notasdeclase_ingeconomica_21072010

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO

CAMPUS IRAPUATO SALAMANCA

DIVISIÓN INGENIERÍAS

INGENIERIA ECONÓMICA

Notas de Curso

Por Ma. de Guadalupe García Hernández

Profesora de Tiempo Completo del Departamento de Ingeniería Electrónica

Comunidad de Palo Blanco, Salamanca, Guanajuato

Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.5 + 1.8 Tel. 52 (464) 6479940 Ext. 2467

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CONTENIDO

PREFACIO I INTRODUCCIÓN III CAPÍTULO I CONCEPTOS PRELIMINARES DE INGENIERÍA E CONÓMICA 1

1.1 INGENIERÍA Y ECONOMÍA 3 1.1.1 CONCEPTOS DE INGENIERÍA Y ECONOMÍA 3 1.1.2 EFICIENCIAS TÉCNICA Y ECONÓMICA 4 1.1.3 DECISIONES ECONÓMICAS 4

1.2 CONCEPTO DE SISTEMA 5 1.2.1 DEFINICIÓN DE SISTEMA 5 1.2.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS 5 1.2.2.1 CICLO DE VIDA DE UN SISTEMA 6 1.2.2.2 CARÁCTER DINÁMICO DE LOS SISTEMAS 6 1.2.3 MODELOS DE UN SISTEMA 6 1.2.4 MODELO ECONÓMICO DE UN SISTEMA 7 1.2.5 ANÁLISIS ECONÓMICO DE UN SISTEMA 9 1.2.6 CRITERIOS ECONÓMICOS DE DECISIÓN 9

1.3 EL SISTEMA EMPRESA 10 1.3.1 CONSIDERACIÓN DE LA EMPRESA COMO UN SISTEMA 10 1.3.2 ESTADOS FINANCIEROS DEL SISTEMA EMPRESA 13 1.3.2.1 EL ESTADO DE RESULTADOS 13 1.3.2.2 EL BALANCE 14 1.3.2.3 EL ESTADO DE ORIGEN Y APLICACIÓN DE RECURSOS 16 1.3.3 EL CAPITAL SOCIAL Y EL CAPITAL DE TRABAJO 17

1.4 CONCEPTO DE COSTOS 18 1.4.1 DEFINICIÓN DE COSTOS 18 1.4.2 CLASIFICACIÓN DE LOS COSTOS 18 1.4.2.1 COSTOS REFERIDOS AL TIEMPO 18 1.4.2.2 COSTOS REFERIDOS A SU ORIGEN 19 1.4.2.3 COSTOS REFERIDOS AL CONTROL 19 1.4.2.4 COSTOS REFERIDOS AL NIVEL DE ACTIVIDAD 19 1.4.2.5 COSTOS EN RELACIÓN AL VOLUMEN 21 1.4.2.6 COSTOS EN RELACIÓN AL TIEMPO 21 1.4.3 PUNTO DE EQUILIBRIO 22 PROBLEMAS RESUELTOS 25

ii

CAPÍTULO II VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEM PO 31

2.1 CONCEPTO DE INTERÉS 33 2.2 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO 33 2.3 FÓRMULAS DE EQUIVALENCIA Y FACTORES DE INTERÉS COMPUESTO DISCRETO 34

2.3.1 FLUJOS DE EFECTIVO ÚNICOS 34 2.3.2 SERIES UNIFORMES DE FLUJOS DE EFECTIVO 35 2.3.2.1 VALOR FUTURO DE UNA SERIE UNIFORME DE FLUJOS DE EFECTIVO 35 2.3.2.2 VALOR PRESENTE DE UNA SERIE UNIFORME DE FLUJOS DE EFECTIVO 38 2.3.3 FLUJOS DE EFECTIVO EN FORMA DE GRADIENTE 38 2.3.3.1 GRADIENTE ARITMÉTICO 39 2.3.3.2 GRADIENTE GEOMÉTRICO 40

2.4 INTERÉS NOMINAL E INTERÉS EFECTIVO 43 2.4.1 CAPITALIZACIÓN EN PAGOS ÚNICOS 43 2.4.2 CAPITALIZACIÓN EN UNA SERIE UNIFORME DE PAGOS 43 PROBLEMAS RESUELTOS 46 CAPÍTULO III MÉTODOS DE EVALUACIÓN DE PROYECTOS 63

3.1 MÉTODO DEL VALOR ANUAL EQUIVALENTE, VAE 65 3.1.1 LOS INGRESOS Y GASTOS SON CONOCIDOS 66 3.1.2 SOLAMENTE LOS GASTOS SON CONOCIDOS 66 3.1.3 LAS VIDAS ÚTILES DE LAS ALTERNATIVAS SON DIFERENTES 67

3.2 MÉTODO DEL VALOR PRESENTE NETO, VPN 67 3.2.1 VALOR PRESENTE DE LA INVERSIÓN TOTAL 68 3.2.2 VALOR PRESENTE DEL INCREMENTO EN LA INVERSIÓN 68

3.3 MÉTODO DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO, TIR 69 3.3.1 PROYECTOS SIMPLES (UNA TIR) 70 3.3.2 PROYECTOS NO SIMPLES (VARIAS TIR's) 71 3.3.2.1 ALGORITMO DE MAO. 72 PROBLEMAS RESUELTOS 74 CAPÍTULO IV DEPRECIACIÓN E IMPUESTOS EN LA EVALU ACIÓN ECONÓMICA. 95

4.1 CONCEPTO DE DEPRECIACIÓN 97 4.2 CAUSAS DE LA DEPRECIACIÓN 98

4.2.1 FACTORES ENDÓGENOS 98 4.2.2 FACTORES EXÓGENOS 98

4.3 MÉTODOS DE DEPRECIACIÓN 98 4.3.1 CON BASE EN EL TIEMPO TRANSCURRIDO 99 4.3.2 CON BASE EN LA PRODUCCIÓN DE BIENES O DE SERVICIOS 100 4.3.3 TABLAS DE DEPRECIACIÓN Y FACTORES DE AJUSTE 101

iii

4.4 GANANCIAS EXTRAORDINARIAS DE CAPITAL 102 4.5 EFECTO DE LA DEPRECIACIÓN EN LA TIR, DESPUÉS DE IMPUESTOS 104 4.6 EVALUACIÓN ECONÓMICA CONSIDERANDO IMPUESTOS Y DEPRECIACIÓN. 104 PROBLEMAS RESUELTOS 105

CAPÍTULO V ANÁLISIS DE REEMPLAZO 135

5.1 CAUSAS QUE ORIGINAN UN ESTUDIO DE REEMPLAZO 137 5.2 FACTORES A CONSIDERAR EN UN ESTUDIO DE REEMPLAZO 138 5.3 TIPOS DE ESTUDIOS DE REEMPLAZO 139

5.3.1 MEDIANTE LA DETERMINACIÓN ECONÓMICA DEL ACTIVO 139 5.3.1.1 MODELO MATEMÁTICO 139 5.3.2 MEDIANTE EL ANÁLISIS ECONÓMICO ENTRE EL ACTIVO ACTUAL Y EL ACTIVO PROPUESTO 140 5.3.2.1 VIDA REMANENTE DEL DEFENSOR MAYOR O IGUAL A LA DEL RETADOR 141 5.3.2.2 VIDA REMANENTE DEL DEFENSOR MENOR A LA DEL RETADOR 141 PROBLEMAS RESUELTOS 143 CAPÍTULO VI EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN EN SITUACIÓN INFLACIONARIA 155

6.1 CONCEPTO DE INFLACIÓN 157 6.2 CAUSAS QUE ORIGINAN A LA INFLACIÓN 157 6.2.1 ELEVACIÓN DE LOS COSTOS DE PRODUCCIÓN 157 6.2.2 EMPUJE DE LOS COSTOS POR LA MANO DE OBRA 158 6.2.3 TIRÓN DE LA DEMANDA 158

6.3 EFECTO DE LA INFLACIÓN SOBRE EL VPN 158 6.4 EFECTO DE LA INFLACIÓN SOBRE LA TIR 159 6.5 EFECTO DE LA INFLACIÓN SOBRE EL ACTIVO FIJO 159 6.6 EFECTO DE LA INFLACIÓN SOBRE ACTIVO CIRCULANTE 160 6.6.1 CON EL MISMO NIVEL DE ACTIVO CIRCULANTE 160 6.6.2 CON DIFERENTES PROPORCIONES DE ACTIVO CIRCULANTE 161

6.7 EFECTO DE LA INFLACIÓN EN ACTIVOS NO DEPRECIABLES 161 6.8 INFLACIÓN DIFERENCIAL 161 PROBLEMAS RESUELTOS 162

CAPÍTULO VII SELECCIÓN DE PROYECTOS EN CONDICIO NES LIMITADAS DE PRESUPUESTO 177 7.1 GENERACIÓN DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS 179

iv

7.2 SELECCIÓN ENTRE MUCHOS PROYECTOS CON RESTRICCIONES 182 7.3 FORMULACIÓN CON PROGRAMACIÓN ENTERA 183 7.3.1 CONSTRUCCIÓN DEL MODELO SIN CONSIDERAR AL PASIVO 184

7.3.2 CONSTRUCCIÓN DEL MODELO CONSIDERANDO INCREMENTOS EN EL PASIVO E INVERSIONES LÍQUIDAS 185

7.3.3 UTILIDAD Y APLICABILIDAD 186 7.4 MÉTODOS DE SELECCIÓN APROXIMADOS 186 7.4.1 ORDENADO POR TASA DE RENDIMIENTO, TIR 186 7.4.2 ORDENADO POR VALOR PRESENTE POR PESO INVERTIDO 187 7.4.3 ORDENADOS COMBINADOS 187

7.5 DECISIONES SECUENCIALES CONTRA DECISIONES EN GRUPO 188

REFERENCIAS 189

Universidad de Guanajuato Campus Irapuato Salamanca

Notas de Clase de Ingeniería Económica I Ma. de Guadalupe García Hernández

PREFACIO

Estas Notas de Clase tienen por objeto proporcionar al futuro profesionista las herramientas

necesarias que, a mi juicio, son necesarias para optimizar el uso de los recursos materiales y

económicos dentro de su quehacer cotidiano. Ellas contienen en su totalidad la parte administrativa

del Plan de Estudios vigente en la División Ingenierías del Campus Irapuato Salamanca de la

Universidad de Guanajuato. Asimismo, ellas resultaron del estudio, análisis e impartición de la

cátedra correspondiente y del afán de simplificar el estudio de las bases del conocimiento. Espero

que les sean de mucha utilidad a mis alumnos, para quienes con mucho cariño desarrollé esta obra.

La Autora.


Notas de Clase de Ingeniería Económica II Ma. de Guadalupe García Hernández


Notas de Clase de Ingeniería Económica III Ma. de Guadalupe García Hernández

INTRODUCCIÓN

A través del tiempo, el hombre se ha preocupado por entender y conocer al mundo que lo rodea. Este interés dio origen a la Ciencia, cuyo objeto es el análisis y estudio de los fenómenos naturales, para comprender las causas que los provocan. Con este conocimiento, el hombre se pudo dar cuenta de que el Universo está regido por ciertas leyes, y su siguiente objetivo fue descubrirlas. Con estas leyes, el hombre ha podido cuantificar las causas y los efectos de dichos fenómenos, para utilizarlos en su beneficio personal. De ahí nació la Tecnología, que se encarga de diseñar sistemas capaces de proporcionar bienes y servicios que le hagan más placentera la vida del ser humano. Su herramienta principal es la Ingeniería, que busca armonizar a las necesidades con los conocimientos, tomando en cuenta a la Economía. La Economía surge como una necesidad de organización, es decir, que todos los beneficios, servicios y bienes que puedan existir, deben estar distribuidos en el sistema de una manera sistemática y jerarquizada. En resumen, si la Ingeniería crea un sistema que sea capaz de proporcionar un bien o servicio, éste debe estar justificado económicamente, es decir, que la Economía dictamina su capacidad real de generación de riqueza y beneficio. Entonces, la labor de la Ingeniería Económica es de gran importancia, ya que en la elaboración de sistemas se tienen que considerar las limitaciones técnicas y económicas, para así lograr una mayor eficiencia en el quehacer humano.


Notas de Clase de Ingeniería Económica IV Ma. de Guadalupe García Hernández


Notas de Clase de Ingeniería Económica de Ma. de Guadalupe García Hernández 1

CAPÍTULO I

CONCEPTOS PRELIMINARES

DE INGENIERÍA ECONÓMICA



CONCEPTOS PRELIMINARES DE INGENIERÍA ECONÓMICA

Capítulo I

1.1 INGENIERÍA Y ECONOMÍA 1.1.1 CONCEPTOS DE INGENIERÍA Y ECONOMÍA La Ingeniería crea sistemas capaces de proporcionar bienes y servicios que satisfagan las necesidades humanas. La excelencia de sus obras se mide por su eficiencia técnica y por su eficiencia económica. El desarrollo de la Ingeniería debe estar en armonía con el medio físico y debe aprovechar los recursos naturales que él mismo provee. Las bases sobre las cuales se desarrolla la Ingeniería son las siguientes: � Ciencia pura: conocimiento e investigación de las leyes que gobiernan al mundo físico. � Ciencia aplicada: conjunto de investigaciones y conocimientos derivados de la ciencia pura,

orientados a fines utilitarios, o sea a la solución de los problemas que plantea la producción de satisfactores.

� Tecnología: conocimiento empírico de medios y formas de hacer las cosas, no derivado de la

experimentación científica, aunado a la ciencia aplicada. En síntesis, estas bases son la Ciencia y la Tecnología. La Economía tiene una importante relación con la Ingeniería, puesto que es la que justifica a un sistema que es técnicamente factible, si es económicamente aceptable o no. Ella mide en unidades monetarias las consecuencias de diferentes alternativas y aplica un criterio económico combinado con el técnico. En conclusión, la Ingeniería trasciende a la Tecnología ya que debe prestar atención al principio general de Economía y Optimización en el uso de los recursos de que se dispone en un tiempo, lugar y contexto social determinados.



1.1.2 EFICIENCIAS TÉCNICA Y ECONÓMICA

“Productos más útiles al menor costo ".

Eficiencia TecnicaCantidad y Calidad del producto o servicio

Necesidades Físicas y Psicológicas del Usuario=

"La perfección técnica no siempre implica eficiencia técnica".

Eficiencia EconómicaUtilidad o Beneficio

Costo=

La relación entre ambas es:

Eficiencia Económica = Eficiencia Técnica / Costo Mayor eficiencia técnica significa mayor utilidad o valor para el usuario. Para lograr la mayor eficiencia económica, los aumentos en la eficiencia técnica deben obtenerse mediante un aumento proporcionalmente menor de los costos respectivos, o mejor aún, sin que aumenten dichos costos. También se debe tener en cuenta que la disminución en el consumo de algún recurso, no siempre significa un costo menor, en muchos casos esa disminución se logra solamente aumentando el consumo de otros recursos. Ejemplo: menos mano de obra a cambio de más o mejores máquinas

1.1.3 DECISIONES ECONÓMICAS La eficiencia económica solamente se logra considerando diferentes alternativas viables técnicamente y evaluando la eficiencia económica de cada una de ellas con respecto a las demás. Su análisis conduce a una decisión económica: seleccionar la alternativa con mayor eficiencia económica. En conclusión, el ingeniero necesita abandonar el papel pasivo frente a los problemas económicos y humanos que plantea su profesión (por concentrarse sólo en aspectos técnicos) y adoptar una actitud creativa, aceptando la responsabilidad implícita respecto a dichos problemas, en los sistemas que tienen la misión de crear para beneficio de su comodidad y de su empresa. Se tienen diferentes clases de decisiones económicas: 1.- DE RESULTADOS INMEDIATOS: mediante una simple comparación de costos asociados a cada alternativa y su utilidad inmediata. 2.- DE INVERSIÓN: también llamadas proyectos de inversión, proyectos de capital o simplemente proyectos. En este caso, se toma la decisión de invertir una suma en el presente con la expectativa de obtener utilidades futuras que sobrepasen el costo inmediato incurrido. Exige que se tome en cuenta la distribución de los costos y beneficios a largo plazo. Resumiendo, el análisis económico de los sistemas de ingeniería es la teoría de la decisión económica aplicada a las inversiones que requieren los trabajos de ingeniería. Estas decisiones de



inversión se miden por su longevidad y por su irreversibilidad. Sus efectos se miden a largo plazo y qué tan recuperable es la inversión, por lo que van asociadas a un riesgo. Las decisiones económicas de inversión se clasifican en: A) INVERSIÓN TÁCTICA.- el proyecto no implica un compromiso cuantioso de recursos, ni un cambio importante en la operación de la empresa. B) INVERSIÓN ESTRATÉGICA.- implica el compromiso de un capital relativamente grande y tal vez un cambio radical en la operación de la empresa o en su oposición competitiva en el mercado. También se puede presentar como,

• Expansión horizontal para competir en nuevos mercados. Ejemplo: abrir sucursales en otras áreas económicas.

• Integración vertical para producir algunos o todos de los insumos que requiere la

empresa, o bien para procesar subproductos del mismo. 1.2 CONCEPTO DE SISTEMA

1.2.1 DEFINICIÓN DE SISTEMA El sistema es el conjunto de elementos y procesos asociados a un proyecto de ingeniería, sea en la etapa de integración o en la de operación, el cual constituye el objeto de análisis económico. También se puede definir como un conjunto de elementos que actúan en forma coordinada para obtener los objetivos predeterminados. 1.2.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS Los sistemas están compuestos por numerosos elementos, los cuales pueden ser físicos (máquinas, hombres) y abstractos (energía, información, normas, objetivos). Dichos elementos deben actuar armónicamente entre sí para lograr el objetivo predeterminado. Todos los sistemas deben producir bienes o servicios y consumen recursos. Pueden ser simples o complejos. Las características de los sistemas son: 1.- COMPLEJIDAD. Los sistemas son un conjunto de elementos físicos o abstractos. A mayor cantidad de elementos, mayor complejidad del sistema. 2.- ORGANIZACIÓN. Los elementos que constituyen un sistema se relacionan entre sí y se estructuran como un todo. Esta relación o interacción a menudo es más importante que los elementos mismos. La optimización de cada uno de los elementos del sistema, considerados aisladamente, por lo general no significa la optimización total del sistema. Solamente analizando las relaciones entre los elementos en forma conjunta, es posible llegar al SISTEMA ÓPTIMO.



3.- ACCIÓN. Todo sistema realiza una o varias funciones, o efectúa uno o varios procesos independientes, que operan sobre ciertas entradas o insumos resultando determinadas salidas o productos del sistema. Estos insumos o productos pueden ser también físicos o abstractos. 4.- FINALIDAD. Todo sistema obedece a objetivos definidos, que determinan la composición, estructura y acción del sistema. Es decir, los sistemas se diseñan, construyen y operan con vista a objetivos bien especificados. 5.- FRONTERAS. Todo sistema debe estar limitado para ser susceptible de análisis, sus fronteras se definen al especificar los componentes del mismo, ya enumerándolos o dando sus características distintivas. Estas fronteras las fija el analista, de acuerdo con los requisitos previamente establecidos. 6.- AMBIENTE. Es todo aquello que no forma parte del sistema pero que influye en él o sufre influencia del mismo. Ejemplo.- el propietario de la obra, los clientes el gobierno, etcétera. 1.2.2.1 CICLO DE VIDA DE UN SISTEMA Los sistemas creados por el hombre pasan por un ciclo de vida, que comprende las siguientes etapas, * Investigación y desarrollo (Insumos de integración) * Ingeniería (ídem) * Construcción, fabricación e instalación (ídem) * Operación y mantenimiento (Insumos de operación) * Desecho o desmantelamiento Los insumos de operación son los consumidos durante el proceso de producción y son:

a) Insumos primarios.- que transformados por el sistema, forman parte de los productos terminados. Ejemplo.- la materia prima, energía eléctrica u otro tipo de energía y la información. b) Insumos del procesador.- Son los materiales, energía, información y servicios que se consumen internamente en el sistema para poder llevar a cabo los procesos que éste realiza. Ejemplo: mano de obra, combustibles, energía eléctrica, agua, comunicaciones e información.

