ondas problemas

APUNTES DEL CURSOOSCILACIONES Y ONDAS

Luis Joaquin Mendoza Herrera

19 de octubre de 2010

INDICE GENERAL

1 Movimiento Oscilatorio 11.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ecuacion del movimiento de una partcula oscilante . . . . . . . . . . . 11.3 Analoga con el movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Cinematica del movimiento armonico simple . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Ejemplos de movimientos armonicos simples . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1 Pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.1.1 Expresion general del periodo de un pendulo simple . . 11

1.5.2 Pendulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3 Pendulo de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.4 Pendulo cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Combinacion de movimientos armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.1 Combinacion de dos movimientos perpendiculares . . . . . . . . 21

1.7 Movimiento Amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.8 Oscilaciones Forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8.1 Oscilaciones forzadas en un circuito RLC en serie . . . . . . . . 32

2 Movimiento Ondulatorio 352.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Descripcion matematica de la propagacion . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3 Ondas de presion en una columna de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Ondas longitudinales en una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Ondas transversales en una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6 Ondas longitudinales en un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.7 Ondas transversales en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.8 Ondas Superficiales en un liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.9 Potencia de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.10 Ondas en dos y tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.11 Ondas en una membrana tensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.12 Ondas esfericas en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.13 velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

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INDICE GENERAL INDICE GENERAL

3 Ondas Electromagneticas 643.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3 Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.1 Condiciones de frontera para el campo electrico . . . . . . . . . 653.3.2 Condiciones de frontera para el campo magnetico . . . . . . . . 66

3.4 Ecuaciones de Ondas Electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5 Energa y momentum de una onda electromagnetica . . . . . . . . . . . 693.6 Presion de Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.7 Ecuacion de onda con fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.8 Radiacion de un dipolo electrico oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.9 Radiacion de un dipolo magnetico oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 Reflexion Refraccion 774.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3 Teorema de malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4 Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.5 Reflexion y transmision de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5.1 Reflexion y transmision de ondas planas utilizando el teorema deMalus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5.2 Reflexion y transmision de ondas planas utilizando el teorema deFermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5.3 Refraccion atmosferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.6 Coeficientes de reflexion y transmision para ondas en cuerdas . . . . . . 844.7 Coeficientes de reflexion y transmision para ondas electromagneticas . . 87

4.7.1 Polarizacion paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.7.2 Polarizacion perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.7.3 Angulo de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.8 Reflexion y transmision en superficies metalicas . . . . . . . . . . . . . 92

5 Optica Geometrica 955.1 Formacion de imagenes por reflexion en una superficie plana (espejo plano) 955.2 Formacion de imagenes por transmision en una superficie plana . . . . 965.3 Formacion de imagenes por reflexion en una superfice esferica (espejo

esferico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.4 Formacion de imagenes por transmision en una superfice esferica . . . . 995.5 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.6 Aumento o Amplificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.7 Distancia focal y trazado de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.7.1 Distancia focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.7.2 Trazado de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.7.2.1 Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.7.2.2 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

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6 Espectro visible, ondas de Sonido y efecto Doppler 1046.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2 Espectro electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2.1 Ondas de radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2.2 Microondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2.3 Infrarrojo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2.4 Espectro visible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2.5 Rayos ultravioleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2.6 Rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2.7 Rayos Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3 Ondas de Sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3.1 Cualidades del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.5 Ultrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.5.1 Aplicaciones del ultrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.5.1.1 Guiado y sondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.5.1.2 Medicina y biologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.5.1.3 Aplicaciones fsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.6 Infrasonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.7 Ondas de Choque y numero de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.8 La audicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.9 Ondas de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.10 El ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.11 Instrumentos opticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.11.1 Microscopio simple o lupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.11.2 Microscopio compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.11.3 Telescopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.11.3.1 Telescopios de reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.11.4 El proyector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.11.5 El prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.12 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.13 Efecto Doppler de las ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . 126

6.13.1 Transformacion de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.13.2 Transformacion de las frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7 Interferencia 1317.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2 Interferencia producida por dos fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . 1317.3 Experimento de la doble rendija de Young . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.4 Biprisma de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.5 Interferencia por reflexion en laminas delgadas . . . . . . . . . . . . . . 1367.6 Anillos de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.7 Interferencia de ondas producidas por varias fuentes sincronicas . . . . 1397.8 Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

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7.8.1 Ondas estacionarias en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.8.2 Ondas estacionarias en una columna de aire . . . . . . . . . . . 1467.8.3 Ondas estacionarias electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . 147

7.9 Ondas estacionarias en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.10 Ondas estacionarias en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.11 Guas de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.11.1 Ondas electromagneticas en guas de ondas . . . . . . . . . . . . 154

8 Difraccion y Polarizacion 1568.1 Difraccion de Fraunhofer por una abertura rectangular . . . . . . . . . 1568.2 Doble rendija de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.3 Redes de difraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.4 Difraccion en una abertura circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.5 Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.5.1 La elipse de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.5.2 Polarizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.5.2.1 Polarizacion por reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.5.2.2 Polarizacion por transmision . . . . . . . . . . . . . . . 1638.5.2.3 Polarizacion por doble transmision . . . . . . . . . . . 1648.5.2.4 Polarizacion por absorcion selectiva o dicrosmo . . . . 1648.5.2.5 Actividad optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.5.3 Grado de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

iv

INDICE DE FIGURAS

1.1 Partcula en el extremo de un resorte, ejemplo de un sistema oscilatorios 21.2 Analoga entre el movimiento de una partcula en un resorte y el

movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Representacion geometrica del angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Movimiento armonico producido por una partcula que se mueve en un plano inclinado 61.5 Esquema de un pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Esquema de un pendulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Esquema correspondiente al ejemplo de dos resortes . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Esquema de un pendulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9 Esquema de un pendulo de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.10 Esquema del pendulo de torsion con un bloque rectangular . . . . . . . 161.11 Construccion de una curva cicloide positiva . . . . . . . . . . . . . . . . 161.12 Esquema de un pendulo cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.13 Diagrama de fasores para la combinacion de movimientos armonicos de

igual direccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.14 Combinacion de movimientos armonicos de frecuencias diferentes cuan-

do: 2 > 1 y (a) A1 > A2, (b) A2 > A1 y (c) A1 = A2. . . . . . . . . . 201.15 Diagrama de fasores para la combinacion de dos movimientos armonicos

de igual frecuancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.16 Trayectoria del movimiento resultante de la combinacion de dos

movimientos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.17 Construccion de una figura de Lissajous cuando 1 =

342, 1 = 0,

2 = pi/6, A = 1 y B = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.18 Trayectorias de los movimientos para diferentes valores de . . . . . . 241.19 Amplitud de una oscilacion subamortiguada en funcion del tiempo . . . 251.20 Representacion geometrica del angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.21 Movimiento de una pesa por un nino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.22 Circuito RLC en serie con fuente de tension de alterna . . . . . . . . . 32

2.1 Ondas de presion en una columna de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2 Ondas longitudinales en una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Ondas Transversales en una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Ondas de torsion en una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5 Diagrama de cuerpo libre de la seccion cortada . . . . . . . . . . . . . . 46

v

INDICE DE FIGURAS INDICE DE FIGURAS

2.6 Momentos polares de inercia para una seccion circular . . . . . . . . . . 462.7 Ondas Transversales en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.8 Ondas superficiales en un liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.9 Elemento diferencial de volumen entre dos superficies . . . . . . . . . . 522.10 Interface entre los dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.11 Fuerzas que actuan sobre el elemento diferencial de superficie . . . . . . 552.12 En la figura (a) se muestra una onda propagandose en la direccion X

y en la figura (b) se muestra una onda propagandose en una direccionarbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.13 Membrana tensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1 Construccion de la propagacion de una onda . . . . . . . . . . . . . . . 784.2 Reflexion y transmision de ondas entre dos medios, donde la linea AB en

azul representa el frente de ondas incidente, la linea verde AB representael frente de ondas reflejado y la linea roja AB representa el frente deondas transmitido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3 Reflexion y transmision de ondas entre dos medios . . . . . . . . . . . . 814.4 Transmision por una bloque de ancho a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5 Tiempo transcurrido para pasar por la esquina de un bloque . . . . . . . . . . . 824.6 Esquema del ejemplo3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.7 Refraccion en la atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.8 Espejismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.9 Configuracion para la reflexion y transmision de una onda electromagnetica 874.10 Configuracion de polarizacion paralela para la reflexion y transmision de

una onda electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.11 Configuracion de polarizacion perpendicular para la reflexion y trans-

mision de una onda electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.12 Angulo Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.13 Incidencia de una onda electromagnetica sobre una lamina . . . . . . . 91

5.1 Imegenes formadas por reflexion en un espejo plano . . . . . . . . . . . 955.2 Configuracion para la formacion de una imagen por transmision en una

superficie plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3 Configuracion para la formacion de una imagen en una superficie esferica 975.4 Configuracion para la formacion de una imagen en una superficie esferica

por transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.5 Configuracion para la formacion de una imagen en una lente formada

por dos superficies esfericas S1 y S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.1 Espectro electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2 Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3 Estructura general del odo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.5 Corte lateral de la retina y sus componentes. . . . . . . . . . . . . . . . 1156.4 Estructura general del ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.6 Esquema general de una lupa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

vi


6.7 Esquema general de un microscopio compuesto. . . . . . . . . . . . . . 1196.8 Esquema general de un telescopio astronomico. . . . . . . . . . . . . . . 1206.9 Esquema general de un telescopio terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.10 Esquema general de un telescopio Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.11 Esquema general de un telescopio de Newton. . . . . . . . . . . . . . . 1226.12 Esquema general de un telescopio de Cassegrain. . . . . . . . . . . . . . 1226.13 Esquema general de un proyector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.14 Configuracion de un prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.15 Angulo mnimo que en un prisma el rayo emerja del otro lado . . . . . . . . . . 1246.16 Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1 Interferencia producida por dos fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . 1327.2 Graficas fasoriales para la interferencia producida por dos fuentes sin-

cronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.3 Esquema de la interferencia en la doble rendija de Young . . . . . . . . 1347.4 Esquema de interferencia producida por un biprisma de Fresnel . . . . 1367.5 Esquema de interferencia producida por una lamina delgada . . . . . . 1377.6 Esquema de interferencia para producir anillos de Newton . . . . . . . 1387.7 Esquema de interferencia producido por N fuentes sincronicas . . . . . 1407.8 Fasores correspondientes a cada una de las fuentes . . . . . . . . . . . . 1407.9 Esquema para la suma de los dos primeros fasores en la interferencia de

N fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.10 Esquema para la suma de los tres primeros fasores en la interferencia de

N fuentes sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.11 Esquema para la suma de los N fasores en la interferencia de N fuentes

sincronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.12 Esquema para la interferencia de dos ondas . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.13 Modos de vibracion para las ondas estacionarias en una cuerda de longi-

tud L y fija a ambos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.14 Modos de vibracion para las ondas estacionarias en una columna de aire

de longitud L y con un extremo cerrado y un extremo abierto . . . . . 1477.15 Ondas estacionarias electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.16 Ondas estacionarias electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.17 Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y

n2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.18 Ondas estacionarias en una membrana recatangular tensa para n1 = 1 y

n2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.19 Esquema de una gua de ondas rectangular, en la cual las ondas se pro-

pagan en la direccion z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.1 Esquema para el estudio de la difraccion en una abertura rectangular . 1578.2 Esquema para el estudio de la difraccion en una abertura rectangular . 1578.3 Grafica de la intensidad producida por una abertura rectangular . . . . 1588.4 Esquema para la difraccion en dos aberturas rectangulares . . . . . . . 159

vii


8.5 Grafica de la intensidad producida por dos aberturas considerando ladifraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.6 Esquema para el estudio de la difraccion en una red de difraccion . . . 1608.7 Polarizacion por reflexion en una superficie (angulo de Brewster) . . . . 1638.8 Polarizacion por transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.9 Polarizacion por doble transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.10 Dicrosmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.11 Esquema para el estudio de la actividad optica . . . . . . . . . . . . . . 165

viii

Captulo 1

Movimiento Oscilatorio

1.1. Introduccion

Cuando un objeto se desplaza a uno y otro lado de una posicion fija siguiendo unaley cualquiera, se dice que esta en movimiento vibratorio u oscilatorio. Por ejemplo elembolo de una locomotora. Entre todos los movimientos oscilatorios que existen en lanaturaleza el mas importante es el movimiento armonico simple(M.A.S), en el cual esun movimiento periodico porque se reproduce exactamente cada vez que transcurreun tiempo determinado, llamado perodo. Perodo es el tiempo que tarda el objeto endar una oscilacion completa. El M.A.S describe con una buena aproximacion la mayorparte de las oscilaciones de la naturaleza.

Los sistemas oscilatorios, como el pendulo de reloj, una lancha subiendo y bajandosobre las olas, o una partcula en el extremo de un resorte, tienen una propiedad encomun: cada sistema tiene un estado de equilibrio estable. En el equilibrio la fuerza yel torque netos que actuan sobre cada parte del sistema son iguales a cero. El equilibrioes estable si un pequeno desplazamiento origina una fuerza neta que tiende a regresaral sistema hacia el estado de equilibrio. Estas fuerzas de restauracion constituyen unasegunda caracterstica de los sistemas oscilatorios.

1.2. Ecuacion del movimiento de una partcula os-

cilante

Para describir el movimiento de una partcula oscilante, se expresa la posicion dela partcula como una funcion del tiempo. Iniciando con la segunda ley de Newtonque relaciona la fuerza de restauracion con la aceleracion de la partcula. como primerejemplo consideremos el caso de una partcula en el extremo de un resorte, en estecaso la fuerza de restauracion y el desplazamiento se ubican en una sola direccion quepodemos definir como x. si tomamos el origen coincidente con la posicion de equilibriode la partcula (Fig 1.2), la posicion de la partcula x(t) coincide con el estiramiento

1

Oscilaciones y Ondas

del resorte, donde la fuerza de restauracion es kx(t). En el caso del movimiento sinfriccion, de acuerdo con la segunda ley de Newton:

max = Fx = kx(t) (1.1)La aceleracion es la segunda derivada de la posicion en funcion del tiempo, de este

modo:

md2x

dt2= kx o d

2x

dt2+k

mx = 0 (1.2)

En este caso lo que se desea es la posicion de la partcula como una funcion deltiempo, este es un problema matematico que puede ser resuelto utilizando la analogadel M.A.S con el movimiento circular.

Figura 1.1: Partcula en el extremo de un resorte, ejemplo de un sistema oscilatorios

1.3. Analoga con el movimiento circular

Las oscilaciones se relacionan de una manera muy estrecha con el movimiento circu-lar, cuando una partcula se mueve en un movimiento circular con una velocidad linealconstante v, la cual se relaciona con la velocidad angular = v/r, donde r es el radiodel circulo, el cambio de direccion es originado por una aceleracion hacia el centro delcirculo:

a = 2r (1.3)Donde las componentes en x de esta ecuacion son:

ax = 2x o d2x

dt2+ 2x = 0, (1.4)

ecuacion que es similar a la ecuacion 1.2 para las oscilaciones cuando se define lafrecuencia angular

2


=

k

m, (1.5)

donde el periodo de las oscilaciones se obtiene como:

P = 2pi

m

k, (1.6)

Figura 1.2: Analoga entre el movimiento de una partcula en un resorte yel movimiento circular

La posicion de la partcula es definida por el angulo , donde A es la maxima ampli-tud de la partcula, la amplitud de la partcula en funcion del tiempo esta determinadapor la componente en x = A cos . La distancia angular 0 define la posicion inicial dela partcula y es conocida como fase inicial, es decir la posicion inicial de la partculaes A cos0, en este caso t es la distancia angular recorrida por la partcula, luegoentonces la distancia angular es igual a la distancia angular recorrida mas la distanciaangular inicial:

= t+ 0 (1.7)

Obteniendose la posicion de la partcula en funcion del tiempo como

x(t) = A cos (t+ 0) (1.8)

3


Es importante aclarar que la posicion de la partcula en funcion del tiempo tambienpuede ser expresada en funcion del sen en este caso solo cambiaria la fase inicial, porejemplo cos (t+ pi/3) = sen (t+ 5pi/6), las funciones seno y cose se diferencian enpi/2, en este documento utilizaremos la funcion seno para referirnos a la posicion de lapartcula esto es:

x(t) = Asen (t+ 0) (1.9)

1.4. Cinematica del movimiento armonico simple

La velocidad y la aceleracion de un movimiento armonico simple pueden ser expre-sadas a partir de la ecuacion 1.9, como:

v(t) = A cos (t+ 0) = A2 x2 (1.10)

a(t) = A2sen (t+ 0) = 2x (1.11)La fuerza que debe actuar sobre un cuerpo de masa m, para que oscile con movimien-

to armonico simple es:

F = ma = m2x = kx (1.12)es decir, que para producir un M.A.S se requiere una fuerza proporcional a la elon-

gacion y dirigida siempre hacia la posicion de equilibrio, como lo indica el signo menos.La energa cinetica esta definida por:

Ec =1

2mv2 =

1

2mA2 cos2 (t+ 0) =

1

2m2

(A2 x2

)(1.13)

Para la energa potencial se utiliza la definicion de la fuerza en terminos de la energapotencial F = Ep

x: Ep

0dEp =

x0kxdx Ep = 1

2kx2 (1.14)

Con las definiciones de energa cinetica y potencial se puede obtener la energa totaldel sistema, en la forma

E = Ec + Ep =1

2m2

(A2 x2

)+

1

2kx2 =

1

2k(A2 x2

)+

1

2kx2 =

1

2kA2 (1.15)

Ejemplo 1 Una partcula cuya mas es de 1 Kg se mueve con movimiento armonico sim-ple. Su periodo es de 0.1s y la amplitud de su movimiento es de 10cm. Calcular la aceleracion, lafuerza, la energa potencial y la energa cinetica, cuando se encuentra a 4cm de la posicion de equilibrio.

Solucion: Con la ayuda de la ecuacion (1.4) a = 2x y = 2pi/T = 2pi/0,1 = 20pi, tenemos quela aceleracion es a = 400pi20,04 = 157,9m/s2.

4


La fuerza se puede obtener de F = ma = 157,9N, la energa potencial es Ep = 12kx2, que conla ecuacion (1.5) se convierte en Ep =

12m

2x2 = 0,5 1 400pi20,042 = 3,16J, para el calculo de laenerga cinetica se debe calcular la energa total E = 12m

2A2 = 0,5 1 400pi20,12 = 19,74J, luego laenerga cinetica es Ec = (19,74 3,16) J = 16,58J.

Ejemplo 2 Una partcula que se mueve con movimiento armonico simple, con una frecuenciaf , fue lanzada con una velocidad inicial v0, desde una posicion que se encuentra a x0 de la posicionde equilibrio, determinar la posicion de la partcula como una funcion del tiempo.

Solucion: En este caso la posicion debe presentarse en terminos de la informacion suministradapor el proble las cuales son la frecuencia f , que no debe confundirse con la frecuencia angular , laposicion inicial x0 y la velocidad inicial v0. La ecuacion que determina la posicion de la partcula comouna funcion del tiempo es x = Asen (t+ ), donde = 2pif . A continuacion se deben determinar Ay , de las condiciones iniciales.

x0 = Asen v0 = Acos (1.16)

Al dividir estas ecuacion se obtiene la fase del movimiento como tan = x0v0 y con la ayuda de larepresentacion grafica de , se puede obtener la amplitud:

Figura 1.3: Representacion geometrica del angulo

luego entonces remplazando sen o cos, se obtiene la amplitud A =

x20

2+v20 =

x204pi

2f2+v202pif ,

con estos resultados la posicion como una funcion del tiempo se convierte en:

x (t) =

x204pi

2f2 + v202pif

sen

(2pift+ tan1

(x02pif

v0

))(1.17)

Ejemplo 3 Un tronco cilndrico de longitud L y radio R, tiene un contrapeso de plomo, con lafinalidad de mantenerlo en forma vertical. La masa del tronco y el plomo juntos es M . Si el tronco seempuja un poco hacia abajo demuestre que al soltarlo se produce un movimiento armonico simple ydetermine su frecuencia. Calcule su frecuencia para M = 60Kg y R = 10cm

Solucion: El tronco flota a causa de la fuerza que el agua ejerce hacia arriba por el principio dearqumedes. Primero debe determinarse la posicion de equilibrio, para esta posicion el peso del troncoy el empuje del agua deben ser iguales.

