11/8/2015 NmeroalgebraicoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico 1/5Nmerosalgebraicosdelplanocomplejocoloreadossegnsugrado(azul=4,cyan=3,rojo=2,verde=1).Lacircunferenciaunitariaencolornegro.NmeroalgebraicoDeWikipedia,laenciclopedialibreUn nmero algebraico es cualquier nmero real o complejo que es solucin de unaecuacinalgebraica1delaforma:Donde:,unnmeronatural,determinaelelgradodelaecuacin.,loscoeficientesdelpolinomiotodossonnmerosenteros,notodosnulos.0ndice1Ejemplos2Gradodeunnmeroalgebraico3Clasificacindeloscomplejos4Propiedadesdelconjuntodelosnmerosalgebraicos5Enterosalgebraicos6Extensionesalgebraicas7Vasetambin8Referencias9EnlacesexternosEjemplosTodoslosnmerosracionalessonalgebraicosporquetodafraccindelaformaa/bessolucinde ,dondeayb.11/8/2015 NmeroalgebraicoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico 2/5Todoslosnmerosconstruiblessonalgebraicos.Algunosnmerosirracionalescomo: y tambinsonalgebraicosporquesonsolucionesdex22=0y8x33=0,respectivamente.Otrosirracionalesnosonalgebraicos,como(Lindemann,1882)ye(Hermite,1873).Son,enconsecuencia,trascendentes.2,unidadimaginaria,esnmeroalgebraico,siendounarazde .GradodeunnmeroalgebraicoSedicequeunnmeroalgebraicoesdegradonsiesrazdeunaecuacinalgebraicadegradon,peronoloesdeunaecuacinalgebraicadegradon1.1 esdegradodosoirracionalidadcuadrtica,porqueesrazdeunaecuacindesegundogrado,peronoesrazdeunaecuacindeprimergrado5 + esdedecuartogrado(grado4),puesesrazdeunaecuacindecuartogrado,peronodeunadetercergrado.3ClasificacindeloscomplejosSiunnmerorealocomplejonoesalgebraico,sedicequeestrascendente.Siunnmeroalgebraicoessolucindeunaecuacinpolinmicadegradon,ynoessolucindeunaecuacinpolinmicadegradomenorm0).Los nmeros racionales son nmeros algebraicos de primer grado, pues para todo racional , siempre podemos escribir una ecuacinpolinmicadegradounoconcoeficientesenteros cuyasolucinesprecisamente .Encambio,losirracionalesaunquepuedensernmerosalgebraicosnuncapuedensernmerosalgebraicosdegrado1.Propiedadesdelconjuntodelosnmerosalgebraicos1. Elconjuntodelosnmerosalgebraicosescontable,i.e.puedeestablecerseunabiyeccinconelconjuntodelosnmerosnaturales.2. La suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos nmeros algebraicos resulta ser algebraico, y por lo tanto los nmeros algebraicosconstituyenunungrupoaditivo,unanilloyuncuerpo.Demodosisytsonnmerosalgebraicoslosontambins+tystparasexisteelnmeroalgebraicostalques+(s)=0parasoexistes'talquess'=1.0eslaidentidadaditiva,1laidentidadmultiplicativa.4Elteoremafundamentaldellgebraaseguraquetodaecuacinpolinmica,concoeficientesenteros,tienesolucinen,tienetantasracescomoindicaelgrado,tomando11/8/2015 NmeroalgebraicoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico 3/5encuentaquealgunasracespuedenrepetirse,5nosediceelformatodelnmeroalgebraico,dehechocalculablesporprocedimientodeanlisisnumrico.63. Como consecuencia de lo anterior, todos los nmeros que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operacionesaritmticas+,,*,/,potenciasyracessonalgebraicos.Sinembargo,existennmerosalgebraicosquenopueden,entodosloscasos,escribirsedeestaforma,ysontodosdegrado>5.EstaesunaconsecuenciadelaTeoradeGalois.4. Puededemostrarsequesiloscoeficientesaisonnmerosalgebraicoscualesquiera,lasolucindelaecuacinvolveraserunnmeroalgebraico.En otras palabras, el cuerpo de los nmeros algebraicos es algebraicamente cerrado. De hecho, los nmeros algebraicos son el cuerpoalgebraicamentecerradomspequeoquecontienelosracionales(suclausuraalgebraica).Elconjuntode los nmerosalgebraicos, aveces denotadocomo , forma un cuerpo con la adicin y multiplicacin heredadas de los complejos .Adiferenciadelosnmeroscomplejoslosnmerosalgebraicossonunconjuntonumerable.7yportantosucardinalesalef0).Estoesunaconsecuenciadequeelconjuntodepolinomiosconcoeficientesenterosesnumerable.EnterosalgebraicosUn nmero algebraico que satisface una ecuacin polinomial mnica, esto es, de grado n con an = 1 se denomina entero algebraico . Algunosejemplosdeenterosalgebraicosson: , .Lasuma,ladiferenciayelproductodeenterosalgebraicosresultanunenteroalgebraico,loquesignificaquelosenterosalgebraicosformanunanillo.Elnombredeenteroalgebraicoprovienedelhechodequelosnicosnmerosracionalesquesonenterosalgebraicossonlospropiosenteros.Entrelosnmerosracionales,losnicosquesonenterosalgebraicossonlosenteros0,1,1,2,2,...Enlateoradelosnmerosalgebraicos:alosnmeros 0, 1, 1,2,2,..., con frecuencia, se les da el nombre de enterosracionales para distinguirlos de los otros enteros algebraicos, que noracionales.Porejemplo, , sonenterosalgebraicos,sinembargo,nosonenterosracionales.8ExtensionesalgebraicasLas nociones de nmero algebraico y de entero algebraico pueden ser generalizadas a otros campos, no slo aplican al de los complejos vaseextensinalgebraica.Engeneral,sitenemosdoscuerpos y deformaqueelsegundoesextensindelprimero,diremosque esalgebraicosobresiexisteunpolinomio delque esraz( ).Vasetambin11/8/2015 NmeroalgebraicoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico 4/5ClasificacindenmerosComplejosRealesRacionalesEnterosNaturales1:unoNaturalesprimosNaturalescompuestos0:CeroEnterosnegativosFraccionariosFraccinpropiaFraccinimpropiaIrracionalesIrracionalesalgebraicosTrascendentesImaginariosReferencias1. Birkhoff&McLane:lgebraModerna2. Weisstein, Eric W. Transcendental Number (http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld (en ingls).WolframResearch.3. Ibdem4. NivenZuckerman:Introduccinalateoradenmeros5. CsarTrejo:Funcionesdevariablecompleja,coleccinharper6. Gerald.Anlisisnumrico:ISBN96862230297. HechoconocidodemostradoporDedekind,talcomotestimoniasucorrespondencia8. NivenyZuckerman.Introduccinalateoradenmeros.ISBN9681806697Enlacesexternos11/8/2015 NmeroalgebraicoWikipedia,laenciclopedialibrehttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico 5/5Wikcionariotienedefinicionesyotrainformacinsobrenmeroalgebraico.Obtenidodehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Nmero_algebraico&oldid=83953545Categoras: lgebra NmerosalgebraicosEstapginafuemodificadaporltimavezel23jul2015alas01:36.EltextoestdisponiblebajolaLicenciaCreativeCommonsAtribucinCompartirIgual3.0podranseraplicablesclusulasadicionales.Lanselostrminosdeusoparamsinformacin.WikipediaesunamarcaregistradadelaFundacinWikimedia,Inc.,unaorganizacinsinnimodelucro.