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!NSTJTIITO TECNOLÓGICO y DE K'iTllDIOS SUPf.RIORES
DF. MONTF.RRF.Y
UNIVERSIDAD VIRTUAL
,
TECNC,LOGICO DE MC,NTERREY ®
PHOPUESTA DE UNA ESTRATEGIA DE APOYO PARA LA ENSEÑANZA
DEL CÁLCüLO L'-i'TEGRAL EN LA PREPARATORIA
COMO REOUISITO PARA OBTENER EL TITULO .._
DE MAESTRO EN EDUCACIÓN CON ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICA"-:,
AUTOR: LORENZO LORETO CRUZ HERNÁNOEZ
ASESORA: MAESTRA MARIA ROSAL1A GARZA GUZMÁN
MÉXICO, D. F., JUNIO DE 200fi
PROPUESTA DE UNA ESTRATEGIA DE APOYO PARA LA ENSEÑANZA
DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA PREPARATORIA
Tesis presentada
por
Lorenzo Loreto Cruz Hernández
Ante la Universidad Virtual del
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
como requisito parcial para optar por el título de
MAESTRO EN EDUCACIÓN CON ESPECIALIDAD EN MATEMÁTICAS
Junio de 2006
lll
Resumen
Es una percepción común que los estudiantes tienen problemas para aprender
matemáticas. La presente investigación se efectuó para precisar las razones por las
cuales sucede esto y proponer una estrategia de apoyo en la enseñanza del cálculo
integral, materia situada en el último semestre de la Preparatoria del Campus Ciudad de
México del Tecnológico de Monterrey. Una metodología desarrollada en Francia durante
los años ochenta del siglo XX, La Ingeniería Didáctica, sirve de marco teórico para el
desarrollo de este trabajo. De acuerdo a esta metodología, se analizó la percepción de los
profesores y de los estudiantes, la didáctica actual, los promedios y porcentajes de
aprobación, los antecedentes académicos y la epistemología del cálculo integral. Se
concluyó y se recomendó, como parte de la estrategia propuesta, que los temarios
sintéticos de las materias de cálculo diferencial y de cálculo integral se deben de
reformar y que los antecedentes de álgebra y cálculo diferencial se deben de reforzar en
los inicios del curso de cálculo integral. La refonna a los temarios sintéticos no
corresponde a las atribuciones de las autoridades del Campus, sin embargo el refuerzo de
los antecedentes académicos es totalmente factible.
Capítulo 1. Planteamiento del problema
1.1 Contexto
1.2 Definición del problema
1.3 Preguntas de investigación
1.4 Hipótesis de trabajo
1.5 Objetivos
1.6 Justificación
1. 7 Beneficios esperados
Índice
1.8 Delimitación y limitaciones de la investigación
Capítulo 2. Fundamentación teórica
2.1 Antecedentes
2.2 La ingeniería didáctica
Capítulo 3. Metodología
3.1 Enfoque metodológico
3.2 Método de recolección de datos
3.3 Definición del universo
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4
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12
17
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24
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27
IV
Capítulo 4. Presentación de resultados
4.1 Antecedentes
4.2 Resultados de la aplicación de los instrumentos
Capítulo 5. Conclusiones y recomendaciones
5.1 Conclusiones
5.2 Recomendaciones
Referencias Bibliográficas
Anexo 1.Temario oficial de cálculo integral (PM6001)
Anexo 2. Cuestionario para estudiantes de cálculo integral
Anexo 3. Cuestionario para profesores de cáleulo integral
Anexo 4. Examen de antecedentes algebraicos
Anexo 5. Examen de elementos de cálculo diferencial
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29
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42
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66
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68
83
V
VI
Introducción
La enseñanza de la matemática es un problema muy complejo. En este trabajo se
investiga acerca de la enseñanza del cálculo integral, materia situada en el sexto y último
semestre de la Preparatoria. La investigación se realizó en el Campus Ciudad de México
del Tecnológico de Monterrey.
En el pnmer capítulo se describe la necesidad de efectuar esta investigación
tomando en cuenta que la situación del cálculo integral es decisiva en la graduación de
los estudiantes y en el adecuado inicio de sus estudios profesionales. El objetivo general
indica el interés de determinar el dominio técnico que los estudiantes tienen de los
antecedentes académicos de la materia y los factores que podrian mejorar su rendimiento
para proponer una estrategia que permita ayudar a mejorar los índices de entendimiento
real de la materia.
En el segundo capítulo se estudian aspectos relevantes del cálculo diferencial e
integral, los más recientes libros de texto, su enseñanza y dos reformas importantes a
esta enseñanza, la desarrollada en los Estados Unidos en los años ochenta del siglo XX,
conocida como La Reforma del Cálculo y la desarrollada en Francia por esas mismas
fechas, La Didáctica de las Matemáticas, una de cuyas partes, La Ingeniería Didáctica,
sirve como marco teórico a esta investigación.
El capítulo tercero, dedicado a la metodología, indica que hubo necesidad de
efectuar un enfoque cualitativo en algunos aspectos y un enfoque cuantitativo en otros.
Se consultaron los temarios oficiales, los archivos de calificaciones y la documentación
relativa a las reuniones de análisis sobre el problema de la enseñanza de la matemática
organizada por los profesores del Campus. Se aplicaron dos exámenes de diagnóstico,
Vil
uno de álgebra y otro de cálculo diferencial y dos encuestas, una a profesores y otra a
estudiantes.
En el cuarto capítulo se desglosan y analizan los resultados de los instrumentos
diseñados para esta investigación, los resultados de los exámenes de diagnóstico, los
correspondientes a las encuestas, los promedios y porcentajes de aprobación de los dos
últimos semestres y la percepción de los profesores del Departamento de Matemáticas
acerca de los problemas de la enseñanza de la matemática. En la parte correspondiente al
análisis de la didáctica actual se revisa con cuidado la evolución de los planes de estudio
desde 1990 a la fecha.
En el quinto y último capítulo se presentan las conclusiones generales en las cuales
se observa que, habiendo iniciado la investigación acerca de los problemas en la
enseñanza del cálculo integral (sexto semestre), se hace necesario analizar los que
corresponden al cálculo diferencial del quinto semestre, ya que este antecedente resulta
ser el más importante obstáculo epistemológico y se propone una reforma a los temarios
sintéticos de cálculo diferencial y de cálculo integral. Se destaca la importancia de
reorganizar y reforzar los conocimientos previos de cálculo diferencial y de álgebra para
un adecuado inicio del curso de cálculo integral.
La propuesta de una estrategia de apoyo para la enseñanza del cálculo integral
comprende los tres últimos puntos, es decir, la reforma a los temarios y el refuerzo de los
antecedentes académicos de álgebra y de cálculo diferencial.
Capítulo 1
Planteamiento del problema
En este capítulo se establece la situación actual de la enseñanza del cálculo integral,
se define el problema de investigación, se plantean las preguntas, las hipótesis de
trabajo, los objetivos a cumplir, la justificación, los beneficios que se obtendrán y
finalmente se determinan los alcances y las limitaciones.
1.1 Contexto
La matemática es un factor importante en el desarrollo científico, tecnológico,
cultural, económico, artístico y deportivo de un país. Debido a ello, en las escuelas de
todos los niveles, primaria, secundaria, preparatoria y en todas las carreras universitarias
se da importancia a la enseñanza de esta materia.
La enseñanza de la matemática constituye un verdadero reto, diversas instituciones
nacionales e internacionales han tratado con gran profusión este tema. Por ejemplo, a
nivel América Latina, la Reunión Latinoamericana de Educación Matemática (RELME)
realiza año tras año un congreso en donde se exponen trabajos dirigidos en este sentido,
por otra parte, algunos organismos de economía a nivel mundial, como la reunión anual
de Davós Suiza, han considerado a la cantidad y a la calidad de los conocimientos
matemáticos de los ciudadanos de un país como un índice económico.
2
Existen instituciones internacionales como la citada antes (RELME), independientes
de las escuelas formales, cuyo único fin es la difusión de conocimientos matemáticos y
promover su enseñanza. Destacan a nivel nacional, la Olimpiada Mexicana de
Matemáticas (OMM), la Sociedad Matemática Mexicana (SMM), el Centro de
Investigación en Matemáticas (CIMAT) y la Asociación Nacional de Profesores de
Matemáticas (ANPM). Otros organismos, tales como el Instituto de Matemáticas (IM) y
el Instituto de Investigación en Matemáticas Aplicadas y Sistemas (IIMAS), se dedican a
la investigación en matemáticas, más que a su difusión y enseñanza.
En todos los diferentes sistemas de bachillerato de nuestro país, los cursos de
matemáticas son constantes, es decir, de manera general, los cursos de matemáticas se
imparten en promedio durante 5 horas a la semana y hay cursos de matemáticas en todos
los semestres o años escolares. Aunque en México no hay estadísticas publicadas acerca
de rendimientos en matemáticas, se estima que en el bachillerato los índices de
aprobación son muy bajos.
Siendo tan vasto el panorama, es necesario hacer algunas acotaciones.
En el último semestre de la Preparatoria del Tecnológico de Monterrey, la
matemática que se enseña tiene como tema el cálculo integral.
Existe la percepción de que en cálculo integral el entendimiento real de los
estudiantes es bajo y que esto se refleja en bajos promedios grupales y en altos índices
de reprobación en la materia.
Este punto es importante porque es decisivo en el término de los estudios de
preparatoria de los estudiantes, puesto que no aprobar la materia, implica en ocasiones
no poder inscribirse a tiempo a estudios profesionales, con consecuencias de diversa
3
índole, tales como retraso en los estudios, problemas económicos por el costo de
colegiaturas extraordinarias, incorrecto aprovechamiento de viajes o becas, etc.
Por otra parte, una excelente preparación en cálculo integral proporcionará a los
jóvenes bachilleres una base sólida para el inicio de sus estudios universitarios y para su
éxito en la conclusión de los mismos, independientemente de la profesión y de la
universidad que elijan.
La enseñanza del cálculo integral para la Preparatoria ofrece un interesantísimo
tema de investigación ya que se observan algunos problemas demasiado visibles en sí,
por ejemplo el hecho de que se trata de un temario muy novedoso y exigente y que
además requiere del estudiante un buen dominio técnico y de conceptos de los
conocimientos antecedentes a la materia, es decir, se recurre de manera continua a
factorizaciones, gráficas y definiciones diversas del álgebra, la geometría, la
trigonometría y del propio cálculo diferencial; en tanto que debe de haber diversas
variables que no se perciben y cuyos efectos se reflejan en el bajo rendimiento de los
estudiantes en la materia.
1.2 Definición del problema
Una de las preguntas naturales que surgen ante la percepción de la existencia de un
serio problema en la enseñanza del cálculo integral es la siguiente:
¿ Cuáles son las posibles causas del bajo rendimiento de los estudiantes de cálculo
integral, reflejado esto en bajos promedios y bajos porcentajes de aprobación?
4
1.3 Preguntas de investigación
Para delimitar al problema de investigación, es necesario dar respuesta al menos a
estas preguntas:
¿ Cuál es el nivel de dominio de los estudiantes que inician un curso de cálculo
integral de los antecedentes, en cuanto a álgebra, trigonometría, geometría euclidiana,
geometría analítica y cálculo diferencial?
¿ Cuáles son los .factores que obsen1an los profesores como probables causantes del
bajo rendimiento de los estudiantes en cálculo integral?
¿ Cuáles son los .factores que observan los estudiantes como probables causantes de
su bajo rendimiento en cálculo integral?
¿ Cuáles son las estadísticas recientes de promedios y porcentajes de aprobación en
cálculo integral en la Preparatoria del Campus Ciudad de México del Tecnológico de
Monterrey?
¿ En que temas del curso se presentan las más bajas calificaciones?
1.4 Hipótesis de trabajo
En la materia de cálculo integral, situada en el sexto semestre de la preparatoria, los
estudiantes presentan un bajo índice de comprensión real y, en consecuencia, los
promedios y los porcentajes de aprobación son bajos.
5
Es posible que algunas causas sean:
1. El bajo nivel del dominio que la mayoría de los estudiantes tiene de los
antecedentes algebraicos, geométricos, trigonométricos y de los conceptos del cálculo
diferencial.
2. La cantidad y novedad de los temas a estudiar durante el curso.
3. Poco uso de los libros de texto o libros no adecuados al temario.
1.5 Objetivos
l. Determinar el nivel de dominio que los estudiantes tienen de los antecedentes
académicos en álgebra y cálculo diferencial para el adecuado inicio de su curso de
cálculo integral.
2. Determinar los .factores que, a criterio de los profesores y de los estudiantes, podrían
mejorar el rendimiento de los estudiantes en el curso de cálculo integral.
3. Proponer una estrategia que permita mejorar el nivel de entendimiento real de la
materia en los estudiantes y, como una consecuencia, lograr mejores calificaciones
generales y promedios más altos.
6
1.6 Justificación
Los actuales cursos de cálculo para el bachillerato tienen dos formatos, el anual, en
donde se enseña cálculo diferencial e integral, las dos partes que componen a esta área
de la matemática, y el semestral, en donde, en dos semestres, se enseña el cálculo
diferencial y el cálculo integral por separado.
La Preparatoria del Tecnológico de Monterrey sigue el formato semestral, de
manera que el cálculo integral constituye la última parte de matemáticas que se estudia
antes de los estudios propiamente universitarios.
Aquí, en el cálculo integral, es en donde se estima que hay un bajo índice de
entendimiento real de la materia, y como consecuencia, hay un bajo promedio general y
un bajo índice de aprobación.
