olimpiada internacional de fÍsica38.doc

7/23/2019 OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA38.doc

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OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FSICA

Problemas resueltos y comentados por:Jos Luis Hernndez Prez yAgustn Loz!no Pr!di""o

XXXVIII OLIMPIADA DE FSICA IRN, 2007

PROBLEMA 1

Este problema se refiere a un modelo simplificado de acelermetro diseado para

activar los airbags de un automvil a causa de una colisin. El sistema

electromecnico debe funcionar de modo !ue cuando la aceleracin del

ve"#culo e$ceda de un determinado valor% uno de los parmetros el&ctricos del

sistema% por e'emplo% el volta'e% en un cierto punto del circuito% sobrepasa un

valor umbral% lo !ue determina !ue el airbag se active.

1.- Considere el condensador de platos paralelos representado en la

figura 1. El rea de cada plato es A, la distancia entre los platos d, siendo

d muy pequeo comparado con las dimensiones de los platos.

Uno de los platos est en contacto con una pared a travs de un muelle

cuya constante elstica es , el otro plato est fi!o. Cuando la distancia

entre los platos es d el muelle ni est contra"do ni estirado, en otras

pala#ras el muelle no e!erce fuer$a so#re el plato.. %a permitividad del

medio entre los platos es o y la capacidad del condensador

d

Ao&o

C = .

'o#re los platos se ponen cargas () y *) y se permite que el sistema

alcance el equili#rio. En el pro#lema se considera que la gravedad

Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net

$-

207

+ig.1
http://www.profes.net/http://www.profes.net/


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1.1.-Calcular la fuer$a elctrica, +E, que e!ercen entre s" los platos.

L* "!')* *+.*/"*$* " u" /o"$"s*$o! +*"o /*!'*$o /u&* $is(*"/i* "(! +*/*s sL s1

A

L3

2

4

C

3

2

45

o

22

==

Si *u."(*.os +* s*!*/i6" "(! sus +*/*s " $L $.os *o!(*! u" (!**8o F$Lsi"$o

A2

3

$L

$5F

o

2

==

1..-'ea el despla$amiento que sufre el plato ligado al muelle. Calcular.E9is( :ui+i!io "(! +* ;u!%* 8!/i$* o! +os +*(os & +* :u 8!/ + .u++, s( s*+*!'* " 9 & +* $is(*"/i* "(! +os +*(os s $


3/25

( )

=

+=

+=+=

-$?A

3

4A

$3

2

4

-?A

3

2

4

A

$3

2

4

A

-2A

33

2

4

A

$3

2

4

-?A

3-

2

4

A

9$3

2

4

-?A

3-

2

4

C

3

2

4-9

2

45

o

2

o

2

2o

2

?

o

2

o

o

22

o

2

22

o

2

?

o

2

22

o

2

?22

En la figura , la masa 6 est unida a un plato conductor mvil de masa

desprecia#le y a dos muelles que poseen la misma constante elstica . El

plato conductor se puede despla$ar adelante y atrs en el espacio que

eiste entre los otros platos que estn fi!os. 7odos los platos son similares

y tienen la misma rea A. El con!unto de los tres platos constituyen dos

condensadores. 7al como indica la figura , los platos fi!os estn

conectados a potenciales (0 y *0 y el plato del medio a un interruptordo#le. El 8ilo conectado al plato mvil no pertur#a el movimiento del

plato y los tres permanecen siempre paralelos. %a distancia entre los

platos fi!os es d y cuando el sistema est en reposo el plato mvil

equidista de los fi!os.

Cuando todo el dispositivo no se encuentra acelerado la distancia de

cada plato fi!o al mvil es, siendo d muy pequeo comparado con las

dimensiones de los platos. El espesor del plato mvil es desprecia#le.

Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net 20@


4/25

El interruptor puede estar en dos estados y . 'uponer que el

dispositivo est siendo acelerado con aceleracin, a, constante. Admitir


P+*(o ;i8o

(i!!*

*

M

Mu++, - M*s* , M Mu++, -

V

P+*(o ;i8o

P+*(o .6Bi+

Co"$"s*$o! , CS

V

240

+ig.


5/25

que durante el tiempo que dura la aceleracin el muelle no oscila y

todos los componentes del sistema estn en posiciones de equili#rio, esto

es, no se mueven uno respecto de otro y con el automvil.

9e#ido a la aceleracin, el plato mvil se despla$a una longitud

respecto de la posicin central de los dos platos fi!os.