1.2.2.2 CARÁCTER DINÁMICO DE LOS SISTEMAS Las entradas, salidas y elementos componentes de un sistema están en función del tiempo, lo cual le otorga dinamismo al sistema. 1.2.3 MODELOS DE UN SISTEMA Los atributos o características de los elementos que componen un sistema son muy numerosos y variados. Por ejemplo.- Los atributos de un trabajador de una empresa, que se pueden valorar, son los siguientes: edad, estudios realizados, experiencia, sueldo, puesto que desempeña, etcétera. Los atributos pueden estar íntimamente relacionados, por ejemplo; el nivel de estudios de una persona



guarda relación con el sueldo. Por lo tanto, el análisis de un sistema se puede hacer desde diferentes puntos de vista. Por ejemplo, si es un edificio, se puede analizar desde el punto de vista arquitectónico, estructural, térmico, funcional, económico, etcétera. Los modelos del sistema son la representación o descripción del comportamiento de un sistema desde un punto de vista determinado, en términos físicos, verbales, gráficos o matemáticos. Estos se pueden presentar como:

• Modelos geométricos, maquetas, planos. • Modelos matemáticos o estructurales, fórmulas matemáticas • Modelos hidráulicos, físicos o matemáticos. • Modelos organizacionales, gráficos y verbales, organigrama • Modelos económicos, estados financieros

Los modelos son abstracciones, simplificaciones o idealizaciones de los sistemas respectivos. Son útiles para poder entender al sistema, hacer predicciones sobre él y modificarlo si es necesario. 1.2.4 MODELO ECONÓMICO Es una representación del sistema y el estudio de su comportamiento desde el punto de vista económico, es decir, su análisis económico.

costos, c(t) beneficio, b(t)

procesador, R(t )

recursos, r(t) productos, p(t)

Objetivo, o(t)

Figura 1.1 Modelo económico del Sistema Empresa.

Al flujo de recursos r(t) le corresponde un flujo de costos c(t) en sentido inverso, que significa lo que se debe pagar por ellos, éstos son erogaciones en efectivo o egresos. Al flujo de productos p(t) al mercado, le corresponde un flujo de beneficios b(t) en sentido inverso, los cuales son en su mayoría ingresos. Cuando el beneficio de un sistema se define claramente, se dice que éste es económicamente autónomo, como lo debe ser una empresa. También existen ocasiones en que no se define al beneficio, debido a que el sistema solamente realiza parte de un proceso. Entonces, solo se definen los costos incurridos por este sistema.

FLUJO DE EFECTIVO = BENEFICIOS - COSTOS



Los costos de inversión son los recursos r(t) que componen al procesador, que resultan de la acumulación de los insumos de integración durante la construcción, adquisición o instalación del sistema. Le corresponde la inversión resultante de la acumulación del flujo de costos durante ese período, los cuales se denominan costos de inversión. Los costos en que incurre el sistema ya instalado o adquirido, durante su vida útil de producción, se denominan costos de operación, donde se incluye su mantenimiento. La inversión se puede recuperar con el flujo de beneficios. Resumiendo, el flujo de efectivo de un sistema comprende: a) Costos de inversión b) Costos de operación c) Beneficios El flujo de efectivo es un modelo del comportamiento económico de un sistema a lo largo de su ciclo de vida, es quien determina si este sistema es económicamente deseable. El control económico del sistema es la determinación de costos incurridos y beneficios obtenidos y sus relaciones. Es la comparación de lo obtenido con lo estimado, y la toma de decisiones tendientes a alcanzar los objetivos económicos del sistema. El ambiente económico del sistema lo componen (vea Fig. 1.2): 1.- Las necesidades de los clientes potenciales y posibles consumidores, 2.- Las expectativas económicas del dueño, mediante un balance costos y beneficios, 3.- Las condiciones económicas del lugar (características del mercado, productividad nacional, cambios tecnológicos, inflación de precios, competencia, créditos disponibles) 4.- Restricciones y regulaciones gubernamentales [leyes laborales, fiscales, de comercio (aranceles), bancarias y crediticias].

Figura 1.2 Representación del modelo económico del sistema.

p(t) r(t)

leyes fiscales, laborales del comercio

Modelo económico de "S"

I(t)

Productividad mano de obra

Necesidades de clientes

Control de costos y beneficios

c(t) b(t)

Tendencias económicas

Expectativas económicas del dueño de

"S"

Tecnología disponible

Créditos disponibles



1.2.5 ANÁLISIS ECONÓMICO DEL SISTEMA Consiste en el análisis de los flujos de efectivo asociados a dos o más sistemas alternativos, para poder juzgar la valía económica relativa de éstos. Para que sea útil el análisis económico del sistema, se deben plantear alternativas que cumplan los siguientes requisitos: 1.- Aceptables técnicamente 2.- Relevantes 3.- Suficientes Los sistemas alternativos incluyen cursos de acción alternativos. Por ejemplo: comprar o rentar. La ALTERNATIVA CERO es la de “no inversión”, es decir, “mantener la situación actual” o “nada hacer”, y es un marco comparativo para las demás alternativas. La optimización económica del sistema es la selección de los parámetros más convenientes desde el punto de vista económico, ésta se puede llevar a cabo si los parámetros técnicos varían continuamente dentro de un intervalo. Posteriormente, se deberá determinar el flujo de efectivo de cada alternativa, desde su concepción hasta su desecho o venta. 1.2.6 CRITERIOS ECONÓMICOS DE DECISIÓN La elección entre varias alternativas (vea Fig. 1.3) requiere establecer los siguientes criterios: * Criterio primario de decisión: lograr el mejor aprovechamiento posible de lo recursos limitados. * Criterio secundario de decisión: un buen flujo de efectivo a corto plazo, tener competitividad en el mercado, satisfacer necesidades de empleados y lograr un crecimiento estable y sostenido. Ejemplos de criterios aplicables: 1.- MÁXIMA UTILIDAD.- Criterio primario más generalizado, no siempre es monetario, puede ser social, cultural, etcétera. 2.- COSTO MÍNIMO.- No siempre lo que cuesta menos es lo más adecuado. 3.- MÍNIMA INVERSIÓN.- Por escasez de capital o de financiamiento. 4.- RIESGO MÍNIMO.- Puede ser un criterio primario si el proceso es incierto o si los recursos por comprometer son cuantiosos. 5.- MÁXIMA CALIDAD DEL PRODUCTO O SERVICIO.- En ocasiones los costos son secundarios a la calidad. 6.- MEJORAMIENTO DE LAS RELACIONES LABORALES 7.- CREACIÓN DE FUENTES DE TRABAJO y otros de carácter social



Figura 1.3 Planteamiento de alternativas. 1.3 EL SISTEMA EMPRESA

1.3.1 CONSIDERACIÓN DE LA EMPRESA COMO UN SISTEMA La empresa es un sistema complejo (vea Fig. 1.4), donde se identifican los elementos integrantes del flujo de efectivo y se describen los estados financieros como modelos económicos del mismo. Uno de los componentes más importantes del flujo de efectivo de la empresa es el Impuesto sobre las utilidades o sobre la Renta, donde los cargos por depreciación son básicos para su cálculo. La Sociedad Mercantil es un sistema socioeconómico regulado por sistemas de orden superior (Gobierno, instituciones, etcétera.) de acuerdo con el estilo de vida y régimen político adoptado por la sociedad de un país. Es la fuente de capital necesario para que ésta exista y determina sus objetivos económicos. El propósito de la Sociedad Mercantil es crear clientes, como órgano social, satisfacer necesidades manifiestas o potenciales de diversos grupos de la población. Como el cliente determina las características del negocio, entonces el Sistema Empresa tendrá como componente esencial al subsistema COMERCIALIZACIÓN que sirve para conocer y entender al

cA bA Alternativa "A"

Alternativa "N"

c N

Alternativa "B"

cB bB

Alternativa "C"

c C bC

bN

_ ¿Se han planteado todas las alternativas relevantes? _ ¿Todas satisfacen el problema por completo? _ ¿Dan el mismo nivel de calidad y servicio? Si la respuesta es negativa: _ ¿Se tomaron en cuenta las consecuencias económicas de las diferencias en el nivel y calidad de servicio? _ ¿Dan todas ellas la misma duración de servicio? Si la respuesta es negativa: _ ¿Se ajustó el análisis a un mismo periodo de servicio?



cliente, de manera que el producto o servicio tengan valor para éste. Otro componente esencial es el subsistema PRODUCCIÓN de bienes o servicios que satisfagan al mercado. Este, a su vez, está compuesto de otros subsistemas como la dotación de recursos humanos y materiales mejores, etcétera. La función de la empresa es la utilización productiva de los recursos capaces de crear riqueza, es decir, la función de PRODUCTIVIDAD. Sus elementos fundamentales son:

• Formación de capital, (utilidades reinvertidas, aumento de capital social). • Formación de la tecnología (conocimientos y habilidades para lograr el objetivo deseado)

La ADMINISTRACIÓN es un tercer componente esencial o subsistema, que consiste en el control de fronteras de dicho sistema y de los demás subsistemas, esto es, la definición de funciones y responsabilidades, coordinación interna y control de las transacciones del sistema con su entorno.

Figura 1.4 Subsistemas del sistema empresa. El flujo de efectivo de la empresa en su etapa de operación consta de,

IO = Ingresos de operación o ventas netas, una vez deducidos los descuentos, comisiones y devoluciones.

COE = Costos de operación en efectivo, que son los egresos, como los pagos a los empleados, a los proveedores de materia prima, materiales y servicios, y otros acreedores. El FEAI, que es el flujo de efectivo antes de impuestos se calcula de la siguiente manera:

COEIOFEAI −=

(SP)1

(SP)2

(SP)3

Sistema de producción

EMPRESA

Sistema de Comercialización

Sistema de administración

SOCIEDAD MERCANTIL (CONSEJO DE ADMINISTRACION,...)



El Resultado fiscal (RF) se obtiene restando al FEAI los intereses (I) sobre el capital obtenido en el préstamo (llamado pasivo a largo plazo), los cargos por depreciación (llamados en la ley como deducción de las inversiones) y otras deducciones legales (D). Los Impuestos son egresos del sistema por concepto de pagos al gobierno, y los intereses sobre el pasivo a largo plazo son hechos a tenedores de bonos y obligaciones emitidos por la empresa. En cambio los cargos por depreciación no constituyen un flujo de efectivo, pues no son ingresos ni egresos, pero forman una reserva de fondos para la renovación o reemplazo del equipo. El resultado fiscal es igual a la utilidad neta antes de impuestos (UNAI). El Impuesto sobre la Renta (ISR) grava los ingresos de las personas físicas o morales (asociaciones) derivados de las actividades que realizan. La participación de los trabajadores en las utilidades de la empresa (PTU), es aproximadamente del 10% sobre la utilidad fiscal, la cual es idéntica al resultado fiscal. El flujo de efectivo después de impuestos (FEDI) se calcula de la siguiente manera,

)( PTUISRFEAIFEDI +−= Todo lo anterior es la base para el análisis económico de proyectos de la empresa. Se observa que los intereses no se descuentan del FEAI para obtener el FEDI, porque no son un costo de operación, sino un pago del capital externo obtenido para financiamiento de los proyectos de la empresa, y se debe recuperar mediante las utilidades generadas por el capital invertido en dichos proyectos. El CAPITAL SOCIAL es el valor de las acciones de los socios de la empresa (derechos sobre los bienes de ella), una vez satisfechos sus acreedores (a quienes se les debía dinero). Los bienes que una empresa posee pueden ser, - Bienes muebles, que son las máquinas, mobiliario, libros, etcétera. - Bienes inmuebles, como lo son los terrenos, los edificios, etcétera. Entonces la Utilidad sobre el Capital Social (U) se calcula así,

)( PTUISRRFU +−= La U es importante contablemente, más no para el análisis económico, porque una parte de éste se reparte entre los accionistas como dividendos (DIV). Es decir, DIV es el pago que se hace sobre el capital externo (financiamientos extras). Por lo tanto, la utilidad retenida (UR) resulta:

DIVUUR −= La UR se acumula junto con los cargos por depreciación para formar un fondo para la renovación futura de equipo, modernización y expansión de las instalaciones, logrando un desarrollo e



incremento de su valor. Parte de dicho fondo puede usarse para liquidar el pasivo a largo plazo (bonos y obligaciones) o para disminuir el capital social (compra para acciones de la misma empresa). 1.3.2. ESTADOS FINANCIEROS DEL SISTEMA EMPRESA Los estados financieros son modelos económicos de la empresa que resumen las transacciones económicas efectuadas durante cierto período. Básicamente son tres: * ESTADO DE RESULTADOS

(Estado de ingresos y egresos, estado de pérdidas o ganancias), * ESTADO DE POSICIÓN FINANCIERA (Balance), * ESTADO DE CAMBIOS DE POSICIÓN FINANCIERA

(Estado de origen y aplicación de recursos), que a continuación se describen. 1.3.2.1 ESTADO DE RESULTADOS Es un modelo económico dinámico de la empresa (vea Tabla 1.1), pues muestra los ingresos por ventas, costos y gastos durante cierto período. Expresa cuánto cuesta lo que se produce y entrega la utilidad o resultado fiscal. El costo de las ventas es el costo de lo producido (no por vender) y se integra de la siguiente forma:

a) COSTO DE PRODUCCIÓN: erogados en efectivo por materiales, mano de obra y otros gastos.

b) CARGO POR DEPRECIACIÓN: del equipo e instalaciones de producción, el cual se distribuye entre los períodos de vida útil del equipo, de acuerdo a las reglas establecidas previamente.

c) AJUSTE POR DIFERENCIA DE INVENTARIO, entre el valor del inventario del productos en proceso y terminados, desde principio de año hasta finalizar el mismo.

La utilidad bruta (UB) son las ventas netas (IO) menos el costo de las ventas. Los gastos de operación (GO) son los costos por comercialización, dirección y administración de la empresa. Incluyen pago de intereses sobre el capital obtenido en préstamos (pasivo a largo plazo) y la depreciación de inmuebles y equipo de oficina que no son del subsistema producción. La utilidad neta antes de impuestos se puede calcular de la siguiente manera:

GOUBUNAI −=



Ahora la utilidad neta después de Impuestos (UNDI) o utilidad sobre el Capital Social es:

( )UNDI UNAI ISR PTU= − + Luego, los costos de operación en efectivo incluyen costos de ventas y gastos de operación, no incluye cargos por depreciación (D) ni a los intereses sobre el pasivo (I).

Tabla 1.1 Estado de resultados.

Compañía _________ Estado de resultados al 31 de Diciembre de ___

Ingreso de operación (Ventas netas) X IO Menos costo de ventas: X COE Costo de producción en efectivo Costo de inventario (Valor del inventario al 1o. de enero, de 19___; menos valor del inventario al 31 de diciembre de ___)

X

COE Cargo por depreciación de la planta X X D Utilidad bruta X Menos gastos de operación: Gastos en el mercado, en efectivo X COE Gastos de administración, en efectivo X COE Interés sobre pasivo a largo plazo X I Cargo por depreciación de edificios, mobiliario y equipo de oficina

X

X

D

Utilidad neta, antes de impuestos X RF Menos: Impuesto sobre la renta X ISR Participación de los trabajadores en las utilidades de la empresa (PTU)

X

X

ISR

Utilidad neta, después de impuestos X U

1.3.2.2 ESTADO DE POSICIÓN FINANCIERA. También llamado Balance, es un modelo económico estático que describe la situación financiera en un momento determinado, expresando cuánto tiene y cuánto debe (vea Tabla 1.2). En la parte izquierda se colocan los ACTIVOS, los cuales son recursos o valores que la empresa posee y que le permiten operar. 1.- ACTIVO CIRCULANTE, es el efectivo, valores convertibles fácilmente en efectivo, cuentas por cobrar a corto plazo e inventarios o existencias de productos terminados, productos en proceso, materiales y materias primas en almacén. Ejemplo: caja, bancos, mercancías, clientes, documentos por cobrar (menos de un año), deudores diversos. 2.- ACTIVO FIJO, está integrado por las inversiones en inmuebles, valores a largo plazo, acciones de empresas afiliadas, inversiones en terrenos, instalaciones y equipo para su objetivo social (se le



debe restar a la depreciación acumulada a través del tiempo de uso). Ejemplo: terrenos, edificios, mobiliario o equipo de oficina, equipo de entrega o reparto, maquinaria, depósitos en garantía, acciones y valores. 3.- ACTIVO DIFERIDO, son los artículos ya pagados que no se consumieron durante las operaciones del período en cuestión. Son gastos pagados por anticipado por los que se espera recibir un servicio aprovechable posteriormente. Por ejemplo, gastos de instalación, papelería y útiles, propaganda o publicidad, primas de seguros, rentas pagadas por anticipado, intereses pagados por anticipado. 4.- INTANGIBLES, son otros activos como las patentes, derechos de autor y costos de organización del negocio. En la parte derecha del balance, se encuentran los PASIVOS y el CAPITAL. Ambos son las obligaciones de la empresa o las fuentes de donde provienen sus recursos. A) PASIVO CIRCULANTE o flotante, pagadero a corto plazo (menos de un año), documentos y cuentas por pagar, sueldos y salarios vencidos en la fecha del balance, e intereses y dividendos devengados y aún no pagados en la misma fecha. Son deudas y obligaciones con vencimiento en un plazo menor a un año. Por ejemplo: proveedores, documentos por pagar, acreedores diversos. B) PASIVO FIJO o consolidado, y son bonos y obligaciones con vencimiento a largo plazo (más de 1 año) emitidos por la empresa para lograr capital externo. Ejemplo: hipotecas por pagar o acreedores hipotecarios, documentos por pagar a largo plazo (más de un año). También las reservas para impuestos, pensiones, jubilaciones o deudas a futuro. C) PASIVO DIFERIDO o crédito diferido, son las cantidades cobradas por anticipado, por las que se tiene la obligación de proporcionar un servicio posterior y que son convertibles en utilidad conforme transcurre el tiempo. Por ejemplo: rentas cobradas por anticipado y los intereses cobrados por anticipado. En cuanto al CAPITAL: a) CAPITAL SOCIAL, son las acciones de los socios de la empresa (derechos sobre los bienes de la empresa ya satisfechos los acreedores). b) VALOR ADICIONAL DE LAS ACCIONES, arriba o abajo de su valor nominal que se realiza al venderlas. c) UTILIDADES RETENIDAS ACUMULADAS (URA), es el capital de la empresa generado internamente y se calcula la utilidad retenida anual sumando todas las correspondientes al número de años del período.

U retenida = DIVU −

retenidaURA U=∑

En el balance, el total de ACTIVOS debe ser idéntico al total de PASIVOS y CAPITAL.



Tabla 1.2 Estado de posición financiera o Balance.

Compañía _________________ Balance al 31 de Diciembre de ____

ACTIVOS PASIVOS Y CAPITAL Activo circulante

Pasivo circulante

Efectivo X Documentos y cuentas por pagar X Valores negociables X Sueldos, salarios e impuestos vencidos X Cuentas por cobrar X Intereses y dividendos por pagar X Menos: reserva para cuentas incobrables

(X) Total pasivo circulante X

Inventarios

X

Pasivo fijo (a largo plazo)

Pagos por adelantado X Bonos y obligaciones X Total activo circulante X Reserva para ISR X Activo fijo Total pasivo a largo plazo X Otras inversiones X Terrenos X Planta y equipo X X Menos: depreciación acumulada (X) X X Total activo fijo X Activo diferido y otros activos X

Capital Capital social Excedente pago por acciones Utilidades retenidas acumuladas Capital total Total Capital

X

Total del activo X Total del pasivo y el capital X 1.3.2.3 ESTADOS DE CAMBIOS DE POSICIÓN FINANCIERA Describe las variaciones de los recursos financieros ocurridos durante cierto período, señalando el origen de los recursos adicionales y su aplicación, por lo que es también denominado “estado de origen y aplicación de recursos” (vea Tabla 1.3).



Tabla 1.3 Estado de cambios de posición financiera.

Compañía ____________________ Estado de cambios de posición financiera

al 31 de Diciembre de _____

Origen de recursos Operaciones: Utilidad neta, después de impuestos Restitución de los cargos por depreciación

X X X

Venta de activo fijo Aumento del pasivo a largo plazo Aumento del capital social Total de recursos generados

X X X

X Aplicación de recursos Dividendos declarados y pagados (X) Inversiones en activo fijo (X) Liquidación de pasivo a largo plazo (X) Disminución del capital social Total recursos aplicados

(X)

(X) Aumento (disminución ) neto (a) del capital de trabajo X

1.3.3 CAPITAL SOCIAL Y CAPITAL DE TRABAJO El capital social son las acciones de los socios de la empresa (derechos sobre los bienes de la misma ya satisfechos los acreedores). El capital de trabajo es el activo circulante menos el pasivo circulante, y es muy importante porque en él se basa la solvencia de la empresa para enfrentar compromisos financieros a corto plazo (vea Fig. 1.5). Las fuentes de capital de trabajo son: 1.- Venta de una parte del activo fijo (disminución) 2.- Aumento del pasivo a largo plazo

3.- Aumento del capital social de la empresa y retención de utilidades derivadas de la operación.

Los usos del capital de trabajos son los opuestos, como son: a) Aumentos de activos fijos (adquisición) b) Pago de una parte del pasivo a largo plazo (disminución). c) Disminución del capital social de la empresa y pago de dividendos a los accionistas con cargo a las utilidades del año.



