
1.3. En el cálculo de derivadas predomina la letra x como designación de la variable real
independiente?
C1B
1.4. En la representación gráfica de funciones predomina la letra x como designación de la
variable real independiente?
C1C
1.2. En la resolución de ecuaciones del segundo grado, por la formula, predomina la letra
x como designación de la variable real independiente?
C1D
82
Vamos ahora comparar los resultados para estas conjeturas específicas que arroja el
análisis de los manuales escolares portugueses con los resultados obtenidos a partir
del análisis de los libros de texto de España efectuada por Cecilio Fonseca, en 2004:
Portugal España4
Número de ejercicios
Tipo de tareas
Variable x
Variable distinta de x
C1A Cálculo de limites 329 0
C1B Cálculo de derivadas 243 14
C1C Gráfica de funciones 211 38
C1D Fórmula para la resolución de ecuaciones del segundo grado 82 15
Número de ejercicios
Tipo de tareas
Variable x
Variable distinta de x
C1B Cálculo de derivadas 952 5
C1C Gráfica de funciones 492 2
Las tablas y gráficos se refieren al número total de las tareas de cada tipo que
aparecen en el conjunto de los manuales analizados. Así, por ejemplo, en el conjunto
de todos los libros de Bachillerato portugueses analizados aparecen 243 tareas
relativas al cálculo de derivadas en relación a variable y 14 tareas de ese tipo utilizan
una variable distinta de . De modo análogo, en el conjunto de todos los libros
analizados de Bachillerato de España contabilizamos 952 tareas relativas al cálculo de
derivadas en relación a variable y sólo 5 tareas de ese tipo utilizan una variable
distinta de .
4 Fueran eliminados las conjeturas no comunes a las investigaciones efectuadas a los dos países como,
por ejemplo, la conjetura relacionada con cálculo de integrales o racionalización de denominadores.
0 100 200 300 400
C1A
C1B
C1C
C1D
Número de ejercicios
variable distinta de x variable x
0 200 400 600 800 1000
C1B
C1C
Número de ejercicios
variable distinta de x variable x
83
C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del
resultado obtenido
Pretendemos en esta segunda conjetura testar las siguientes hipótesis:
Bloque Conjetura
2.2. Será que el cálculo del límite de una función, dada por su expresión analítica, incluye
la interpretación del resultado?
C2A
2.1. Será que el cálculo de la derivada de una función incluye la interpretación del
resultado como variación de la función?
C2B
2.3. El estudio de la continuidad de una función incluye la interpretación del resultado? C2C
2.4. Será que el cálculo de la derivada de una función incluye la interpretación física del
resultado?
C2D
2.5. Determinar el límite de una función envuelta en un problema de modelización incluye
la interpretación del resultado en el contexto real?
C2E
Al analizar los manuales escolares podemos contabilizar cuantos ejercicios de
realización de una determinada tarea incluyen y cuantos no incluyen la interpretación
de la técnica o del resultado.
Tipo de tareas Número de Ejercicios
sin interpretación
con interpretación
C2A Cálculo del límite de una función 329 0
C2B Interpretación de la derivada como variación 463 40
C2C Interpretación física de la derivada 435 79
C2D Interpretación del resultado del límite en el contexto real 300 4
C2E Estudio de la continuidad 85 0
Vamos ahora a comparar los resultados para estas conjeturas específicas que arroja el
análisis de los manuales escolares portugueses con los resultados obtenidos a partir
del análisis de los libros de texto de España efectuada por Cecilio Fonseca, en 2004:
84
Tipo de tareas
Ejercicios de realización
(sin interpretación)
Ejercicios con interpretación
de la técnica o resultado
C2A Cálculo de límites 698 5
C2B Cálculo de derivadas en un punto 78 3
Portugal España5
No fue alterada a escala de los gráficos para que sean similares, ya que pretendemos
visualizar en cada uno de los gráficos la diferencia entre el número de ejercicios que
contemplan o no la interpretación y, posteriormente, percibir se las conjeturas C2A e
C2B se verifican tanto en España como en Portugal.
Los gráficos reflejan claramente la distancia que existe en los libros de texto
consultados, entre la gran cantidad de ejercicios que se proponen para resolver
mecánicamente y la casi ausencia absoluta de ejercicios en los que se requiera la
interpretación del resultado.
5 Fueran eliminados las conjeturas no comunes a las investigaciones efectuadas a los dos países, en
particular, la conjetura relacionada con cálculo de integrales.
0 100 200 300 400 500
C2A
C2B
C2C
C2D
C2E
Número de ejercicios
con interpretación sin interpretación
0 200 400 600 800
C2A
C2B
Número de ejercicios
con interpretación sin interpretación
85
C3. A cada tarea está asociada una técnica privilegiada
Pretendemos en esta tercera conjetura testar las siguientes hipótesis:
Bloque Conjetura
3.1. Será que la técnica algebraica para determinar la derivada de una función en un
punto es más frecuente que la técnica geométrica (calcular la pendiente de la recta
tangente)?
C3A
3.2. Será que en el cálculo del valor final obtenido disminuyendo o aumentando un cierto
porcentaje del valor inicial es requerida más de una técnica?
C3B
3.3. En el estudio de la derivada de una función dada analíticamente predomina una
técnica específica para cada tipo de función, por ejemplo la regla del cociente para
funciones racionales?
C3C
3.4. Será que en la resolución de inecuaciones predomina la técnica algebraica (estudio
algebraico del cambio de signo de la función) frente a la técnica que se apoya en el
estudio de la gráfica de la función asociada?
C3D
Al analizar los manuales escolares podemos contabilizar cuantos ejercicios de
realización de una determinada tarea incluyen una sola técnica y cuantos sugieren la
resolución de la tarea por una técnica diferente.
Tipo de tareas Ejercicios de realización
con una sola técnica
con más de una técnica
C3B Cálculo porcentajes 112 2
C3C Cálculo de derivadas (algebraicamente) 262 9
C3D Resolución de una inecuación cuadrática o grado superior a 2
Algebraicamente Gráficamente
28 33
C3A Determinación de la derivada de una función en un punto
435 80
Vamos ahora a comparar los resultados para estas conjeturas específicas que arroja el
análisis de los manuales escolares portugueses con los resultados obtenidos a partir
del análisis de los libros de texto de España efectuado por Cecilio Fonseca, en 2004:
86
Tipo de tareas
Ejercicios de realización
con una sola técnica
Ejercicios de realización
con más de una técnica
C3A Cálculo del m.c.m. 82 1
C3B Cálculo porcentajes 43 37
C3C Cálculo de derivadas 952 8
C3D Resolución de una
inecuación cuadrática
Algebraicamente Gráficamente
25 4
La conjetura C3A es diferente en los dos países, por lo tanto no la vamos a comparar,
pero los resultados referentes a esta conjetura no fueron eliminados de los datos de
los gráficos siguientes:
Portugal España
Los gráficos reflejan claramente la gran cantidad de ejercicios que los libros de texto
proponen para resolver una tarea por una sólo técnica (la privilegiada) y la menor
cantidad de ejercicios que se proponen para resolver una tarea por más de una técnica
o por una técnica distinta de la privilegiada.
0 100 200 300 400 500
C3A
C3B
C3C
C3D
Número de ejercicios
técnica distinta técnica priviligiada
0 200 400 600 800 1000
C3A
C3B
C3C
C3D
Número de ejercicios
técnica distinta técnica priviligiada
87
C4. No ocurre reversión de las técnicas para realizar la tarea “inversa”
Pretendemos en esta conjetura testar las siguientes hipótesis:
Bloque Conjetura
4.5. En la representación gráfica de funciones6 predomina la tarea de representar a partir
de la expresión analítica en relación a la tarea “inversa” cuyo objetivo sea obtener una
expresión analítica de la función a partir de la gráfica?
C4A
4.1. En el estudio de funciones polinómicas, los libros de texto proponen buscar los
puntos de corte de la gráfica de la función con el eje de las x. Será que proponen la tarea
“inversa”:” buscar una función polinómica dadas sus raíces”?
C4B
4.2. y 4.3. Será que, en el estudio de sistemas de ecuaciones, predomina la técnica de
resolución de sistemas (tarea directa) y no se realiza la tarea inversa de buscar sistemas
de ecuaciones que tengan unas soluciones dadas de antemano (algebraicamente o
geométricamente)?
C4C
4.4. Será que en el trabajo con el lenguaje algebraico, predomina la traducción del
lenguaje natural al algebraico (tarea directa), frente a la traducción inversa de una
expresión algebraica al lenguaje verbal7?
C4D
Al analizar los manuales escolares podemos contabilizar, para un determinado tema,
cuantos ejercicios están relacionados con la tarea directa y cuantos sugieren la
resolución por la tarea inversa.
TAREA DIRECTA TAREA INVERSA
Representar la gráfica a partir
de la expresión analítica Expresar analíticamente una función a
partir de la gráfica
C4A 212 59
Resolver una ecuación
polinómica Determinar una ecuación polinómica
dadas las raíces
C4B 78 28
6 nos limitaremos a las funciones afines y cuadráticas
7 En estas conjeturas específicas, C4C y C4D, hemos utilizado únicamente los libros de texto de lo
3.ºciclo (ESO).
88
Resolver un sistema de
ecuaciones lineales Determinar un sistema de ecuaciones
lineales a partir de sus soluciones
C4C 150 2
Traducción del lenguaje
natural al lenguaje algebraico Traducción del lenguaje algebraico al
lenguaje natural
C4D 88 27
Vamos ahora a comparar los resultados para estas conjeturas específicas que arroja el
análisis de los manuales escolares portugueses con los resultados obtenidos a partir
del análisis de los libros de texto de España efectuado por Cecilio Fonseca, en 2004:
TAREA DIRECTA TAREA INVERSA
Representar la gráfica a partir de la
expresión analítica
Expresar analíticamente una función a
partir de la gráfica
C4A 156 35
Resolver una ecuación polinómica
Determinar una ecuación polinómica
dadas las raíces
C4B 237 29
Resolver un sistema de ecuaciones
lineales
Determinar un sistema de ecuaciones
lineales a partir de sus soluciones
C4C 516 1
Traducción del lenguaje natural al
lenguaje algebraico
Traducción del lenguaje algebraico al
lenguaje natural
C4D 145 40
En esta cuarta conjetura las conjeturas específicas C4A-C4D coinciden en los estudios
efectuados en Portugal y España, por lo tanto, podremos proceder a la comparación de
los resultados de recuento en los manuales escolares de todos los datos presentados
en los gráficos siguientes:
89
Portugal España
Los gráficos reflejan claramente la distancia que existe en los libros de texto
consultados, entre la gran cantidad de ejercicios que se proponen para resolver la
tarea directa y la menor cantidad de ejercicios que se proponen para resolver la tarea
inversa. En consecuencia, las técnicas que serían pertinentes para realizar dichas
tareas inversas están completamente ausentes de los manuales. En ambos países se
observa en la conjetura C4C, una gran discrepancia entre el número de ejercicios
presentes en los libros de texto referentes a la tarea directa “resolución de un sistema
de ecuaciones lineales”(150 en Portugal y 516 en España) y a la tarea inversa “escribir
un sistema de ecuaciones lineales conociendo sus soluciones” (2 en Portugal y 1 en
España). Los valores empequeñecen drásticamente cuando se pasa de contar el
número de ejercicios que se proponen como tarea directa a los que se proponen como
tarea inversa.
0 50 100 150 200 250
C4A
C4B
C4C
C4D
Número de ejercicios
tarea inversa tarea directa
0 200 400 600
C4A
C4B
C4C
C4D
Número de ejercicios
tarea inversa tarea directa
90
C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización
En el estudio efectuado con los libros de texto de la enseñanza de España por Cecilio
Fonseca, en 2004, fueron enunciadas las siguientes conjeturas:
C5A: Existen muy pocas situaciones “abiertas” que requieran un trabajo de modelización utilizando
inecuaciones.
C5B: Existen muy pocas situaciones “abiertas” que requieran un trabajo de modelización utilizando
derivadas.
C5C: Existen muy pocas situaciones “abiertas” que requieran un trabajo de modelización utilizando
integrales.
Los resultados del recuento fueron los siguientes:
Tipos de tareas Total Incluyen alguna etapa de la
modelización
C5A Problemas de inecuaciones 152 22
C5B Problemas de derivadas 1957 176
C5C Problemas de integrales 1887 132
Cecilio Fonseca concluye que: “los datos obtenidos del análisis de los manuales
muestran muy claramente que en el conjunto de las tareas de los tipos considerados,
las tareas que incluyen algún aspecto de la modelización son excepcionales. En los
pocos casos en los que aparece alguna de las etapas de la modelización matemáticas
ésta suele reducirse a la manipulación de un modelo dado en el enunciado de la tarea.
Entre las casi 4000 tareas analizadas (todas las que hacen referencia a inecuaciones,
derivadas e integrales) no hemos encontrado ninguna en la que el alumno tuviera que
elegir por sí mismo cuáles eran las variables más adecuadas para modelizar un sistema
(matemático o extra matemático) dado.”
En el presente trabajo de investigación, el procedimiento de contabilización de los
problemas fue efectuado de una forma diferente, ya que, en los manuales portugueses
están presentes bastantes problemas de modelización. Así, consideramos que sería
interesante, más que verificar si existen o no situaciones de modelización, contabilizar
91
los problemas que sólo requerían la construcción de un modelo, los que sólo sugerían
la manipulación del modelo ya construido y los que englobaban los dos procesos.
Nótese que, en los manuales portugueses, fueron contados nada más los ejercicios
referentes a problemas.
Pretendemos en esta conjetura testar la siguiente hipótesis:
En los diversos temas existen muy pocas situaciones “abiertas” que requieran un trabajo
simultáneo de construcción y manipulación de un modelo?
Al analizar los manuales escolares podemos contabilizar, en cada uno de los temas:
Derivada, Porcentajes, Funciones Polinómicas y Funciones definidas a trozos; cuantos
problemas no incluyen la etapa de construcción de un modelo y cuantos sugieren esa
tarea de construcción.
5.1. Construcción del modelo
problemas no incluyen incluyen etapa de construcción
Problemas de N.º DE EJERCICIOS N.º DE EJERCICIOS
Derivadas 96 51
Porcentajes 69 1
Funciones polinómicas 27 55
Funciones a trozos 12 5
A excepción del tema Funciones polinómicas, de todos los problemas existentes en los
manuales escolares portugueses relacionados con los restantes tres contenidos fueron
contabilizados un mayor número de problemas que no incluyen una etapa de
construcción del modelo que los que incluyen esa tarea. Es de señalar la gran
diferencia de resultados en los temas Derivadas y Porcentajes.
Si sigue el mismo análisis para la etapa de manipulación del modelo, ésto es, en cada
uno de los cuatro temas citados anteriormente, contabilizar cuantos problemas no
incluyen la etapa de manipulación de un modelo y cuantos inducen a esa tarea.
92
5.2. Manipulación del modelo
problemas no incluyen incluyen etapa de manipulación
Problemas de N.º DE EJERCICIOS N.º DE EJERCICIOS
Derivadas 20 127
Porcentajes 69 1
Funciones polinómicas 24 58
Funciones a trozos 3 14
Obsérvese que de los 147 problemas sobre derivadas sólo 20 no incluyen una etapa de
modelización. Este elevado número de problemas con derivadas se refieren,
mayoritariamente, a problemas de optimización.
De modo análogo, efectuamos el recuento de los problemas, relacionados con cada
uno de los cuatro temas, que proponen simultáneamente, la construcción y
manipulación del modelo.
El registro de los resultados es presentado en la siguiente tabla:
5.3. Construcción y Manipulación del modelo
problemas no incluyen Construcción + manipulación
Problemas de N.º DE EJERCICIOS N.º DE EJERCICIOS
Derivadas 96 51
Porcentajes 69 1
Funciones polinómicas 49 33
Funciones a trozos 12 5
Concluimos así, que una gran parte de los problemas que incluyen alguna etapa de
modelización esa etapa corresponde a la tarea de manipulación del modelo, pues
cuando procuramos la coexistencia de las dos etapas de la modelización, de los 316
problemas analizados, fueron contados 204 problemas en que no está presente la
tarea de construcción del modelo, sólo incluyendo la manipulación.
El siguiente gráfico reúne los datos referentes a los cuatro temas donde podemos
observar el porcentaje de problemas relacionados con: Derivada, Porcentajes,
Funciones Polinómicas y Funciones definidas a trozos; que incluyen la etapa de
93
manipulación, de construcción del modelo o que proponen las dos etapas en
simultáneo:
Estos datos reflejan claramente la diferencia de porcentaje de problemas que incluyen
la manipulación de un modelo ya existente (63,29%) y el porcentaje de problemas que,
además, incluyen la construcción del modelo (28,48%).
Concluimos así que, de un modo global, en los problemas estudiados está más
presente la tarea de manipulación de un modelo que la tarea relacionada con su
construcción.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
36,71%
64,56% 71,52%
63,29%
35,44% 28,48%
Porcentage de problemas
no incluyen incluyen
94
3.3. Primer estudio exploratorio
3.3.1. Descripción del primer cuestionario
Inicialmente efectuamos una adaptación del segundo cuestionario presentado en la
tesis de Cecilio Fonseca (2004) a la situación de la Enseñanza Secundaria portuguesa.
Fue necesario efectuar algunas alteraciones iniciales porque hay ciertas diferencias
entre el diseño curricular de la Enseñanza Secundaria española y la portuguesa, más
propiamente a nivel del bachillerato. Actualmente, propuestas de ejercicios de
racionalización de denominadores o cuestiones que envuelvan Integrales no son
contemplados en el diseño curricular portugués y, consecuentemente, también no
aparecen en los manuales escolares portugueses.
Eso ha provocado la necesidad de efectuar varias modificaciones, substituyendo
algunos ítems por otros nuevos, principalmente a nivel de la primera conjetura
(Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica) y de la segunda conjetura
(La aplicación de una técnica en S no incluye la interpretación del resultado).
Para su realización no fue permitida la utilización de la máquina calculadora gráfica,
porque en algunos ítems pretendíamos testar si el alumnado tenería dificultades en
representar gráficamente una determinada función.
Fue salvaguardado el anonimato de los estudiantes, ya que, apenas fue solicitada la
clasificación de Matemática en final del último año para posteriormente efectuar un
estudio con eses dados.
El cuestionario presentado al alumnado y el análisis de los resultados pueden ser
consultados en el Anexo B.
95
3.4. Segundo estudio exploratorio
3.4.1. Descripción del segundo cuestionario
Las limitaciones del primer cuestionario nos llevaron a revisar algunos ítems para hacer
otro estudio exploratorio un poco más completo que el primero.
Dada la diferencia de fechas de los dos estudios, fue posible mejorar el primer estudio
exploratorio, alterando algunos de los ítems del cuestionario y aumentando otros.
En vez de cuatro conjeturas pasamos a analizar cinco conjeturas, incrementando una
nueva referente a problemas de Modelización, que es un tema propuesto para
estudiar y a profundizar en el Espacio Europeo.
Como el objetivo de esta investigación no es efectuar una apreciación de
conocimientos del alumnado, sino de tener una percepción si los alumnos están
familiarizados con cierto tipo de tareas, algunos ítems del primer cuestionario
sufrieron modificaciones de forma que fuesen más claras y perceptibles para los
alumnos y, así, permitir una mejor comparación de los resultados y,
consecuentemente, proporcionar un análisis más fiable de las conjeturas.
Pretendemos que las respuestas al cuestionario construido sean directas, porque la
mayoría no necesita de cálculos. La finalidad del cuestionario no es verificar los
conocimientos del alumnado, pero sí, la familiarización con ciertos enunciados o
tareas.
Es de notar que los errores de cálculo simples como cambios de signo o de notación
fueron considerados, por ejemplo, ; , muy frecuente este
último en el ítem 20.
Ya que en el primer cuestionario los alumnos apenas respondían “si” al apartado (b) sin
presentar la técnica. Estas respuestas incompletas fueron obviamente consideradas
incorrectas. Para encauzar este tipo de respuesta de los alumnos aumentamos a la
cuestión 14(b) la siguiente expresión: ”Si positivo, presenta la resolución por esa
técnica.”
Efectuamos también algunas modificaciones en los problemas originales de
modelización (utilizados en Fonseca 2004) como, por ejemplo, retiramos las cuestiones
96
que hacían referencia a la segunda derivada, porque los alumnos portugueses del
último año del bachillerato aún no manipulaban con seguridad la segunda derivada en
el momento de la aplicación del cuestionario.
Las principales modificaciones son presentadas en la siguiente tabla:
Primer cuestionario Segundo cuestionario
3. Haga un esbozo de la gráfica de la función definida por:
t(p) = 4 p – p2.
3. Representa gráficamente con precisión la función
definida por: t(p) = 4 p – p2.
12. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x
3 – 100 x
2
tienden a cero cuando x tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función cociente: f(x) / g(x)
cuando x tiende a cero.
12. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x
3 – 100 x
2 tienden
a cero cuando x tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función cociente: f(x) / g(x)
cuando x tiende a cero por la derecha.
14. Dada la función: f(x) = 5
(3x - 2)2
(a) Calcula su derivada.
(b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una
técnica diferente a la que has utilizado en el apartado
anterior?
14. Dada la función: f(x) = 5
(3x - 2)2
(a) Calcula su derivada.
(b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una
técnica diferente a la que has utilizado en el apartado
anterior? Si positivo, presenta la resolución por esa
técnica.
18. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x)
aparece en el siguiente dibujo. ¿Cómo podemos calcular
el valor de la derivada en x=1 sin conocer la expresión
algebraica de la función?
21. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x)
en x=1 aparece en el siguiente dibujo. ¿Calcula el valor de
la derivada en x=1 sin conocer la expresión algebraica de
la función?
20. Dada la función definida por f(x) = x2 – 4x.
(a) Calcule f ’(1).
(b) Esboce el gráfico de la función f.
23. Dada la función definida por f(x) = x2 – 4x.
(a) Calcule f ’(1).
(b) Representa gráficamente con precisión la función f.
97
De este modo, el segundo cuestionario fue aplicado a alumnos portugueses del último
año de bachillerato (12.º año) de una escuela particular y, simultáneamente, a
estudiantes del primer año de un Instituto de estudios universitarios español.
Para contestar al referido cuestionario los alumnos disponían de 100 minutos.
Además fue solicitada la clasificación del último año de escolaridad a los alumnos
portugueses y la nota de selectividad a los estudiantes españoles.
3.4.1.1. Presentación del cuestionario
1. Calcula
2. Si tuvieras que estudiar la variación de las siguientes funciones:
f(x) = 6x2+5 g(x) = 6x
2+5000
¿Cuál de las dos experimenta una variación mayor (variación de y respecto de x) en el intervalo [1, 3]?
3. Representa gráficamente con precisión la función definida por: t(p) = 4 p – p2.
4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en los puntos siguientes: (1, 0),
(– 2, 0) y (3, 0).
5. Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un 18%?
6. Busca dos soluciones del sistema de ecuaciones:
082y4x
04y2x
7. Calcula la derivada de la siguiente función: k(x) = 3sx , s R
8. Estudia la continuidad de la función
.
9. Resuelve la inecuación (x – 1) (x + 3) 0 estudiando los cambios de signo de la función asociada (sin
hacer ninguna gráfica).
10. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos.
n
n
n 3
82lim
98
11. La familia de rectas de la forma y = m (m constante arbitraria) pueden caracterizarse por y’ = 0. Qué
interpretación física puede darse a la ecuación anterior?
12. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x
3 – 100 x
2 tienden a cero cuando x tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función cociente: f(x) / g(x) cuando x tiende a cero más.
(b) Cuál de las dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica
tu respuesta.
13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después de ser lanzado al mercado
son:
(a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito.
(b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión.
14. Dada la función: f(x) = 5
(3x - 2)2
(a) Calcula su derivada.
(b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el
apartado anterior? Si positivo, presenta la resolución por esa técnica.
15. En unos grandes almacenes hacen el 10% de descuento en todos los artículos y cargan el 16% de IVA
(a) Calcular el coste final de un artículo que inicialmente vale x euros.
(b) Puedes calcular el coste final de un artículo aplicando a x una única operación?
16. Un estudio de la eficacia del turno matinal (de 8 h a 15 h) de una fábrica demuestra que el número,
Q(t), de unidades producidas (en un período de t horas) por un trabajador que llega a la fabrica a las 8
horas, es de Q(t) = -t
3
3 + 2t2 + 12t unidades (en promedio).
(a) Determine la expresión de su derivada.
(b) En qué momento de la mañana la eficacia es máxima?
tetV
8,1
30)(
99
17. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: “El producto de tres números pares
consecutivos es igual a 1680”.
18. Se desea construir una caja abierta de volumen V con un cartón cuadrado de 24 cm de lado,
cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Expresa V como función
de x.
19. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y el nº de ellas tras un tiempo t (horas)
viene dado por
. ¿Cómo podemos descubrir si hay desniveles en la población?
20. Resuelve la ecuación x2
- 5x + 4 = 0.
21. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x) en x=1 aparece en el siguiente dibujo. Calcula el
valor de la derivada en x=1 sin conocer la expresión algebraica de la función.
22. En qué puntos la gráfica de la función f(x) = (x – 1) (x + 1) (x + 3) corta al eje de las x?
23. Dada la función definida por f(x) = x2 – 4x.
(a) Calcule f ’(1).
(b) Representa gráficamente con precisión la función f.
24. Compras una moto que marca 4000 euros y te hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te
cuesta la moto.
25. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que acepte como soluciones los
puntos (– 1, 3) y (5, 6).
26. Calcula la derivada de la siguiente función h(s) = x
2s (x R).
100
27. Resuelve la inecuación (x + 4) (x – 2) 0 a partir de la gráfica de la función asociada.
28. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos.
29. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2)+ (2x + 4) = 246, x IN
30. Calcula
31. Resuelve la ecuación , donde es la incógnita y es un número real conocido
(distinto de cero).
32. El volumen C(t) (agua acumulada hasta el instante t) de agua que mana de un grifo (en litros) viene
dada por una función afín respecto del tiempo t (en segundos). Si en el primer segundo el agua recogida
es de 3 litros, en el segundo es de 5 litros y en el tercer segundo es de 7 litros,
(a) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en un instante cualquiera t?
(b) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en una hora?
(c) ¿Cuando arroja más agua por segundo el grifo a los 10 segundos o a los 12 segundos?
33. Un obrero de la construcción trabaja a destajo. Cobra 50 euros la hora si el número de horas
trabajadas a la semana es igual o inferior a 40, y por cada hora adicional, 80 euros. Escribe una función
que represente el que cobra dicho obrero en función de las horas trabajadas.
n
n
p 2
15lim
101
Formulario de derivadas
Función Derivada
,
IR
Fórmula para la resolución de ecuaciones del segundo grado:
3.4.1.2. Agrupamiento de los ítems en conjeturas y bloques
Conjetura BLOQUE Ítems correspondientes
C1.
Dependencia
de la
nomenclatura
asociada a
una técnica
1.1.
Cálculo de limites
1. Calcula
30. Calcula
1.2.
Álgebra
20. Resuelve la ecuación x2
- 5x + 4 = 0.
31. Resolver la ecuación , donde es la incógnita y
es un número real conocido (distinto de cero).
1.3.
Derivación
7. Derivar una función respecto a la variable x con un parámetro s.
26. Derivar una función respecto a la variable s con un parámetro x.
1.4.
Gráficas de funciones
23(b). Representar gráficamente una función cuadrática f(x).
