OndasdeMateriaEcuacióndeSchrödinger

Física3‐2012FacultaddeIngenieríaUNMDP

ProblemasabiertosdelafísicaclásicaafinesdelsigloXIXAntecedentesdelamecánicacuántica

Radiacióndecuerponegro Efectofotoeléctrico

• Todocuerpoatemperaturamayora0Kemiteradiaciónentodoelespectrodefrecuencias.

• Elespectrodeemisióndependetantodelafrecuenciacomodelatemperatura.

• Uncuerponegromodelauncuerpoqueescapazdeabsorbertodalaradiaciónqueincidesobreél.

• Luzincidentesobreunmetalconunafrecuenciamayoraciertoumbralproduceunacorriente.

• Lacorrienteapareceenformacasiinstantánea,aunparaluzdemuybajaintensidad.

• Lacorrienteesproporcionalalaintensidadquellegaalasuperficiedelmetal.

Observacionesexperimentales

Conformelatemperaturaaumentacrecelapotenciaemitidayelpicodeladistribuciónsecorrehacialongitudesdeondamascortas,del

infrarrojoalultravioleta.

RadiacióndecuerponegroObservacionesexperimentales

Termografía

TodocuerpocontemperaturaT>0Kemiteradiación.

RadiacióndecuerponegroPrediccionesdelateoríaclásicaylasolucióndePlanck

Prediccióndelateoríaclásica

Lateoríadelelectromagnetismoclásico,predicequeuncuerponegroidealenequilibriotérmico

debeemitirenergíaentodoslosrangosdefrecuencia;demaneraqueamayorfrecuencia,mayorenergía.Estodaalugaralfenómenoconocidocomocatástrofedelultravioleta.

TeoríadePlanck(1900)

SoluciónUncuerponegropuedeemitirradiaciónenpaquetesdiscretosocuantos,conenergías,quesonmúltiplosdelaenergía

E=hfdondehesunaconstanteyfesla

frequenciadelaradiación.

h=6.62x10‐34JoulesecSurgeasíunanuevaconstantefundamentaldelanaturaleza,quedeterminadóndecobran

relevancialosfenómenosaescalamicroscópica.

EfectofotoeléctricoRatificaelconceptode“cuanto”quesurgeenlateoríadePlanck

Solución

Prediccióndelateoríaclásica

Conelelectromagnetísmoclásiconoeraposibleexplicarlaexistenciadeunafrecuenciaumbralnilaemisióncuasi‐instantáneadelosfotoelectrones.

TeoríadeEinstein(1905)• Laluzestácompuestaporpartículasllamadasfotones• AsíunfotónalinteractuarconelelectróntieneunaEnergíaE=hf.ProductodeestainteracciónlaenergíafinaldelelectrónseráEk=hf–φ, dondeφeslafuncióntrabajodelmetal.Dadoqueeleventoesunacolisión,laemisiónesinstantaneaylageneracióndefotoelectronesesunoaunoconrespectoalosfotonesincidentes.

OtrasevidenciasdelosfotonesLaprolongadaexposiciónarayosUVgenerancáncerdepiel(MELANOMA)dadoquelaenergíadelosfotonesUV(~1eV)estáenelordendelaunionesquímicaenlasmoléculasdenuestroADN;noasíladesucelularRF(~0.06meV)Nuestroojodetectacoloresgraciasaquefotonesdedistintasenergíasdisparanreaccionesquímicasdiferentesenlascélulasdenuestraretina.

LaluzesunaONDÍCULACuriosidadesacercadeladualidaddelaluz

ONDÍCULA

Evolucióndenuestroconocimientoacercadelanaturalezadelaluz

TeoríacorpusculardeNewton(1704)

Modelocorpuscular

FenómenosdeInterferenciaydifraccióndeLuznopodíanser

explicadosporelmodelocorpuscular.