Figura 1.5 Capital de trabajo. 1.4 CONCEPTO DE COSTOS 1.4.1 DEFINICIÓN DE COSTOS COSTO es la renuncia a un bien, medido en términos monetarios, realizado o por realizar, para lograr un objetivo específico en el contexto de las actividades de una empresa. Los bienes sacrificados pueden ser recursos monetarios, bienes tangibles o intangibles (derechos). GASTO es un costo que no se relaciona directamente con producción (como son los de comercialización y administración).

COSTO TOTAL = COSTO DE PRODUCCIÓN + GASTOS DE OPERACIÓN.

El costo de producción es el costo de fabricar un producto. Los gastos de operación son los que cuesta venderlo y administrar el negocio (vea Fig.1.6 y 1.7). 1.4.2 CLASIFICACIÓN DE LOS COSTOS Los costos se pueden agrupar como referidos al tiempo, a su origen o al control, así como en relación con el volumen y con el tiempo. 1.4.2.1 COSTOS REFERIDOS AL TIEMPO. *Costo histórico, precio de cambio real que fue pagado, por ejemplo: costo pagado en la fecha de adquisición. *Costo pasado. Egreso incurrido en el pasado, irrelevante para una decisión económica presente. *Costo estimado, egreso estimado a futuro, que puede afirmarse razonablemente en el presente. *Costo estándar, determinación anticipada del monto justificable de un costo, bajo condiciones previstas. * Costo por período, gasto relacionado con el tiempo.

CAPITAL DE TRABAJO

Venta de activos fijos

Inversiones

Resultado neto de las operaciones

SISTEMA EMPRESA

Acciones y dividendos pagados Pago de la deuda externa Pérdidas de operación

Capital social adicional Financiamiento externo



1.4.2.2 COSTOS REFERIDOS A SU ORIGEN. * Costo directo, costo generado de manera interna en un centro de costos. Por ejemplo: materiales que forman parte del producto terminado, su mano de obra y energía necesaria. * Centro de costos, son subsistemas de la empresa, y son unidades dentro de ella en las cuales se cargan los costos incurridos para su clasificación y acumulación. Pueden ser los diferentes departamentos en que se divide la empresa. * Costo indirecto, costo que afecta a más de un centro de costos. Por ejemplo, materiales, mano de obra y servicios que no forman parte del producto terminado. Estos se subdividen a su vez en:

1.- Costos indirectos intrasistémicos, son los costos de adquisición y de mantenimiento del sistema, que no pueden atribuirse directamente a un producto. 2.- Costos indirectos extrasistémicos, son los costos generados por otros subsistemas, o por productos y servicios que contribuyen a la función o al producto. Por ejemplo, la asesoría, información, insumos para el proceso (agua, vapor), servicios de compra y transporte, etcétera.

El Departamento de Servicios ocasiona costos que serán absorbidos como costos indirectos extrasistémicos por el Departamento de Producción, en proporción al monto de los servicios que recibe:

• Costos de producto, de un producto dado, son los costos directos e indirectos por período (1 mes) divididos por la producción del mismo período.

• Costo conjunto, originado en instalaciones y servicios usados para producir 2 ó más productos comercialmente significativos.

El proceso de producción del sistema empresa puede realizarse a través de subsistemas relativamente independientes de carácter temporal, cada uno de los cuales corresponden a una orden de trabajo, es decir, a un conjunto de tareas organizadas para producir un bien, un lote de productos o un servicio específico, destinado a un solo cliente. 1.4.2.3 COSTOS REFERIDOS AL CONTROL.

• Costo controlable, costo directo, del cual es responsable completamente una persona o unidad de la organización.

• Costo de oportunidad, costo de un bien, referido al mejor uso alternativo que pueda hacerse de él.

• Costo marginal, costo de incrementar en una unidad de nivel de actividad, o la diferencia de costos, correspondientes a dos niveles de actividad.

• Costo asignado, determinación de un costo con base en un criterio subjetivo y arbitrario, en ausencia de información específica.

1.4.2.4 COSTOS REFERIDOS AL NIVEL DE ACTIVIDAD

1. Costo fijo, no varía apreciablemente con el nivel de actividad. 2. Costo variable, cambia proporcionalmente con el nivel de actividad. 3. Costo semivariable, sí cambia, pero no proporcionalmente



La distribución de los costos indirectos la realiza la gerencia de la empresa, el índice de consumo que se tome debe reflejar fielmente el grado de utilización de estos recursos. El elemento básico del sistema de COSTEO DE PRODUCTO es el Registro de Costos por Orden de Trabajo, donde se acumulan los cargos correspondientes a una orden determinada, como son, 1.- Cargos por materiales directos, vales o salidas de almacén. 2.- Cargos por mano de obra directa, basados en las tarjetas de tiempo de los supervisores, en las que se consigna la orden a que debe cargarse el tiempo del operario. 3.- Cargos indirectos, (extrasistémicos) es un porcentaje predeterminado sobre la mano de obra y los materiales directos.

Figura 1.6 Composición de los costos en la Empresa.

-Personal administrativo -Rentas -Operación de equipo de oficina -Auditoría -Gastos legales -Papelería e impresión -Correo y teléfono

COSTO TOTAL

Materiales indirectos

Artículos y materiales para la planta en general

Materiales Directos

Materias Primas

Mano de obra directa

Costo directo de producción

Costo de

Producción

Tiempo del personal empleado directamente en le producción

Costo indirecto de producción

Mano de obra indirecta

-Supervisión -Inspección -Empleados de la planta -Rechazos -Rentas -Seguros -Impuestos -Depreciación de la planta -Mantenimiento -Energía

Otros gastos indirectos

-Personal de ventas -Comisiones -Publicidad -Muestras -Atenciones a clientes -Gastos de viaje -Empaques y fletes

Gastos de comercialización



1.4.2.5 COSTOS EN RELACIÓN AL VOLUMEN La planeación y el control presupuestal, la determinación de políticas de precios y la planeación de utilidades no podrían efectuarse sin un conocimiento de la forma en que varían los costos al variar el volumen de la producción. a) Costos variables, son los que varían directamente proporcional al volumen de producción (materiales directos y mano de obra directa), consumo de material y empleo de personal obrero, se ajusta a las variaciones planeadas de producción. Su monto global varía directamente proporcional al volumen de producción. Su monto por unidad de producto tiende a ser constante, y se puede asignar fácilmente a los diferentes departamentos operativos. b) Costos fijos, permanece constantes con la variación del volumen de producción, como los costos de alta gerencia de la empresa. También algunos costos indirectos de producción, ventas y administración que no pueden ajustarse a las variaciones de la producción. Su monto global puede ser fijo o constante. Su monto por unidad de producto varía en forma inversa al volumen de producción, y su asignación por departamentos lo decide la gerencia. c) Costos semivariables, estos costos tienen componentes fijos y variables, aumentan pero no proporcionalmente al volumen de producción. Son fijos o variables con respecto a la producción, no al tiempo. 1.4.2.6 COSTOS EN RELACIÓN AL TIEMPO Los costos fijos varían a lo largo del tiempo al aumentar la capacidad de la planta industrial, mediante la instalación de equipo adicional. Por lo tanto, la distinción entre los costos fijos y los variables solamente se da en un horizonte temporal limitado. a) Costos a corto plazo, están asociados a diferentes niveles de utilización de una instalación fija. b) Costos a largo plazo, contemplan cambios en el tamaño y la tecnología de la planta. Suponen flexibilidad perfecta en el tamaño de la misma, magnitud de su fuerza productiva, tipo de procesos, etcétera. Para adaptarse a los factores de los insumos y a los volúmenes y tipos de la producción.



Figura 1.7 Flujo de costos en el sistema empresa. 1.4.3 PUNTO DE EQUILIBRIO

Se puede conocer el nivel de actividad por período en el que los ingresos son iguales a los costos, es decir no existe pérdida ni ganancia. Para ellos se debe desglosar a los costos en fijos y en variables. La gráfica del punto de equilibrio ilustra los conceptos de costos fijos y variables (vea Fig.1.8). La RECTA A representa el costo anual total de la producción, que tiene una componente fija F y una componente V que varía proporcionalmente a ne, el volumen de producción. Su pendiente es numéricamente igual al costo variable por unidad de producto.

• F incluye los costos fijos y los componentes fijos de los costos semivariables. • V incluyen los costos variables, y los componentes variables de los costos semivariables.

La RECTA B representa el ingreso anual por ventas I, que es directamente proporcional al volumen de la producción, suponiendo que se venda toda ella. La pendiente de esta recta es el precio de venta de la unidad del producto. Entonces A y B hacen intersección en E, cuya abscisa es el punto de equilibrio del volumen de producción para el cual los costos se compensan con los ingresos, ne. La ordenada Ie es el punto de equilibrio de la producción, en unidades monetarias.

MATERIALES (Almacén)

COSTOS INDIRECTOS

MANO DE OBRA (Nómina)

Ordenes en proceso

Compras

Salarios

Mano de obra indirecta

Cargos por indirectos

Mano de obra directa

Salida de producción

Ordenes terminales

Costo de ventas



Figura 1.8 Punto de equilibrio entre costos e ingresos en función del volumen de producción.

A mayores volúmenes de producción que ne, los ingresos superan a los costos y existe una utilidad UNAI, para menores volúmenes de producción existirá una pérdida. Los costos variables de la empresa en su conjunto, son constantes por unidad de producto. Por ejemplo, los costos de la materia prima son variables en su conjunto, pero constantes por unidad de producto. Por otro lado, los costos fijos para la empresa son variables decrecientes por unidad de producto, ya que quedan distribuidas entre el número de unidades producidas.

CÁLCULO NUMÉRICO DEL PUNTO DE EQUILIBRIO Si n es el número de unidades producidas en el período evaluado, p es el precio de venta por unidad de producto, y v es el costo de variables por unidad de producto, entonces:

vpm −=

Donde m es el margen de contribución por unidad de producto, y se calcula de la siguiente manera:

p

vpt

)( −=

Donde t es la tasa de contribución del producto (porcentual).

Volumen de producción, n (unidades/año)

Costos (C) e ingresos totales (I) ($/año)

Ingresos por Ventas I

Utilidad U

Costo total de la Producción C

Costos Variables V

Costos fijos F punto de equilibrio ne

Pérdida (-U)

Ie E

B

A



Y la utilidad neta antes de impuestos, UNAI U I F V= = − −

se escribe como: nvFnpU −−= Donde el punto de equilibrio ne se calcula cuando U = 0 (o sea ingresos = egresos)

Entonces m

Fne = (en unidades de producto/período).

El ingreso en el punto de equilibrio se calcula de la siguiente forma:

t

F

pm

Fp

m

FnpI ee =

=⋅=⋅=

Para hallar en volumen de producción, n, necesario para lograr una utilidad específica, U, se usa,

m

FUn

)( +=

y su respectivo ingreso: pnI ⋅=

El margen de seguridad de ganancias es,

eIIS −= y como % de ventas,

IIIS e

100)( ⋅−=

Con los cálculos anteriores, se puede hacer un análisis de costo-volumen-utilidad.



PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una compañía de transporte foráneo puede desplazar como máximo 1000 personas al mes en una de sus rutas. La tarifa es de $ 500.00 por boleto, sus costos fijos de operación son de $ 262500.00 mensuales y sus costos variables son de $125.00 por pasajero. Cuántos boletos debe vender mensualmente como mínimo para evitar pérdidas? Establecimiento de variables: n = número de pasajeros transportados al mes. C = costo total de operación mensual I = ingresos totales mensuales U = utilidades mensuales Solución: Su costo total de operación mensual es:

262500 125C n= + Sus ingresos mensuales son:

500I n= En el punto de equilibrio la utilidad es cero, U = 0,

262500 125 500n n+ =

262500

(500 125)n =

−

n = 700

Es decir, si se transportan 700 pasajeros al mes la empresa no sufrirá pérdidas, pero tampoco tendrá ganancias.



2. La Compañía Estrella S.A. de C. V. durante el año 2008 se dedicó a fabricar y vender muflas para Laboratorio y realizó las siguientes operaciones:

• Pagó en efectivo a acreedores $ 205000.00 • Se ordenaron, recibieron y utilizaron materiales por $ 9120000.00 • De lo anterior solamente se pagó en efectivo $ 7522000.00 • La diferencia la pagará iniciando el año 2009 • Se pagaron salarios a los trabajadores por $ 2234764.00 • Se pagaron sueldos a personal administrativos por $ 978124.00 • Se tuvieron gastos admón. (papelería, teléfono, etc.) por $ 88097.00 • Se pagó energía eléctrica en el área admón. por $ 45563.00 • Se pagó energía eléctrica del área productiva por $ 138334.00 • Se pagó comisión por cada unidad vendida de $560.00 • Tuvo un cargo por depreciación de Planta y equipo prod. $ 291369.00 • Se pagaron intereses sobre el pasivo a largo plazo por $ 99885.00 • Tuvo un cargo por depreciación de Edificio y equipo admvo. $ 217954.00 • Se produjeron 12,000 unidades cuyo precio unitario es de $ 2378.50 • Se vendió el 80% de la producción recibiendo de contado su pago. • El Impuesto sobre la renta resultó del 38% y la participación a trabajadores de las

utilidades fue del 8%. Presentó el Balance al 31 de Diciembre de 2007, ACTIVO PASIVO Efectivo $ 672865.00 Cuentas por pagar $205000.00 Inventario $ 21184.50 Préstamo a largo plazo $ 1724679.50 Planta y equipo $ 4143264.00 Capital social $ 2907634.00

$ 4837313.50 $ 4837313.50 a) Formule los tres estados financieros correspondientes al ejercicio 2008. b) Calcule el capital de trabajo de los años 2007 y 2008.



Solución: a) Se obtuvieron los siguientes estados financieros:

Compañía Estrella, S.A. de C. V. Estado de resultados al 31 de Diciembre de 2008

Ingreso de operación (Ventas netas) 22833600 Menos costos de Operación: Salarios 2234764 Materiales 9120000 Energía Eléctrica sector Producción 138334 Costo de inventario (valor del inventario al 1o. de enero, de 2008 menos valor del inventario al 31 de diciembre de 2008 menos el 20% de la producción que no se vendió )

(5708400)

Cargo por depreciación de la planta 291369 Utilidad bruta 16757533 Menos gastos de operación: Sueldos administrativos 978124 Gastos de administración, en efectivo 88097 Energía Eléctrica sector administración 45563 Comisiones por ventas 5376000 Intereses sobre pasivo a largo plazo 99885 Cargo por depreciación de edificios, mobiliario y equipo de oficina

217954

Utilidad neta, antes de impuestos 9951910 Menos: Impuesto sobre la renta (38%) 3781725.8 Participación a los trabajadores en utilidades (8%) 796152.8 Utilidad neta, después de impuestos 5374031.4



Compañía Estrella, S.A. de C. V. Estado de posición financiera al 31 de Diciembre de 2008

ACTIVOS PASIVOS Y CAPITAL

Activo circulante Pasivo circulante Efectivo 2240819.4 Documentos y cuentas por pagar 1598000 Valores negociables Sueldos, salarios e impuestos

vencidos 0

Cuentas por cobrar 0 Intereses y dividendos por pagar 0 Reserva para cuentas incobrables

0 Total pasivo circulante 1598000

Inventario Diferencia Inventario

21184.5 5708400

Pasivo a largo plazo

Préstamo a largo plazo 1724679.5 Total activo circulante 7970403.9 Reserva para ISR 0

Activo fijo

Total pasivo a largo plazo 1724679.5

Otras inversiones 0 Capital Terrenos 0 Planta y equipo 4143264 Capital social 2907634.00 Menos: depreciación acumulada

(509323) Excedente pago por acciones 0

Utilidades retenidas acumuladas 5374031.4 Total activo fijo 3633941

Activo diferido 0 Capital total 8281665.4 Total activos 11604344.9

Total pasivos y capital 11604344.9

Compañía Estrella, S.A. de C. V. Estado de cambios de posición financiera al 31 de Diciembre de 2008

Origen de recursos Operaciones: Utilidad neta, después de impuestos Restitución de los cargos por depreciación

5374031.40 509323.00

Venta de activo fijo Aumento del pasivo a largo plazo Aumento del capital social Total de recursos generados

0 0 0 0

Aplicación de recursos Dividendos declarados y pagados Inversiones en activo fijo

0 0

Liquidación de pasivo a largo plazo 0 Disminución del capital social Total recursos aplicados

0 0

Aumento (disminución) neto (a) del capital de trabajo 5883354.40



b) Capital de Trabajo año 2007 = ( 672865 + 21184.50) – 205,000 = $ 489049.50

Capital de Trabajo año 2008 = (7970403.90 – 1598000) = $ 6, 372403.90 Diferencia entre ambas = Capital de Trabajo 2005-2006 = $ 5883354.4

Como se puede observar, el aumento neto del capital de trabajo coincide exactamente con la última cantidad obtenida.



CAPÍTULO II

VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO



VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

Capítulo II

Por el simple hecho de que se pueda disponer de una cantidad de dinero ajeno para enfrentar compromisos o realizar algún proyecto que va a arrojar utilidades, se debe pagar una renta sobre esa cantidad de dinero, que es el capital. A dicha renta se le llama interés. Esta renta hace que el valor del dinero cambie a través del tiempo, pues se le debe de adicionar al capital. 2.1 CONCEPTO DE INTERÉS Interés es la renta que se paga por utilizar dinero ajeno, o bien es la renta que se gana al invertir nuestro dinero. El valor del dinero a través del tiempo significa que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor si se encuentran en puntos diferentes en el tiempo y si la tasa (porcentaje) de interés es mayor que cero. El interés se clasifica en:

• simple • compuesto (discreto o continuo)

Es discreto si se establece el período de pago como semana, mes, bimestre, trimestre, semestre, etcétera. Es continuo si el período es cada día. En la actualidad la tasa de interés más utilizada es la del Interés compuesto discreto. 2.2 INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO En el interés simple, los intereses están en función del capital, del número de períodos y de la tasa de interés. En el interés compuesto, los intereses se acumulan en cada período al capital (a este proceso se le conoce como capitalización) y, por lo tanto, generan otros intereses. Este interés puede ser discreto, es decir, por períodos previamente establecidos, que pueden ser de un mes, de un trimestre, de un semestre, de un año, etcétera. También puede ser continuo, donde sus intereses se capitalizan diariamente, debido a esto su crecimiento resulta en forma exponencial.



2.3 FÓRMULAS DE EQUIVALENCIA ASUMIENDO INTERÉS COMP UESTO DISCRETO En estas notas de curso, cuando se hable de interés se referirá al interés compuesto discreto, debido a que es usado más frecuentemente en la práctica financiera diaria, y las fórmulas de equivalencia que se desarrollan más adelante son bajo la anterior suposición. 2.3.1 FLUJOS DE EFECTIVO ÚNICOS Si P es el desembolso inicial, n es el número de períodos, i es la tasa de interés durante cada período, entonces F es la cantidad que se recuperará al final de los n períodos (es decir, la cantidad que se acumula), y se calcula de la siguiente manera,

niPF )1( += (2.1)

De ahí se puede conocer la cantidad presente que se tiene que invertir para lograr acumular la cantidad F después de n períodos. Observe el siguiente diagrama de flujos de efectivo únicos en la Figura 2.1,

También se puede expresar mediante el factor resultante de la tasa de interés y el número de períodos (Apéndice A, Referencia 1),

, %,F

F P i nP

=

(2.1.a)

De otra manera lo podemos encontrar,

, %,P

P F i nF

=

(2.1.b)



Ejemplo: ¿Qué cantidad es necesario depositar al día de hoy en una cuenta de ahorros que paga el 10% para acumular al final de quinto año $10,000.00? Solución Si utilizamos la Figura 2.1 para visualizar los flujos de efectivo para este proyecto y aplicamos la ecuación 2.1.b, consultando la Tabla del interés compuesto discreto (Apéndice A de la Referencia 1), resulta lo siguiente,

= añosanualF

PFP 5,%10,

P = (10,000) (0.6209)

P = $ 6,209.00 al día de hoy

2.3.2 SERIES UNIFORMES DE FLUJOS DE EFECTIVO En algunas ocasiones se pueden presentar ingresos (o egresos) de la misma magnitud en forma continua a lo largo de n períodos, por lo que se pueden simplificar los cálculos manejándolos como una serie uniforme de flujos de efectivo, en lugar de trabajarlos como flujos únicos y repetir n veces la misma cantidad. A continuación se derivan las diferentes fórmulas para obtener la equivalencia de los flujos de efectivo en el futuro y en el presente. 2.3.2.1 VALOR FUTURO DE UNA SERIE UNIFORME DE FLUJOS DE EFECTIVO Si A es el flujo neto al final de cada período, el cual ocurre durante n períodos y F es la cantidad acumulada al final del período n, entonces F es la suma de las equivalencias de A. Se pueden presentar de dos maneras,

Primer caso.- Como se puede apreciar en la Figura 2.2, este comportamiento resulta ilógico, debido a que durante el primer período no existe inversión alguna, por lo que es tiempo muerto. Además, el último depósito no gana interés porque se retira de la inversión el mismo día en que se depositó.



Se puede escribir como una sumatoria de una serie uniforme de flujos de efectivo junto con sus intereses generados y acumulados,

( ) ( ) ( )2 11 1 1 ... 1

nF A i i I

− = + + + + + + + (2.2)

Si r = 1 + i y por la serie geométrica:

......2 ++++= nn ArArArAr

n =1

la enésima suma parcial es el valor acumulado F y resulta,

( )]...1[ 12 −++++= nrrrArSn

utilizando la identidad,

( )]...1)[1(1 12 −++++−=− nn rrrrr

la ecuación 2.2 se reduce a,

i

iAF

n ]1)1[( −+= (2.3)

Utilizando el factor mencionado en el subtema 2.3.1 resulta,

= niA

FAF %,, ( 2.3.a)

Y mediante el factor se obtiene:

= niF

AFA %,, ( 2.4)



Otra manera de definir A es como el flujo neto al final de cada período, durante n períodos, que es necesario desembolsar para al final obtener F.

Segundo caso.- Según la Figura 2.3, donde la inversión gana intereses desde el día en que inicia la inversión, es decir, cuando se hace el primer depósito, sin tiempo muerto como en el primer caso.

La sumatoria de la serie uniforme de flujos de efectivo junto con sus intereses acumulados a través del tiempo que dura la inversión es el valor futuro de ella,

])1(...2)1()1[( nIIiAF ++++++=

y en forma análoga al anterior caso se tiene,

+= niA

FiAF %,,)1( (2.5)

Ejemplo Si se hacen depósitos anuales de $1,000.00 durante 5 años en una cuenta de ahorros que paga el 5% semestral ¿Cuál es la cantidad que se acumula al final del año 5? Solución Los flujos de efectivo se comportan como se aprecia en la Figura 2.3 y aplicando las Ecuaciones 2.3.a y 2.14, así como la Tabla del Interés Compuesto Discreto (Apéndice A Referencia 1),

1210.0

12

−

+= semestresI efectivo

1025.0=efectivoI , es decir el 10.25% anual



= añosanualA

FAF 5,%25.10,

F = (1,000) (6.13598)

F = $ 6,135.98 acumulados al final de los 5 años

2.3.2.2 VALOR PRESENTE DE UNA SERIE UNIFORME DE FLUJOS DE EFECTIVO Para determinar la equivalencia en el tiempo cero (hoy) de estos flujos netos A, al final de cada período, durante n períodos se utiliza,

( )[ ]( )[ ]n

n

ii

iAP

+−+=

1

11

(2.6) mediante el factor mencionado en el subtema 2.3.1 se presenta así,

= niA

PAP %,, (2.6.a)

y para obtener el pago por período,

= niP

APA %,, (2.7)

Donde A también se puede definir como la cantidad que se recibiría al final de cada período, durante n períodos, si en el tiempo cero (hoy mismo) se invierte una cantidad P. 2.3.3 FLUJOS DE EFECTIVO EN FORMA DE GRADIENTES ARITMÉTICO Y GEOMÉTRICO En algunos proyectos de inversión se generan flujos de efectivo que se incrementan (o se decrementan) en cada período durante la vida del proyecto de dos diferentes maneras,

a) El incremento o decremento es una cantidad constante, llamado gradiente aritmético.

b) El incremento o decremento es un porcentaje constante, llamado gradiente geométrico.



2.3.3.1 GRADIENTE ARITMÉTICO Si g es la cantidad constante que aumenta en cada período una inversión durante n períodos, y A1 es el flujo de efectivo del primer período, entonces se tiene el comportamiento representado en la Figura 2.4. Para conocer la magnitud del flujo de efectivo del período k se utiliza,

( )11 −+= kgAAk donde k = 1,2, ..., n (2.8)

Figura 2.4 Diagrama de Flujo tipo Gradiente Aritmético Para facilitar el cálculo de su valor presente (o futuro) se puede transformar en una serie uniforme de flujos de efectivo de magnitud A equivalente de la siguiente manera:

A equivalente = A1 + A2 ' (2.9)

donde,

( )[ ]

−+−

=11

1'2 ni

n

igA (2.10)

y manejando el factor mencionado anteriormente,

= nig

AgA %,,'2 (2.10a)

Se debe hacer la observación de que el gradiente empieza en el segundo período, pero para obtener este factor se usa n, observe que no es para (n-1).Entonces resulta una serie uniforme de flujos de efectivo de magnitud Aequivalente y cuyo valor presente se puede calcular mediante la ecuación 2.6.



Ejemplo. Una persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad anual que va disminuyendo a una razón constante de $ 500.00 por año. La magnitud del primer depósito es de $10,000 y el último es de $ 5,500.00. Si la cuenta de ahorros paga 15% anual de intereses, ¿De qué magnitud debe ser un depósito anual durante el mismo tiempo de tal manera que la cantidad acumulada sea la misma? Solución Primero se cuentan los períodos, que desde $10,000 hasta $5,500 resultan 10 años, y aplicando las ecuaciones 2.9 y 2.10.a a la Figura 2.5 junto con la Tabla del Interés Compuesto Discreto (Apéndice A Referencia 1) resulta,

g = -500

= añosanualg

AgA 10,%15,'2

A2 ' = -1,691.6

A equivalente = A1 + A2 '

A equivalente = 10,000 –1,691.60

A equivalente = $ 8,308.40

NOTA: Este es el depósito anual constante para acumular la misma cantidad del proyecto.

2.3.3.2 GRADIENTE GEOMÉTRICO El gradiente geométrico se presenta en ambientes crónicos inflacionarios o en épocas de recesión económica, donde los flujos de efectivo crecen (o disminuyen) en un porcentaje fijo “ j”, entre dos períodos consecutivos, y si A1 es el flujo de efectivo del primer período, entonces se presenta el comportamiento observado en la Figura 2.6.



El flujo de efectivo en el período k se puede conocer con la siguiente expresión matemática,

11 )1( −+= k

k jAA donde k = 1,2 3,…,n ( 2.11)

El valor presente de estos flujos es,

)()1()1(

11 jii

jAP n

n

−

++−= si i ≠ j (2.12)

O también,

+=

)1(1 j

nAP si i = j (2.13)

Ahora, si utilizamos su correspondiente factor establecido en el Apéndice A de la Referencia 1 resulta,

= njiA

PAP %,%,,1 ( 2.13.a)



Ejemplo. Un padre de familia desea que su hijo de 7 años estudie una profesión. En la Universidad donde él desea inscribirlo normalmente las carreras duran 8 semestres y la colegiatura semestral actualmente es de $20,000 y crece por razón de la inflación un 10% semestral. Para lograrlo el padre de familia decide ahorrar una cantidad anual durante 10 años, empezando al final del octavo cumpleaños de su hijo. Si la cuenta de ahorros le da el 15% anual de intereses y el primer pago de colegiatura se hará al final de la primera mitad del año 18 del ahorro, ¿De qué tamaño deben ser las anualidades que se depositan en dicha cuenta de ahorros de modo que al pagar la última colegiatura se agote este ahorro? Solución Desde año 8 hasta el año 17 el papá depositará anualmente una cierta cantidad, con lo que acumulará lo suficiente para que con ello pague las 8 colegiaturas de la carrera de su hijo. Estas colegiaturas se empiezan a pagar a los 17.5 años de su hijo e irán incrementándose en forma de gradiente geométrico durante 8 semestres. Aplicando las ecuaciones 2.11, 2.12 y 2.4.a, así como la Tabla del Interés Compuesto Discreto (Apéndice A Referencia 1).

Ahora, si se cuentan los semestres que resultan desde el día de hoy, cuando el niño tiene 7 años de edad, resultan 21 semestres con los que se puede conocer el monto de la colegiatura que cobrarán cuando el joven entre a dicha Universidad por la ecuación (2.11),

Colegiatura (17.5 años del joven)=$ 20,000 (1 + 0.1 semestral) 21

Colegiatura que se cobrará = $ 148,005.00

Ahora, como son 8 semestres y se observa que el interés del ahorro i (15% anual) es diferente a la inflación de la colegiatura j (10% semestral), entonces:

I efectivo = 15 % anual / 2 semestres al año

I efectivo = 7.5% al semestre



Colegiatura total equivalente año 17 = )1.0075.0()075.1(

)1.1(1005,148

8

8

−

−

Colegiatura total equivalente año 17 = $1,195,377.40

Anualidades equivalentes = A

= añosanualF

A10,%,15,)40.377,1935,1(

A = 10 anualidades equivalentes de $ 58,932.00

2.4 INTERÉS NOMINAL E INTERÉS EFECTIVO Resulta muy distinto cobrar 12 % anual de interés nominal sobre una inversión a cargar el 1% mensualmente, pues los intereses generados se van capitalizando cada mes. Capitalizar significa acumular al capital al finalizar cada subperíodo, en este caso cada mes, y por lo tanto se generan intereses sobre intereses, por lo que el interés efectivo por período, I efectivo, se calcula así,

11 −

+t

efectivo t

rI (2.14)

Donde r es la tasa de interés nominal por período y t es el número de subperíodos de capitalización durante dicho período. Al aumentar el número de subperíodos de capitalización t, aumenta el interés efectivo, pero llega aun punto en que ya es despreciable dicho aumento, es decir, cuando t tiende a infinito (capitalización diaria o continua), resulta la siguiente expresión matemática,

1−= refectivo eI (2.15)

Además de la consideración de los subperíodos de capitalización, es necesario considerar la frecuencia de los pagos o depósitos dentro del período, y se pueden presentar cualquiera de las siguientes dos situaciones,

• pagos únicos • serie uniforme de pagos

A continuación se describe cada una de estas situaciones,

a) Pagos únicos, en esta situación primero se calcula el interés efectivo durante el período, considerando el número de subperíodos de capitalización habidos durante él, mediante la ecuación 2.14, y después se maneja el diagrama de flujos únicos de efectivo, como se puede apreciar en el subtema 2.3.1.

Ejemplo: Una persona deposita $ 4,000.00 hoy, $15,000.00 dentro de 4 años y

$10,500.00 dentro de 6 años, a una tasa de interés del 12% anual, capitalizable cada semestre. ¿Cuánto tendrá dentro de 10 años? r = 0.12 t = 2 (2 semestres/año)



%36.121236.012

12.01

2

==−

+=efectivoI

( ) 70.730,59$4%,36.12,500,106%,36.12,)000,15(10%,36.12,)000,4( =

+

+

=P

F

P

F

P

FF

b) Serie uniforme de pagos, éstos de magnitud A, que se puede presentar en tres formas distintas:

• El subperíodo de capitalización es igual al de pago. • El subperíodo de capitalización es menor que el de pago. • El subperíodo de capitalización es mayor que el de pago.

Se analiza cada una de estas formas a continuación. El subperíodo de capitalización es igual al de pago

En este caso, la inversión se maneja mediante la ecuación 2.14 y posteriormente se trabaja de la misma manera que una serie uniforme de flujos de efectivo (vea el subtema 2.3.2).

i) Ejemplo: Una persona deposita $4,000 cada semestre en una cuenta bancaria que paga el 20% anual

capitalizable cada semestre. ¿Cuánto dinero tendrá dentro de tres años?

r = 0.2 t = p = 2 semestres/año n = 6 semestres en 3 años

añoI efectivo /21.012

2.01

2

=−

+=

,105.0221.0 ==mestralefectivoseI I efectivo semestral = 10.5

%

00.862,30$6%,5.10,)000,4( =

=A

FF



El subperíodo de capitalización es menor que el de pago

En este caso, la ecuación 2.14 se transforma en la siguiente expresión matemática,

11 −

+=p

efectivo t

rI (2.16)

Donde p es el número de subperíodos de pago durante el período de inversión.

Ejemplo: Una persona deposita $ 1,000 cada 6 meses durante 7 años ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta 6 meses después de hacer su último depósito, si la tasa de interés es del 8 % anual capitalizable cada trimestre?

DATOS OPERACIONES P = 2 semestres/año T = 4 trimestres/año r = 0.08/año n = 14 semestres (7 años)

semestreI efectivo /0404.014

08.01

2

=−

+=

I efectivo semestral= 4.04 %

(1,000)(1 0.0404) ,4.04%,14F

FA

= +

F = $ 19,083.20 El subperíodo de capitalización es mayor que el de pago La mayoría de las instituciones financieras calculan el interés a pagar en un período empleando la tasa de interés para ese período sobre la cantidad de dinero en un período completo. Como consecuencia, no se pagan intereses por dinero depositado durante el período en cuestión, y los fondos depositados durante un período comenzarán a devengar intereses hasta el siguiente período. Por lo tanto, los depósitos hechos durante un período se colocan al final del mismo período. De manera similar, los fondos que se retiren durante un período no devengan, por lo general, intereses en ese período. En consecuencia, los retiros durante un período se instalan al principio del mismo para su cálculo.



Ejemplo: Una persona efectúa los siguientes movimientos de efectivo en una cuenta bancaria que capitaliza cada trimestre, de acuerdo con el siguiente Diagrama de Flujo de Efectivo.

Ahora, por parte de la institución bancaria, se manejan los ingresos y egresos dela inversión de esta persona de la siguiente manera,

De esta forma, ya se puede trabajar con este diagrama como se hizo cuando son iguales los subperíodos de capitalización y de pago, manejándolos como flujo único (vea el subtema 2.3.1).



EJERCICIOS RESUELTOS

2.1 Si en una cuenta de ahorros que paga el 15 % anual, se depositan $ 1,000 anuales durante 5 años ¿qué cantidad se acumularía al final del año 10, si el primer depósito se hizo al final del año 1? F5

= 5%,15,5A

FAF

= (1,000)(6.7423) = 6,742.3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

= 5%,15,P

FPF A A A A A = $1,000

= (6,742.3)(2.0114) F = $ 13,561.462 2.2 ¿Qué cantidad es necesario depositar ahora en una cuenta de ahorros que paga el 10% para acumular al final del quinto año $ 10,000?

= 5%,10,F

PFP 10,000

= (10,000)(0.6209) P = $ 6,209 0 1 2 3 4 5 P



2.3 ¿Cuál es el interés que se gana en un proyecto que requiere de una inversión inicial de $10,000 y produce $20,114 al término de su vida de 5 años?

= 5%,,iF

PFP

+=

5)1(1

114,20000,10i

20114)1( 5 =+ i , aplicando logaritmos queda 5ln(1 ) ln 20114i+ = , despejando la tasa de interés i resulta: i = 15 % 2.4 ¿Cuál es el tamaño de 60 mensualidades y 5 anualidades que resultan de la compra de un terreno con valor de $500,000, si la tasa de interés es de 18% anual, y las condiciones de pago son de 10% de enganche y el resto se reparten por igual en mensualidades y anualidades?



⋅

⋅=

500

6000

00

.000,225$

.000,225$.000,450$%90

Aen

men

iM = 1.5% , iA = 18% ANUALIDADES.

)3198.0)(000,225(5%,18, =

=P

APA

A = $ 71,955.00 MENSUALIDADES.

)0254.0)(000,225(60%,5.1, =

=P

APM

M = $ 5,715.00 En resumen, las condiciones de pago son: $50,000.00 de enganche $5,715.00 60 mensualidades $71,955.00 5 anualidades $752,675.00 Desembolso Neto 2.5 ¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de $ P en duplicarse, si la tasa de interés es de 10% anual?

( )1

,10%, 21 0.10

n

PP F n P

F

= =

+

(1 0.10) 2n+ = , aplicando logaritmos queda:

ln(1 0.10) ln 2n + =



27.7)10.0ln(

2ln ==n n = 7.27 años

2.6 Una persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad anual que va disminuyendo a una razón constante de $ 500 por año. La magnitud del primer depósito que se hace es de $10,000 y el último de $ 5,500. Si en la cuenta de ahorros se gana un 15% anual ¿de qué magnitud debe ser un depósito anual constante durante el mismo tiempo, de tal modo que la cantidad acumulada sea la misma? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5,500 6,000 6,500 7,000 7,500 500g = −

8,000 2 ,15%,10A

A gg

=

8,500 )3832.3)(500(−=

9,000 6.691,1−= 9,500 1 2 10,000 1.691.60A A A= + = − 10,000 A = $ 8,308.40 2.7 ¿Qué cantidad debe ser depositada en una cuenta de ahorros que paga el 10% anual de modo que se puedan retirar $ 700 al final del año 1, $ 1,500 al final del año 3 y $2,000 al final del año 5 y la cuenta quede agotada? 2,000 F1 F2 2000 1,500 700 700 1,500 0 1 2 3 4 5 0 1 1 2 3 3 4 5 P P F1 F2

=+ 1%,10,7001P

FPF (A)



=+ 2%,10,1500,12P

FFF (B)

= 2%,10,2000,2P

FF (C)

substituyendo (A) y (B) en (C):

−

= 2%,10,500,12%,10,1000,2P

F

P

FF

−

−

= 2%,10,15002%,10,7001%,10,000,2P

F

P

F

P

FP

[ ]( ){ } )21.1(500,121.17001.1000,2 −−= P

89.652,1500,1)21.1)(7001.1( =−−P 1.1 P – 700 = 2,605.70 P = 3,305.70 / 1.1 P = $ 3,005.18 2.8 Una deuda por valor de $ X es contraída en t=0. Si el interés que se cobra es del 10% y los pagos que se acordaron hacer son de $ 5,000 $ 4,000 $ 3,000 $ 2,000 y $ 1,000 en t=6, 7, 8,9 y 10 respectivamente, determina el valor de $ X. 5,000 4,000 3,000 2,000 1,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i = 10% X

2 ,10%,5 ( 1,000)(1.81) 1,810A

A ii

= = − =

1 2equivalenteA A A= + = 5,000 – 1,810 = 3,190



A A A A A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P X

)7908.3)(190,3(5%,10, =

=A

PAP

P = 12,092.65

)6209.0)(65.092,12(5%,10, =

=F

PFX

X = $ 7,508.33 2.9 Una persona deposita en una cuenta de ahorros $10 000 anuales durante 5 años iniciando hoy, al final de los cuales la mitad del saldo acumulado es retirado. Posteriormente, $20 000 anuales son depositados en la misma cuenta durante 5 años más, siendo el saldo acumulado retirado al final del año 15. Si en la cuenta de ahorros se gana un 10% anual, ¿qué cantidad sería retirada: a) al final del quinto año; b) al final del año 15? NOTA: Este problema es diferente al planteado por Coss Bu en que el ahorro inicia hoy, de ahí que resultan diferentes cantidades en ambos incisos.

Datos: A1= 10 000 A2= 20 000 i= 10%



Cálculos: Para este problema necesitamos conocer el valor de la mitad del dinero acumulado al final del año 5.

a) 5 1(1 ) , %, (1,000)(1.1) ,10%,5F F

F A i i nA A

= + =

F5=(1000)(1.1)(6.105) = 67155

5

2

F= 33577.5 por lo tanto el retiro al final del quinto año será de: $ 33 577.5

b) Primero necesitamos conocer el valor de las segundas anualidades en el año 5.

=

= 5%,10,)000,20(%,,' 25 A

Pni

A

PAP

'5P = (20,000)(3.7908)

'5P = 75,816

Ahora sumamos las cantidades que tenemos en el año 5:



55 5 ' 33,577.5 75,816 109,393.5

2

FPT P= + = + =

Después esta cantidad la pasamos al año 15, como estamos en el año 5, entonces n=10.

15 5 ,10%,10 109,393.5(2.5937) 283,733.92F

F PTP

= = =

Por lo tanto la cantidad retirada en el año 5 será de $ 283,733.92 2.10 ¿Cuál es el interés efectivo de una tasa de interés de 18% anual si se capitaliza: a) anualmente, b) semestralmente, c) mensualmente y d) continuamente? Datos: r = 18% anual (interés nominal) Cálculos: Para este problema se quiere conocer el valor del interés efectivo anual, si se capitaliza anualmente, semestralmente, mensualmente, continuamente. Para eso se utiliza la siguiente formula:

( )1 1M

e fI r M= + −

Donde: r = interés nominal M = numero de periodos en los que se divide el año a) r= 18% anual M= 1

1(1 0.18 1) 1 0.18efI = + − =

Interés efectivo 18% anual b) r= 18% anual M= 2

1881.012

18.01

2

=−

+=efI

Interés efectivo 18.81% anual

c) r= 18% anual M= 12

1956.0112

18.01

12

=−

+=efI

Interés efectivo 19.56% anual

d) r= 18% anual M= 365



1971.11365

18.01

365

=−

+=efI

Interés efectivo = 19.71% anual 2.11 ¿Cuánto tiempo tomaría una cantidad de $P en triplicarse, si la tasa de interés es de 10% anual capitalizable cada semestre? Datos: F = 3P r = 10% anual cap. semestralmente n = ? Cálculos: En este problema primero necesitamos conocer el valor del interés efectivo anual, ya que tenemos un interés nominal, y este se calcula con la siguiente formula:

Donde: r = interés nominal M = numero de periodos en los que se divide el año Substituyendo:

1025.012

10.01

2

=−

+=efI

Por lo tanto tenemos un interés efectivo anual de 10.25%, ahora si calculamos el tiempo que tarda en triplicarse la cantidad P con la siguiente fórmula:

( )1n

F P i= +

( )3 1n

P P i= +

log3 log3

11.2585log(1 ) log(1 0.1025)

ni

= = =+ +

El tiempo que tardará en triplicarse nuestra cantidad será de 11.26 años

0 1 2 3 … n

P

F = 3P

¿Interés efectivo?