3. Representar gráficamente una función cuadrática t(p) función de p.
n
n
n 3
82lim
n
n
p 2
15lim
102
Conjetura BLOQUE Ítems correspondientes
C2.
La aplicación
de una técnica
en S no
incluye la
interpretación
del resultado
2.1.
Interpretación de la
derivada
23 (a). Dada a función . Calcula f ’(1).
2. Si tuvieras que estudiar la variación de las siguientes funciones :
f(x) = 6x2+5 g(x) = 6x
2+5000
Cuál de las dos experimenta una variación mayor (variación de y respecto
de x) en el intervalo [1, 3]?
2.2.
Límites de funciones
12. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x
3 – 100 x
2 tienden a cero cuando x
tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x tiende a cero más.
(b) ¿Cuál de les dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero
cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta.
2.3.
Continuidad
8. Estudiar la continuidad de la función
.
19. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y el nº de
ellas tras un tiempo t (horas) viene dado por
¿Cómo podemos descubrir si hay desniveles en la población?
2.4.
Derivada y su
interpretación física
11. La familia de rectas de la forma y = m (m constante arbitraria) pueden
caracterizarse por y’ = 0. Qué interpretación física puede darse a la
ecuación anterior?
23 (a). Dada a función . Calcula f ’(1).
2.5.
Límites y
modelización
13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después
de ser lanzado al mercado, son: tetV8,1
30)(
(a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito.
(b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en
cuestión.
103
Conjetura BLOQUE Ítems correspondientes
C3.
Inexistencia
de dos
técnicas
diferentes
para realizar
una misma
tarea
3.1.
Derivada: técnica
algebraica/geométrica
23 (a). Dada a función . Calcula f ’(1).
21. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x) en x=1 aparece
en el siguiente dibujo. Calcula el valor de la derivada en x=1 sin conocer la
expresión algebraica de la función.
3.2.
Porcentajes
24. Compras una moto que marca 4000 euros y te hacen un descuento del
15%. Calcula cuánto te cuesta la moto.
5. Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un
18%?
3.3.
Derivación
14. Dada la función: f(x) = 5
(3x - 2)2 .
(a) Calcula su derivada.
(b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a
la que has utilizado en el apartado anterior? Si positivo, presenta la
resolución por esa técnica.
3.4.
Inecuaciones y
funciones cuadráticas
9. Resuelve la inecuación (x – 1) (x + 3) 0 estudiando los cambios de
signo de la función asociada (sin hacer ninguna gráfica).
27. Resuelve la inecuación (x + 4) (x – 2) 0 dibujando la gráfica de la
función asociada.
104
Conjetura BLOQUE Ítems correspondientes
C4.
No reversión
de las técnicas
para realizar la
tarea inversa
4.1.
Funciones polinómicas
4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en
los puntos siguientes (1, 0), (– 2, 0) y (3, 0).
22. En qué puntos la gráfica de f(x) = (x – 1)(x + 1) (x + 3) corta al eje de las
x?
4.2.
Sistemas de ec.
lineales
6. Buscar dos soluciones de un sistema de 2 ecuaciones lineales en x e y :
2x-y+4=0; -4x+2y-8= 0
25. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas que acepte como soluciones los puntos (– 1, 3) y (5, 6).
4.3.
Sistemas de
ecuaciones lineales y
geometría analítica
10. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos.
25. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas que acepte como soluciones los puntos (– 1, 3) y (5, 6).
4.4.
Álgebra elemental
17. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: “El producto de
tres números pares consecutivos es igual a 1680”.
29. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2 )+ (2x + 4)
= 246, x IN
4.5.
Funciones cuadráticas
23 (b). Representa gráficamente la función: f(x) = x2 – 4x.
28. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos.
105
Conjetura BLOQUE Ítems correspondientes
C5.
Ausencia de
situaciones
abiertas que
requieren un
trabajo de
modelización
5.1.
Construcción del
modelo
15. En unos grandes almacenes hacen el 10% de descuento en todos los
artículos y cargan el 16% de IVA
(a) Calcular el coste final de un artículo que inicialmente vale x euros.
(b) Puedes calcular el coste final de un artículo aplicando a x una única
operación?
18. Se desea construir una caja abierta de volumen V con un cartón
cuadrado de 24 cm de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y
doblando los lados hacia arriba. Expresa V como función de x.
33. Un obrero de la construcción trabaja a destajo. Cobra 50 euros la hora
si el número de horas trabajadas a la semana es igual o inferior a 40, y por
cada hora adicional, 80 euros. Escribe una función que represente el que
cobra dicho obrero en función de las horas trabajadas.
5.2.
Manipulación del
modelo
16. Un estudio de la eficacia del turno matinal (de 8 h. a 15 h.) de una
fábrica demuestra que el número, Q(t), de unidades producidas (en un
período de t horas) por un trabajador que llega a la fabrica a las 8 horas, es
de Q(t) = -t
3
3 + 2t2 + 12t unidades (en promedio).
(a) Determine la expresión de su derivada.
(b) En qué momento de la mañana la eficacia es máxima?
5.3.
Construcción y
manipulación del
modelo
32. El volumen C(t) (agua acumulada hasta el instante t) de agua que mana
de un grifo (en litros) viene dado por una función afín respecto del tiempo
t (en segundos). Si en el primer segundo el agua recogida es de 3 litros, en
el segundo es de 5 litros y en el tercer segundo es de 7 litros,
(a) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en un instante cualquiera t?
(b) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en una hora?
(c) ¿Cuándo arroja más agua por segundo el grifo: a los 10 segundos o a los
12 segundos?
106
3.4.1.3. Descripción de la muestra
Como pretendemos efectuar un estudio paralelo entre la situación portuguesa y la
española de la rigidez de las matemáticas y así constatar que no es un problema de la
actividad institucional de las matemáticas españolas, fue constituida una muestra de
51 estudiantes del último año de bachillerato de un establecimiento de Enseñanza
Secundaria privada portugués, Colégio Internato dos Carvalhos, situado en Vila Nova
de Gaia , y 29 estudiantes de un establecimiento de Enseñanza Universitaria de
España, que actualmente cursan el primer año de Química. El cuestionario fue aplicado
7 meses después del inicio de los cursos universitarios y, simultáneamente, a los
alumnos del último año de bachillerato.
El primer grupo de estudiantes está constituido por 25 elementos de sexo femenino y
26 elementos de sexo masculino. El segundo grupo de estudiantes está constituido por
14 elementos de sexo femenino y 15 elementos del sexo masculino.
Por la observación del diagrama de dispersión podemos concluir que la distribución de
las notas de los alumnos del penúltimo año de bachillerato en Portugal varía entre 10 y
208, y la nota de selectividad de España entre 5,3 y 9,419, lo que significa que las
clasificaciones son positivas y, por tanto, el alumnado representativo de la muestra
debe estar bien adaptado al sistema de enseñanza:
8 En Portugal la escala de clasificaciones en Bachillerato es de 0 a 20. Considerando una clasificación insuficiente
cuando es inferior a 10, buena cuando superior o igual a 14 y muy buena cuando superior o igual a 18. 9 En España la escala de las notas de selectividad varía entre 0 y 10.
107
Figura 2 – Clasificaciones de la submuestra de estudiantes portugueses
Figura 3 - Clasificaciones de la submuestra de estudiantes de España
El estudio efectuado con los datos relativos a la clasificación de Matemáticas al final
del penúltimo año del alumnado portugués encuestado y del último año del alumnado
español es presentado en las siguientes tablas y gráficos circulares:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Últ
ima
Cla
ssif
icac
ión
fin
al
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Últ
ima
Cla
ssif
icac
ión
fin
al
108
Submuestra portuguesa:
Nota del año anterior
Máximo Mínimo Media Mediana Desv. Típ.
20 10 14,14 14,00 2,38
Submuestra española:
Nota del año anterior
Máximo Mínimo Media Mediana Desv.Típ.
9,41 5,3 6,45 6,10 0,98
Nótese que 6 de los alumnos que constituyen la submuestra española no indicaron la
nota de selectividad, probablemente porque no fueron sometidos a la referida prueba
final del bachillerato. Así, sólo fueron estudiadas 23 notas de selectividad.
Observando las tablas y gráficos podemos señalar que cualquier de las submuestras
está constituida mayoritariamente por alumnos medios/buenos y que no hay
calificaciones negativas.
Nótese también que, en ambas submuestras, existe un pequeño porcentaje de
alumnos que alcanzaran una clasificación con distinción de muy buena.
0%
37%
55%
8%
Classificación del alumnado en año anterior
N < 10
10 <= N <14
14 <= N < 18
18 <= N < 20
0%
83%
13%
4%
Nota de selectividad del alumnado
N < 5
5 <= N <7
7 <= N < 9
9 <= N < 10
N=Nota frecuencia %
N < 10 0 0,00%
10 <= N <14 19 37,25%
14 <= N < 18 28 54,90%
18 <= N < 20 4 7,84%
Total 51 100,00%
N=Nota frecuencia %
N < 5 0 0,00%
5 <= N <7 19 82,61%
7 <= N < 9 3 13,04%
9 <= N < 10 1 4,35%
Total 23 100,00%
109
En la subsección siguiente presentaremos el análisis de los resultados obtenidos por
bloques.
3.4.2. Análisis de los resultados obtenidos por bloques
Primera conjetura
C1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
1.1.
Cálculo de
límites
1. Calcula
30. Calcula
porque la expresión es constante
para la variable p.
En este bloque “Cálculo de límites”, esperamos que la dificultad sea
considerablemente mayor cuando designamos el orden de la sucesión con la letra p y
su término con una expresión constante para esa misma letra p.
Los resultados obtenidos en las dos submuestras son presentados en los siguientes
gráficos circulares:
n
n
n 3
82lim
n
n
2
15
n
n
p 2
15lim
110
En Portugal:
En España:
Los datos nos dicen que los alumnos manejan bastante bien la tarea de determinación
del límite de una sucesión cuando corresponde a la tarea usual (ítem 1). Sin embargo,
no manejan con la misma facilidad la tarea representada en el ítem 30, porque las
tareas de ese tipo no forma parte del contrato didáctico de secundaria.
El hecho de utilizar en el ítem 30 una letra diferente, para definir la variable, a la
habitual letra n representativa de la mayoría de los ejercicios cuya tarea sea calcular el
límite de una sucesión ha provocado algunas dudas y dificultades en la resolución.
Aunque el porcentaje baja de una forma muy significativa en ambos países, un
decrecimiento superior a 70% al pasar de la variable n a la variable p, siendo el término
general de la sucesión dependiente de n.
Además, en el estudio cualitativo de sus respuestas, observamos que la mayoría de los
alumnos que osan responder a esta cuestión, toman p como si fuese igual a n y
1,96%
94,12%
3,92%
Respuestas ítem 1
En blanco
Correctas
Incorrectas
21,57% 5,88%
72,55%
Respuestas ítem 30
100,00%
Respuestas ítem 1
En blanco
Correctas
Incorrectas
17,24%
27,59% 55,17%
Respuestas ítem 30
111
presentan 5/2 como respuesta, correspondiendo a 94,59% de las respuestas
incorrectas portuguesas y 93,75% de las respuestas incorrectas de España. Otros
alumnos dicen que no existe el límite o que el límite es infinito.
Así, concluimos que los errores cometidos por los alumnos confirman la tendencia de
que esos errores aumentan cuando aparece una variable distinta de la usual n y
todavía más cuando n aparece como ruido.
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
1.2.
Álgebra
20. Resuelve la ecuación x2
- 5x + 4 = 0. x = 4 ; x = 1
31. Resolver la ecuación ,
donde es la incógnita y es un número real
conocido (distinto de cero).
En el bloque “Álgebra”, si consideramos la resolución de ecuaciones de segundo grado
completas, esperamos que la dificultad sea mayor cuando designamos la variable con
la letra a, que es una letra diferente de la habitual letra x.
Los resultados obtenidos son presentados en los siguientes gráficos circulares:
En Portugal:
1,96%
86,27%
11,76%
Respuestas ítem 20
En blanco
Correctas
Incorrectas
60,78% 15,69%
23,53%
Respuestas ítem 31
112
Tanto en Portugal como en España, al cambiar la nomenclatura conocida por los
estudiantes, correspondiente al ítem 20, por una nueva/no usual, correspondiente al
ítem 31, el número de respuestas correctas disminuye acentuadamente.
Nótese que este tipo de tarea, resolución de una ecuación de segundo grado completa
utilizando la formula, es una tarea frecuentemente practicada por el alumnado. El
problema es que esa práctica, en la mayoría de las veces, es efectuada siempre con la
misma letra representativa de la incógnita (la letra ).
Afirmamos que los alumnos no consiguen liberarse de la nomenclatura a la que están
acostumbrados y adaptar sus conocimientos de álgebra a nuevas situaciones como,
por ejemplo, un cambio en la letra que define la incógnita. Por otro lado, esta pequeña
alteración en el enunciado de la cuestión resulta en un dilema para los estudiantes.
Más de la mitad de los alumnos de Portugal y 37,93% de los estudiantes de España no
responden a la nueva cuestión (ítem 31), dejando la respuesta en blanco.
Los resultados son similares en los dos países, pero podemos resaltar un mayor
porcentaje de respuestas correctas al ítem 31 en España que en Portugal. No obstante,
en ambos países, si verifica en el análisis cualitativo que una gran parte de las
respuestas incorrectas a este ítem están originadas por el alumnado al resolver la
ecuación en orden a y no en orden a , fenómeno que se debe al hecho de que los
estudiantes recurriesen a la tarea más habitual para resolver ecuaciones de segundo
grado y, por lo tanto, estamos delante de una rigidez en la selección de la
nomenclatura en esta organización matemática: “la resolución de ecuaciones del
segundo grado”. Proponemos que deberá haber una mayor flexibilidad y diversidad en
En España:
86,21%
13,79%
Respuestas ítem 20
En blanco
Correctas
Incorrectas
37,93%
31,03%
31,03%
Respuestas ítem 31
113
los enunciados para que el alumno perciba que ciertas situaciones pueden estar
relacionadas con la misma tarea.
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
1.3.
Derivación
7. Derivar una función respecto a la variable x
con un parámetro s. k’(x) = -
3sx
2
26. Derivar una función respecto a la variable s
con un parámetro x. h’(s) = -
x2s
2
Con este bloque esperamos que la dificultad sea mayor, y que el porcentaje de
respuestas correctas baje de una forma significativa, cuando representamos la variable
con una letra diferente a la habitual . Los resultados del estudio exploratorio son
presentados en los gráficos circulares:
En Portugal:
9,80%
35,29% 54,90%
Respuestas ítem 7
En blanco
Correctas
Incorrectas
19,61%
17,65% 62,75%
Respuestas ítem 26
114
Tanto los alumnos portugueses como los estudiantes españoles presentaran más
facilidad en resolver la tarea oficial de derivar una función respecto a la variable con
un parámetro que una tarea nueva de derivar una función respecto a la variable
con un parámetro .
La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems se
nota más en el alumnado portugués que en el alumnado español.
Los datos de Portugal ponen de manifiesto que las respuestas correctas del ítem 7 son
el doble de las del ítem 26, resultado que refleja el gráfico anterior.
Al analizar de un modo cualitativo las respuestas al cuestionario se observó que, al
responder al ítem 7, una gran parte de los alumnos tomaran s como variable y no
como una constante real. Un alumno que constituye la submuestra de España, en vez
de calcular la derivada de la función, presentó su integral. El alumno cometió el mismo
error en el ítem 7 y en el ítem 26.
En la mayoría de las respuestas al ítem 26 se observa que los estudiantes tienden a
considerar tanto x como s variables. Esto significa que la dificultad en este tipo de
tareas no es solamente debida a la modificación en la nomenclatura de la variable pero
sí, debida a la introducción de una constante representada por una letra. En la
percepción de los estudiantes, cuando aparece una letra en las diversas organizaciones
matemáticas, ésta es implícitamente representativa de una variable y, por otro lado,
no están acostumbrados a que una letra represente una constante.
Esto nos lleva a concluir que, en ambos países, los estudiantes tienen más facilidad en
resolver la tarea usual/oficial de derivar una función respecto a la variable x con un
En España:
10,34%
62,07%
27,59%
Respuestas ítem 7
En blanco
Correctas
Incorrectas
24,14%
48,28%
27,59%
Respuestas ítem 26
115
parámetro s que la tarea no usual de derivar una función respecto a la variable s con
un parámetro x.
Por tanto, se verifica la rigidez y atomización de las organizaciones matemáticas, en
este caso particular, de la praxeología “derivada”, cuando estudiamos tareas como la
determinación algebraica de la función derivada.
Bloque Ítems correspondientes
1.4.
Gráficas de
funciones
23(b). Representar gráficamente con precisión una función cuadrática f(x).
3. Representar gráficamente con precisión una función cuadrática t(p) función de p.
Soluciones:
Ya que fue solicitada una representación gráfica con precisión esperamos que los alumnos aporten:
Cálculo del vértice (utilizando, por ejemplo, la técnica de la derivada)
Determinación de puntos de corte con los ejes (si existen en el caso del eje x)
Intervalos de monotonía (por ejemplo a partir del coeficiente del término de segundo grado)
Determinación de algunos valores particulares (por ejemplo un par de valores simétricos
respecto al eje de la parábola)
Como surgió un fenómeno en las respuestas a este bloque en el primer cuestionario, la
mayoría de los alumnos no hacía ninguna referencia al vértice de la parábola,
representando imprecisamente la función y, los que referían al vértice no utilizaban la
técnica de menor coste para determinar sus coordenadas. Esperamos ahora observar
que este fenómeno se mantiene con el nuevo enunciado. También se pretende
verificar si la dificultad es mayor cuando el objetivo es representar gráficamente una
función cuadrática cuya variable independiente es definida por la letra p diferente a la
habitual x.
Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares:
116
En Portugal, tal como en el primer cuestionario, los resultados no corresponden a los
esperables, ya que, el porcentaje de respuestas correctas crece cuando la variable
cambia de la habitual letra x a una diferente p. En España, el porcentaje decrece un
poco con la variación de nomenclatura.
Lo que significa que, en este caso particular de la representación gráfica de una
función cuadrática, la diversidad de nomenclatura no representa un obstáculo para el
alumnado.
En el primer cuestionario se buscaba estudiar lo que se pasaba con el cambio de
notación, ésto es, cuál sería la reacción de los alumnos cuando se encontraban con el
problema de representar gráficamente una función cuya variable independiente era .
Sin embargo, en el análisis cualitativo observamos que, a pesar de representar bien la
función cuadrática, las respuestas manifestaban una cierta incompletitud porque los
estudiantes no se referían al vértice de la parábola. Por esta razón, en el segundo
En Portugal:
En España:
21,57%
15,69% 62,75%
Respuestas ítem 23(b)
En blanco
Correctas
Incorrectas
7,84%
29,41%
62,75%
Respuestas ítem 3
31,03%
37,93%
31,03%
Respuestas ítem 23(b)
En blanco
Correctas
Incorrectas
31,03%
34,48%
34,48%
Respuestas ítem 3
117
cuestionario, más allá de estudiar el problema del cambio de notación también nos
interesó estudiar el fenómeno de la poca relevancia que los estudiantes atribuyen al
vértice y a otros puntos particulares distintos de los ceros. Por eso, en el segundo
cuestionario introdujimos en los dos ítems la expresión "con precisión" para que los
alumnos presentasen por lo menos el vértice en el gráfico.
En el primer cuestionario las respuestas incompletas fueron consideradas correctas ya
que no era requerida tal precisión, pero ahora ya fuimos más rigorosos en la
corrección de estos ítems, en el sentido de no considerar correctas las respuestas
incompletas, ya que era exigida una cierta precisión en la representación gráfica de las
funciones cuadráticas.
Así, al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes de la submuestra
portuguesa observamos que:
- El 81,25% del alumnado que responde incorrectamente al ítem 3 y el 78,13% del
alumnado que responde incorrectamente al ítem 23(b), para representar gráficamente
una función cuadrática no determina el vértice de la parábola, ni determina puntos
particulares de la función distintos de los ceros, apenas dibuja un gráfico con la
concavidad volteada para abajo e indican las abscisas de los puntos de corte de la
función cuadrática.
En contrapartida, el referido fenómeno no se verifica en la submuestra de estudiantes
universitarios de España.
En Portugal:
- El 13,33% del alumnado que responde correctamente al ítem 3 y, el 25% del
alumnado que responde correctamente al ítem 23b, recurre a una tabla de valores.
Nótese que para ambas cuestiones apenas 1 alumno usó la técnica de la derivada para
determinar las coordenadas del vértice de la parábola.
- El 9,38% del alumnado que responde incorrectamente al ítem 3 y, el 3,13% del
alumnado que responde incorrectamente al ítem 23b, utiliza una tabla de valores que
provocó incompletitud en la respuesta.
118
En España:
- El 50% del alumnado que responde correctamente al ítem 3 y, el 63,64% del
alumnado que responde correctamente al ítem 23b, recurre a una tabla de valores. Se
observó también que sólo el 30% de las respuestas ciertas a la tercera cuestión y el
9,09% de las respuestas ciertas al 23b, revelan la utilización de la técnica de la derivada
para determinar las coordenadas del vértice de la parábola.
- El 50% del alumnado que responde incorrectamente al ítem 3 y, el 44,44% del
alumnado que responde incorrectamente al ítem 23b, utiliza una tabla de valores que
provocó incompletitud en la respuesta.
- 2 alumnos utilizaron tanto en el ítem 3, como en el ítem 23b, la formula
para determinar la abscisa del vértice de la parábola y, después recurrieron a una tabla
para descubrir los otros puntos particulares.
Al analizar cualitativamente las respuestas a este segundo cuestionario se observó que
el problema se mantiene, los alumnos continúan sin hacer ninguna referencia al
vértice o a otros puntos particulares distintos de los ceros.
Por otro lado, los alumnos que hacen referencia al vértice no usan la técnica de
derivación de la función para determinar las coordenadas del vértice de la parábola, lo
que sería importante, ya que es una técnica muy útil y eficaz. Esta observación surgió
porque el profesor no compara técnicas y no refiere la extrema importancia de la
técnica “derivada” para resolver problemas.
Se pone de manifiesto otro fenómeno en la rigidez e incompletitud de la respuesta del
alumno. De este modo, propondré posteriormente, otro tipo de actividad matemática
que llevará al alumno a responder de una forma diferente.
119
Segunda conjetura
C2. La aplicación de una técnica en S no incluye la interpretación del resultado
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
2.1.
Interpretación
de la derivada
2. Si tuvieras que estudiar la variación de las
siguientes funciones :
f(x) = 6x2+5 g(x) = 6x
2+5000
Cuál de las dos experimenta una variación mayor
(variación de y respecto de x) en el intervalo [1, 3]?
La variación es igual en las
dos funciones.
23(a). Dada a función . Calcula f ’(1).
En el bloque “Interpretación de la derivada”, restringida a la interpretación de la
derivada como variación de una función en un intervalo, esperamos que la dificultad
sea considerablemente mayor cuando se solicita la interpretación de la derivada que
cuando se pide simplemente el cálculo de la derivada en un punto.
Los resultados obtenidos son presentados en los gráficos circulares:
En Portugal:
5,88%
90,20%
3,92%
Respuestas ítem 23a
En blanco
Correctas
Incorrectas
9,80%
47,06% 43,14%
Respuestas ítem 2
120
Tanto en la submuestra portuguesa como en la submuestra española el número de
respuestas correctas disminuye extraordinariamente cuando se pasa de la tarea de
aplicación de una determinada técnica, correspondiente al ítem 23(a), “calcular el
valor de la derivada de una función en un punto”, a la tarea de interpretación de esa
misma técnica, correspondiente al ítem 2.
Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes portugueses se observó
que para responder al ítem 2, todos los alumnos que contestaran bien utilizaron la
técnica de “el cálculo de la tasa de variación media” y no la técnica de “la
determinación de la derivada” que, sin lugar a duda, sería una técnica con menor coste
de manipulación.
Por otro lado, al analizar cualitativamente las respuestas de los alumnos de España, se
verificó que la mayoría de las respuestas incorrectas corresponden a la observación del
término independiente. Esta parcela del alumnado responde que sería la función g la
que presenta una variación mayor, ya que el término independiente es superior. Lo
que significa que los alumnos confunden el comportamiento estático (analizan la
función) con el comportamiento dinámico (que resulta del análisis de la derivada).
Nótese que el tipo de tarea, determinar algébricamente la derivada de una función
cuadrática en un punto, es una tarea frecuentemente practicada por el alumnado. El
problema es que esa práctica, en la mayoría de las veces, es efectuada casi siempre sin
interpretación. En particular, la interpretación de la derivada como variación de la
función es un dilema para los estudiantes, ya que, más de la mitad de los alumnos que
constituyen la muestra ibérica no responden a la cuestión que implica una
interpretación (ítem 2) o responden incorrectamente.
En España:
3,45%
82,76%
13,79%
Respuestas ítem 23a
En blanco
Correctas
Incorrectas
34,48%
24,14%
41,38%
Respuestas ítem 2
121
De nuevo se observa la rigidez y atomización en la organización matemática: “la
derivada”. Sería importante existir una mayor diversidad en los enunciados para que el
estudiante pueda entender la razón de ser y relevancia de la derivada para las
aplicaciones en la vida cotidiana.
BLOQUE Ítems correspondientes Soluciones
2.2.
Límites de
funciones
12. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x
3 – 100 x
2
tienden a cero cuando x tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x
tiende a cero más.
La indeterminación de la forma 0/0 se
trata habitualmente mediante la
técnica de descomposición en
factores10
, el que da como resultado
)(
)(lim
0 xg
xf
x.
12(b) Cuál de les dos funciones crees que tiende
más rápidamente a cero cuando x tiende a cero?
Justifica tu respuesta.
El resultado se puede interpretar en
términos de comparación de la
velocidad de convergencia del
numerador y denominador: g(x) tiende
más rápidamente a 0 que f(x).
Con este bloque esperamos que la dificultad sea mayor cuando el objetivo es
interpretar el límite de una función racional que cuando se trate de calcular el valor del
límite de esa misma función racional.
En el apartado (a) el límite en cuestión es igual a menos infinito. Para responder al
apartado (b), se pretende que relacionen con la respuesta obtenida en el apartado
anterior.
Tal como en España, el cálculo de límites es una tarea que se estudia de una forma
extensa en la Enseñanza Secundaria portuguesa, por lo tanto el primer ítem es familiar
para los alumnos. Pretendemos saber si, además de conocer la técnica, sabrían
interpretar el resultado. Esperamos poca relación entre el conocimiento de la técnica y
10
no es utilizada la regla de l’Hôpital porque, a pesar de algunos profesores la mencionaren no forma parte del currículo portugués.
122
su interpretación, teniendo en cuenta que este tipo de tareas no figuran en los
manuales de Secundaria.
Los resultados obtenidos son presentados en los gráficos circulares:
Tanto en la submuestra portuguesa como en la submuestra española se observó un
mayor porcentaje de respuestas correctas al ítem 12a que al ítem 12b, que requería la
interpretación del concepto de límite de una función racional.
Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes, observamos que:
Para contestar la cuestión 12a, un estudiante universitario español utilizó la
Regla de Ruffini para simplificar la expresión. Sin embargo, la referida técnica
presenta mayor coste que la descomposición en factores de los polinomios
evidenciando el factor común. Este hecho revela que no hay comparación de
tareas, ni un cuestionamiento tecnológico.