Mg = aguapiR2Dg (1.18)

donde D es la longitud de la porcion sumergida del tronco, de esta ecuacion D = MpiR2agua . Cuando

el tronco se empuja hacia abajo una pequena distancia z, la fuerza del empuje es mayor que el peso deltronco y lo impulsa hacia arriba, cuando el peso del tronco y el plomo superan la fuerza del empuje, el

5


tronco es impulsado hacia abajo, resultando con esto un movimiento armonico simple. para determinarla frecuencia de este movimiento, cuando se desplaza una pequena distancia z hacia abajo la fuerzaresultante es Mg piR2(D + z)aguag = piR2aguagz, y la ecuacion del movimiento para el troncoes:

Md2z

dt2+ piR2aguag = 0 (1.19)

de donde la frecuencia de oscilacion esta dada por =

piR2aguagM =

gD . En el caso M = 60Kg

y R = 10cm, D = 1,91m y = 2,27rad/s.Ejemplo 4 Una partcula se desliza hacia adelante y hacia atras entre dos planos inclinados sin

friccion. Encontrar el periodo de oscilacion del movimiento si h es la altura inicial.

Figura 1.4: Movimiento armonico producido por una partcula que se mueve en un plano inclinado

Solucion: Para calcular el periodo de oscilacion en primera medida calculamos la aceleracion delsistema, esta aceleracion se obtiene de la segunda ley de newton

F = mgsen = ma,

luego la aceleracion esa = gsen.

La distancia que debe bajar la partcula es hsen , el tiempo que tarda en bajar se puede calcular como:

h

sen=

1

2gsent2 o t =

2h

g

1

sen,

de donde el periodo de oscilacion es cuatro veces el tiempo calculado

P = 4

2h

g

1

sen(1.20)

EjemploTomemos el caso en el cual una partcula de masa m se encuentra sobre una mesa, unidaa un punto fijo de esta (que tomaremos como origen de coordenadas) mediante un resorte de constantek. En el instante t = 0 se encuentra en la posicion ~r0 = x0ax+y0ay y se le proporcio0na una velocidad~v0 = v0xax + v0yay.

La ecuacion que define un oscilador armonico, en general, es la ecuacion de movimiento vectorial

md2~r

dt2= k~r (1.21)

En este problema tenemos una partcula situada en un plano. Su posicion inicial esta a una ciertadistancia del punto fijo. Por tanto, necesariamente su movimiento sera bidimensional. Para la partculasituada sobre la mesa, su movimiento sera bidimensional y podra describirse un sistema de coordenadascartesiano

~r = xax + yay

En este mismo sistema, la velocidad y la aceleracion se escribiran

6


~v =d~r

dt=dx

dti+

dy

dtj, ~a =

d~v

dt=d2x

dt2i+

d2y

dt2j

Sustituyendo en la ecuacion de movimiento y recordando que dos vectores son iguales si lo soncada una de sus componentes, la ecuacion vectorial se convierte en dos ecuaciones escalares

d2x

dt2= kx, d

2y

dt2= ky

Cuyas soluciones son de la forma::

x = Axsen (t+ x) , y = Aysen (t+ y)

que utilizando las condiciones iniciales llegamos a

x0 = Axsen (x) , y0 = Aysen (y)

v0x = Ax cos (x) , v0y = Ay cos (y)

de donde

tanx =x0

v0x, tany =

y0

v0y

y

Ax =

x20 +

v20x2

, Ay =

y20 +

v20y2

Con estos resultados las expresiones para las elongaciones en x y y son respectivamente

x =v0x

sent+ x0 cost, y =v0y

sent+ y0 cost

Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuacion de la trayectoria seguida por el cuerpo

x2 + y2 =

~v0 sent+ ~r0 cost2 (1.22)

1.5. Ejemplos de movimientos armonicos simples

1.5.1. Pendulo simple

Un pendulo simple consiste en una partcula de masa m, colgada de un hilo de longi-tud l y masa despreciable. La partcula oscila sin ficcion entre un punto de suspension.Cuando el hilo forma un angulo , con la vertical la fuerza restauradora esta determi-nada por:

FR = mgsen = md2s

dt2= ml

d2

dt2, (1.23)

o sea

d2

dt2= g

lsen (1.24)

7


Figura 1.5: Esquema de un pendulo simple

Esta ecuacion no tiene la forma normal 1.2 y no tiene soluciones sencillas. sin em-bargo cuando la amplitud es pequena es decir es pequeno, podemos aplicar la aprox-imacion sen . En este caso:

d2

dt2+g

l = 0 (1.25)

que es la ecuacion para el movimiento armonico simple, donde es el desplazamiento

y la frecuencia angular es =g/l, es decir el periodo de oscilacion es P = 2pi

l/g.

Asi:

(t) = max cos(

g/lt+ 0

). (1.26)

Las expresiones para la velocidad y la aceleracion angular estan dadas por:

(t) = maxg/lsen

(g/lt+ 0

). (1.27)

(t) = max gl

cos(

g/lt+ 0

). (1.28)

La energa potencial en el pendulo simple esta determinada por:

Ep = mgh = mg(l l cos ) = mgl (1 cos ) (1.29)

8


Utilizando la identidad trigonometrica sen2A = 12

(1 cos 2A), con 2A =

Ep = 2mglsen2

2(1.30)

Utilizando esta definicion la energa total e:

E = 2mglsen202

(1.31)

Ejemplo 5 El movimiento de un pendulo simple esta dado por = Acos(

gl t). Encuentre la

tension en la cuerda de este pendulo para pequeno. La masa de la partcula suspendida m, en quetiempo la tension es maxima y cual es el valor de la tension maxima.

Solucion: La energa en el punto de maxima amplitud es solo potencial y es mgH = mg (l lcosA)y la energa en cualquier otro punto es la suma de la energa potencial mgh = mg (l lcos) y la energacinetica 12mv

2, de acuerdo con el principio de conservacion de energa estas dos energias son iguales esdecir

Figura 1.6: Esquema de un pendulo simple

mgl (1 cosA) = mgl (1 cos) + 12mv2 v2 = 2gl (cos cosA) (1.32)

La suma de las fuerzas normales es igual a

T = mgcos +mv2

l= mgcos + 2mg (cos cosA) = 3mgcos 2mgcosA (1.33)

La serie para el cosB = 1 12B2 + ,

T = 3mg

(1 1

22) 2mg

(1 1

2A2)

= mg

[1 +A2 3

2A2sen2

g

lt

](1.34)

Para obtener el valor maximo de la tension se debe derivar la tension esto es

dT

dt= mg 3

2A2g

l2sen

(g

lt

)cos

(g

lt

)= mg 3

2A2g

lsen

(2

g

lt

)= 0 (1.35)

de donde 2

gl t = pi o t =

pi2

lg , de donde el valor maximo de la tension es:

9


T = mg

[1 1

2A2]

(1.36)

Ejemplo 6 Un pendulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando g = 9,8m/s2, si la longitudaumenta en 1mm Cuanto se habra atrasado el reloj en 24 horas?.

Solucion: Utilizando el periodo del pendulo cuando la gravedad es g = 9,8m/s2, se puede calcularla longitud normal del pendulo.

T = 2s = 2pi

l

9,8l = 0,9929m (1.37)

La nueva longitud es ln = 0,9929m+1mm=0,9939mCon esta nueva longitud el periodo para la nueva longitud es Tn = 2pi

0,9939/9,8 = 2,001s,

luego el pendulo se retrasa 1,0068 103s, cada 2 segundos, debido a que en 24 horas existen 86400segundos el reloj se retrasa 86400 1,0068 103 = 87s.

Ejemplo 7 Un pendulo cuya longitud es 2m se encuentra en un lugar donde g = 9,8m/s2. Elpendulo oscila con una amplitud de 2o. Expresar en funcion del tiempo, su desplazamiento angular,su velocidad angular, su aceleracion angular, su velocidad lineal, su aceleracion centrpeta y la tensionen la cuerda si la masa en su extremo es de 1Kg.

Solucion: El desplazamiento angular del pendulo esta definido como = 0sen(

gl t+

), la

velocidad angular = 0

gl cos

(gl t+

), la aceleracion angular = gl , la velocidad lineal

v = l, la aceleracion centripeta ac = mv2l y la tension como T = mg (3cos 2cos0), donde sedeben determinar los valores de 0 y , para esto se remplazan las condiciones iniciales para el anguloy la velocidad

2o = 0sen 0 = 0

9,8m/s2

2mcos (1.38)

de donde = (pi/2)rad, 0 = 2o, lo que produce

= 2sen (2,21t+ pi/2) o (1.39)

= 4,42cos (2,21t+ pi/2) o/s (1.40)

= 9,8sen (2,21t+ pi/2) o/s2 (1.41)

v = 0,3cos (2,21t+ pi/2)m/s (1.42)

No debe olvidar cambiar los grados a radianes para que las unidades de la velocidad se conviertanen m/s

ac = 0,047cos2 (2,21t+ pi/2)m/s2 (1.43)

T = 9,8 (3cos (2osen (2,21t+ pi/2)) 2cos2o)N (1.44)

10


1.5.1.1. Expresion general del periodo de un pendulo simple

La energa total es en este caso la suma de la energa cinetica y la energa potencial,esto es:

E =1

2mv2 + Ep =

1

2

(dx

dt

)2+ Ep, (1.45)

despejando la velocidad obtenemos

dx

dt={

2

m(E Ep)

}1/2(1.46)

integrando sobre una oscilacion completa obtenemos P0dt = 4

xx0

ld{2m

(E Ep)}1/2 (1.47)

en terminos del angulo se tiene:

P = 4 0

0

ld{2m

(2mglsen2

(02

) 2mglsen2

(2

))}1/2 (1.48)P = 2

l/g

00

dsen2

(02

) sen2

(2

) (1.49)Si tomamos el cambio de variables sen

(12)

= sen(

120)sen, la ecuacion para el

periodo del pendulo se convierte en:

P = 4l/g

pi/20

(1 sen2

(1

20

)sen2

)1/2d (1.50)

Utilizando la serie (1 + x)n = 1 + nx + n(n1)2!

x2 + n(n1)(n2)3!

x3 + , donde x =sen2

(120)sen2 y n = 1

2e integrando llegamos a:

P = 2pil/g

(1 +

1

4sen2

(1

20

)+

9

64sen4

(1

20

)+

)(1.51)

Donde puede observarse que para pequeno se obtiene nuevamente el peri-

odo como P = 2pil/g, en el caso de 1

2 pequeno, se obtiene el periodo como

P = 2pil/g

(1 + 1

1620).