.-Considerar el caso en el que el interruptor est en la posicin , esto

es, el plato mvil est conectado a tierra a travs del 8ilo.

.1.- Encontrar la carga de cada condensador en funcin de .

E+ +*(o .6Bi+ s $s+*%* */i* +* i%:ui!$* */!/#"$os *+ +*(o :u s(* /*!'*$oosi(iB*."( & *+8#"$os +* $is(*"/i* 9 $+ +*(o :u s(# /*!'*$o "'*(iB*."(L* /**/i$*$ $+ /o"$"s*$o! ;o!.*$o o! + +*(o i%:ui!$o & + .6Bi+ s

V9$

A3

V

3

9$

A

V

3C o4

4o44

==

=

L* /**/i$*$ $+ /o"$"s*$o! ;o!.*$o o! + +*(o .6Bi+ & + +*(o $ +* $!/*

V9$

A3

V

3

9$

A

V

3C o2

2o22

+

==

+

=

..- Encontrar la fuer$a elctrica neta so#re el plato mvil, +E , en

funcin de .

So! + +*(o .6Bi+ */(*" $os ;u!%*s, u"* $i!i'i$* */i* +* i%:ui!$* :u s +**(!*//i6" :u 8!/ + +*(o ;i8o $ +* i%:ui!$* & u"* $i!i'i$* */i* +* $!/* :u s +*:u 8!/ + +*(o ;i8o si(u*$o * +* $!/*, +* ;u!%* FEs +* $i;!"/i* "(! +*s $os

( ) ( ) ( ) ( )

+

=

+

===

22

22

o

2

222

o

2

222

o

oo

2

2

o

2

4

24E9$

4

9$

4

2

AV

9$

VA

9$

VA

A2

4

A

3

2

4

A

3

2

4FFF

..-'uponer que d:: y los trminos pueden despreciarse frente a d.

'implificar la respuesta del apartado ..

9$

AV2

$?9$

?9$

2

AV

29$$

4

29$$

4

2

AVF

22

o

22?

22

o

22

22

o

E =

=

+

=

.3.-Escri#ir la fuer$a total so#re el plato mvil como *eff y dar la

epresin de eff.

E" +* ;i'u!* s i"$i/*" +*s ;u!%*s :u */(*" so! + +*(o .6Bi+

Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net 244


6/25

Si /o"si$!*.os + $s+*%*.i"(o 9 /o.o osi(iBo

92-$

AV2-299

$

AV22-9F ;;

2

o

2

o(o(*+ =

=+=

.5..-Epresar la aceleracin constante ,a, en funcin de .

9$

AV2

M

2*M*9

$

AV22-9F

2

o

2

o(o(*+

==+=

.- A8ora suponemos que el interruptor se encuentra en el estado # y que

el sistema se 8a diseado para que cuando el volta!e a travs del

condensador ;Cs< alcance el valor de =,15 0, el air#ag se active. >or otra

parte el air#ag no se de#e activar durante una frenada normal en la que

la aceleracin es menor que g?@, m4s.

.1.- /Cul es el valor de Cspara que ocurra lo anterior2

E" +* ;i'u!* ? s *" !!s"(*$o o! s*!*$o +os $os /i!/ui(os


9

$

AV2F

2

oE=

a

F.2-9

242

Fi'


7/25

S'" Bi.os " + **!(*$o 24 +* /*!'* 34s .*&o! :u +* /*!'* 32 Si $si'"*.os 3s

* +* /*!'* $+ /o"$"s*$o! Cs, !su+(* :u

24s 333 =

E" +os /i!/ui(os $ +* ;i'u!* s (o.* /o.o s"(i$o osi(iBo + $ +*s *'u8*s $+ !+o8 & s$* u" s"(i$o $ ."os * .#s * +*s $i;!"/i*s $ o("/i*+

0C

3

C

3V=0

C

3

C

3V

s

s

2

2

s

s

4

4 =+=

A *!(i! $ +*s $os +(i.*s /u*/io"s

s

s222

2

2

s

s

s

s

444

4

4

s

s

C

3CVC3

C

3

C

3V

C

3CVC3

C

3

C

3V

+==+

==

( )

( ) ( ) ( )

24s

24

s2424s

s

s

24

s

2

s

4

s

s

s

22

s

s

4424s

CCC

CCV

VCCVCCCC

3

CCVC

C

C

C43

C

3CVC

C

3CVC333

++

==++

=

++==


< or lo tanto un agu!ero negro pierde energ"a de#ido a la

radiacin LaMing y la gana de#ido a la radiacin csmica de fondo.