2.12 Si una persona compra una pieza de equipo que tiene un costo de $23,000, ¿Qué cantidad de dinero tendrá que producir cada año para recuperar su inversión en 6 años si a) Obtiene el dinero en préstamo a una tasa de interés del 15% anual, b) paga el equipo con dinero que había ahorrado y que estaba ganando 10% anual de intereses?

NOTA: Aquí el ingreso en t=0 no debe existir, además faltó dibujar el ingreso en t = 4. Datos: P= $ 23 000 n= 6 años Cálculos: a) i= 15% anual Para este inciso necesitamos conocer la anualidad que se necesita para acumular la cantidad P en 6 años con un interés del 15% anual.

= 6%,15,P

APA

A=23,000(0.26424) A=6,077.52 Para este caso debe producir $ 6 077.52 anuales b) i=10% anual Para este inciso necesitamos conocer la anualidad que se necesita para acumular la cantidad P en 6 años con un interés del 10% anual.

= 6%,10,P

APA

A=23,000(0.22961) A=5,281.03 Para este caso debe juntar $ 5 281.52 anuales

0 1 2 3 5 6

P= 23 000

A



2.13 ¿Cuánto dinero tendrá un empleado dentro de 12 años si toma su prima de Navidad de $2,500 que recibe cada año y a) La coloca debajo del colchón, b) La coloca en una cuenta corriente que produce intereses al 3% anual, c) Compra acciones en un fondo mutuo que produce el 16% anual? Datos: n=12 años A= 2 500 Cálculos: a) Para el primer caso, no hay intereses que incrementen el capital por lo tanto: F= A x 12 F= 2500 x 12 F=30,000 b) Para el segundo caso tenemos un interés anual de 3 %

,3%,12F

F AA

=

F=2,500(14.192) F=35,480.07 c) Para el segundo caso tenemos un interés anual de 16 %

,16%,12F

F AA

=

F=2,500(30.850) F=77,125.42

2.14 Una persona realiza los siguientes depósitos:

¿Cuánto tendrá en el año 10?



Para calcular el interés efectivo se tiene que:

anualI ef %36.121236.012

12.01

2

==−

+=

Con los diferentes depósitos y para calcular F10 se tiene:

461010

64010

)1236.01(10500)1236.01(15000)1236.01)(4000(

)1(

+++++=

++=+=

F

FFFF

iPF

PPP

n

F10 = $59,746.89

2.15 Una persona ha solicitado un préstamo de $10,000 a una institución bancaria que le cobra un interés de 12% anual capitalizable cada semestre. Esta persona desea devolver el préstamo en seis anualidades iguales. Si el primer pago se hace al momento de recibir el préstamo, ¿cuál sería el tamaño de estas anualidades? Datos: P=$10,000.00

i=12% anual cap. semestralmente 6 pagos A= ?

Para calcular el interés efectivo:

anualI

t

iI

añosemt

ef

t

ef

%36.121236.012

12.01

11

2

2

==−

+=

−

+=

=



[ ]

)2799.0)(10000(

1)1236.01(

)1236.01)(1236.0()10000(

1)1(

)1('

5,%36.12,

5

5

AA

AA

i

iiPA

añosanualPAPA

n

n

−=

−++−=

−++=

=

A = $2186.81

2.16 Una persona obtuvo un préstamo de $5,000.00 a un plazo de 3 años, y a una tasa de interés de 15% anual. Los intereses que se generan en este plazo se determinaron como sigue:

605,2000,53%,15,000,5 =−

=P

FIntereses

y fueron deducidos del principal. Por consiguiente, esta persona recibió la cantidad de $2,395.00 a cambio de pagar $5,000.00 dentro de 3 años. ¿Cuál es el interés real anual que se va a pagar en este préstamo? Datos: P = $5000.00

Plazo de 3 años i= 15% anual Restó del capital $2,605.00

Recibió el deudor: $2,395.00

Compromiso de pagar $5,000.00 en 3 años ireal = ?



278.0

12780.1

)1(23955000

)1(3

=+=

+=

+=

real

real

real

nreal

i

i

i

iPF

ireal = 27.8% anual 2.17. Hace tres años una compañía pidió prestado $40,000.00. En el convenio inicial se acordó que se liquidaría el pago en 100 mensualidades de pagos iguales, con un interés del 12% anual capitalizable mensualmente. Hoy la compañía quiere liquidar, ¿Cuánto tendrá que pagar el día de hoy? Datos: Hace 3 años pidió prestado=$40,000.00

Liquidar el pago en 100 mensualidades iguales i= 12% anual cap. sem. Hoy quiere liquidar ¿cuánto tiene que pagar?

Debido a que el subperíodo de pago es igual al subperíodo de capital, el interés efectivo mensual se puede calcular de la siguiente manera:

mensualcapsub

ii Aef %1

12

%12

.===

Para calcular las mensualidades:

[ ][ ]

temensualmenA

A

mesesmensPAA

mesesmensiPAPA ef

00.636$

)0159.0(40000

100,%1,40000

100,,

=

=

=

=



Pagado al día de hoy:

[ ]

hoyF

F

i

iAF

mesesAFAF

n

→=

−+=

−+=

=

89

36

.396,27$

01.0

1)01.01(636

1)1(

36%,1,

A pagar (liquidar adeudo) hoy:

[ ]

42

64

64

.957,29$

)01.01(01.0

1)01.01(636

)1(

1)1(636

64%,1,

=

+−+=

+−+=

=

P

ii

iP

mesesAPAP

n

n

Por lo cual, tendrá que pagar la cantidad de $ 29,957.42 para liquidar el adeudo.



CAPÍTULO III

MÉTODOS DE EVALUACIÓN DE PROYECTOS



MÉTODOS DE EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Capítulo III

El concepto del valor del dinero a través del tiempo revela que los flujos de efectivo se pueden trasladar a cantidades equivalentes a cualquier punto del tiempo. Existen tres procedimientos que comparan estas cantidades,

c) Método del valor anual equivalente, VAE d) Método del valor presente neto, VPN e) Método de la tasa interna de rendimiento o de retorno, TIR

Diferentes alternativas de inversión, estudiadas bajo el mismo horizonte de planeación (misma cantidad de períodos de vida económica), al compararlas entre sí tendrán idénticos resultados de factibilidad económica, obtenidos por cualquiera de los métodos citados anteriormente. Claro está que estos resultados se expresarán desde diferentes puntos de vista, pero convergen en la conveniencia o no del proyecto. Al hacer el análisis y la evaluación económica de las diferentes alternativas planteadas, siempre se deberá tener en cuenta la ALTERNATIVA CERO, que significa "nada hacer" que es igual a “no hacer algo” y a “seguir con la situación actual”. 3.1 METODO DEL VALOR ANUAL EQUIVALENTE, VAE

Con este método, todos los ingresos y egresos (gastos) que ocurren durante un período son convertidos a una anualidad equivalente (uniforme). Si ésta es positiva, se recomienda que el proyecto sea aceptado. Como es muy común utilizar bases anuales para los ingresos y egresos, este método es muy popular. Se recomienda utilizar, para su cálculo, como tasa de interés una tasa mayor que el costo de capital (costo ponderado de las fuentes de financiamiento de los proyectos de inversión, o el interés sobre el pasivo a largo plazo), a la que se llama TREMA (Tasa de Recuperación Mínima Atractiva), y con esto aunque la anualidad fuera CERO, el rendimiento obtenido seria igual al mínimo requerido.

1

, %, , %, , %,(1 )

nt

tt

SA A AAnualidad A P i n i n F i n

P P Fi=

= = − + + + ∑ (3.1)

donde, A = Anualidad equivalente P = Inversión inicial S t = Flujo de efectivo neto al año t F = Valor del rescate



n = Número de años de vida del proyecto i = TREMA (Tasa de Recuperación Mínima Atractiva) Si los flujos de efectivo netos de todos los años son iguales, S, la ecuación anterior se transforma en:

−−= niP

Ani

F

PFPSA %,,%,, (3.2)

Se pueden presentar los siguientes casos: a) Los ingresos y gastos son conocidos b) Únicamente los gastos son conocidos c) Las vidas de las alternativas son diferentes 3.1.1 LOS INGRESOS Y GASTOS SON CONOCIDOS La alternativa seleccionada es aquélla que tenga la suficientemente mayor utilidad, siempre que se conozcan los ingresos y egresos del proyecto.

Valor anual equivalente = Ingresos anuales - Egresos anuales

Cabe la posibilidad que las diferentes alternativas analizadas tengan valores anuales equivalentes negativos y se deberán rechazar todas. 3.1.2 ÚNICAMENTE LOS GASTOS SON CONOCIDOS

Puede suceder que cada una de las alternativas analizadas genere los mismos ingresos, ahorros o beneficios. También puede suceder que estos ahorros o beneficios sean muy difíciles de estimar, por lo que sus alternativas deberán ser juzgadas de acuerdo a sus costos anuales negativos y a sus costos anuales equivalentes. Entonces, es conveniente ignorar la convención de signos negativos y comparar las alternativas con base en el valor absoluto de los costos, obviamente seleccionando a la que presente menores gastos.

, %,A

C G F i nF

= −

(3.3)

Donde, C = Costo anual equivalente, G = Gasto anual (constante), F = Valor de rescate del activo. Además, la alternativa de “nada hacer” no se puede considerar, forzosamente se seleccionará la de menor costo anual equivalente (menor desembolso).



3.1.3 LAS VIDAS DE LAS ALTERNATIVAS SON DIFERENTES

Anteriormente se analizaron alternativas mutuamente exclusivas de igual vida, es decir, mismo horizonte de planeación. En ocasiones sucede que tienen diferentes vidas, por lo que se tomarán las siguientes opciones en el análisis económico de ellas: * Durante la vida más larga caben exactamente dos o más veces la inversión con vida más corta, pero esto supone que en los ciclos sucesivos se tendrán flujos de efectivo idénticos a los del primer ciclo, siendo esto incorrecto debido al constante avance tecnológico de los activos y a las altas tasas de inflación que pueden prevalecer en el país. * Usar como horizonte de planeación el menor de los tiempos de vida de las alternativas consideradas, y con lo anterior se necesita recalcular el valor de rescate al término de dicho horizonte, a partir de valores presentes (evaluados al final del horizonte de planeación) de los ingresos netos que cada alternativa genera en los períodos subsiguientes al horizonte de planeación seleccionado. Puesto que las vidas de las dos alternativas son diferentes, primeramente el horizonte de planeación se fija como el más corto, supongamos que éste es de la alternativa A. Luego el valor del rescate al final de este horizonte, de la alternativa B se calculo así:

( )

+

−== niF

PVRdeBni

A

PGastosingresosFVR %,,%,,)(A de final al B de (3.4)

Con el anterior resultado del valor de rescate, ahora con el mismo horizonte de planeación, se recalcula la anualidad, y se selecciona a la mayor (número positivo).

3.2 MÉTODO DEL VALOR PRESENTE NETO, VPN

Es uno de los criterios económicos más ampliamente usados en la evaluación de proyectos de inversión. Determina la equivalencia en el tiempo cero (hoy) de los flujos de efectivo futuros que genera un proyecto y compara esta equivalencia con el desembolso inicial.

01 (1 )

nt

tt

SVPN S

i=

= − ++∑ (3.5)

Donde: VPN = Valor presente neto So = Inversión Inicial (siempre negativo) S t = Flujo de efectivo neto del periodo t n = Número de periodos de vida del proyecto i = TREMA (Tasa de recuperación mínima atractiva) Si VPN es positivo, la inversión sí se recomienda porque el rendimiento esperado del proyecto de inversión es mayor al rendimiento mínimo requerido por la empresa. Lo anterior resulta de haber utilizado a TREMA en lugar del % de interés sobre el pasivo a largo plazo. Si VPN es negativo, significa que la inversión generará pérdidas. Si VPN es igual a cero, significa que los ingresos serán iguales a los costos, por lo que no tendrá ganancias ni pérdidas.



Si TREMA es muy grande, existen posibilidades de rechazar el nuevo proyecto de inversión, debido a que una cantidad pequeña en el presente se puede transformar en una grande en lo futuro, o equivalente, que una cantidad futura represente una muy pequeña en el presente. Si TREMA es menor que el anterior valor, se tiene mayor probabilidad de aceptación, pues el dinero no tendría valor a través del tiempo. La ecuación 3.5 considera el valor del dinero a través del tiempo al seleccionar un valor adecuado de i, pudiéndose establecer fácilmente el valor de TREMA, debido a que se pueden considerar en ella ciertos factores, como es el riesgo de un determinado proyecto, la disponibilidad de dinero de la empresa y la tasa de inflación prevaleciente en la economía nacional. Además, tiene la ventaja de ser siempre único, independiente del comportamiento de los flujos de efectivo que genera el proyecto de inversión en cuestión. Por lo anterior, ha sido preferido para usarse en situaciones en que el comportamiento irregular de los flujos de efectivo origina el fenómeno de tasas múltiples de rendimiento. Lo anterior es debido a que todos los proyectos de inversión demandan desembolsos en su etapa inicial y generan ingresos en lo sucesivo. Cuando el valor presente es positivo, significa que el rendimiento que se espera obtener del proyecto de inversión es mayor al rendimiento mínimo requerido por la empresa (TREMA) y también significa que se va a incrementar el valor del capital de los accionistas. Existen dos procedimientos equivalentes para decidir un proyecto de inversión, * Valor presente de la inversión total * Valor presente del incremento en la inversión 3.2.1 VALOR PRESENTE DE LA INVERSIÓN TOTAL

Se requiere determinar el valor presente de los flujos de efectivo que genera cada alternativa, y seleccionar aquélla que tenga el valor presente máximo, es decir, mayor ganancia. También se tiene que considerar que una mayor vida no siempre es la mejor inversión, pues la tecnología avanza a grandes pasos. 3.2.2 VALOR PRESENTE DEL INCREMENTO EN LA INVERSIÓN

Determina si se justifican los incrementos de inversión que demandan las alternativas de mayor inversión. Primeramente se deben determinar los flujos de efectivo netos de la diferencia de los flujos de efectivo de las dos alternativas analizadas. Es decir, se hará una tercera alternativa cuyos datos son las diferencias de flujo entre las dos primeras alternativas analizadas. Luego se determina si el incremento en la inversión se justifica, éste es aceptable si su rendimiento excede a TREMA, o sea, si el valor presente del incremento en la inversión es mayor que cero, entonces éste es deseable y la alternativa que requiere esta inversión adicional es la más atractiva. Los pasos a seguir para aplicar el criterio del valor presente del incremento en la inversión, en la selección de alternativas mutuamente exclusivas son, 1. Colocar las alternativas en orden ascendente de acuerdo su inversión inicial. 2. Seleccionar a la de menor costo. Recuerde a la alternativa cero: “Nada hacer”.



3. Comparar alternativas (la retadora y la defensora), determinando el valor presente del

incremento en la inversión. Si es mayor que cero, entonces es deseable. 4. La alternativa que maximiza el valor presente y proporciona un rendimiento mayor que TREMA,

es la de mayor inversión cuyos incrementos se justifican. Existe una inconsistencia en el método del valor presente al comparar alternativas mutuamente exclusivas, y es el valor de TREMA, del cual depende la decisión final. Para superar esta inconsistencia, se tienen los siguientes comentarios:

A) Cuando TREMA es grande (depende de las condiciones económicas), existe una tendencia a seleccionar aquellas alternativas que ofrezcan en sus primeros años de vida los mayores flujos de efectivo. B) Cuando TREMA es pequeño (ídem), se seleccionan alternativas que ofrecen mayores beneficios, aunque estén muy retirados del inicio de la vida de la alternativa.

3.3 MÉTODO DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO, TI R En todos los criterios de decisión se utiliza una base de comparación capaz de resumir las diferencias de importancia que existen entre las alternativas de inversión, con base en la información que tiene sobre los ingresos y gastos de cada una. La tasa interna de rendimiento (TIR), también llamada tasa interna de retorno, es un índice de rentabilidad ampliamente aceptado. Es la tasa de interés del capital aún no recuperado en el proyecto. Es la tasa de interés, i *, que reduce a cero el valor presente, el valor futuro o el valor anual equivalente de un diagrama de flujos de efectivo (ingresos y egresos), y satisface a cualquiera de las siguientes ecuaciones:

0,, =

∗ niF

PSt

(3.6)

0,, =

∗ niP

FSt

(3.7)

0,, =

∗ niF

ASt

(3.8) Donde, St = Flujo de efectivo neto del período t n = Vida de la propuesta de inversión Es poco probable que en un proyecto de inversión se pierda más de la cantidad que se invirtió. La siguiente figura ilustra la forma más común de comportamiento del valor presente, valor futuro y valor anual equivalente, en función de la tasa de interés. Ahí se puede apreciar que todas estas curvas cortan al eje horizontal en el mismo punto, es decir, todas ellas pasan a través del punto que corresponde a la tasa interna de rendimiento del proyecto de inversión.



3.3.1 PROYECTOS SIMPLES (UNA TIR) TIR representa el porcentaje o tasa de interés que se gana sobre el saldo no recuperado de una inversión. Este saldo en cualquier punto del tiempo de la vida del proyecto se puede ver como la porción de la inversión original que aún no se ha recuperado. Este saldo no recuperado de una inversión al tiempo t, se evalúa de la siguiente manera:

itt FF −= (3.9)

y es el valor futuro de al propuesta en el tiempo t. También se puede encontrar este saldo no recuperado con la siguiente expresión:

ttt SiFF ++= − *)1(1 (3.10)

Otra definición de TIR, es la tasa de interés que se gana sobre el saldo no recuperado de una inversión, de tal modo que el saldo al final de la vida de la propuesta es CERO. Con el método de TIR, es necesario calcular la tasa de interés i* que satisface a las ecuaciones. 3.6, 3.7 y 3.8, para compararla luego con el valor de TREMA. Por lo que el criterio de aceptación es el siguiente: Si i* es mayor que TREMA, conviene que el proyecto sea aceptado. Ahora, puede suceder que el valor de rescate, F, sea igual a la inversión inicial, y los flujos de efectivo netos de cada período sean constantes, entonces la TIR no depende de la vida de la propuesta y se obtiene mediante,

i* = Flujo de efectivo anual neto / inversión inicial (3.11)

En la evaluación de proyectos mutuamente exclusivos mediante TIR, existen dos principios que deben tomarse en cuenta, a) Cada incremento de inversión debe ser justificado, o sea, la alternativa de mayor inversión será la mejor si la TIR del incremento en la inversión es mayor que TREMA. b) Solamente se puede comparar una alternativa de mayor inversión con una de menor, si ésta ya ha sido justificada. Lo usual es escoger el proyecto de mayor inversión para el cual todos los incrementos de inversión fueron justificados. Para esto es necesario determinar la TIR del incremento de inversión, y se puede encontrar por cualquiera de los siguientes pasos, 1.- Encontrar la tasa de interés para la cual los VAE’s de las dos alternativas son iguales. 2.- Encontrar la tasa de interés para la cual el VP del flujo de efectivo neto de la diferencia entre ambas alternativas es igual a cero.



3.3.2 PROYECTOS NO SIMPLES (VARIAS TIRs) Existen propuestas de inversión que consisten en un desembolso inicial o una serie de desembolsos iniciales , seguida por una serie de ingresos (positivos), que si tienen una misma TIR, se facilita mucho la toma de decisión al respecto. Pero en algunas ocasiones, los desembolsos requeridos no están restringidos a los primeros períodos de vida de la inversión, por lo que tal vez en los flujos de efectivo netos existan varios cambios de signo, entonces se presenta el fenómeno de TASA MÚLTIPLES DE RENDIMIENTO. Luego, no se sabría cuál TIR es la correcta, o si son aplicables las reglas de decisión para la selección de proyectos de múltiples TIRs. Para superar lo anterior, se recomienda la aplicación del algoritmo de James C. T. Mao, que más adelante se explica. Para identificar la posibilidad de la existencia de múltiples tasas de rendimiento, se utiliza la ecuación. 3.5, que igualada a cero y sustituyendo x por 1/ (1 + i), se transforma en:

0....2210 =++++= n

tntt XSXSXSSVPN (3.12)

Esta ecuación tiene n raíces que la satisfacen, pero el número de raíces reales positivas es igual al número de tasas múltiples de rendimiento que tiene la propuesta de inversión, y según la Regla de Descartes para una ecuación polinomial de grado n, este número de raíces reales positivas no es mayor que el número de cambios de signo en su ecuación. Las inversiones se clasifican de la siguiente manera: 1.- Simples.- Con una TIR. 2.- No Simples a) Puras.- Una TIR. b) Mixtas.- Varias TIRs. En los flujos de efectivo de las inversiones simples, solo puede haber un cambio de signo, y existe una TIR. En las inversiones puras, a pesar de tener varios cambios de signo en sus flujos de efectivo, solamente tienen una TIR. Para determinar si una inversión no simple es pura o mixta (vea Fig.3.1). Si 0)( min <rFn existe alguna min* rr < , que hará que 0*)( =rFn . Puesto que minr es la mínima

tasa de interés de los saldos del proyecto, para )1(,....,2,1,0 −= nt sean cero o negativos el proyecto

no será una inversión pura, ya que los saldos no recuperados del proyecto de inversión utilizando *r pueden ser positivos o negativos, y en conclusión, una inversión es pura si 0)( min >rFn y es mixta

si 0)( min <rFn .



Primer criterio

Sea i* un valor tal que 0*)( =iVPN

Si 0*)( ≤iFt para )1(,....,2,1,0 −= nt , entonces la inversión es pura.

Si ( *) 0tF i ≤ para algunos valores de t y ( *) 0tF i > para el resto,

entonces la inversión es mixta. Segundo criterio

Sea minr un valor tal que min( ) 0tF r ≤ para )1(,....,2,1,0 −= nt

Si 0)( min >rFn , entonces la inversión es pura

Si 0)( min <rFn , entonces la inversión es mixta

Figura 3.1 Criterios utilizados en la clasificación de las inversiones no simples en puras y mixtas.

3.3.2.1 ALGORITMO DE MAO Este algoritmo se recomienda utilizar en la evaluación de inversiones no simples, como se muestra en la siguiente figura: Paso 1. Encontrar por intento y error minr .

Paso 2. Evaluar )( minrFn .

Paso 3. ¿Es 0)( min >rFn ? Si la respuesta es afirmativa, entonces el proyecto es una inversión pura

y por consiguiente existe una sola tasa interna de rendimiento, la cual deberá ser comparada con TREMA. Si la TIR > TREMA la inversión debe ser aceptada. Por el contrario, si la respuesta es negativa, continúe con el paso 4.

Paso 4. Calcular los saldos no recuperados del proyecto en la forma siguiente,

ttt SrFTREMArF ++= − *)1()*,( 1 si 01 <−tF

ttt STREMAFTREMArF ++= − )1()*,( 1 si 01 >−tF

Paso 5. Determine el valor de r* de modo que,

0)*,( =TREMArFn

si r* > TREMA entonces el proyecto debe ser aceptado

Figura 3.2 Algoritmo de Mao Se puede apreciar que el primer paso es encontrar por tanteo la rmin, con la que se evalúa Fn (rmin) y se determina si es pura o mixta. Si es pura, el problema de tasas múltiples de rendimiento no existe, y la evaluación es similar a la de las inversiones simples. Si es mixta, se requiere calcular r* (rendimiento



sobre el capital invertido) de modo que 0)*,( =TREMArFn . Si el rendimiento sobre el capital

invertido es mayor que TREMA, el proyecto debe ser aceptado. La diferencia fundamental entre inversiones puras y mixtas está en los saldos del proyecto: En inversiones puras, el saldo no recuperado de la inversión siempre es negativo, es decir, el proyecto nos debe dinero siempre, y esta deuda es cero al final de su vida. En inversiones mixtas, el saldo no recuperado de la inversión es positivo o negativo.

* Si es positivo, se dispone de cierta cantidad de dinero que puede ser invertida a una tasa de interés igual a TREMA.

* Si es negativo, entonces después de transcurrir un período el proyecto nos deberá una cantidad de dinero que depende de r*.



PROBLEMAS RESUELTOS 3.1 Cierta compañía necesita seleccionar la mejor alternativa de compra. Si para sus evaluaciones económicas utiliza una TREMA del 25% anual, ¿Cuál es la mejor alternativa?

PARA LA MÁQUINA A, Tomamos la Figura 2.4 del anterior capítulo para representar el Diagrama de Flujo de Efectivo de este proyecto,

Donde P = 650,000. A = 310,000 R = 200,000 (traslapa con la última anualidad) n = 5 años

VAE máquina

++

−= 5,25,000,200000,3105,%25,000,650F

Aañosanual

P

AA

Consultando la Tabla de Valores del Interés Compuesto Discreto (Referencia Libro Coss Bu), VAE máquina )1218.0)(000,200(000,310)3716.0)(000,650( ++−=A VAE máquina A = $ 92, 820.00

VPN máquina

+

+−= 5,25,000,2005,%25,)000,310(000,650F

Pañosanual

A

PA

VPN máquina )3277.0)(000,200()6893.2(000,310000,650 ++−=A VPN máquina A = $ 249,223.00



PARA LA MAQUINA B Como la vida de la máquina B es 3 años mayor que la de la máquina A, entonces se tendrá que calcular el valor de rescate en el año 5 de vida de la máquina B, para esto se necesita traer el Valor de rescate desde año 8 hasta año 5 y sumarle los ingresos netos anuales de sus últimos 3 años de vida,

VR año 5 máquina

+

= 3,25,)000,320(3,%25,)000,420(F

Pañosanual

A

PB

VR año 5 máquina B = $ 983,680.00 Entonces, se calcula todo para una vida de 5 años de la máquina B,

VAE máquina

++

−= 5,25,)680,983(000,4205%,25,)000,865(F

A

P

AB

VAE máquina )1218.0)(680,983(000,420)3716.0)(000,865( ++−=B

VAE máquina B = $ 218,378.22 Ahora,

VPN máquina

+

+−= 5,25,)680,983(5,25,)000,420(000,865F

P

A

PB

VPN máquina )3277.0)(680,983()6893.2)(000,420(000,865 ++−=B

VPN máquina B = $ 586,857.90 Por lo tanto, comparando los VAE’s y los VPN’s de ambas máquinas llegamos a la conclusión de que conviene adquirir la Máquina B, puesto que me dará una utilidad anual mayor y mi inversión será menor. 3.2 Cierto componente que es utilizado en la producción de un producto fabricado por la compañía X, tiene actualmente un costo de $100/unidad. La compañía X con el propósito de ahorrarse la gran cantidad de dinero que anualmente se gasta en la compra de este componente, esta analizando la posibilidad de comprar el equipo necesario para su producción. Investigaciones preliminares del equipo requerido indican que su costo inicial es de $100,000 y su valor de rescate después de 5 años de uso es de $20,000. Además, si el equipo es adquirido, los costos fijos anuales serian de $5,000 y los gastos variables serian de $25/unidad. Si la demanda anual para este componente es de 500 unidades. ¿Cuál seria la tasa interna de rendimiento que resulta de adquirir el equipo necesario para su producción?



A= 100n {F= 5,000; V= 25n } C A= $50,000 C= $17,500

0000,1005*,,5*,,5*,,000,20 =−

−

+

i

A

PCi

A

PAi

F

P

( ) ( ) 0000,100)*)1(*(

1*)1(500,32,

*1

1)000,20(

55

5 =−

+−++

+ iii

i

0*)1(*000,100500,32*)1(500,32*000,20 55 =+−−++ iiii 0.22204 1.3153 x 0 0.22205 -0.0621 * 22.205%i =

3.3 Un estudiante que actualmente ha terminado su carrera de ingeniero mecánico administrador en el ITESM, estima que los costos incurridos durante su carrera equivalen al momento de su graduación a $250,000. Si en virtud de esta preparación adicional, dicho ingeniero espera ganar el primer año de trabajo $30,000 más de lo que ganaría una persona sin preparación profesional. ¿Cuál es la TIR que obtiene este ingeniero si los aumentos adicionales en sueldo se estima que crecerán a una razón de 15% anual? (considere un horizonte de planeación infinito).



A1= $30,000 J= 15%

1 , *,15%, 250,000 0P

A iA

∞ − =

(1.15)30,000 1 250,000( (1 *) ) 0

(1 *)i i

i

∞∞

∞

− − + = +

como cualquier cantidad dividida por ∞ resulta cero, entonces:

0)15.0*)(250(30 =−− i

0*25050.67 =− i %27* =i

3.4 Un torno puede ser adquirido por un valor de $1,000,000. Se estima que este torno va a producir ahorros en los costos de producción de $150,000 anuales. Si la vida de este aparato es de 10 años al final de los cuales su valor de rescate se considera despreciable, ¿Cuál seria la tasa interna de rendimiento que resulta de la adquisición de este equipo?

A = $150,000

0000,000,110*,, =−

iA

PA

0000,000,1*)1(*

1*)1(000,150

10

10

=−

+−+

ii

i

0)1(*10015*)1)(15( 1010 =+−−+ iii

015*)10015(*)11( 10 =−−+ i 0.08 0.1125 X 0 0.09 0.7958

%1239.8* =i



3.5 Dos tipos de compresores están siendo evaluados por la compañía X. El compresor A cuesta $100,000 y sus costos de operación y mantenimiento se estiman en $30,000 anuales. Por otra parte, el compresor B cuesta $80,000 y sus costos de operación y mantenimiento se estiman en $35,000 anuales. Si se utiliza un horizonte de planeación de 8 años, una TREMA de 25% y los valores de rescate de estos compresores se estiman en 15% de su valor original ¿Qué alternativa seleccionaría? COMPRESOR A A= $30,000

COMPRESOR B B= $35,000

A – B C= $5,000

, * ,8 , * ,8 20,000 0A B A B

P PVPN F i A i

F A− − = + − =

0000,20)*1(*

1)*1()000,5(

)*1(

1)000,3(

8

8

8=−

+−++

+ −−

−

− BABA

BA

BA ii

i

i



0)*1(*205)*1(5*3 88 =+−−++ −−−− BABABABA iiii

0)*205()*1(5*3 8 =−++− −−− BABABA ii 0.19 0.3957 X 0 0.20 -0.1002

%7979.19* =−BAi COMPRESOR B

Como TIRA < TREMAA

No conviene el compresor A por lo que sí conviene el compresor B. 3.6 Usando una TREMA de 20%, determine la TIR del incremento de en la inversión requerido por la alternativa B: A B Inversión inicial $500,000 $750,000 Gastos anuales del año K $50,000(1.1)k-1 $20,000(1.1)k-1

Valor de rescate $60,000 $100,000 Vida 10 años 10 años

0000,25010%,10,*,000,3010,*,000,40 =−

+

−− ABAB i

A

Pi

F

P

025)10.0*(,)*1(

)1.1(1

)*1(

14

10

10

10=−−

+−+

+ −−−

ABABAB

iii

( ) 0)10.0*()*1(25,)*1(

)1.1(1)*1(310.0*4 10

10

1010 =−+−

+−++− −−

−−− ABAB

ABABAB ii

iii

0)*1(50.2)*1(*25)1.1(3)*1(340.0*4 10101010 =+++−−++− −−−−− ABABABABAB iiiii

0)*1(*25)1.1(3)*1(50.540.0*4 101010 =+−−++− −−−− ABABABAB iiii 0.13 -0.0235 X 0 0.12 0.0635

%7296.12* =−ABi



3.7 Una compañía esta considerando la posibilidad de arrendar o comprar una copiadora. Si la copiadora es arrendada se pagaría al principio de cada año una cantidad de $100,000. Si se compra la copiadora su costo inicial seria de $400,000 y su valor de rescate después de 5 años de uso seria de $50,000. Si la TREMA es de 20% anual ¿debería la compañía comprar o arrendar la copiadora? ARRENDAR (A) A=$100,000

COMPRAR (C)

COMPRAR – ARRENDAR (C-A)

, * ,5 , * ,4 300,000 0C A C A

P PF i A i

F A− − + − =

0000,300)*1(*

1)*1(000,100

)*1(

1000,50

4

4

5=−

+−++

+ −−

−

− ACAC

AC

AC ii

i

i

0)*1(*6])*1)[(*1(2* 54 =+−+++ −−−−− ACACACACAC iiiii



0)*1(*6)*1(2)*1(2* 52 =+−+−++ −−−−− ACACACACAC iiiii

0]2)*1(*6)*2)[(*1(* 44 =−+−+++ −−−−− ACACACACAC iiiii

0.16 0.0244 x 0 0.17 -0.0214

%5328.16* =−ACi

ARRENDAR Como TIRcompra < TREMAcompra entonces no conviene comprar. 3.8 Suponga que cierto proyecto de inversión requiere de una inversión inicial de $200,000. Sus gastos de operación y mantenimiento son de $20,000 para el primer año, y se espera que estos costos crezcan en el futuro a una razón del 10% anual. La vida estimada del proyecto es de 10 años al final de los cuales el valor de rescate se estima en $50,000. Finalmente, suponga que los ingresos que genera este proyecto son de $50,000 al primer año y se espera en lo sucesivo que estos aumenten a una razón constante de $4,000/año. Si la TREMA es de 25% anual, ¿debería este proyecto ser aceptado? Aplicando el método del valor presente neto, tenemos los siguientes datos del problema:

25% (TREMA)

$200, 000

$20, 000 10% (incremento anual)

10 años

$50, 000

$50, 000 (incremento anual de $4, 000)1

i

P

GOM j

n

VR

I

=

=

= − =

=

=

=



1) Por VPN

010%,25,%10%,25,000,510%,10%,25,000,20000,200 =

+

+

−−=A

PA

F

P

A

PVPN equi

Donde

+=+= 10%,25,' 121 g

AgAAAAequi ,

del apéndice A (Coss Bu)de los valores de gradiente aritmético con interés discreto, obtenemos:

[ ]50, 000 4, 000 2.7971 61,188.4Aequi = + = , con este valor equivalente y del apéndice A, obtenemos el

VPN total:

( ) ( ) ( )200,000 20,000 4.8100 5,000 0.1074 61,188.4 3.5705

72,356.00

VPN

VPN

= − − + += −

Decisión: No invertir en este proyecto debido a que se tendrían pérdidas del orden de $70,000.00 2) Por VAE Por este método repartiremos los flujos en todos los periodos del diagrama.

+

−+

−= niF

AFni

P

Anji

A

PAAni

P

APVAE equ %,,%,,%,%,,%,, 1

Conocidos los intereses, usando lo valores del primer método de evaluación tenemos lo siguiente:

200,000 ,25%,10 61,188.4 20,000 ,25%,10%,10 ,25%,10 50000 ,25%,10A P A A

VAEP A P F

= − + − +

Del apéndice A de interés compuesto, y sustituyendo valores obtenemos:

( ) ( )( ) ( )200, 000 0.2801 61,188.4 20, 000 4.8100 0.2801 50, 000 0.0301

20, 272.22

VAE

VAE

= − + − +

= −

Como el valor obtenido es nuevamente negativo, representa pérdidas anuales del orden de $20,000.00 y por lo tanto no conviene.



3.9 Cierta empresa que utiliza en sus evaluaciones económicas una TREMA de 25% anual, desea seleccionar la mejor de las siguientes alternativas:

Maquina A Maquina B Inversión inicial $500,000 $800,000 Vida 5 años 8 años Valor de rescate $100,000 $120,000 Ingresos netos/año $200,000 $250,000

Determina cual de las dos maquinas le conviene adquirir. Evaluación por VPN: MAQUINA A

Diagrama del flujo de efectivo maquina A.

0.630,70

5%,25,000,1005%,25,000,200000,500

%,,%,,

=

+

+−=

+

+=

A

A

A

VPN

F

P

A

PVPN

niF

PFni

A

PAPVPN

MAQUINA B Diagrama del flujo de efectivo de la máquina B. Dado que la vida de ambas maquinas no es la misma, debemos acortar la vida de la maquina B a la vida de la maquina A, trayendo los últimos 3 años del flujo de efectivo al año 5 de la maquina B, de la siguiente manera:

1 2 3 4

$500, 000P =

5

$100, 000F =$200, 000A =

0

1 2 3 4

$800,000P=

5

$549,440VR=$250,000A=

0 1 2 3 4

$800,000P=

5

$120,000F =$250,000A=

0 6 7 8



5

5

,25%,3 ,25%,3

549440.00

P PVR A F

A F

VR

= +

=

Así, con los datos de las tablas del apéndice A, sustituimos los valores y obtenemos:

50.376,52

)3277.0(440,549)6893.2(000,250000,800

5%,25,440,5495%,25,000,250000,800

=++−=

+

+−=

B

B

B

VPN

VPN

F

P

A

PVPN

Decisión: derivado de que VPN VPNBA > se decide adquirir la máquina A. 3.10 Una empresa ha solicitado un préstamo de $ 1, 000,000, para comprar un torno automático. El préstamo ha sido obtenido de una institución bancaria que exige una tasa de interés de 20 % anual y la devolución del préstamo en cinco anualidades iguales. Si las utilidades netas anuales generadas por este torno se estiman en $308,000.00 y su valor de rescate al final de año cinco se estima en $ 200,000.00, ¿debería esta empresa adquirir el torno?, justifique su respuesta. Representando el Diagrama de Flujo de Efectivo de este proyecto, el cual es el siguiente.

Este problema se resolverá con el método de Valor Anual Equivalente, y consultando la Tabla de Valores del Interés Compuesto Discreto (Apéndice A Libro Coss Bu).



( ) ( )480$

)3344.0(00.000,000,1$)1344.0(00.000,200$)00.000,308($

5%,20,5%,20,)(

5%,20,5%,20,)(

%,,%,,)(

=−+=

−

+=

−

+=

−

+=

VAE

VAE

P

AP

F

AVRUtilidadesAVAE

P

AP

F

AVRUtilidadesAVAE

niP

APni

F

AVRUtilidadesAVAE

Conclusión: Aunque se tienen utilidades positivas, estas no son lo suficientemente buenas (altas), como para comprar el torno, por lo tanto no conviene comprarlo. Para saber la cantidad de las anualidades que se tendrán que pagar al banco es necesario hacer el siguiente análisis.

( )00.400,334$)(

)3344.0(00.000,000,1$)(

5%,20,)(

%,,)(

==

=

=

PagarA

PagarA

P

APPagarA

niP

APPagarA

3.11 Una compañía esta considerando la posibilidad de comprar o arrendar una mimicomputadora. Si la computadora es comprada, su costo será de $ 1, 000,000, sus gastos anuales de operación y mantenimiento serian de $ 300,000 y su valor de rescate al final de un horizonte de planeación de 5 años será de $200,00. Si la computadora es arrendada tanto los gastos de operación como de mantenimiento serían de $X y la renta anual sería de $40,000 mayor que los gastos de mantenimiento. Si la TREMA es del 25% ¿Cual es el valor de la renta anual que hace indiferente la selección entre estas dos alternativas? Representando los Diagramas de Flujo de Efectivo de este proyecto son los siguientes:

Fig. 1 Comprar Fig. 2 Rentar Este problema se resolverá con el método de Valor Anual Equivalente, y consultando la Tabla de Valores del Interés Compuesto Discreto (Referencia Libro Coss Bu).



El análisis para la opción de comprar es el siguiente.

( ) ( )

, %, , %,

,25%,5 ,25%,5

( 1,000,000.00) 0.3716 (300,000.00) 200,000.00 (0.1218)

$647,240.00 /

A AVAE P i n A F i n

P F

A AVAE P COM VR

P F

VAE

VAE año

= − − +

= − − +

= − − +

= −

El análisis para la opción de rentar es el siguiente, no tiene valor de rescate pues no es de su propiedad, se traerá todo al presente y se distribuirá en anualidades.

