7/23/2019 ORAL 14 MATE 1

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ORAL #14: FUNCIONES VECTORIALES

1. Dada la funcin vec!"ial:

f(t)=(1t2 , 1cos2 (t1/4 )

(t1 /4 )2

, t

1e2t)a Dee"$ina" el d!$ini! de

f

% &alla"

t 0+

f (t)lim

't 0

f(t)

lim

c (E)i*en +un!* de di*c!ninuidad *!%"e el d!$ini! def

,

d (E* +!*i%le "edefini"f (t) de $!d! -ue *ea c!ninua *!%"e el ine"val!

0,1 ,

a) Determinar el dominio de f

Sea:f (t)=( f1(t) , f2(t) , f3(t))

f1=1t

2

f2=

1cos2 (t1/4 )( t1/4 )

f3=

t

1e2t

De: f1=1t2

1t2

0 1t 1

t2

1 t [1,1 ]

|t|1 Df1=[1,1 ]

De:f2=1cos

2

(t1/4 )(t1/4 )2

t1/40

t 1/4

Df2=R{14 }

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De:f3=

t

1e2t t 0

1e2t0

e2t1

e2t e0

2t 0t 0

tR {0 }0,+

t

Df3=0,+

Df( t)=Df1 Df2 D f3

Df( t)=[1,1 ] R{14 } 0,+

Df(t)=0,14 14, 1

b) Hallar

t 0+

f (t)

lim y

t 0

f(t)

lim

t 0+

f3(t)t 0

+f1( t) , lim

t 0+

f2(t), lim

lim

t 0

+f( t)

lim

Hallando:

t 0+1t2=1

t 0+

f1 (t)=lim

lim

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t 0+ 1cos

2 (t1/4 )

(t1/4 )2 =

1cos2 (1 /4 )

(1 /4 )2 =

Sen2 (1/4 )1/16

t 0+

f2(t)=lim

lim

t 0

+ t

1e2t=

0

1e0=

0

0 (indeterminado)t 0

+f3(t)=lim

lim

Aplicando la regla de LHospital

t 0+

1

t

e2t

t

t 0+ 1 /2 t

12

e2t(2.(1 /2) t12 )

=1

2lim

t 0+ t

1e2t=lim

lim

t 0+

1

e2t=12

. 1

e20=12

12lim

El

t 0

f(t)lim

ya que: D

f( t)=0, 1414, 1 ] , es decir, est deinida de! "acia la derec"a#

c) $omof(14 ) ,

entoncesf(t) es discontinua para t%&'(

d) La uncin es discontinua en t%&'(, luego ser continua en 0,1 , si e*iste

limt 1/4

f(t), entonces se calcula

limt 1/4

f(t):

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limt 1/4

f(t) ( limt 1 /4 f1(t) , limt 1/4 f2(t) , limt 1 /4 f3( t))

Hallando:

limt 1/4

f1 (t)=limt 1 /4

1t2=

1

1

16=

15

16

limt 1/4

f2 (t)=lim

t 1/41cos2 (t1/4 )

(t1/ 4)2 =

limt 1/4

Sen2 (t1/4 )

(t1/4 )2

Si t1/4=x t 1

4, x 0

limt 1 /4

Sen2 ( t1/4 )

( t1/ 4 )2 =

limx 0

Sen2 (x )

(x )2 =lim

x 0(Senx

x )2

=1

limt 1/4

f3 ( t)=lim

t 1/4t

1e2t=

1/41e21 /4

= 1 /2

1e1=

1

2 (1e )

limt 1/4

f(t) (154 ,1, 12 (1e ) )+edeiniendo la uncin tendremos:

f(t)={(1t2

,1cos2 (t1/ 4 )

(t1/4 )2

, t

1e2t) t 0, 1 ](154 ,1, 12 (1e ) )t=14

. Dada la cu"va C definida +!":f(t)=(t

2+ t , t2t) tR / T"ace *u 0"fica

Las ecuaciones paramtricas sern:

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x=t2+t

y=t2t

Dando -alores a t, * e y:

) '

2 . /

21 ! .

3 ! !1 . !

/ .

. 5"afica" la cu"va C dada +!":f(t)=(Cost ,1+Sent ,2+Sent)tR

Las ecuaciones paramtricas sern:

x=Cost

y=1+Sent

z=2+Sent

0abulando:

) ' 6

3 & & .

7

! .1

2& & .

3

7! !

&

& & .

Grafcando:_

La echa indica el

sentido en que se

genera la curva

cuando t aumenta.

f(t)

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