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Introducción

La recta numérica, un camino al estudio de los números reales

Identificación del conjunto de números reales

Figura 1. Museo

Reconocer las propiedades de los números reales

Identificar los números reales como la unión de otros conjuntos numéricos.Realizar operaciones entre números reales.

Objetivos de aprendizaje

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Los conjuntos numéricos

Actividad 1

Con base en el presente diagrama y la animación de la introducción, resuelve:

a) Ubica los números del diagrama en la columna que le corresponde a la siguiente tabla.

Figura 2. Diagrama números reales

Tabla 1. Clasificación de los conjuntos numéricos

6,3598642.856 36

8 5248

0,6589

-5698

0-751

-3 √52 √103

√31235

324.52

52,36

32,23526

R

Números naturales Números enteros negativos

Números racionales Números irracionales

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b) Luego de ubicar los números del diagrama en la tabla, argumenta por qué los ubicaste donde lo hiciste.

c) Ahora completa las siguientes frases:

• El conjunto de los números naturales nació de la necesidad del hombre de ___________________________.

• Luego, al tratar de expresar con números situaciones como: “una temperatura a grados bajo cero”, entre otras, se vio a la necesidad de ampliar el conjunto de los naturales al conjunto de los __________________ que incluye a los ___________________ y a los __________________________.

• Después, para expresar situaciones como: “partir objetos en diferentes partes”, necesitó de un nuevo conjunto al que llamamos números ___________________ y se dio cuenta que si tenía 6/2 también lo podía expresar como 3, y que -10/5 era = -2 , es decir que los ____________________están incluidos en este conjunto.

• Por último vimos que existen números que se escriben diferente a los demás y que tienen cifras decimales infinitas no periódicas y los llamamos ______________________________________.

Los conjuntos que vimos los podemos reunir en un solo conjunto numérico llamado “conjunto de los número reales, por lo cual podemos concluir que este conjunto es el que contiene a los números racionales, a los números irracionales, a los números enteros y a los números naturales.

Naturales: _________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

Enteros: ___________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

Racionales: ________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

Irracionales: _______________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

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Conjunto de los números reales

Actividad 2

De los siguientes diagramas elige el que corresponda al conjunto de los números reales y luego en él, escribe los números que se presentan en la tabla, dentro de los conjuntos correspondientes.

Q Z

I

N

R

Q

ZI

N

R

N

Z

QI

R

Q

Z

N

I

R

A

C

B

D

Figura 3. Diagramas

3,1416... -63 2,718281... -0,56

0,78 5/9 1,6180... 45

√5

√36

14,15368... 45,387979

124 -8

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Los números reales en la recta real

Relación de orden en los números reales

Propiedad 1

Actividad 3

Actividad 4

Con la experiencia en las actividades de los conjuntos numéricos vistos hasta ahora, ubica los siguientes números (de manera aproximada) en la recta numérica.

Para establecer la relación de orden entre los números reales debes tener en cuenta dos propiedades.

Completa las siguientes oraciones con las palabras menor o mayor según el caso:

103

1032.5 4.8 2.236; ; ; ; ;...;- -- √9

- 6 - 4 - 2- 5 - 3 - 1 1 2 3 4 5 6 70

a) Si en tu casa son tres hermanos, así: Juan, Pedro y Julia, y si Juan es menor que Julia, pero a su vez Julia es menor que Pedro, es porque Juan es _____________ que Pedro o Pedro es _________________ que Juan.

b) Si un kilómetro es mayor que un decámetro y el decámetro es mayor que un metro entonces el kilómetro debe ser __________________ que el metro o el metro es _________________ que el kilometro.

c) Si Mario es más alto que Carla y Carla es más alta que juanita entonces Mario es ____________ que Juanita o Juanita es más __________________ Mario.

d) Entonces indica que propone esta propiedad ___________________________________________

_____________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________

Este tipo de relación la podemos llevar al conjunto de los números reales comparando tres números reales a, b y c. Esta relación de orden recibe el nombre de Propiedad transitiva.

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Propiedad 2

a) Ahora, si fueras a comparar dos números según su valor, ¿cuántas relaciones se pueden encontrar? ________________________________________________________________________________________

Relaciona según su valor los siguientes números

b) 25 es ________________________________________ 5

c) 30 es ________________________________________ 30

d) 3 es ________________________________________ 12

A las anteriores relaciones entre dos números las unimos en una propiedad que se llama:

Propiedad o ley de la tricotomía: Permite comparar 2 números reales: a y b

Para lo cual existen tres posibilidades, así:

a es menor que b ( a<b)

a es mayor que b (a>b)

a es igual que a (a=a)

Ahora resuelve los ejerciciosEjercicio 1Teniendo en cuenta la ley de la transitividad en los números reales, de los siguientes casos indica cuáles son verdaderos (v) y cuáles falsos (f ), escribiendo V o F en los recuadros

a) De las notas finales entre alumnas,Mariana saco una nota más alta que Tatiana y Tatiana obtuvo una nota más alta que Juliana, por lo tanto Mariana sacó una nota más alta que Juliana.

b) Carlos gana más salario que Juan y Juan gana más que Jorge, por lo tanto Carlos gana menos que Jorge.

c) Si un BMW tiene un costo más alto que un Mercedes y el Mercedes tiene un costo más alto que un Renault, entonces el Renault tiene un costo más alto que el BMW.

d) Si el río Magdalena es más largo que el río Cauca y el río Cauca es más largo que el río Medellín, entonces el río Medellín es más corto que el río Magdalena.

Realiza aquí tus cálculos

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Ejercicio 2Compara los siguientes números. Para ello escribe en los espacios vacíos el signo que corresponda: entre <, > o =

a) -7 es _____________ 6

b) 5 es ______________ 5

c) -9 es ____________ -20

d) 2 √9 es __________ 6

e) 27 es _____________ 12

f) √5 es ______________ 0

g) 2.9 es ____________ 2.899

h) 0.35 es __________ -1.25

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Operaciones de números realesActividad 5

Realiza las siguientes operaciones, para ello escribe en los espacios vacíos la información correcta. Nota: para el cálculo de las raíces exactas puedes utilizar calculadora.

a) Jorge dispone de $30000°° para compras. El jueves gastó 2/5 de esa cantidad y el viernes los ¾ de lo que le quedaba ¿Cuánto gastó cada día? ¿Cuánto le queda luego de los gastos? (expresa tus respuestas en pesos)._____________________________________________________________________________________________

b) Un coche tiene que recorrer una distancia de 300km en 3 horas. La primera hora recorre 379 Km de la distancia, la segunda hora recorre 5/10 de la distancia, y la última hora recorre 2/12 ¿cuantos kilómetros recorrió en la segunda y en la tercera hora?_____________________________________________________________________________________________

c) Julio gana $25000 cada lunes miércoles y viernes y $30000 los martes, jueves y sábado, descansa el domingo. ¿Cuánto gana en la semana?_____________________________________________________________________________________________

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Operaciones combinadas de números realesActividad 6

A partir de los números de las columnas a, b y c, realiza las operaciones indicadas y escribe el resultado en la casilla correspondiente (trabaja sólo con tres decimales).Tabla 2. Operaciones

a b c a•(b•c) a÷(-b • - c) b•(-a÷b)

-2 34

2.4

5.5 -3.4 72

√-27 6.5 √53

Realiza aquí tus cálculos

Propiedades de la suma y la multiplicación de los números reales

Actividad 7

Resuelve los ejercicios de la izquierda, y después relaciónalos con las propiedades de la columna derecha. Para ello escribe el número de la propiedad, en la columna de la izquierda de la tabla de ejercicios, en el ejercicio que corresponda.

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PROPIEDADES#EJERCICIOS

Propiedad del elemento neutro1

Propiedad interna o clausurativa3

4

5

7

6

Propiedad asociativa2

Propiedad conmutativa

Propiedad del elemento opuesto

Propiedad del inverso multiplicativo

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma

35

92

. =

127

712

. =

75

75

+ - =

135 0+ =

35

35

+ ++ += =

53

53

53

53

. . . . .5.36 5.36-7 -738

38

+ += =

Tabla 3. Propiedades de la suma y multiplicación de los números reales

38

38

+ + =1.25 - 10 =1.25 - 10

4.3 4.3

43

43

. . . .= =1.333 (1.333 (-5)) -5

-7 -7

912

. 64

64

912

- = =--7 -7. .