Aunque en otras materias de matemáticas también existe este problema, en este
curso, la situación es crítica debido principalmente a tres factores:
a) Se trata del último semestre de la preparatoria y los estudiantes tienen presiones
de tipo social y económico, y principalmente, la presión de terminar la preparatoria para
iniciar estudios universitarios.
b) Esta materia exige un amplio conocimiento y experiencia en el manejo de todo lo
aprendido en los cursos anteriores de matemáticas.
c) El temario es muy amplio y los temas a desarrollar son totalmente novedosos.
7
Cumplir con los objetivos en cuanto a determinar las causas académicas del bajo
nivel de entendimiento real de la materia y proponer una estrategia que permita a los
estudiantes una mejora en este sentido será de gran utilidad a nuestra Institución ya que
impulsaría al cumplimiento de su misión en cuanto a la correcta formación de sus
educandos.
Por otra parte, uno de los fines de la Preparatoria del Tecnológico de Monterrey es
proveer de estudiantes con excelente formación a sus diversas divisiones de estudios
profesionales, y siendo el cálculo integral uno de los principales requisitos en varias
carreras profesionales, será importante, tanto para los estudiantes como para los
profesores de estas carreras, iniciar con mayor agilidad sus estudios universitarios.
1. 7 Beneficios esperados
La matemática es una materia determinante en la formación de todo profesionista.
Prácticamente en todos los planes de estudio de todos los niveles y en todas las
especialidades se destaca la importancia de esta materia.
El desarrollo científico y tecnológico de un país depende directamente de la calidad
de los conocimientos matemáticos que se imparten en las escuelas del mismo, puesto
que la matemática es el motor de la generación y la regulación de la tecnología. Ninguna
nación puede aspirar a su libertad económica si es incapaz de impulsar su propia
industria, su ciencia, su tecnología, su arte, etc., tampoco si sus estudiantes tienen una
mediocre formación matemática, puesto que esto se reflejará más temprano que tarde.
8
La matemática representa probablemente el único caso de coincidencia universal en
cuanto a la homogeneidad de su notación, validez de sus resultados e interpretaciones,
diversidad y potencia en sus aplicaciones.
Que los estudiantes del último semestre de la Preparatoria tengan una meJor
comprensión real y un mayor dominio técnico del cálculo integral hará que,
independientemente de que haya mayores promedios y mejores porcentajes de
aprobación en la Preparatoria, las universidades reciban a estudiantes con una mejor
preparación matemática en las diversas carreras profesionales.
Esto último mejorará las posibilidades de éxito de estos estudiantes en sus estudios
universitarios.
Como muestra de lo que sucede en la educación matemática de México, se inserta a
continuación parte de un estudio realizado para el caso de la carrera universitaria de
Licenciado en Economía, Cruz (1996).
Este estudio se inicia comprendiendo a estudiantes de la carrera de
economía de diversas escuelas del centro de nuestro país, entre las que
destacan la UNAM, el IPN, el ITESM, el 1T AM, la UAM, la Universidad
Anáhuac, la UDLA y el CIDE. Los estudiantes que ingresan a la carrera de
Economía provienen de diversas escuelas de bachillerato. Se analizaron
entre otras escuelas de este nivel, a la Preparatoria de la UNAM, al CCH de
la UNAM, al CECYT del IPN, al Colegio de Bachilleres, al Bachillerato de
la SEP y a la Preparatoria del ITESM. De los conocimientos matemáticos
necesarios para iniciar los estudios profesionales en economía, a criterio de
las diversas universidades, tenemos como promedio: 60% en álgebra, 30%
en cálculo diferencial e integral, y el resto en geometría analítica,
trigonometría, estadística, probabilidad y otras cosas. Nos centraremos en el
álgebra y en el cálculo, puesto que los requisitos en las otras materias son
menores. Destaca el hecho de la enorme heterogeneidad en la preparación
algebraica de los estudiantes de nuevo ingreso, entre quienes los hay
bastante bien preparados, aunque constituyan desafortunadamente menos
del diez por ciento del total, también existe una enorme cantidad de
estudiantes cuya f01mación es verdaderamente pésima, el porcentaje de
éstos sobrepasa el cincuenta por ciento y un treinta por ciento tiene malas o
muy malas bases algebraicas. En general es posible afirmar que solamente
el veinte por ciento de los estudiantes de nuevo ingreso a la carrera de
economía tiene bases sólidas en los conocimientos algebraicos que la
carrera requiere, considerando que un diez por ciento posee buenos o muy
buenos conocimientos de álgebra y un diez por ciento los tiene excelentes.
En cuanto al cálculo, la situación se presenta de manera más dramática
puesto que más del 30% no ha tomado un curso de cálculo, un 50%
aproximadamente no tiene el menor dominio de los conceptos y algoritmos
y reconoce haber cursado deficientemente o aprobado de manera irregular
la materia. En promedio solamente un 5% de los estudiantes de nuevo
ingreso tiene una adecuada formación en Cálculo y un 15% tiene alguna
idea de los conceptos y procesos básicos de esta materia, el restante 80% no
cubre los requisitos mínimos.
9
¿Por qué destacar lo que sucede en la carrera de Licenciado en Economía en este
contexto?
10
Aunque se eligió una carrera cuya carga de matemáticas no pareciera ser muy
grande, los requisitos matemáticos son muy importantes, lo mismo que para un alto
porcentaje de carreras profesionales.
1.8 Delimitación y limitaciones de la investigación
La investigación se efectuó con estudiantes y profesores de cálculo integral de la
Preparatoria del Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey durante los
semestres académicos Agosto-diciembre de 2005 y parte del Enero-mayo de 2006.
Se analizaron los datos de los cuatro grupos de cálculo integral del semestre Agosto
diciembre de 2005 y se aplicaron encuestas a los estudiantes y a los profesores.
Durante el semestre Enero-mayo de 2006 se aplicaron exámenes de diagnóstico a cinco
grupos de cálculo integral. También se aplicó la estrategia de apoyo a estos estudiantes
durante el inicio de su curso.
Se analizaron los temarios sintéticos de cálculo integral de 1990, año de la
inauguración del Campus a la fecha. Al observarse que uno de los principales obstáculos
epistemológicos en la enseñanza del cálculo integral lo constituyen los antecedentes
académicos de cálculo diferencial, se hizo necesario analizar los temarios sintéticos de
cálculo diferencial en esas mismas fechas, proponiéndose una reforma de ambos
temarios.
Ante la proximidad de los cambios generales de planes de estudio en el 2007 para la
Preparatoria del Sistema Tecnológico de Monterrey, se presenta la gran oportunidad de
proponer formalmente estas reformas, lo cual extendería los resultados de la
11
investigación a otros ámbitos académicos en donde se imparta la materia en cuestión, es
decir, a otros campi del Sistema.
Las otras dos partes que complementan la propuesta, el reforzamiento de los
antecedentes de álgebra y de cálculo diferencial, se pueden aplicar en el inicio del curso
de cálculo integral a condición de conseguir la autorización de la Dirección del
Departamento de Matemáticas y de la Coordinación de cálculo integral.
12
Capítulo 2
Fundamentación teórica
El cálculo diferencial e integral data de las postrimerías del siglo XVII y es de
reciente creación si consideramos a la antigüedad de la humanidad. En poco más de tres
siglos se ha afinado a este instrumento para obtener de él importantes consecuencias
tecnológicas, lo cual determina la importancia de su enseñanza.
2.1 Antecedentes
De acuerdo a Bell (1987), la enseñanza del cálculo diferencial e integral se introdujo
a principios del siglo XX en el nivel de bachillerato, así como el uso sistemático del
libro de texto.
Alanís (1994) indica que, de los textos publicados en los Estados Unidos a finales
del siglo XX, denominados de manera genérica como calculus, destacan: Stewart
(1985), Zill (1985), Tall (1986), Finney, Demana, Waits y Kennedy (1992), Purcell y
Varberg (1993).
Es importante señalar que estos libros están actualmente en uso en México, debido a
la influencia que ejerce este país en el nuestro en cuestiones de ciencia, educación y
tecnología, y que corresponden a los lineamientos de la reforma estadounidense de la
enseñanza del cálculo que se describe adelante.
13
Según Cantora! (1997) la reforma de las matemáticas modernas en los años sesenta
del siglo XX en Francia introdujo cambios como anticipar el estudio del cálculo, el cual
se tomó en el antecedente del análisis matemático clásico y se hizo compañero
inseparable de las ecuaciones diferenciales y del álgebra lineal. La enseñanza del cálculo
entra en una fase de crisis debido en parte a la gran cantidad de conocimiento acumulado
a enseñar.
Esta Reforma y las dos que se detallan a continuación impactan en la enseñanza de
la matemática en México debido a que nuestro país no permanece aislado respecto de las
novedades educativas.
Refiere Alanís (1994), que en 1987, en los Estados Unidos, de 600 000 estudiantes
de un primer curso de cálculo, sólo el 43 % de ellos aprobó el curso.
La alarma provocada por esta medición creció debido a que un segundo examen
demostró que quienes habían aprobado no comprendían correctamente los fundamentos
de la materia y se mostraban incapaces de efectuar sencillas aplicaciones en áreas de su
interés.
Uno de los principales objetivos del curso es enseñar a pensar de acuerdo a la
estrnctura lógica y rigurosa del cálculo y esto no se había logrado.
Ante esta situación, en ese mismo año (1987), se inició en los Estados Unidos el
movimiento de Reforma del cálculo, apoyado por organizaciones como la Nacional
Science Foundation, surgiendo proyectos personales e institucionales con el objeto de
elaborar propuestas viables para abatir la problemática de la enseñanza del cálculo.
14
Algunos de los aspectos más importantes de esta reforma, como lo indica Alanís
( 1994) en su interesante trabajo, son:
1. Se alienta el uso de las computadoras y las supercalculadoras como recursos para
que los estudiantes aprendan conceptos y no solamente para hacer más eficiente el uso
de los algoritmos.
2. Se propone involucrar a los estudiantes en proyectos de investigación que generen
un mejor aprendizaje.
3. Se fomenta el trabajo en equipo.
4. Se rediseñan los contenidos a enseñar, enfatizando en los conceptos más que en los
algoritmos.
5. Se fomenta en los estudiantes el uso correcto de la expresión escrita.
Uno de los más autorizados estudios acerca de un movimiento de reforma a la
enseñanza del cálculo paralelo al que se desarrolla en los Estados Unidos, pero en
Francia, lo realiza de manera amplia Artigue ( 1995).
La Reforma del Cálculo en Francia, conocida también como Didáctica de las
Matemáticas, estudia a la manera en la cual los estudiantes proceden en su intento por
aprender y usar a la matemática.
Este novedoso concepto tiene sus raíces en el movimiento denominado Matemáticas
modernas de los años sesenta del siglo XX y se desarrolla en la década de los ochenta en
15
diversas instituciones francesas IREM, INRP y en varias universidades, Paris, Burdeos,
Estrasburgo, Lyon, Marsella y otras.
Desde 1980 hay seminarios regulares y se publican artículos y libros sobre el tema.
Algunos de los puntos a destacar, según Artigue (1995), son:
1. Visión general de la matemática por parte del usuario, no un enfoque teórico.
2. Historia y fundamentos de la didáctica de las matemáticas en Francia.
3. Se intenta construir una racionalidad de los fenómenos que cubren a las relaciones
entre la enseñanza y el aprendizaje.
4. La psicología cognitiva sirve de hipótesis a los procesos de aprendizaje, a la
construcción de los conocimientos y a la interacción constante del sujeto con el objeto.
5. Epistemología. Su aportación es la noción de obstáculo didáctico desarrollado por
G. Bachellard en su obra: La formación del espíritu científico.
6. El objetivo de la enseñanza es la apropiación individual de conocimientos.
7. La lingüística está ligada al aspecto lógico de las matemáticas en la relación
conceptualización-formalización. Los trabajos sobre lectura permiten analizar ciertas
dificultades en la resolución de problemas matemáticos.
Siguiendo a Artigue (1995), el objetivo formal de estudio de la Didáctica de las
Matemáticas se puede describir como:
16
Estudio de los procesos de transmisión y adquisición de saberes proponiendo
condiciones para que el funcionamiento del sistema didáctico asegure la construcción
de un saber susceptible de evaluación y funcionalidad que permita resolver problemas y
plantear verdaderas interrogantes.
La Didáctica de las Matemáticas se centra en:
1. Saber, saber sabio, saber del maestro, saber de los programas, saber que se
convierte en objeto de enseñanza.
2. El alumno.
3. El profesor.
4. Las relaciones que se generan entre ellos.
En este sentido, Artigue (1995), la Didáctica de las Matemáticas ha desarrollado
conocimientos en dos sentidos:
1. La puesta en evidencia de regularidades a nivel funcionamiento cognitivo del
sujeto en sus aprendizajes escolares.
2. La noción de transposición didáctica, la cual es el proceso por el cual el saber
científico se convierte en conocimiento a enseñar y después en objeto de enseñanza.
La Didáctica de las Matemáticas se interesa también en las representaciones que el
profesor para lo cual establece clases de estrategias:
17
1. Modelo formativo
Comunicación de saber a los alumnos. El maestro muestra las noc10nes, las
introduce y proporciona los ejemplos. El alumno escucha, imita, se entrena y aplica. El
saber es dado de manera acabada, ya construido. Los problemas son presentados al final
del recorrido con fines de evaluación. Estos métodos son llamados dogmáticos o
magisteriales.