Ejemplo 8 Una partcula de masa m situada en una mesa horizontal lisa esta sostenida pordos resortes de constante elastica k y longitud normal l0, cuyos extremos estan fijos en P1 y P2. Sila partcula se desplaza lateralmente una cantidad x0 pequena comparada con la longitud normal delos resortes, y luego se suelta, determinar el movimiento subsiguiente. Encontrar su frecuencia deoscilacion y escribir la ecuacion de su movimiento.

11


Figura 1.7: Esquema correspondiente al ejemplo de dos resortes

Solucion: Para calcular el periodo de oscilacion utilizamos la ecuacion (1.46), para lo cual nece-sitamos la energa potencial Ep, la longitud del resorte estirado es

x2 + l20, la longitud que se estiro

el resorte esx2 + l20 l0, la energa potencial es

Ep =1

2k

(x2 + l20 l0

)2=

1

2kl20

((1 +

x2

l20

)1/2 1)2

luego la energa total se presenta cuando esta totalmente estirado es decir x = x0 es decir

E =1

2k

(x20 + l

20 l0

)2=

1

2kl20

((1 +

x20l20

)1/2 1)2

Debido a que l0 >> x, x0/l0 y x/l0 son pequenos y valores pequenos utilizando el desarrollobinomial, se puede realizar la aproximacion (1 + y)

n = 1 + nyconvirtiendo estas energas en:

Ep =1

2kl20

(1 +

x2

2l20 1)2

=1

2kl20

x4

4l40= k

x4

8l20(1.52)

Ep =1

2kl20

(1 +

x202l20 1)2

=1

2kl20

x404l40

= kx408l20

(1.53)

El periodo se calcula entonces como:

P = 4 x00

dx{2m

(kx408l20 k x4

8l20

)}1/2 = 4 x00

dx{k

4ml20(x40 x4)

}1/2 = 8l0m

k

x00

dxx40 x4

Si tomamos u = x/x0, tenemos

P = 8l0x0

m

k

10

dx1 u4 =

8l0x0

m

k

pi

2

3=

4pil03x0

m

k

Luego debido a que = 2piP tenemos

=

3x0

2l0

k

m(1.54)

12


Para la ecuacion del movimiento la fuerza de cada uno de los resortes es F = k(

x2 + l20 l0)

, la

componente de esta fuerza que produce el movimiento oscilatorio es FR = 2Fsen = 2k(

x2+l20l0)x

x2+l20,

si factorizamos l0 en el numerador y en el denominador obtenemos.

FR = 2k((

1 +x2

l20

)1/2)(1 +

x2

l20

)1/2= 2k

((x2

2l20

)(1 x

2

2l20

)x = kx

3

l20+kx5

2l40

Finalmente la ecuacion del movimiento es

md2x

dt2= kx

3

l20+kx5

2l40o

d2x

dt2+kx3

ml20 kx

5

2ml40= 0 (1.55)

1.5.2. Pendulo compuesto

Cuando un cuerpo rgido(como una barra) se balancea, en torno de un punto porlo general el borde, se obtiene un pendulo conocido como pendulo fsico o compuesto;donde el periodo del mismo se relaciona con su tamano y forma.

Figura 1.8: Esquema de un pendulo compuesto

En la figura 1.5.2 se muestra el diagrama de un pendulo compuesto. este pendulocompuesto posee un momento de inercia I, con respecto al punto de giro O, y su centrode masa se encuentra a una distancia d del punto de balanceo O. El peso actua en elcentro de masa y ejerce un torque con respecto al punto de giro dado por:

= mgdsen (1.56)donde utilizando la ecuacion del movimiento de rotacion tenemos:

I = mgdsen (1.57)

13


donde = d22 es la aceleracion angular del movimiento de rotacion. Con la aproxi-

macion de un angulo pequeno sen, la ecuacion del movimiento se convierte en:

d22

+mgd

I = 0 (1.58)

Ecuacion que muestra el comportamiento de un movimiento armonico simple confrecuencia angular:

=

mgd

I(1.59)

Es importante notar que un pendulo simple es un caso particular de un pendulocompuesto en el cual el momento de inercia es el de la masa colgando I = ml2 y elcentro de masa se encuentra sobre la masa esto es d = l

Ejemplo 9 Un disco solido de radio R puede colgarse de un extremo horizontal a una distanciah de su centro. Encontrar la longitud del pendulo simple equivalente y la posicion del eje para la cualel periodo es un mnimo.

Solucion: Para determinar la longitud del pendulo simple equivalente debemos calcular el periododel pendulo e igualarlo al periodo de un pendulo simple para determinar la longitud de este pendulosimple que tiene el mismo periodo que el compuesto

Para determinar el period del pendulo compuesto primero el momento de inercia del disco con

respecto al centro de masa el cual es Ic = mR2

2 , donde m es la masa del disco, pero debido a queel disco no gira en su centro de masa si no a una distancia h del mismo, se debe aplicar el teoremade steiner para determinar el momento de inercia respecto al punto de giro, este teorema consiste ensumarle al momento de inercia del centro de masa la masa por la distancia al cuadrado del centro demasa al punto de giro, esto es

I = mR2

2+mh2 (1.60)

Luego se debe determinar d que es la distancia del centro de masa al punto de giro, la cual en estecaso es h, de donde el periodo del pendulo compuesto es:

T = 2pi

m(R2

2 + h2)

mgh(1.61)

periodo que se debe igualar al periodo de un pendulo simple

2pi

(R2

2 + h2)

gh= 2pi

l

g(1.62)

de donde l = R2

2h + h, para determinar el valor maximo del periodo, lo derivamos con respecto a h

dT

dh=

2pi

2

(R2

2 +h2)

gh

2gh2 gR2/2 gh2g2h2

= 0 (1.63)

El valor de h para le cual el periodo es un mnimo es h = R/

2

14


1.5.3. Pendulo de torsion

Otro ejemplo de movimiento oscilatorio es el pendulo de torsion, el cual consisteen un objeto de momento de inercia I, con respecto a su centro de masa, este objetoesta colgado por su centro de masa por un alambre, al girar este cuerpo un angulo , elsistema ejerce un torque que tiende a regresar el sistema a su estado de equilibrio, estetorque es proporcional al angulo = ktor, donde ktor es la constante de torsion delalambre que soporta el cuerpo. La ecuacion del movimiento del cuerpo es entonces:

Figura 1.9: Esquema de un pendulo de torsion

Id2

dt2= ktor o d

2

dt2+ktorI (1.64)

que es la ecuacion de un movimiento armonico simple con frecuencia angular

=ktor/I y periodo P = 2pi

I/ktor

Ejemplo 10 Un pendulo de torsion consiste en bloque rectangular de madera de8cm12cm3cm con una masa de 0,3Kg suspendido por medio de un alambre que pasa atraves de su centro y de modo que el lado mas corto es vertical. El periodo de oscilacion es 2,4s .Cual es la constante de torsion ktor del alambre?.

Solucion: El momento de inercial del bloque rectangular es I = 0,3Kg 0,082+0,122

12 m2 = 5,2

104Kg m2, por tanto el periodo de oscilacion del pendulo es

2,4s = 2pi

5,2 104Kgm2

ktorktor = 3,56 103Nm/rad (1.65)

15


Figura 1.10: Esquema del pendulo de torsion con un bloque rectangular

1.5.4. Pendulo cicloidal

Dentro de los modelos de pendulo existe un pendulo en el cual su periodo no dependede la amplitud, el cual es conocido como pendulo cicloidal, uno de los modelos dependulo cicloidal consiste de dos curvas cicloides entre las cuales se coloca un pendulosimple, para construir una curva cicloidal se toma un punto en un borde de un circuloy se rueda la curva resultante es una cicloide figura

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Figura 1.11: Construccion de una curva cicloide positiva

las ecuaciones de esta curva son x = a ( sen), y = a (1 cos), en el caso delpendulo cicloidal como el de la figura 1.5.4 esta curva es hacia abajo por lo tanto estasecuaciones se modifican en:

x = a ( sen) (1.66)y = a (cos 1)

Para obtener el periodo de oscilacion de este pendulo utilizaremos el enfoque de lasenergas el cual parte del hecho de que la energa total es constante. La energa totalde la partcula es la suma de su energa potencial y su energa cinetica, esto es:

16


Figura 1.12: Esquema de un pendulo cicloidal

E = Ec + Ep =1

2m

(dxdt

)2+

(dy

dt

)2+mgy (1.67)donde utilizando la definicion de la curva cicloide 1.67, obtenemos la energa total

como:

E = ma (1 cos)(d

dt

)2a g

(1.68)pero en este caso la oscilacion es armonica simple pero en la longitud, por

lo tanto debemos expresar esta ecuacion en terminos de la longitud s () = 0

(dxd

)2+(dyd

)2d, llegando a:

s () = 2asen (/2)d

dt(1.69)

al remplazar este valor en la energa obtenemos la energa como una funcion de lalongitud de la curva:

E =1

2m

(ds

dt

)2+mgs2

8a(1.70)