82.966,49*2485.2

)3716.0(]3277.0944647232.4000,40(

)3716.0()]3277.0)(()3616.2)(000,402(000,40[

5%,25,5%,25,)(4%,25,)000,402()000,40(

−−=⋅++++=

⋅++++−=

⋅

+

+++−=

XVAE

XXXVAE

XXXVAE

P

A

F

PX

A

PXXVAE

Para que la elección sea indiferente, es necesario que

2.2485* 49,966.82 647,240

$265,631.83

X

X

− − = −=

Y la renta tendrá que ser de:

Re 40,000

Re $305,643.64

nta x

nta

= +=

3.12 Un ingeniero que ha terminado sus estudios de sistemas computacionales, esta contemplando la posibilidad de obtener la maestría en Sistemas de Información. Esta persona estima que con el titulo de ingeniero en Sistemas Computacionales, su sueldo en los próximos 6 años sería de $200,000.00 el primer año y en los subsiguientes el sueldo anual estaría aumentando a una razón del 20% anual. Por otra parte, si esta persona decide continuar con la maestría el tiempo que tardaría en obtenerla sería de 1 año y los gastos que se incurrirían en este tiempo serían de $150,000.00. Si la TREMA de esta persona es de 20%, y los aumentos de sueldo con titulo de maestría se estiman en 25% ¿de que tamaño tendría que ser el sueldo del primer año después de terminar la maestría, de tal modo que a esta persona le sea indiferente estudiarla? (Supón el mismo periodo de 6 años) Representando los Diagramas de Flujo de Efectivo de este proyecto son los siguientes:



Fig. 1 Sin maestría Fig. 2 Con maestría. Este problema se resolverá con el método de Valor Presente Neto, y consultando la Tabla de Valores del Interés Compuesto Discreto (Referencia Coss Bu). El análisis para el caso de un ingeniero sin maestría.

1

1

, %, %,

,20%,20%,5

SM

SM

PVPN A i j n

A

PVPN A

A

=

=

El análisis para el caso de un ingeniero con maestría.

[ ][ ][ ]

1

1

1

( / , %, %, ) *( / , %, )

( )( / ,20%,25%,5) 150,000.00 *( / ,20%,1)

( )(4.5287) 150,000.00 *(0.8333)

CM

CM

CM

VPN S P A i j n G P F i n

VPN S P A P F

VPN S

= −

= −

= −

Para que le dé lo mismo estudiar la Maestría o no estudiarla es necesario que: SM CMVPN VPN=

[ ]1

1

( )(4.5287) 150,000.00 *(0.8333) 1,000,000.00

$298,109.44CMVPN S

S

= − ==

3.13 Una cierta compañía requiere de un nuevo almacén. El almacén puede ser construido a un costo de $ 20, 000,000, o arrendado pagando una renta anual de $ 2, 000,000. Si el horizonte de planeación es de 25 años, al final de los cuales el almacén costará $ 1 000,000 y la TREMA es de 15% anual ¿qué alternativa debe seleccionar? Representando los Diagramas de Flujo de Efectivo de este proyecto, los cuales son los siguientes



Fig. 1 Comprar Fig. 2 Rentar Este problema se resolverá con el método de Valor Anual Equivalente, y consultando la Tabla de Valores del Interés Compuesto Discreto (Referencia Coss Bu).

[ ]2 25

( / , %, ) ( / , %, )

( / ,15%,25) ( / ,15%,25)

(20,000,000)(0.1547) (1,000,000)(0.0047)

$3,089,300

1( / , %, ) ( )( / , %, ) ( / , %,

COMPRAR

COMPRAR

COMPRAR

COMPRAR

RENTAR

VAE P A P i n VR A F i n

VAE P A P VR A F

VAE

VAE

VAE R A P i n R P A i n A P i n→

= − += − += − += −

= − −

[ ][ ]

2 25

)

1( / ,15%,25) ( )( / ,15%,24) ( / ,15%,25)

(2,000,00)(0.1547) (2,000,000)(6.42314) (0.1547)

$2,296,719.51

RENTAR

RENTAR

RENTAR

VAE R A P R P A A P

VAE

VAE

→= − −

= − −= −

Conclusión: Como se puede ver para el caso de rentar se requiere de un menor desembolso que si compráramos el almacén, por lo tanto sí conviene rentar. 3.14 Dos tipos de compresores son evaluados por una compañía. El compresor A cuesta $100,000, sus costos de operación y mantenimiento son de $30,000/año. Por otra parte el compresor B cuesta $80,000 y sus costos de operación y mantenimiento son de $35,000/año. Si se utiliza un horizonte de planeación de 8 años y una TREMA de 25% anual y el valor de rescate en ambos se estima que sea 15% de su valor inicial.

Compresor A Compresor B P=100,000 P=80,000 COM=30,000/año COM=35,000/año

Algunos datos que se dan son los siguientes, n=8 años, VR=0.15P y la TREMA=25% anual. A continuación se realizara una tabla en la que analizaremos A-B, esto se hace para no realizar dos veces el procedimiento, es decir uno para A y otro para B, Así si la opción A-B, no conviene entonces quiere decir que la opción B es mejo r que la A, y si se hace esto se ahorra un procedimiento.



A B A-B

P -100,000 -80,000 -20,000 COM -30,000 -35,000 5,000 VR 15000 12000 3000

Representando el Diagrama de Flujo de Efectivo de este proyecto.

Por el método de valor presente neto.

+

+−=

+

+−=

8*,,)000,3(8*,,)000,5(000,20

*,,)000,3(*,,)000,5(000,20

iF

Pi

A

PVPN

niF

Pni

A

PVPN

Simplificando cantidades: 20 (5)( / , *,8) (3)( / , *,8)

(1 ) 1 120 (5) (3) 0

(1 ) (1 )

n

n n

VPN P A i P F i

i

i i i

= − + +

+ −− + + = + +

0)1(

1)3(

)1(

1)1()5(20

8*,,)3(8*,,)5(20

=

++

+−++−=

+

+−=

nn

n

iii

iVPN

iF

Pi

A

PVPN

Resolviendo la ecuación, para i, con una valor de n=8

8

8 8

(1 ) 1 120 (5) (3) 0

(1 ) (1 )

0.1981 19.81%

i

i i i

i

+ −− + + = + +

= =



Nota: El resultado anterior se puede obtener por iteración, es decir suponer una valor inicial de i, y sustituyendo este valor en el lado izquierdo de la ecuación, hasta encontrar un valor de i, con el cual se satisfaga la ecuación (0=0). Otra manera de obtenerlo fácilmente es utilizar un programa, como lo es el MINITAB o el EES, que nos ayuden a resolver la ecuación. Conclusión: Como la TIR es menor que la TREMA, entonces no conviene comprar el compresor A, por lo que conviene comprar el compresor B. 3.15 Usando una TREMA = 20% determina la TIR del incremento en la inversión requerido por la alternativa B.

Concepto A B Inversión inicial $500,000 $750,000 Gastos anuales del año K 50,000(1.1)^(k-1) 20,000(1.1)^(k-1)

Valor de rescate 60,000 100,000 Vida 10 años 10 años

Usando el mismo método que en el ejercicio anterior, es decir el método de la resta de ambas alternativas.

A B B-A Inversión inicial - 500,000 - 750,000 -250,000 Gastos anuales del año K

- 50,000(1.1)^(k-1)

- 20,000(1.1)^(k-1) 30,000(1.1)^(k-1)

Valor de rescate 60,000 100,000 40,000 Vida 10 años 10 años

Representando el diagrama de Flujo de Efectivo de este proyecto

El análisis se realizara por el método del valor presente neto



( )0

)1(

1)000,40(

)1()1(1)000,30(000,250

10*,,)000,40(10%,10*,,)000,30(000,250

*,,)000,40(%,10*,,)000,30(000,250

=

++

−++−+−=

+

+−=

+

+−=

n

nn

iji

ijVPN

iF

Pi

A

PVPN

niF

Pni

A

PVPN

10 10

10

10 10

10

1 ((1 0.1) ) /((1 ) ) 1250000 30000 40000 0

0.1 (1 )

1 ((1 0.1) ) /((1 ) ) 125 3 4 0

0.1 (1 )

i

i i

i

i i

− + +− + + = − +

− + +− + + = − +

La ecuación anterior se resuelve para el valor de 0.128 12.8%B Ai − = = anual. Conclusión: Dado que la TIR es menor que la TREMA, entonces no conviene comprar B en lugar de A. Esto es, sí conviene comprar A. 3.16 Un torno puede ser adquirido por $ 1,000,000. Se estima que este torno va a producir ahorros en sus costos de operación de $150,000.00 anuales. Si la vida de este torno es de 10 años y al final de ellos su valor de rescate es despreciable. ¿Cuál será la Tasa Interna de Rendimiento (TIR) que resulta de la adquisición de este equipo? Solución Aplicando el Método del Valor Presente Neto para traer al día de hoy las 10 anualidades y como no tendrá valor de rescate se omite. Todo lo anterior se iguala a cero para calcular así la tasa de interés que resulta de esta adquisición: VPN = A ( P/A,i*, 10 años) – 1,000,000 = 0

(150,000)10

10

(1 *) 1

*(1 *)

i

i i

+ − +

- 1, 000,000 = 0

(15) ( ) ( ) 0*1*10015*1 1010 =+−−+ iii

Despejando, anualTIR

i

%124.8

8124.0*

==



3.17 Considera las siguientes alternativas de inversión:

A B Inversión inicial -$300,000 -$400,000 Ingresos anuales 200,000 250,000 Gastos anuales 120,000 150,000 Valor de rescate 60,000 50,000

Vida 5 años 5 años Si la TREMA es de 25%, ¿Cuál es la TIR del incremento en la inversión que demanda la alternativa B? Usando el mismo método que en los ejercicios anteriores, es decir el método de la resta de ambas alternativas.

A B B-A Inversión inicial -$300,000 -$400,000 -$100,000 Ingresos anuales 200,000 250,000 50,000 Gastos anuales 120,000 150,000 30,000 Valor de rescate 60,000 50,000 -10,000

Vida 5 años 5 años 5 años Representando el diagrama de Flujo de Efectivo de este proyecto

Haciendo el análisis por el método del valor presente neto.



100000 50000( / , *, ) 30000( / , *, ) 10000( / , *, )

100000 50000( / , *,5) 30000( / , *,5) 10000( / , *,5)

10 5( / , *,5) 3( / , *,5) ( / , *,5)

(1 ) 1 110 2

(1 ) (1 )

n

n n

VPN P A i n P A i n P F i n

VPN P A i P A i P F i

VPN P A i P A i P F i

iVPN

i i i

= − + − −= − + − −= − + − −

+ −= − + − + + 0

(1 ) 1 110 2 0

(1 ) (1 )

n

n n

i

i i i

=

+ −− + − = + +

La ecuación anterior se resuelve para el valor de

%68.30368.0 −=−=i Conclusión: Dado que la TIR es menor que la TREMA, entonces conviene comprar A en lugar de B.



CAPÍTULO IV

DEPRECIACIÓN E IMPUESTOS EN

LA EVALUACIÓN ECONÓMICA



DEPRECIACIÓN E IMPUESTOS EN LA EVALUACIÓN ECONÓMICA

Capítulo IV

4.1 CONCEPTO DE DEPRECIACIÓN Con excepción de los terrenos, la mayoría de los activos fijos tienen una vida limitada, o sea, serán útiles solo por un número limitado de período contables futuros. Por lo que su costo se debe distribuir entre los períodos contables en que se utilice. Entonces, el proceso contable para esta conversión gradual de activo fijo en gasto se llama depreciación. La depreciación se define como la pérdida del valor del bien (o activo). Pero el valor de una propiedad puede ser de diferentes tipos: a) valor comercial. b) valor de mercado. c) valor en libros. En el caso del valor comercial, es el valor presente de todas las utilidades futuras que se pudieran obtener por la posesión de dicho bien, aunque éste es difícil de pronosticar. Para el valor del mercado, es el valor actual que tiene un activo, es decir, es la cantidad en efectivo que se puede obtener de venderlo o lo que se debe pagar para comprarlo, aunque este valor, en ocasiones, se ve sujeto a especulaciones (es el valor de rescate). Además, se debe tener en cuenta que el valor de mercado habrá que adicionarle gastos de traslado, instalación, puesta en marcha, etcétera. Por último, el valor en libros es muy usado en el lenguaje contable, y se refiere a los registros contables que tiene una compañía acerca de una propiedad. Es decir, es el costo original al ser adquirido este bien menos las cantidades que se hallan cargado como gastos de depreciación, y en realidad representa el capital que sigue invertido en dicha propiedad. La depreciación no es un gasto real, sino virtual, y solamente se considera como gasto para calcular los impuestos a pagar. Al tener una significativa deducción por depreciación, el ingreso gravable disminuye, y en consecuencia, disminuyen los impuestos a pagar, y la empresa tendrá disponibles mayores fondos para reinversión. Depreciar activos en períodos cortos tiene el efecto de diferir el pago de impuestos. Generalmente, es más deseable depreciar mayores cantidades en los primeros años de vida del activo, porque cualquier empresa prefiere pagar impuestos después de 1 año a pagarlos ahora.



4.2 CAUSAS DE LA DEPRECIACIÓN La pérdida de valor de un activo puede deberse a cambios físicos sufridos por él mismo (factores endógenos) o a cambios en el ambiente técnico-económico (factores exógenos). 4.2.1 FACTORES ENDÓGENOS Los cambios físicos incluyen desgastes, rotura, corrosión, desintegración o alteración de las propiedades de los materiales componentes, las deformaciones y desajustes debidos a vibraciones, impactos o choques. 4.2.2 FACTORES EXÓGENOS Entre ellos se encuentra la obsolescencia resultante que lo hace antieconómico, la desaparición de la necesidad del activo haciéndolo inútil, y los cambios en la demanda de servicios, que hacen que un activo fijo deje de ser adecuado para satisfacerla económicamente. 4.3 METODOS DE DEPRECIACIÓN Contablemente la depreciación en el costo de un activo se considera como un gasto anticipado, que debe distribuirse entre los años de operación o vida del activo de manera racional y sistemática. El cargo anual que se le efectúa recibe el nombre de cargo por depreciación, y forma parte de los costos de operación. Los costos de los activos que no se consumen de inmediato o durante un plazo muy corto, se denominan costos capitalizables o costos de capital, y son distribuidos entre los años de vida de dichos activos como cargos de depreciación. Estos cargos, al sumarse a los gastos de operación para conocer el costo del producto, permiten la recuperación del capital invertido por medio del precio de venta, el cual tiene que ser superior al costo. El punto de vista contable está de acuerdo con el criterio fiscal del Gobierno, pues éste pone límites al monto de los cargos por depreciación y son referidos como deducción de las inversiones (Vea subtema 4.3). Como se mencionó, la depreciación no es un costo efectivo, sino que es una reserva que permite recuperar el capital invertido al principio. Por ejemplo, si cierta máquina tiene una duración aproximada de 3 años, entonces a toda la producción resultante de ella se le tendrá que descontar un cargo por depreciación proporcional, de tal forma que la suma de dichos cargos a los 3 años sea lo suficiente para comprar otra máquina igual, sin afectar en lo más mínimo a la economía de la empresa. La depreciación y las utilidades retenidas son el mecanismo con el cual la empresa genera el capital interno necesario para sus inversiones, ya sean de conservación, modernización o expansión. Esta reserva significa que el capital consumido por el deterioro y obsolescencia de los activos capitalizables, se recupera con el producto de esos activos.



Se tienen dos formas de calcular la depreciación de un bien (activo): * con base en el tiempo transcurrido * con base en la producción de bienes o servicios y a continuación se exponen brevemente. 4.3.1 DEPRECIACIÓN CON BASE EN EL TIEMPO TRANSCURRIDO Existen tres métodos para calcular la depreciación con base en el tiempo transcurrido y son los siguientes:

• de la línea recta • de la suma de los años dígitos • de la tasa fija sobre el saldo decreciente

En México únicamente es válido el de la línea recta, y en USA se permiten los otros dos solamente. Para establecer el flujo de efectivo de un proyecto, la depreciación debe interpretarse, en el sentido contable y fiscal, como factor determinante del Impuesto sobre la Renta (ISR). Si: C = el costo inicial del activo n = la vida (período de servicio) del activo R = el valor residual o valor de rescate al final de la vida útil Lj = el valor en libros del activo para el período j (valor inicial - depreciación acumulada hasta ese período) Dj = el monto de la depreciación en el período j Entonces Lj, que es el valor en libros al final del año Lj, se calcula de la siguiente manera,

∑=

−=j

j

DjCLj1

(4.1)

Método de la Línea Recta

Este método supone que el comportamiento resultante no es de una curva sino de una recta, es decir, lineal. (vea la Figura 4.1). Por lo tanto, la depreciación y el valor en libros en cualquier año, se calcula así,

jnCDj )/(= (4.2)

jDjCLj )(−= (4.3)

La depreciación anual puede expresarse como porcentaje del costo inicial.



Figura 4.1 Método de la Línea Recta 4.3.2 DEPRECIACIÓN CON BASE EN LA PRODUCCIÓN DE BIENES O SERVICIOS Otra manera de calcular la depreciación es con base en la producción de bienes o de servicios, pues en algunos casos, la edad del activo no es una base apropiada para calcular su depreciación. Lo anterior sucede cuando la pérdida de valor del activo depende más de su uso que del tiempo transcurrido, y puede calcularse con base en la cantidad de productos obtenidos del activo, por ejemplo, una instalación para explorar una mina puede depreciarse tomando como base la cantidad de producto extraído mediante el uso de dicha instalación. Otro ejemplo también muy ilustrativo es el caso del buril del torno, que se desgasta proporcionalmente a la cantidad de producto maquilado. Para utilizar este método, se necesita conocer la producción total de esta máquina durante su vida útil, o durante cierto periodo, por ejemplo 1 año. Entonces, el cargo por depreciación por unidad de producto se obtiene dividiendo la inversión depreciable entre el número total de unidades de producto obtenidas.

PCDu /= (4.4) donde P es el número de unidades de producto obtenidas del activo depreciable durante su vida económica (períodos en que reporta beneficios económicos o vida útil). Y la depreciación en el año j será,

DuPjDj = (4.5) Para la aplicación del anterior método, se requiere conocer el costo inicial del activo que comprende, además del precio del bien, los impuestos efectivamente pagados con motivo de la adquisición o importación del mismo (excepto el IVA, impuesto al valor agregado), así como las erogaciones por concepto de fletes, derechos, transportes, acarreos, seguros contra riesgos en la transportación,



manejo, comisiones sobre compras y honorarios a agentes aduanales, su vida útil y una estimación del valor de rescate al momento de su venta.

4.3.3 TABLAS DE DEPRECIACION Y FACTORES DE AJUSTE La depreciación de los activos en línea recta se determina en función del tipo de activo y de la actividad industrial en la que se usa. En la siguiente tabla se muestra cuánto se deprecian los activos fijos tangibles, así mismo cuánto se amortizan los intangibles usados por una empresa. Estos porcentajes son anuales y son los permitidos por el Gobierno (cabe aclarar que cada año se publican los porcentajes autorizados en el Diario Oficial). a) Activos intangibles:

1 Cargos diferidos 5% 2 Patentes de inversión, marcas, diseños comerciales o industriales, nombres

comerciales, asistencia técnica o transferencia de tecnología y otros gastos diferidos, así como las erogaciones realizadas en periodos pre-operativos.

10%

b) Bienes de activo fijo empleados normalmente por los diversos tipos de empresas en el curso de sus actividades:

1 Edificios y construcciones, salvo las viviendas que a continuación se citan 5% 2 Ferrocarriles, carros de ferrocarril, locomotoras y embarcaciones (excepto los

comprendidos en el inciso c) No. 8) 6%

3 Mobiliario y equipo de oficina 10% 4 Automóviles, camiones de carga, tractocamiones, remolques y maquinaria y

equipo para la industria de la construcción. 20%

5 Autobuses 11% 6 Equipo periférico del contenido en el subinciso 9); perforadoras de tarjetas,

verificadoras, tabuladoras, intercaladoras y demás que no queden comprendidas en dicho inciso

12%

7 Aviones (excepto los comprendidos en el inciso c) No. 9) 17% 8 Equipo de computo electrónico consistente en una máquina o grupo de máquinas,

interconectadas conteniendo unidades de entrada, almacenamiento, computación, control y unidades de salida, usando circuitos electrónicos en los elementos principales para ejecutar operaciones aritméticas o lógicas en forma automática por medio de instrucciones programadas, almacenadas internamente o controladas externamente

25%

9 Dados, troqueles, moldes, matrices y herramientas 35% 10 Equipo destinado a prevenir y controlar la contaminación ambiental en

cumplimiento de las disposiciones legales respectivas 35%

11 Equipo destinado directamente a la investigación de nuevos productos o desarrollo de tecnología en el país

35%

12 Equipo destinado para la conversión a consumo de combustóleo y gas natural en las industrias

35%



c) Maquinaria y equipo distintos de los mencionados en el inciso anterior, utilizados por empresas dedicadas a:

1 Producción de energía eléctrica o de su distribución; transportes eléctricos 3% 2 Molienda de granos; producción de azúcar y derivados; de aceites comestibles;

transportación marítima, fluvial y lacustre 5%

3 Producción de metal (obtenido en primer proceso); productos de tabaco y derivados de carbón natural

6%

4 Fabricación de vehículos de motor y sus partes; construcción de ferrocarriles y navíos; fabricación de productos de metal, de maquinaria y de instrumentos profesionales y científicos; producción de alimentos y bebidas (excepto granos, azúcar, aceites comestibles y derivados)

8%

5 Fabricación de pulpa, papel y productos similares, petróleo y gas natural 7% 6 Curtido de piel y fabricación de artículos de piel, de productos químicos,

petroquímicos y farmacobiólogos; de productos de gaucho y productos plásticos; impresión y publicación

9%

7 Fabricación de ropa; fabricación de productos textiles, acabado, teñido y estampado

11%

8 Construcción de aeronaves; compañías de transporte terrestre, de carga y de pasajeros

12%

9 Compañías de transporte aéreo; transmisión de radio y televisión 16% d) Actividades agropecuarias:

1 Agricultura (incluyendo maquinaria y equipo) 20% 2 Cría de ganado mayor 11% 3 Cría de ganado menor 25% e) Otras actividades no especificadas en el enmarcado anterior 10%

Tabla 4.1 Depreciación de activos fijos tangibles y amortización de los intangibles. Se puede observar que entre mayor sea la vida esperada de un activo, menor será la depreciación anual permitida. Existen casos especiales en que los activos pueden ser depreciados en períodos relativamente cortos. Estos casos son mecanismos que el gobierno ha puesto en marcha para fomentar el desarrollo industrial de zonas rurales (no industrializadas). Además, las reformas fiscales habidas a la Ley del Impuesto sobre la Renta, permiten una deducción adicional por depreciación, es decir, además de la depreciación impresa en la tabla 4.1 se le puede deducir una cantidad adicional, que es un porcentaje de la diferencia entre activos financieros (cuentas por cobrar, inversiones líquidas o inmediatas, etcétera.) y pasivos. El valor en libros se debe ajustar mediante un factor (Tabla 4.2) que depende de la edad del activo, que aumenta con ella, éste se estableció a partir de las reformas fiscales de 1979. 4.4 GANANCIAS EXTRAORDINARIAS DE CAPITAL Cuando un activo que no forma parte de los productos que distribuye la empresa es vendido, un ganancia o pérdida extraordinaria de capital puede resultar si el valor de venta del activo es diferente de su valor en libros, que obviamente afecta proporcionalmente a los impuestos por pagar, así como la tasa de impuestos que grava las utilidades de la empresa.



