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Autoevaluación

OCW 2019: Curso práctico para el

análisis e inferencia estadística con

Mathematica

Ejercicios propuestos resueltos (2 de 2)

Equipo docente del curso

Arrospide Zabala, Eneko

Martín Yagüe, Luis

Unzueta Inchaurbe, Aitziber

Soto Merino, Juan Carlos

Durana Apaolaza, Gaizka

Bikandi Irazabal, Iñaki

Departamento de Matemática Aplicada

Escuela de Ingeniería de Bilbao, Edificio II-I

OCW2019: Curso práctico para el análisis e inferencia estadística con Mathematica

EJERCICIOS DEL BLOQUE III. VARIABLES ALEATORIAS

Ejercicio nº6

Enunciado

Sea una variable aleatoria X que se distribuye según la siguiente función de densidad:

f �x� �k � �x� 1�k � �3 � x�3 k � �x� 3�3 k � �5 � x�

1 � x � 2

2 � x � 3

3 � x � 4

4 � x � 5

� a) Calcule el valor del parámetro k y represente gráficamente la función de densidad

� b) Obtenga la correspondiente función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X y

represéntela gráficamente

� c) Calcule el valor esperado, la mediana y la moda de la distribución de la variable aleatoria X

� d) Calcule P �3 � X � 6�� e) Calcule P �X � 3.5�

Resolución

� a) Calcule el valor del parámetro k y represente gráficamente la función de densidad

� Definición de la función a trozos

dist6 � ProbabilityDistribution�Piecewise��k �x � 1�, 1 � x � 2,

�k �3 � x�, 2 � x � 3, �3 k �x � 3�, 3 � x � 4, �3 k �5 � x�, 4 � x � 5, �x, 0, 5;

PDF�dist6, x �� TraditionalForm

k �3 � x� 2 � x � 33 k �5 � x� 4 � x � 53 k �x� 3� 3 � x � 4k �x� 1� 1 � x � 2

� Para que f �x� sea una función de densidad, el área limitada bajo la curva tiene que ser igual

a la unidad:

Solve�Integrate�PDF�dist6, x, �x, 1, 5 � 1

k �1

4

� Solución: k � 14

� Utilizando el método “Normalize”:

dist6n � ProbabilityDistribution�Piecewise��k �x � 1�, 1 � x � 2, �k �3 � x�, 2 � x � 3,

�3 k �x � 3�, 3 � x � 4, �3 k �5 � x�, 4 � x � 5, �x, 0, 5, Method "Normalize";

1


PDF�dist6n, x �� TraditionalForm

3�x

42 � x � 3

3 �5�x�4

4 � x � 5

3 �x�3�4

3 � x � 4

x�1

41 � x � 2

� Representación gráfica de la función de probabilidad

Plot�PDF�dist6n, x, �x, 0, 6, Filling Axis, AxesLabel �HoldForm�"x", HoldForm�" f �x�"

� b) Obtenga la correspondiente función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X y

represéntela gráficamente

CDF�dist6n, x �� TraditionalForm

1

8x 2

1

4x 3

5

8x 4

1 x 51

8�3 x2 � 30 x � 67 4 � x� 5

1

8�x2 � 6 x � 7 2 � x� 3

1

8x2 � 2 x � 1 1 � x� 2

1

83 x2 � 18 x � 29 3 � x� 4

Plot�CDF�dist6n, x, �x, 0, 7, Filling Axis,

PlotRange �0, 1, AxesLabel �HoldForm�"x", HoldForm�"F�x�"

2


� c) Calcule el valor esperado, la mediana y la moda de la distribución de la variable aleatoria X

� Cálculo del valor esperado

Expectation�x, x � dist6n

7

2

� Cálculo de la varianza

StandardDeviation�dist6n �� N

0.957427

� Cálculo de la mediana

Median�dist6n �� N

3.8165

� Solución: E�X� � 3.5

Var�X� � 0.957427

Me�X� � 3.8165

� d) Calcule P �3 � X � 6�Probability�3 � x � 6, x � dist6n

3

4

� Solución: P �3 � X � 6� � 0.75

� e) Calcule P �X � 3.5�CDF�dist6n, 3.5

0.34375

� Solución: P �X � 3.5� � 0.34375

Ejercicio nº7

Enunciado

Un nuevo tratamiento para las infecciones de la vesícula biliar presenta una probabilidad de cura del

60%. Se ha aplicado el tratamiento a 4 pacientes.

� a) Obtenga la función de probabilidad de la variable X que representa el número de pacientes

curados

� b) Calcule el número de pacientes que se espera se cure con el tratamiento

� c) Calcule P �3 � X � 4 X � 1�

Resolución

Se define la variable aleatoria X=”número de pacientes curados al aplicar el tratamiento a 4 pacientes”.

La variable X sigue una distribución binomial: X � B �4, 0.60�n � 4; p � 0.60;

3


� a) Obtenga la función de probabilidad de la variable X que representa el número de pacientes

curados

Table�PDF� BinomialDistribution�n, p, x, �x, 0, 4

�0.0256, 0.1536, 0.3456, 0.3456, 0.1296�

� Solución: nº pacientes curados : xi 0 1 2 3 4

probabilidad : p�xi� 0.0256 0.1536 0.3456 0.3456 0.1296

� b) Calcule el número de pacientes que se espera se cure con el tratamiento

distb � BinomialDistribution�n, p;

Mean�distb

2.4

� Solución: E�X� � 2.4

� c) Calcule P �3 � X � 4 X � 1�Probability�Conditioned�3 � x � 4, x � 1, x � distb

0.578947

� Solución: P �3 � X � 4 X � 1� � 0.578947

EJERCICIOS DEL BLOQUE IV. INFERENCIA ESTADÍSTICA

Ejercicio nº8

Enunciado

Se cree que el número de caracteres del código Morse que son capaces de enviar por minuto los

alumnos y alumnas de un instituto sigue una distribución normal de media 75 y desviación típica 7.

