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LAS ABEJAS NO SON TONTAS¿Por qué las abejas guardan la miel en hexágonos cuando sería más sencillo construir cuadrados, triángulos o círculos? Las abejas, al almacenar la miel, deben resolver un serio problema: necesitan guardarla en celdillas individuales almacenando la mayor cantidad de miel y ahorrando al máximo la producción de cera, que es de lenta y costosa fabricación. Es necesario que la pared de un panal sirva también al panal vecino, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre celdillas, con objeto de aprovechar el espacio al máximo. Si escogieran el círculo, se les plantearía el problema de que pierden mucho espacio entre los intersticios de los cilindros y cada panel sólo serviría para una celda.Luego sólo les queda la opción de los prismas. Pero los únicos prismas que pueden ser superpuestos sin dejar intersticios son el triangular, el cuadrangular y el hexagonal:

¿Por qué eligieron el prisma hexagonal? Porque construyendo hexágonos, las abejas utilizan el mismo perímetro que con triángulos o cuadrados, pero el área que encierra el hexágono es mayor.Luego a igualdad de perímetro, no dejando hueco entre celdas, la opción más favorable por mayor superficie es el hexágono.

¿Por qué las tapas de las alcantarillas son redondas?Las tapas de las alcantarillas son redondas por una sencilla cuestión geométrica. Si fueran cuadradas, al ser la diagonal más larga que el lado podríamos meter la tapa por el agujero y esta caería dentro. Al ser circulares, es imposible que la tapa se caiga por el agujero. Pero algunas si son cuadradas, ¿por qué? Porque el agujero que cubren no es lo suficientemente profundo y son fáciles de recoger si se caen por accidente.

Proporciones en la abeja

La medida del abdomen de la abeja dividida por Φ es igual a la medida de su tórax y, a su vez, la medida del tórax dividida por Φ es igual a la medida de su cabeza.

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EL NÚMERO ÁUREOEl número áureo o de oro  representado por la letra griega φ (fi) (φ en minúscula o Φ en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional (decimal infinito no periódico, no puede ser descrito como la razón de dos números enteros). También se conoce como número dorado, razón áurea, proporción áurea y divina proporción.

Fue descubierto en la antigüedad como relación entre segmentos de rectas. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

Esta proporción ha fascinado desde hace siglos al ser humano, que lo ha considerado un indicador de la perfección. Lo podemos encontrar en la naturaleza o en representaciones artísticas: el Partenón, la Mona Lisa... Diariamente manejamos objetos en los cuales se han tenido en cuenta las proporciones áureas para su elaboración: tarjetas de crédito, cajetillas de tabaco... En general, cuando algo nos resulta atractivo esconde entre sus partes esta relación. ¿No es asombroso?Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Es un rectángulo armonioso en sus proporciones porque el cociente entre su lado mayor y su lado menor es precisamente el número de oro. ¿Cómo construirlo? Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, el lado mayor del rectángulo vale 1 más la raíz de 5, por lo que la proporción entre los lados es 1 más la raíz de 5 todo ello dividido entre 2:

Si a un rectángulo áureo le añadimos sobre su lado mayor un cuadrado, obtenemos otro rectángulo áureo. Si dividimos entre sí los lados mayores de los rectángulos áureos que van apareciendo, o dividimos el lado mayor entre el lado menor de cada rectángulo áureo, vemos que en todas las divisiones aparece el número de oro 1,618033.... Una vez construida esta sucesión de rectángulos áureos encajados si unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, utilizando como centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado, obtenemos una curva que es la famosa espiral de Durero. El crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos) sigue esta espiral de Durero.

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El número áureo también está "emparentado" con la serie de Fibonacci.En matemáticas la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales: 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…La sucesión inicia con 0 y 1 y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores. Si vamos dividiendo cada valor de la serie de Fibonacci por el anterior, el resultado tiende a φ. Cuanto más altos son los valores, mayor es la aproximación.También se puede ver gráficamente. Basta con empezar dibujando dos pequeños cuadrados que tengan de lado una unidad. A partir de ellos se forma otro cuyo lado es 2 unidades, seguimos con cuadrados de lado 3, 5, 8, 13… Si los ordenamos crecientemente de forma que compartan sus lados, obtenemos una serie de rectángulos que cumplen la proporción áurea; esto es, rectángulos de lados 2×3, 3×5, 5×8, 8×13….

Los números de Fibonacci aparecen a menudo en la naturaleza. Por ejemplo, se sabe que de los huevos que pone la abeja reina en una colmena, si están fecundados nacen abejas obreras o reinas, mientras que de los no fecundados nacen zánganos. Así pues, las reinas o abejas obreras tienen dos progenitores, mientras que los zánganos tienen sólo uno. El número de individuos en cada generación de ancestros de un zángano sigue la sucesión de Fibonacci.

Luego si estudiamos la cantidad de antepasados que tiene un zángano en su árbol genealógico se tiene que: un zángano (1) no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1); dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2); tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3); cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5); ocho tatatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, completando de forma perfecta la sucesión.

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PARA PROFUNDIZAR

Vídeo sobre el número áureo:http://www.rtve.es/alacarta/videos/la-aventura-del-saber/aventura-del-saber-serie-mas-menos-numero-aureo/1290977/

Artículo de ABC sobre el número áureo: http://www.abc.es/20100415/ciencia-tecnologia-matematicas/numero-aureo-belleza-matematica-201004151848.html

OBRAS DE ARTE Y ARQUITECTURA

Leda atómicaEl cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

La GiocondaLeonardo es un gran apasionado de las matemáticas y como tal lo demuestra en sus obras de arte. En el esquema se puede ver como el rostro de la Gioconda se encuadra perfectamente en un rectángulo áureo.