TeoríaondulatoriaHuygens,Young,Fresnel,

Arago(1790)

TeoríadeEF(Fotón)Einstein(1905)

Louis V. de Broglie presenta su tesis doctoral en 1923, en la que sugiere que las partículas con masa deberían tener propiedades ondulatorias similares a la luz.

La longitud de onda para las ondas de materia se conoce como longitud de onda piloto de de Broglie

Silaluzpuedeactuarcomounapartícula(Fotón).¿Porquéno

podránlaspartículasdemateriacomportarsetambién

comoondas?

¿SeránONDÍCULASlaspartículasdemateria?HipótesisdedeBroglie

Longitud de onda piloto de de Broglie

Constante de Planck

Momento de la partícula

Nuestroconocimientotradicionaldepartículareferenciaaalgoqueestá“LOCALIZADO”‐confinadoenelespacioconunaposiciónyunmomentodefinido.

Partícula Onda

Nuestroconocimientotradicionaldeunaondaestárelacionadoconalgo“DE‐LOCALIZADO”‐dispersoenelespacioyeltiempo

¿Cómopodríamosrepresentartantoaunaondacomoaunapartícula?

Paquetedeonda

SobrelasondasylaspartículasConceptosypaquetedeonda

Las velocidades de las ondas individuales que se superponen para formar elpaquete deondas sondiferentes demodoque el paquete, comoun todo, tieneunavelocidaddiferentealadesuscomponentes.• Velocidadde fase (Vf): La velocidada laque la fasede laonda sepropagaenelespacio.• Velocidad de grupo (Vg): La velocidad a la que la envolvente del paquete deondassepropaga.

Vg =dωdk

=d(ω )d(k)

=dEdP

=ddP

P2

2m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=Pm

= Vp

PaquetesdeondaVelocidaddefaseygrupo

• LasdesigualdadesdeHeisenbergsonunaconsecuenciaimportantedeladualidadonda‐partículadelamateriaylaradiaciónyesinherenteasunaturalezacuántica.• Unadelasdesigualdadespostula,quelaposiciónyelmomentodeunobjetonoestándefinidosconexactitudsimultáneamente.

ΔxΔpx ≥h2π

ΔEΔt ≥h2π

Posición/momento Energía/tiempo

Posición/momentoyEnergía/tiemposeconocenconelnombredevariablesconjugadas

DosconsecuenciasimportantesdelasdesigualdadesdeHeisenbergson:

• Latrayectoriadeunaparticulanoestábiendefinidaeneldominiocuántico• Laincertezaesinherentealdominiocuánticoynadatienequeverconlainteracciónconlosinstrumentosdemediciónolaintervencióndelobservador

DesigualdadesdeHeisenbergVelocidaddefaseygrupo

InterferenciadedoblerendijaTrabajandoconpartículasyondas

Ondas

PartículasEsperamosquelaspartículaspasenporlarendija(1)ó(2).Observamosasiunpatrónquesecorreponde

conlasumadelasfigurasdedifracción

PatróndeInterferenciadeelectrones

Sisemideladistribucióndeeletronessobreunasuperficiedetectoraconformepasaeltiempo,seobservaunpatróndeinterferencia.Estoindicaqueloselectronesnopudieronhaberpasadopor(1)opor(2)tallosuponemosparaunapartículasinoquedebieronpasarpor(1)y(2).

La hipótesis de de Broglie se cumple.

¡¡Los electrones son ondículas!!

EstofuéverificadoporDavidsson&GermerdelosBellLabs(1926)

Debemosbuscarunaecuaciónparamodelarladinámicadelasondículas

F=ma comoconsecuenciadelasdesigualdadesdeHeisenberg

• Latrayectoriadeunaparticulanoestábiendefinidaeneldominiocuántico

Pues

¿Entonces?

