observadores.pptx

7/23/2019 observadores.pptx

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/59

Sistemas dinámicos

Realimentación de la salida

1



/59

Contenido

1. El estimador de estado

2. El observador a lazo abierto

3. El observador a lazo cerrado

4. Diseño del observador 5. El observador de orden reducido

2



/59

EL ESTIMADOR DE ESTADO

3



/59

El observador de estado

El control por realimentacion de estados asume la

disponibilidad de todas las variables de estado.

» En la practica, sin embargo, este puede no ser el caso, a

sea por!ue ciertos estados no son medibles, o es mu

di"icil o mu caro medirlos.4

u r K = − x



/59

El observador de estado

# "in de implementar una realimentacion de estados

debemos entonces diseñar un dispositivo dinamico

cua salida sea una estimacion del vector de

estados$

5

El observador de estados

es una estimacion de x % x

Bu

y C

= +

=

x Ax

x



/59

Arquitectura del control

6

&e usa una estimacion

del estado para generarel control

&e asume el sistemaconocido, con D ' (

Resultados validos si

remplazando y)t * por

( ) ( )%u t K t = − x

Bu

y C = +=

x Ax

x

( ) ( ) ( ) y t y t Du t = −

( D ≠



/59

EL OBSERADOR A LA!OABIERTO

7



/59

El observador a la"o abierto

+sando solo la entrada para eitar el estimador de lazo

abierto

&i el sistema el observador tienen las mismas

condiciones iniciales, entonces, para,

para cual!uier entrada

8

-onociendo # ,

du#licar la ecuacion de

estados original

Idea$

(≥t ( ) ( )% x t x t =

Bu

y C

= +

=

x Ax

x

% % Bu= +x Ax



/59

Calculo del estado inicial

&i el sistema es observable, su estado inicial x )(* puedeser calculado de u y en cual!uier intervalo de tiempo, por e/emplo, 0(, t 1.

9

-omo allar el estado inicial x )(* del sistema para usarlo en el

observador



/59

Calculo del estado inicial

asos a implementar en el observador$

1. -alcular el estado inicial x )(*

2. -alcular el estado en t 2 acer

10

Entonces$

para todo t ≥ t 2.

algun problema

%) * ) *= x t x t

2 2%) * ) *= x t x t

2 1t t ≥



/59

Dinamica del error

6a ecuacion del error de estimacion esta dada por

&i A es 7ur8itz, entonces 9 ( cuando t 9 :.

11

or lo tanto, la dinamica del error esta completamente

determinada por la dinamica en lazo abierto delsistema

)los valores propios de la matriz A*.

algun problema

( ) ( ) ( ) ( )% ( At x t x t x t e x− = =% %

( ) x t %



/59

Limitaciones del observador a la"o abierto

El observador en lazo abierto tiene las siguientes

importantes desventa/as$

#un con la matriz A estable, esta dinamica pudiera sermu lenta.

&i A tiene autovalores con parte real #ositiva,

» entonces cual!uier pe!ueña di"erencia entre para algun t (, causada por un disturbio o una imper"eccion en

la estimacion del estado inicial, ara !ue$

12

crezca con el tiempo

*) (t x *)%(t x

( ) ( )%− x t x t



/59

EL OBSERADOR A LA!OCERRADO

13



/59

El observador a la"o cerrado

;bservador a lazo cerrado ' estimador asintotico

14

#, and - son conocidos

+sando la entrada la salida



/59


Estimador a lazo cerrado ' estimador asintotico

15


El error de estimacion de la

salida, pasando por una

ganancia constante L, es usado

como un termino de correccion.

&i el error es cero, no es

necesaria ninguna correcion.

( ) ( ) ( )% y t y t Cx t = −%

( ) y t %



/59


Estimador a lazo cerrado ' estimador asintotico

16

<orma simpli"icada

&i la di"erencia no es cero sila ganancia L se diseña

apropiadamente, la di"erencia

llevara al estado estimado a

su estado real


% % %) *

%) *

x Ax Bu L y Cx

A LC x Bu Ly

= + + −

= − + +



/59

El error de estimacion

El estado verdadero$

El estado de estimado$

El error de Estimacion$

6a dinamica del error

&i todos los autovalores de ) A − LC * pueden ser

asignados arbitrariamente, podemos controlar la

velocidad con !ue el error de estimacion se aproima acero

17

=o a necesidad de calcular el estado inicial de

la ecuación de estado original.

% %) * A LC Bu Ly= − + +x x

%$ x = −x x

> A Bu y C = + =x x x

% ) * x A LC x= − = −x x



/59

Teorema

?eorema de la asignacion de #utovalores en

observadores

-onsidere el par ) A, C *

?odos los autovalores de ) A − LC * pueden asignarsearbitrariamente seleccionando un vector real L si solo

si ) A, C * es observable.

18

% ) * x A LC x= − = −x x



/59

Teorema

?eorema de la signacion de #utovalores en observadores

-onsidere el par ) A, C *. ?odos los autovalores de ) A − LC * pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L

si solo si ) A, C * es observable.

19

$rueba%

Recurriendo a la dualidad controlabilidad@observabilidad, el par ) A, C * es observable si solo si ) AT , C T * es controlable.

&i ) AT , C T * es controlable todos los autovalores de ) AT − C T K *

pueden asignarse arbitrariamente mediante una eleccion

adecuada de K .

6a transpuesta de ) AT − C T K * es ) A − K T C * por lo tanto,

acemos L ' K T .



/59

Teorema

?eorema de la signacion de #utovalores en observadores

-onsidere el par ) A, C *. ?odos los autovalores de ) A − LC * pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real L

si solo si ) A, C * es observable.

20

&i ) AT , C T * es controlable todos los autovalores de ) AT − C T K *

pueden asignarse arbitrariamente mediante una eleccion

adecuada de K .

6a transpuesta de ) AT − C T K * es ) A − K T C * por lo tanto,

acemos L ' K T .

El mismo procedimiento usado para calcular la matriz de realimentacion

de estados K sirven para calcular la matriz L del observador.



/59

$rocedimiento de dise&o del observador

;btener el par ) AT , C T *. &i el par es controlable

continuar

Elegir los valores propios deseados del observador

en lazo cerrado

+sando ) AT , C T *, calcular la matriz de realimentacion

K mediante el procedimiento para la asignacion de

autovalores, via la "orma canonica.

;btener L ' K T

21

con la "uncion K = place) AT , C T ,P * de

A#?6#



/59

REALIME'TACIO' DE LASALIDA

22



/59

Arquitectura del control

23

&e usa una estimacion

del estado para generar

el control

&e asume el sistema

conocido, con D ' (

Resultados validos si

remplazando y)t * por

( ) ( )%u t K t = − x

Bu

y C = +=

x Ax

x ( ) ( ) ( ) y t y t Du t = −

( D ≠



/59

Dinamica del estado en la"o cerrado

De"iniendo el estado del sistema aumentado, en lazo

cerrado

» artiendo de las ecuaciones

24

%u K = − x

% %) * A LC Bu Ly= − + +x x

> A Bu y C = + =x x x

a% x

= = −

x I ( xx

I I x%

( ) (% %( x x=

( ) (( x x=



/59


» Dinamica del estado, en lazo cerrado

» Dinamica del error

25

% x Ax BK = − x&

% Ax BK BKx BKx− += − x ( ) ( )% A BK x BK x= − + − x

( ) ( ) A BK x t BKx= − +

%u K = − x

% ) * x A LC x= − = −x x



/59


6a dinamica del sistema aumentado$

26

6os autovalores del sistema realimentado son la union de los

autovalores de

% ) * x A LC x= − = −x x

( ) ( )= − +& x A BK x t BKx

{

( ) (

( (

(%

a

a a A BK BK x x

A LC x x x− = = − −

x

x x(

&%

A BK A LC − −



/59

Caracteristicas

6a ecuacion de estado resultante no es controlable la

"uncion de trans"erencia es igual a

Esta es la "uncion de trans"erencia del sistema

realimentado original sin usar el estimador de estado

El estimador es completamente cancelado en la

"uncion de trans"erencia desde r a y

27

A BK BK B

r x A LC x

−

= + −

x x

( (

[ ] y C x

=

x

(

1% ) * ) * f g s C sI A BK B−= − − y C = x) * A BK Br = − +x x&



/59

Dise&o del control

6os autovalores del sistema realimentado son la union

de los autovalores de

Esta es la #ro#iedad de la se#aracion$ la solucion en

dos diseños separados

;btener los autovalores deseados de A – BK seleccionando

la ganancia de realimentacion

;btener los autovalores deseados de A – LC seleccionandola ganancia del observador

28

A BK A LC − −



/59

E)em#lo *

29

Diseñar la realimentacion de estado u ' r − K x para ubicar

los autovalores en −1 −2.

&olucion$

u

+

=

1

(

11

1(xx [ ]x(1= y

[ ]1 2

1 2

( 1( 1 (

1 11 1 1 A BK k k

k k

− = − = − −

2

2 1

1 2

) * ) * ) 1* )1 * ) 1*) 2*

3, 4

f s sI A BK s k s k s s

k k

∆ = − − = + − − − = + +

⇒ = =



/59

E)em#lo *

30

Diseñar la realimentacion de estado u ' r − K x para ubicar

los autovalores en −1 −2.

Realimentacion de estado$

[ ]x43−= r u

r

+

−−=

1

(

32

1(xx [ ]x(1= y



/59

E)em#lo *

31

&istema original$

&istema realimentado$

u

+

= 1

(

11

1(

xx [ ]x(1= y

r

+

−−=

1

(

32

1(xx [ ]x(1= y

[ ]x43−= r u

B Br u ∫ ∫ 2 x

2 x 1 x 1 y

1

1

C 4

C 3



/59

E)em#lo *

32

&olucion$

Diseñar el estimador de estado completo con autovalores

en −4 −5.

[ ]

1 1

2 2

1( 1

1 ( 1 11 1

l l

A LC l l

− − = − =

−

2

1 2 1

1 2

) * ) * ) 1* ) 1*

) 4*) 5* 1(, 31

o s sI A LC s l s l l

s s l l

∆ = − − = + − + − −

= + + ⇒ = =



/59

E)em#lo *

33

Es estimador de estado$

Diseñar el estimador de estado completo con autovalores

en −4 −5.

% %) *

1( 1 ( 1(%

3( 1 1 31

A LC Bu Ly

u y

= − + +

− = + + −

x x

x

+r u

∫ ∫ 2 x 2 x 1 x1 y

1

1

- 3

- 4

1

∫ ∫ ++

10

31

-101

1

-30

1% x2

% x



/59

E)em#lo +

34

Diseñar el observador para el pendulo invertido en el carro

( ) ( )

{

( )

( ) ( )

( 1 ( ( (

( ( 1 ( 1( ( ( 1 (

( ( 5 ( 2

1 ( ( (

( ( 1 (

t t u t

t t

− = + −

=

bA

C

x x

, x

&

1 442 4 43

1 44 2 4 43

1 2 3 4 x y x y x xθ θ = = = =&



/59

E)em#lo +

35

-omprobamos si el par ) AT , C T * es controlable desde la

primera salida

sysO = ss(A',C',C,D)

Q = ctrb(sysO)

matlab

[ ]1 ( ( (C =1

2

y y

y

=

( ) ( ) ( )2 3T T T T

C CA CA CA

=

1 ( ( (

( 1 ( (

( ( 1 (

( ( ( 1

=

−

−

1 x θ =



/59

E)em#lo +

36

&e seleccionan los autovalores deseados del observador

escogidos por las propiedades de la respuesta

olinomio caracteristico deseado en lazo cerrado

1

2

15 5

15 5

!

!

λ

λ

= − +

= − −3

4

1( 1(

1( 1(

!

!

λ

λ

= − +

= − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( 1( 1( 1( 15 5 15 5" s s ! s ! s ! s != + − + + + − + +

( ) ( )2 2

2( 2(( 3( 25( s s s s= + + + +

{ { {3 2 1 (

4 3 2 1 (5( 1(5( 11((( 5(((( s s s s s

α α α α

= + + + + 123



/59

E)em#lo +

37

olinomio caracteristico en lazo abierto

anancia del observador , para el sistema en la "orma canonica

( ) ( )det" s sI A= −

{ { { {

3 2 1 (

4 3 2 1 (( 5 ( ( s s s s s

α α α α

= + − + +

[ ]1 ( ( 1 1 2 2 3 3T

L α α α α α α α α = − − − −

[ ]1 5(((( 11((( 1(55 5(T

L =



/59

E)em#lo +

38

6a ganancia de realimentacion en las coordenadas

originales es,

<inalmente

1T T T L L P L CC −= =

1 2 3

1 21 2 3

1

1

( 1

( ( 1

( ( ( 1

P B AB A B A B

α α α

α α

α −

=

[ ]1 5( 1(55 1125( 5525T

L = − −



/59

E)em#lo +

39

El observador

( )% %

%

A LC Bu L

C

= − + +

=

x x ,

, x

&

5( 1 ( ( ( 5( (

1(55 ( 1 ( 1 1(55 (% %

1125( ( ( 1 ( 1125( (

5525 ( 5 ( 2 5525 (

u

− − − = + +

−

− −

x x ,&

[ ]1 ( L L=



/59

E)em#lo +

40

El observador con realimentacion

ara

5( 1 ( ( 5( (

1(53 3.FF .5G3 4.333 1(55 (% %

1125( ( ( 1 1125( (

5522 .333 12.1F G.FF 5525 (

(1

(

2

r

−

− = +−

− − − −

+ −

x x ,&

%u K r = − +x

5 1(3 13113 3 12 2

K = − − − −



/59

E)em#lo +

41

-omparacion

0 1 2 3 4 5 6 7-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Time (s)

C a r t p o s i t i o n

Observer feedback

State feedback

0 1 2 3 4 5 6 7-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Time (s)

C a r t p o s i t i o n

Observer feedback

State feedback



/59

E)em#lo -

42

-onsidere el pHndulo invertido del e/emplo anterior

&ean los autovalores deseados −1.5±(.5 ! −1± ! .

A#?6# tiene la "uncion K = place) A,B,P * !ue calcula K para ubicar los autovalores en los valores dados en el

vector P .

EIER-J-J;$ Diseñar el controlador con observador

construir observar el comportamiento del

sistema en lazo cerrado en &imulinK



/59

EL OBSERADOR DE ORDE'RED.CIDO

43

i



/59

El observador de orden reducido

&e supondra, aora, !ue " de los # estados del sistema

pueden ser medidos en "orma directa.

» Estos estados se agrupan en el vector

» mientras !ue los restantes # $ " estados se agrupan en

» 6a ecuacion de estado original

44

C tiene rango completo de "ila

1 1 2, , ,T

" x x x x =

2 1 2, , ,T

" " # x x x x+ + =

$ B

C

= +Σ

=

x Ax u

, x

& $ , $ , $# # B # p C " #× × ×A

1 x

El b d d d d id



/59


&i C ' 0 I ( , entonces ,)t * son los primeros "

estados

de"iniendo,

45

( ) 1

1T T # "

− ×= ∈C CC R

1 "C I =

El b d d d d id



/59


de"iniendo

46

+na base para %ull )-*

( ) ( )2 2 2$ # # "

ra#k # "× −

∈ = = −C (R

( )1

2 2 2T T # " &

− ×= ∈R

( ) ( ) ( )1

2 2 2 2 2T T

# " # " & − − × −= = I

El b d d d d id



/59


47

El b d d d d id



/59


De"iniendo la trans"ormacion P

or la trans"ormacion

48

[ ]21

1$ //$/ == − *)$,$ 21 "##"# −×× //

[ ] 1 2

1 2

1 2

"

