NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS, LA UNIDAD IMAGINARIA

Esto es a cuando nos encontramos con la raíz cuadrada de un número negativo cuyo resultado no es ningún número real.

Al número   se le llama unidad imaginaria

Así al resolver la ecuación x2-6x+11=0 del apartado 5, nos queda:

 

Al número   se le llama número complejo

a+bi NÚMERO COMPLEJO en forma binómica

a y b números reales

a parte real

b parte imaginaria

Con esta propiedad ya tenemos resuelto el problema de las raíces cuadradas de números negativos, veamos como:

Observación

Si nos fijamos en el ejemplo veremos que el producto de un número imaginario puro por uno real es otro imaginario puro.

  Representación gráfica Sobre el eje horizontal (eje real) representamos la parte real y sobre el eje vertical (eje imaginario) la parte imaginaria.Los números complejos se representan mediante vectores. Al extremo del vector se le llama afijo del complejo. Por ejemplo, el afijo del número complejo 2+3i es el punto (2,3).

Las potencias de i.

NÚMEROS COMPLEJOS

Forma binómica

El número complejo (a,b) lo podemos representar en forma binómica como a+bi.

Conjugado de un número complejo

El conjugado del número complejo z=(a,b) es otro número complejo  . En forma binómica, el conjugado de z=a+bi es 

Opuesto y conjugado

Número completo

Z = a + bi Opuesto de z -z = -a -biConjugado de z

Z = a - bi

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

  Suma y resta.

La suma y la resta de números complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números reales.

Ejemplo:

Efectuar: (3 – 5i) + (4 + 6i) – (-8 – 10i)

Solución: (3 + 4 + 8) + (-5 + 6 + 10)i = 15 + 11i

 Multiplicación de números complejos

La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que i2=-1

Ejemplo:

Efectuar: (2 + 4i) (5 – 3i)

Solución: 2 x 5 – 2 x 3i + 4i x 5 – 4i x 3i = 10 - 6i + 20i – 12i2 = 10 + 14i -12(-1) = 10 + 14i + 12 = 22 + 14i

 División de números complejos.Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de éste, así el divisor pasará a ser un número real.

Ejemplo:

Efectuar: 5 – 3i = (5 – 3i) (4 – 2i) = 20 -10i -12i +6i 2 = 20 -22i -6 = 14 – 22i = 14 - 22i = 0,7 – 1,1i 4 + 2i (4 + 2i) (4 – 2i) 16 – 4i2 16 + 4 20 20 20

EJERCICIOS

1. Representa en tu cuaderno los siguientes números complejos a) 5 +2i b) -4 + 3i c) -3 – 2i d) 6 + 6i e) 12 – 13i

2. Representa en tu cuaderno los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugadosa) 2 – 5i b) 5 + 2i c) -2 – 3i d) 6 – 3i e) 10 – i

3. Efectúaa) (3 + i) + (1 – 3i)b) (-5 + 3i) – (6 + 4i)c) (0,5 – 4i) + (-1,5 –i)d) (- 3,4 + 4,2i) – (1,4 + 4,3i)

4. Efectuar las siguientes multiplicacionesa) (-2 – 2i) (1 + 3i)b) (2 + 3i) (5 – 6i)c) (2 + 3i) (-2 – 3i)d) (-1 – 2i) (-1 + 4i)

5. Efectuar las siguientes divisionesa) 2 + 4i

4 – 2ib) 1 – 4 i

3 + ic) 5 + i

-2 – id) 4 – 2i i