Para confirmarlo se ha considerado una muestra seleccionando doce alumnos al azar. El número de

caracteres enviados en un minuto por cada estudiante se recoge en la siguiente lista

�1 � �82, 74, 80, 61, 74, 91, 94, 63, 68, 76, 83, 79�� a) Utilizando un intervalo de confianza con una significación Α � 0.02, �se puede aceptar la

hipótesis de que la media de caracteres enviados por el alumnado es 75?

� b) Realice un contraste con una significación Α � 0.02 para comprobar si la desviación típica del

número de caracteres enviados es igual a 7

Resolución

� Carga del paquete para funciones de Estadística Inferencial para la sesión

Needs�"HypothesisTesting`"

� Introducción de la muestra

caracteres � �82, 74, 80, 61, 74, 91, 94, 63, 68, 76, 83, 79;

4


� a) Utilizando un intervalo de confianza con una significación Α � 0.02, �se puede aceptar la

hipótesis de que la media de caracteres enviados por el alumnado es 75?

� Hipótesis: H0 : Μ � 75 � Μ0

H1 : Μ � 75 � Μ0

� Intervalo para la media poblacional con una confianza del 98%

MeanCI�caracteres, ConfidenceLevel �� .98, KnownVariance None

�69.1981, 84.9686�

� Solución: Μ0 � 75 � I�0.90 � �69.1981, 84.9686�

� Por lo tanto, con una confianza del 98%, puede afirmarse que la media de caracteres enviados

por el alumnado es 75 ya que ese valor pertenece al intervalo calculado

� b) Realice un contraste con una significación Α � 0.02 para comprobar si la desviación típica del

número de caracteres enviados es igual a 7

� Hipótesis: H0 : Σ2 � 72 � 49 � Σ0

2

H1 : Σ2 � 72 � 49 � Σ02

VarianceTest�caracteres, 7^2, "TestDataTable",

AlternativeHypothesis "Unequal", SignificanceLevel 0.1

Statistic P-Value

Fisher Ratio 22.6718 0.039312

� Solución: Α � 0.02 � p�valor � 0.039312

� El nivel de significación es menor que el p-valor, por lo que no hay evidencia suficiente para

refutar la hipótesis nula con una confianza del 98%; por lo tanto, se acepta que la desviación

típica del número de caracteres enviados es igual a 7

� Representando gráficamente (no se adjunta código) el contraste se observa que el estadísticode contraste se encuentra en la región de aceptación:

5


Ejercicio nº9

Enunciado

El concejal de infraestructuras de un municipio asegura que el tiempo que tardan las bombillas de las

farolas del municipio en alcanzar su máximo brillo no es mayor que 50 segundos con un nivel de

significación del 0.05. Para corroborarlo se han seleccionado al azar 20 farolas y el tiempo en segun-

dos que tardan las bombillas en dar el 100% de luz se muestra en la siguiente tabla:

56.5 54.3 48.8 61.6 62.4 40.5 48.6 51.6 45.9 57.2

62.4 54.2 47.3 62.7 50.2 53.4 54.1 42.5 46.8 42.2

Con el nivel de significación indicado anteriormente y suponiendo normalidad en el tiempo que

tardan las bombillas hasta alcanzar el máximo brillo:

� a) Realice un contraste para verificar si es cierta la afirmación del concejal

� b) Calcule un intervalo de confianza para la varianza del tiempo necesario para que las bombillas

se enciendan al 100% de su capacidad

Resolución

� Introducción de la muestra

tiempo � �56.5, 54.3, 48.8, 61.6, 62.4, 40.5, 48.6, 51.6,

45.9, 57.2, 62.4, 54.2, 47.3, 62.7, 50.2, 53.4, 54.1, 42.5, 46.8, 42.2;

� a) Realice un contraste para verificar si es cierta la afirmación del concejal

� Hipótesis: H0 : Μ � 50 � Μ0

H1 : Μ � 50 � Μ0

� Usando la función LocationTest

Α � 0.05;

LocationTest�tiempo, Μ0 � 50, "TestDataTable",

AlternativeHypothesis "Greater", SignificanceLevel Α

Statistic P-Value

T 1.39098 0.0901543

� Representando gráficamente (no se adjunta código) el contraste se observa que el estadísticode contraste se encuentra en la región de aceptación:

� Solución: Α � 0.05 � p�valor � 0.0901543

6


� El nivel de significación es menor que el p-valor, por lo que no hay evidencia suficiente para

refutar la hipótesis nula con una confianza del 95%; por tanto, se acepta la afirmación del

concejal

� b) Calcule un intervalo de confianza para la varianza del tiempo necesario para que las bombillas

se enciendan al 100% de su capacidad

� cálculo de valores muestrales

n � Length�tiempo;

S � StandardDeviation�tiempo;

� obtención del intervalo

ChiSquareCI�S^2, n � 1, ConfidenceLevel 1 � Α

�27.8923, 102.883�

� Solución: IΣ20.95 � �27.8923, 102.883�

7

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