## "

C C C

−

= = = =

I (/ /

I $/ / / ( IR/ R/R

$xx =

1

1$

"

B

C

−

−

= +Σ ⇒

= =

x $A$ x $ u

, $ x I ( x

& 11 111 12

22 221 22

1"

B

B

= +

= =

xx A Au

xx A A

, I ( x x

El b d d d d id



/59


?odos los estados x1 son accesibles. &olo necesitan ser

estimados los ultimos #−" elementos de

+sando , tenemos

De"iniendo,

49

⇒

En la ecuacion de salida se a puestode mani"iesto !ue todos los estados x1

son accesibles seran tomados como

salidas para su realimentacion

x

1x, =

2 21 22 2 2

11 12 2 1

y B

y B

= + +

= + +

x A A x u

, A A x u

&

&

21 2

11 1

B

B

= + = − −

u A , u

0 , A , u&

=

+=

212

2222

xA0uxAx

11 111 12

22 221 22

1"

B

B

= +

= =

xx A Au

xx A A

, I ( x x

El b d d d d id



/59


El problema se reduce a diseñar un observador

para el sistema$

De"iniendo,

50

21 2

11 1

B

B

= +

= − −

u A , u

0 , A , u&

=

+=

212

2222

xA0

uxAx

El b d d d d id



/59


El observador$

De"iniendo,

51

Re!uiere derivar la salidaLL

21 2

11 1

B

B

= +

= − −

u A , u

0 , A , u&

( )2 22 2 12 2% % % x x L ' x•

= + + −A u A

El b d d d d id



/59


ara eliminar la derivada, de"inir

Entonces,

52

( ) ( ) ( )2%t t t ξ = −x L,

( ) ( ) ( )2%

d d d

t t t dt dt dt ξ = −x L ,

El b d d d d id



/59


ara eliminar la derivada, de"inir

Entonces,

53

( ) ( ) ( )2%t t t ξ = −x L,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

22 12 2 1

21 11 22 12

d t t t

dt t

ξ ξ = − + −

+ − + −

A LA B LB u

A LA A LA L ,

El b d d d d id



/59


Entonces,

Estimar$

54

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

22 12 2 1

21 11 22 12

d t t t

dt

t

ξ ξ = − + −

+ − + −

A LA B LB u

A LA A LA L ,

( ) ( )( ) ( )

% t t t t ξ

= + ,x

L,

Realimentacion de los estados estimados



/59


El control se genera por la realimentacion de los

estados estimados

55

( ) ( ) [ ] ( )

( ) ( )

[ ] ( )

( )

1 2

1 2 2

% P

t t t

t t

t

t

ξ

ξ

= − = −

+

= − +

,u 1 x 1 1

L,

,1 1 L 1

( ) ( ) [ ] ( )

( ) ( )

[ ] ( )

( )

1 2

1 2 2

%t

t t

t t

t

t

ξ

ξ

= − = − +

= − +

,u 1x 1 1

L,

,1 1 L 1




/59


&istema aumentado en lazo cerrado

Eiste separacion de los problemas de la

estimacion de los estados el control

56

( ) ( )2

22 12a a

d t t

dt

− = −

A B1 B1 x x

( A LA




/59


&i ) A, C * es o(ser)a(le, puede ser construido un

estimador completo o de orden reducido convalores propios arbitrarios

&i las variables de estado %*

estan disponibles para realimentacion, podemos diseñar un estimador de estado

57

*)t r *)t u

*)t y+

lant

2

−

Estimator x%

x2 %−=

r u

Biblio3ra4ia



/59

Biblio3ra4ia

#. D. 6e8is, A +atematical Approac to

Classical Co#trol , 2((3, on line accesttp$@@888.mast.!ueensu.ca@Mandre8@teacing@m

[email protected]

Robert 6., Nilliams, Douglas #. 6a8renceO Li#ear -tate.-pace Co#trol -ystemsP, Nile,

2((

58

http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml






5I'

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