3.1.- Encontrar la variacin de masa con el tiempo de un agu!ero negro

en funcin de su masa, la temperatura de la radiacin de fondo y las

constantes fundamentales.

Si'ui"$o +o $i/o " + **!(*$o 2 s/!ii.os

2

?

2

?

H?

?

H

2

/

AU

/

AU

$(

$.AUAU/

$(

$.+

=+=

E" +* /u*/i6" *"(!io! + !i.! su.*"$o s * /*+/u+*$o " 2 & " + s'u"$osu.*"$o sus(i(ui.os A & H

2

>

?

?

2

22

?

?

22

2

?

2

?

22

?

./

-

.

4

/

4G

4

/

.

/

/

-

.

4

/

4G

4

$(

$.+=+= >

3..- Eiste una masa mN para la que dm4dt se anula. Epresar mN en

funcin de #y las constantes fundamentales.

( ) ( ) ( ) J@I

-2

/.

-4G

/..

/

-

.

4

/

4G

4

?

?

?

42??2

>

?

?

2

22

?

===



18/25

3..-Utilice el valor de #o#tenido en el apartado anterior y calcule dm4dt

en funcin de m , mN y las constantes fundamentales.

Ds8*.os $ @ ,

.-2/

=

L+B*.os + B*+o! *"(!io! * +* /u*/i6" >

( )

( )

=

+=

+=

?

?

22

?

?

2

2

?

22

??

2

>

?

2

22

?

.

.4

.

4

/

4G

4

$(

$.

.

.

/

4G

4

.

4

/

4G

4

.-2

/.

/

-

.

4

/

4G

4

$(

$.

3.3.-Encontrar la temperatura de LaMing de un agu!ero negro que esten equili#rio trmico con la radiacin csmica de fondo

E" + **!(*$o 4 s * /*+/u+*$o +* (.!*(u!* $ H*K-i"' 1.

4

-

/

2

4

H =

D +* /u*/i6" @ s $$u/ +* (.!*(u!* $ +* !*$i*/i6" $ ;o"$o.-2

/

=

Si 9is( :ui+i!io (!.i/o H& so" i'u*+s, o! (*"(o

.

4

-

/

2

4

...-2

/

=

L* /o"/+usi6" s :u si u" *'u8!o "'!o s(# " :ui+i!io (!.i/o /o" +* !*$i*/i6"/6s.i/* $ ;o"$o su .*s* s i'u*+ * . & "(o"/s + *'u8!o "i i!$ .*s* "i +* '*"*3.5.- /El equili#rio es esta#le o inesta#le2

5" *'u8!o "'!o ("$!# u"* .*s* ., si $* +* /*su*+i$*$ :u s(* .*s* s i'u*+ * ."(o"/s + *'u8!o "i i!$ "i '*"* .*s* & s s(*+, !o +o "o!.*+ s :u . s*.*&o! :u . o ."o!

( )

= ?

?

22

?

.

.4

.

4

/

4G

4

$(

$.

Cu*"$o .] . + *!"(sis $ +* /u*/i6" *"(!io! s "'*(iBo & $.^$( s osi(iBo, +*'u8!o "'!o '*"* .*s*

Cu*"$o ._ . + *!"(sis $ +* /u*/i6" *"(!io! s osi(iBo & $.^$( s "'*(iBo, +*'u8!o "'!o i!$ .*s*

PROBLEMA 6

Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net 22?


19/25

;n sistema binario est formado por dos estrellas !ue giran alrededor de su centro

de masas. Apro$imadamente la mitad de las estrellas de nuestra gala$ia son

sistemas binarios. *o resulta fcil desde la ierra detectar estos sistemas binarios%

+a !ue la distancia entre las dos estrellas del sistema es muc"o menor !ue su

distancia a la ierra + por ello no se pueden detectar con el telescopio. Para ello se

necesita recurrir a la fotometr#a o espectrofotometr#a + observar las variacionesde la intensidad o el espectro de una estrella para decidir si es o no un sistema

binario.

)otometr#a de estrellas binarias

'i nosotros nos encontramos eactamente en el plano de movimiento de

las dos estrellas, cuando una de ellas se oculta respecto de nosotros al

situarse detrs de la que est delante, la intensidad del sistema disminuye

con el tiempo. Estos sistemas #inarios se llaman #inarias eclipticas.

