NÚMEROS COMPLEJOS 

Son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa con la notación  , siendo   el conjunto de los números reales se cumple que   (  está estrictamente contenido en  ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

PROPIEDADES

· Primera propiedad

El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Demostración:

si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z

· Segunda propiedad

Dados dos números complejos cual quiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Demostración:

Tomando : z = a + bi y z' = c + di

Se obtiene:

a + bi y ' = c - di

Con lo que:

(a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i

· Tercera propiedad

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

Demostración:

Si z = a + bi y z = c + di

Se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i

Cuyo conjugado es (ac - bd) - (ad + bc)i .

Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que

(a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .

· Cuarta propiedad

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

Demostración:

Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado.

Esto equivale a que:

a + bi = a - bi

Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.

· Quinta propiedad

La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.

Demostración: (a + bi ) + (a - bi ) = 2a

(a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2

APLICACIONES

Soluciones de ecuaciones polinómicas

Un raíz o cero4 del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0;

Un resultado importante de esta definición es que todas las ecuaciones

polinómicas (algebraicas) de grado n tienen exactamente n soluciones en

el cuerpo de los números complejos, esto es, tiene

exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus

respectivas multiplicidades. También se cumple que si z es una raíz entonces su

conjugado también es una raíz del polinomio p.

Variable compleja o análisis complejo

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis

complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas

aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo

provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas

incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real,

necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de

variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace

especialmente difíciles de representar.

Ecuaciones diferenciales

En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones

diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero

las raíces (en general complejas)   del polinomio característico, lo que permite

expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la

forma:  .

Fractales

Muchos objetos fractales, como el conjunto de Mandelbrot, pueden obtenerse a

partir de propiedades de convergencia de una sucesión de números complejos. El

análisis del dominio de convergencia revela que dichos conjuntos pueden tener

una enorme complejidad autosimilar.

En física

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para

una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de

Fourier). En una expresión del tipo   podemos pensar en   como

la amplitud y en   como lafase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada.