objetivos:comprender como los electrones logran abandonar el filamento para ser posteriormente...

Objetivos: Comprender como los electrones logran abandonar el filamento para ser posteriormente acelerado en el equipo radiológico.

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Generadores de Radiación Ionizante 1.2 Modelo del Filamento

www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-1-2-Modelo-del-Filamento-08.08

Dr. Willy H. GerberInstituto de Fisica

Universidad AustralValdivia, Chile

Electrones de valencia

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“Mar” de Electrones de Valencia no localizados

Cationes metálicos

x

Electrones de valenciaquasi libres


Paréntesis Mecánico Cuántico

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El electrón de conducción no se describe como una partícula “corpúsculo” si no como una “onda”. Dichas ondas “ocupan” el potencial del metal conductor de largo L, describiendo cada una un estado posible con energía bien definida.


z/L

n

Función de onda

El vector de onda de la partícula es

Otras variables que se asocian a la onda son:

El impulso La energía

Largo de onda

Electrones de valencia

4

LL

L

En un cupo de LxLxL

Su vector de onda es

con nx, ny y nz los estados posibles. Si m es la masa, la emergía será:

con h la constante de Planck ( ) )


Parámetros:Masa del electrón 9.11x10-31 kgConstante de Planck h = 6.63x10-34 Js

Espacio estado

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En el espacio de estados, estados con igual energía se encuentran distribuidos sobre una esfera:

nx

ny

nz


Numero de estados

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El numero de estados en la esfera de radio n:

en que los n pueden tomar valores entre 0 y el numero de electrones N. Por ello el volumen de la esfera debe ser dividido por 1/8:


Espacio estado

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Los estados con una energía entre E y E + dE se encuentran entre el espacio estado entre la esfera de radio E y la de radio E + dE:

nx

ny

nz

El numero de estados entre ambas superficies se puede calcular retando del numero total de estados en la esfera de radio E + dE aquellos de la esfera de radio E.


Densidad de estados

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Con 2 estados por spin “up” y “down” el numero es:


Probabilidad de que el estado este ocupado

9

1

0

0 5

F(E)

E/EF

EF=100kT

EF=kTEF=2kTEF=10kT

La probabilidad de que uno de losestados este ocupado esta dado por la función de Fermi:

con

EEF

k

T

Energía [J]Energía de Fermi [J] Constante de Boltzmann [J/K]1.38x10-23 m2 kg/s2 KTemperatura absoluta [K]


F(E) = 1; es seguro que un electrón ocupa el estado

F(E) = 0; es seguro que ningún electrón ocupa el estado

Energía de Fermi

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En el caso extremo de T -> 0:

con lo que se puede calcular la energía de Fermi EF ya que el numero de electrones en el cubo de lado L es N [#/m3].


Limites

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Situaciones limites


Distribución de electrones

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Con la temperatura los electrones comienzan a desplazarse a estados superiores:


Función de trabajo

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x

Fermi

Valencia

Conducción

Libre

Función de trabajo φ

Afinidad electrónica


Escape de electrones

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pz

Condición para abandonar el conductor:

γ(pz)

γ(pz)pz

mEF

ϕ

1 ‒ γ(pz)

Coeficiente de reflexión [-]Impuso [kg m/s]Masa electrón [kg]Energía de Fermi [J]Función de trabajo [J]

Impuso mínimo que debe tener el electrón


Escape de electrones

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Numero de electrones con impulso entre(px,py,pz) y (px + dpx, py + dpy,pz + dpz)



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La corriente de electrones es entonces:

o sea

Para calcular la corriente debemos modelar la función de densidad f



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Para obtener la función f se puede recurrir a la densidad de estados Z. La relación entre el impulso y el modo del electrón:

Con el volumen del espacio de fase

y la energía

se obtiene



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Pasando del volumen de numero de estados al impulso

Como nos interesa solo la componente en z se procede a integrar en x y y:

Con lo que se obtiene la función densidad



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Lo que nos permite derivar la ecuación de Richardson-Dushman

Con

y

se obtiene la integral de la corriente

con


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