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La última cenaEn el cuadro La última cena el rectángulo áureo define tanto las dimensiones de la mesa como la disposición de Cristo y sus discípulos. 

El hombre de Vitruvio

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Un hombre perfecto sería aquel en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambos manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. La relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo.En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número.Si quieres comprobarlo puedes medir desde tu hombro hasta la punta de los dedos de la mano extendida. El resultado divídelo por la medida desde el codo hasta la punta extendida de los dedos. (¿Cuánto te sale?). Prueba a hacer lo mismo con las medidas desde la cadera al suelo entre la medida desde la rodilla al suelo. También puedes probar a dividir tu altura total por la medida resultante desde tu ombligo al suelo. Todos estos estudios de Leonardo son fruto de concienzudas medidas y estudios sobre cadáveres que desenterraban.

San JerónimoEn San Jerónimo, lienzo inacabado de Leonardo Da Vinci, el santo encaja tan perfectamente en un rectángulo de oro que se piensa que esto se realizo intencionalmente,

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La Sagrada familia de Miguel Ángel

El David de Miguel ÁngelMiguel Ángel, por ejemplo, hizo uso del número áureo en la impresionante escultura El David, desde la posición del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.

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El Partenón griego

Edificio de la Sede de las Naciones Unidas en Nueva York

Catedral de Notre Damme

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La Torre EiffelLos ejes de sus cuatro pilares forman un cuadrado de 100 metros que seria el lado pequeño de un rectángulo áureo (rectángulo cuya proporción entre la base y la altura es el número de oro). Poniendo dos rectángulos, como puede observarse a la derecha, se consigue la altura de la torre. Así, la altura de la torre es:100 x Fi x 2=323,61 metros. También puede observarse la razón áurea en otras partes de la torre, tal y como se puede apreciar en el dibujo.

Pirámide de Keops

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El número de oro aparece, no una vez sino hasta tres veces en relaciones numéricas entre distintos elementos de la pirámide. Así la razón entre la altura de una cara y la mitad del lado de la base es 1'618..., es decir, el número de oro. Pero no acaban aquí las sorpresas, el cociente entre el área total y el área lateral de la pirámide es también el número de oro. Y por si fuera poco, el cociente entre el área lateral y el área de la base sigue siendo el número áureo.

Escaleras del VaticanoUna de las espirales de Durero más originales y actuales es la de las escaleras del Vaticano.

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OBJETOS DE USO DIARIO

DNI

Tarjetas de crédito

Avión de combate HellCatEn el ataque japonés a Pearl Harbor, en diciembre de 1941-que hizo que los Estados Unidos participaran en la Segunda Guerra Mundial- el avión de combate Zero tuvo la más destacada actuación. Para contrarrestarlo se diseñó el HellCat, un pequeño caza con mejores condiciones de maniobra. En forma indiferente a que se trate de un arma de guerra, contribuyó a su eficacia la presencia de Φ en su configuración.

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LOGOTIPOS

http://www.brandemia.org/la-proporcion-aurea-en-el-diseno-de-logotipos/

Logotipo de iCloud

Logotipo de BP

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Nuevo logotipo de Pepsi

Logotipo de Toyota

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Logotipo de Apple

Logotipo de National Geographic

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Logotipo de Twitter

NATURALEZA

La espiral de Durero: se encuentra en las galaxias y en los huracanes.La mayoría de los pájaros guardan una relación de proporción áurea entre la cabeza y el cuerpo. Además algunas aves como las águilas descienden hacia su presa dibujando una espiral áurea en el cielo.En la actualidad se conservan gran cantidad de unos fósiles muy especiales, los ammonites, que vivieron en el jurásico y el cretácico hace millones de años. Ellos, como el Nautilus, tienen una concha, parecida a la de un caracol, que una espiral perfecta. Y no es un fenómeno tan extraño.

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Los números de la sucesión de Fibonacci, tan íntimamente ligados a φ se presentan en múltiples ocasiones en la naturaleza , por ejemplo: en el centro de una margarita se encuentran 2 series de espirales de ellas 21 giran en el sentido de las manecillas del reloj y 34 (21 y 34 son números adyacentes en la serie de Fibonacci) en el opuesto. En la piña del pino se presenta la relación 5:8, entre otros casos, lo más sorprendente es que todo tiene su razón de ser así, de esta manera se apiña el máximo número de semillas en el menor volumen posible.

PENTÁGONO PITAGÓRICO

Pitágoras y sus seguidores formaban una especie de escuela o comunidad. Para ellos, el número cinco tenía un atractivo especial. Su símbolo era una estrella de cinco puntas y les interesaba especialmente la figura del pentágono.El lema de la escuela pitagórica fue todo es número y su emblema un pentágono regular estrellado. En el pentágono encontraron el número Φ llamado número áureo (de oro).

En el pentágono estrellado figura el número áureo infinidad de veces. Así, también es el cociente entre la parte más larga y la más corta en que una diagonal corta a otra.Φ = D/d

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También hay poemas dedicados al número áureo:

A la divina proporción 

Rafael Alberti

A ti, maravillosa disciplina,media, extrema razón de la hermosura, 

que claramente acata la clausuraviva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina,áurea sección, celeste cuadratura,

misteriosa fontana de mesuraque el universo armónico origina.

A ti, mar de los sueños angulares,flor de las cinco formas regulares,

dodecaedro azul, arco sonoro.

Luces por alas un compás ardiente.Tu canto es una esfera transparente.

A ti, divina proporción de oro.

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