En Portugal:
En España:
23,53%
25,49% 50,98%
Respuestas ítem 12a
En blanco
Correctas
Incorrectas
31,37%
1,96%
66,67%
Respuestas ítem 12b
24,14%
27,59% 48,28%
Respuestas ítem 12a
En blanco
Correctas
Incorrectas
48,28%
3,45%
48,28%
Respuestas ítem 12b
123
Relativamente al apartado (b):
En España, parte del alumnado que responde incorrectamente considera que
su respuesta es cierta cuando interpreta el límite de una función a partir de lo
que ocurre en puntos particulares. Es muy frecuente en la Enseñanza
Secundaria los alumnos consideraren que pueden generalizar un resultado a
partir de un caso particular, lo que es más una consecuencia de la rigidez en las
tareas con que los estudiantes se adiestran en las clases y en los libros de texto.
Observamos que, el 29,41% del alumnado portugués y el 21,43% de los
estudiantes españoles que responden incorrectamente, hacen referencia a la
función g, pero no justifican la respuesta o, de otro modo, consideran que su
respuesta es correcta cuando interpretan el límite del cociente de funciones del
siguiente modo: “La función que tiende más rápidamente a cero es la función g,
porque presenta un menor exponente.”
Sin embargo, seria esencial que los estudiantes relacionasen la respuesta al apartado
(b) con la respuesta al apartado (a), pero ningún alumno presentó esa relación entre los
dos apartados.
La discrepancia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems es
más notable en el alumnado portugués que en el alumnado español.
En ambos países se observa que el porcentaje de respuestas correctas al ítem que
exige la interpretación del límite es muy reducida, lo que nos lleva a creer que los
alumnos conocen la técnica pero no saben interpretarla.
Tal como refiere Cecilio Fonseca en su tesis: “lo natural en Secundaria es desarrollar las
técnicas del cálculo de limites (momento del trabajo de la técnica) de una forma
algorítmica sin interpretar los resultados obtenidos.”
124
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
2.3.
Continuidad
8. Estudiar la continuidad de la función
.
El dominio de f es IR.
f es una función continua.
19. Una población de 500 bacterias se introduce en
un cultivo y el nº de ellas tras un tiempo t (horas)
viene dado por
¿Cómo
podemos descubrir si hay desniveles en la
población?
Estudiando la continuidad
de la función g. No hay
desniveles porque es una
función continua.
En el bloque “Interpretación de la continuidad”, esperamos que la dificultad sea mayor
cuando se solicita la interpretación del resultado de utilizar una determinada técnica
que cuando se pretende que el alumnado nada más aplique la técnica.
Los resultados obtenidos son presentados en los gráficos circulares:
En Portugal:
15,69%
64,71%
19,61%
Respuestas ítem 8
En blanco
Correctas
Incorrectas
31,37%
17,65%
50,98%
Respuestas ítem 19
125
De acuerdo con las expectativas, en ambas submuestras, el número de respuestas
correctas decrece acentuadamente cuando se pasa de la tarea de aplicación de una
determinada técnica a la tarea de interpretación de utilizar esa misma técnica.
Tanto en Portugal como en España, el porcentaje de respuestas en blanco aumenta
cuando se pasa a la interpretación de la continuidad en el contexto real.
Al analizar las respuestas al ítem 8, observamos que las respuestas no difieren mucho,
en términos cualitativos, de las respuestas en el primer estudio exploratorio.
Mayoritariamente, los alumnos que responden correctamente al ítem 8 indican que el
dominio de la función es IR y completan las respuestas con la siguiente expresión: La
función es continua porque es el cociente de dos funciones continuas”.
Relativamente al ítem 19 estudiamos las respuestas más frecuentes:
- El 15,38% de los alumnos portugueses y el 25% de los alumnos de España, que
responden incorrectamente, contestan que se podría descubrir si hay
desniveles en la población por lo estudio de la monotonía de la función;
- El 11,54% de los alumnos portugueses y 0% de los alumnos de España, que
responden incorrectamente, contestan que se podría descubrir si hay
desniveles en la población por el estudio de la derivada de la función;
- El 3,85% de los alumnos portugueses y el 16,67% de los alumnos de España,
que responden incorrectamente, contestan que se podría descubrir si hay
desniveles en la población por el estudio del límite de la función;
En España:
37,93%
41,38%
20,69%
Respuestas ítem 8
En blanco
Correctas
Incorrectas
48,28%
10,34%
41,38%
Respuestas ítem 19
126
- El 7,69% de los alumnos portugueses y el 8,33% de los alumnos de España, que
responden incorrectamente, contestan que se podría descubrir si hay
desniveles en la población por el estudio de los extremos de la función;
- El 0% de los alumnos portugueses y el 25% de los alumnos de España, que
responden incorrectamente, contestan que se podría descubrir si hay
desniveles en la población por el estudio de la gráfica de la función;
Nótese que este tipo de tarea, estudiar la continuidad de una función racional, es una
tarea habitual para el alumnado, porque es frecuentemente practicada en las clases de
Enseñanza Secundaria portuguesa. El dilema es que esa mecanización, en ningún
momento, implica la interpretación. Además, en los manuales escolares no aparece
ningún ejercicio que incluya ese tipo de interpretación de la continuidad de una
función.
Seria relevante que el estudiante contactase con este tipo de problemas del día a día,
como por ejemplo el presentado en el ítem 19, para que sea posible entender la razón
de ser de la organización matemática “continuidad de una función”.
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
2.4.
Derivada y su
interpretación
física
11. La familia de rectas de la forma y=m (m
constante arbitraria) pueden caracterizarse por y’=0.
Qué interpretación física puede darse a la ecuación
anterior?
La velocidad es cero.
El móvil está parado.
23(a). Dada la función . Calcula f ’(1).
En el bloque “Interpretación de la derivada como un concepto de la Física”,
obviamente esperamos que la dificultad sea mayor cuando se pida la interpretación
del resultado de utilizar una determinada técnica que cuando se pretende que el
alumnado aplique la técnica.
Los resultados obtenidos son presentados en los gráficos circulares:
127
Al analizar los gráficos referentes a las dos submuestras podemos decir que el número
de respuestas correctas decrece acentuadamente cuando se pasa de la tarea de
aplicación de una determinada técnica a la interpretación física del resultado de
utilizar esa misma técnica, pasando del 90,20% al 17,65% en Portugal, y del 82,76% al
0% en la submuestra española. Esta última observación nos lleva a concluir que los
estudiantes de Portugal y de España no parecen tener problemas en la aplicación de la
técnica algébrica de derivación de una función polinómica, sin embargo, manifiestan
tener muchas dificultades en la interpretación de la técnica en contexto real, en esto
caso particular, en el contexto de la Física.
En la mayoría de las respuestas, el alumnado no establece ninguna relación con la
Física, relacionando apenas la derivada con la pendiente de la recta tangente al gráfico.
En Portugal:
En España:
5,88%
90,20%
3,92%
Respuestas ítem 23a
En blanco
Correctas
Incorrectas
9,80%
17,65%
72,55%
Respuestas ítem 11
3,45%
82,76%
13,79%
Respuestas ítem 23a
En blanco
Correctas
Incorrectas
51,72% 48,28%
Respuestas ítem 11
128
Estos resultados revelan que, la tentativa de establecer puentes entre los contenidos
de Matemáticas y de Física, la interdisciplinaridad, el trabajo cooperativo de los
profesores, aún no produjo resultados razonables, porque continúa existiendo una
desarticulación entre las organizaciones matemáticas y físicas.
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
2.5.
Límites y
modelización
13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un
producto, t años después de ser lanzado al mercado,
son: tetV8,1
30)(
(a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito.
30e30e30lim 01,8/t
t
.
13(b) Interpreta el resultado anterior en términos de
ventas del producto en cuestión.
Con el paso del tiempo las
ventas se estabilizan
alrededor de las 30 mil
unidades.
Con este bloque esperamos que la dificultad sea mayor cuando el objetivo es
interpretar en el contexto económico el resultado del límite de un modelo real del que
cuando la tarea es calcular sólo el valor del límite de ese mismo modelo.
En el apartado (a) el límite en cuestión es igual a 30. Para responder al apartado (b), se
pretende que los alumnos interpreten en el contexto del problema, en términos de
ventas del producto, la respuesta obtenida en el apartado anterior.
El cálculo de límites es una tarea que se estudia de una forma extensa en la Enseñanza
Secundaria portuguesa y española, por tanto el primer ítem es muy familiar para los
alumnos. Pretendemos saber si, además de conocer la técnica, sabrían interpretar el
resultado. Esperamos poca relación, por parte del alumnado, entre el conocimiento de
la técnica y su interpretación.
Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares:
129
Tal como sería de esperar, en ambas submuestras, el porcentaje de respuestas
correctas decrece abruptamente cuando se pasa de la tarea de calcular el valor de un
límite a la tarea de interpretar su valor.
Igual que en el primer estudio exploratorio se observó el fenómeno: el 18,18% de los
alumnos de España y el 29,17% de los estudiantes portugueses que responden
incorrectamente al apartado (b), interpretan el resultado del límite de una función
como el valor máximo de la misma. Esta relación que establecen entre el límite y el
máximo revela que la noción intuitiva del límite estudiada en el penúltimo año del
bachillerato no fue bien trabajada.
Algunos de los estudiantes interpretan el resultado del límite de la siguiente forma:
“significa que alcanzaron los 30000”, “nunca venderá más de 30000 unidades”, “no van
En Portugal:
En España:
80,39%
19,61%
Respuestas ítem 13a
En blanco
Correctas
Incorrectas
7,84%
45,10% 47,06%
Respuestas ítem 13b
17,24%
65,52%
17,24%
Respuestas ítem 13a
En blanco
Correctas
Incorrectas
48,28%
13,79%
37,93%
Respuestas ítem 13b
130
a traspasar los 30000”, que son interpretaciones incorrectas y, algunas, ambiguas del
significado del límite de una función.
Se observó que 2 estudiantes portugueses interpretaron bien el resultado del límite en
el contexto económico pero, no calcularon correctamente su valor. En estos casos, la
respuesta al apartado (a) fue considerada efectivamente incorrecta y, la respuesta al
apartado (b) fue considerada correcta de acuerdo con lo error cometido en el apartado
anterior. Con la submuestra española no se verificó tal hecho.
Por tanto, por los resultados obtenidos con esta muestra, podremos conjeturar que,
por un lado, el momento del trabajo de la técnica fue bien conseguido para tareas de
este tipo pero, por otro lado, el momento de la interpretación de la técnica no fue
superado con éxito.
Tercera conjetura
C3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
3.1.
Derivada: técnica
algebraica/geométrica
23(a). Dada la función . Calcula f’(1).
21. La pendiente de la recta tangente a la gráfica
y=f(x) en x=1 aparece en el siguiente dibujo. ¿Cómo
podemos calcular el valor de la derivada en x=1 sin
conocer la expresión algebraica de la función?
Determinando la
pendiente de la recta
tangente a la gráfica
en x=1:
En este bloque esperamos que los alumnos no dominen tan bien la técnica geométrica
como efectivamente dominan la técnica algebraica para determinar la derivada de una
función en un punto.
131
Los resultados obtenidos son presentados en los gráficos circulares:
Después de analizar los datos en los gráficos circulares podemos reseñar que, tanto en
Portugal como en España, el número de respuestas correctas a la tarea que conduce a
utilización de la técnica algebraica es muy superior al número de respuestas correctas
a la tarea relacionada con la técnica geométrica. Además, se verifica que ese cambio es
más abrupto en la submuestra española que en la portuguesa, pasando del 82,76% al
3,45%.
Los resultados nos conducen a creer que los estudiantes no parecen tener ningún
problema en la aplicación de la técnica algebraica de derivación de una función
polinómica pero, por otro lado, una parte de los alumnos portugueses y la mayoría de
los alumnos españoles manifiestan tener dificultades en la aplicación de la técnica
geométrica para determinar la derivada de una función en un punto.
En Portugal:
En España:
5,88%
90,20%
3,92%
Respuestas ítem 23a
En blanco
Correctas
Incorrectas
13,73%
52,94%
33,33%
Respuestas ítem 21
3,45%
82,76%
13,79%
Respuestas ítem 23a
En blanco
Correctas
Incorrectas
65,52%
3,45%
31,03%
Respuestas ítem 21
132
Como en los libros de texto tenemos muchos más ejercicios referentes a la técnica
algébrica que a la geométrica, es natural que dominen más una técnica que la otra.
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
3.2.
Porcentajes
24. Compras una moto que marca 4000 euros y te
hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te
cuesta la moto.
O por la regla de 3 simples, o
utilizando proporciones.
5. Por qué número has de multiplicar una cantidad
para disminuirla en un 18%?
El número es 0,82.
El cálculo de porcentajes es una tarea que se estudia de una forma extensa en las
escuelas portuguesas y españolas, por tanto el primer ítem es muy familiar para los
alumnos y en el estudio de este tema predomina la técnica “aditiva” que consiste en
añadir un porcentaje r de un número x mediante la fórmula: y = x + r·x o quitar ese
mismo porcentaje r de un número x mediante la fórmula: y = x - r·x.
Con este bloque esperamos que la dificultad sea mayor en el ítem 5, porque
corresponde a una técnica poco habitual para los alumnos, la técnica “multiplicativa”.
En el ítem 24, los estudiantes tienen la libertad de seleccionar la técnica que
consideran más sencilla o la más conveniente en este caso particular.
Pretendemos saber si el alumnado conoce más de una técnica, en este caso particular,
si maneja con la misma facilidad la técnica “aditiva” como la técnica “multiplicativa”
del cálculo de porcentajes.
Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares:
133
La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems se
manifestó de forma muy semejante con el alumnado portugués y con el alumnado
español.
Podemos referir que en ambos países el porcentaje de respuestas correctas al ítem
correspondiente a la técnica habitual es superior al porcentaje de respuestas correctas
al ítem en que se pretende que el alumno utilice una técnica diferente y menos usual,
lo que nos lleva a creer que los alumnos ya que dominan con facilidad una técnica no
utilizan otra técnica aunque esta tenga menos coste. No obstante, algunas de esas
técnicas diferentes hasta pueden ser más ventajosas por tener un menor coste de
manipulación al resolver un determinado tipo de tarea/problema.
Observamos que, mayoritariamente, para la determinación del coste final de la moto,
los estudiantes utilizan la técnica “aditiva”. No obstante, algunos de los estudiantes
En Portugal:
En España:
7,84%
92,16%
Respuestas ítem 24
En blanco
Correctas
Incorrectas
1,96%
70,59%
27,45%
Respuestas ítem 5
3,45%
96,55%
Respuestas ítem 24
En blanco
Correctas
Incorrectas
6,90%
65,52%
27,59%
Respuestas ítem 5
134
presentan otras técnicas diferentes como, por ejemplo, la técnica de la “regla de 3
simple” o la técnica de “las proporciones”.
En el ítem 5, la mayoría de los estudiantes ha construido la técnica multiplicativa a
partir de la técnica aditiva, ya que, en este caso, ambas las técnicas son muy próximas,
como refiere Cecilio Fonseca, se pasa de la aditiva a la multiplicativa y=(1+r)·x
simplemente sacando factor común.
Con los resultados obtenidos podemos concluir que los alumnos dominan de forma
completa una técnica, la que fue más mecanizada, y revelan algunas dificultades en
aplicar una técnica diferente.
Concluimos así, que el alumnado cuando se enfrenta con una tarea no efectúa,
previamente a su resolución, un cuestionamiento tecnológico.
BLOQUE Ítems correspondientes Soluciones
3.3.
Derivación 14. Dada la función: f(x) =
5(3x - 2)
2 .
(a) Calcula su derivada.
Tenía plena libertada para elegir la
técnica.
14(b) Sabrías calcular esta misma derivada
utilizando una técnica diferente a la que has
utilizado en el apartado anterior? Si positivo,
presenta la resolución por esa técnica.
Había que elegir una técnica
distinta a la anterior sin necesidad
de calcular de nuevo la derivada.
El cálculo de derivadas es un contenido importante que se estudia de una forma
extensa en las escuelas secundarias y, tal como en España, en el estudio de la derivada
de una función racional predomina la técnica “derivada de un cociente”. Pretendemos
verificar si este último proceso es la única técnica que el alumnado domina.
Con este bloque esperamos que la dificultad sea mayor en el ítem 14(b) en el que los
estudiantes tienen la libertad de utilizar una técnica diferente de la utilizada en el
primer ítem y que, probablemente, corresponde a una técnica menos habitual para
ellos.
Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares:
135
Tanto con la submuestra portuguesa como con la española observamos que los
alumnos utilizan la técnica que fue más mecanizada y revelan bastantes dificultades en
aplicar una técnica diferente. Por eso, el porcentaje de respuestas correctas fue mayor
en el apartado (a) que en el apartado (b).
Como en el primer estudio la diferencia entre los resultados de las respuestas
referentes a estos dos ítems fue menor con el alumnado portugués que con el
alumnado español.
Observamos que, la primera técnica utilizada por una gran parte del alumnado para
calcular la derivada de la función f fue la técnica de la derivada del cociente. Como esta
técnica es considerada la técnica oficial/usual para los alumnos, estos la aplican, sin
hacer ningún tipo de cuestionamiento tecnológico.
En Portugal:
En España:
60,78% 39,22%
Respuestas ítem 14a
En blanco
Correctas
Incorrectas
31,37%
31,37%
37,25%
Respuestas ítem 14b
13,79%
62,07%
24,14%
Respuestas ítem 14a
En blanco
Correctas
Incorrectas
65,52% 17,24%
17,24%
Respuestas ítem 14b
136
Del primer cuestionario para el segundo introdujimos en el apartado (b) la expresión
"Si positivo, presenta la resolución por esa técnica" para que los alumnos manipulasen
la técnica hasta el final. Sin embargo, tal cosa no sucedió, ya que, muchos de los
estudiantes presentan la técnica de la definición pero no la aplican a la función f, sólo
presentan la fórmula general. Después de una reflexión y análisis, estas respuestas
incompletas fueron consideradas correctas.
Observando las respuestas al apartado (b), verificamos que:
- El 6,25% de los alumnos portugueses que responden correctamente utilizan la
técnica derivada por la definición; sin embargo, es de remarcar que ningún
estudiante de España utiliza la referida técnica.
- El 80% de los estudiantes de España que responden correctamente y el 6,25%
de los alumnos portugueses utilizan la técnica derivada de la potencia;
- El 93,75% de los alumnos portugueses que responden correctamente indican
que el proceso sería por la definición de derivada, presentan la fórmula de la
definición, pero no la aplican a la función f, ni la desarrollan.
- Un alumno respondió que la técnica diferente sería utilizar la calculadora
gráfica.
Al analizar cuantitativa y cualitativamente las respuestas de los estudiantes de Portugal
y de España al ítem 14, podemos concluir que los alumnos utilizan la técnica que fue
más mecanizada y revelan bastantes dificultades en aplicar una técnica diferente.
En la cuestión que presentamos, seria esencial que el estudiante efectuase una
comparación entre el coste de utilizar la técnica de la derivada del cociente con el coste
de utilizar la técnica de la derivada de la potencia, o del producto, o mismo la definición
de la derivada. Sin embargo, como no forma parte del contrato didáctico, este tipo de
cuestionamiento tecnológico no sería esperable. El alumno no está acostumbrado a
comparar las técnicas porque el profesor no lo conduce a efectuar siempre esa
comparación y seleccionar la mejor técnica para cada caso.
Tal como en España, en bachillerato lo natural es dar una técnica específica para
obtener la derivada de cada tipo de función. No existe un momento de reflexión que
permita al alumno preguntarse a sí mismo si existe una técnica alternativa que, siendo
137
igualmente rigurosa, pueda ser más útil, más económica y que reduzca la probabilidad
de tener una respuesta incorrecta por causar menos errores de cálculo.
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
3.4.
Inecuaciones y
funciones
cuadráticas
9. Resuelve la inecuación (x – 1)(x + 3) 0
estudiando los cambios de signo de la
función asociada (sin hacer ninguna
gráfica).
Por el cuadro de signos:
x - -3 1 +
x-1 - - - 0 +
x+3 - 0 + + +
(x-1)(x+3) + 0 - 0 +
(- , -3] [1, +)
27. Resuelve la inecuación (x+4)(x–2) 0
dibujando la gráfica de la función
asociada.
Por la gráfica:
(- , -4] [2, +)
Para la resolución de inecuaciones de segundo grado se estudian, normalmente, dos
procesos distintos:
- La resolución algebraica (correspondiente al ítem 9)
- La resolución gráfica (correspondiente al ítem 27)
Con este bloque pretendemos verificar si el alumnado domina de igual forma las dos
técnicas indicadas y, caso de no ocurrir, en cuál de las dos técnicas presentan más
dificultades de manejo. Nótese que en estos dos ítems los estudiantes no tienen la
libertad de seleccionar la técnica que mejor conocen, ya que, queremos descubrir si
conocen más de una técnica para resolver inecuaciones de segundo grado.
Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares:
138
Podemos observar que en ambos países el porcentaje de respuestas correctas al ítem
correspondiente a la técnica algebraica es superior al porcentaje de respuestas
correctas al ítem en que se pretende que el alumno utilice la técnica gráfica.
Como en el primer estudio exploratorio podemos señalar que existe una diferencia de
dominio de técnicas de 5,88% en Portugal, lo que no es una diferencia considerable,
por tanto es difícil de denominar un de los procesos por la “técnica usual” para los
alumnos portugueses.
Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes observamos que:
- algunos alumnos portugueses cambian las técnicas, ésto es, el 8% de los alumnos de
esta submuestra que responden incorrectamente a la cuestión 9 presentan un esbozo
En Portugal:
En España:
17,65%
33,33% 49,02%
Respuestas ítem 9
En blanco
Correctas
Incorrectas
29,41%
27,45%
43,14%
Respuestas ítem 27
44,83%
24,14%
31,03%
Respuestas ítem 9
En blanco
Correctas
Incorrectas
62,07% 6,90%
31,03%
Respuestas ítem 27
139
del gráfico y el 4,55% de los alumnos que responden incorrectamente a la cuestión 27
presentan una tabla de signos.
- algunos estudiantes presentan la respuesta final correcta al ítem 27 pero, no
presentan el gráfico, por tanto estas respuestas fueron consideradas incorrectas.
- El 36% de las respuestas incorrectas portuguesas al ítem 9 corresponden a la no
presentación del análisis de la tabla de signos, ésto es, el alumno manifestó conocer la
técnica algebraica presentando la tabla pero, no la respuesta final. Ésto no ocurrió con
los estudiantes de España.
Cecilio Fonseca refiere que, en la Enseñanza Secundaria española, la resolución de
inecuaciones tiene como técnica dominante la técnica algebraica (basada en la
resolución de la ecuación asociada), mientras que la técnica de resolver una inecuación
cuadrática a partir de su gráfica es una técnica poco utilizada. En Portugal, el método
de enseñanza es un poco diferente: para la resolución de una inecuación cuadrática se
utiliza la técnica gráfica por tener menor coste pero, por otro lado, para la resolución
de una inecuación de grado superior al segundo se utiliza la técnica algebraica. Esta
última referencia está de acuerdo con las sugestiones de los manuales escolares. Sin
embargo, actualmente existe una tendencia para que los alumnos resuelvan las
inecuaciones de grado igual o superior al segundo solo con la calculadora gráfica.
Comparando la situación española con la portuguesa, no podemos concluir que los
alumnos tengan como técnica dominante la técnica algebraica.
Cuarta conjetura
C4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
4.1.
Funciones
polinómicas
4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al
eje de les x en los puntos siguientes (1, 0), (– 2, 0) y (3, 0).
(x - 1)(x + 2)(x - 3) , o
bien, x3
- 2x2
- 5x + 6
22. En qué puntos la gráfica de f(x) = (x – 1)(x + 1) (x + 3)
corta al eje de las x?
(1,0) , (-3,0), (-1, 0)
140
Esperamos que el número de aciertos en la tarea del cálculo de los puntos de corte con
el eje de las (tarea directa), correspondiente al ítem 22, sea mayor que en la tarea:
“dados los puntos de corte, determinar la función polinómica que pasa por ellos”
(tarea inversa), correspondiente al ítem 4.
Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares:
En el primer estudio exploratorio la diferencia entre los resultados de las respuestas
correctas referentes a estos dos ítems se manifestó menos acentuada con el alumnado
portugués (17,02%) que con el alumnado español (44,87%). En el presente estudio
observamos de nuevo lo mismo acontecimiento: una diferencia de 23,53% en Portugal
y de 37,93% en España.
En Portugal:
En España:
19,61%
66,67%
13,73%
Respuestas ítem 22
En blanco
Correctas
Incorrectas
43,14%
43,14%
13,73%
Respuestas ítem 4
20,69%
51,72%
27,59%
Respuestas ítem 22
En blanco
Correctas
Incorrectas
62,07% 13,79%
24,14%
Respuestas ítem 4
141
Al analizar cuantitativa y cualitativamente las respuestas de los estudiantes a estos
ítems, podemos decir que los alumnos manejan mejor la técnica directa y revelan más
dificultades en aplicar la técnica inversa. Este acontecimiento es debido,
probablemente, a que la inversa corresponde una técnica menos habitual para ellos,
por no conocerla o porque fue menos mecanizada.
Sin embargo, se constató que, el 58,82% del total de respuestas correctas portuguesas
y el 86,67% del total de respuestas correctas españolas al ítem 22, corresponden a
respuestas incompletas, porque los alumnos solo indican las abscisas de los puntos de
corte y no las ordenadas. Como esta incompletitud en las respuestas no es relevante
para el presente estudio de la rigidez de las organizaciones matemáticas, manifestando
apenas falta de rigor, consideramos estas respuestas incompletas como respuestas
correctas. Este acontecimiento es debido al hecho de no forma parte del contrato
didáctico del profesorado explorar la tarea inversa de una determinada tarea. El
alumno no está acostumbrado a modificar y a invertir las técnicas, porque el profesor
no lo conduce a efectuar esa profundización de las técnicas aprendidas.
A semejanza del primer estudio exploratorio, en el análisis de las respuestas de los
alumnos de España, se observó que, para determinar los puntos de corte de una
función polinómica presentada en esta forma f(x)=(x – 1)(x + 1)(x + 3) en el ítem 22,
algunos alumnos presentaron una técnica de elevado coste realizan la multiplicación y
después aplican la Regla de Ruffini y al final la Fórmula para la resolución de
ecuaciones de segundo grado para determinar las raíces.
Cecilio Fonseca conjeturó en su tesis que: ”esta manera de proceder puede ser debida
a que la tarea oficial en secundaria es: dado un polinomio desarrollado, calcula sus
raíces.”
De nuevo, en Portugal este acontecimiento no se verificó, ningún estudiante intentó
resolver la cuestión por la Regla de Ruffini. Las características de las Funciones
Polinómicas son estudiadas en las escuelas secundarias portuguesas en el 10.º año de
escolaridad y desarrollado en los cursos siguientes.
142
En más de un tema se verifica la ausencia de un cuestionamiento tecnológico y
comparación del coste/adecuación de una técnica para resolver una determinada
tarea.
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
4.2.
Sistemas de
ecuaciones
lineales
6. Buscar dos soluciones de un
sistema de 2 ecuaciones lineales en x
e y :
Como el sistema es compatible indeterminado se
admite como respuesta válida cualquier par de
soluciones que verifique una de las ecuaciones.
Por ejemplo: y .
25. Escribe un sistema de ecuaciones
lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas que acepte como
soluciones los puntos y .
- Determinar la ecuación de la recta que pasa en
los 2 puntos: .