1.- 'uponer que las dos estrellas descri#en r#itas circulares alrededor

de su comOn centro de masas con una velocidad angular constante, ,

y nosotros nos encontramos eactamente en el plano de movimiento del

sistema #inario. 'uponer tam#in que las temperaturas de las estrellas

son 71y 7, respectivamente, siendo 71:7 y sus radios P1y Psiendo

P1:P. %a intensidad total de lu$ medida en la 7ierra est representada

en la figura 1 frente al tiempo. 6edidas cuidadosas indican que los

m"nimos de las intensidades de la lu$ incidente son el @=Q y R=Q de la

intensidad mima, So,;So?3,.1=-@T4m< reci#ida en la 7ierra por las dosestrellas.

1.1.5Encontrar el periodo del movimiento or#ital, dando la respuesta en

segundos con dos cifras significativas./Cul es la frecuencia angular del

sistema en rad4s2

E" +* ;i'u!* s os!B* +* osi/i6" $ +*s s(!++*s & su !+*/i6" /o" +* ;i'u!* 4



20/25

E" +* osi/i6"


21/25

E" +*s *"(!io!s /u*/io"s $iBi$i.os +os "u.!*$o!s & $"o.i"*$o!s o! ?22

2OR &*

SO

O&A

R

R?

2

?

4

2

2

2

4==

0,G4A

A4

OR

OROR

OR

OROROR

=0,@04A

A

OR

OROR

OR

OR

?

2

2

2

?

2

2

2

?

4

2

4

?

2

2

2

?

4

2

2

?

4

2

4

?

2

2

2

?

2

2

2

?

2

2

2

?

4

2

4

?

2

2

2

?

4

2

4

=++

=+

+

=+

=+

Rso+Bi"$o + sis(.*

,7

@A,7G,400,G

4@

@4

@A0,@00,@0AA

====

+

+

=+=

@

2

4=G 4,? ,7

O

O4,

,7

@A

R

R

2

4 =====

Espectrometr#a de sistemas binarios

En esta seccin se de#en calcular propiedades astronmicas de un

sistema #inario utili$ando para ello medidas espectromtricas del

sistema.

%os tomos emiten o a#sor#en radiacin de determinadas longitudes de

onda. >or ello el espectro de a#sorcin de una estrella contiene l"neas

oscuras de a#sorcin producidas por los tomos que se encuentran en su

atmsfera.

%a l"nea 91del espectro del sodio posee una longitud de onda de 5@5,@oA ;1=

oA?1 nm


22/25

En este pro#lema se considera que la velocidad del centro de masas del

sistema #inario es muc8o ms pequea que la velocidad or#ital de las

estrellas. 9e ello se deduce que el corrimiento 9oppler se de#e

Onicamente a la velocidad or#ital de las estrellas.

%a ta#la 1 son las medidas de las longitudes de onda o#servadas enla7ierra para cada una de las estrellas.

t=d#as >%6 >%? >%@ 1%( 1% 1% (%1 (%:

1= o

A@C% @C%C @C%( @?%( @%1 @:%6 @:%1 @:%?

(= o

A@6%1 @(% @6%C @?%( @C%6 @%C @@%> @%1

t=d#as (%C 6%> 6%6 6%? 6%@ :%( :% :%

1= o

A@%? @?%C @C%6 @C%C @C%( @?%( @%> @:%6

(= o

A@?%: @:% @6%1 @(% @6%C @?%( @C%: @%C

Bota.- Bo es necesario 8acer una grfica de los datos de esta ta#la

. Utili$ar esta ta#la

.1.- Encontrar las velocidades or#itales de las estrellas v1 y v . Bo

considerar efectos relativista .0elocidad de la lu$, c ? ,=.1=m4s

L* /u*/i6" .*(.#(i/* $+ ;/(o Do+! s1

B/4Q

Q

/

B4Q

/

B/QQ =

=

=

Po$.os s/o'! + B*+o! ."o! o + .*&o! $ +* (*+* *"(!io!P*!* +* s(!++* $ !*$io R4

s

.@,240B@4>@40

>@,@

>@?,44BB/4

>@,@

>@?,4 ?4

> ==

==

s.@,240B@4>@404

>@,@>@?,4BB/4

>@,@>@7,7 ?

