optimizaciÓn aplicaciones de la derivación. optimización ejemplo #2 (libro) página 322 : se va a...
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OPTIMIZACIÓNAplicaciones de la derivación
Optimización
Ejemplo #2 (Libro) Página 322 :Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
h
r
𝜋𝑟 2Área Superficial de
un Círculo
𝜋𝑟 2h
Volumen de un Cilindro
OptimizaciónEjemplo #2 (Libro) Página 322 :Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
h
r
2𝜋𝑟
h
OptimizaciónEjemplo #2 (Libro) Página 322 :Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
𝐴¿𝑚𝑖𝑛=2𝜋𝑟2+2𝜋 h𝑟
Variables
OptimizaciónEjemplo #2 (Libro) Página 322 :Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
𝜋𝑟 2h
Volumen de un Cilindro
𝜋𝑟 2h=1000𝑐𝑚3
OptimizaciónEjemplo #2 (Libro) Página 322 :Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
𝜋𝑟 2h=1000
h=1000
𝜋𝑟2
OptimizaciónEjemplo #2 (Libro) Página 322 :Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
h=1000
𝜋𝑟2
𝐴¿𝑚𝑖𝑛=2𝜋𝑟2+2𝜋 h𝑟
𝐴¿𝑚𝑖𝑛=2𝜋𝑟2+2𝜋 𝑟 ( 1000𝜋𝑟 2 )
𝐴¿𝑚𝑖𝑛=2𝜋𝑟2+2000𝑟
Ecuación a optimizar
𝐴¿𝑚𝑖𝑛=2𝜋𝑟2+2000𝑟
Ecuación a optimizar
OptimizaciónEjemplo #2 (Libro) Página 322 :Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
Criterio de la primera derivada
𝐴¿𝑚𝑖𝑛=2𝜋𝑟2+200𝑟−1
𝐴 ′ ¿𝑚𝑖𝑛=4𝜋 𝑟 −200
𝑟2
OptimizaciónEjemplo #2 (Libro) Página 322 :Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
Criterio de la primera derivada
𝐴 ′ ¿𝑚𝑖𝑛=4𝜋 𝑟 −2000
𝑟2=0
4𝜋𝑟 −2000
𝑟2=0
Puntos críticos…
4𝜋𝑟=2000
𝑟2𝑟2(4𝜋 𝑟 )=2000 4𝜋𝑟 3=2000
𝑟3=20004𝜋 𝑟3=
500𝜋
𝑟=3√ 500𝜋 ≈5,42
OptimizaciónEjemplo #2 (Libro) Página 322 :Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
El Criterio de la segunda derivada confirma que:
𝐴 ′ ¿𝑚𝑖𝑛=4𝜋 𝑟 −2000
𝑟2
𝐴 ′ ′¿𝑚𝑖𝑛=4𝜋+4000
𝑟 3
4𝜋+4000
(5,42 )3=37,68
37,68>0𝑀 í 𝑛𝑖𝑚𝑜
OptimizaciónEjemplo #2 (Libro) Página 322 :Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
h=1000
𝜋𝑟2 h=1000
𝜋(5.42)2
h=10,83𝑐𝑚
OptimizaciónEjemplo #2 (Libro) Página 322 :Se va a fabricar una lata para que contenga 1 Litro de Aceite. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
h=10.83cm
r=5,42cm
1 LITRO
Ejercicio :Se va a fabricar un vaso cilíndrico que pueda contener 750ml de liquido. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del vidrio para fabricar el vaso.
Optimización
h
r
750ml