Recordando que la energa es una constante, su derivada es igual a cero llegando a:

dE

dt= m

ds

dt

d2s

dt2+mg

4asds

dt= 0 o

d2s

dt2+

g

4as = 0 (1.71)

La cual es una ecuacion que describe un movimiento armonico simple de frecuencia

angular =g/4a, o periodo de oscilacion P = 2pi

4a/g

17


1.6. Combinacion de movimientos armonicos

A menudo se combinan movimientos armonicos simples en igual direccion comoen direccion perpendicular. El movimiento resultante es la suma de las oscilacionesindependientes, en primera medida consideremos el caso en el cual los dos movimientostienen igual direccion, y denotaremos esta direccion como x, la ecuacion 1.9 describeuna oscilacion armonica luego las ecuaciones

x1 (t) = A1sen (w1t+ 1) (1.72)

x2 (t) = A2sen (w2t+ 2) ,

describen dos movimientos armonicos simples en la misma direccion en este caso x,por lo tanto el movimiento resultante de la combinacion de estos dos movimientos es lasuma

x (t) = x1 (t) + x2 (t) = A1sen (w1t+ 1) + A2sen (w2t+ 2) (1.73)

para obtener la suma de estos dos movimientos, se pueden utilizar dos metodosel analtico y el grafico, el analtico esta basado en las identidades trigonometricasy el metodo grafico esta basado en la analoga entre el movimiento oscilatorio y elmovimiento circular, lo cual es conocido como tecnica de fasores, en nuestro desarrolloutilizaremos el metodo grafico

De la figura 1.6 y utilizando el teorema del coseno se obtienen la amplitud delmovimiento resultante de los dos movimientos.

A =A21 + A

22 + 2A1A2 cos [(w2 w1) t+ (2 1)] (1.74)

Existe un caso especial en el cual 1 = 2, la amplitud se reduce a:

A =A21 + A

22 + 2A1A2 cos [(w2 w1) t] (1.75)

En este caso la amplitud cambia entre los valores A1 +A2 y A2A1, dependiendo delos valores de las frecuencias, para el caso en el cual (w2 w1) t = 2npi, las amplitudesse suman, y en el caso en el cual (w2 w1) t = (2n+ 1) pi se restan, como la amplitudcambia con la frecuencia se dice que la amplitud se encuentra modulada, estos cambiosen la amplitud producen como consecuencia fluctuaciones en la intensidad de un sonidollamadas pulsaciones. La frecuencia con la cual cambia la amplitud esta dada por:

fp = (w2 w1) /2pi (1.76)y es la frecuencia es la frecuencia de pulsacion, para el caso especial en el cual las

amplitudes de los movimientos son iguales esto es A1 = A2, llegamos a

18


Figura 1.13: Diagrama de fasores para la combinacion de movimientosarmonicos de igual direccion

A =

2A21 + 2A21 cos [(w2 w1) t] = A1

2 (1 + cos [(w2 w1) t)] = 2A1 cos

[1

2(w2 w1) t

](1.77)

Sumando los movimientos armonicos de las ecuaciones 1.73, cuando tienen la mismafrecuencia y utilizando la identidad trigonometrica sen(A) + sen(B) = 2 cos 1

2(A

B)sen12(A+B), llegamos a:

x = 2A1 cos[1

2(w2 w1) t

]sen

[1

2(w2 + w1) t

](1.78)

La grafica de x en funcion del tiempo para los casos en los cuales las amplitudesson diferentes siendo mayor la amplitud de la de x1, amplitudes iguales y amplitudesdiferentes siendo mayor la amplitud de x2, se muestran en la figura 1.6 , en la cualse puede observar que cuando la amplitud de x2 es mayor que la amplitud de x1, seproduce un solapamiento. Es importante aclarar que se ha supuesto que la frecuenciade x2 es mayor que la frecuencia de x1

Cuando las frecuencias de los dos movimientos son iguales la amplitud del movimien-to resultante descrita por la ecuacion 1.75, se puede escribir como:

A =A21 + A

22 + 2A1A2 cos (2 1) (1.79)

para obtener la fase del movimiento resultante se debe recordar que este es la sumade los movimientos x1 y x2, po`r lo tanto la suma de las componentes en x

y y de estos

19


Figura 1.14: Combinacion de movimientos armonicos de frecuencias difer-entes cuando: 2 > 1 y (a) A1 > A2, (b) A2 > A1 y (c) A1 = A2.

dos movimientos debe ser igual a las componentes en x y y de movimiento resultantedonde x y y, se ilustran en la figura 1.6,de acuerdo con esto se tiene:

Asen = A1sen1 + A2sen2 (1.80)

A cos = A1 cos1 + A2 cos2,

resultando con esto que:

tan =A1sen1 + A2sen2A1 cos1 + A2 cos2

(1.81)

La ecuacion que describe el comportamiento del movimiento resultante esta dadapor:

x = Asen (t+ ) , (1.82)

donde A y estan descritos por las ecuaciones 1.79 y 1.81.

20


Figura 1.15: Diagrama de fasores para la combinacion de dos movimientosarmonicos de igual frecuancia

1.6.1. Combinacion de dos movimientos perpendiculares

Analizaremos a continuacion el caso en el cual los dos movimientos implicados sonperpendiculares entre, que un movimiento se encuentra en la direccion x y el otro seencuentra en la direccion y, en este caso lo interesante es determinar la trayectoria delmovimiento resultante, en primera instancia analizaremos cuando los dos movimientostienen la misma frecuencia, las ecuaciones que describen cada uno de los movimientosson:

x = Asen (t+ 1) y = Bsen (t+ 2) (1.83)

Si despejamos t de la primera ecuacion y la remplazamos en la segunda ecuacionobtenemos:

y = Bsen(sen1

(x

A

)+ (2 1)

)(1.84)

Desarrollando es con ayuda de la identidad trigonometrica sen(A + B) =sen(A) cos(B) + sen(B) cos(A), se obtiene:

y

B=x

Acos() + cos

(sen1

(x

A

))sen () (1.85)

21


donde = 2 1, pero cos(M) =

1 sen2(M), llegando finalmente a:(x

A

)2+(y

B

)2 2xy cos

AB= sen2 (1.86)

lo cual corresponde a una elipse que hace un angulo con los ejes como la ilustradaen la figura 1.6.1

x2/9+y2/1-2 cos( /6) x y/3-(sin( /6))2 = 0

Figura 1.16: Trayectoria del movimiento resultante de la combinacion dedos movimientos perpendiculares

En el caso en el cual las amplitudes de los movimientos son iguales A = B, la trayec-toria de los movimientos es un circulo, cuando las fases iniciales de los dos movimientosson iguales 1 = 2, se obtiene una lnea recta dada por y =

BAx, en el caso en el cual la

diferencia entre las fases iniciales es pi, la trayectoria resultante es una recta y = BAx,

los dos casos correspondientes a lneas rectas son movimientos armonicos simples, confrecuencia angular y amplitud

A2 +B2. para obtener la direccion del movimiento

se deben derivar las posiciones en x y y para obtener la componentes de la velocidad,con estas componentes de la velocidad se evalua en cualquier punto de la trayectoriapara as determinar la direccion del movimiento.

En el caso de tener frecuencias diferentes se obtienen unas figuras conocidas comofiguras del Lissajous, para ilustrar la construccion de las mismas utilizaremos la tecnicade fasores, las ecuaciones para dos movimientos armonicos simples perpendiculares dediferentes frecuencias son:

x = Asen (1t+ 1) y = Bsen (2t+ 2) (1.87)

Tomemos como ejemplo el caso en el cual 1 =342, 1 = 0, 2 = pi/6, A = 1

y B = 2 la relacion entre las fases describe por ejemplo que cuando x recorre 3o, yrecorre 4o, donde la construccion se muestra en la figura 1.6.1

Ejemplo 11 Encontrar la ecuacion de la trayectoria del movimiento resultante de dos movimien-tos armonicos simples perpendiculares, cuyas ecuaciones son x = 4sent y y = 3sen (t+ ), cuando

22


Figura 1.17: Construccion de una figura de Lissajous cuando 1 =342,

1 = 0, 2 = pi/6, A = 1 y B = 2

= 0, pi/2 y pi. Hacer un grafico de la trayectoria de la partcula en cada caso y senalar el sentido enel cual viaja la partcula.

Solucion: despejando de la primera de estas ecuaciones tenemos sent = x/4, que al remplazarloen la segunda de las ecuaciones tenemos

y

3=x

4cos+

1 x

2

16sen (1.88)

para = 0 y = 34x, lo cual corresponde a una lnea recta de pendiente positiva, para = pi/2x2

16 +y2

9 = 1, que representa una elipse, y para = pi y = 34x, que corresponde a una lnea dependiente negativa.