- Escribir una ecuación equivalente a la primera
para presentar un sistema compatible
indeterminado, por ejemplo:
Los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas son estudiados en el 3.º ciclo
en el 9.º año de escolaridad de la enseñanza portuguesa. La tarea “resuelve el siguiente
sistema de ecuaciones lineales” es la tarea dominante en los libros de texto, lo que
significa que el estudiante debe estar muy familiarizado con este tipo de tarea.
Por tanto, igual que en el primer estudio exploratorio, esperamos que el número de
aciertos de la tarea correspondiente a la determinación de las soluciones de un
sistema (tarea directa) sea muy superior al número de aciertos de la tarea: “dadas las
soluciones, escribir el sistema” (tarea inversa).
Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares:
143
De todo el cuestionario, la cuestión 25 fue el ítem en que los alumnos manifestaron
tener más dificultades, ya que, el número de respuestas correctas con la submuestra
portuguesa fue muy reducido y con la submuestra española fue nulo.
De acuerdo con las expectativas el porcentaje de respuestas correctas tiene un
decrecimiento abrupto cuando se pasa del ítem 6, correspondiente a la tarea directa,
al ítem 25, correspondiente a la tarea inversa.
Nótese que el porcentaje de aciertos al ítem 6 de los estudiantes de ambos países es
muy reducido, por eso, la diferencia no podría ser elevada.
Es de reseñar que todos los alumnos que intentaron responder al ítem 6, para
descubrir dos soluciones del sistema dado, comenzaran por resolver algebraicamente
el sistema de ecuaciones, ésto es, ningún alumno fue capaz de percibir que el sistema
era compatible indeterminado y que sería una tarea muy sencilla indicar soluciones del
sistema sin tener necesidad de resolverlo.
En Portugal:
En España:
5,88%
13,73%
80,39%
Respuestas ítem 6
En blanco
Correctas
Incorrectas
86,27%
1,96% 11,76%
Respuestas ítem 25
6,90%
27,59%
65,52%
Respuestas ítem 6
En blanco
Correctas
Incorrectas
72,41%
27,59%
Respuestas ítem 25
144
Uno de los alumnos de la submuestra de España resolvió el sistema utilizando matrices
pero, al final, indicó la solución general y no 2 puntos particulares.
Nótese que, el 12,20% de los estudiantes portugueses y el 21,05% de los estudiantes
de España que responden incorrectamente al ítem 6, resuelven bien el sistema y lo
clasifican bien, pero no presentan soluciones.
No obstante, se constató que, el 26,32% del total de respuestas incorrectas de la
submuestra española al ítem 6 y el 17,07% del total de respuestas incorrectas de la
submuestra portuguesa al mismo ítem, corresponden a respuestas incompletas,
porque los alumnos solo indican una solución correcta y, por otro lado, no cuestionan
el enunciado colocando, por ejemplo, la duda: “porque son solicitadas dos soluciones
del sistema?!”.
Se observó también que algunos alumnos clasifican el sistema como imposible y, por
tanto, no indican ninguna solución, correspondiendo al 42,11% de los estudiantes de
España que responden incorrectamente al ítem 6 y sólo a 1 alumno de la submuestra
portuguesa.
Estos hechos son debidos a que toda la actividad matemática es muy rígida en las
tareas, no es habitual solicitar al alumnado la indicación de varias soluciones de un
sistema compatible indeterminado. Los estudiantes no están acostumbrados a que un
sistema tenga más de una solución.
Al analizar cuantitativa y cualitativamente las respuestas de los estudiantes a estos
ítems, podemos decir que los alumnos manejan mejor la técnica directa y revelan más
dificultades en aplicar la técnica inversa. Este acontecimiento es debido al hecho de
que en la organización matemática correspondiente a “sistemas de ecuaciones” el
momento del trabajo de la técnica es el dominante. No aparece en ningún momento
como tarea la posibilidad de invertir la tarea habitual.
145
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
4.3.
Sistemas de
ecuaciones
lineales y
geometría
analítica
10. Escribe la ecuación de la recta
adjunta, justificando los cálculos.
022y-bien x o12
x
y
25. Escribe un sistema de ecuaciones
lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas que acepte como soluciones
los puntos (– 1, 3) y (5, 6).
- Determinar la ecuación de la recta que
pasa en los 2 puntos: .
- Escribir una ecuación equivalente a
primera para a presentar un sistema
compatible indeterminado, por
ejemplo:
Los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas son estudiados en el 3.º ciclo
en el 9.º año de escolaridad de la enseñanza portuguesa.
Esperamos que el número de aciertos de la determinación de la ecuación de la recta
(tarea directa), correspondiente al ítem 10, sea muy superior al número de aciertos de
la tarea correspondiente al ítem 25 (tarea inversa).
Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares:
En Portugal:
5,88%
88,24%
5,88%
Respuestas ítem 10
En blanco
Correctas
Incorrectas
86,27%
1,96% 11,76%
Respuestas ítem 25
146
De acuerdo con la previsión, en ambos países, el porcentaje de respuestas correctas
tiene un decrecimiento abrupto cuando se pasa de la tarea directa a la tarea inversa.
Como en el primer estudio exploratorio, la diferencia entre los resultados de las
respuestas correctas referentes a estos dos ítems se manifestó mucho más acentuada
con el alumnado portugués (86,28%) que con el alumnado español (20,69%). Además,
en la situación portuguesa, este es el bloque en el que se verifica una mayor distancia
entre los ítems.
En el análisis cualitativo, se observó que, el 33,33% del total de respuestas incorrectas
de la submuestra portuguesa y el 25% del total de respuestas incorrectas de la
submuestra española al ítem 25, corresponden a respuestas incompletas, porque los
alumnos determinan la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos pero, al final
sólo presentan una ecuación y no un sistema de dos ecuaciones.
Un alumno de la submuestra de España utilizó un proceso de mayor coste para
contestar al ítem 10: primer usó el Teorema de Pitágoras y después trigonometría para
determinar la ecuación de la recta. Como la probabilidad de errar al manejar esta
técnica era elevada cometió un error en la segunda parte que lo condujo a una
respuesta incorrecta.
Claramente, y como sería de esperar, en ambos países los alumnos manejan mejor la
técnica directa y revelan más dificultades en aplicar la técnica inversa. Este
acontecimiento es debido, probablemente, a que la inversa corresponde una técnica
menos habitual para ellos, por no conocerla o porque fue menos mecanizada.
Cecilio Fonseca, en su tesis, justifica esta discrepancia con los siguientes argumentos:
En España:
58,62% 20,69%
20,69%
Respuestas ítem 10
En blanco
Correctas
Incorrectas
72,41%
27,59%
Respuestas ítem 25
147
“Cuando se estudia la OM de la geometría afín, todas las tareas de cálculo de
ecuaciones de rectas van en un solo sentido: dados dos puntos, calcula la ecuación de
la recta que pasa por ellos. Aunque las tareas propuestas son casi todas tareas
bastantes formales de nomenclatura (forma vectorial, paramétrica, continua), la tarea
dominante es escribir la ecuación de la recta en forma general, y esto se manifiesta de
una forma clara en la respuesta de los alumnos. Los datos reflejan claramente las
dificultades que tienen los alumnos para asociar la recta que pasa por dos puntos
concretos con un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que contenga como
soluciones esos dos puntos.”
BLOQUE Ítems correspondientes Soluciones posibles
4.4.
Álgebra
elemental
17. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado
siguiente: “El producto de tres números pares
consecutivos es igual a 1680”.
(2x - 2) 2x (2x + 2) = 1680
(2x ) (2x +2)(2x + 4) = 1680
x par, x(x +2) (x + 4) = 1680
29. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad
2x + (2x+2 )+ (2x + 4) = 246, x IN
La suma de tres números
pares consecutivos es igual
a 246.
En Portugal este tipo de tareas del Álgebra Elemental son estudiados en el 3.º ciclo en
el 7.º año de escolaridad y posteriormente retomadas en los años siguientes.
Con este bloque, esperamos que el número de aciertos al ítem 17, correspondiente a
la tarea de “escribir una expresión presentada en lenguaje natural en lenguaje
algebraico”, sea muy superior al número de aciertos de la tarea inversa
correspondiente al ítem 29: “escribir una expresión presentada en lenguaje algebraico
en lenguaje natural”.
Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares:
148
Al contrario de las expectativas, el porcentaje de respuestas correctas de la
submuestra de Portugal crece cuando se pasa de la tarea directa a la tarea inversa y es
igual en la submuestra española.
En el primer estudio exploratorio los resultados de este bloque obtenidos en Portugal y
en España fueron distintos:
- en Portugal el alumnado presentó más dificultades en el ítem correspondiente
a la tarea de “escribir una expresión presentada en lenguaje natural en lenguaje
algebraico”.
- en España, el alumnado manifestó tener más dificultades en la tarea inversa
correspondiente a: “escribir una expresión presentada en lenguaje algebraico
en lenguaje natural”.
En Portugal:
En España:
11,76%
19,61%
68,63%
Respuestas ítem 17
En blanco
Correctas
Incorrectas
43,14%
33,33%
23,53%
Respuestas ítem 29
31,03%
37,93%
31,03%
Respuestas ítem 17
En blanco
Correctas
Incorrectas
44,83%
37,93%
17,24%
Respuestas ítem 29
149
- No obstante, la diferencia entre los resultados de las respuestas correctas
referentes a estos dos ítems fue más acentuada con el alumnado español
(15,61%) de lo que es con el alumnado portugués (4,25%).
- Además, en la situación portuguesa, este fue el bloque en el que se verifica una
menor distancia entre los ítems.
Ahora, en el segundo estudio exploratorio hay una aproximación de los resultados de
España relativamente a los portugueses. Como no hay diferencia entre los resultados
de las respuestas correctas referentes a estos dos ítems en la submuestra española, no
podemos concluir que el alumnado domina mejor una tarea que la otra.
Se observó un fenómeno curioso en ambas submuestras: al contestar al ítem 29,
algunos estudiantes portugueses y 3 alumnos de España simplificaran la expresión
algebraica para 6x+6=246 y, después, tradujeron bien al lenguaje natural. De este
modo las respuestas fueron consideradas correctas.
Probablemente, el porcentaje superior de respuestas correctas en el ítem 29 se debe
al orden de las dos tareas, ésto es, como la tarea de escribir en lenguaje natural surgió
después de la tarea inversa y, como son muy semejantes, los alumnos contestaran
bien el ítem 29 por observación del enunciado del ítem 17, luego los resultados fueron
mejores.
150
BLOQUE Ítems correspondientes Soluciones
4.5.
Funciones
cuadráticas
23 (b). Representa gráficamente con
precisión la función: f(x) = x2 – 4x.
28. Escribe la ecuación de la parábola
adjunta, justificando tus cálculos.
Basta tener en cuenta:
el vértice (2,4)
o, entonces,
los puntos de corte (0,0) y (4,0)
En el ítem 23 (b) se espera que los estudiantes utilicen como una posible técnica, la siguiente:
Cálculo del vértice (utilizando la derivada)
Determinación de puntos de corte con los ejes ( si existen en el caso del eje x)
Intervalos de monotonía (por ejemplo a partir del coeficiente del término de segundo grado)
Determinación de algunos valores particulares (por ejemplo un par de valores simétricos
respecto al eje de la parábola)
Este tipo de tareas de las Funciones Cuadráticas son estudiados en el 10.º año de
escolaridad de la Enseñanza Secundaria portuguesa.
Con este bloque, esperamos que el porcentaje de respuestas correctas al ítem
correspondiente a la tarea de representación gráfica a partir de la expresión algebraica
que define la función (tarea directa) sea muy superior al de la tarea de escribir la
expresión algebraica a partir de su gráfica (tarea inversa).
Los resultados del estudio exploratorio son presentados en los gráficos circulares:
151
Los resultados obtenidos con la submuestra portuguesa no son los esperados. Sin
embargo, las respuestas de los estudiantes de España están de acuerdo con las
expectativas: el porcentaje de respuestas correctas decrece cuando se pasa de la tarea
directa a la tarea inversa.
Al analizar las respuestas de los estudiantes al apartado 23b verificamos que estamos
delante del mismo problema que en el tercer ítem: a pesar de ser solicitada una
representación gráfica con precisión de la función cuadrática, los alumnos apenas
dibujan los ceros y la concavidad correctamente, no presentan las coordenadas del
vértice de la parábola, ni otros puntos particulares:
- El 78,13% de las respuestas incorrectas portuguesas y el 11,11% de las
respuestas incorrectas de España corresponden a respuestas incompletas por
no hacer referencia al vértice u otros puntos particulares del gráfico.
En Portugal:
En España:
21,57%
15,69% 62,75%
Respuestas ítem 23b
En blanco
Correctas
Incorrectas
56,86% 19,61%
23,53%
Respuestas ítem 28
31,03%
37,93%
31,03%
Respuestas ítem 23b
En blanco
Correctas
Incorrectas
89,66%
10,34%
Respuestas ítem 28
152
- El 25% de las respuestas correctas portuguesas y el 63,64% de las respuestas
correctas de España contestan la cuestión utilizando una tabla de valores.
- El 3,13% de las respuestas incorrectas portuguesas y el 44,44% de las
respuestas incorrectas de España corresponden a una incompletitud de
respuesta por utilizar una tabla de valores.
Observamos que, solo 2 estudiantes utilizan el proceso de la derivada para determinar
las coordenadas del vértice de la parábola: 1 estudiante de España y 1 estudiante de
Portugal. En el primer estudio exploratorio ningún alumno portugués usó esta técnica.
La mayoría de los estudiantes que presentan el vértice en el gráfico, determinan la
abscisa como media aritmética de los ceros, usando la noción de eje de simetría de
una parábola y, posteriormente, calculan la ordenada de forma trivial. Esta técnica
también tiene un coste reducido pero, en comparación con la técnica de derivar y
determinar los extremos para obtener las coordenadas del vértice de la parábola,
presenta un coste superior.
Los elevados valores de porcentaje de respuestas en blanco al ítem 28 obtenidas con
las dos submuestras (en España 89,66% y en Portugal 56,86%) ponen de manifiesto
que la tarea inversa no es una tarea que forme parte del medio matemático del
estudiante, es una tarea extraña para los alumnos.
En el primer estudio exploratorio, los resultados obtenidos en este bloque en Portugal
y en España fueron semejantes, ya que, en ambos países el alumnado presentó más
dificultades en el ítem correspondiente a la tarea de “escribir la expresión algebraica
de una función conocida su gráfica”, la tarea inversa. No obstante, la diferencia entre
los resultados de las respuestas correctas referentes a estos dos ítems fue más
acentuada con el alumnado español (53,17%) que con el alumnado portugués
(14,89%).
153
Quinta conjetura
C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización
BLOQUE Ítems correspondientes Soluciones
5.1.
Construcción
del modelo
15. En unos grandes almacenes hacen el 10% de descuento en
todos los artículos y cargan el 16% de IVA.
(a) Calcular el coste final de un artículo que inicialmente vale x
euros.
15(b) Puedes calcular el coste final de un artículo aplicando a x
una única operación?
18. Se desea construir una caja abierta de volumen V con un
cartón cuadrado de 24 cm de lado, cortando cuadrados iguales
en las esquinas y doblando los lados hacia arriba. Expresa V
como función de x.
33. Un obrero de la construcción trabaja a destajo. Cobra 50
euros la hora si el número de horas trabajadas a la semana es
igual o inferior a 40, y por cada hora adicional, 80 euros. Escribe
una función que represente el que cobra dicho obrero en
función de las horas trabajadas.
Al contrario de las conjeturas anteriores, con este bloque no pretendemos contrastar
dos tareas/técnicas, ni tampoco comparar los resultados de dos ítems, pero sí, verificar
si los estudiantes de las dos submuestras manifiestan dificultades en construir un
modelo que represente la situación real de modelización.
Los resultados obtenidos son presentados en los siguientes gráficos circulares:
154
En Portugal:
En España:
1,96%
25,49%
72,55%
Respuestas ítem 15a
En blanco
Correctas
Incorrectas
33,33%
37,25%
29,41%
Respuestas ítem 15b
41,18%
23,53%
35,29%
Respuestas ítem 18
En blanco
Correctas
Incorrectas
43,14%
1,96%
54,90%
Respuestas ítem 33
31,03%
27,59%
41,38%
Respuestas ítem 15a
En blanco
Correctas
Incorrectas
48,28%
31,03%
20,69%
Respuestas ítem 15b
155
Observando los gráficos, verificamos que el porcentaje de respuestas correctas a estos
ítems es reducido, alcanzando un valor máximo de 37,25%. En contrapartida, de un
modo general, el porcentaje de respuestas en blanco es elevado.
Estos resultados ponen de manifiesto que los estudiantes no dominan la tarea de
construcción de un modelo relacionado con un problema cotidiano. Revelan bastantes
dificultades en escribir una función que traduzca la situación problemática,
principalmente en problemas relacionados con funciones definidas a trozos.
BLOQUE Ítems correspondientes Soluciones
5.2.
Manipulación
del modelo
16. Un estudio de la eficacia del turno matinal (de 8 h. a 15 h.)
de una fábrica demuestra que el número, Q(t), de unidades
producidas (en un período de t horas) por un trabajador que
llega a la fabrica a las 8 horas, es de Q(t) = -t
3
3 + 2t2 + 12t
unidades (en promedio).
(a) Determine la expresión de su derivada.
16 (b) En qué momento de la mañana la eficacia es máxima?
Hacer referencia a no
pertencer al domínio. Presentar el
cuadro de signos y concluir que la
eficacia es máxima a las 14 h (8h+6h).
55,17% 17,24%
27,59%
Respuestas ítem 18
En blanco
Correctas
Incorrectas
55,17%
6,90%
37,93%
Respuestas ítem 33
156
Además, no pretendemos contrastar dos tareas/técnicas, ni tampoco comparar los
resultados de dos ítems de este bloque, pero sí, verificar si los estudiantes de las dos
submuestras manifiestan dificultades en manipular un modelo ya construido que
represente una situación real de modelización.
Ya que, en el apartado (b) del ítem 16, al resolver la ecuación de segundo grado se
obtiene dos soluciones: ; , se pretende también verificar si los alumnos
analizan el dominio de la función, ésto es, si presentan sólo las soluciones válidas en el
contexto real del problema.
Los resultados obtenidos son presentados en los siguientes gráficos circulares:
Observando los gráficos, notamos que el porcentaje de respuestas correctas continúa
siendo reducido para el bajo nivel de dificultad de los problemas, alcanzando un valor
máximo de 56,86% en el ítem relacionado con una tarea simple de derivación de una
En Portugal:
En España:
11,76%
56,86%
31,37%
Respuestas ítem 16a
En blanco
Correctas
Incorrectas
41,18%
15,69%
43,14%
Respuestas ítem 16b
68,97% 13,79%
17,24%
Respuestas ítem 16a
En blanco
Correctas
Incorrectas
75,86%
6,90% 17,24%
Respuestas ítem 16b
157
función polinómica. En contrapartida, el porcentaje de respuestas en blanco es
demasiado alto, alcanzando incluso el 75,86% en el ítem 16b con la submuestra de
alumnos de España. Este ítem se refería a un problema muy sencillo de optimización
de una función polinómica.
Estos resultados revelan que los estudiantes no están acostumbrados a interpretar ni
manipular situaciones de modelización.
Al analizar cualitativamente las respuestas al ítem 16a observamos que el 68,75% de
los estudiantes portugueses que respondieron incorrectamente utilizaron la técnica de
derivación del cociente para derivar el primer término de la función polinómica sin
tener necesidad. Como es una técnica con un mayor coste de manejo provocó
bastantes errores de cálculo. Con la submuestra española este fenómeno ocurrió sólo
con uno de los estudiantes. Se observó también que algunos alumnos no analizan el
dominio en el contexto del problema o no interpretan bien el resultado final.
BLOQUE Ítems correspondientes Soluciones
5.3.
Construcción y
manipulación
del modelo
32. El volumen C(t) (agua acumulada hasta el instante t) de agua
que mana de un grifo (en litros) viene dado por una función afín
respecto del tiempo t (en segundos). Si en el primer segundo el
agua recogida es de 3 litros, en el segundo es de 5 litros y en el
tercer segundo es de 7 litros,
(a) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en un instante
cualquiera t?
32 (b) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en una hora?
32 (c) ¿Cuándo arroja más agua por segundo el grifo: a los 10
segundos o a los 12 segundos?
Es igual. .
De nuevo con este bloque no pretendemos contrastar dos tareas/técnicas, ni tampoco
comparar los resultados de los ítems, pero sí, verificar si los estudiantes de las dos
158
submuestras manifiestan dificultades en construir y manipular un modelo que
represente la situación real de modelización.
Con este problema pretendemos verificar si los estudiantes revelan dificultades en
modelizar una situación extramatemática ya que hay introducción de un lenguaje
gramatical, saliendo del lenguaje matemático asociado a situaciones intramatemáticas.
Los resultados obtenidos son presentados en los siguientes gráficos circulares:
En Portugal:
27,45%
47,06%
25,49%
Respuestas ítem 32a
En blanco
Correctas
Incorrectas
27,45%
45,10%
27,45%
Respuestas ítem 32b
27,45%
27,45%
45,10%
Respuestas ítem 32c
En blanco
Correctas
Incorrectas
159
Observando los gráficos, verificamos que el porcentaje de respuestas correctas a
cuestiones de modelización con bajo nivel de dificultad es sorprendente por ser
reducido y el porcentaje de respuestas en blanco ser elevado.
Estos resultados vienen a confirmar que los estudiantes no dominan las tareas de
construcción y de manipulación de un modelo relacionado con un problema cotidiano.
El problema propuesto era muy simple pero, el alumnado sintió dificultades en
relacionar los diversos apartados: (c) con (a), por ejemplo. También no interpretan la
variación de la función como la derivada de la misma función en el apartado (c).
Muchos alumnos interpretaron la cuestión como variación estática y no cinética,
calculando valores de la función y no de su derivada.
Se observó que, el 13,04% de las respuestas incorrectas portuguesas y el 44,44% de las
respuestas incorrectas españolas al ítem 32c, corresponden a los alumnos que no
utilizan la derivada pero sí, la Tasa de Variación Media intuitiva y presentan errores
debidos a la no determinación del valor correcto del volumen en el instante inicial,
En España:
34,48%
58,62%
6,90%
Respuestas ítem 32a
En blanco
Correctas
Incorrectas
37,93%
31,03%
31,03%
Respuestas ítem 32b
44,83%
24,14%
31,03%
Respuestas ítem 32c
En blanco
Correctas
Incorrectas
160
ésto es, calcularan sólo
en vez de
concluyendo así,
incorrectamente, que a los 10 segundos el grifo arroja más agua por segundo.
Un alumno apenas observó que la variación seria siempre de “+2” y respondió
correctamente sin recurrir a la derivada.
Otra respuesta diferente de la habitual fue la siguiente:
“La función es afín por tanto crece proporcionalmente… siendo igual la cantidad de
agua que corre por segundo.”
La gran mayoría de las respuestas incorrectas al ítem 32 (b) son debidas al estudiante
por hacer corresponder 60 segundos a 1 hora y no 3600 segundos.
En la sección siguiente son presentados cuadros comparativos en cada uno de los
países, Portugal y España, donde podemos observar las tablas y gráficos
correspondientes a cada una de las conjeturas específicas.
161
3.4.3. Análisis de los resultados obtenidos por conjeturas
Primera conjetura
C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la nomenclatura
Portugal
España
Bloque ítem Aciertos Diferencia
1.1. 1 94,12%
88,24% 30 5,88%
1.2. 20 86,27%
70,59% 31 15,69%
1.3. 7 35,29%
17,65% 26 17,65%
1.4 23(b) 15,69%
-13,73% 3 29,41%
Bloque ítem Aciertos Diferencia
1.1. 1 100,00%
72,41% 30 27,59%
1.2. 20 86,21%
55,17% 31 31,03%
1.3. 7 62,07%
13,79% 26 48,28%
1.4 23(b) 37,93%
3,45% 3 34,48%
tarea no usual
tarea usual
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1.1. 1.2. 1.3. 1.4
5,88% 15,69% 17,65% 29,41%
94,12%
86,27%
35,29%
15,69%
Porcentaje de aciertos - Conjetura 1 -
Portugal
tarea no usual tarea usual
162
A la excepción del último bloque, los resultados nos llevan a creer que las técnicas
matemáticas portuguesas dependen más fuertemente de la nomenclatura que las
españolas, lo que significa que la actividad matemática española es menos rígida que la
portuguesa al nivel de la diversidad de nomenclatura.
Los resultados en el bloque 1.1. ponen de manifiesto que los estudiantes de España
presentan más facilidad que los estudiantes de Portugal en calcular el límite de una
sucesión constante relativamente a una variable representada por una letra diferente
de la habitual (ítem 30). Es debido a que este contenido no forma parte de ningún de
los diseños curriculares y no hay ejercicios de este tipo en los manuales escolares
portugueses.
Relativamente al bloque 1.4., en ambos países parece no existir dependencia de la
nomenclatura para la representación gráfica de una función. Fueron observados otros
fenómenos que diferencian la actividad matemática desarrollada en los dos países. Al
contrario de España, en Portugal no es frecuente la recurrencia a una tabla de valores
para representar gráficamente una función cuadrática pero, por otro lado, los
estudiantes portugueses desvalorizan el vértice de la parábola, presentando sólo un
esbozo de la misma. Es muy relevante el hecho de que dicho esbozo de una parábola
tarea no usual
tarea usual
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1.1. 1.2. 1.3. 1.4
27,59%
31,03%
48,28%
34,48%
100,00%
86,21%
62,07%
37,93%
Porcentaje de aciertos - Conjetura 1 -
España
tarea no usual tarea usual
163
es frecuentemente utilizado en Portugal por el profesorado, surgiendo diversas veces
en los libros de texto para la resolución de inecuaciones del segundo grado.
Segunda conjetura
C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del resultado obtenido
Portugal
España
bloque ítem Aciertos Diferencia
2.1 23a 90,20%
43,14% 2 47,06%
2.2 12a 25,49%
23,53% 12b 1,96%
2.3 8 64,71%
47,06% 19 17,65%
2.4 23a 90,20%
72,55% 11 17,65%
2.5 13a 80,39%
35,29% 13b 45,10%
bloque ítem Aciertos Diferencia
2.1 23a 82,76%
58,62% 2 24,14%
2.2 12a 27,59%
24,14% 12b 3,45%
2.3 8 41,38%
31,03% 19 10,34%
2.4 23a 82,76%
82,76% 11 0,00%
2.5 13a 65,52%
51,72% 13b 13,79%
tarea no usual
tarea usual
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
100%
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
47,06%
1,96%
17,65%
17,65%
45,10%
90,20%
25,49%
64,71%
90,20%
80,39%
Porcentaje de aciertos - Conjetura 2 -
Portugal
tarea no usual tarea usual
164
De un modo general las diferencias de aciertos en los bloques correspondientes a la
segunda conjetura son semejantes en las dos submuestras.
El porcentaje de aciertos al ítem 2 en Portugal es casi el doble de España. Los
estudiantes portugueses interpretan más fácilmente la derivada como una variación de
la función a que se refiere, porque el concepto de derivada es siempre introducido, y
trabajado con insistencia, con la “tasa de variación media” que corresponde a
prácticamente el Tema II del 11.º año de escolaridad, como podemos constatar en el
diseño curricular portugués.