4

> ==

=+=

P*!* +* s(!++* $ !*$io R2

s

.40G,4B777440

>@,@

>@2,>4BB/4

>@,@

>@2,> 4

> ==

==

s

.40G,4B7774404

>@,@

>@@,0BB4

>@,@

>@@,04

> ==

=+=

c

Jos Luis H!"#"$% P!% & A'us()" Lo%*"o P!*$i++o www.profes.net 22>


23/25

..-Encuentre el cociente de las masas,

m1

m.

Co"si$!*.os u" sis(.* $ !;!"/i* +i'*$o *+ /"(!o $ .*s*s , " s( /*so +* B CM0

4,7@,240

4,G40

B

B

.

.

..

B.B.B ?

4

2

2

4

24

2244CM ===++=

..- 'ean r1y rlas distancias de cada una de las estrellas al centro de

masas comOn, determinar r1y r.

L* B+o/i$*$ *"'u+*! s +* .is.* *!* /*$* s(!++* ,!o +* +i"*+ $"$ $ su$is(*"/i* *+ /"(!o $ .*s*

.407,G2,?40

4,G40

a

B!!aB

.,>402,?40

@,240

a

B!!aB

@

2

22

2

@

?

4

44

4

====

====

.3.-'ea r la distancia entre las estrellas. Encontrar el valor de r.

L* $is(*"/i* "(! +*s s(!++*s s +* su.* $ sus $is(*"/i*s *+ /"(!o $ .*s*s

.4,440G,740,>40!!! 40@@24 =+=+=

.- %a fuer$a de gravitacin es la Onica fuer$a que actOa entre las

estrellas.

.1.- 9eterminar la masa de cada una de las estrellas con una cifra

significativa. Constante de gravitacin Universal ,1.11 sgmR,U.1=D =

L* ;u!%* $ *(!*//i6" '!*Bi(*(o!i* s !/is*."( +* ;u!%* /"(!)(* :u /*$* s(!++*"/si(* *!* 'i!*! *+!$$o! $+ /"(!o $ .*s*s

( ) ( )-'0?40

44G,740

2404,440@,>4022,?40

2!4!2a

2.

4!2a

4.

2!

2.4.

====

( ) ( )-'

0740

44G,740

2404,440

@G,740

22,?40

2!2!2a

4.

2!

2a

2.

2!

2.

4.

=

===

3aracter#sticas generales de las estrellas

3.- %a mayor"a de las estrellas generan energ"a mediante el mismo

mecanismo. Eiste una relacin emp"rica entre su masa, 6, y su

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24/25

luminosidad, %, la cual es la potencia radiante total de la estrellaV esta

relacin se puede epresar en la formaK

'ol6

6

'ol%

%

=

6'ol?.1==

g V %'ol?,@.1=R

T

%a relacin se indica en la grfica log-log de la figura inferior

%a estrella que aparece en la grfica representa al 'ol

3.1.- Encontrar con una cifra significativa.

"i"$o " /u"(* :uSo+so+ M

M+o'ZL

L+o' = , +* "$i"( $ +* !/(* *"(!io! "os $*

+ B*+o! $

Z?+o'4+o'40

+o'4+o'40(*'Y

?

==

=

3..-'ean %1 y % las luminosidades respectivas de cada estrella del

sistema #inario. Encontrar los valores de %1y %.

\G40240740,@40

MMLL 2>

?

0

0

2G

?

So+

4So+4 =

=

=



25/25

\G40240

?40,@40

M

MLL

27

?

0

02G

?

So+

2

So+2 =

=

=

3..-Calcular la distancia d, desde la estrella a nosotros epresando elresultado en aos lu$. Un ao lu$ es la distancia que recorre la lu$ en un

ao terrestre.

E+ sis(.* i"*!io !*$i* *+ s*/io E" +* i!!* s !/i I o :u s +* o("/i* o!u"i$*$ $ su!;i/i L* +u.i"osi$*$ (o(*+ $+ sis(.* s L4L2& s* o("/i* s(#b/o"("i$*c " u"* s;!* $ !*$io $

.4,040?,>40?

G40G40

I?

LL$

$?

LLI 4>

@

272>

o

24

2

24o =

+=

+=

+=

4 *ò +u% .@,40$)*

s>G?00$)*G

s

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3.3.- /Cul es la mima distancia angular, , entre las estrellas a partir

de nuestro punto de o#servacin2

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40===

3.5.-/Cul es la menor apertura de un telescopio ptico, 9, que pueda

separar estas dos estrellas2

5(i+i%*"$o + /!i(!io $ Lo!$ R*&+i'

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Q$4,22

4,22QD

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Q4,22 ===

olimpiada internacional de fÍsica38.doc

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