2. Modelo iniciativo
Conocer las necesidades de los alumnos y su entorno. El maestro escucha al
alumno, le ayuda a utilizar fuentes de información y responde a sus preguntas. El
alumno busca, organiza, estudia. El problema es concreto.
3. Modelo aproximativo
Centrado en la construcción del saber por el alumno. El maestro propone y organiza
una serie de situaciones, jugando con restricciones, maneja la comunicación en clase y
da elementos convencionales del saber. El alumno intenta, busca, hace hipótesis,
propone soluciones, las confronta y las defiende. El saber es considerado con su propia
lógica. El problema es el medio de aprendizaje.
2.2 La Ingeniería Didáctica
Una parte importante de la Didáctica de las Matemáticas es La Ingeniería
Didáctica. Este nombre proviene de la idea de comparar el trabajo del profesor con el de
un ingeniero, es decir, que para llevar a efecto el trabajo didáctico es necesario apoyarse
en el conocimiento científico del área y aceptar la verificación científica.
18
Como lo propone Douday (1993), esta metodología, la Ingeniería Didáctica, sugiere
análisis preliminares:
1. Análisis epistemológico del contenido escolar involucrado, esto es, indicar el grado
de dificultad histórica que tiene el concepto matemático a enseñar. Es necesario recurrir
a la historia de los conceptos, indagar sobre el ambiente en el que se desarrollaron.
2. Análisis de la didáctica actual con lo que se podrá contar con una descripción
completa de las distintas situaciones de corte académico que rodea a los cursos, es decir,
investigar acerca de los textos, planes de estudio, profesores, exámenes, etc.
3. Análisis cognitivo. Estudiar a las relaciones existentes entre los diferentes estilos
cognitivos de los estudiantes con diferentes acercamientos a los fenómenos físicos.
Estudiar a las creencias que los estudiantes tienen sobre la matemática y la física ya que
éstas norman las actividades de los estudiantes ante tareas que involucran a estos
conocimientos.
Según Douday (1993), el propósito de la Ingeniería Didáctica es:
Crear situaciones de aprendizaje destinadas a asegurar de manera controlada la
emergencia de conceptos matemáticos en el contexto escolar.
Las dos reformas en la enseñanza del cálculo de los años ochenta del siglo XX tanto
en Francia como en los Estados Unidos surgen debido a los grandes problemas de
aprendizaje que se detectaron en esos momentos, las ideas surgidas de estos procesos
han influido en la elaboración de nuevos textos y en la enseñanza del cálculo diferencial
e integral en el mundo, en particular, en México.
19
El Marco Teórico elegido para esta investigación se inscribe en La Ingeniería
Didáctica.
A continuación, una breve descripción de los elementos de la teoría a utilizar. Estos
conceptos son citados en Cantoral (1995).
1. Epistemología.
Este término se define como una disciplina filosófica que tiene por objeto la crítica
de las ciencias y el estudio de los principios en que han de basarse. Un elemento
importante dentro de los estudios de orden epistemológico es el llamado obstáculo
epistemológico, término acuñado por Gastón Bachellard en 1976 y se refiere a elementos
inevitables que retardan la velocidad en el proceso de adquirir conocimientos.
Los obstáculos epistemológicos se presentan en la práctica educativa como los
errores que cometen los estudiantes, con la característica de que éstos no dependen de
ellos. Este concepto se ha utilizado para mostrar que el error no sólo es efecto de la
ignorancia, de la incertidumbre o del azar como lo conciben las teorías conductistas, sino
el efecto de un conocimiento anterior que tenía su interés, e incluso habiendo sido
exitoso se presenta ahora como falso o inadaptado.
2. Concepciones de un objeto matemático
El conjunto de situaciones problema que el sujeto asocia al objeto, es decir, para las
cuales encuentra apropiado su uso como herramienta es la caracterización de la
20
concepción de un objeto matemático. Esta caracterización la aporta Vemaud en 1994,
agrega además que también es el conjunto de representaciones simbólicas para resolver
las situaciones problema asociadas al concepto.
3. Teoria de la transposición didáctica
La teoria de la transposición didáctica la acuña Chevallard en 1991, quien describe
este término como:
Un contenido que ha sido designado como saber a enseñar sufre a partir de entonces
un conjunto de adaptaciones que van a hacerlo apto para ocupar un lugar entre los
objetos de enseñanza. El trabajo que transforma un objeto de saber a enseñar a un objeto
de enseñanza, es denominado transposición didáctica.
4. Teoria de las situaciones didácticas
Una noción aprendida es utilizable en la medida en la que está relacionada con otras
nociones, estas relaciones constituyen su significado, su etiqueta, su método de
activación; es aprendida si es utilizable y se puede utilizar de manera efectiva, es decir,
no sólo como solución de un problema.
5. La Ingenieria Didáctica
La metodología que se desprende de la teoria de las situaciones didácticas, de la
transposición didáctica, de las concepciones de objetos matemáticos y de la
21
epistemología fue implantada en la década de los ochenta del siglo XX en Francia y
lleva por título: La ingeniería didáctica.
La descripción hecha acerca de la Ingeniería Didáctica permite desarrollar una
investigación acerca de la enseñanza del cálculo integral con una metodología robusta,
ya que de acuerdo con Farfán (1997), la Ingeniería Didáctica es una metodología de
investigación que guía a las experimentaciones en clase y también es aplicable a los
productos de enseñanza derivados de investigaciones.
En el desarrollo de la presente investigación se lleva a cabo un análisis de orden
epistemológico, uno de cuyos factores importantes será determinar a los obstáculos
epistemológicos en el conocimiento del cálculo integral y proponer una manera de
enfrentarlos.
En nuestro objeto de estudio es importante determinar tanto al saber o saber erudito
del cálculo integral como al saber a enseñar o saber didáctico del propio cálculo
integral, ya que a partir de lo primero se podrán reforzar elementos que se consideren
importantes para modificar o fortalecer el saber didáctico existente.
La Ingeniería Didáctica es un excelente marco para el desarrollo de una
investigación cuyos objetivos son:
Determinar el nivel de dominio que los estudiantes tienen de los antecedentes
académicos en álgebra y cálculo diferencial para el adecuado inicio de su curso de
cálculo integral.
22
Determinar los .factores que, a criterio de los profesores y de los estudiantes,
podrían mejorar el rendimiento de los estudiantes en el curso de cálculo integral.
Proponer una estrategia que permita mejorar el nivel de entendimiento real de la
materia en los estudiantes y, como una consecuencia, lograr mejores calificaciones
generales y promedios más altos.
Lo anterior puede parafrasearse como:
¿ Qué elementos debe de contener una estrategia cuya .finalidad sea elevar el nivel
de entendimiento real y el dominio técnico, por parte de los estudiantes de la materia de
cálculo integral situada en el sexto semestre de la Preparatoria del Campus Ciudad de
México del Tecnológico de Monterrey y, como una consecuencia, lograr un importante
incremento de los promedios actuales de calificaciones y de aprobación?
Los pasos a seguir, de acuerdo a esta metodología son:
1. Análisis epistemológico del cálculo integral, de los procesos de integración y de las
principales aplicaciones. Será necesario determinar los obstáculos epistemológicos que
retardan la velocidad de aprendizaje de los elementos y conceptos del cálculo integral en
los estudiantes.
2. Análisis de la didáctica actual de la integral en el Campus Ciudad de México del
Tecnológico de Monterrey, es decir, investigar acerca del estado que guarda la
enseñanza del cálculo integral, textos, planes de estudio, profesores, exámenes, dominio
de los antecedentes por parte de los estudiantes, etc.
23
3. Análisis cognitivo. Estudiar a las relaciones existentes entre los diferentes estilos
cognitivos de los estudiantes, es decir, los antecedentes, tanto académicos como
personales de los estudiantes que van a tomar un primer curso de cálculo integral.
El propósito de la Ingeniería Didáctica, se particularizaría en el objetivo específico
de la siguiente forma:
Crear situaciones de aprendizaje de los conceptos del cálculo integral, las técnicas
de integración y las aplicaciones, destinadas a asegurar de manera controlada la
emergencia de estos conceptos matemáticos en el contexto escolar.
24
Capítllllo 3
Metodología
En este capítulo se presentan la metodología seguida durante la investigación y las
herramientas diseñadas para la recolección de los datos a analizar. Se requirió de una
combinación de enfoques cualitativos y cuantitativos.
3.1 Enfoque metodológico
La investigación se realizó con estudiantes y profesores de la materia de cálculo
integral de sexto semestre de la Preparatoria del Campus Ciudad de México durante el
semestre escolar correspondiente a Agosto-diciembre de 2005 y el primer periodo
parcial del semestre escolar Enero-mayo de 2006.
Con un enfoque cualitativo se consultó el archivo de reuniones del semestre Enero
mayo de 2005 del Departamento de Matemáticas de la Preparatoria del Campus Ciudad
de México en la parte que trata sobre problemas en la enseñanza de la matemática.
Con el mismo enfoque, se consultaron los temarios oficiales de las materias de
cálculo diferencial y de cálculo integral correspondientes a los tres últimos planes de
estudio de la preparatoria del Tecnológico de Monterrey, esto es, 1990, 1995 y el actual
que procede del año 2002.
Se recurrió a los archivos de calificaciones y porcentajes de aprobación de los
semestres Enero-mayo de 2005 y Agosto-diciembre de 2005, para obtener datos
cuantitativos.
25
Durante el semestre escolar Agosto-diciembre de 2005 se aplicó a los estudiantes un
cuestionario y a los profesores otro cuestionario, mediante los cuales, de manera
cualitativa, se pudo observar el problema con mayor detalle. Este material permitió
conocer los factores que, a juicio de ellos, podrían mejorar el rendimiento general en un
curso de cálculo integral.
Se elaboraron exámenes de diagnóstico de álgebra y de cálculo diferencial para ser
aplicados a estudiantes que iniciaron su curso de cálculo integral el semestre Enero
mayo de 2006 para determinar el nivel de conocimientos de los antecedentes de álgebra
y de cálculo diferencial con que inician un curso de cálculo integral. Esta parte del
estudio se efectuó de manera cuantitativa.
3.2 Método de recolección de datos
Para el desarrollo de la investigación fue necesario efectuar una combinación de
enfoques cualitativos y cuantitativos.
Análisis epistemológico de la integral
Con la finalidad de percibir los obstáculos epistemológicos que posiblemente
retarden la velocidad del aprendizaje de los fundamentos del cálculo integral se
diseñaron y aplicaron los siguientes instrumentos. Se obtuvo información de carácter
cualitativo.
A los estudiantes que estaban a punto de concluir su curso de cálculo integral, en el
semestre Agosto-diciembre de 2005, se les aplicó una encuesta para determinar con
26
cuidado algunos elementos acerca de las dificultades que estaban encontrando o que
habían encontrado durante el transcurso de su curso.
Asimismo se aplicó una encuesta a los profesores que estaban impartiendo los
cursos en cuestión. Esta información de orden cualitativo indicó que uno de los
obstáculos más importantes en el aprendizaje del cálculo integral está relacionado con el
hecho de que hay un fuerte descuido de los conocimientos previos de la materia.
Análisis de los antecedentes académicos de los estudiantes
Esta parte del proceso de recolección de datos es de tipo cuantitativo. Se
desarrollaron dos exámenes de diagnóstico, uno de álgebra y otro de cálculo diferencial
para ser aplicados a los estudiantes que iniciaron su curso de cálculo integral durante el
semestre Enero-mayo de 2006.
El examen de álgebra se implementó como un examen de opción múltiple en la
plataforma Blackboard del curso de cálculo integral y se dio el espacio de la primera
semana de clases para que los estudiantes lo resolvieran. Este examen es individual y la
plataforma envía un examen diferente en cada acceso. Los alumnos lo deben de resolver
fuera del salón de clase y los profesores simplemente consultan la calificación.
En cuanto al segundo examen, el de elementos del cálculo diferencial, siendo mucho
más extenso que el primero, se le dio forma de examen colaborativo y se dividió en
cuatro partes, de manera que lo resolvieron en equipos de cuatro estudiantes durante
cuatro días, una parte por día en el salón de clase, bajo la supervisión del profesor a
partir del segundo día de clase.
27
3.3 Definición del universo
De acuerdo a Hemández, Femández y Baptista (1991) es importante delimitar a la
población objeto de la presente investigación y seleccionar una muestra probabilística
para que los resultados puedan extenderse de manera confiable a toda la población.
La población está confonnada por estudiantes de sexto semestre de la Preparatoria
del Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey inscritos en la materia de
cálculo integral.
El total de grupos de cálculo integral del semestre Agosto-diciembre de 2005 fue de
4, es decir, 130 alumnos y 2 profesores impartiendo la materia.
Como este censo no es muy grande se aplicaron las dos encuestas a toda la
población, tanto de profesores, como de estudiantes
En cuanto a la población de estudiantes del semestre Enero-mayo de 2006, la
cantidad fue de 15 grupos, es decir, 495 alumnos y 9 profesores.
La muestra elegida fue de 5 grupos, esto es, 164 estudiantes además de 3 profesores,
los cuales constituyen un 33.3 % de la población total. La tercera parte de una población
constituye un tamaño adecuado de muestra. A ellos se les aplicaron los exámenes de
diagnóstico.
La inscripción en todos los cursos de la Preparatoria se efectúa durante varios días
previos al inicio de las clases, en los cuales, de manera aleatoria, se van fonnando los
diferentes grupos, lo cual detennina que la muestra elegida es probabilística, ya que
28
todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser seleccionados para formar
parte de un grupo cualquiera, en particular de un grupo de cálculo integral cualquiera.