Es de referir la gran dificultad del alumnado de España en interpretar físicamente la
derivada con el 0% de aciertos al ítem 11. A pesar de que la “Interpretación física de la
derivada” consta en el diseño curricular del segundo curso de Matemáticas del
bachillerato español. No tenemos datos relativos al número de ejercicios presentes en
los manuales escolares de España que contemplan esta interpretación.
tarea no usual
tarea usual
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
100%
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
24,14% 3,45% 10,34% 0,00% 13,79%
82,76%
27,59% 41,38%
82,76%
65,52%
Porcentaje de aciertos - Conjetura 2 -
España
tarea no usual tarea usual
165
Tercera conjetura
C3. A cada tarea está asociada una técnica privilegiada
Portugal
España
bloque ítem Aciertos Diferencia
3.1 23a 90,20%
37,25% 21 52,94%
3.2 24 92,16%
21,57% 5 70,59%
3.3 14a 60,78%
29,41% 14b 31,37%
3.4 9 33,33%
5,88% 27 27,45%
bloque ítem Aciertos Diferencia
3.1 23a 82,76%
79,31% 21 3,45%
3.2 24 96,55%
31,03% 5 65,52%
3.3 14a 62,07%
44,83% 14b 17,24%
3.4 9 24,14%
17,24% 27 6,90%
tarea no usual
tarea usual
0%
20%
40%
60%
80%
100%
3.1 3.2 3.3 3.4
52,94%
70,59%
31,37% 27,45%
90,20% 92,16%
60,78%
33,33%
Porcentaje de aciertos - Conjetura 3 -
Portugal
tarea no usual tarea usual
166
Relativamente al bloque 3.1., la diferencia de aciertos es muy superior en España que
en Portugal, debida al 52,94% de aciertos portugueses al ítem 21 (tarea no usual)
contra 3,45% de aciertos con la muestra española. Este hecho pone de manifiesto que
los estudiantes de Portugal presentan más facilidad en determinar la derivada
geométricamente que los alumnos de España. La interpretación geométrica de la
derivada de una función en un punto, como la pendiente de la recta tangente a la
gráfica en ese punto, es una tarea frecuentemente explorada por los estudiantes
portugueses, correspondiendo a 80 ejercicios de “determinación de la derivada de una
función en un punto” contabilizados en los manuales escolares portugueses.
A pesar de que el porcentaje de aciertos portugueses al ítem 14b es casi el doble del
porcentaje de aciertos españoles, en los manuales escolares portugueses no hay
ejercicios relacionados con este tipo de tarea, ni el contenido es contemplado en los
diseños curriculares.
En el bloque 3.4., los estudiantes portugueses manifiestan tener más facilidad en
resolver gráficamente una inecuación de segundo grado que los españoles,
tarea no usual
tarea usual
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
3.1 3.2 3.3 3.4
3,45%
65,52%
17,24% 6,90%
82,76%
96,55%
62,07%
24,14%
Porcentaje de aciertos - Conjetura 3 -
España
tarea no usual tarea usual
167
correspondiendo a los aciertos al ítem 27. Este resultado está plenamente de acuerdo
con la proporción de ejercicios referentes a la “Resolución gráfica de una inecuación
cuadrática o grado superior a 2” y a la “Resolución algebraica del mismo tipo de
inecuación” que es de 33/28 en los manuales portugueses y de 4/25 en los manuales
españoles.
Cuarta conjetura
C4. No ocurre reversión de las técnicas para realizar la tarea “inversa”
Portugal
España
bloque ítem Aciertos Diferencia
4.1 22 66,67%
23,53% 4 43,14%
4.2 6 13,73%
11,76% 25 1,96%
4.3 10 88,24%
86,27% 25 1,96%
4.4 17 19,61%
-13,73% 29 33,33%
4.5 23b 15,69%
-3,92% 28 19,61%
bloque ítem Aciertos Diferencia
4.1 22 51,72%
37,93% 4 13,79%
4.2 6 27,59%
27,59% 25 0,00%
4.3 10 20,69%
20,69% 25 0,00%
4.4 17 37,93%
0,00% 29 37,93%
4.5 23b 37,93%
27,59% 28 10,34%
168
tarea no usual
tarea usual
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
100%
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
43,14%
1,96% 1,96%
33,33% 19,61%
66,67%
13,73%
88,24%
19,61% 15,69%
Porcentaje de aciertos - Conjetura 4 -
Portugal
tarea no usual tarea usual
tarea no usual
tarea usual
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
100%
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
13,79% 0,00% 0,00% 37,93%
10,34%
51,72%
27,59% 20,69%
37,93% 37,93%
Porcentaje de aciertos - Conjetura 4 -
España
tarea no usual tarea usual
169
En los bloques 4.1. y 4.2. las diferencias son menores en Portugal que en España. Este
acontecimiento está de acuerdo con las distintas razones de ejercicios referentes a
este tipo de tareas presentes en los libros de texto portugueses y españoles.
Relativamente al bloque 4.1., la proporción de ejercicios referentes a la tarea inversa y
a la directa es de 28/78 en los manuales portugueses y de 29/237 en los manuales
españoles. Por eso los estudiantes de Portugal revelan más facilidad en “determinar
una ecuación polinómica dadas las raíces” que los de España. Además, consta en el
diseño curricular portugués del bachillerato la “descomposición de polinomios en
factores” fuertemente trabajada en el Tema II del 10.º ano. El currículo de Galicia sólo
hace referencia al estudio de las funciones polinómicas, sin especificar la
descomposición.
Relativamente al bloque 4.2., la proporción de ejercicios referentes a la tarea inversa y
a la directa es de 2/150 en los manuales portugueses y de 1/516 en los manuales
españoles. La tarea de “determinar un sistema de ecuaciones lineales a partir de sus
soluciones” no forma parte de los diseños curriculares.
En el bloque 4.3. observamos una gran discrepancia de la diferencia de aciertos en
Portugal en relación a España. Esta divergencia se debe al elevado porcentaje de
respuestas correctas al ítem 10 asociado a una tarea muy familiar a los alumnos
portugueses “dados dos puntos, escribir la ecuación de la recta que pasa por ellos”
estudiada en los dos primeros temas del 10.º año. La Geometría Analítica destaca la
determinación de las ecuaciones de la recta y el tema de “Funciones y gráficos” retoma
la dicha tarea.
Las diferencias negativas en el bloque 4.4. y 4.5. revelan que los portugueses realizan
con más facilidad las tareas inversas que las tareas directas. Las proporciones de
ejercicios referentes a las tareas inversas y directas son de 27/88 y de 59/212 en los
manuales portugueses, respectivamente para el bloque 4.4. y 4.5.
Esta comparación nos lleva a creer que, relativamente a la inversión de técnicas, la
actividad matemática estudiada en la escuela portuguesa es menos rígida que la
desarrollada en la escuela española.
170
Quinta conjetura
C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización
Portugal
España
5.1. Construcción del modelo
ítem % aciertos
Problemas
Porcentajes 15a 25,49%
Porcentajes 15b 37,25%
Func.polinómicas 18 23,53%
Func. polinómicas 32a 47,06%
Func. a trozos 33 1,96%
Media 27,06%
5.1.
Construcción del modelo
ítem % aciertos
Problemas
Porcentajes 15a 27,59%
Porcentajes 15b 31,03%
Func.polinómicas 18 17,24%
Func. polinómicas 32a 58,62%
Func. a trozos 33 6,90%
Media 28,28%
5.2. Manipulación del modelo
ítem % aciertos
Problemas
Derivadas 16b 15,69%
Derivadas 32c 27,45%
Func. polinómicas 32b 45,10%
Media 29,41%
5.2.
Manipulación del modelo
ítem % aciertos
Problemas
Derivadas 16b 6,90%
Derivadas 32c 24,14%
Func. polinómicas 32b 31,03%
Media 20,69%
5.3.
Construcción y manip. del modelo
ítem % aciertos
Problemas
Porcentajes 15a 25,49%
Porcentajes 15b 37,25%
Func. polinómicas 18 23,53%
Func. polinómicas 32a 47,06%
Funciones a trozos 33 1,96%
Derivadas 16b 15,69%
Derivadas 32c 27,45%
Func. polinómicas 32b 45,10%
Media 27,94%
5.3.
Construcción y manip. del modelo
ítem % aciertos
Problemas
Porcentajes 15a 27,59%
Porcentajes 15b 31,03%
Func. polinómicas 18 17,24%
Func. polinómicas 32a 58,62%
Funciones a trozos 33 6,90%
Derivadas 16b 6,90%
Derivadas 32c 24,14%
Func. polinómicas 32b 31,03%
Media 25,43%
171
Después de analizar las tablas y observar los gráficos concluimos que las medias de
porcentajes de respuestas correctas a los ítems relacionados con problemas de
modelización toman valores muy reducidos, inferiores al 30% del alumnado que
constituyen las submuestras. Estos resultados llevan a creer que los estudiantes no
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
29,41% 27,06% 27,94%
Medias de porcentaje de aciertos
- Portugal -
manipulación
Construción
construción + manipulación
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
20,69% 28,28% 25,43%
Medias de porcentaje de aciertos
- España -
Manipulación
Construción
Construción + Manipulación
172
dominan este tipo de problema, revelan dificultades en la interpretación del enunciado
que traduce una situación extramatemática y cotidiana.
También fue revelado anteriormente que los problemas que requieren la construcción
y manipulación de un modelo no son frecuentes en los manuales escolares, por esa
razón, los alumnos no están naturalmente acostumbrados a estas cuestiones.
Este estudio exploratorio permitió analizar los resultados al cuestionario de dos
muestras de estudiantes distintas: una relativa a los estudiantes portugueses de la
Enseñanza Secundaria y otra relativa a los estudiantes del primer año de la Enseñanza
Universitaria española. Después de efectuar una comparación de los resultados
obtenidos en las dos submuestras podemos concluir que, alumnos con culturas,
sociedades, tradiciones distintas y también, niveles de enseñanza diferentes
manifiestan el mismo comportamiento al contestar un cuestionario con varios ítems
referentes a la incompletitud y atomización de ciertas organizaciones matemáticas.
El comportamiento similar de los estudiantes que constituyen las dos submuestras nos
lleva a creer que el tipo de actividad matemática que se propone en Portugal y en
España es muy próxima.
Surgió otra conclusión delante de los resultados de este estudio exploratorio:
- 6 años después de la presentación de la tesis de Cecilio Fonseca se verifica que
la situación de las matemáticas en España tiende a retroceder, ya que los
resultados de este estudio fueron peores que el estudio efectuado hace 6 años
atrás.
Ocurre que, actualmente, las universidades españolas de las Matemáticas están muy
preocupadas con el paso de la Enseñanza Secundaria a la universitaria, porque los
alumnos manifiestan falta de autonomía al resolver cuestiones diferentes de las
propuestas habitualmente.
173
3.4.4. Síntesis
Iniciamos la presente investigación estudiando la forma como la Didáctica contesta el
problema de la desarticulación de las matemáticas en varios niveles de la enseñanza y
la transposición de un nivel a otro. Después de tener conocimiento de los diversos
modelos teóricos, nos concentramos en el estudio de la Teoría Antropológica de lo
Didáctico.
Efectuamos un estudio exploratorio paralelo en Portugal y España sobre la forma de
un cuestionario con diversos ítems. Por otro lado fue analizada una muestra de libros
de texto del área de las Matemáticas con el intento de verificar si las tareas en que el
alumnado manifestó más dificultad al contestar el cuestionario están o no presentes
frecuentemente en los manuales escolares. Concluimos que hay una relación directa
entre la baja frecuencia de determinadas tareas en los libros de texto y el bajo
porcentaje de respuestas correctas de los estudiantes de las submuestras a los ítems
relacionados con las mismas tareas.
En el primer aspecto de la rigidez de las matemáticas en la Enseñanza Secundaria
concluimos que las técnicas que se utilizan dependen fuertemente de la nomenclatura,
porque basta modificar en el cuestionario la letra representativa de la incógnita por
una menos habitual para que el número de respuestas incorrectas y en blanco de los
estudiantes aumentar considerablemente. También verificamos que los resultados
obtenidos en la primera conjetura están de acuerdo con la escasez de ejercicios
propuestos en los libros de texto que permiten que el alumno manipule una
determinada técnica utilizando nomenclaturas no usuales. De este modo, concluimos
que las técnicas matemáticas se tienden a identificar con los objetos ostensivos
(símbolos, palabras y gráficos) que se utilizan para describirlas y para aplicarlas. Esta
uniformidad en la nomenclatura y la poca variedad de tareas relativas a una
determinada organización matemática provocará un gran obstáculo para el alumnado
de Matemática en el primer año de la Universidad, una vez que, los estudiantes
normalmente presentan una gran dificultad en la parte algebraica de las matemáticas.
Enseguida observamos un segundo aspecto de la rigidez de las organizaciones
matemáticas relacionado con el hecho de que el conjunto de normas que regulan la
174
distribución de responsabilidades entre el profesor y los estudiantes de Secundaria no
incluye la responsabilidad de interpretar el resultado obtenido después de aplicar una
determinada técnica matemática. Tal como en la tesis de Cecilio Fonseca, los
resultados obtenidos en los dos estudios exploratorios muestran que el alumnado
manifiesta dificultades en las tareas en que interviene el bloque tecnológico-teórico en
particular, en la interpretación de la actividad matemática. Los datos apoyan la
hipótesis H(S) según la cual la actividad matemática que se lleva a cabo en Secundaria
es esencialmente práctico-técnica y raramente alcanza el nivel tecnológico. Por otro
lado, los datos que nos proporcionan los libros de texto en relación con la segunda
conjetura confirman que en Secundaria no existen, prácticamente, tareas
institucionalizadas que tengan por objetivo interpretar el funcionamiento o el
resultado de una técnica.
Surgió un tercero aspecto de la rigidez de las praxeologías que se resume en la
existencia de una única técnica privilegiada asociada a cada tarea matemática de
Secundaria. Significa que el contrato didáctico de este nivel de enseñanza no permite
que el alumnado tenga la responsabilidad de decidir, de entre las diversas técnicas
útiles para resolver una tarea, cuál es la más económica o la más fiable. Este fenómeno
provoca la atomización de las diversas tareas, ésto es, existe una asociación de una
determinada técnica a cada tipo de tarea. No obstante, en algunos de los ítems del
cuestionario presentado a los estudiantes, se verificó varias veces que las técnicas
utilizadas no eran las más adecuadas, condicionando a los alumnos a no presentar en
sus respuestas puntos fundamentales originando así respuestas incompletas. Por
ejemplo, a pesar de que el alumnado sabe determinar máximos y mínimos de una
función por la técnica de la derivada, no hace ninguna referencia a esta técnica para
calcular las coordenadas del vértice de una parábola. Esto ocurre probablemente,
porque el profesor cuando presenta un nuevo contenido de una organización
matemática no recupera las técnicas anteriores para efectuar una comparación de
costes y eficacia de las diversas técnicas que permiten concluir una determinada tarea.
En varios casos, para solucionar una determinada tarea, el hecho es que los
estudiantes no utilizaron la técnica con menor coste provocó errores de cálculo y
respuestas incorrectas. Así, muchas de las técnicas matemáticas que se utilizan en
Secundaria tienen un carácter “naturalizado” y “auto-tecnológico”, ésto es, no existe
175
un momento en que el estudiante pueda cuestionar la eficacia de la técnica que va a
utilizar y manipular para resolver la tarea propuesta por el profesor. Los datos
empíricos extraídos de los manuales escolares permiten explicar porqué los alumnos
no comparan nunca el coste de dos técnicas diferentes para decidir cuál es la más
adecuada en cada caso, además de que, es una actividad prácticamente ausente de los
manuales escolares.
Observamos también que no forma parte de la responsabilidad matemática del
alumno invertir una técnica para resolver la tarea inversa. Los enunciados referentes a
tareas no habituales representan una gran dificultad para el estudiante. Basta cambiar,
por ejemplo, la determinación de las soluciones de una ecuación por la determinación
de la ecuación conociendo las soluciones para que el número de respuestas correctas
decrezca. Esta ausencia de inversión de las técnicas representa el cuarto aspecto de la
rigidez de las organizaciones matemáticas de Secundaria. Otra vez podemos verificar
que los datos empíricos extraídos de los manuales escolares permiten percibir la razón
por la cual los alumnos no invierten una técnica matemática cuando se les propone la
tarea inversa.
Por último fue observada la baja frecuencia de situaciones de modelización en los
libros de texto y, consecuentemente, dificultad del alumnado constituyente de la
muestra en contestar este tipo de cuestiones que envuelven construcción y
manipulación de modelos que traduzcan situaciones reales. Esta observación
representa el quinto aspecto de la rigidez de las matemáticas de la Enseñanza
Secundaria. Uno de los principales indicadores del grado de completitud de una OML
lo constituye la existencia de tareas matemáticas “abiertas”. Su importancia como
indicador de la completitud proviene del hecho de que la existencia de tareas abiertas
presupone cierto grado de flexibilidad de las técnicas y, además, presupone que las
organizaciones matemáticas puntuales que constituyen la OML en cuestión han
alcanzado cierto grado de articulación. No obstante, observando los resultados
empíricos tanto de los libros de texto como del cuestionario, concluimos que las OML
analizadas no satisfacen completamente uno de los indicadores de completitud.
176
Pretendemos en investigaciones futuras verificar si la desarticulación en el carácter de
las matemáticas es sólo un problema de la enseñanza española y portuguesa o sino,
por el contrario, es un problema global de la enseñanza de la matemática de varios
países y continentes.
Las conclusiones de esta investigación llevan a creer que es esencial que sean las
propias instituciones docentes las que reconstruyan Organizaciones Matemáticas
Locales Relativamente Completas que permitan flexibilizar e integrar las
Organizaciones Matemáticas que se estudian en Secundaria.
177
Capítulo 4
Conclusiones
Problemas abiertos y perspectivas de investigación
178
En este trabajo hemos mostrado que la relación personal de los alumnos a las
Organizaciones Matemáticas (OM) que se estudian en la Enseñanza Secundaria
portuguesa está fuertemente condicionada por la relación institucional a dichas OM y
que éstas presentan, en términos generales, un carácter puntual, rígido y aislado en un
sentido análogo al descrito en Fonseca (2004) para el caso de Enseñanza Secundaria
española. En ambos casos, y a pesar de presentar diferentes tradiciones pedagógicas y
otras diferencias culturales y sociales, las OM escolares cumplen en un alto grado las
conjeturas que describen el citado carácter puntual, rígido y aislado.
Con los datos aportados en este trabajo se tienen nuevas evidencias empíricas para
sustentar la hipótesis de que las citadas características de las OM escolares lejos de ser
únicamente un conjunto de hechos circunstanciales propios de una institución
concreta en un periodo de tiempo determinado, constituyen un fenómeno didáctico-
matemático, puesto que las mismas presentan una relativa universalidad y
permanencia en el tiempo.
Ésta era la principal hipótesis de nuestro trabajo que deberé ser corroborada y
refinada en futuras investigaciones. Junto a esta conclusión también hemos puesto de
manifiesto, aunque de manera secundaria, que algunas de las principales
particularidades de las respuestas de los estudiantes portugueses (y que se manifiesta
en diferencias cualitativas y cuantitativas de las respuestas de éstos en relación a las
de los españoles) están relacionadas con características específicas de los tipos de
tareas, técnicas y tecnologías que aparecen en los currículos y los libros de texto
portugueses y que difieren claramente de los españoles.
Dado que este fenómeno (rigidez, aislamiento y carácter puntual de las OM escolares)
está muy relacionado con la desarticulación de la matemática escolar y con la
ausencia escolar de la razón de ser de ésta, podemos postular que se trata de un
fenómeno didáctico-matemático que dificulta enormemente el que pueda llevarse a
cabo en el ámbito de las instituciones escolares una actividad matemática funcional y,
en particular, constituye una restricción muy importante que dificulta la existencia de
179
actividades matemáticas abiertas y flexibles que requieren de manera esencial la
modelización matemática.
Como consecuencia de todo ello, vuelve a aparecer un problema de investigación
didáctica de gran envergadura que podríamos denominar “problema ecológico” y que
puede formularse brevemente en los siguientes términos:
¿Qué restricciones dificultan o impiden que las Organizaciones Matemáticas escolares
se flexibilicen superando las rigideces descritas en Fonseca (2004) y que se han vuelto
a poner de manifiesto en las OM que viven en la escuela portuguesa? ¿Qué
condiciones y, en especial, qué dispositivos didácticos se deberían instaurar para que
fuese posible llevar a cabo una actividad matemática funcional en las instituciones
escolares actuales? ¿Qué características debe poseer un Modelo Epistemológico de
Referencia (MER) de un ámbito concreto de la actividad matemática para sustentar
dichos dispositivos didácticos?
En alguna forma dicha cuestión ya se planteó en Fonseca (2004) dándose al final del
mismo una respuesta tentativa y provisional. Dicha respuesta puede resumirse en dos
condiciones principales que debería cumplir un dispositivo didáctico para poner en
marcha una actividad matemática funcional:
(a) Partir de una cuestión matemática o extra-matemática (que acabará siendo la
“razón de ser” de la OM que se construirá) suficientemente rica como para generar
nuevas cuestiones y, a su vez, suficientemente potente como para requerir como
respuesta toda una OM local relativamente completa.
(b) Diseñar y gestionar un nuevo dispositivo didáctico en el que pudiese vivir con
normalidad el momento del trabajo de la técnica, puesto que el desarrollo de las
técnicas matemáticas (cuando está adecuadamente dirigido) es un instrumento
esencial para el desarrollo y la flexibilización de las praxeologías y, en definitiva, una
condición necesaria para llevar a cabo una actividad matemática funcional.
Muchos de los trabajos que se han llevado a cabo desde 2004 hasta nuestros días en el
ámbito de la TAD han insistido en esa misma dirección proponiendo ingenierías
180
matemáticas que han permitido dar respuestas parciales y provisionales al gran
problema ecológico enunciado.
A continuación esquematizaremos muy brevemente algunas de las líneas de
investigación de nuestro grupo de trabajo, en el ámbito de la TAD, que cristalizaron en
sendos trabajos de tesis doctoral y que constituyen antecedentes del trabajo que
proponemos como continuación del que aquí estamos presentando.
1. La modelización como instrumento de articulación de la matemática escolar. De la
proporcionalidad a las relaciones funcionales11
Los primeros trabajos que relacionan explícitamente la desarticulación con la
modelización matemática se refieren a la desarticulación de la geometría escolar y, en
particular, con el estudio de la incidencia del autismo temático sobre dicha
desarticulación (Gascón 2003c; García et Alt. 2006).
En el caso de la proporcionalidad este punto de vista requiere cuestionar el modelo
epistemológico de la proporcionalidad que se desprende de los libros de texto y del
diseño curricular y que, por tanto, es el dominante en la institución escolar y acaba
siendo asumido implícitamente (y de manera acrítica) por la inmensa mayoría de las
investigaciones en este campo.
El cuestionamiento de dicho modelo ha conducido a discutir abiertamente la
posibilidad de tomar el “razonamiento proporcional” como objeto de estudio en sí
mismo. Dado que el aislamiento de la proporcionalidad como ámbito de investigación
se corresponde con la distribución tradicional de la matemática escolar (en temas,
sectores y áreas) impuesta por los programas oficiales, la tesis también cuestiona el
criterio que guía dichos programas para aislar la relación funcional de proporcionalidad
y sugiere alternativas.
De este doble cuestionamiento, que pone en tela de juicio la pertinencia de aislar la
proporcionalidad como objeto de investigación y como objeto matemático a enseñar,
11 Esta línea de investigación culminó en la tesis doctoral de Francisco Javier García (2005).
181
surge otra de las principales aportaciones de esta línea de investigación: el problema
didáctico de la proporcionalidad debe ser integrado en el estudio mucho más
comprensivo del problema de la enseñanza-aprendizaje de las relaciones funcionales
entre magnitudes.
La respuesta que se propone al problema didáctico planteado se materializa en el
diseño y experimentación con alumnos de cuarto de ESO de un Recorrido de Estudio e
Investigación (REI) (Chevallard 2005, 2006) generado por una cuestión relativa a los
posibles Planes de Ahorro. Dicho REI se sustenta y articula a partir de un Modelo
Epistemológico de Referencia (MER) que al integrar la proporcionalidad como una más
de las relaciones funcionales entre magnitudes constituye una alternativa al modelo
epistemológico dominante en las instituciones escolares actuales.
2. El caso de los Sistemas de Numeración12
En el caso de los Sistemas de Numeración se parte de una cuestión generatriz que
pretende indagar cuáles son las características que cumple nuestro sistema de
numeración (posicional completo) para que se haya impuesto de manera absoluta
sobre todos los que han existido a lo largo de la historia (cosa que no ha sucedido, por
ejemplo, con las lenguas).
Se diseñó y experimentó con estudiantes de Magisterio y, paralelamente, con
estudiantes de cuarto curso de la ESO, un proceso de estudio en el que la
reconstrucción del sistema de numeración posicional completo se obtenía como el
resultado final de una sucesión creciente de OM que abarcan tipos de problemas cada
vez más amplios y técnicas progresivamente más potentes.
q OMi OMa OMh OMp
En este esquema del Modelo Epistemológico de Referencia de los Sistemas de
Numeración, q representa la citada cuestión generatriz, OMi la Organización
Matemática inicial que o bien dispone de un solo símbolo o bien de infinitos símbolos
(uno para cada número natural). Las tres últimas Organizaciones Matemáticas son, 12
Esta línea de investigación ha dado origen al trabajo de tesis doctoral de Tomás Ángel Sierra (2006).
182
respectivamente, OM desarrolladas entorno a: un sistema de numeración “aditivo”
(OMa), un sistema de numeración “híbrido” (OMh) y un sistema de numeración
“posicional” (OMp). Cada una de estas OM intermedias constituye un eslabón del
“esqueleto” matemático y puede considerarse como una respuesta parcial y
provisional (que se completa relativamente en la siguiente OM de la cadena) a la
cuestión generatriz.
El objetivo del proceso didáctico no puede reducirse en ningún caso a la OMp
finalmente construida (que no es otra que la OM en torno a al sistema de numeración
posicional completo) sino que debe abarcar todo el recorrido de estudio puesto que
las OM intermedias son las que motivan y dan sentido a la OM final.
3. Ecología de la Modelización Matemática en la Enseñanza Universitaria de las
Matemáticas13
Dado un programa oficial de estudios propuesto en una institución docente
determinada y descrito en términos clásicos, esto es, mediante temas (que contienen
“definiciones”, “teoremas”, “demostraciones” y algunos tipos de problemas), ¿cómo
diseñar un proceso de estudio que permita articular en una OM suficientemente
comprensiva y relativamente completa las OM puntuales y bastante rígidas que
aparecen aisladas en el programa en cuestión?
Después de reformular el problema docente de la enseñanza de las matemáticas en
CCEE en términos de articulación y funcionalidad de la matemática enseñada para que
ésta pueda utilizarse como herramientas para dar respuesta a cuestiones
problemáticas dentro de las CCEE, se plantea una segunda reformulación en la que la
modelización, en sentido clásico, juega un papel central: ¿cómo conseguir que las
matemáticas se enseñen como una herramienta de modelización de situaciones o
hechos científicos, de tal forma que la enseñanza globalmente considerada no se
organice en función de los contenidos matemáticos sino de los problemas o proyectos
que los estudiantes deben realizar?
13
Esta línea de investigación ha dado origen al trabajo de tesis doctoral de Berta Barquero (2009).
183
Pero la formulación del problema en el ámbito de la TAD requirió, además, una
redefinición de la noción de modelización matemática para integrarla en el modelo
epistemológico de las matemáticas que propone la TAD y una ampliación del espacio
institucional tradicionalmente reservado a la didáctica de las matemáticas a fin de
subrayar la dimensión ecológica del problema:
(a) ¿Qué condiciones se requieren y qué restricciones dificultan o impiden que las OM
se enseñen, aprendan, estudien y utilicen como herramientas de modelización en los
actuales sistemas de enseñanza de las matemáticas para CCEE?
(b) ¿Qué tipo de OD posibilitarían una integración global (más allá de una
experimentación local) de la modelización matemática (interpretada como la TAD
propone) en los citados sistemas de enseñanza? ¿Cuál es la ecología de estas
organizaciones didácticas?
Para empezar a responder al problema didáctico así planteado hemos llevado a cabo
un estudio empírico muy amplio diseñando y experimentando a lo largo de cuatro
cursos académicos tres REIs que cubrían con creces el programa habitual de
matemáticas de un primer curso de Ciencias Experimentales en las Universidades
españolas. Dichos REIs se sustentan en un Modelo Epistemológico de Referencia
construido explícitamente y estructurado en términos de una red de cuestiones y
respuestas que dan origen a una arborescencia de OM cada vez más amplias y
completas.
4. Iniciación escolar al álgebra elemental y su articulación con la modelización
funcional14
Después del trabajo de tesis de Javier García (2005) surgió la necesidad de estudiar el
problema ecológico de la modelización funcional lo que requirió, a su vez, la
elaboración previa de un MER de dicho ámbito de la matemática escolar (situado, en el
caso de España, en el nivel de Bachillerato, esto es, para alumnos de entre 16 y 18
años). Al abordar el correspondiente problema de ingeniería didáctica mediante el
14
Esta línea de investigación ha dado origen al trabajo de tesis doctoral en fase de finalización de Noemí Ruiz Munzón que se presentará en el año 2010 en el Departamento de Matemáticas de la Universitat Autònoma de Barcelona.
184
diseño y experimentación de un proceso de estudio en el que la modelización funcional
era imprescindible, aparecieron múltiples restricciones institucionales entre las que
destaca el carácter prealgebraico de la matemática escolar (Ruiz Munzón et Alt. 2007a,
2007b). Reaparecía así el problema, en cierto sentido “previo”, de la necesaria
introducción temprana del álgebra elemental que aunque había sido descrito y
analizado en la tesis de Pilar Bolea, no había sido tratado en su totalidad.
Fue necesario diseñar un MER capaz de articular globalmente la introducción del
álgebra elemental en los primeros cursos de la ESO (12-14 años), lo que incluye el
lenguaje algebraico y los números negativos (Bolea & Cid 2007), con el desarrollo del
instrumento algebraico en la segunda etapa de la ESO (14-16 años) y con la
modelización funcional en el Bachillerato (16-18 años). Dicho MER se formuló en
términos de una sucesión de OM cada vez más amplias y completas de tal manera que
cada una de las OM que aparecen puede considerarse como un modelo matemático
de la anterior (Ruiz Munzón et Alt. to appear).
La experimentación de sucesivos procesos de estudio con estudiantes de todos los
cursos de la ESO y del Bachillerato ha puesto de manifiesto que es posible introducir
de manera funcional (en contraposición a la habitual introducción puramente formal)
el lenguaje algebraico en los primeros cursos de la ESO y que dicha introducción da
sentido a las progresivas etapas de algebrización de la actividad matemática escolar y
permite relacionar adecuadamente el álgebra escolar con el lenguaje (y la
modelización) funcional.
Surgen algunos problemas abiertos a partir de la investigación que hemos presentado
en esta memoria:
¿La desarticulación curricular que se pone de manifiesto en este trabajo es un
problema que solo abarca a la actividad matemática institucional española y
portuguesa o estamos ante un proceso mucho más global?
¿Para articular y dar sentido a las matemáticas es esencial situar la
modelización matemática en el centro del programa?
¿Qué características específicas debería poseer una Organización Didáctica (o
proceso de estudio) que permita reconstruir una OMLRC?
185
¿De qué técnicas didácticas dispone el profesor para diseñar y gestionar un tal
proceso de estudio?
Tanto en Portugal como en España existe un problema bastante complejo que
deberá ser bien estudiado que es el conflicto entre el tiempo institucional y el
tiempo didáctico.
Pretendemos trabajar en el futuro en la creación de una Organización
Matemática Local Relativamente Completa (OMLRC) alrededor de la derivada,
proponiendo una Organización Matemática distinta de la actual. Pensamos
partir de una Organización Matemática Puntual (OMP) y, mediante sucesivos
procesos de modelización matemática ir ampliándola progresivamente hasta
obtener una OMLRC. La premisa de arranque es la difusión de tareas
vivificantes, aquella donde el alumno la asuma con sentido de responsabilidad
y que además se comprometa a resolverla. ¿Cuáles serán los mecanismos de
búsqueda que debe activar la acción docente para tal propósito?
En todas las investigaciones descritas brevemente se ha abordado un aspecto parcial
del gran problema ecológico (o, mejor, de la dimensión ecológica de todo problema de
investigación didáctica) que hemos citado anteriormente. Todas estas investigaciones
presentan en común unos rasgos que pretendemos mantener en nuestra propuesta de
investigación futura:
(a) Se limita un cierto ámbito de la actividad matemática.
(b) Se elige una institución determinada.
(c) Se plantean cuestiones específicas relativas a las condiciones que se requieren
y a las restricciones que dificultan o impiden que dicho ámbito de la actividad
matemática se desarrolle de manera funcional y flexible en la institución en
cuestión.
(d) Se propone una respuesta parcial y provisional a dichas cuestiones mediante el
diseño y la experimentación de un proceso de estudio (que puede tomar o no
la forma de Recorrido de Estudio e Investigación) sustentado en un Modelo
Epistemológico de Referencia relativo al ámbito matemático en cuestión. Dicho
186
MER debe ser construido ex profeso para elaborar dicha respuesta y su
elaboración es responsabilidad de la comunidad de investigadores en didáctica
de las matemáticas.
Éste es el marco en el que situamos el futuro de nuestro trabajo de investigación,
con las herramientas que nos proporciona la TAD y en colaboración con la
comunidad científica que trabaja en este ámbito.
187
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Didácticas. El caso de los Sistemas de Numeración, Tesis Doctoral, Universidad
Complutense de Madrid.
193
Manuales escolares:
Año de escolaridad Título Editorial Año de publicación
7.º Espaço7 Edições Asa 2007
7.º Matemática Dinâmica Porto Editora 2006
8.º EnigMat Edições Asa 2008
8.º Matemática Dinâmica Porto Editora 2005
9.º Matemática em Acção Lisboa Editora 2009
9.º Matemática 9 Porto Editora 2002
10.º Espaço 10 Edições Asa 2007
10.º Matemática A
(Funções I) + (Geometria I)
Porto Editora 2004
11.º Infinito Areal Editores 2009
11.º Matemática A (Funções II) Porto Editora 2007
12.º Matemática A
(Funções III) + (Trigonom)
Porto Editora 2009 + 2007
12.º Infinito Areal Editores 2006
194
Anexos
Anexo A – Currículos
1. Currículo 3.º ciclo de Portugal
En las tablas que se siguen vamos a presentar los tópicos y objetivos específicos para
cada área de las matemáticas: “Números e Operações”, “Geometria”, “Álgebra” y
“Organização e tratamento de dados”.
Números e operações
195
196
Geometria
197
198
199
Álgebra
200
201
Organização e tratamento de dados
202
203
2. Currículo ESO de España
MATERIAS DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA
Primer curso
Contenidos
Bloque 1. Contenidos comunes. Utilización de estrategias y técnicas simples en la resolución de problemas tales como el análisis del enunciado, el ensayo y error o la resolución de un problema más simple, y comprobación de la solución obtenida.
Bloque 2. Números.
- Divisibilidad de números naturales. Múltiplos y divisores comunes a varios números.
Aplicaciones de la divisibilidad en la resolución de problemas asociados a situaciones
cotidianas.
- Los números negativos.
- Fracciones y decimales en entornos cotidianos.
- Operaciones con fracciones: suma, resta, producto y cociente.
- Elaboración y utilización de estrategias personales para el cálculo mental, para el cálculo
aproximado y con calculadoras.
- Razón y proporción. Identificación y utilización en situaciones de la vida cotidiana de
magnitudes directamente proporcionales. Aplicación a la resolución de problemas en las
que intervenga la proporcionalidad directa.
- Porcentajes para expresar composiciones o variaciones. Cálculo mental y escrito con
porcentajes habituales.
Bloque 3. Álgebra.
- Empleo de letras para simbolizar números inicialmente desconocidos y números sin
concretar. Utilidad de la simbolización para expresar cantidades en distintos contextos.
- Traducción de expresiones del lenguaje cotidiano al algebraico y viceversa. Búsqueda y
expresión de propiedades, relaciones y regularidades en secuencias numéricas.
- Obtención de valores numéricos en fórmulas sencillas.
- Valoración de la precisión y simplicidad del lenguaje algebraico para representar y
comunicar diferentes situaciones de la vida cotidiana.
Bloque 4. Geometría.
- Elementos básicos para la descripción de las figuras geométricas en el plano. Utilización de
la terminología adecuada para describir con precisión situaciones, formas, propiedades y
configuraciones del mundo físico.
- Análisis de relaciones y propiedades de figuras en el plano: paralelismo y
perpendicularidad. Empleo de métodos inductivos y deductivos para analizar relaciones y
propiedades en el plano.
- Construcciones geométricas sencillas: mediatriz, bisectriz.
- Clasificación de triángulos y cuadriláteros a partir de diferentes criterios. Estudio de algunas
propiedades y relaciones en estos polígonos. Polígonos regulares. La circunferencia y el
círculo. Construcción de polígonos regulares con los instrumentos de dibujo habituales.
204
- Medida y cálculo de ángulos en figuras planas. Estimación y cálculo de perímetros de
figuras. Estimación y cálculo de áreas mediante fórmulas, triangulación y cuadriculación.
Simetría de figuras planas. Apreciación de la simetría en la naturaleza y en las
construcciones. Empleo de herramientas informáticas para construir, simular e investigar
relaciones entre elementos geométricos.
Bloque 5. Funciones y gráficas.
- Organización de datos en tablas de valores.
- Coordenadas cartesianas. Representación de puntos en un sistema de ejes coordenados.
Identificación de puntos a partir de sus coordenadas.
- Identificación de relaciones de proporcionalidad directa a partir del análisis de su tabla de
valores. Utilización de contraejemplos cuando las magnitudes no sean directamente
proporcionales.
- Identificación y verbalización de relaciones de dependencia en situaciones cotidianas.
- Interpretación puntual y global de informaciones presentadas en una tabla o representadas
en una gráfica. Detección de errores en las gráficas que pueden afectar a su interpretación.
Bloque 6. Estadística y probabilidad.
Formulación de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos y diseño de experiencias para su comprobación.
Reconocimiento y valoración de las matemáticas para interpretar y describir situaciones inciertas. Diferentes formas de recogida de información. Organización en tablas de datos recogidos en una experiencia. Frecuencias absolutas y relativas. Diagramas de barras, de líneas y de sectores. Análisis de los aspectos más destacables de los gráficos.
Segundo curso
Contenidos
Bloque 1. Contenidos comunes. Utilización de estrategias y técnicas en la resolución de problemas tales como el análisis del enunciado, el ensayo y error o la división del problema en partes, y comprobación de la solución obtenida.
Descripción verbal de procedimientos de resolución de problemas utilizando términos adecuados. Interpretación de mensajes que contengan informaciones de carácter cuantitativo o sobre elementos o relaciones espaciales. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas.
Bloque 2. Números.
Potencias de números enteros con exponente natural. Operaciones con potencias. Utilización de la notación científica para representar números grandes.
Cuadrados perfectos. Raíces cuadradas. Estimación y obtención de raíces aproximadas. Relaciones entre fracciones, decimales y porcentajes. Uso de estas relaciones para elaborar estrategias de cálculo práctico con porcentajes. Utilización de la forma de cálculo mental, escrito o con calculadora, y de la estrategia para contar o estimar cantidades más apropiadas a la precisión
205
exigida en el resultado y la naturaleza de los datos. Proporcionalidad directa e inversa. Análisis de tablas. Razón de proporcionalidad. Aumentos y disminuciones porcentuales. Resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana en los que aparezcan relaciones de proporcionalidad directa o inversa.
Bloque 3. Álgebra.
El lenguaje algebraico para generalizar propiedades y simbolizar relaciones. Obtención de fórmulas y términos generales basada en la observación de pautas y regularidades.
Obtención del valor numérico de una expresión algebraica. Significado de las ecuaciones y de las soluciones de una ecuación. Resolución de ecuaciones de primer grado. Transformación de ecuaciones en otras equivalentes. Interpretación de la solución. Utilización de las ecuaciones para la resolución de problemas. Resolución de estos mismos problemas por métodos no algebraicos: ensayo y error dirigido.
Bloque 4. Geometría.
Figuras con la misma forma y distinto tamaño. La semejanza. Proporcionalidad de segmentos. Identificación de relaciones de semejanza.
Ampliación y reducción de figuras. Obtención, cuando sea posible, del factor de escala utilizado. Razón entre las superficies de figuras semejantes. Utilización de los teoremas de Tales y Pitágoras para obtener medidas y comprobar relaciones entre figuras. Poliedros y cuerpos de revolución. Desarrollos planos y elementos característicos. Clasificación atendiendo a distintos criterios. Utilización de propiedades, regularidades y relaciones para resolver problemas del mundo físico. Volúmenes de cuerpos geométricos. Resolución de problemas que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes. Utilización de procedimientos tales como la composición, descomposición, intersección, truncamiento, dualidad, movimiento, deformación o desarrollo de poliedros para analizarlos u obtener otros.
Bloque 5. Funciones y gráficas.
Descripción local y global de fenómenos presentados de forma gráfica.
Aportaciones del estudio gráfico al análisis de una situación: crecimiento y decrecimiento. Continuidad y discontinuidad. Cortes con los ejes. Máximos y mínimos relativos. Obtención de la relación entre dos magnitudes directa o inversamente proporcionales a partir del análisis de su tabla de valores y de su gráfica. Interpretación de la constante de proporcionalidad. Aplicación a situaciones reales. Representación gráfica de una situación que viene dada a partir de una tabla de valores, de un enunciado o de una expresión algebraica sencilla. Interpretación de las gráficas como relación entre dos magnitudes. Observación y experimentación en casos prácticos. Utilización de calculadoras gráficas y programas de ordenador para la construcción e interpretación de gráficas.
Bloque 6. Estadística y probabilidad.
Diferentes formas de recogida de información. Organización de los datos en tablas. Frecuencias absolutas y relativas, ordinarias y acumuladas.
Diagramas estadísticos. Análisis de los aspectos más destacables de los gráficos. Medidas de centralización: media, mediana y moda. Significado, estimación y cálculo. Utilización de las propiedades de la media para resolver problemas. Utilización de la media, la mediana y la moda para realizar comparaciones y valoraciones. Utilización de la hoja de cálculo para organizar los datos, realizar los cálculos y generar los gráficos más adecuados.
206
Tercer curso
Contenidos
Bloque 1. Contenidos comunes. Planificación y utilización de estrategias en la resolución de problemas tales como el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines, y comprobación del ajuste de la solución a la situación planteada.
Descripción verbal de relaciones cuantitativas y espaciales, y procedimientos de resolución utilizando la terminología precisa. Interpretación de mensajes que contengan informaciones de carácter cuantitativo o simbólico o sobre elementos o relaciones espaciales. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas.
Bloque 2. Números.
Números decimales y fracciones. Transformación de fracciones en decimales y viceversa. Números decimales exactos y periódicos. Fracción generatriz.
Operaciones con fracciones y decimales. Cálculo aproximado y redondeo. Cifras significativas. Error absoluto y relativo. Utilización de aproximaciones y redondeos en la resolución de problemas de la vida cotidiana con la precisión requerida por la situación planteada. Potencias de exponente entero. Significado y uso. Su aplicación para la expresión de números muy grandes y muy pequeños. Operaciones con números expresados en notación científica. Uso de la calculadora. Representación en la recta numérica. Comparación de números racionales.
Bloque 3. Álgebra.
Análisis de sucesiones numéricas. Progresiones aritméticas y geométricas.
Sucesiones recurrentes. Las progresiones como sucesiones recurrentes. Curiosidad e interés por investigar las regularidades, relaciones y propiedades que aparecen en conjuntos de números. Traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico. Transformación de expresiones algebraicas. Igualdades notables. Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución de problemas mediante la utilización de ecuaciones, sistemas y otros métodos personales. Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana.
Bloque 4. Geometría.
Determinación de figuras a partir de ciertas propiedades. Lugar geométrico.
Aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras a la resolución de problemas geométricos y del medio físico. Traslaciones, simetrías y giros en el plano. Elementos invariantes de cada movimiento. Uso de los movimientos para el análisis y representación de figuras y configuraciones geométricas. Planos de simetría en los poliedros. Reconocimiento de los movimientos en la naturaleza, en el arte y en otras construcciones humanas. Coordenadas geográficas y husos horarios. Interpretación de mapas y resolución de problemas asociados. Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas.
Bloque 5. Funciones y gráficas.
Análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan fenómenos del entorno cotidiano y de otras materias.
Análisis de una situación a partir del estudio de las características locales y globales de la gráfica correspondiente: dominio, continuidad, monotonía, extremos y puntos de corte. Uso de las
207
tecnologías de la información para el análisis conceptual y reconocimiento de propiedades de funciones y gráficas. Formulación de conjeturas sobre el comportamiento del fenómeno que representa una gráfica y su expresión algebraica. Análisis y comparación de situaciones de dependencia funcional dadas mediante tablas y enunciados. Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los diferentes ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de la tabla, la representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica. Utilización de las distintas formas de representar la ecuación de la recta.
Bloque 6. Estadística y probabilidad.
Necesidad, conveniencia y representatividad de una muestra. Métodos de selección aleatoria y aplicaciones en situaciones reales.
Atributos y variables discretas y continuas. Agrupación de datos en intervalos. Histogramas y polígonos de frecuencias. Construcción de la gráfica adecuada a la naturaleza de los datos y al objetivo deseado. Media, moda, cuartiles y mediana. Significado, cálculo y aplicaciones. Análisis de la dispersión: rango y desviación típica. Interpretación conjunta de la media y la desviación típica. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Actitud crítica ante la información de índole estadística. Utilización de la calculadora y la hoja de cálculo para organizar los datos, realizar cálculos y generar las gráficas más adecuadas. Experiencias aleatorias. Sucesos y espacio muestral. Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar. Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace. Formulación y comprobación de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos. Cálculo de la probabilidad mediante la simulación o experimentación. Utilización de la probabilidad para tomar decisiones fundamentadas en diferentes contextos. Reconocimiento y valoración de las matemáticas para interpretar, describir y predecir situaciones inciertas.
Cuarto curso
Opción A
Contenidos
Bloque 1. Contenidos comunes.
Planificación y utilización de procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización.
Expresión verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales, y procedimientos de resolución de problemas con la precisión y rigor adecuados a la situación. Interpretación de mensajes que contengan argumentaciones o informaciones de carácter cuantitativo o sobre elementos o relaciones espaciales. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas.
Bloque 2. Números.
Interpretación y utilización de los números y las operaciones en diferentes contextos, eligiendo la notación y precisión más adecuadas en cada caso.
Proporcionalidad directa e inversa. Aplicación a la resolución de problemas de la vida cotidiana. Los porcentajes en la economía. Aumentos y disminuciones porcentuales. Porcentajes sucesivos. Interés simple y compuesto. Uso de la hoja de cálculo para la organización de cálculos asociados a la resolución de problemas cotidianos y financieros. Intervalos. Significado y diferentes formas de expresar un intervalo. Representación de números en la recta numérica.
208
Bloque 3. Bloque Álgebra.
Manejo de expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos.
Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas cotidianos y de otras áreas de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas. Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante ensayo-error o a partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos.
Bloque 4. Geometría.
Aplicación de la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras para la obtención indirecta de medidas. Resolución de problemas geométricos frecuentes en la vida cotidiana.
Utilización de otros conocimientos geométricos en la resolución de problemas del mundo físico: medida y cálculo de longitudes, áreas, volúmenes, etc.
Bloque 5. Funciones y gráficas.
Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica. Análisis de resultados.
La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales. Estudio y utilización de otros modelos funcionales no lineales: exponencial y cuadrática. Utilización de tecnologías de la información para su análisis.
Bloque 6. Estadística y probabilidad.
Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico a partir de situaciones concretas cercanas al alumnado.
Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. Gráficas estadísticas:
gráficas múltiples, diagramas de caja. Uso de la hoja de cálculo. Utilización de las medidas de
centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Experiencias compuestas.
Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación
de probabilidades. Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones
relacionadas con el azar.
Opción B
Contenidos
Bloque 1. Contenidos comunes.
Planificación y utilización de procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización.
Expresión verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales y procedimientos de resolución de problemas con la precisión y rigor adecuados a la situación. Interpretación de mensajes que contengan argumentaciones o informaciones de carácter cuantitativo o sobre elementos o relaciones espaciales. Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las relaciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas. Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de propiedades geométricas.
209
Bloque 2. Números.
Reconocimiento de números que no pueden expresarse en forma de fracción. Números irracionales. Representación de números en la recta real. Intervalos. Significado y diferentes formas de expresar un intervalo. Interpretación y uso de los números reales en diferentes contextos eligiendo la notación y aproximación adecuadas en cada caso. Expresión de raíces en forma de potencia. Radicales equivalentes. Comparación y simplificación de radicales. Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones para realizar cálculos con potencias de exponente entero y fraccionario y radicales sencillos. Utilización de la calculadora para realizar operaciones con cualquier tipo de expresión numérica. Cálculos aproximados. Reconocimiento de situaciones que requieran la expresión de resultados en forma radical.
Bloque 3. Álgebra.
Manejo de expresiones literales. Utilización de igualdades notables. Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones. Resolución de problemas cotidianos y de otras áreas de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas. Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante ensayo-error o a partir de métodos gráficos con ayuda de los medios tecnológicos. Resolución de inecuaciones. Interpretación gráfica. Planteamiento y resolución de problemas en diferentes contextos utilizando inecuaciones.
Bloque 4. Geometría.
Razones trigonométricas. Relaciones entre ellas. Relaciones métricas en los triángulos. Uso de la calculadora para el cálculo de ángulos y razones trigonométricas. Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricos en el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes. Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.
Bloque 5. Funciones y gráficas.
Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica. Análisis de resultados. La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo. Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales. Funciones definidas a trozos. Búsqueda e interpretación de situaciones reales. Reconocimiento de otros modelos funcionales: función cuadrática, de proporcionalidad inversa, exponencial y logarítmica. Aplicaciones a contextos y situaciones reales. Uso de las tecnologías de la información en la representación, simulación y análisis gráfico.
Bloque 6. Estadística y probabilidad.
Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico. Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias. Representatividad de una distribución por su media y desviación típica o por otras medidas ante la presencia de descentralizaciones, asimetrías y valores atípicos. Valoración de la mejor representatividad en función de la existencia o no de valores atípicos. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación de probabilidades. Probabilidad condicionada. Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar.
210
3. Currículo de Bachillerato de Portugal – Matemática B
Diseño curricular de las Matemáticas para los Cursos Tecnológicos de: Construção Civil
e Edificações, de Electrotecnia e Electrónica, de Informática, Mecânica, Química e
Controlo Ambiental, Ambiente e Conservação da Natureza, Desporto, Administração,
Técnicas Comerciais e Serviços Jurídicos:
Distribución de los temas de Matemática B por los tres anos de la Enseñanza
Secundaria portuguesa:
Matemática B Homologação 01/04/2002
211
4. Currículo de Bachillerato (Galicia)
MATEMÁTICAS I Y II
Introducción.
Las matemáticas están constituidas en la actualidad por un amplio conjunto de
conocimientos surgidos, muchas veces, del trabajo de la humanidad para resolver los
problemas que devienen de sus intentos de comprender y modificar la realidad física
que la rodea.
En un principio las técnicas y procedimientos utilizados sólo tenían sentido pegados a
los problemas que resolvían. Fue Pitágoras el primero en considerar el número como
un ente digno de estudio per se, separado del uso que podría dársele para contar,
medir, calcular o resolver problemas. Este es el paso necesario para dotar a las
matemáticas del carácter abstracto e independiente de la realidad física que tienen
como ciencia finalizada. Esto no significa que, una vez llegados a este punto,
desaparezcan de una vez y para siempre los vínculos de esta ciencia con la parte que
atañe a la realidad, pues la historia nos muestra ejemplos de cómo estructuras y
teorías matemáticas abstractas, aparentemente desvinculadas de lo real, terminan
siendo de gran ayuda para modelar situaciones reales, explicarlas y predecir su
comportamiento, utilizando para eso los métodos teóricos inherentes a los modelos.
Tampoco debemos olvidar que muchas de las matemáticas que se hacen en la
actualidad nacen de los problemas que le formulan las otras ciencias y la tecnología.
Esta doble vertiente del saber matemático, su carácter abstracto y el origen físico de
muchas de sus teorías, tiene que ponerse de manifiesto en las actividades que
desarrollen este currículo. La edad del alumnado de bachillerato y los varios años de
contacto con el saber matemático proporcionan una buena base para dar los primeros
pasos en el camino del pensamiento científico, donde no sólo seguirá estando
presente la intuición, sino también su cuestionamiento, la deducción, la
argumentación, la utilización precisa del lenguaje, etc., todo lo que constituye un
camino hacia lo formal y lo abstracto. Pero no hay que olvidar que los pasos que se
212
den en esta dirección durante toda la etapa deben ser pausados y cortos, sin prescindir
nunca de la realidad de la que surge el conocimiento matemático o en la que se aplica.
Anexo B – Primer Cuestionario 3.3. Primer estudio exploratorio
3.3.1. Descripción del primer cuestionario
El cuestionario presentado al alumnado fue la traducción para portugués del siguiente:
1. Calcula
2. Si tuvieras que estudiar la variación de las siguientes funciones:
f(x) = 6x2+5 g(x) = 6x
2+5000
¿Cuál de las dos experimenta una variación mayor (variación de y respecto de x) en el intervalo [1, 3]?
3. Representa gráficamente la función definida por: t(p) = 4 p – p2.
4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en los puntos siguientes: (1, 0),
(– 2, 0) y (3, 0).
5. Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un 18%?
6. Busca dos soluciones del sistema de ecuaciones:
082y4x
04y2x
7. Calcula la derivada de la siguiente función: k(x) = 3sx , s R
8. Estudia la continuidad de la función
.
9. Resuelve la inecuación (x – 1) (x + 3) 0 estudiando los cambios de signo de la función asociada (sin
hacer ninguna gráfica).
10. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos.
n
n
n 3
82lim
213
11. La familia de rectas de la forma y = m (m constante arbitraria) pueden caracterizarse por y’ = 0. Qué
interpretación física puede darse a la ecuación anterior?
12. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x
3 – 100 x
2 tienden a cero cuando x tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función cociente: f(x) / g(x) cuando x tiende a cero.
(b) Cuál de las dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica
tu respuesta.
13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después de ser lanzado al mercado
son:
(a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito
(b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión.
14. Dada la función: f(x) = 5
(3x - 2)2
(a) Calcula su derivada.
(b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el
apartado anterior?
15. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: “El producto de tres números pares
consecutivos es igual a 1680”.
16. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y el nº de ellas tras un tiempo t (horas)
viene dado por
¿Cómo podemos descubrir si hay desniveles en la población?
