DEIMOS OPOSICIONES A PROFESORES DE SECUNDARIA Y DIPLOMADOS EN ESTADÍSTICA DEL ESTADO C.I.F. B41097270 C/ Fernández de los Ríos 75, 1º Izda. (Metro : Moncloa) 669 31 64 06 28015 MADRID www.academiadeimos.es academia@academiadeimos.es

OPOSICIONES AL CUERPO DE PROFESORES DE

ENSEÑANZA SECUNDARIA

MATEMÁTICAS MADRID

Problemas propuestos en la primera sesión el 23 de Junio de 2006.

Problema nº 1

a) Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrencia:

U U Un n n+ −= +1 1α β , con n > 0

donde α y β son números fijos y donde se suponen también conocidos los dos primeros términos de la sucesión: U0 y U1. Hallar la expresión de su término general Un en función de α , β y n.

b) Sea la sucesión ( )fn definida por la ley de recurrencia:

f f f f fn n n0 1 1 11 1= = = ++ −, , , para n = 1 2 3, , ,…

Calcular la expresión de su término general fn .

c) Se considera la sucesión ( )bn dada por bffnn

n=

+1, para n ≥ 0 . Hallar lim

n nb→∞.

Indicaciones para la solución: a) Los diferentes casos están analizados en los problemas 96.32 y 04.28 de nuestro

volumen 4: Problemas de Oposiciones 1996-2005.

b) y c) Su resolución figura en el problema 85.54 de nuestro volumen 2: Problemas de oposiciones 1981-1987 y en la página 193 de nuestro volumen 1: Problemas de oposiciones 1969-1980.

El término general que se obtiene es

5 5 1 5 5 5 1 5( ) ( )10 2 10 2

n nnf

+ + − −= +

y, como consecuencia, resulta inmediato que el límite pedido es 21 5+ , es decir, el

inverso del número áureo. Este problema se había explicado en la Academia Deimos en el curso 2005-2006 en los grupos normales. Problema nº 2 En el triángulo ABC de la figura, cada uno de los puntos D, E y F dividen al lado en el que están situados en dos segmentos de longitud uno doble que otro. Hallar la razón entre el área del triángulo sombreado y el área del triángulo original. Consultar su resolución en el problema 96.7 de nuestro volumen 4: Problemas de Oposiciones 1996-2005. Este problema se había explicado en la Academia Deimos en el curso 2005-2006 en los grupos avanzados. Problema nº 3 Calcular los siguientes límites de sucesiones:

a) limn

nn

nn

nn n→∞ +

++

+ ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 2 2 2 2 21 2

…

b) limn

n nn

nn

nn n→∞

−+

++

+ ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

π4 1 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2…

Indicaciones para la solución:

A

B C

D

E

F

Su resolución figura en la página 65 de nuestro volumen 2: Problemas de oposiciones 1981-1987. La parte a) ya había sido propuesta en Madrid en 2002. La parte a) de este problema se había explicado en la Academia Deimos en el curso 2005-2006 en los grupos normales. La parte b) de este problema se había explicado en la Academia Deimos en el curso 2005-2006 en los grupos avanzados.

Problema nº 4 En el interior del cuello de un matraz invertido hay 2n bolas blancas y 2n bolas negras, idénticas salvo en el color, situadas una sobre otra (como se indica en el dibujo). En la mitad inferior del cuello están situadas las 2n bolas negras, Se da la vuelta al matraz, se agita para mezclar las bolas y se vuelve a invertir.

1º Calcular la probabilidad pP de que la mitad inferior del cuello haya p bolas negras y 2n-p bolas blancas (0 2p n≤ ≤ ). 2º Utilizar la expresión de pP obtenida para demostrar la relación

2 2 2 21 ...

1 2n n n n

n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Indicaciones para la solución:

Su resolución figura en la página 203 de nuestro volumen 2: Problemas de oposiciones 1981-1987. Este problema se explicó en la Academia Deimos en el curso 2005-2006.