Para la direccion de la trayectoria de la combinacion de los movimientos, se deben obtener lascomponentes de las velocidades, es decir vx = 4cost y vy = 3cos (t+ ), para x = 0 se tiene quet = 0, en este caso:

vx = 4 (1.89)

vy = 3cos

= 0 vy = 3 = pi/2 vy = 0 = pi vy = 3

(1.90)

23


Figura 1.18: Trayectorias de los movimientos para diferentes valores de

1.7. Movimiento Amortiguado

Todos los sistemas oscilantes descritos, poseen perdida de energa a causa de la friccion; por ejemploun pendulo simple despues de algunas oscilaciones disminuye la amplitud de sus oscilaciones, este tipode movimiento en el cual se considera la disminucion de la amplitud Fig. es el movimiento oscilatorioamortiguado. En los fluidos como el aire, la fuerza de amortiguamiento a bajas velocidades se consideraproporcional a la velocidad del objeto v, donde es una constante que depende de la viscosidaddel medio y de la forma del objeto, por ejemplo para un objeto esferico de radio R, esta dada por = 6piR, donde es la viscosidad del medio. Para el caso de medias y altas velocidades, esta fuerzaen el aire es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Para ilustrar el movimiento oscilatorio amortiguado, consideremos un cuerpo unido a un resorteque se mueve en un fluido, en este caso las fuerzas que actuan sobre el cuerpo son la de restauraciondel resorte y la de amortiguamiento; la ecuacion del movimiento del cuerpo es:

md2x

dt2= v kx, (1.91)

que puede ser escrita como:

d2x

dt2+

m

dx

dt+k

mx = 0 (1.92)

La energa que se disipa debido a la fuerza de amortiguamiento se puede calcular multiplicandola fuerza por la velocidad esto es dEdt = vv = v2, lo cual quiere decir que esta energa esmaxima cuando la velocidad es maxima. La solucion de esta ecuacion resultante puede ser obtenidade dos formas una es notando la forma de exponencial decreciente en la amplitud de las oscilacionesamortiguadas, tomando en este caso la solucion en la forma:

x (t) = Aetsen (At+ ) (1.93)

Donde se deben determinara la constante de amortiguamiento y la frecuencia de oscilacion conamortiguamiento, calculando la primera y segunda derivadas de (1.93) y remplazando en (1.92), seobtiene:

dx

dt= Aetsen (At+ ) + AAetcos (At+ ) (1.94)

24


Figura 1.19: Amplitud de una oscilacion subamortiguada en funcion del tiempo

d2x

dt2= A2etsen (At+ ) 2AAetcos (At+ )2AAetsen (At+ )

(2 2A

m+k

m

)Aetsen (At+ ) +

(2A + A

m

)Aetcos (At+ ) = 0 (1.95)

Donde surgen las condiciones:

2 2A

m+k

m= 0 (1.96)

2A + A m

= 0

De donde se obtienen los valores de y A:

=

2m(1.97)

A =

k

m

2

4m2=20 2

Otro metodo para la solucion de la ecuacion diferencial (1.92) es el metodo para la solucion deecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes, el cual consiste en tomar unasolucion de la forma est y remplazarla en la ecuacion con sus respectivas derivadas, lo que convierte laecuacion (1.92) en:

s2 +

ms+

k

m= 0 (1.98)

cuya solucion para s es:

s = 2m2 20 (1.99)

25


Con estos valores de s se pueden obtener tres solucion, las cuales tienen significados fsicos difer-entes, para el caso en el cual 0 > , el movimiento oscilatorio de denomina subamortiguado y eneste caso los valores de s son s = i

20 2, donde las soluciones complejas producen funciones

sinusoidales de la forma (1.95). Cuando = 0, las oscilaciones se llaman crticamente amortiguadasy en este caso las soluciones para s son s = y la solucion de la amplitud de las oscilaciones es:

x (t) = (At+B) et (1.100)

Para el caso en el cual > 0, las soluciones son reales y no se producen oscilaciones, en este casocuando se pone a oscilar la amplitud decaera rapidamente sin producir oscilaciones, los valores de s,estan dados por (1.99) y x (t) como:

x (t) = Ae

(+220

)t

+Be

(220

)t

(1.101)

Ejemplo 12 Encontrar la ecuacion del movimiento para una oscilacion sub amortiguada cuyasposicion y velocidad inicial son x0 y v0.

Solucion: Las ecuaciones de la posicion y velocidad en este caso son:

x = Aetsen (t+ )

v = Atsen (t+ ) +Atcos (t+ )Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones:

x0 = Asen

v0 = Asen+Acos,remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuacion obtenemos

v0 = x0 + x0cossen

tan =x0

v0 + x0,

lo cual corresponde a un angulo con lados opuesto y adyacente x0 y v0 + x0 e hipotenusax20

2 + (v0 + x0)2, de esta forma la amplitud se convierte en

A =x0sen

=

x20

2 + (v0 + x0)2

Obteniendose finalmente la ecuacion del movimiento como:

x (t) =

x20

2 + (v0 + x0)2

etsen

(t+ tan1

(x0

v0 + x0

))(1.102)

Ejemplo 13 Encontrar la ecuacion del movimiento para una oscilacion criticamente amor-tiguado cuyas posicion y velocidad inicial son x0 y v0.


x = (At+B) et

v = Aet (At+B) et = (A B At) et

Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones:

26


x0 = B

v0 = (A B) ,remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuacion obtenemos

A = x0 + v0


x (t) = ((x0 + v0) t+ x0) et

Ejemplo 14 Encontrar la ecuacion del movimiento para una oscilacion sobre amortiguadocuyas posicion y velocidad inicial son x0 y v0.


x = Ae

(+2+20

)t

+Be

(2+20

)t

v = A

( +

2 + 20

)e

(+2+20

)t

+B

(

2 + 20

)e

(2+20

)t

Remplazando las condiciones iniciales obtenemos las ecuaciones:

x0 = A+B

v0 = A

( +

2 + 20

)+B

(

2 + 20

),

remplazando la primera de estas ecuaciones en la segunda ecuacion obtenemos

A =v0 x0 + x0

2 + 20

22 + 20

y

B == v0 + x0 + x0

2 + 20

22 + 20


x (t) =v0 x0 + x0

2 + 20

22 + 20

e

(+2+20

)t

+v0 + x0 + x0

2 + 20

22 + 20

e

(2+20

)t

1.8. Oscilaciones Forzadas

Las oscilaciones forzadas son otro tipo de oscilaciones, en las cuales una fuerzaexterna, que genera las oscilaciones, supongamos nuevamente el caso de un resorte alcual se le aplica una fuerza externa Fe = F0cosf t, en este caso la ecuacion 1.92 semodifica en:

d2x

dt2+

m

dx

dt+k

mx =

F0mcosf t (1.107)

27


En este caso las oscilaciones son producidas por la accion de la fuerza externa portal motivo el movimiento armonico simple con frecuencia f , es decir:

x (t) = Asen (f t+ ) , (1.108)

donde en este caso se deben determinar la amplitud A y la fase del movimiento,con esta solucion la ecuacion (1.108), se convierte en:

A2fsen (f t+ ) +Af

mcos (f t+ ) +

kA

msen (f t+ ) =

F0mcos (f t) (1.109)

Con la ayuda de las identidades trigonometricas sen (f t+ ) = sen (f t) cos () +cos (f t) sen () y cos (f t+ ) = cos (f t) cos () + sen (f t) sen (), esta ecuacionpuede ser escrita como:

(A2fcos

Af

msen +

kA

mcos

)senf t+ (1.110)(

A2fsen +Af

mcos +

kA

msen F0

m

)cosf t = 0,

de donde se obtienen las dos condiciones:

A2fcosAf

msen +

kA

mcos = 0 (1.111)

A2fsen +Af

mcos +

kA

msen F0

m= 0

De la primera de las ecuaciones (1.112), se tiene:

tan =m

f

(k

m 2f

)=20 2f

2f(1.112)

Esta expresion para la tan, puede ser representada mediante un triangulo como elde la figura1.20, a partir de la cual se pueden obtener las expresiones para el sen y elcos

La segunda expresion de (1.112), se convierte en:

20 2f(20 2f

)2+ 422f

(20 2f

)A+

2f(20 2f

)2+ 422f

A2f =F0m

(1.113)

de donde

A =F0/m(

20 2f)2

+ 422f

(1.114)

28


Figura 1.20: Representacion geometrica del angulo

De esta expresion, se puede observar que la amplitud tiene una dependencia de f ,ademas esta amplitud es maxima cuando el denominador de (1.114) es mnimo, lo cualocurre cuando 0 = f , es decir que la frecuencia forzada es igual a la frecuencia propiadel sistema, en este caso se dice que el sistema se encuentra en resonancia y la frecuenciaa la cual s presenta este fenomeno de denomina frecuencia de resonancia, un ejemplosimple de resonancia se presenta cuando se columpia un nino, el sistema puede serconsiderado como un pendulo el cual posee una frecuencia propia del sistema, en estecaso la fuerza externa es la proporcionada por la persona que impulsa el nino, cuandola frecuencia de la fuerza impulsadora coincide con la frecuencia propia del sistema laamplitud del nino es mayor.

La velocidad con la cual se mueve el objeto al cual se le aplica la fuerza externa es:

v = Afcos (f t+ ) (1.115)

La velocidad maxima es:

v = Af =F0f/m(

20 2f)2

+ 422f

=F0

2 + (mf k/f )2(1.116)

El valor mas alto de esta velocidad maxima, ocurre cuando 0 = f , es decir cuandoel sistema se encuentra en resonancia, en este caso la energa cinetica presenta su maxi-mo valor, lo que demuestra que en resonancia la transferencia de energa es maxima.El cociente de la velocidad maxima es la impedancia Z, es decir;

Z =2 + (mf k/f )2, (1.117)

impedancia que a su vez esta compuesta de la resistencia R = y la reactanciaX = mf k/f , por tanto tan = X/R. En el caso en el cual se encuentra enresonancia X = 0, lo que implica que = 0, en este caso el factor Q = cos2 = 1,el cual se denomina factor de calidad y su valor es maximo cuando se encuentra enresonancia es decir se produce la mayor transferencia de energa. La velocidad puedeser escrita como:

v =F0Zcos (f t+ ) (1.118)

29


La potencia que es la energa transferida por unidad de tiempo, que tambien esmaxima en resonancia esta dada por:

P = Fv =F 20Zcos (f t+ ) cosf t =

F 20Z

(cos2f tcos senf tcosf tsen

)(1.119)

La potencia promedio es entonces

P =F 20Zcos (1.120)

Ejemplo 15 Un nino juega con un resorte de constante k = 20 N/m, longitud natural l0 = 5cm y friccion despreciable del cual cuelga una masa m = 200 g, sujetando el otro extremo del resorteentre sus dedos, con la mano extendida horizontalmente. El nino agita la mano arriba y abajo, con unaamplitud A = 2 cm y una frecuencia . Determine la posicion de la pesa, si esta oscila con la mismafrecuencia que la mano. En que condiciones la pesa llegara a golpearle la mano?

Figura 1.21: Movimiento de una pesa por un nino

El movimiento de la pesa es vertical,de forma que podemos usar una sola di-mension. Sea Y la direccion vertical y ha-cia abajo, medida desde la posicion cen-tral de la mano, de forma que esta ocupala posicion

y1 = c cos(t),

Observese que es una frecuencia ar-bitraria (la que quiera darle el nino almover su mano) y no tiene por que co-incidir con la que tendra el resorte si os-cilara libremente (frecuencia natural)

6= 0 =k

m= 10

rad

s

La pesa esta sometida a la accion dedos fuerzas: su propio peso y la fuerzaelastica ejercida por el resorte.