17. Resuelve la ecuación x2
- 5x + 4 = 0.
18. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x) aparece no siguiente dibujo. ¿Cómo podemos
calcular el valor de la derivada en x=1 sin conocer expresión algebraica de la función?
19. En qué puntos la gráfica de la función f(x) = (x – 1) (x + 1) (x + 3) corta al eje de las x?
20. Dada la función definida por f(x) = x2 – 4x.
tetV
8,1
30)(
214
(a) Calcule f ’(1).
(b) Representa gráficamente la función f.
21. Compras una moto que marca 4000 euros y te hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te
cuesta la moto.
22. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que acepte como soluciones los
puntos (– 1, 3) y (5, 6).
23. Calcula la derivada de la siguiente función h(s) = x
2s (x R).
24. Resuelve la inecuación (x + 4) (x – 2) 0 a partir de la gráfica de la función asociada.
25. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos.
26. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2)+ (2x + 4) = 246, x IN
27. Calcula .
28. Resolver la ecuación , donde es la incógnita y es un número real conocido
(distinto de cero).
Formulario de derivadas
Función Derivada
,
IR
Fórmula para la resolución de ecuaciones del segundo grado:
n
n
p 2
15lim
215
___________________________________________________________________________________
3.3.1.2. Agrupamiento de los ítems en conjeturas y bloques
Ya que los alumnos sólo disponían de 90 minutos para contestar el cuestionario,
optamos por analizar inicialmente cuatro de las cinco conjeturas específicas descritas a
prior.
Para una mejor visualización y posterior comparación de resultados asociados a cada
tipo de tarea fue efectuado un agrupamiento de las cuestiones por las cuatro
conjeturas específicas y por contenido (bloque).
Conjetura Bloque Ítems correspondientes
C1.
Dependencia
de la
nomenclatura
asociada a una
técnica
1.1.
Cálculo de limites
1. Calcula
27. Calcula
1.2.
Álgebra
17. Resuelve la ecuación x2
- 5x + 4 = 0.
28. Resolver la ecuación , donde es la incógnita
y es un número real conocido (distinto de cero).
1.3.
Derivación
7. Derivar una función respecto a la variable x con un parámetro s.
23. Derivar una función respecto a la variable s con un parámetro x.
1.4.
Gráficas de
funciones
20(b). Representar gráficamente una función cuadrática f(x).
3. Representar gráficamente una función cuadrática t(p) función de p.
Conjetura Bloque Ítems correspondientes
C2.
La aplicación
de una técnica
en S no incluye
la
2.1.
Interpretación de la
derivada
2. Si tuvieras que estudiar la variación de las siguientes funciones :
f(x) = 6x2+5 g(x) = 6x
2+5000
Cuál de las dos experimenta una variación mayor (variación de y
respecto de x) en el intervalo [1, 3]?
20 (a). Dada la función . Calcula f ’(1).
n
n
n 3
82lim
n
n
p 2
15lim
216
interpretación
del resultado
2.2.
Límites de funciones
12. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x
3 – 100 x
2 tienden a cero
cuando x tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x tiende a cero.
(b) ¿Cuál de les dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero
cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta.
2.3.
Continuidad 8. Estudiar la continuidad de la función
.
16. Una población de 500 bacterias se introduce en un cultivo y el nº de
ellas tras un tiempo t (horas) viene dado por
¿Cómo podemos descubrir si hay desniveles en la población?
2.4.
Derivada y su
interpretación física
11. La familia de rectas de la forma y = m (m constante arbitraria)
pueden caracterizarse por y’ = 0. Qué interpretación física puede darse
a la ecuación anterior?
20 (a). Dada la función . Calcula f ’(1).
2.5.
Límites y
modelización
13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años
después de ser lanzado al mercado, son: tetV8,1
30)(
(a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito.
(b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto
en cuestión.
Conjetura Bloque Ítems correspondientes
C3.
Inexistencia
de dos
técnicas
diferentes
para realizar
una misma
tarea
3.1.
Derivada: técnica
algebraica/geométrica
20 (a). Dada la función . Calcula f ’(1).
18. La pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f(x) en x=1 aparece
en el siguiente dibujo. ¿Cómo podemos calcular el valor de la derivada
en x=1 sin conocer la expresión algebraica de la función?
3.2.
Porcentajes
21. Compras una moto que marca 4000 euros y te hacen un descuento
del 15%. Calcula cuánto te cuesta la moto.
5. Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en
217
un 18%?
3.3.
Derivación 14. Dada la función: f(x) =
5(3x - 2)
2 .
(a) Calcula su derivada.
(b) Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente
a la que has utilizado en el apartado anterior?
3.4.
Inecuaciones y
funciones cuadráticas
9. Resuelve la inecuación (x – 1) (x + 3) 0 estudiando los cambios de
signo de la función asociada (sin hacer ninguna gráfica).
24. Resuelve la inecuación (x + 4) (x – 2) 0 dibujando la gráfica de la
función asociada.
Conjetura Bloque Ítems correspondientes
C4.
No reversión
de las técnicas
para realizar
la tarea
inversa
4.1.
Funciones
polinómicas
4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en
los puntos siguientes (1, 0), (– 2, 0) y (3, 0).
19. En qué puntos la gráfica de f(x) = (x – 1)(x + 1) (x + 3) corta al eje de las
x?
4.2.
Sistemas de ec.
lineales
6. Buscar dos soluciones de un sistema de 2 ecuaciones lineales en x e y :
2x-y+4=0; -4x+2y-8= 0
22. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas que acepte como soluciones los puntos (– 1, 3) y (5, 6).
4.3.
Sistemas de
ecuaciones
lineales y
geometría
analítica
10. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos.
22. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas que acepte como soluciones los puntos (– 1, 3) y (5, 6).
4.4.
Álgebra elemental
15. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: “El producto
de tres números pares consecutivos es igual a 1680”.
26. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x+2 )+ (2x +
4) = 246, x IN
4.5.
Funciones
20 (b). Representa gráficamente la función: f(x) = x2 – 4x.
25. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos.
218
cuadráticas
3.3.1.3. Descripción de la muestra
La muestra es constituida por 47 estudiantes del mismo establecimiento de enseñanza
pública, Escola Secundária Gomes de Almeida, situada en Espinho que, actualmente
están divididos en dos grupos del último año de bachillerato del siguiente modo:
20 alumnos del Curso Científico-Humanístico de Ciências e Tecnologias
que tienen el objetivo de seguir por la área de la Salude en la
Universidad. El número de individuos del sexo femenino y masculino es
muy semejante.
27 alumnos del Curso Científico-Humanístico de Ciências e Tecnologias
que pretenden estudiar las Ingenierías. Es una turma constituida
mayoritariamente por individuos del sexo masculino (26 alumnos y 1
alumna).
Por la observación del diagrama de dispersión podemos concluir que la distribución de
las notas por los alumnos de estas dos turmas es equilibrada, Sin embargo, apenas
varía entre 8 y 2015, lo que significa que el alumnado representativo de la muestra
debe estar bien adaptado al sistema de enseñanza:
15
En Portugal la escala de clasificaciones finales en Bachillerato es de 0 a 20. Considerando una clasificación insuficiente cuando es inferior a 10, buena cuando superior o igual a 14 y muy buena cuando superior o igual a 18.
219
La estadística efectuada con los dados relativos a la clasificación de Matemática en
final del último año del alumnado consultado es presentada en las siguientes tablas:
Nota del año anterior
Máximo Mínimo Media Mediana Desviación típ
20 8 14,02 15,00 3,64
N=Nota Frecuencia %
N < 10 7 14,89%
10 <= N < 14 12 25,53%
14 <= N < 18 19 40,43%
18 <= N < 20 9 19,15%
Total 47 100,00%
Observe-se que apenas 7 alumnos presentaran en el penúltimo año del bachillerato
clasificación negativa, aproximadamente 15% de los 47 estudiantes consultados.
Nótese también que cerca de 60% alcanzaran una clasificación con distinción: buena o
muy buena.
En suma, podremos observar mejor estas conclusiones en el siguiente gráfico circular:
0
5
10
15
20
25
0 10 20 30 40 50
Últ
ima
Cla
ssif
icac
ión
fin
al
Número de alumnos
Série1
Linear (Série1)
15%
26%
40%
19%
Classificación del alumnado en año anterior
N < 10
10 <= N <14
14 <= N < 18
18 <= N < 20
220
0%
20%
40%
60%
80%
100%
1 27
87,23%
17,02%
Respuestas correctas
3.3.2. Análisis de los resultados obtenidos por bloques
Primera conjetura
C1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
1.1.
Cálculo de
límites
1. Calcula
27. Calcula
porque la expresión es constante para la variable p.
Los resultados obtenidos son presentados en la siguiente tabla y gráfico:
%
ítem Blanco Correcto Incorrecto
1 4,26% 87,23% 8,51%
27 29,79% 17,02% 53,19%
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
1.2.
Álgebra
17. Resuelve la ecuación x2
- 5x + 4 = 0. x = 4 ; x = 1
28. Resolver la ecuación , donde es la
incógnita y es un número real conocido (distinto de cero).
Los resultados obtenidos son presentados en la siguiente tabla y gráfico:
n
n
n 3
82lim
n
n
2
15
n
n
p 2
15lim
221
%
ítem Blanco Correcto Incorrecto
17 2,13% 95,74% 2,13%
28 51,06% 17,02% 31,91%
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
1.3.
Derivación
7. Derivar una función respecto a la variable x
con un parámetro s. k’(x) = -
3sx
2
23. Derivar una función respecto a la variable s
con un parámetro x. h’(s) = -
x2s
2
Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España,
vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa
comparación es efectuada de la siguiente forma:
Portugal España
7. Derivar una función respecto a la variable x con
un parámetro s:
k(x)= 3sx (s IR)
11.b Calcula la derivada de la función
k(x)= 3sx (s IR)
23. Derivar una función respecto a la variable s con
un parámetro x:
h(s) = x
2s (x IR)
27.b Calcula la derivada de la función
h(s) = x
2s (x IR)
Portugal
ítem En
blanco incorrectas correctas
7 10,64% 51,06% 38,30%
23 21,28% 59,57% 19,15%
España Ítems en blanco incorrectas correctas
11b 18,54% 30,73% 50,73%
27b 28,29% 29,76% 41,95%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
17 28
95,74%
17,02%
Respuestas correctas
222
La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a los estos dos ítems se
nota más en el alumnado portugués que en el alumnado español.
Los datos de Portugal ponen de manifiesto que las respuestas correctas del ítem 7 son
el doble de las del ítem 26, resultado que refleja el gráfico anterior. Para responder al
ítem 7, una gran parte de los alumnos tomaran como variable y no como una
constante real.
Bloque Ítems correspondientes
1.4.
Gráficas de funciones
20(b). Representar gráficamente una función cuadrática f(x).
3. Representar gráficamente una función cuadrática t(p) función de p.
Soluciones:
Tal como Cecilio Fonseca describe en su investigación, esperamos que los alumnos para representar la
función cuadrática, utilicen como una posible técnica, la siguiente:
Cálculo del vértice (utilizando la derivada)
Determinación de puntos de corte con los ejes ( si existen en el caso del eje x)
Intervalos de monotonía (por ejemplo a partir del coeficiente del término de segundo grado)
Determinación de algunos valores particulares (por ejemplo un par de valores simétricos
respecto al eje de la parábola)
0%
20%
40%
60%
80%
100%
7 23
38,30%
19,15%
Respuestas correctas
0
20
40
60
80
100
11b 27b
50,73% 41,95%
Po
rcen
taje
s
Items
Respuestas correctas
223
Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España,
vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa
correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma:
Portugal España
20(b). Representar gráficamente una función
cuadrática f(x):
24. Representar gráficamente la función:
3. Representar gráficamente una función
cuadrática t(p) función de p:
6. Representar gráficamente la función:
Portugal
ítem En
blanco incorrectas correctas
20(b) 17,02% 40,43% 42,55%
3 6,38% 38,30% 55,32%
España
Ítems en blanco incorrectas correctas
24 14,63% 16,10% 69,27%
6 5,85% 24,39% 69,76%
La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a los estos dos ítems es
más notable en el alumnado portugués que en el alumnado español.
En ambos países se observa que el porcentaje de respuestas correctas es
independiente de la variable porque los estudiantes tienen la misma facilidad en
resolver la tarea oficial que una tarea no usual.
En Portugal, al contrario de las expectativas, estos resultados son sorprendentes
porque el porcentaje de respuestas correctas crece cuando la variable cambia de la
habitual letra x a una diferente p, como podemos observar en el gráfico anterior.
Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes, observamos que:
0%
20%
40%
60%
80%
100%
20(b) 3
42,55% 55,32%
Respuestas correctas
0
20
40
60
80
100
24 6
69,27% 69,76%
Po
rcen
taje
s
Items
Respuestas correctas
224
- 65,38% del alumnado que responde correctamente al tercero ítem y 50% del
alumnado que responde correctamente al ítem 20(b), para representar
gráficamente una función cuadrática no determina el vértice de la parábola, ni
determina puntos particulares de la función distintos de los ceros, apenas
dibuja un gráfico con la concavidad volteada para abajo y indican las abscisas
de los puntos de corte de la función cuadrática.
- 50% del alumnado que responde incorrectamente al tercero ítem y 15,79% del
alumnado que responde incorrectamente al ítem 20(b), tiene la respuesta
errada porque no indican los valores de los ceros en la gráfica, ni los
determinan algébricamente, el que significa que solo presentan correctamente
el sentido de la concavidad y los ceros de forma imperceptible, sin cualquier
rigor.
- En ambos los ítems, de las respuestas incorrectas apenas 1 alumno ha tentado
resolver la cuestión utilizando una tabla de valores.
Sin embargo, ya que fue solicitado apenas un esbozo o delineación del gráfico,
consideré esas respuestas ciertas notando que la técnica utilizada no es la más
correcta, porque el vértice es un punto fundamental para describir geométricamente
una parábola. Os alumnos a pesar de saberle determinar los extremos de una función,
más concretamente el máximo/mínimo de una función cuadrática por la técnica de la
derivada no la utilizan. Lo que significa que el profesorado no recupera la técnica de
determinar el vértice en la parábola y, consecuentemente, no efectúa una
comparación de esta técnica con la técnica de determinar los extremos de una función
cuadrática a partir de la derivada.
Tal como en Portugal, en España estos resultados no fueron los esperados y Cecilio
Fonseca presenta la siguiente justificación en su tesis:
“Los resultados sorprendentes se explican cuando analizamos las respuestas,
observando que la técnica utilizada por la inmensa mayoría de estudiantes es una tabla
de valores. De esta forma la dificultad de los ítems pasaba a ser independiente de las
variables respectivas y sólo dependía de cálculos algorítmicos.”
225
Segunda conjetura
C2. La aplicación de una técnica en S no incluye la interpretación del resultado
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
2.1.
Interpretación de la
derivada
2. Si tuvieras que estudiar la variación de las siguientes
funciones :
f(x) = 6x2+5 g(x) = 6x
2+5000
Cuál de las dos experimenta una variación mayor
(variación de y respecto de x) en el intervalo [1, 3]?
La variación es igual en las
dos funciones.
20(a). Dada la función . Calcula f
’(1).
Los resultados obtenidos son presentados en la siguiente tabla y gráfico:
%
ítem Blanco Correcto Incorrecto
2 4,26% 51,06% 44,68%
20a 4,26% 95,74% 0,00%
Como en este caso, el porcentaje de respuestas en blanco es el mismo en ambos los
ítems, consecuentemente el porcentaje de respuestas incorrectas decrece al pasar de
un ítem a lo otro. Podemos observar que en el ítem 20a el porcentaje de respuestas
incorrectas es 0%. Esto significa que el alumnado no tiene dificultades en la aplicación
de la técnica: derivar una función polinómica.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
2 20a
51,06%
95,74%
Respuestas correctas
226
BLOQUE Ítems correspondientes Soluciones
2.2.
Límites de
funciones
12. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x
3 – 100 x
2
tienden a cero cuando x tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x
tiende a cero por la derecha.
La indeterminación de la forma 0/0 se
trata habitualmente mediante la
técnica de descomposición en
factores16
, el que da como resultado
)(
)(lim
0 xg
xf
x.
12(b) Cuál de les dos funciones crees que tiende
más rápidamente a cero cuando x tiende a cero?
Justifica tu respuesta.
El resultado se puede interpretar en
términos de comparación de la
velocidad de convergencia del
numerador y denominador: g(x) tiende
más rápidamente a 0 que f(x).
Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España,
vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa
correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma:
Portugal España
12. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x
3 – 100 x
2
tienden a cero cuando x tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x
tiende a cero por la derecha.
7. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x
3 – 100 x
2
tienden a cero cuando x tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando
x tiende a cero por la derecha.
12(b) Cuál de les dos funciones crees que tiende
más rápidamente a cero cuando x tiende a cero?
Justifica tu respuesta.
7(b) Cuál de les dos funciones crees que tiende
más rápidamente a cero cuando x tiende a cero?
Justifica tu respuesta.
Portugal
ítem En
blanco incorrectas correctas
12a 25,53% 40,43% 34,04%
12b 27,66% 70,21% 2,13%
España
Ítems en blanco incorrectas correctas
7a 15,61% 53,66% 30,73%
7b 42,93% 46,34% 10,73%
16
no es utilizada la regla de l’Hopital porque, a pesar de algunos profesores la mencionaren no forma parte del currículo portugués.
227
De acuerdo con la previsión, el porcentaje de respuestas correctas en Portugal
disminuí abruptamente cuando se pasa de la tarea de calcular el valor de un límite
(34,04%) a la tarea de interpretar su valor (2,13%), como podemos observar en el
gráfico anterior.
Parte del alumnado que responde incorrectamente considera que su respuesta es
cierta cuando interpreta el límite de una función del siguiente modo:
“La función que tiende más rápidamente a cero es la función f, porque presenta
grado superior a la función g.” O mismo, “Ambas tienden a cero al mismo tiempo”.
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
2.3.
Continuidad
8. Estudiar la continuidad de la función
.
El dominio de f es IR.
f es una función continua.
16. Una población de 500 bacterias se introduce en
un cultivo y el nº de ellas tras un tiempo t (horas)
viene dado por
¿Cómo
podemos descubrir si hay desniveles en la
población?
Estudiando la continuidad
de la función g. No ha
desniveles porque es una
función continua.
Los resultados obtenidos son presentados en la siguiente tabla y gráfico:
0%
20%
40%
60%
80%
100%
12a 12b
34,04% 2,13%
Respuestas correctas
0
20
40
60
80
100
7a 7b
30,73
10,73
Porc
enta
jes
Items
Respuestas correctas
228
%
ítem Blanco Correcto Incorrecto
8 25,53% 72,34% 2,13%
16 17,02% 8,51% 74,47%
Observamos que el 91,49% de los alumnos que constituyen la muestra no contestaron
bien el ítem 16 pero, la mayoría hay contestado bien el ítem 8.
Después de un análisis cualitativo de las respuestas de Portugal podemos constatar
que:
Mayoritariamente, los alumnos que responden correctamente al ítem 8 indican
que el dominio de la función es IR y completan las respuestas con la siguiente
expresión: La función es continua porque es lo cociente de dos funciones
continuas”.
Podemos observar una gran diversidad de respuestas al ítem 16, analizamos las
más frecuentes y relevantes:
- El 40% de los alumnos que responden incorrectamente refieren que se podría
descubrir se hay desniveles en la población por lo estudio de la monotonía de la
función;
- El 20% de los alumnos que responden incorrectamente creen que se podría
descubrir se hay desniveles en la población por lo estudio de la derivada de la
función;
- El 5,71% de los alumnos que responden incorrectamente refieren que se podría
descubrir se hay desniveles en la población por lo estudio del límite de la
función;
- El 2,86% de los alumnos que responden incorrectamente refieren que se podría
descubrir se hay desniveles en la población por lo estudio de las asíntotas de la
función;
0%
20%
40%
60%
80%
8 16
72,34%
8,51%
Respuestas correctas
229
- El 2,86% de los alumnos que responden incorrectamente refieren que se podría
descubrir se hay desniveles en la población por lo estudio de los ceros de la
función;
- Otros refieren que podría ser analizando el gráfico de la función.
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
2.4.
Derivada y su
interpretación
física
11. La familia de rectas de la forma y=m (m constante
arbitraria) pueden caracterizarse por y’=0. Qué
interpretación física puede darse a la ecuación
anterior?
La velocidad es cero.
El móvil es parado.
20(a). Dada la función . Calcula f ’(1).
Los resultados obtenidos son presentados en la siguiente tabla y gráfico:
%
ítem Blanco Correcto Incorrecto
11 19,15% 23,40% 57,45%
20a 4,26% 95,74% 0,00%
Nótese que el porcentaje de respuestas en blanco e incorrectas disminuí cuando se
pasa de la interpretación de la derivada en el contexto físico a un ejercicio mecánico de
aplicación de la técnica de derivación de una función polinómica.
Con el análisis cualitativo de los cuestionarios notamos algunas de las respuestas
incorrectas a la interpretación física de la primera derivada nula: “velocidad
constante”, “la derivada es constante”, “recta horizontal”, “pendiente es nulo”,
“velocidad media”.
De las respuestas correctas, registramos las siguientes: “velocidad instantánea es
cero”, “la velocidad es nula”, “lo móvil es parado”.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
11 20a
23,40%
95,74%
Respuestas correctas
230
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
2.5.
Límites y
modelización
13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un
producto, t años después de ser lanzado al mercado,
son: tetV8,1
30)(
(a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito.
30e30e30lim 01,8/t
t
.
13(b) Interpreta el resultado anterior en términos de
ventas del producto en cuestión.
Con el paso del tiempo las
ventas se estabilizan
alrededor de las 30 mil
unidades.
Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España,
vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa
correspondencia de ítems y su comparación es efectuada de la siguiente forma:
Portugal España
13. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un
producto, t años después de ser lanzado al mercado,
son: tetV8,1
30)(
(a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a
infinito.
17. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto,
t años después de ser lanzado al mercado, son:
tetV8,1
30)(
(a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito.
13(b) Interpreta el resultado anterior en términos
de ventas del producto en cuestión.
17(b) Interpreta el resultado anterior en términos de
ventas del producto en cuestión.
Portugal
ítem En
blanco incorrectas correctas
13a 14,89% 19,15% 65,96%
13b 31,91% 29,79% 38,30%
España
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
17a 31,22% 17,56% 51,22%
17b 55,12% 13,66% 31,22%
231
La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a los estos dos ítems se
manifestó de forma semejante con el alumnado portugués (27,66%) y con el alumnado
español (20%).
Tal como en el bloque 2.2. (Límites de funciones), en ambos países se observa que el
porcentaje de respuestas correctas al ítem que exige la interpretación del límite es
inferior al porcentaje de respuestas correctas al ítem en que se pretende que el
alumno calcule el límite, lo que nos lleva a creer que los alumnos conocen bien la
técnica, pero no saben interpretarla en lo contexto de un problema de modelización.
Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes, observamos que,
relativamente al ítem 13b, algunos de los buenos alumnos para la interpretación del
límite indican: “lo máximo de ventas es 30 mil unidades”.
Tercera conjetura
C3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
3.1.
Derivada: técnica
algebraica/geométrica
20(a). Dada la función . Calcula f’(1).
18. La pendiente de la recta tangente a la gráfica
y=f(x) en x=1 aparece en lo siguiente dibujo. ¿Cómo
podemos calcular el valor de la derivada en x=1 sin
Determinando la
pendiente de la recta
tangente a la gráfica
0%
20%
40%
60%
80%
100%
13a 13b
65,96%
38,30%
Respuestas correctas
0
20
40
60
80
100
17a 17b
51,22
31,22
Po
rcen
taje
s
Items
Respuestas correctas
232
conocer la expresión algebraica de la función?
en x=1:
Los resultados obtenidos son presentados en la siguiente tabla y gráfico:
%
ítem En
blanco Correctas Incorrectas
20a 4,26% 95,74% 0,00%
18 27,66% 51,06% 21,28%
Nótese que el porcentaje de respuestas en blanco e incorrectas crece cuando se pasa
de la técnica algebraica a la técnica geométrica para determinar la derivada de una
función en un punto. Lo que significa que los alumnos manejan mejor la primera
técnica que la segunda, el porcentaje de respuestas incorrectas del ítem 20a,
correspondiente a la técnica algebraica, es de 0%.
Después de efectuar un análisis cualitativo de los cuestionarios registramos algunas
observaciones:
- El 50% de los estudiantes que responden correctamente al ítem 18 describen el
proceso de determinación de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f
en el punto de abscisa 1 pero, no calculan su valor.
- Obviamente, los restantes 50%, calculan bien el valor de la derivada
relacionándolo con el pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el
punto de abscisa 1.
Por tanto, si considerásemos las respuestas incompletas no correctas, obtendríamos
un porcentaje aún mayor de alumnos que no contestaron bien al ítem 18, pasando a la
mitad del porcentaje de respuestas correctas, del 51,06% al 25,53%.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
20a 18
95,74%
51,06%
Respuestas correctas
233
Sin embargo, optamos por considerar estas respuestas correctas porque, en realidad,
en el enunciado del ítem 18, no lo pedimos para calcular el valor de la derivada, sino
una forma que permita determinar ese valor.
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
3.2.
Porcentajes
21. Compras una moto que marca 4000 euros y te
hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te
cuesta la moto.
O por la regla de 3 simple, o
utilizando proporciones.
5. Por qué número has de multiplicar una cantidad
para disminuirla en un 18%?
El número es 0,82.
Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España,
vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa
correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma:
Portugal España
21. Compras una moto que marca 4000 euros y te
hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto te
cuesta la moto.
25. Compras una camisa que marca 4000 ptas. y
te hacen un descuento del 15%. Calcula cuánto
te cuesta la camisa.
5. Por qué número has de multiplicar una cantidad
para disminuirla en un 18%?
8. Por qué número has de multiplicar una
cantidad para disminuirla en un 18%?
Portugal
ítem En
blanco Incorrectas Correctas
21 0,00% 0,00% 100,00%
5 6,38% 23,40% 70,21%
España
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
25 8,78% 6,34% 84,88%
8 7,80% 28,29% 63,90%
234
De acuerdo con la previsión, el porcentaje de respuestas correctas portuguesas
disminuye cuando se pasa de la tarea habitual (100,00%) a la tarea asociada a una
técnica menos usual (70,21%).
La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems se
manifestó de forma muy semejante con el alumnado portugués (29,79%) y con el
alumnado español (20,98%).
Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes al ítem 21, observamos
que, mayoritariamente, para la determinación del coste final de la moto, utilizan la
técnica “aditiva”. Nótese que la técnica multiplicativa apenas fue utilizada
espontáneamente en el ítem 21 por 2 alumnos de un total de 47 encuestados.
BLOQUE Ítems correspondientes Soluciones
3.3.
Derivación 14. Dada la función: f(x) =
5(3x - 2)
2 .
(a) Calcula su derivada.
Tenía plena libertada para elegir la
técnica.
14(b) Sabrías calcular esta misma derivada
utilizando una técnica diferente a la que has
utilizado en el apartado anterior?
Había que elegir una técnica
distinta a la anterior sin necesidad
de calcular de nuevo la derivada.
Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España,
vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa
correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma:
0%
20%
40%
60%
80%
100%
21 5
100,00% 70,21%
Respuestas correctas
0
20
40
60
80
100
25 8
84,88%
63,90%
Po
rce
nta
jes
Items
Respuestas correctas
235
Portugal España
14. Dada la función: f(x) = 5
(3x - 2)2 .