Ecuacióndeondaclásica

∂2E(x,t)∂x2

= εoµo∂2E(x,t)

∂t 2

Ecuación de Onda Simetrías

∂∂(−x)

∂∂(−x)

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ∂2

∂x2x -x

Inversión espacial (reflexión)

t -t ∂∂(−t)

∂∂(−t)

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ∂2

∂t 2

Inversión temporal

Soluciones

E(x,t) = Sen(kx −ωt)E(x,t) = Cos(kx −ωt)E(x,t) = ei(kx−ω t )

ω (k) = kcRelaciondedispersión

E =P2

2m+V (x)

Energía de una partícula en 1D

Enbuscadeunaecuaciónquedescribaladinámicadelasondículas

ω =2k2

2m+V (x)

ψ (x,t) = exp i(kx −ωt) i∂ψ ∂t

−2 ∂2ψ

∂x2Solución

Ecuación de Schrödinger en 1D

E = ωPlanck

p = hλ = k

De Broglie

ψ (x,t) Función compleja de variable real que representa el estado de la ondícula

LaecuacióndeSchrödingerdependientedetAlgunoscomentarios

•  LaecuacióndeSchrödingerdependientedeltiempodescribeladinámicadeunaondícula,norelativista(estoesconmasaenreposononulayvelocidadmuchomenorquec)

•  Laec.deSchrödingerdependientedeltiempoesunaecuacióndiferencialaderivadasparcialesenxyt.Adiferenciadelaecuacióndeondaclásica,esdeprimerordeneneltiempo.Enestesentidosecorrespondeconlaformadeunaecuacióndeltipodedifusiónquemodelaunprocesoirreversible.

•  Sussolucionessonfuncionescomplejasdevariablerealadiferenciadelascorrespondientesalaecuacióndeondaclásicadondelaparterealeimaginariasonsoluciones.Ahora conocemos la ecuación que describe la dinámica de una partícula en 1D pero el precio que debemos pagar es que sus soluciones (estado de la ondícula) son funciones complejas de variable real (no las podemos medir directamente).

Solución

Postulado (Interpretación de Born): La densidad de probabilidad de encontar una partícula en un pequeño intervalo de longitud δx entorno del un punto x en un tiempo t es igual a

Ψ(x,t)

2δx δ x→0⎯ →⎯⎯

x=a

b

∑ Ψ(x,t)2dx

a

b

∫

Ψ(x,t)

2δx

Dado que Ψ(x,t) es una función compleja de variable real. Cómo se corresponde con una medida fisica sobre el sistema?

RecordemosqueenlasOEM:elnúmerodefotonesporunidaddevolumenesproporcionalalaenergíaelectromagnéticaporunidaddevolúmen,porlotanto,acuadradodelaintensidaddelcampoelectromagnético.

Así la probabilidad total de encontrar a la partícula entre dos posiciones a y b es

a b

|Ψ|2

x

δx

Max Born

InterpretacióndelafuncióndeondaInterpretacióndeBorn

Ψ

2= Ψ*Ψ

ConservacióndelflujodeprobabilidadOtraspropiedadesinteresantes

∇ ⋅ J = −∂ρ ∂t

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo admite, por ser de segundo orden, dos soluciones linealmente independientes. Dado que éstas son complejas entonces:

Si es solución, , su conjugada compleja, también lo es.

(1) (2)

Notemos que es posible a partir de (1) y (2) construir una ecuación para el |Ψ(x,t)|2, simplemente multiplicando miembro a miembro (1) por Ψ* y (2) por Ψ.

ρ =|ψ (x,t) |2

J = −i2m

ψ * ∂ψ∂x

−ψ ∂ψ *

∂x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Pantalla

detectora

Flujoincidentedepartículascoherentes,oluz

d sinθ

D

θ

y Ψ1

Ψ2

Ψ = Ψ1 +Ψ2

Ψ

2= Ψ1

2+ Ψ2

2+Ψ

1

*Ψ2 +Ψ1Ψ 2

*

Términocorrespondientealas“partículas”usuales

Términodeinterferencia

Reintrerpretando la interferencia de doble rendija

LaecuacióndeSchrödingerindependientedeltiempoDerivación

Si el potencial es independiente del tiempo i∂Ψ∂t

= −

2

2m∂2Ψ∂x2 +V (x)Ψ

Elladoizquierdodelaecuaciónsóloinvolucralavariación Ψ con t.