Este procedimiento permite la aleatoriedad de la selección y que los resultados
puedan extenderse a la población delimitada.
29
Capítulo 4
Presentación de resultados
En este capítulo se presentan los resultados de la aplicación de los diversos
instrumentos de investigación.
4.1 Antecedentes
Durante el semestre Enero-mayo de 2005, en el Departamento de Matemáticas de la
Preparatoria del Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey, debido a que
egresaba la primera generación de estudiantes que utilizaba los planes de estudio más
recientes, se efectuó una evaluación de estos planes y además se iniciaron varios
proyectos académicos. Uno de ellos muy interesante, el Taller de Apoyo al Alumno en el
marco denominado Jornadas Académicas, formalizó una reunión en la cual los
profesores de planta, extemaron su opinión acerca de los problemas del aprendizaje de
los estudiantes en el área de matemáticas. Las minutas de esta serie de reuniones nos
indican que se trabajaron con exhausión tres tipos de problemas: Los concernientes al
estudiante, los del profesor y los del medio ambiente.
Este resumen se presenta en cuatro rubros, los relacionados a los estudiantes, los
relacionados con los profesores, los del medio ambiente y algunas ideas para superar
estos problemas.
A) En general, el estudiante:
1. Tiene conocimientos básicos insuficientes.
30
2. No tiene buenos hábitos de estudio.
3. No hace las tareas, o bien, las copia.
4. Busca la ley del mínimo esfuerzo.
5. No ocupa las horas necesarias de estudio a diario y estudia un día u horas antes del
examen.
6. Tiene baja responsabilidad académica.
7. Tiene alta proporción de ausentismo.
8. No aprovecha los apoyos de talleres y asesorías.
9. Falta de motivación hacia el aprendizaje. El alumno da prioridad a pasar el examen,
no a aprender.
1 O. Falta de interés en la materia.
B) En general, el profesor:
1. Tiene conocimientos básicos insuficientes acerca de la materia.
2. No está lo suficientemente motivado para impartir su clase
3. No propicia un ambiente de aprendizaje en el aula
4. No domina las metodologías adecuadas
5. Tiene preparación académica insuficiente por lo cual tiene una visión limitada de lo
que es enseñar.
6. No enseña para que el alumno aprenda, sino para que pase la materia.
C) En general, el ambiente de aprendizaje:
1. No hay un esquema didáctico en la enseñanza de las matemáticas.
2. No hay apoyos didácticos.
3. No hay homogeneidad en las clases (incluyendo la evaluación), ni en el nivel de
exigencia.
31
4. Carencia de un plan de apoyo eficiente para alumnos que lo requieran.
5. Demasiados alumnos por grupo para ser atendidos por un solo profesor.
6. Aulas no adecuadas para el trabajo colaborativo, grupos demasiado grandes.
7. No hay salas de estudio adecuadas y suficientes.
8. Falta de comunicación entre los profesores y la coordinación.
9. Falta de uniformidad en la aplicación de las políticas.
1 O. El alumno tiene demasiados trabajos y tareas de otras materias por lo cual desatiende
a su materia de matemáticas. Esto tiene que ver con una mala planeación académica y
actividades extraacadémicas en demasía.
D) Algunas ideas para superar los problemas:
1. Establecer exámenes de diagnóstico en todos los semestres.
2. Establecer talleres de matemáticas. Atacar los problemas de manejo de algoritmos,
hacer ejercicios de números y álgebra, atender a los ejes de los programas de estudio.
3. Establecer bancos de ejercicios con solución.
4. Establecer talleres de solución de tareas.
5. Establecer talleres de hábitos de estudio.
6. Determinar espacios adecuados de trabajo académico para los estudiantes.
7. Propiciar una cultura de trabajo académico.
8. Propiciar una cultura de estudio de los libros de texto.
Aunque no se trató específicamente de cálculo integral, sino de matemáticas en
general, muchas observaciones coinciden con lo que se presenta en cálculo integral.
Para conocer la evolución de los temarios de cálculo diferencial e integral durante
los últimos años, se recurrió a la información que la Dirección del Departamento de
Matemáticas tiene al respecto. Los primeros planes de estudio que se utilizaron en la
32
Preparatoria son de 1990, el siguiente cambio se produjo en 1995 y los actuales planes
proceden del año 2002. Cabe destacar que estos planes rigen en todo el Sistema
Tecnológico de Monterrey.
La fundación del Campus Ciudad de México del Tecnológico de Monterrey data de
1990, fecha que coincide con el establecimiento del plan de estudios 90. La parte
correspondiente a matemáticas para Preparatoria nos indica:
En el plan 90, durante el último semestre, es decir en el curso de Matemáticas VI
correspondiente al sexto, el temario señalaba el estudio del cálculo diferencial e
integral en un solo semestre.
Una observación importante aquí es que, siendo el material de estudio tan amplio, es
muy complicado enseñarlo en un solo semestre. Lo usual, en otras escuelas del mismo
nivel en nuestro país, desde hace por lo menos cincuenta años y en la actualidad, es
distribuir este tema a lo largo de dos semestres o un año escolar.
La primera reforma a este plan se dio en 1995. Se observa aquí un importante
cambio en nuestra materia.
En el plan 95, se divide la enseñanza del cálculo en dos semestres, es decir, en el
quinto semestre se estudia cálculo d~ferencial y en el sexto semestre, cálculo integral.
Los temarios sintéticos son:
Plan 95. Quinto semestre. Cálculo diferencial
Tema
I. Repaso de .funciones
Horas de clase
JO
2. límites
3. Derivadas
4. Aplicaciones
Total
Plan 95. Sexto semestre. Cálculo integral
Tema
l. La d(ferencial y sus aplicaciones
2. La integral indefinida
3. Teoremas.fundamentales de integración
4. Fórmulas y técnicas básicas de integración
5. La integral definida y sus aplicaciones
6. Introducción a las ecuaciones diferenciales
7. Modelación matemática elemental
Total
20
20
30
80
Horas de clase
JO
5
10
25
JO
JO
JO
80
33
La siguiente reforma a los planes de estudio se dio en el 2002 y es la que prevalece
hasta estos momentos. Aunque esta reforma se implantó en el año 2002, se le conoce
como plan 2000.
Se sigue conservando aquí la división de la enseñanza del cálculo en dos semestres,
aunque hay cambios significativos.
Plan 2000. Quinto semestre. Cálculo diferencial
Tema
l. Relaciones y.funciones
2. Álgebra de .funciones
3. Función exponencial y logarítmica
4. Funciones especiales
5. Límites
6. Continuidad
7. Derivada
8. Aplicaciones de la derivada
Exámenes parciales
Total
Plan 2000. Sexto semestre. Cálculo integral
Tema
1. La d(ferencial
2. La integral indefinida
3. Técnicas de integración
4. La integral definida y sus aplicaciones
Exámenes parciales
Total
Horas de clase
5
5
5
3
5
4
30
20
3
80
Horas de clase
5
25
30
17
3
80
34
35
En nuestra escuela, la Preparatoria del Campus Ciudad de México del Tecnológico
de Monterrey, existe una coordinación oficial de la materia de cálculo integral, en donde,
por fortuna es posible acceder a los datos sobre promedios y porcentajes de aprobación.
La información siguiente corresponde a los semestres Enero-mayo y Agosto
diciembre de 2005, ya que, debido al cambio de planes de estudio en el 2002, estos
semestres son los primeros en que se utilizaron los planes de estudio recientes.
Semestre Enero-mayo de 2005
Grupo 01 02 03 04 06
Promedio 85.3 81.7 83.1 87.5 83.7
Aprobación 89.8 88.0 89.8 95.2 90.7
Grupo 07 08 09 10 11
Promedio 84.5 82.4 79.1 80.3 79.3
Aprobación 90.2 89.8 80.6 77.8 81.1
Grupo 12 13 14
Promedio 78.6 79.7 79.3
36
Aprobación 87.5 82.7 74.6
El promedio general es: 81.9
El promedio de aprobación es: 86.0
Semestre Agosto-diciembre de 2005
Grupo 01 02 03 04
Promedio 74 74.5 72.5 78.1
Aprobación 69.6 66.7 57.8 79.2
El promedio general es: 74.8
El promedio de aprobación es: 68.3
Los promedios y los porcentajes de aprobación son mejores en el semestre Enero
mayo de 2005 que los del semestre Agosto-noviembre del mismo año, la razón es que en
el semestre Enero-mayo casi todos los estudiantes son regulares, es decir, están en el
semestre que les corresponde, en tanto que en el semestre Agosto-noviembre del mismo
año la mayoría de los estudiantes son irregulares, esto es, más del 90 % ha reprobado
cálculo diferencial o cálculo integral antes.
37
4.2 Resultados de la aplicación de los instrumentos
Análisis epistemológico de la integral
Con el fin de determinar a los posibles obstáculos epistemológicos en cuanto a la
percepción de los alumnos, se aplicó un cuestionario a estudiantes que estaban
concluyendo su curso de cálculo integral (Anexo 2).
Las respuestas fueron:
1. En promedio 78.3
2. La bibliografia solamente la utiliza un 43 % de los estudiantes.
3. La respuesta generalizada aquí fue: No.
4. Casi todos coinciden en la parte referente a las técnicas de integración: Cambios de
variable, fracciones parciales, por partes, trigonométricas, etc.
5. Las causas más comunes fueron:
a) No recuerdo algunos conocimientos previos.
b) Falta de práctica.
c) Es mucho material.
d) No he podido asistir a asesoría.
6. Las respuestas más comunes fueron:
a) Debo repasar mis conocimientos anteriores.
b) Debo asistir a asesorías.
c) Debo organizarme mejor.
d) Debo mejorar mis apuntes.
e) Debo dedicar mayor tiempo a estudiar.
7. Las respuestas más coincidentes:
38
a) Hacer repasos al principio del curso.
b) Más ejemplos en clase.
c) Más flexibilidad en la entrega de tareas
d) Más tareas con ejercicios similares a los exámenes.
8. Los factores más comunes:
a) Organizar más talleres de asesoría.
b) Seleccionar mejor a los profesores de cálculo.
c) Buscar mejores libros.
d) Mejorar los planes de estudio.
Con la misma finalidad, es decir, detectar los posibles obstáculos epistemológicos
de la enseñanza del cálculo integral, se aplicó un cuestionario a profesores en el
momento en que concluían su curso (Anexo 3).
Las respuestas fueron:
l. En promedio 12.
2. Los libros más recomendados, después del texto son:
a) Zill
b) Purcell
c) Finney
La descripción completa se encuentra descrita en la bibliografía
3. En ninguno, la densidad del temario no lo permite.
4. Las técnicas de integración: Cambios de variable, por partes, integrales
trigonométricas, substituciones trigonométricas, fracciones parciales.
5. Los factores más comunes:
a) Falta de habilidades básicas del álgebra.
a) El programa es muy exigente.
b) Bajo nivel de conocimientos previos, en especial en cálculo diferencial.
6. Los factores de los estudiantes que son más comunes:
a) Los estudiantes no han asimilado los conocimientos previos.
b) Falta de compromiso con la materia.
c) Ausentismo.
d) Necesitan dedicarle mayor tiempo a la materia.
e) Necesitan una metodología de estudio.
7. Las respuestas más usuales fueron:
a) Hay un ambiente de temor a la materia.
b) Los libros de texto no están diseñados para nuestro curso.
8. Los factores del profesorado:
a) Se requieren cursos de actualización en la materia.
b) Falta de compromiso académico de muchos docentes.
9. Para mejorar el curso de cálculo integral, se propone:
a) Instituir exámenes-diagnóstico al principio de la materia.
b) Establecer talleres para que los estudiantes acudan a resolver sus tareas.
c) Diseñar bancos de reactivos para apoyo a los estudiantes.
Análisis de los antecedentes académicos de los estudiantes
39
A continuación, se inserta un concentrado de los resultados de los exámenes de
diagnóstico de álgebra (Anexo 4) y de cálculo diferencial (Anexo 5).
Resultados del examen diagnóstico de álgebra
Grupo 01 Grupo 02 Grupo 03 Grupo 04 Grupo 05
Promedios: 45.2 56.1 48.8 54.3 52.6
40
El promedio por grupos es: 51.4
Ningún grupo obtuvo un promedio aprobatorio. La calificación mínima aprobatoria
en la Preparatoria del Tecnológico de Monterrey es 70 y la diferencia para alcanzar este
promedio es de 18.6 puntos.
Resultados del examen diagnóstico de cálculo diferencial
Grupo 01 Grupo 02 Grupo 03 Grupo 04 Grupo 05
Promedios:
Parte I 48.1 55.2 49.6 52.5 47.4
Parte II 55.3 58.6 54.6 60.3 54.7
Parte III 37.2 35.6 40.4 38.9 42.5
Parte IV 60.3 59.2 62.1 63.6 59.8
Los promedios grupales son:
Parte I 50.6
Parte II 56.7
Parte 111 38.9
Parte IV 61.0
41
El promedio es 51.8. Nuevamente se observa que es reprobatorio y que faltan 18.2
puntos para alcanzar el mínimo aprobatorio que es de 70.
La parte I del examen reqmere de algoritmos algebraicos para comprender los
elementos iniciales del cálculo diferencial, factorizaciones, graficación, productos
notables, etc.
La parte 11 contiene a los algoritmos propios del cálculo diferencial, tales como
calcular límites, derivadas, utilizar derivación logarítmica, derivadas de segundo orden,
etc.
La parte III se refiere a las aplicaciones propias y la modelación en el cálculo
diferencial, se plantean aquí problemas cuya modelación requiere de obtener máximos,
mínimos y tasas relacionadas, es decir, debe de calcularse la rapidez de cambio de una
cantidad en términos de la tasa de cambio de otra cantidad.
En la parte IV se evalúan los conceptos generales del cálculo diferencial, tales como
el significado geométrico de la derivada y del criterio de la segunda derivada, etc.
Según esta información, la parte que menos dominan los estudiantes recién
egresados de un curso de cálculo diferencial está en las aplicaciones del cálculo
diferencial, seguido de los procesos que requieren de mucha habilidad algebraica.
Están un poco mejor preparados en los algoritmos propios del cálculo diferencial y
un poco mejor en los conceptos generales.
42
Capítulo 5
Conclusiones y recomendaciones
Después de analizar los datos proporcionados por las herramientas de investigación,
se presentan las conclusiones y las recomendaciones que permiten proponer una
estrategia cuya finalidad es mejorar la enseñanza del cálculo integral. Entre las
recomendaciones, destacan una reforma a los temarios sintéticos de cálculo diferencial y
de cálculo integral y el refuerzo de los antecedentes de álgebra y cálculo diferencial.
5.1 Conclusiones
Las conclusiones que se pueden presentar son:
La comparación entre los temarios de cálculo diferencial y de cálculo integral
correspondientes a los planes 90, 95 y 2000 nos permiten hacer las observaciones
siguientes:
1. Para los profesores, en el plan 90 debió ser verdaderamente dificil enseñar el curso
denominado Matemáticas VI que comprendía al mismo tiempo al cálculo diferencial y
al cálculo integral, ya que el tiempo que se dedicaba a cada tema era insuficiente aún con
estudiantes con excelentes bases algebraicas, trigonométricas y geométricas. Si además
observamos que el álgebra que se enseñaba en esos momentos no estaba dirigida hacia el
cálculo, puesto que se insertaba en el contexto de la Reforma de las Matemáticas
Modernas de los años sesenta en Francia, la situación era aún más complicada.
43
Como se observó antes, la mayoría de las escuelas del país, desde por lo menos
cincuenta años antes, dedicaban al cálculo diferencial e integral dos semestres o un año,
de acuerdo a si dividían en semestres o años escolares sus estudios.
2. En cuanto al plan 95, en primer lugar hay un cambio de actitud ante la enseñanza del
cálculo, puesto que ahora se dedican dos semestres a esta materia y los nombres oficiales
cambian a cálculo d(ferencial y cálculo integral respectivamente.
En el quinto semestre, en el curso de cálculo diferencial se observa que el primer
punto es repaso de funciones para lo cual hay 1 O horas asignadas. En realidad sí se trata
de un repaso, puesto que en el segundo semestre de este plan hay un desarrollo bastante
aceptable del álgebra de funciones. Al cálculo diferencial en sí se le dedica un 88%.
En cuanto al cálculo integral, se inicia con 1 O horas dedicadas a la diferencial y sus
aplicaciones. Este tema corresponde al cálculo diferencial. En este plan aparecen los
temas clásicos del cálculo integral, aunque el orden y los tiempos no parezcan
completamente prácticos.
Por otra parte se dedican 1 O horas a la introducción de las ecuaciones diferenciales
y 1 O más a la modelación matemática elemental. Esta última parte, aunque diga
elemental, se refiere a las aplicaciones más sencillas de las ecuaciones diferenciales, de
manera que no es nada elemental.
Aunque en este plan hubo un considerable avance respecto del anterior al dar el
doble del tiempo al cálculo diferencial e integral, también se exageró al incluir a las
ecuaciones diferenciales y a sus aplicaciones.
44
En el sexto semestre se dedica un 63% al cálculo integral como tal, el resto a
antecedentes y consecuentes, es decir, al cálculo diferencial, a las ecuaciones
diferenciales y a sus aplicaciones.
3. En cuanto al plan 2000, implementado en el 2002 y en uso actualmente, en el quinto
semestre cuyo nombre de cálculo diferencial se conserva, los temas 1, 2, 3 y 4, que
corresponden a relaciones y funciones, álgebra de funciones, función exponencial y
logarítmica y funciones especiales a los cuales se destinan 18 clases, pertenecen al
álgebra, la diferencia respecto del plan 95 es que se estudia esto aquí (plan 2000) por
primera vez, en tanto que en el plan 95 se estudiaba en el segundo semestre. La
proporción de cálculo diferencial de este temario es del orden del 75 %.
Los tiempos destinados al álgebra son insuficientes si se considera que estos temas
se estudian por primera vez, por ejemplo el tema 3 correspondiente a fimción
logarítmica y exponencial no puede tratarse seriamente en 5 clases, ya que es necesario
el antecedente de las ecuaciones logarítmicas y exponenciales para el trato de las
respectivas funciones.
Otros temas como funciones polinomiales,. funciones seccionadas y funciones
racionales que son antecedentes indispensables para el cálculo diferencial no se estudian
aquí, ni en otro lugar del mismo plan. En el plan 95 se estudiaba una parte en el segundo
semestre.
Los tiempos dedicados al álgebra son insuficientes y le restan espacio al cálculo
diferencial, además de que no deberían de tratarse en este curso.
Una excelente aportación del plan 2000 es que se asignan 3 clases a exámenes
parciales, tanto para el quinto como para el sexto semestre.
45
En el sexto semestre, cuyo nombre de cálculo integral también se conserva, el
pnmer tema la diferencial con una asignación de 5 horas pertenece al cálculo
diferencial. Se elimina aquí a las ecuaciones diferenciales y a la modelación matemática
elemental que aparecía en el anterior plan, con lo cual se destina del orden del 94 % del
espacio al cálculo integral. Es posible estar en desacuerdo con la distribución de los
tiempos establecidos, pero esto constituye un problema menor puesto que se pueden
hacer ajustes localmente, lo importante es que el curso tiene una fuerte proporción de
cálculo integral.
Es importante hacer las siguientes observaciones respecto de los temarios sintéticos
de los semestres quinto y sexto del plan 2000.
l. El total de horas-clase que aparece en cada programa es de 80, aunque en realidad, la
cantidad total de días hábiles es de 75.
II. Por primera vez se consideran tres horas para la aplicación de los exámenes parciales,
pero no se considera que se invierte una hora de retroalimentación por cada examen
parcial, además de que la primera clase en general se utiliza para describir a las políticas
del curso, su presentación, evaluación, etc. y la última clase para clausurar al curso con
los correspondientes comentarios de los estudiantes y del profesor, despedidas, etc.
Conviene además dedicar una clase por cada examen parcial como día de ajuste
previendo alguna eventualidad, debido a que, tratándose de estudiantes de los últimos
semestres, en ocasiones tienen sesiones de orientación vocacional, actividades sociales,
reuniones y comidas con las autoridades, etc.
46
El número real de clases dedicadas a trabajar con el temario oscila entre 64 y 67.
Conviene hacer una planeación para 64 días, los días de ajuste, en el caso de que no se
requieran, pueden utilizarse perfectamente para repasos o recapitulaciones generales.
III. Los tiempos destinados al cálculo diferencial en el quinto semestre y los
antecedentes necesarios para esta materia, según el plan 2000 en uso actual, no son
suficientes y se reducen aún más después de las consideraciones del punto anterior.
Esto se refleja en la baja calidad de los conocimientos del álgebra y del cálculo
diferencial de los estudiantes que inician un curso de cálculo integral.
IV. Aunque los tiempos para el cálculo integral estén mejor proporcionados que para el
cálculo diferencial, el problema existente en el quinto semestre se manifiesta en el sexto
semestre desde el principio. De manera que no dominar adecuadamente los diferentes
algoritmos del álgebra y los fundamentos del cálculo diferencial se convierten en un
obstáculo epistemológico, puesto que retardan la velocidad del aprendizaje del cálculo
integral.
Análisis de los antecedentes académicos de los estudiantes
Los exámenes de diagnóstico muestran que los estudiantes tienen un bajo dominio
de los antecedentes necesarios para iniciar un curso de cálculo integral, tanto en álgebra
como en cálculo diferencial.
Una parte de esos temas de álgebra se estudiaron en el quinto semestre, el resto está
distribuido en los primeros dos semestres. Esta disconexión es una de las razones por las
cuales los estudiantes no tienen una buena base algebraica, otra de las razones es que no
se proporciona el número adecuado de clases a estos temas y por lo tanto hay una menor
47
cantidad y calidad de práctica en los algoritmos y en la representación geométrica de los
conceptos algebraicos.
Por otra parte no se incluye el estudio de funciones polinomiales, funciones
seccionadas y funciones racionales, temas completamente necesarios para el estudio del
cálculo diferencial.
La parte que más se dificulta a los estudiantes, según este diagnóstico es la referente
a las aplicaciones del cálculo diferencial (Parte III). Esta parte representa un doble
problema para el estudiante, a saber, la modelación propia, es decir la obtención de las
ecuaciones o funciones que representan a las diferentes situaciones que se le presentan y
después la representación de las funciones involucradas y la resolución de las ecuaciones
de acuerdo a los métodos del cálculo diferencial.
Otra de las partes en donde se observan bajas calificaciones en cálculo diferencial es
precisamente la parte inicial de un curso de cálculo diferencial (Parte I) ya que se
requiere de aplicar algoritmos algebraicos, tales como factorizaciones, graficación, etc.
para interpretar los conceptos iniciales de esta materia.
La falta de fortaleza en los antecedentes algebraicos repercute fuertemente en la
parte I, de acuerdo a esta evaluación, de manera que las otras partes, excepción hecha de
la parte III están ligeramente mejor.
Las observaciones respecto a los resultados de los exámenes de diagnóstico
aplicados a los estudiantes pueden resumirse de la siguiente manera.
48
l. Las evaluaciones en estos exámenes de diagnóstico son sumamente bajas, aún
considerando que los alumnos no estudiaran formalmente para estos exámenes, como se
estila con los exámenes normales.
II. Estas calificaciones son una repercusión del hecho de que los cursos de álgebra y de
cálculo diferencial no estén dedicados completamente a su materia, que no estén
proporcionados los tiempos adecuados a los temas tanto en álgebra como en cálculo
diferencial y que los temas del álgebra no estén completos.
III. Los estudiantes inician su curso de cálculo integral con un déficit en los
antecedentes. Como además el curso es muy amplio y exigente, deben de aprender estos
antecedentes en el transcurso de las primeras semanas y no siempre lo logran de forma
correcta.
Análisis epistemológico de la integral
La percepción de los profesores y los estudiantes acerca de los posibles obstáculos
epistemológicos, los resultados de los exámmes de diagnóstico de álgebra y de cálculo
diferencial y el análisis de los temarios sintéticos de las materias de cálculo diferencial y
de cálculo integral, nos permiten concluir lo siguiente:
1. En efecto, como los exámenes de diagnóstico lo revelan, los estudiantes no tienen un
manejo adecuado de los conocimientos previos, es decir, sus conocimientos de álgebra y
de cálculo diferencial básicos son insuficientes para el inicio de un curso de cálculo
integral.
49
Esta sensación la tienen tanto los estudiantes como los profesores y resulta
completamente real y como se ha observado antes, se debe en parte al incorrecto
planteamiento de los temarios sintéticos.
2. Tanto profesores como estudiantes coinciden en los temas del cálculo integral cuyo
aprendizaje se dificulta más, los conceptos iniciales y las técnicas de integración,
también coinciden en algunos de los factores por los cuales sucede lo anterior: Falta de
habilidades básicas en álgebra, bajo nivel de conocimientos previos, el programa es muy
exigente, se debe de dedicar mayor tiempo al estudio de la materia, más asesorias, es
necesario hacer más repasos, etc.
3. Los estudiantes se muestran desconcertados ante el problema de la falta de
entendimiento real del cálculo integral desde sus inicios, ya que suponen que habiendo
cursado recientemente y aprobado un curso de cálculo diferencial, uno de trigonometria,
uno de geometria analítica y dos de álgebra en el inicio de la Preparatoria, deberian estar
en condiciones académicas de aprender esta materia, por complicada que pudiera
parecer.
Lo anterior, aunado a que en la mayoria de los casos no hay una metodología
personal de estudio, hace que empiecen a retomar sus apuntes y libros de los cursos
anteriores, a asistir a asesorías y a tratar por todos los medios de entender al menos lo
necesario para obtener una buena calificación. Esto es lo que los profesores describen
como estudiar para aprobar, no para aprender.
Una parte de los alumnos, menos del 50 % según la encuesta se propone utilizar el
libro de texto. Los textos de cálculo tienen información suficiente para tres o cuatro
semestres y carecen de ejercicios que puedan permitir un aprendizaje gradual de los
50
conceptos. Los estudiantes en general no utilizan los libros de texto y ésta es una de las
razones. Los profesores aseveran que falta una cultura del uso de los libros de texto.
4. Los profesores también están desconcertados por la lentitud con la cual avanzan en la
enseñanza de su curso de cálculo integral y la falta de eficiencia de sus métodos de
enseñanza. Suponen, al igual que los estudiantes, que los cursos previos debieron afinar
las habilidades de sus alumnos para entender los temas de cálculo integral con un ritmo
adecuado y observan con asombro los errores algebraicos y la falta de claridad de los
elementos del cálculo diferencial que tienen sus alumnos
La gran mayoría de cursos, seminarios y diplomados para profesores tratan a la
enseñanza de manera general y no estudian materias específicas. Es posible que algunos
profesores no dominen todos los detalles del cálculo integral y en ese sentido, requieran
de una actualización de sus conocimientos, pero como no hay este tipo de estudios,
deben de recurrir al autoaprendizaje, buscar nuevos libros, etc.
Por otra parte, los profesores no analizan el temario que van a enseñar debido a que
éste se considera intocable y solamente los coordinadores de materia pueden dar su
interpretación, la cual también es intocable. Además, la carga de trabajo de los
profesores no les permite tener el tiempo para efectuar una seria reflexión de sus
métodos y resultados, mucho menos un análisis de los temarios sintéticos, lo cual a su
vez parece inútil, puesto que no podrán influir en ningún cambio.
Tampoco tienen el tiempo para diseñar bancos de reactivos o apuntes que pudieran
apoyar a los cursos y se concretan, en la mayoría de los casos, a copiar y adaptar los
problemas que aparecen en los libros de texto. Lo que en general hacen para reforzar su
clase es recomendar libros adicionales y ofrecer cada vez una mayor cantidad de
asesorias a las cuales acuden estudiantes interesados en obtener mejores calificaciones.
51
Esta situación es la que describen los propios profesores como falta de compromiso con
la enseñanza y falta de conocimientos suficientes en su área. Lo anterior también hace
que sus colegas perciban que más que enseñar preparan a sus estudiantes para aprobar un
examen.
5. Los promedios y porcentajes de aprobación de los estudiantes son bajos debido a las
consideraciones anteriores. Es posible, debido al análisis efectuado, que la correcta
implementación de las siguientes recomendaciones pudiera propiciar una mejora en el
aprendizaje real de los estudiantes y, como una consecuencia, estos promedios y
porcentajes de aprobación se eleven, lo cual mejoraría el panorama de la enseñanza del
cálculo diferencial y del cálculo integral.
5.2 Recomendaciones
1. Esta investigación se efectuó inicialmente teniendo en mente a los problemas de la
enseñanza de la materia de cálculo integral, sin embargo, a medida que se avanzó en ella
se hizo necesa1io adentrarse en los detalles de la enseñanza del cálculo diferencial
debido a la fue1ie conexión existente entre ambas materias.
Esta es la razón por la cual se hace la siguiente recomendación:
La base de los cursos de cálculo diferencial y de cálculo integral son los temarios
sintéticos y éstos deben de reorganizarse.
Los cursos de cálculo diferencial y de cálculo integral están correctamente situados
en los semestres quinto y sexto, ya que hasta esos momentos hay la madurez y los
52
antecedentes matemáticos necesarios para su comprensión; pero sus temarios deben de
contener exclusivamente temas de la materia en cuestión, de manera que una propuesta
totalmente factible para estos temarios sintéticos se presenta a continuación. Los tiempos
se proponen en base a la experiencia del autor y de acuerdo a la discusión desarrollada
antes acerca de los totales de horas-clase.
Temario sintético de cálculo diferencial
Tema Horas
1. Gr4ficas y límites (laterales, trigonométricos,
algebraicos) 8
2. Continuidad 3
3. D<?;/inición de derivada (aspecto geométrico) 5
4. Técnicas de derivación (suma, resta, multiplicación,
división, composición, logarítmica, implícita) 18
5. Normales y tangentes 5
6. Criterio de la segunda derivada (máximos y mínimos) 9
7. Razones de cambio relacionadas 1 O
8. Linealización 6
Subtotal 64
Días de examen parcial, retroalimentación, inauguración,
clausura y ajuste 11
Total 75
Temario sintético de cálculo integral
Tema
l. Definición de integral (sumas de Riemann)
2. El teorema fundamental
3. Integración inmediata
4. Integración mediante cambios de variable
5. Integración mediante fracciones parciales
6. Integración por partes
7. Integrales trigonométricas
8. Integración mediante substituciones trigonométricas
9. Miscelánea (recapitulación de técnicas de integración
y desarrollo de estrategias)
1 O. Aplicaciones geométricas básicas (áreas entre curvas,
teorema del valor intermedio y longitud de arco)
11. Aplicaciones fisicas básicas (movimiento rectilíneo
uniforme y trabajo)
Subtotal
Días de examen parcial, retroalimentación, inauguración,
clausura y ajuste
Total
Horas
6
3
3
8
5
5
6
8
6
7
7
64
11
75
53
Posteriormente, después de efectuar ajustes similares en todas las demás materias de
matemáticas, será posible lograr una mayor velocidad de aprendizaje para ganar algunas
horas y en cada uno de estos cursos podrá incluirse un tema correspondiente al uso de
los métodos numéricos, ya que los estudiantes no deben de quedarse con la percepción
54
de que solamente existen los métodos analíticos en el cálculo y de que las calculadoras
sirven únicamente para operaciones elementales.
De hecho, resolver de manera numérica integrales provenientes de modelar
trayectorias de proyectiles durante la segunda guerra mundial, fue lo que dio origen a la
creación de la computadora.
Algunas observaciones importantes de esta propuesta son:
A) Cada uno de los cursos trata solamente ele los temas correspondientes a su materia,
por ejemplo, el tema de la diferencial incluido en el actual plan (2000) se traslada aquí al
quinto semestre con el nombre de linealización, puesto que lo que realmente se hace en
esta parte es una aproximación lineal o linealización.
B) Todos los temas que se incluían en el plan 2000 en los dos cursos, excepto los que
corresponden al álgebra, se conservan aquí, salvo una redistribución. Se ha dividido un
poco más el temario con el fin de explicitar cada uno de los temas.
C) Se definen y delimitan las aplicaciones de la derivada a cuatro rubros, las tangentes y
las normales, el criterio de la segunda derivada, las razones de cambio relacionadas y la
linealización, en contraste con el temario actual, el cual dice: Aplicaciones de la
derivada.
D) Se incluye la definición de integral a partir de las sumas de Riemann, cosa que no
está considerada en el temario actual (Anexo 1 ).
E) Se concede especial importancia al Teorema fundamental del cálculo, debido a que
este resultado establece la conexión entre cálculo diferencial y cálculo integral.
55
F) Se definen y delimitan las aplicaciones de la integral a dos rubros, a los geométricos y
a los físicos básicos, en contraste con el temario actual, el cual dice simplemente:
Aplicaciones a diversas áreas del conocimiento (Anexo 1 ).
G) Se reordena el temario en las técnicas de integración, pnmero los métodos
algebraicos y después los trigonométricos.
H) Se incluye un tema denominado miscelánea, en el cual se propone una recapitulación
de las diversas técnicas de integración y la creación de estrategias para el desarrollo de
habilidades de integración.
2. Aunque esta investigación no hizo énfasis en la enseñanza del álgebra. De manera
colateral surgen algunas indicaciones acerca de la necesidad de hacer una profunda
revisión y reordenación en los temarios sintéticos de álgebra para los semestres primero
y segundo.
Los antecedentes algebraicos para el estudio del cálculo diferencial e integral son
definitivamente importantes.
Se sugiere que, debe de situarse, en otro espacio, una investigación formal acerca de
los problemas de la enseñanza del álgebra. Ahí debe de plantearse la necesidad de
incorporar en semestres anteriores los temas de álgebra que actualmente se estudian en el
quinto semestre en los cursos de cálculo diferencial ya que los cursos no deben de ser
disconexos.
Los tiempos correspondientes a los diversos temas de álgebra deben de revisarse con
cuidado y deben de incluirse los siguientes temas:
56
1. Funciones polinomiales
2. Funciones seccionadas
3. Funciones racionales
Se requiere de una reestructura general en todos los cursos de matemáticas de la
preparatoria.
Como parte de la estrategia, se propone que los estudiantes que inician un curso de
cálculo integral desarrollen como autoestudio los temas de álgebra siguientes para
prepararse y lograr el éxito en la resolución del examen de opción múltiple que se
propone como diagnóstico de álgebra (Anexo 4).
1. Números
2. Funciones
3. Lineales
4. Parabólicas
5. Polinomiales
6. Inversas
7. Logaritmicas
8. Modelación
Desde hace vanos semestres, todos los estudiantes próximos a concluir su
preparatoria deben de presentar un examen general externo (Ceneval). El examen de
diagnóstico de álgebra proporciona también la oportunidad de prepararse en la parte
correspondiente a esta materia.
57
Este examen, con diez preguntas, puede implementarse perfectamente en la
plataforma Blackboard que el Tecnológico de Monterrey utiliza actualmente o en alguna
otra similar y proporciona información valiosa a los profesores. No es necesario dedicar
clases a la resolución del examen, como se comentó antes, se trata de una tarea. Dos
semanas constituye un plazo razonable para su resolución.
3. Como se ha indicado antes, hubo la necesidad de extender este estudio al cálculo
diferencial.
Los conocimientos de cálculo diferencial constituyen el antecedente más
importante en el estudio del cálculo integral.
El examen de diagnóstico de cálculo diferencial resultó, aparte de un buen indicador
de los conocimientos de esta materia, un material muy importante para refrescar estos
conocimientos y para iniciar con ritmo el curso de cálculo integral (Anexo 5).
Se propone incorporar este material como una tarea inicial publicando el examen y
las soluciones correspondientes, lo cual puede hacerse también en la plataforma
Blackboard o simplemente mediante fotocopiado, y dando unas dos semanas de plazo
para que los estudiantes recuperen estos antecedentes. Aquí será necesario disponer de
un espacio, fuera de las clases normales para atender a las dudas que se presenten en el
desarrollo de esta tarea.
La publicación de las soluciones no se hace con la idea de que los estudiantes
simplemente las copien y las presenten, sino de guiarles en la resolución correcta. Los
estudiantes deberán presentar el desarrollo de los problemas a todo detalle y debe de
hacerse hincapié en que deben de actuar con honestidad, tal vez convenga dar poca
puntuación por ello, pero sí señalarlo como un requisito importante del curso.
58
Estrategia de apoyo para la enseñanza del cálculo integral
Corno conclusión general se señala que los tres puntos enunciados constituyen la
propuesta de una estrategia de apoyo para la enseñanza del cálculo integral. Los dos
últimos se pueden implementar, después de un acuerdo con la Coordinación de la
materia y con la Dirección del Departamento, puesto que no afectan a los planes de
estudio oficiales en uso actual y refuerzan los antecedentes, en cuanto al primer punto,
éste se encuentra fuera del ámbito de la responsabilidad de estas autoridades y
correspondería a un comité especial a nivel Sistema del Tecnológico de Monterrey
desarrollar y aprobar en su caso estas propuesta, sin embargo, es posible establecer al
menos un grupo piloto para detectar la factibilidad de esta reforma.
Dada la proximidad de una nueva revisión de los planes sintéticos de todas las
materias de la Preparatoria en el Tecnológico de Monterrey a nivel sistema en el 2007,
será una gran oportunidad, la presentación formal de estas reformas, las cuales
contribuirán a mejorar la enseñanza de estas materias.
En todo caso, es necesario trabajar con los estudiantes de forma tal que logren
seguridad y precisión en lo que están aprendiendo. La reforma de los ternarios actuales y
la creación de nuevas estrategias de aprendizaje, entre otras acciones, ayudarán mucho
en esto, ya que tanto profesores corno estudiantes, lograrán confianza en su propio
trabajo, lo cual reforzará su autoestima.
Después de un poco más de trescientos años de la creación del cálculo y de poco
más de cien años de su enseñanza en las preparatorias de todas las partes del mundo, el
sentido común nos indica que los cambios que sufrirá la materia en sí serán mínimos, sin
embargo, su enseñanza sí debe de cambiar positivamente en bien de nuestro país.
59
Como se ha comentado, en la actualidad, las universidades de todas las partes de
nuestro planeta, exigen que sus estudiantes, en casi todas las carreras, tengan un
desenvolvimiento aceptable en los fundamentos del cálculo.
La enseñanza y el aprendizaje del cálculo deben de verse como una oportunidad
para estar en contacto con los inicios de una matemática dinámica, profunda y de
potentes aplicaciones, así como el medio natural para ingresar a la ciencia, a la
tecnología y a sus repercusiones presentes y futuras.
Debe de crearse un ambiente de gusto e interés por la materia. Los estudiantes
deberán de sentirse motivados a ofrecer su mayor esfuerzo académico, de manera que se
formen competitivamente.
Los profesores debemos de resaltar la decisiva influencia de la matemática en los
actuales avances científicos y tecnológicos de la humanidad y desarrollar la enseñanza
de la matemática como una cuestión cultural, más que como una necesidad de
aplicaciones inmediatas. Es necesario centrarnos en dos elementos fundamentales: La
abstracción y el ocio.
60
Referencias Bibliográficas
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Campus Monterrey.
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Zill, D. (2000). Calculus. Third Edition. USA: PWS-Kent Publishing Company.
ANEXOS
Anexo 1
CÁLCULO INTEGRAL (PM6001)
TEMARIO OFICIAL
1. La diferencial de una función
Definir, interpretar y aplicar el concepto de la diferencial.
1.1 Definir e interpretar geométrica y algebraicamente las diferenciales dx y dy.
1.2 Calcular diferenciales a partir de su definición como df = f ' ( x) dx .
1.3 Aplicar la diferencial en problemas:
1.3.1 De aproximación.
1.3 .2 Geométricos.
1.3.3 Físicos.
2. Integral Indefinida
63
El estudiante será capaz de comprender a la integral como una operación inversa de
la derivación y resolverá integrales elementales a través de las fórmulas básicas.
2.1 Definir la integral indefinida como operación inversa de la derivada.
2.2 Enunciar y aplicar el primer teorema fundamental del cálculo.
2.3 Enunciar los teoremas de integrales relativos a: suma, resta, producto por una constante.
2.4 Calcular integrales de potencias de x.
n+l f xn dx = x +C
n+l
2.5 Calcular integrales de funciones trigonométricas elementales.
f sinx dx = -cosx + e
f cosx dx = sinx+ e
J SeC 2 X dx = tanx+ C
f CSC 2 X dx = -cotx+ C
f SeCX tan X dx = Secx+ C
J CSCX COt X dx = -CSCX + C
2.6 Calcular integrales que conducen a funciones exponenciales y logarítmicas.
ax fax dx= +C
/na
1 f dx = In X+ e X
a> O, a -:t. 1
2. 7 Resolver integrales por sustitución.
3. Técnicas de integración
El estudiante conocerá y aplicará las principales técnicas de integración.
3.1 Aplicar la técnica de integración por cambio de variable.
3 .2 Aplicar la técnica de integración por partes.
3.3 Aplicar la técnica de integración de potencias trigonométricas.
3.4 Aplicar la técnica de integración por sustitución trigonométrica.
64
3 .5 Aplicar la técnica de integración por fracciones parciales.
3.5.1 Factores lineales distintos.
3.5.2 Factores lineales repetidos.
3.5.3 Combinación de casos lineales distintos y repetidos.
4. Integral definida y sus aplicaciones
65
El estudiante comprenderá el concepto de integral definida y lo aplicará a problemas
geométricos (área bajo y entre curvas), así como en la solución de problemas.
4.1 Enunciar y aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para evaluar integrales.
4.2 Interpretar geométricamente la integral definida como el área bajo la curva.
4.3 Obtener el área bajo la curva.
4.4 Área entre curvas.
4.5 Aplicaciones a diversas áreas del conocimiento.
66
Anexo 2
Cuestionario para los estudiantes de cálculo integral
Estimado estudiante:
Este cuestionario se utilizará para efectos de una investigación acerca del rendimiento
académico de los estudiantes en la materia de cálculo integral para proponer posibles
soluciones. Se te suplica contestar con la mayor certeza posible. Los datos
proporcionados son absolutamente confidenciales y el uso que se haga de ellos será con
fines académicos.
1. Aproximadamente ¿Cuál ha sido tu promedio en tus cursos previos de matemáticas?
2. ¿Utilizas la bibliografia que se te recomienda de manera oficial?
3. Además de la bibliografia oficial, ¿Utilizas algún libro adicional?
4. ¿Cuáles son los temas que hasta el momento se te han dificultado más?
5. ¿Cuáles consideras que son las razones de esta dificultad?
6. Describe a tres factores personales que pudieran incrementar tu rendimiento en
cálculo integral.
7. Describe a tres factores de tu profesor que pudieran incrementar tu rendimiento en
cálculo integral.
8. Describe a tres factores del medio ambiente que pudieran incrementar tu rendimiento
en cálculo integral.
67
Anexo 3
Cuestionario para los profesores de 1cálculo integral
Estimado profesor:
Este cuestionario se utilizará para efectos de una investigación acerca del rendimiento
académico de los estudiantes en la materia de cálculo integral para proponer posibles
soluciones. Se le suplica contestar con la mayor certeza posible. Los datos
proporcionados son absolutamente confidenciales y el uso que se haga de ellos será con
fines académicos.
1. Aproximadamente ¿Cuántos cursos de cálculo integral ha ofrecido Ud. durante su
trabajo docente?
2. Además de los libros recomendados en la bibliografia oficial, ¿Cuáles libros
recomienda o utiliza en sus cursos?
3. ¿En que temas efectúa un desarrollo histórico de los conceptos?
4. En su opinión. ¿Qué temas son los que tradicionalmente más se dificultan a los
estudiantes?
5. ¿ Tiene Ud. alguna percepción de la razón de la dificultad de estos temas?
6. Describa a tres factores de los estudiantes, a consideración suya, por los cuales tienen
bajo rendimiento académico en la materia de cálculo integral.
7. Describa a tres factores del medio ambiente académico, a consideración suya, que
influyan en el bajo rendimiento académico de los estudiantes.
8. Describa a tres factores del profesorado, a consideración suya, que influyan en el bajo
rendimiento académico de los estudiantes.
9. Describa a tres factores generales que, a su consideración, puedan mejorar el curso de
cálculo integral.
Anexo 4
EXAMEN DE ANTECEDENTES ALGEBRAICOS
Este examen comprende a los siguientes temas de álgebra:
l. Números
2. Funciones
3. Lineales
4. Parabólicas
5. Polinomiales
6. Inversas
7. Logarítmicas
8. Modelación
1. Sean x = -2 + i, y= 1 + 2i. Calcule el resultado de la operación en la forma a+ bi
A) a=O,b=-1
B) a=-f,b=O
C) a=.l!. b=_§_ 5 ' 5
D) a=Ob=_§_ ' 5
E) a=O,b=O
2. Determine al dominio de la función
X y -+= y X
/(x) = 3x -2-Sx
68
2 2 A) {-oo, 5) U { 5 ,+oo)
5 5 B) (-oo,2)u{2,+oo)
2 2 C) {-oo,-5) U {-5,+oo)
5 5 O) (-oo,- 2) U {-2,+oo)
5 E) (-oo,- 2]
3. Sea f(x)=-2x 2 +x, calcule -f(-l)+f(-x+l)
A) 2x2 +8x-3
B) -2x2 +3x+2
C) -x2 -4x-12
D) -x2 -4x+12
E) 2x 2 -8x
4. Calcule a las coordenadas al origen de la recta que pasa por el punto P y que tiene
pendiente m.
m=3, P(-1,4)
A) (-3,0);(0,6)
B) (-f ,0);(0,7)
C) (-l ,0);(0,-2)
D) (-f,0);(0,-1)
E) ( 1,0);(0,2)
69
70
5. Determine a la ecuación de la recta que pasa por el punto P y que es paralela a la recta
que pasa por los puntos A y B. A(3, -2), B(1,4); P(-1,2)
A) y=-3x-1
B) y=-3x+1
C) y= 3x+ 1
1 5 D) y =--x+-
3 3
1 5 E) y =--x--
3 3
6. Determine a la ecuación de la recta que pasa por el punto P y que es perpendicular a la
recta que pasa por los puntos A y B. A(3, 2), B(4,-l); P(2,-1)
1 5 A) y=-x+-
3 3
B) 1 5
y =-x--3 3
C) y=-3x-5
D) y= 3x+7
E) y= 3x-7
7. Determine a la ecuación de la recta que pasa por el punto P y que es paralela a la recta
L.
L: -2x + 3y-IO = O, P(l,-2)
A) 2 8
y=-x--3 3
B) 2 8
y=-x+-3 3
C) 2 4
y=--x--3 3
3 1 D) y =--x+-
2 2
3 1 E) y=--x--
2 2
71
8. Determine a la ecuación de la recta que pasa por el punto P y que es perpendicular a la
recta L.
L: -2x+ 3y- l0 = O, P(l,-2)
A) 2 8
y=-x--3 3
B) 2 8
y=-x+-3 3
C) 2 4
y=--x--3 3
D) 3 1
y=--x+-2 2
E) 3 1
y=--x--2 2
9. Calcule el valor de x: 3 1 23
---x--y=--2 3 36
2 1 1 -x--y=-3 2 2
A) l. 2
8) _l._ 2
C) l. 3
D) 1 -3
E) l. 4
1 O. Calcule el valor de y: 3 1 23
--x--y=-2 3 36
2 1 1 -x--y=--3 2 2
A) .!.. 2
B) _.!.. 2
C) 1 3
D) - .l 3
E) .!.. 4
11. Determine al cuadrante en el que se encuentra la solución del sistema
3x + 2y = 9
A) I
B) II
C) III
D) IV
E) Ninguna de las anteriores
12. Calcule el valor de x:
A) O
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
-2x + y= -6
-2y+ 4z = 8
3x + 2y -z = 4
-· X - y - 2z = -9
72
13. Calcule el valor de z:
A) O
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
-2y+4z = 8
3x + 2y -z = 4
-x -y -2z =-9
14. Determine a la ordenada del vértice y la ecuación del eje de simetría de la función:
f (x) = -2x 2 + 8x - 3
A) 5;x= 2
B) -5;x = 2
C) 5;x =-2
D) -5,x=-2
E) 2;x =-5
15. Determine al rango de la función:
1 A) (-=, 2]
1 B) (-=,-2]
C) (-=,1]
D) (-=,-1]
1 E) [2,=)
2 5 f(x) = -3x + 6x-. 2
73
74
16. ¿En qué cuadrante se encuentra el vértice de la función y = -3x2 - 6x -1?
A) I
B) 11
C) III
D) IV
E) Ninguna de las anteriores
17. Para la función dada, calcule la forma y=A(x-h) 2 +k de la función
) 1 y= -2x- -2x+-
2
A) h = _l. k = 1 2 '
B) h = l. k = -1 2 '
C) h = -1,k = ½
D) h = _ l. k = -1 2 '
E) h = f ,k = 1
18. Determine a las soluciones de la ecuación: - 2x 2 - 4x- 6 = O
A) 1±.fi.
B) 1 ± .fi. i
C) ± 2-J2i
D) -1 ± .fi. i
E) -1 ± .fi.
19. Si f(x) es una función polinomial. Determine cuál de las siguientes opciones es.falsa.
A) Si f(c) = O, entonces x-c es factor de f(x).
B) Si el residuo de dividir f(x) entre x+c es cero, entonces ces una raíz de f(x).
75
C) Si c es una raíz racional de f(x), entonces e= p, donde p es un factor del término q
libre, y q es un factor del coeficiente principal.
D) Si f(c) = a, entonces el residuo de dividir f(x) entre x-c es a.
E) Ninguna de las anteriores
20. Detennine a todas las raíces de la función .f(x)=-x3 -5x 2 -8x-4
A) 1, -2, 2
B) 1, -2, -2
C) -1, -2, 2
D) -1 -2 -2 ' '
E) -1,2,2
21. Determine a las raíces complejas de la función .f(x)=-x3 -x2 -2x+4
A) 1 ±12 i B) l±-J3i
C) -1 ±12 i D) -1 ±-J3 i
E) No tiene raíces complejas
22. Si x = -2 es una raíz de multiplicidad doble, determine a las raíces faltantes de la
función
f(x)=-x 4 -2x3 -8x-16
A) ±2-J3
B) 1 ±-J3
C) -1 ±-J3
D) l±-J3i
E) -1 ±FJ i
23. Determine a las raíces irracionales de la función f (x) = 2x3 - 6x 2
- 6x + 2
A) l±J°3
B) l±Ji
C) 2±J°3
D) 2±./i
E) No tiene raíces irracionales.
24. Determine al residuo de la división
A)
B)
C)
D)
E)
4
2
13
4
15
4
3
4
(-4x 4 -2x2 +4x-1)+(x+½)
76
25. Seleccione a la opción que contenga a un factor de la
funciónf(x) = -x3 -2x2 + 5x + 6
A) x-1
B) x+2
C) x+3
D) x-3
E) x-4
26. Determine el resultado de la operación
3 1 g(x) = -x--
2 2
1 A) -x--
6
5 B) -x+-
4
5 C) -x+-
6
1 D) -x+-
4
E) Ninguna de las anteriores
27. Calcule a g(x) de tal manera que sea inversa de la función:
2 1 A) g(x)=-x--
3 3
2 1 B) g(x)=--x+-
3 3
3 3 C) g(x)=-x--
2 4
3 3 D) g(x)=--x+-
2 4
E) Ninguna de las anteriores
28. Considere
I. (lnx)2 = 2lnx II. lnx+ lny = lnxlny III.
Seleccione al inciso que contenga a la opción verdadera
A) Sólo I
2 1 f(x) =-x+-
3 2
lnx lnx-lny =
lny
77
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I, II, 111
E) Ninguna de las anteriores
29. Resuelva:
A) O
1 B) 16
C) 1
D) 8
E) 16
30. Resuelva
A) x = 3+4.fi
B) x = 3-4.fi
C) x=3+.fi
D) x=3+4-J2
E) x = 3 + ..fi.
1 2 - ln x + - In 16 + - ln 8 = O
2 3
1 - log 2 (x-3) +-log? 8 = -1
2 -
78
31. El perímetro de un terreno rectangular mide 82 metros. La longitud es dos veces y
media mayor que el ancho. Considere a "y" como el largo y a "x" como el ancho, e
indique cuál de los siguientes sistemas permite calcular a estas dimensiones.
x+ y= 82
A) 5 x--y=O
2
x+ y= 82
B) 5 -x-y=0 2
x+ y= 41
C) 5 x--y=0
2
x+y=41 D) 5
-x-y=0 2
E) Ninguna de las anteriores
79
32. Al colocar un borde de anchura uniforme alrededor de un rectángulo de 6 m. por
1 Om., el área aumenta en 80 metros cuadrados. Determine a la ecuación que debe de
utilizarse para calcular a esa anchura uniforme "x".
A) x 2 +l6x-20=0
B) x 2 + 16x-80 = O
C) x2 + 8x - 20 = O
D) x 2 + 8x - 5 = O
E) Ninguna de las anteriores
33. Una pieza cuadrada de lámina se usa para formar una caja sin tapa. Se corta en cada
esquina un cuadrado de 2 cm. de lado, para después doblar hacia aniba los rectángulos
salientes. El volumen de la caja es de 128 centímetros cúbicos. Determine a la ecuación
que debe de utilizarse para calcular la longitud "x" de un lado del cuadrado original.
A) x 2 + 8x - 48 = O
B) x 2 -8x-48=0
80
C) x2 -8x+48 = O
D) x 2 +8x+48=0
E) x 2 - 8x - 64 = O
34. La resta de dos números es n. Calcule a estos números de tal manera que su producto
resulte ser mínimo.
A) -n,-2n
n n B) 2 ' 2
n n C) -- -
3 n D) -n -
2 '2
E) Ninguna de las anteriores
Soluciones
l. B
2. e
3. B
4. B
5. A
6. B
7. A
8. E
9. A
10. e
11. E
12. B
13. D
14. A
15. A
16. B
17. A
18. D
19. B
20. D
21. D
22. D
23. e
24.B
25. e
81
26. D
27.C
28. E
29. E
30. D
31. D
32.C
33. B
34. e
82
83
Anexo 5
EXAMEN DE ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL
El inmediato antecedente del cálculo integral es el cálculo diferencial. Aquí
presentamos a cuatro grupos de ejercicios, al resolverlos, el lector refrescará los
conocimientos ya estudiados del cálculo diferencial.
PARTE l. CONCEPTOS INICIALES
1. Derive, utilizando a la definición
a) .f(x)= 4x-1 2x+3
2. a) Grafique
b) Calcule
.f(-2)
.f(8)
c) Calcule
lím .f(x) .r-4 -2
lím .f(x) .r~-1-
.f(-1)
b) .f(x)= .Jsx-1 2 c).f(x)= 5+l
3x+ 1
{
O; -2:::; x <-1
.f(x) = x 2 - 6x + 5; -1 < x :::; 6
-x+5; 6 < x<8
.f(O) .f(6)
lím .f(x) x~-r
lím f(x) X~-)+
lím f(x) X~ -2
lím f(x) .r~-1
lím .f(x) lím .f(x) x----; o- x~o·
lím .f(x) lím f(x) ,----; 6- x----; 6'
lím .f(x) lím f(x) ,r----; g- .r----; g+
d) Continuidad. ¿En qué intervalos de R es continua la función?
e) Derivabilidad
¿Para qué puntos de R, .f '(x) >O?
¿Para qué puntos de R, .f '(x) < O?
¿Para qué puntos de R, .f '(x) =O?
¿Para qué puntos de R , / '(x) no existe?
3. a) Grafique
b) Calcule
.f(-1)
e) Calcule
lím f(x) _r----; -1-
J(O)
.f(x) = - 2x: + lOx - 8 -x- +6x-8
.f(l) J(2)
lím f(x) x----; -1-
84
lím f(x) ,r----; o
lím f(x) .r----; 6
lím f(x) x----; 8
/(4)
lím .f(x) .r----; -1
lím f(x) lím f(x) X-> Ü- X-> O'
lím f(x) lím f(x) r----> 1 .r~ 11
lím f(x) lím J(x) X-> 2 X~ 2+
lí,n .f(x) lím f(x) X-> 4- X~ 4'
d) Continuidad. ¿En qué intervalos de R es continua la función?
e) Derivabilidad
¿Para qué puntos de R, J'(x)>O?
¿Para qué puntos de R, f '(x) <O?
¿Para qué puntos de R, .f '(x) =O?
¿Para qué puntos de R , f '(x) no existe?
4. a) Grafique
b) Calcule
.f(-1)
c) Calcule
lím f(x)
J(O)
J(x) = 2x3
- 6x2
- 2x + 6 -2x-2
.f(l) J(2)
lím f(x) x~-r·
85
lím f(x) X-> Ü
lím f(x) X-> 1
lím f(x) X-> 2
límf(x) X-> 4
.f(4)
lím f(x) .r---->-1
lím f(x) lím f(x) _r-,U- X-, Q"
lím f(x) lím f(x) _r-, ,- X_, I'
lím .f(x) lím f(x) .r~ 2 x-, 2+
lím .f(x) lím .f(x) x-, 4 x----t 4+
d) Continuidad. ¿En qué intervalos de R es continua la función?
e) Derivabilidad
¿Para qué puntos de R, f '(x) >O?
¿Para qué puntos de R, f '(x) < O?
¿Para qué puntos de R, f '(x) =O?
¿Para qué puntos de R, f '(x) no existe?
PARTE 11. OPERATIVIDAD
1. Calcule
3x2
a) lím ?
HD -2+2cos- 5x b) lím
X-, 4
2. Derive simplificando el resultado
a) f(x) = (senx)°º5' + 2 tan3x e5
'
-5 + .Jsx + 5
-2x+8 c) lím
X-, 2
86
íim f(x) X-, Ü
fímf(x) X-, 1
lím f(x) X-, 2
fímf(x) X-, 4
-2x2 -4x+ 16
2x-4
b) f(x)=51nif;i +6cot 5 4x
-4t + 1 e) f(t) = ln s 3t + 2
3. Calcule a la segunda derivada de la función. Simplifique
2-4x f(x)=--
-3+ 5x
PARTE III. MODELACIÓN
1. Determine el máximo, el mínimo y el punto de inflexión de la función
f (x) = -2x3 + l 5x 2 - 36x
87
2. Una cafetería situada a pocos pasos de la Preparatoria ha decidido comercializar su
novedosa pizza elíptica, la cual al parecer ha gustado mucho entre los estudiantes.
Para exhibir a la pizza, la cafetería requiere construir cajas de base rectangular cuyo
largo sea el doble del ancho. La cafetería sólo está dispuesta a utilizar 2400 centímetros
cuadrados de material para cada caja y considera que para hacer mas llamativo el
producto no será necesario colocarle tapa a la caja. ¿Cuáles son las dimensiones de la
caja para garantizar que su volumen sea el máximo?
3. Consideremos a la siguiente elipse y al punto dado sobre ella: 4x 2 + 9/ -36 =O;
a) Calcule a la ecuación de la recta TANGENTE a la curva en el punto P.
88
b) Calcule a la ecuación de la recta NORMAL a la curva en el punto P.
4. Un estudiante de sexto semestre de la Preparatoria participará en una carrera ciclista y
asegura que ganará el evento pues ha determinado con bastante precisión sus
posibilidades y las de sus contrincantes.
Los competidores partirán de un punto A situado a una distancia de l 00 km. de una
carretera recta. Si B es el punto sobre la carretera que está más próximo a A, ganará
quien llegue antes al punto C situado sobre la carretera a 240 km. de B.
Nuestro héroe sabe que su velocidad sobre la carretera es de 50 km. por hora y que su
velocidad en la terracería que debe de cruzar para alcanzar la carretera es de 40 km. por
hora. ¿A qué distancia está situado de B el punto D ( entre B y C) al que debe de
dirigirse en línea recta desde A para que su tiempo sea el mínimo?
5. A las 1 O a.m. un barco filibustero avista a un barco corsario exactamente a 50 millas
naúticas al norte de él. El Corsario emprende su marcha a estribor (hacia el oeste) a
razón de 30 millas naúticas por hora (nudos) en tanto que el filibustero lo hace a babor
(hacia el este) a una velocidad de 20 millas naúticas por hora (nudos).
¿A qué velocidad se separan los barcos al mediodía?
PARTE IV. CONCEPTOS GENERALES
Desarrolle brevemente la respuesta.
1. ¿Cuál es el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado?
89
2. ¿Cuál es la diferencia y la relación existente entre los tres conceptos de límite: Por la
izquierda, por la derecha y límite en un punto dado?
3. ¿Cuál es la condición analítica que debe de satisfacerse para que una función sea
continua en un punto dado?
4. ¿Cuáles tipos básicos de discontinuidad existen?
5. ¿En qué puntos una función no es derivable?
6. ¿Qué es un punto de inflexión de una función y cómo se calcula?
7. ¿Qué es un punto critico de una función y qué puede representar geométricamente?
8. ¿Cuál es el significado geométrico del criterio de la segunda derivada en un punto
dado?
9. ¿Cómo se obtiene a la ecuación de la normal a una curva en un punto dado?
1 O. ¿Qué es la regla de la cadena y en qué casos se aplica?
90
Soluciones
PARTE l. CONCEPTOS INICIALES
1.
a)
4(x + h )- 1 4x - 1
f , ( ) _ . 2(x + h) + 3 2x + 3 = 14 x -hm~-~--- .... -(2x+3)2
. iHO h
b)
X hm------- ···· j ··(-)=. ~S(x+h)-1-.Jsx-I = =~(.Jsx-1 J 1,---,0 h 2 5x-l
e)
2 2
f., ( )- . ~3(x + h) + 1 .J3x + 1
X -hm-------= . h--->0 h
-3.J3x+ 1 =---
(3x + 1)2
{
O; -2 $ x < -l
2. a) .f(x) = x2 - 6x + 5; -1 < x $ 6
-x+5; 6 <X< 8
b)
o
e)
N.E.
o 5
5
-3
-10
N.E.
d) (-2,-l)u (-1,6)u (6,8)
e)
(3,6)
(-1,3)u (6,8)
(-2,-1) y 3
(-oo,-2], [8,oo),-1 y 6
-5
91
y
1-1, 12)
1-2, Di O ~ -c-
1-1,01 O 10 15
' 0 re, -31
(l, -4)
5 5 N.E.
o N.E.
12 N.E.
5 5
-1 N.E.
N.E. N.E.
3. a) J(x)= -2< +lOx-8 -x +6x-8
·y 4.
14,3)
_______________ .2 ____ 1 ___ -- _ ·- ___ --· _ ·-·
b)
.:!. 3
e)
.:!. 3
1
o -00
3
-6
d) (-oo,2)u(2,4)u(4,oo)
e)
(/J
1
-4 -2 12 1
1
1
-2 1
1
1
1
1
o N.E.
.:!. J
o + 00
3
92
X
'
N.E.
.:!. 3
1
o N.E.
3
(- =,2)u (2,4)u (4,oo)
</J
2 y 4
4. a)
-8
b)
N.E.
e)
-8
-3
o
-3
-6 -4
J(x) = 2x3
- 6x2
- 2x + 6 -2x-2
12, 1)
-2 O 1
-2
-3
-6
(-1,-8) - 0
-3 o
-8
-3
o 1
-3
93
' ., 10 12
-3
-8
-3
o 1
-3
d) (-oo,-l)u(-1,oo)
e)
(-oo,-l)u(-1,2)
(2,oo)
2
-1
PARTE 11. OPERATIVIDAD
3 l. a) --
50
1 b) --
4 c) -6
2) a) f '(x) = (senx yasx [- senx In senx + cos 2
xl + 2e5x (3 sec 2 3x + 5 tan 3x) senx
b)
c)
3)
20 f '(x)=--120cot 4 4x csc 2 4x
3x
f '(t) = -11 . 5(-4t + 1)(3t + 2)
f 11 ( ) - 20 . X= (-3+5x)3
PARTE 111. MODELACIÓN
1. Máx(3,-27) Mín(2,-28)
2. Ancho: 20 cm. Largo: 40 cm.
../2 3..fi. 3. Tangente: y=--x+-
. 6 2
lnf( %,- sn 40
Altura: - cm.
Normal:
3
y = 3..J2x - s../2 3
94
95
400 4. x=- km.
3
5. Velocidad= 20,Js nudos
PARTE IV. CONCEPTOS GENERALES
1. Es la pendiente de la recta tangente a la función en este punto.
2. Límite por la izquierda es la ordenada que corresponde o corresponderia al punto dado
para que la función fuese continua por la izquierda. Análogamente por la derecha.
El límite existe si los límites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales y es
la ordenada que corresponde o corresponderia al punto dado para que la función fuese
continua.
3. El límite de la función en el punto dado debe de ser igual a la imagen de la función.
4. Discontinuidad de punto, evitable, removible o eliminable, discontinuidad de salto o
finita y discontinuidad de asíntota o infinita.
5. Una función no es derivable en los puntos en que no es continua, cuando siendo
continua en un punto tiene un pico y cuando la tangente a la función en ese punto es una
vertical.
6. Es un punto en el cual la función tiene un cambio de concavidad.
Si la función es derivable en ese punto y su derivada es diferente de cero, basta con
obtener la segunda derivada e igualarla con cero para obtener los puntos de inflexión de
la función.
7. Todo punto en donde la función es continua y cuya derivada es igual a cero se
denomina punto critico. Los puntos criticos pueden ser: Máximos, mínimos o sillas.
96
8. Como se requiere que la primera derivada sea cero, tenemos un punto crítico que
puede tratarse de un máximo, un mínimo o un punto silla. La segunda derivada nos
indica si la primera es creciente, decreciente o constante. En el primero de los casos
cambia de negativo a positivo por lo cual la función debe de tener un mínimo en ese
punto. En el caso de ser decreciente, se tiene un máximo y si es constante no se sabe.
9. Se evalúa a la derivada de la función en el punto en cuestión, esto nos proporciona a la
pendiente de la tangente. Se obtiene el recíproco de este número y se le cambia el signo
por la condición de perpendicularidad, para obtener a la pendiente de la normal.
Se obtienen las coordenadas del punto y se utiliza a la pendiente obtenida en la ecuación
de la recta. El resultado es la ecuación de la normal buscada.
1 O. La regla de la cadena es una fórmula que nos permite derivar a una función
compuesta por dos o más funciones.
La regla dice que la derivada de una función compuesta es la derivada de la primera
función compuesta con la segunda, a este resultado se le multiplica por la derivada de la
segunda.