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OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN DE TIEMPO RELATIVISTA PARTIENDO DEL TH. DE PITÁGORAS.

Se trata de un simple trabajo para obtener la ecuación del tiempo relativista partiendo

del Teorema de Pitágoras. De esta forma se ve como la relatividad no es tan complicada como podía parecer ser y se trata simplemente de tener claro pocos

conceptos que revolucionaron la física clásica.

OBTAINING THE EQUATION OF TIME STARTING FROM RELATIVISTIC TH. OF PYTHAGORAS.

This is a simple job for the relativistic equation of time based on the Pythagorean Theorem. Thus it looks like relativity is not as complicated as it might seem to be

simply and clearly few concepts that have revolutionized classical physics.

Autor: José Manuel Gómez Vega (ingeniero industrial en mecánica de máquinas) septiembre de 2015.

1. Introducción.Ecuacióndel tiempo relativista según

elTh.delarelatividadrestringidaoespecial.La relatividad fue un fenómeno que surgió ante el estudio de Albert Einstein de

las ecuaciones del electromagnetismo de James C. Maxwell. Ante la imposibilidad de encontrar invariancia en dichas ecuaciones ante transformaciones de Galileo, es decir, ante dos sistemas de referencia, el uno en reposo y el otro en movimiento con velocidad constante ante el otro, la física previa adujo que existían observadores privilegiados. Esto no satisfacía a ningún físico, pues evidentemente una ecuación física no puede variar ante cambios en los sistemas de coordenadas, es decir, en los puntos en los cuales se referencia. Por tanto, Einstein llegó a dos conclusiones importantes que resumen su teoría de la relatividad restringida o especial, que se refieren únicamente a sistemas de referencia inerciales (que se mueven entre ellos a velocidad constante, es decir, donde no existen aceleraciones) y son las siguientes:

No existe el movimiento absoluto. No aparece en ningún lugar del espacio.

La velocidad de la luz es una constante en todo el universo y su valor es:

299.792.458 299.792,5k

300.000k

Obtención de la ecuación de tiempo relativista partiendo del Th. de Pitágoras. (José Manuel Gómez Vega, IngeMek – Ingenieros. Septiembre 2015) -2-

La ecuación que relaciona el tiempo entre un sistema coordenado S fijo

(relativamente) respecto a otro S’ que se mueve a velocidad constante respecto al

primero es:

1

Fig. 1. El sistema de referencia S’ se mueve a velocidad v constante sobre el eje X.

Procederemos a resolver esta ecuación de la forma más fácil que conozco. 2. Deducción de la ecuación de tiempo relativista

partiendodelTh.dePitágoras.

Sea un tren donde en un vagón existe un espejo y al otro lado un emisor de luz. Tengamos dos observadores, uno llamado fuera que está inmóvil al lado del

tren antes de moverse éste con velocidad hacia adelante y otro que se mueve con el tren y está en el vagón donde se produce el experimento. El observador es el que emite el rayo de luz y rebota en el espejo y retorna al lugar de origen.

Es claro que el observador pertenece a un sistema de referencia quieto

(relativamente) y el pertenece a un sistema de referencia móvil ’ a velocidad constante en el eje .

Tenemos dos visiones de lo que acontece. Por una parte, para el observador

móvil, el haz de luz incide y es reflejado en línea recta pues el sistema ’ se desplaza con velocidad v (figura 2, arriba), mientras que para el observador quieto con sistema , el desplazamiento del vagón hace que al recorrer un espacio hasta que el haz

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rebota, pasa por describir un movimiento diagonal ascendente hasta que llega al espejo y luego al reflexionar, diagonal descendente (figura 2, abajo).

Es fácil plantearse por qué ocurre esto. Sencillamente porque la luz es una

constante, y lo que varían son los tiempos y longitudes relativas de ambos observadores. A continuación deduciremos la ecuación del tiempo relativo t para el observador A del sistema de referencia quieto (relativamente).

En primer lugar vamos a considerar solo el camino recorrido hasta la incidencia

de la onda luminosa en el espejo. Como el tiempo de incidencia y reflexión es el mismo, dicho tiempo será respecto al total, que es cuando la onda luminosa llega otra vez al foco emisor. Llamaremos la distancia del emisor de luz al espejo D, por lo que para llegar otra vez la luz al emisor recorrerá una distancia 2D, en el 3er. dibujo del vagón en movimiento de la fig. 2, abajo, según el observador A quieto (relativamente).

Fig. 2. Sistema de referencia móvil S’ (arriba) y sistema de referencia fijo S (abajo)

Fig. 3. Rectángulo de espacios recorridos.

Nos damos cuenta que el espacio recorrido que hace la luz hasta el espejo es mientras que la distancia avanzada horizontalmente por el tren es . Es claro que la diagonal está definida por el avance horizontal del tren, dado que D es una distancia fija en el plano vertical, según se ha definido el triángulo.

Obtención de la ecuación de tiempo relativista partiendo del Th. de Pitágoras. (José Manuel Gómez Vega, IngeMek – Ingenieros. Septiembre 2015) -4-

Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos:

2 2

Ahora despejaremos poco a poco, :

2 2⟹

2⟹

2

Sacamos c de la raíz cuadrada en el término :

2

1

Y se confirma que el término es el tiempo que tarda en llegar el haz luminoso

otra vez al foco emisor, que tiene unidades de tiempo, pues es espacio entre velocidad. Por lo tanto, , por lo que finalmente queda:

1

como queríamos demostrar. Vemos como la obtención de la ecuación del tiempo relativista para un

observador inmóvil (relativamente) es fácil de obtener con solo usar el Th. de Pitágoras y tener bien claros los conceptos de sistema móvil y sistema quieto (relativamente).

Queda claro que, dado que la velocidad de la luz es muy superior a la velocidad

de avance del tren ≫ , la inclinación de la diagonal en la realidad será muy leve y en este caso sería prácticamente nula. Pero a efectos prácticos se usa el triángulo anterior por comodidad para que se vea bien cuál es la hipotenusa y los catetos de las distancias implicadas que nos lleva a obtener la ecuación del tiempo relativo para un sistema en reposo. ¡Tan simple y tan sencillo!