ElladoderechosóloinvolucralavariacióndeΨconx.

Proponemos asi una solución donde x y t son independientes Ψ(x,t) =ψ (x)T (t)

Sustituyendo:

V x,t( ) =V (x)

−

2

2m∂2

∂x2 ψ (x)T (t)⎡⎣ ⎤⎦ +V (x)ψ (x)T (t) = i ∂∂t

ψ (x)T (t)⎡⎣ ⎤⎦

∂2

∂x2 ψ (x)T (t)⎡⎣ ⎤⎦ = T (t) d 2ψdx2

−

2

2mT d 2ψ

dx2 +V (x)ψT = iψ dTdt

Lasecuacionessonaderivadastotales

−

2

2m1ψ

d 2ψdx2 +V (x) = i 1

TdTdt

DividiendoambosmiembrosporψT

NotequeelladoizquierdodelaEc(3)dependesólodex,mientrasqueelderechosólodependedet.DadoqueestoesciertoparatodoxytambosmiembrosdebeserigualesaunaconstanteA.Así

−

2

2mT d 2ψ

dx2 +V (x)ψT = iψ dTdt

i 1

TdTdt

= A −

2

2m1ψ

d 2ψdx2 +V (x) = A

(3)

Dacuentadelaevolucióntemporal

Determinaladependenciaespacial

LaecuacióndeSchrödingerindependientedeltiempoContinuación

T (t) = ae− iEt /

i 1

TdTdt

= A

dTdt

= −iA

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

T

T (t) = ae− iAt /

i 1

TdTdt

= A −

2

2m1ψ

d 2ψdx2 +V (x) = A

• Estonosdicequelaenergíacontrolalaevolucióntemporaldelsistema.• NotequeT(t)nodependeexplícitamentedeV(x).Sídependeimplícitamentedadoqueelpotencialcomomuestra(3)determinalosvaloresposibledeE.

(4) (5)

LaecuacióndeSchrödingerindependientedeltiempoEvolucióntemporal

−

2

2md2ψdx2 +V (x)ψ = Eψ

UsandoqueA=EenlaEc(5):

EcuacióndeSchrödingerindependientedeltiempo(ESIT)

Note que la densidad de probabilidad no depende

del tiempo

P x,t( ) = ψ x,t( ) 2=ψ *(x)e+ iEt /ψ (x)e− iEt /

=ψ *(x)ψ (x) = ψ (x)2

Ψ(x,t) =ψ (x)T (t) =ψ (x)e− iEt / LasolucióndelaEcuacióndeSchrödingerdependientedeltiemposeescribecomo:

Por esta razón se conoce a las soluciones de la (ESIT) como de estado estacionario.

LaecuacióndeSchrödingerindependientedeltiempoDerivacióndelaecuacióndeSchrödingerindependientedeltiempo

P2

2m+V (x)

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ψ = Eψ Hψ = Eψ

Movimientodeunpartículaclásicaenunpotencial1DZonasclásicamentepermitidasyprohibidas

V(x)

X

E1

X1 X2

Zona clásicamente permitida (ZCP) E>=V(x), Ec>=0

Zona clásicamente prohibida (ZCX) E<V(x)

Puntos de retorno clásico

E= Ec + Ep =P2/2m +V(x)

V(x)

X

Zona clásicamente permitida (ZCP) E>=V(x), Ec>=0

Zona clásicamente prohibida (ZCX) E<V(x)

E2

X1 X2 X3 X4 X5 X6

E= Ec + Ep =P2/2m +V(x)

Movimientodeunpartículaclásicaenunpotencial1DZonasclásicamentepermitidasyprohibidascontinuación