F = mg k(y y1 l0),

siendo l0 la longitud natural del resorte (que aqu debemos tener en cuenta porque queremos ver enque caso el resorte se encoge del todo). La cantidad y1 aparece porque la ley de Hooke es dependientedel estiramiento total del resorte, y este depende tanto de la posicion inicial como de la final.La ecuacionde movimiento para la pesa es entonces

md2y

dt2= mg k(y y1 l0)

Sustituyendo y1 nos queda la ecuacion de movimiento

md2y

dt2+ ky = mg + kl0 + kc cos(t)

30


Sabemos que la pesa oscila con la misma frecuencia que la mano del nino. Estas oscilaciones lashara en torno a una cierta posicion de equilibrio, as que la solucion la podemos escribir en la forma

y = y0 +Asen(t+ ),

donde y0 (la posicion central de las oscilaciones), A es la amplitud que hay que determi-nar.Sustituyendo en la ecuacion de movimiento y nos queda

Am2sent cosAm2 costsen+ky0 +kAsent cos+kA costsenmgkl0 = kc cos(t)Si esta ecuacion debe cumplirse en todo instante, el coeficiente del coseno, el del seno, y el del

termino independiente deben ser iguales a un lado y a otro de la igualdad. Esto nos da tres ecuaciones:

ky0 mg kl0 = 0 y0 = mgk

+ l0,

Am2 cos+ kA cos = 0 =k

m,

Am2sen+ kAsen = kc A = c20

20 2El desfase , depende de si la frecuencia es menor o mayor que la frecuencia natura. Si < 0

implica que = pi/2, y la pesa oscila en fase con la mano, cuando la mano sube, la pesa sube, y sibaja, la pesa baja. Si > 0 implica que = pi/2, y la pesa oscila en contrafase con la mano: cuandola mano sube, la pesa baja, y viceversa.

Con lo que la solucion para la posicion de la pesa es

y0 =(mgk

+ l0

)+

c2020 2 sen(t pi2 )

Resulta que la posicion central es la misma que si no hubiera oscilaciones de la mano

y0 =mg

k+ l0 = 14,8cm

Esta amplitud tiene un maximo (teoricamente infinito), justo a la frecuencia natural.A muy bajasfrecuencias la amplitud coincide con al de oscialcion de la mano (ya que esta se mueve tan despacioque la pesa simplemente la sigue arriba y abajo). A altas frecuencias, la vibracion de la mano es tanrapida que la pesa no es capaz de seguirla y su amplitud de oscilacion tiende a 0.

La pesa chocara con la mano cuando la posicion de la pesa y la posicion de la mano coincidan,esto es

y = y1 y0 + c2020 2

sen(t pi2 ) = c cos(t)Para que este choque se produzca, la amplitud de oscilacion debe ser lo suficientemente grande,

lo cual solo ocurre cerca de la frecuencia propia (o frecuencia de resonancia). Habra entonces unafrecuencia mnima a la cual se producira este choque, y tambien una frecuencia maxima.

Si la frecuencia es menor que la frecuencia propia, la pesa oscila en fase con la mano, esto es, quesi la mano sube la pesa tambien, y lo mismo si baja. Pero, dependiendo de la frecuencia, la amplitudde estas oscilaciones ira aumentando, y la frecuencia mnima se alcanzara cuando la pesa toque unasola vez a la mano.

Esta colision, de producirse, ocurrira cuando la mano este en su punto mas alto, momento en quela pesa tambien estara en su punto superior. Esto ocurre para t = nT + T/2.

y0 kck m2 = c

31


y obtenemos la frecuencia lmite

min =

k

m kcm(y0 + c)

= 0

y0

y0 + c= 9,39rad/s

Segun hemos dicho cuando la frecuencia es mayor que la frecuencia natural, la pesa oscila al revesque la mano, si una sube, la otra baja. A frecuencias altas , la pesa nunca llega a la altura de la mano.La posicion extrema en que se produce la colision es aquella en que la mano esta en su punto masbajo, y la pesa en su punto mas alto. Esto ocurre en t = nT

y0 +kc

k m2 = clo que nos da la frecuencia

max =

k

m+

kc

m(y0 c) = 0

y0y0 c = 10,75rad/s

1.8.1. Oscilaciones forzadas en un circuito RLC en serie

Un circuito formado por una resistencia R, un condensador C y una inductancia L,conectadas en serie y alimentados por una fuente de tension de corriente alterna V0cost,como el de la figura , la diferencia de potencial para la resistencia, el condensador y elinductor en funcion de la carga Q y la corriente I son:

Figura 1.22: Circuito RLC en serie con fuente de tension de alterna

VL = LdIdt, VC =

QC, VR = IR

De acuerdo con la ley de Ohm la suma de los potenciales en un lazo cerrado debeser cero, esto es:

LdI

dt+RI +

Q

C= V0 cos(f t) (1.121)

donde la relacion entre la carga y la corriente es I = dQdt

, con lo que la ecuacion(1.121) se convierte en:

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+Q

C= V0 cos(f t) (1.122)

32


esta ecuacion es similar a la ecuacion (), realizando una analoga tenemos que m esanalogo a L, R es analogo a , k es analogo a 1/C y V0 es analogo a F0. La solucion eneste caso es de la forma:

Q (t) = Asen (f t+ ) (1.123)

donde

tan =20 2f2Rf

(1.124)

donde

0 =

1

LC(1.125)

de igual forma:

A =V0/L(

20 2f)2

+ 4R22f

(1.126)

Para el caso de no existir fuente de potencial el sistema se comporta como un

oscilador amortiguado, donde = R2L

y A =20 2. Cuando R = 0, el sistema se

un oscilador de frecuencia 0.Para buscar la expresion de la energa que se conserva en el caso del circuito, com-

paramos las ecuaciones del oscilador mecanico y del circuito. Si recordamos que en eloscilador mecanico la energa potencial elastica es

Ep =1

2kx2 (1.127)

la analoga nos lleva a identificar la energa

Ee =Q2

2C(1.128)

Esta es la energa potencial electrostatica. Esta asociada a la carga electrica al-macenada en las placas del condensador. Para buscar el analogo a la energa cinetica,establecemos la analoga entre la velocidad y la intensidad de corriente. As pues, poranaloga con la energa cinetica llegamos a la energa

Em =1

2LI2 (1.129)

Esta es la energa magnetica. Esta asociada al campo magnetico producido porla corriente electrica. En el oscilador mecanico, la energa mecanica es la suma de lapotencial elastica y la cinetica. En el circuito, definimos una energa total como la sumade la energa potencial electrostatica y la magnetica

33


E = Ee + Em =Q2

2C+

1

2LI2 (1.130)

Al igual que en el caso mecanico, esta energa se conserva. El comportamiento delcircuito puede entenderse como un intercambio entre la energa electrica y la magnetica.

34

Captulo 2

Movimiento Ondulatorio

2.1. Introduccion

Si en un punto de un medio material cualquiera (solido, lquido o gas), seproduce una perturbacion, que desplaza de su posicion de equilibrio la partculasituada en el mismo, como por ejemplo cuando se deja caer un objeto en el agua,la perturbacion no permanece localizada en el lugar que se produjo la perturbacion,sino que despues de cierto tiempo este se transmite a las partculas circundantes.El proceso descrito anteriormente recibe el nombre de propagacion de una perturbacion.

El lugar en el cual se produce la perturbacion se conoce como foco de la pertur-bacion, en el caso de la perturbacion sobre la superficie del agua, esta perturbacionproduce ondas circulares con centro en el foco de la perturbacion.

Cuando una perturbacion se propaga en una superficie o en el espacio, como porejemplo el sonido, la intensidad disminuye rapidamente al aumentar la distancia entreel punto del espacio y el foco de la perturbacion, es decir con amortiguamiento, esteno es el caso de una pulsacion sobre una cuerda tensa, sobre la cual la perturbacionavanza una gran distancia sin experimentar una disminucion sensible en su intensidad.

Cuando la partcula sobre la que se produce la perturbacion, se desplaza de suposicion de equilibrio, comienza a vibrar, produciendose nuevas perturbaciones, lascuales en la mayora de los casos se amortiguan rapidamente, de modo que al cabo decierto tiempo el movimiento de la partcula sobre la que se produjo la perturbacioncesa practicamente, cabe aclarar que en la propagacion de una perturbacion no son laspartculas del medio las que se propagan desplazandose de un lugar a otro. En estecaso lo que se propaga es la energa del foco de vibracion, conservandose en este casolas posiciones medias de las partculas. Esta situacion pude ser observada, cuando setiene un corcho flotando en el agua, en este caso las ondas pasan haciendo subir ybajar el corcho pero sin arrastrarlo con ellas, confirmando que las moleculas de aguano avanzan con las ondas.

35


En el caso en el cual el foco y las partculas circundantes vibran con movimientoarmonico simple, el movimiento se conoce como ondulatorio y es el caso mas simple.

2.2. Descripcion matematica de la propagacion

Consideremos una funcion (x), la cual describe una perturbacion inicial, en casode cambiar la posicion x, por la posicion x x, se obtienen la funcion (x x),funcion que representa la misma funcion de perturbacion, pero en este caso la funcionha sido desplazada hacia la derecha en caso de ser x positivo, de forma similar en elcaso (x+ x), se obtiene un desplazamiento hacia la izquierda.

Si la posicion x = vt, donde t es el tiempo y v es la velocidad de las ondas, la cuales conocida como velocidad de fase, se tiene dos ondas una onda que viaja hacia laderecha y otra que viaja hacia la izquierda, de donde se concluye que una funcion de laforma

(x vt) (2.1)describe una onda que viaja.o se propagasin deformacion en la direccion X, la

funcion , puede representar diferentes cantidades fsicas, como por ejemplo, la defor-macion de un solido, la deformacion de un resorte, la presion de un gas, un campoelectrico, un campo magnetico, etc.