(a) Calcula su derivada.
18. Dada la función: f(x) = 5
(3x - 2)2 .
(a) Calcula su derivada.
14(b) Sabrías calcular esta misma derivada
utilizando una técnica diferente a la que has
utilizado en el apartado anterior?
18(b) Sabrías calcular esta misma derivada
utilizando una técnica diferente a la que has
utilizado en el apartado anterior?
Portugal
ítem En
blanco Incorrectas Correctas
14a 10,64% 40,43% 48,94%
14b 14,89% 61,70% 23,40%
España Ítems En blanco Incorrectas Correctas
18a 13,17% 29,27% 57,56%
18b 63,41% 14,63% 21,95%
De acuerdo con la previsión, el porcentaje de respuestas correctas de Portugal
disminuye hasta la mitad cuando se pasa de la tarea habitual (48,94%) a la tarea
asociada a una técnica diferente de la usual (23,40%).
La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems fue
menor con el alumnado portugués (25,54%) que con el alumnado español (35,61%).
Podemos observar que en ambos países el porcentaje de respuestas correctas al ítem
correspondiente a la técnica habitual es superior al doble del porcentaje de respuestas
correctas al ítem en que se pretende que el alumno utilice una técnica diferente y
menos usual.
Según Cecilio Fonseca, para dar respuesta al primer ítem, los estudiantes de España,
utilizan, de forma mayoritaria, la derivada de un cociente de funciones y más de la
mitad de los alumnos dominan esta técnica. Al analizar cualitativamente las respuestas
0%
20%
40%
60%
80%
100%
14a 14b
48,94% 23,40%
Respuestas correctas
0
20
40
60
80
100
18a 18b
57,56%
21,95%
Porc
enta
jes
Items
Respuestas correctas
236
de estos alumnos se verificó que proponen como segunda técnica la derivada de un
producto o la utilización de la definición de derivada.
Se constató que:
- El 21,05% de las respuestas incorrectas al ítem 14(a) corresponden a errores de
cálculo. Lo que significa que, si la función considerada fuese, por ejemplo, una
función más sencilla para derivar, el porcentaje de respuestas correctas al ítem
14(a) aún seria mayor. Refleja que el alumno no efectúa un cuestionamiento
tecnológico y, consecuentemente, lo puede llevar a utilizar técnicas de mayor
coste en algunas ocasiones.
- El 27,59% de las respuestas incorrectas al apartado (b) corresponden a
respuestas incompletas, porque los estudiantes dicen que sabrían calcular la
derivada, pero no describen un proceso que permita calcularla.
- La técnica de la derivada de la potencia apenas fue utilizada espontáneamente
en el apartado (a) por 2 alumnos de un total de 47 cuando es la técnica de
menor coste.
Observamos que de las respuestas correctas al apartado (b):
- El 27,27% corresponden a la técnica derivada del producto por una constante;
- El 72,73% corresponden a la técnica derivada por la definición;
- El 27,27% corresponden a la técnica derivada de la potencia;
Nótese que algunos alumnos presentaran más que una técnica diferente, por esa
razón, la suma total es superior a 100%.
Apenas un alumno manifestó conocer por lo menos 3 técnicas diferentes, ya que
después de responder correctamente a la primera cuestión usando la derivada del
cociente, en el apartado (b) presentó la siguiente respuesta traducida:
“Si, podría calcularla por la definición u entonces transformarla en un producto”
Apenas un alumno manifestó conocer 4 técnicas diferentes, ya después de responder
correctamente a la primera cuestión usando la derivada del cociente, en el apartado (b)
presentó la siguiente respuesta traducida:
“Si, por la derivada de la potencia, en vez de la división pasaríamos a tener una
multiplicación, o por la definición”
237
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
3.4.
Inecuaciones y
funciones
cuadráticas
9. Resuelve la inecuación (x – 1)(x + 3) 0
estudiando los cambios de signo de la
función asociada (sin hacer ninguna
gráfica).
Por el cuadro de signos:
x - -3 1 +
x-1 - - - 0 +
x+3 - 0 + + +
(x-1)(x+3) + 0 - 0 +
(- , -3] [1, +)
24. Resuelve la inecuación (x+4)(x–2) 0
dibujando la gráfica de la función
asociada.
Por la gráfica:
(- , -4] [2, +)
Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España,
vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa
correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma:
Portugal España
9. Resuelve la inecuación (x – 1)(x + 3) 0
estudiando los cambios de signo de la función
asociada (sin hacer ninguna gráfica).
13. Resuelve la inecuación (x – 1)(x + 3) 0
estudiando los cambios de signo de la función
asociada (sin hacer ninguna gráfica).
24. Resuelve la inecuación (x + 4) (x – 2) 0 a partir
de la gráfica de la función asociada.
28. Resuelve la inecuación (x + 4) (x – 2) 0 a
partir de la gráfica de la función asociada.
Portugal
ítem En
blanco Incorrectas Correctas
9 21,28% 46,81% 31,91%
24 17,02% 59,57% 23,40%
España
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
13 20,49% 43,41% 36,10%
28 44,88% 31,71% 23,41%
238
La diferencia entre los resultados de las respuestas referentes a estos dos ítems se
manifestó de forma muy semejante con el alumnado portugués (8,51%) y con el
alumnado español (12,69%).
Analizando las tablas verificamos que el número de respuestas en blanco a la cuestión
que exigía la utilización de la técnica algebraica es superior en Portugal e inferior en
España al número de respuestas en blanco a la cuestión que exigía la utilización de la
técnica gráfica. Sin embargo, el porcentaje de respuestas correctas disminuye cuando
pasamos de la tarea correspondiente a la técnica algebraica a la correspondiente a la
técnica gráfica.
De acuerdo con los resultados obtenidos, podemos señalar que existe una diferencia
de dominio de técnicas de 8,51% en Portugal, lo que no es una diferencia considerable,
por tanto es difícil de denominar un de los procesos por la “técnica usual” para los
alumnos.
Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes de Portugal verificamos
que:
- algunos alumnos cambiaron las técnicas, ésto es, para responder a la cuestión 24
presentan una tabla de signos y en el ítem correspondiente a la tarea inversa de ésta
responden con un esbozo del gráfico.
- algunos estudiantes presentan la respuesta final correcta, pero no presentan la
gráfica, por tanto estas respuestas fueron consideradas incorrectas.
- 2 estudiantes, para responder al ítem 24, representaron las dos rectas oblicuas en el
mismo referencial y estudiaron el signo por observación del gráfico, respondiendo
incorrectamente al final del análisis.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
9 24
31,91% 23,40%
Respuestas correctas
0
20
40
60
80
100
13 28
36,1%
23,41%
Po
rce
nta
jes
Items
Respuestas correctas
239
- el 18,18% de las respuestas incorrectas al ítem 9 corresponden a la no presentación
del análisis de la tabla de signos, ésto es, el alumno manifestó conocer la técnica
algebraica presentando la tabla, pero no la respuesta final.
- el 17,86% de las respuestas incorrectas al ítem 24 corresponden a errores de cálculo
o errores en la presentación de la solución. No obstante, el proceso es correcto y
conocido por estos estudiantes.
Comparando la situación española con la portuguesa, no podemos concluir que los
alumnos tienen como técnica dominante la técnica algebraica. Observando las tablas
correspondientes a los dos países, es interesante verificar que:
- en Portugal, el porcentaje de respuestas en blanco pasa del 21,28% (resolución
algebraica) al 17,02% (resolución gráfica).
- en España, el porcentaje de respuestas en blanco pasa del 20,49% (resolución
algebraica) al 44,88% (resolución gráfica).
Cuarta conjetura
C4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
4.1.
Funciones
polinómicas
4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al
eje de las x en los puntos siguientes (1, 0), (– 2, 0) y (3, 0).
(x - 1)(x + 2)(x - 3) , o
bien, x3
- 2x2
- 5x + 6
19. En qué puntos la gráfica de f(x) = (x – 1)(x + 1) (x + 3)
corta al eje de las x?
(1,0) , (-3,0), (-1, 0)
Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España,
vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa
correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma:
240
Portugal España
4. Busca una función polinómica de grado tres
que corte al eje de les x en los puntos siguientes
(1, 0), (-2, 0) y (3, 0).
4. Busca una función polinómica de grado tres
que corte al eje de les x en los puntos siguientes
(1, 0), (-2, 0) y (3, 0).
19. En qué puntos la gráfica de
f(x) = (x – 1)(x + 1) (x + 3) corta al eje de las x?
23. En qué puntos la gráfica de
f(x) = (x – 1)(x + 1) (x + 3) corta al eje de las x?
Portugal
ítem En blanco incorrectas correctas
19 19,15% 29,79% 51,06%
4 53,19% 12,77% 34,04%
España Ítems En blanco Incorrectas Correctas
23 14,63% 15,12% 70,24%
4 36,10% 38,54% 25,37%
De acuerdo con lo gráfico, el porcentaje de respuestas correctas en Portugal tiene un
aumento de, exactamente, 50% cuando se pasa de la tarea inversa (34,04%) a la tarea
directa (51,06%).
En el análisis de las respuestas de los alumnos de España, fue observado que, para
determinar los puntos de corte de una función polinómica presentada en esta forma
f(x)=(x – 1)(x + 1)(x + 3) en el ítem 23, muchos alumnos primero, multiplican y, después
aplican la Regla de Ruffini. En Portugal, este acontecimiento no se verificó, ningún
estudiante intentó resolver la cuestión por la Regla de Ruffini pero, por otro lado, el
número de respuestas incorrectas y en blanco a este ítem fue mayor en Portugal que
en España.
Sin embargo, se constató el que, 62,50% del total de respuestas correctas al ítem 19,
corresponden a respuestas incompletas, porque los alumnos solo indican las abscisas
de los puntos de corte y no las ordenadas. Los restantes 37,50% del total de respuestas
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
19 4
51,06%
34,04%
Respuestas correctas
0
20
40
60
80
100
23 4
70,24%
25,37%
Po
rce
nta
jes
Items
Respuestas correctas
241
correctas al mismo ítem indican las abscisas y las ordenadas de los puntos de corte.
Como esta incompletitud en las respuestas no es relevante para el presente estudio de
la rigidez de las organizaciones matemáticas, manifestando apenas falta de rigor,
consideramos estas respuestas incompletas como respuestas correctas.
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
4.2.
Sistemas de ec.
lineales
6. Buscar dos soluciones de un
sistema de 2 ecuaciones lineales en
x e y :
Como el sistema es compatible indeterminado se
admite como respuesta válida cualquier par de
soluciones que verifique una de las ecuaciones.
Por ejemplo: y .
22. Escribe un sistema de
ecuaciones lineales de dos
ecuaciones con dos incógnitas que
acepte como soluciones los puntos
y .
- Determinar la ecuación de la recta que pasa en
los 2 puntos: .
- Escribir una ecuación equivalente a la primera
para presentar un sistema compatible
indeterminado, por ejemplo:
Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España,
vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa
correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma:
Portugal España
6. Buscar dos soluciones de un sistema de 2
ecuaciones lineales en x e y :
9. Buscar dos soluciones de un sistema de 2
ecuaciones lineales en x e y :
22. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de
dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte
como soluciones los puntos y .
26. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de
dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte
como soluciones los puntos y .
Portugal
ítem En
blanco Incorrectas Correctas
6 14,89% 55,32% 29,79%
22 68,09% 27,66% 4,26%
España
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
9 4,39% 40,49% 55,12%
26 66,83% 25,37% 7,80%
242
La diferencia entre los resultados de las respuestas correctas referentes a estos dos
ítems se manifestó menos acentuada con el alumnado portugués (25,53%) que con el
alumnado español (47,32%).
En España, este bloque es el que presenta mayor distancia entre los ítems. La tarea
directa es resuelta por más de la mitad de los alumnos, sin embargo la tarea inversa es
resuelta sólo por un 7,8 % de los alumnos.
No obstante, se constató que, el 38,46% del total de respuestas incorrectas al ítem 6,
corresponden a respuestas incompletas, porque los alumnos solo indican una solución
correcta. Del total de respuestas incorrectas al mismo ítem, el 7,69% clasifican el
sistema como imposible y, por tanto, no indican ninguna solución.
Observamos que solo un alumno identificó las ecuaciones que forman el sistema como
representativas de dos rectas paralelas, justificando que la segunda ecuación se
obtiene de la primera multiplicando por el factor -2, sin embargo, ese mismo alumno
no fue capaz de indicar dos soluciones del sistema de ecuaciones.
Este bloque refleja claramente que la tarea directa forma parte del medio matemático
de los alumnos y que no ocurre el mismo con la tarea inversa (que, además, es dejada
en blanco por un 66,83 % de los alumnos de España y 68,09% de los alumnos de
Portugal).
0%
20%
40%
60%
80%
100%
6 22
29,79% 4,26%
Respuestas correctas
0
20
40
60
80
100
9 26
55,12%
7,80%
Po
rce
nta
jes
Items
Respuestas correctas
243
Bloque Ítems correspondientes Soluciones
4.3.
Sistemas de
ecuaciones
lineales y
geometría
analítica
10. Escribe la ecuación de la recta
adjunta, justificando los cálculos.
022y-bien x o12
x
y
22. Escribe un sistema de ecuaciones
lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas que acepte como soluciones
los puntos (– 1, 3) y (5, 6).
- Determinar la ecuación de la recta que
pasa en los 2 puntos: .
- Escribir una ecuación equivalente a la
primera para presentar un sistema
compatible indeterminado, por
ejemplo:
Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España,
vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa
correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma:
Portugal España
10. Escribe la ecuación de la recta adjunta,
justificando los cálculos.
14. Escribe la ecuación de la recta adjunta,
justificando los cálculos.
22. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de
dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte
como soluciones los puntos (– 1, 3) y (5, 6).
26. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de
dos ecuaciones con dos incógnitas que acepte
como soluciones los puntos y .
244
Portugal
ítem En
blanco Incorrectas Correctas
10 10,64% 6,38% 82,98%
22 68,09% 27,66% 4,26%
España
Ítems En b anco Incorrectas Correctas
14 28,29% 21,95% 49,7%
26 66,83% 25,37% 7 80%
Observamos que, el 33,33% del total de respuestas incorrectas al ítem 10,
corresponden a errores de cálculo.
Sin embargo, se constató que, el 15,38% del total de respuestas incorrectas al ítem 22,
corresponden a respuestas incompletas, porque los alumnos determinan la ecuación
de la recta que pasa por los dos puntos pero, al final sólo presentan una ecuación y no
un sistema de dos ecuaciones.
BLOQUE Ítems correspondientes Soluciones posibles
4.4.
Álgebra
elemental
15. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado
siguiente: “El producto de tres números pares
consecutivos es igual a 1680”.
(2x - 2) 2x (2x + 2) = 1680
(2x ) (2x +2)(2x + 4) = 1680
x par, x(x +2) (x + 4) = 1680
26. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad
2x + (2x+2 )+ (2x + 4) = 246, x IN
La suma de tres números
pares consecutivos es igual
a 246.
Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España,
vamos a presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa
correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma:
0%
20%
40%
60%
80%
100%
10 22
82,98%
4,26%
Respuestas correctas
0
20
40
60
80
100
14 26
49,76
7,80
Po
rcen
taje
s
Items
Respuestas correctas
245
Portugal España
15. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado
siguiente: “El producto de tres números pares
consecutivos es igual a 1680”.
19. Expresa en lenguaje algebraico el
enunciado siguiente: “El producto de tres
números pares consecutivos es igual a 1680”.
26. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad
2x + (2x+2 )+ (2x + 4) = 246, x IN
31. Expresa en lenguaje natural la siguiente
igualdad 2x + (2x+2 )+ (2x + 4) = 246, x IN
Portugal
ítem En
blanco Incorrectas Correctas
15 25,53% 44,68% 29,79%
26 25,53% 40,43% 34,04%
España
Ítems Blanco Incorrectas Correctas
19 24,88% 39,51% 35,61%
31 56,10% 23,90% 20,00%
Al contrario de las expectativas, el porcentaje de respuestas correctas es muy
semejante cuando se pasa de la tarea directa (29,79%) a la tarea inversa (34,04%). Sin
embargo, el número de aciertos es un poco superior en las respuestas al ítem 26 que al
ítem 15.
En este bloque, los resultados obtenidos en Portugal y en España son distintos, ya que,
en Portugal el alumnado presenta más dificultades en el ítem correspondiente a la
tarea de “escribir una expresión presentada en lenguaje natural en lenguaje
algebraico” y, en España, el alumnado manifiesta tener más dificultades en la tarea
inversa correspondiente a: “escribir una expresión presentada en lenguaje algebraico
en lenguaje natural”.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
15 26
29,79% 34,04%
Respuestas correctas
0
20
40
60
80
100
19 31
35,61% 20,00%
Po
rcen
taje
s
Items
Respuestas correctas
246
No obstante, la diferencia entre los resultados de las respuestas correctas referentes a
estos dos ítems es más acentuada con el alumnado español (15,61%) de lo que es con
el alumnado portugués (4,25%).
Además, en la situación portuguesa, este es el bloque en el que se verifica una menor
distancia entre los ítems.
Al analizar cualitativamente las respuestas de los estudiantes a estos ítems,
observamos que:
del total de respuestas correctas al ítem 15, surgió en:
- el 7,14% este tipo de respuesta: x par, x(x+2)(x+4)=1680.
- el 14,28% la respuesta: 2x*2(x+1)*2(x+2)=1680.
del total de respuestas incorrectas al ítem 15, observamos que:
- es frecuente la respuesta x(x+2)(x+4)=1680 en que los valores representados
no son consecutivos, ni pares;
- en el 9,52% se verifica este tipo de respuesta: 2x*2(x+2)*2(x+4)=1680 que
realmente representa un producto de 3 números pares pero, no consecutivos.
BLOQUE Ítems correspondientes Soluciones
4.5.
Funciones
cuadráticas
20 (b). Representa gráficamente la función:
f(x) = x2 – 4x.
25. Escribe la ecuación de la parábola
adjunta, justificando tus cálculos.
Basta tener en cuenta:
el vértice (2,4)
o, entonces,
los puntos de corte (0,0) y (4,0)
247
Como estos dos ítems también fueron analizados por Cecilio Fonseca en España,
vamos presentar una comparación entre los resultados de los dos países. Esa
correspondencia de ítems y comparación es efectuada de la siguiente forma:
Portugal España
20 (b). Representa gráficamente la función:
f(x) = x2 – 4x.
24. Representa gráficamente la función:
f(x) = x2 – 4x.
25. Escribe la ecuación de la parábola adjunta,
justificando tus cálculos.
29. Escribe la ecuación de la parábola adjunta,
justificando tus cálculos.
Portugal
ítem En
blanco Incorrectas Correctas
20b 17,02% 40,43% 42,55%
25 36,17% 36,17% 27,66%
España
En blanco Incorrectas Correctas
24 14,63% 16,10% 69,27%
29 70,73% 13,17% 16,10%
248
En este bloque, los resultados obtenidos en Portugal y en España son semejantes, ya
que, en ambos países el alumnado presenta más dificultades en el ítem
correspondiente a la tarea de “escribir la expresión algebraica de una función conocida
su gráfica”, la tarea inversa.
No obstante, la diferencia entre los resultados de las respuestas correctas referentes a
estos dos ítems es más acentuada con el alumnado español (53,17%) que con el
alumnado portugués (14,89%).
Al analizar las respuestas de los estudiantes al apartado 20(b) verificamos que estamos
delante del mismo problema que en el tercer ítem: los alumnos apenas dibujan los
ceros y la concavidad correctamente, no presentan las coordenadas del vértice de la
parábola, ni algunos puntos particulares. Este acontecimiento, probablemente es
debido al hecho de que le pedimos un esbozo y no la representación gráfica con
precisión de la función cuadrática.
En el ítem 25, la mayoría de los estudiantes que intentaron resolver utilizaron el
proceso de escribir la ecuación de la parábola. De estos alumnos, muchos sólo
colocaron bien las coordenadas del vértice y omitieron el valor del coeficiente del
término de mayor grado. Uno de los estudiantes intentó escribir la ecuación a través
de la descomposición en factores, ya que, los ceros de la parábola son conocidos por
observación de la gráfica, así presentó la siguiente respuesta: f(x) = (x-0)(x-4). Sin
embargo, como no ha colocado bien el valor de , aunque incompleta, fue considerada
incorrecta esta respuesta.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
20b 25
42,55% 27,66%
Respuestas correctas
0
20
40
60
80
100
24 29
69,27%
16,10%
Po
rcen
taje
s
Items
Respuestas correctas
249
En la sección siguiente son presentados cuadros comparativos en cada uno de los
países, Portugal y España17, donde podemos observar las tablas y gráficos
correspondientes a cada una de las cuatro conjeturas específicas.
17
Estos ítems corresponden al cuestionario completo aplicado en España por Cecilio Fonseca.
250
3.3.3. Análisis de los resultados obtenidos por conjeturas
Primera conjetura
C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la nomenclatura
Portugal
ítem Aciertos Diferencia
1 87,23% 70,21%
27 17,02%
17 95,74% 78,72%
28 17,02%
7 38,30% 19,15%
23 19,15%
20(b) 42,55% -12,77%
3 55,32%
España tarea usual
tarea no usual
ítem %
Aciertos %
Diferencia
1 81,95 17,07
12a 64,88
1 81,95 24,39
21 57,56
12a 64,88 7,32
21 57,56
11a 10,73 -0,49
27a 11,22
11b 50,73 8,78
27b 41,95
30a 33,17 5,85
16a 27,32
30b 45,37 4,88
16b 40,49
6 69,76 -0,49
24 69,27
0% 20% 40% 60% 80% 100%
1
27
17
28
7
23
20(b)
3
Aciertos da conjetura 1
0% 20% 40% 60% 80% 100%
1
12a
1
21
12a
21
11a
27a
11b
27b
30a
16a
30b
16b
6
24
Aciertos da conjetura 1
251
Segunda conjetura
C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del resultado obtenido
Portugal
ítem Aciertos Diferencia
20a 95,74% 44,68%
2 51,06%
12a 34,04% 31,91%
12b 2,13%
8 72,34% 63,83%
16 8,51%
20a 95,74% 72,34%
11 23,40%
13a 65,96% 27,66%
13b 38,30%
España tarea usual
tarea no usual
%
ítem Aciertos Diferencia
2a 48,29 32,2
2b 16,1
7a 30,73 20
7b 10,73
12a 64,88 42,93
12b 21,95
15a 60,49 28,29
15c 32,2
17a 51,22 20
17b 31,22
0% 20% 40% 60% 80% 100%
20a
2
12a
12b
8
16
20a
11
13a
13b
Aciertos da conjetura 2
0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 %
2a
2b
7a
7b
12a
12b
15a
15c
17a
17b
Aciertos da conjetura 2
252
Tercera conjetura
C3. A cada tarea está asociada una técnica privilegiada
Portugal
ítem Aciertos Diferencia
20a 95,74% 44,68%
18 51,06%
21 100,00% 29,79%
5 70,21%
14a 48,94% 25,53%
14b 23,40%
9 31,91% 8,51%
24 23,40%
España tarea usual
tarea no usual
%
ítem Aciertos Diferencia
22 44,39 14,63
3 29,76
25 84,88 20,98
8 63,9
18a 57,56 35,61
18b 21,95
13 36,1 12,68
28 23,41
0% 20% 40% 60% 80% 100%
20a
18
21
5
14a
14b
9
24
Aciertos da conjetura 3
0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 %
22
3
25
8
18a
18b
13
28
Aciertos da conjetura 3
253
Cuarta conjetura
C4. No ocurre reversión de las técnicas para realizar la tarea “inversa”
Portugal
ítem Aciertos Diferencia
19 51,06% 17,02% 4 34,04%
6 29,79% 25,53% 22 4,26%
10 82,98% 78,72% 22 4,26%
15 29,79% -4,26% 26 34,04%
20b 42,55% 14,89% 25 27,66%
España tarea usual
tarea no usual
%
ítem Aciertos Diferencia
23 70,24 44,88
4 25,37
9 55,12 47,32
26 7,8
14 49,76 41,95
26 7,8
19 35,61 15,61
31 20
24 69,27 53,17
29 16,1
0% 20% 40% 60% 80% 100%
19
4
6
22
10
22
15
26
20b
25
Aciertos da conjetura 4
0 % 20 % 40 % 60 % 80 % 100 %
23
4
9
26
14
26
19
31
24
29
Aciertos da conjetura 4
254
Este estudio exploratorio permitió analizar los resultados al cuestionario de dos
muestras de estudiantes distintas: una relativa a los estudiantes portugueses de la
Enseñanza Secundaria y otra relativa a los estudiantes del primer año de la Enseñanza
Universitaria española. Efectuamos una comparación de los valores de porcentajes de
aciertos de los ítems correspondientes a cada bloque de cada conjetura, comparando
el dominio de la tarea usual con la no usual.
Concluimos que, tal como conjeturamos inicialmente, existe una fuerte rigidez y
desarticulación en las organizaciones matemáticas estudiadas en la Enseñanza
Secundaria. Esta desarticulación será, a posteriori, un obstáculo sentido por los
estudiantes que ingresen en la Universidad, pues podrá provocar dificultades en la
adaptación de los mismos a los estudios superiores, desmotivación y,
consecuentemente, aumentar los casos de fracaso y abandono escolar.
El primer aspecto observado de la rigidez de las técnicas matemáticas fue la fuerte
dependencia de la nomenclatura, ésto es, se el alumnado no está acostumbrado a una
cierta alteración en el tipo de nomenclatura en una determinada tarea, ya no tiene la
capacidad para proceder a la aplicación y manipulación de la técnica.
El segundo aspecto de la rigidez es una consecuencia del contrato didáctico18 de los
alumnos de Secundaria por no implicar la responsabilidad de interpretar el resultado
obtenido después de aplicar una determinada técnica matemática. Por lo tanto, por
los resultados obtenidos con esta muestra, podremos concluir que, por un lado, el
momento del trabajo de la técnica fue conseguido satisfactoriamente pero, por otro
lado, el momento de la interpretación de la técnica no fue superado con éxito.
La existencia de una única técnica privilegiada para cada tipo de tarea matemática
constituye el tercer aspecto de la rigidez de las organizaciones matemáticas de la
Enseñanza Secundaria. Lo que significa que los estudiantes manipulan con más
seguridad una técnica que otra distinta de la más habitual. Este dominio supremo de
una sola técnica para cada tipo de tarea la transforma en una técnica privilegiada. No
obstante, tal acontecimiento ocurre por exceso de mecanización de una determinada
técnica y no como resultado de un cuestionamiento tecnológico. Sería relevante que el
contrato didáctico de Secundaria contemplase la comparación de tareas y transmitiese
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Conjunto de normas, mayoritariamente implícitas, que regulan la distribución de responsabilidades entre el profesor y los alumnos, haciendo referencia a los contenidos matemáticos que están en juego.
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al alumno la responsabilidad de decidir, de entre las diversas técnicas que posibiliten la
resolución de una tarea, cuál sería la más adecuada, la más económica o la más fiable.
Concluimos así que, el alumnado cuando se enfrenta con una determinada tarea no
efectúa, previamente a su resolución, un cuestionamiento tecnológico.
El cuarto aspecto observado de la rigidez de las organizaciones matemáticas de la
Enseñanza Secundaria fue el hecho de no forma parte de la responsabilidad
matemática del alumno invertir una técnica para resolver la tarea inversa de una tarea
habitual.
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