- =√2 1.

32

+ =4.3 -5

f) Mario vende 25 canicas a $200c/u, luego le regala $2000 a su madre y se encuentra $√10000 . Después se gana $900 y luego reparte el dinero que tiene, en partes iguales, entre sus tres hermanos y él.¿Cuánto le corresponde a Mario?

g) Si tengo $ 2730 y pago $720, y después un tío me da la mitad del dinero que me queda. Posteriormente destapo la alcancía y saco $485. Más tarde mi padre me da el triple de lo que tengo ¿Con cuánta plata terminé?

Cálculo mental

Actividad 8

Ahora que conoces las propiedades de las operaciones con números reales, vamos a comprobar tu capacidad para hacer cálculos mentales. Responde en el menor tiempo posible las preguntas que te hará el docente sobre el resultado de las siguientes operaciones, sin usar calculadora ni hacer cálculos en el papel. Las preguntas también pueden ser sobre operaciones similares, pero diferentes a las que aparecen en el material.

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a)

b)

c)

d)

e)

=√16

√8 2√100=

45972

3252

(43-13)+4,444=

-

+

+ -

-

+-

+

3

7,4-36 9

(36+2,3)=

6 34-32 4

√64 =

Realiza aquí tus cálculos

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Los números Reales

El conjunto de los números reales lo podemos describir como el conjunto conformado por la unión entre el conjunto de los números racionales, y el conjunto de los números irracionales y se simboliza con R.

El siguiente diagrama muestra la relación entre los diferentes conjuntos numéricos

Reales

Racionalespueden ser pueden ser

Irracionalespueden ser

Enteros

Positivos

Negativos

NoEnteros

Positivos

Positivos

Negativos

Negativos

√5, π , 2.33256325...

-√3 , -3,1416..., -fi

12 ; 20 =5 4

7 ; 4,32 9

-95; - 42 =7 6

58 ; -5,32-13

Figura 4. Conjunto de los números Reales

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Propiedades de la suma y la multiplicación con números reales

Sean a, b y c números reales Suma Multiplicación

Propiedad Clausurativa Si a, b ⋲ R entonces a +b ⋲ R Si a, b ⋲ R entonces a • b ⋲ R

Propiedad Conmutativa a+b=b+a a•b =b•a

Propiedad Asociativa (a+b) +c= a+(b+c) (a•b) •c= a•(b•c)

Propiedad Existencia del elemento neutro

a+o=o+a=a a •1 = 1•a =a

Propiedad Existencia del opuesto o recíproco

multiplicativo

a+(-a)=(-a)+a=0 a • 1=1 •a =1 a a

Propiedad Distributiva con respecto a la suma

a(b+c)= a•b+a•c

Propiedades de la suma y la multiplicación con números reales

Tabla 4. Propiedades de la suma y la multiplicación

1) Ordena de mayor a menor los siguientes números, utiliza para ello el signo > :

√5 -7.3 4 - 6.2-4.9999... 7.56984…204

- 28

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Realiza aquí tus cálculos

2) Calcular el valor de las operaciones teniendo en cuenta que

a=- 35

c=-4 b= 2.6 b=-3√2

A) a.bc.d

B) b+ca-d

C) ad

= = =+,, bc

trabaja con céntimas

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Lista de figuras

Figura 1. Museo

Figura 2.Diagrama números reales

Figura 3. Diagramas

Figura 4. Conjunto de los números Reales

Lista de tablas

Tabla 1. Clasificación de los conjuntos numéricos

Tabla 2. Operaciones

Tabla 3. Propiedades de la suma y multiplicación de los números reales

Tabla 4. Tabla de las propiedades de la suma y la multiplicación

Referencias

Ettore, R. (2009, Septiembre 4). Fachada del Museo Histórico Provincial “Dr. Julio Marc”. [Fotografía]. Obtenido de: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Museo_Historico_Provincial_Dr._Julio_Marc.jpg