Un caso muy comun y especialmente interesante es aquel en el cual la funcion (x, t),es una funcion sinusoidal o armonica tal como:

(x, t) = 0sen (kx t) (2.2)donde k es el numero de onda, que es el numero de longitudes de ondas que estan

contenidas en una distancia de 2pi, , es la longitud de onda, es decir el periodo espacial,esto es la distancia a la cual la onda se repite a si misma, por lo tanto k = 2pi/, esla frecuencia angular o cclica de la onda, la cual se define como = 2pif , donde f esla frecuencia de la onda, que define cuantas veces se repite la onda en un segundo, untermino similar es el periodo T , el cual es el inverso de la frecuencia, T = 1/f , el cuales el tiempo en el cual se repite a si misma la onda, no se debe confundir el periodoespacial y el periodo temporal T los cuales son diferentes fsicamente.

Debido a que los campos asociados a un proceso fsico estan gobernados por leyesdinamicas, las cuales pueden expresarse en forma de ecuaciones diferenciales, estamosen la necesidad de encontrar una ecuacion diferencial que sea aplicable a todo tipo demovimiento ondulatorio, por ende al investigar las derivadas, de la funcion de onda, seobtendra esta ecuacion denominada ecuacion de onda, si en la ecuacion (2.1) realizamosel cambio de variables u = x vt, y utilizando la regla de la cadena obtenemos.

x=

u

u

x=

u(2.3)

de forma similar la segunda derivada espacial pude ser obtenida en la forma

36


2

x2=(x

)x

=(x

)u

u

x=2

u2(2.4)

donde la derivada parcial ux

= 1, de forma similar se obtiene la derivada temporal

con una pequena diferencia en la derivada parcial ut

= v, con esto (v)2 = v2, seobtiene la segunda derivada parcial temporal en la forma

2

t2=2

u2v2 (2.5)

remplazando (2.4), en (2.5) se obtiene la ecuacion diferencial de ondas como

2

t2= v2

2

x2(2.6)

2.3. Ondas de presion en una columna de gas

Consideremos una onda que se propaga a traves de un gas, por ejemplo una ondasonora, en este caso existen regiones en las cuales la presion del gas es ligeramentemenor que la presion media del gas y regiones donde la presion del gas el ligeramentemayor que la presion media del gas, supongamos que P0 y 0, la presion y densidaddel gas en condiciones de equilibrio, las cuales en esta condicion se mantienen en entodo el volumen del gas, para simplificar el analisis del problema, consideremos que elgas se encuentra encerrado en un tubo cilndrico figura1.5, en el caso de la propagacionde una onda la diferencia de presiones un pequeno volumen de espesor dx, se pone enmovimiento figura1.5, de modo que el nuevo espesor del pequeno volumen es dx+ d,debido al cambio que ocurre en el volumen la densidad del gas es modificada, pero porel principio de conservacion de la masa la masa antes 0Adx y despues A (dx+ d)dela deformacion deben ser iguales, de esta igualdad y despejando , se obtiene:

=0

1 + /x(2.7)

Realizando la division (desarrollo binomial) obtenemos:

= 0[1 /x (/x)2 + (/x)3

](2.8)

en caso de la deformacion ser pequena, se pueden despreciar los terminos de ordensuperior quedando la expresion para la densidad finalmente como:

= 0 [1 /x] (2.9)Debido a que la presion P en un gas esta determinada por la ecuacion de estado, la

cual para un gas ideal es de la forma PV = NRT , lo cual indica que la presion es unafuncion del volumen y por ende de la densidad , lo cual se puede escribir en general dela forma P = f (). Utilizando el desarrollo de Taylor para esta funcion de la presionse tiene

37


Figura 2.1: Ondas de presion en una columna de gas

P = P0 + ( 0)(dP

d

)0

+1

2( 0)2

(d2P

d2

)0

+ (2.10)

Para pequenas variaciones de la densidad, se pueden despreciar los terminos deorden superior y escribir

P = P0 + ( 0)(dP

d

)0

(2.11)

El termino G = 0(dPd

)0, se conoce como modulo de elasticidad de volumen, el cual

al ser remplazado, en la ecuacion anterior se obtiene la ley de Hooke para los fluidos

P = P0 +G

( 00

)(2.12)

Remplazando la ecuacion (1.45) en (1.47), tenemos

P = P0 Gx

(2.13)

Debido a que existe movimiento de un pequeno volumen, se debe obtener la ecuaciondel movimiento del mismo esto es:

(P P )A = AdP = dm2

t2(2.14)

pero el diferencial de masa es dm = 0Adx, la cual al ser remplazada se tiene

AdP = 0Adx2

t2o

P

x= 0

2

t2(2.15)

38


Remplazando la ecuacion (1.49) en la ecuacion (1.51)

x

(P0 G

x

)= 0

2

t2o

2

t2=G

0

2

x2(2.16)

Donde hemos llegado a una ecuacion similar a la ecuacion de ondas (1.6), concluyen-do que la expresion para la velocidad de las ondas en una columna de gas es

v =G/0 (2.17)

De la ecuacion (1.49), se puede notar que

2P

t2= G

3

xt2(2.18)

y de (1.51)

3

xt2= 1

0

2P

x2(2.19)

Combinando (1.54) con (1.55), se obtiene la ecuacion de ondas para la presion

2P

t2=G

0

2P

x2(2.20)

Lo cual explica porque a este tipo de ondas se les llama ondas de presion, de formasimilar se llega a una ecuacion de ondas para la densidad, en la forma

2

t2=G

0

2

x2(2.21)

Cuando se tiene el movimiento ondulatorio en un gas este proceso es adiabatico,en un proceso adiabatico se cumple P = C, donde , es una cantidad conocidacomo coeficiente politropico del gas, si remplazamos esta expresion en la ecuacion paraG = 0

(dPd

)= 0C

1, pero C = P, obteniendose

G = P0 (2.22)

Encontrando que la velocidad del sonido en un gas es

v =P/ (2.23)

para un gas ideal PV = NRT , lo cual es similar a Pm/ = NRT , con esto lavelocidad del sonido en un gas en funcion de la temperatura toma la forma

v =NRT/m =

RT/M (2.24)

donde M = m/N , es la masa de un mol del gasEjemplo:Calcular la velocidad de propagacion del sonido en el hidrogeno(H),nitrogeno(N) y oxgeno(O) a 0oC, Tomar = 1,4, compararlos con los valoresexperimentales vH = 1269,5m/s, vN = 339,3m/s, vO = 317,2m/s

39


La masa molecular de los elementos se puede extraer de la tabla periodica comoMH = 1g/mol, MN = 14g/mol y MO = 16g/mol, la temperatura es T = 273,15

oK y laconstante de los gases es R = 8,3143Jo/oKmol, con esto los valores para las velocidadesteoricas sonvH = 1260,8m/s, vN = 337m/s, vO = 315,2m/s, valores muy cercanos a los valoresexperimentales, se debe tener en cuenta que estas moleculas son diatomicas

Ejemplo: La temperatura de la atmosfera en sus capas bajas decrece con la alturacomo T = T0 kz T0 = 20oC, k = 6oC/km. Un avion rompe la barrera del sonidocuando se encuentra a 8 km de altura. Cuanto tarda el sonido en llegar al suelo?

Se puede hacer una estimacion del resultado, para ver si el efecto de la variaciontermica es apreciable.

La temperatura en el camino del sonido vara desde 20 oC al nivel del suelo hasta(20 - 68) oC=-28 oC a la altura del avion h = 8 km. La velocidad del sonido a estasdos alturas es:

v(20 oC) = (331 + 0,6 20) ms

= 343m

s

v(28 oC) = (331 0,6 28) ms

= 314,2m

s

El tiempo que tarda el sonido en llegar al suelo estara entre los correspondientes aestas dos velocidades

t(20 oC) =h

v(20 oC)= 23,3 s

(28 oC) = hv(28 oC) = 25,5 s

Para obtener el valor exacto se tiene que:

v =dz

dto v0 + 0,6 T = 331 + 0,6 (20 0,006z) = 343 0,0036z = dz

dt

de donde

t = ln (343 0,0036z)0,0036

8000

0

= 24,36s

2.4. Ondas longitudinales en una barra

Cuando se produce una perturbacion, esta perturbacion se propaga a traves de labarra y se siente en otros lugares de la barra, en este caso se dice que se ha propagadouna onda elastica a lo largo de la barra, a medida que se propaga la perturbacion, loselementos de la barra se deforman (se alargan y se contraen) y se desplazan.

40


Figura 2.2: Ondas longitudinales en una barra

Para analizar la propagacion de estas ondas en la barra, consideremos una barracilndrica de seccion transversal A, de esta barra cilndrica tomamos un elemento difer-encial de volumen de ancho dx, a causa de la perturbacion este elemento diferencial sedeforma una cantidad d, de tal forma que el nuevo ancho del elemento diferencial esdx+ d, la deformacion unitaria o deformacion por unidad de longitud esta definidacomo la razon entre la deformacion y el elemento de longitud deformado

=

x(2.25)

Una relacion entre el esfuerzo normal y la deformacion unitaria se establece por laley de Hooeke, la cual define que el esfuerzo normal es proporcional a la deformacionunitaria

n = Y = Y

x(2.26)

donde la constante Y , es el modulo de elasticidad de Young del material de la barra,las unidades del modulo de Young son N/m2, pero el esfuerzo normal se define comola fuerza por unidad de area es decir

n = F/A (2.27)

con la utilizacion de estas ultimas ecuaciones se puede escribir la fuerza como

F = nA = Y A = Y A

x(2.28)

El movimiento del elemento de barra esta determinado por las fuerzas que actuansobre el, y que tratande llevarlo a la posicion de equilibrio. Las fuerzas que actuanson la fuerza F que ejerce la parte de la barra que se encuentra a la izquierda del

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elemento y la fuerza F que ejerce la parte de la derecha de la barra, como se muestraen la figura 1.6.

De acuerdo con la Segunda Ley de Newton, tenemos:

F F = dF =(F

x

)dx = dm

2

t2(2.29)

el elemento diferencial de masa puede ser escri

ondas problemas

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