Las ganancias ordinarias son las resultantes de la venta de los productos propios del giro de la empresa, es decir, de su actividad productiva normal. La ganancia extraordinaria resulta de la venta de activo fijo. Si el valor de venta del activo (es decir, su valor de rescate en ese momento) es diferente a su valor en libros (capital aún invertido en él), éste último ajustado por el valor del dinero a través del tiempo, estas ganancias (diferencia positiva) o pérdidas (diferencia negativa) afectan a los impuestos por pagar, pues si existe ganancia se debe pagar impuesto sobre ella y si existe pérdida se debe ahorrar sobre el pago de impuestos contemplado previamente.

Ganancia (o pérdida) extraordinaria de capital = valor de rescate - valor en libros * factor de ajuste

Edad

Hasta un año Mas de 1 año hasta 2 años Más de 2 años hasta 3 años Mas de 3 años hasta 4 años Más de 4 años hasta 5 años Más de 5 años hasta 6 años Más de 6 años hasta 7 años Más de 7 años hasta 8 años Más de 8 años hasta 9 años Más de 9 años hasta 10 años Más de 10 años hasta 11 años Más de 11 años hasta 12 años Más de 12 años hasta 13 años Más de 13 años hasta 14 años Más de 14 años hasta 15 años Más de 15 años hasta 16 años Más de 16 años hasta 17 años Más de 17 años hasta 18 años Más de 18 años hasta 19 años Más de 19 años hasta 20 años Más de 20 años hasta 21 años Más de 21 años hasta 22 años Más de 22 años hasta 23 años Más de 23 años hasta 24 años Más de 24 años hasta 25 años

Factor

1.00 1.55 2.80 5.57 7.17 9.31 11.17 12.98 15.66 19.92 22.17 26.74 32.45 34.26 35.96 37.61 39.95 40.96 42.16 44.29 45.40 48.22 50.21 51.95 54.23

Edad Más de 25 años hasta 26 años Más de 26 años hasta 27 años Más de 27 años hasta 28 años Más de 28 años hasta 29 años Más de 29 años hasta 30 años Más de 30 años hasta 31 años Más de 31 años hasta 32 años Más de 32 años hasta 33 años Más de 33 años hasta 34 años Más de 34 años hasta 35 años Más de 35 años hasta 36 años Más de 36 años hasta 37 años Más de 37 años hasta 38 años Más de 38 años hasta 39 años Más de 39 años hasta 40 años Más de 40 años hasta 41 años Más de 41 años hasta 42 años Más de 42 años hasta 43 años Más de 43 años hasta 44 años Más de 44 años hasta 45 años Más de 45 años hasta 46 años Más de 46 años hasta 47 años Más de 47 años hasta 48 años Más de 48 años hasta 49 años Más de 49 años en adelante

Factor

56.90 59.85 63.42 68.35 73.74 82.38 91.74 91.41 100.16 118.17 122.56 125.33 125.82 135.82 179.15 186.49 256.59 299.14 326.33 328.58 345.44 353.35 370.98 463.39 510.28

Tabla 4.2 Factores de ajuste.

En esta tabla se puede apreciar que entre mayor sea la edad del activo mayor será su factor de ajuste, es decir, si dos activos del mismo tipo son comprados en fechas distintas, el más reciente tendrá un factor de ajuste menor (se recomienda ver la actualización anual de esta tabla en el sitio Web del Diario Oficial). Con esta reforma, las ganancias que resultan de la venta de acciones, terrenos y construcciones serán menores, beneficiando así a empresas y a personas físicas.



También, cuando el activo es vendido por una cantidad menor que su valor en libros, los beneficios fiscales que resultan serán mayores, puesto que la pérdida a deducir en el Estado de Resultados de la empresa será mayor. 4.5 EFECTO DE LA DEPRECIACIÓN EN LA TIR, DESPUES DE IMPUESTOS

La determinación de la tasa interna de rendimiento (TIR) después de impuestos no puede determinarse de manera directa y simple. Algunos autores dicen que,

TIR después de impuestos = TIR antes de impuestos (1- tasa de impuestos) La anterior expresión es válida solamente si la propiedad analizada no es depreciable y además es totalmente financiada con capital contable. En realidad, la mayoría de los activos fijos son depreciables y un porcentaje de ellos ha sido financiado con pasivo. Por lo tanto, se recomienda hacer un análisis completo de los flujos de efectivo después de impuestos que genera el proyecto de inversión, en lugar de obtener la TIR después de impuestos con la anterior expresión. 4.6 EVALUACIÓN ECONÓMICA CONSIDERANDO IMPUESTOS Y DEPRECIACIÓN DE ACTIVOS El análisis económico después de impuestos se realiza igual que antes de impuestos, la diferencia está en que unos flujos de efectivo son antes de impuestos y otros son después de ellos. Para saber cómo se determinan los flujos de efectivo después de impuestos, nos podemos ayudar con la siguiente tabla.

Flujo de Flujo de efectivo efectivo antes de Ingreso Impuestos después de

Año impuesto Depreciación gravable ó ahorros impuestos (1) (2) (3) (4)= (2)-(3) (5)= (4) t (6)= (2)-(5)

Tabla 4.3 Determinación de flujos de efectivo después de impuestos(FEDI)

En la anterior tabla, la columna (2) contiene exactamente la misma información que se utilizaba en el análisis antes de impuestos. La columna (3) muestra cómo el activo considerado va a ser depreciado en los diferentes años que abarca el horizonte de planeación del estudio por realizar. Se debe hacer notar que la depreciación se considera como un gasto para propósitos de impuestos, aunque es obvio que no es un desembolso en efectivo de dinero. La columna (4) representa el ingreso neto (utilidad neta) al cual se le aplica en la columna (5) la tasa de impuestos, t, en la para determinar los impuestos a pagar (o los ahorros logrados en el pago de impuestos). Obviamente en esta columna aparecen impuestos si el ingreso gravable es positivo, y ahorros si es negativo. La columna (6) muestra los flujos de efectivo después de impuestos, los cuales se utilizarán directamente en el análisis económico después de impuestos, para conocer su rendimiento real (TIR después de impuestos) o su valor presente real.



PROBLEMAS RESUELTOS 4.1 Cierta compañía que utiliza en sus evaluaciones económicas una TREMA del 20 % anual, desea seleccionar la mejor de las siguientes alternativas:

Concepto Máquina I Máquina II Máquina III

Inversión inicial $ 100,000 $ 150,000 $ 200,000

Horizonte planeación 5 años 5 años 5 años

Valor de rescate $ 10,000.00 $ 22,000.00 $ 40,000.00

Costos de operación y mantenimiento año k

20,000 (1.1) k-1

15,000 (1.08) k-1

10,000 + 1000 k

Tipo de costos Gradiente geométrico Gradiente geométrico Gradiente aritmético

Depreciación anual * $ 20,000 $ 30,000 $ 40,000

Si esta compañía pagó 40 % de Impuesto Sobre la Renta (ISR), ¿Qué alternativa es más conveniente? Solución: La depreciación anual se calculó mediante la inversión inicial dividida entre su vida de 5 años. NOTA: Todas las cantidades son miles de pesos.

MÁQUINA I

Año FEAI Depreciación Ingreso gravable

Impuesto 40 %

FEDI

0 -100 0 0 0 -100

1 -20 20 -40 -16 -4

2 -22 20 -42 -17.6 -5.2

3 -24.2 20 -44.2 -17.68 -6.52

4 -26.62 20 -46.62 -18.64 -7.97

5 -29.28 20 -49.28 -19.71 -9.56

5 (VR) 10 0 10 -4 6



Se utilizó el Método del Valor Presente Neto para comparar TODOS los desembolsos futuros al día de hoy. VPN máquina I

5,20,65,20,9.56-4,20,7.97 + 3,20,52.62,20,2.51,20,4100

+

−

−

−−=F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

VPN máquina I = - 115.4 miles de pesos

MÁQUINA II Año FEAI Depreciación Ingreso

gravable Impuesto

40 % FEDI

0 -150 0 0 0 -150

1 -15 30 -45 -18 3

2 -16.2 30 -46.2 -18.48 2.28

3 -17.5 30 -47.5 -19 1.5

4 -18.9 30 -48.9 -19.56 0.66

5 -20.4 30 -50.4 -20.16 -0.24

5 (VR) 22 0 22 -8.8 13.2

VPN máquina II

5,20,13.25,20,0.24-4,20,0.66 + 3,20,5.12,20,28.21,20,3150

+

+

+

+−=F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

VPN máquina II = - 139.52 miles de pesos

MÁQUINA III Año FEAI Depreciación Ingreso

gravable Impuesto

40 % FEDI

0 -200 0 0 0 -200

1 -11 40 -51 -20.4 9.4

2 -12 40 -52 -20.8 8.8

3 -13 40 -53 -21.2 8.2

4 -14 40 -54 -21.6 7.6

5 -15 40 -55 -22 7

5 (VR) 40 0 40 -16 24



VPN máquina III

5,20,245,20,7-4,20,7.6 + 3,20,2.82,20,8.81,20,4.9200

+

+

+

+−=F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

VPN máquina III = - 165.18 miles de pesos Conviene más la máquina I debido a que es menor su desembolso total requerido, a valor presente. 4.2 Una compañía esta considerando la posibilidad de reemplazar la computadora que actualmente utiliza y que adquirió hace tres años a un costo de $10,000,000. Los costos de operación y mantenimiento para esta computadora han sido y se mantendrán en el futuro en $1,000,000/año. Si se compra una nueva computadora se obtendrá a cambio de la actual una bonificación de $5,000,000. Por otra parte el costo de la nueva computadora se estima en $15,000,000, su vida en cinco años, su valor de rescate en $3,000,000, y sus gastos anuales de operación y mantenimiento se estima en $1,500,000. Si se continúa con la computadora actual, se requerirá comprar otra computadora pequeña que proporcione la capacidad adicional requerida. Si se continúa con la computadora actual, esta tendría una vida remanente estimada de 5 años y un valor de rescate de $500,000. Por otra parte, el costo de la pequeña computadora es de $5,000,000 su valor de rescate al termino de su vida económica de 5 años es de $800,000 y los costos anuales de operación y mantenimiento se estiman en $600,000. Usando el método de valor anual equivalente y una trema de 30% determine el curso de acción preferido. Si las computadoras se deprecian en un periodo de 4 años, y la tasa de impuestos es de 40%. Solución Vida fiscal =5 años Tasa impuestos = 40% TREMA = 30% anual Para el equipo comprado: Depreciación anual = $3,000,000 Para el equipo actual + computadora pequeña Depreciación anual = $3,000,000 Computadora actual + computadora nueva pequeña VLactual = 10,000 – (2,500)(3) = 2,500 miles = 2.5 millones Depreciaciónactual = 10,000,000 / 4 años = 2.5 millones/año Depreciaciónactual = 5,000,000 / 4 años = 1.25 millones/año



Son millones de pesos

Año FEAI Depreciación Ingreso Gravable

Imptos. FEDI

0 -(5+2.5) 0 0 0 -7.5 1 -1.6 2.5+1.25 -5.35 -2.14 0.54

2-4 -1.6 1.25 -2.85 -1.14 -0.46 5 -1.6 0 -1.6 -0.64 -0.96

URac 5 0.5 0 0.5 0.2 0.3 URnu 5 0.8 0 0.8 0.32 0.48

-0.18

0.54 ,30%,1 0.46 ,30%,2 - 0.46 ,30%,3A

7.5 ,30%,5 ,30%,5 P

-0.46 ,30,%,4 0.18 ,30%,5actual nueva

P P P

F F FAVAE

P P P

F F

+

− = − +

−

VAEactual+nueva = – 3.1927 millones Computadora nueva grande Depreciación = 15 millones/4 años = 3.75 millones/años Son millones de pesos


Impuestos FEDI

0 -15 0 0 0 -15.0 0 5 0 2.5* 1 4.0

1-4 -1.5 3.75 -5.25 -2.1 0.6 5 -1.5 0 -1.5 -0.6 -0.9 5 3 0 3 1.2 1.8

}-0.19

*Utilidad=5 - [10-(2.5)(3)]=2.5

(4 15) (0.6) ,30%,4 (0.9) ,30%,5 ,30%,5 nuevagrande

P P AVAE

A F P

= − + +

VAEnueva grande = – 3.8834 millones de pesos. Conviene más quedarse con la computadora actual + pequeña nueva. 4.3 Cierta compañía se encuentra analizando un nuevo proyecto de inversión. Dicho proyecto requiere de una inversión inicial en activo fijo de $5,000,000 y de una inversión inicial en activo circulante de $2,500,000. El horizonte de planeación que utiliza esta compañía para evaluar sus proyectos de inversión es de 10 años. Al término de este tiempo la compañía estima que va a recuperar un 12% de la inversión inicial en activo fijo y un 100% de la inversión inicial en activo circulante. Por consiguiente, la compañía estima que la capacidad inicial instalada sería utilizada en su totalidad durante el año 5. Por consiguiente, la compañía piensa que para satisfacer la demanda creciente de los últimos 5 años, es necesario hacer al final del año 5 una inversión adicional en activo fijo de $2000,000 y una de $1,000,000 en activo circulante. Además, la compañía estima que los ingresos y costos en los primeros 5 años serian de $4,000,000 y $2,000,000 respectivamente; y de $6,000,000 y $3,000,000 en los últimos 5 años. Si la TREMA de esta compañía es de 25% anual, su tasa de impuestos de 40%, y las inversiones en activo fijo se



deprecian en un periodo de 10 años, ¿debería esta compañía emprender este nuevo proyecto de inversión?(considere que los valores de rescate en el año 10, de las inversiones hechas en el año 5, son 20% del activo fijo y 100% del activo circulante). Solución Activo Fijo Inv. Inicial = $5,000,000 TREMA = 25% Activo Circulante = $2,500,000 T. Impuestos = 40% Vida fiscal = 10 años V. R. = 12% AF+100% AC V. R. = $3,100,000 En el año 6: Inv. Adicional AF5 = $2,000,000 AC5 = $1,000,000 (1---5) Ingresos = $4,000,000 AF0 Dep. Anual = $500,000 (1---5) Costos = $2,000,000 AF5 Dep. Anual = $200,000 (5---10) Ingresos = $6,000,000 V. R.5 = 20%AF +100%AC (5---10) Costos = $3,000,000 V. R.5 = $1,400,000 Son millones de pesos.


Impuestos FEDI

0 -7.5 0 0 0 -7.5 1 – 5 2 0.5 1.5 0.6 1.4

5 -3 0 0 0 -3 6 - 10 3 0.5+0.2 2.3 0.92 2.08

Año FEAI Depreciación Ingreso

Gravable Impuestos FEDI

AF 0.6 0 0.6-[5-(0.5*10)]

0.24 0.36

AC 2.5 0 0 0 2.5 AF 0.4 0 0.4-[2-(0.2*5)] -0.24 0.64 AC 1 0 0 0 1

10%,25,4.5 + 5%,25,5%,25,08.25%,25,35%,25,4.15.7

+

−

+−=F

P

F

P

A

P

F

P

A

PVPN

VPN= -2.4 millones de pesos.



4.4 La alta administración de una compañía ha decidido introducir al mercado un nuevo producto a un precio de $200 por unidad. De acuerdo a investigaciones preliminares del mercado, la compañía estima que la demanda anual para este nuevo producto seria de 50000 unidades. Por otra parte, la compañía se encuentra analizando dos tipos de equipo que podrían ser utilizados en la producción de este nuevo producto. Con el primer tipo, solamente se pueden producir 10,000 unidades por año. Por consiguiente, si este tipo de equipo es adquirido, seria necesario comprar cinco equipos idénticos para poder garantizar satisfacer la demanda anticipada. El costo de cada uno de estos equipos es de $2,000,000, su vida útil se estima en 5 años, su valor de rescate al término de 5 años es despreciable y su periodo de depreciación es de 5 años. Los costos de operación de cada uno de estos equipos son como sigue: Capacidad de producción/año 10,000 unidades Razón de producción/hora 5 unidades Costos por unidad de producto: Materiales directos $40 Accesorios 10 Costos por hora de operación: Mano de obra $20 Mantenimiento 10 Energía 10 Costos fijos por año 50,000 Con el segundo tipo de equipo es posible producir 50,000 unidades de producto al año. El costo de este equipo es de $12,000,000, su vida útil se estima en 5 años, su valor de rescate al término de estos 5 años es de $1,500,000, y su periodo de depreciación es de 5 años. Los costos de operación para este equipo son como sigue: Capacidad de producción/año 50,000 unidades Razón de producción/hora 25 unidades Costos por unidad de producto: Materiales directos $40 Accesorios 10 Costos por hora de operación: Mano de obra $20 Mantenimiento 5 Energía 15 Costos fijos por año 20,000 Además, la alta administración estima que si el nuevo producto se lanza al mercado, una inversión adicional en activo circulante de $3,000,000 es requerida, la cual seria totalmente recuperada al final del año 5. Si la TREMA de esta compañía es de 30% anual, su tasa de impuestos de 50% ¿debería la compañía producir este nuevo producto? Solución: Para el equipo I. (Se necesita comprar cinco) Inversión inicial = (5)(2,000,000) = 10,000,000 + 3,000,000 = 13,000,000 Vida útil = 5 años Vida fiscal = 5 años V. R. = 0 Costos totales = costos fijos + costos variables Costos fijos = (5)(50,000) + (40)(2,000)(5 equipos) = $650,000 Costos variables = (50)(50,000) = $2,500,000



Costos totales = $650,000 + $2,500,000 = $3,150,000 Dep. Anual = (5)(2,000,000)/5 = $2,000,000/año Inversión adicional de Activo Circulante = $3,000,000 (En el 1er año) FEAI = ingresos por ventas – costos totales FEAI = ($200)(50,000) – (3,150,000) FEAI = $6,850,000 Para el equipo II. Inversión inicial = $12,000,000 Vida útil = 5 años Vida fiscal = 5 años V. R. = $1,500,000 Costos totales = costos fijos + costos variables Costos fijos = 20,000 + (40)(2,000) = $100,000 Costos variables = (50)(50,000) = $2,500,000 Costos totales = $100,000 + $2,500,000 = $2,600,000 Dep. Anual = 12,000,000/5 = $2,400,000/año Inversión adicional de Activo Circulante = $3,000,000 (En el 1er año) FEAI = ingresos por ventas – costos totales FEAI = ($200)(50,000) – (2,600,000) FEAI = $7,400,000 Equipo I:

Ingresos netos = Ingresos – Egresos = ($200/año)(50,000/año) – 3,150,000

= 6,850,000 Son millones de pesos


Impuestos FEDI

0 -13’ 0 0 0 -13 1 – 5 6.85’ 2 4.85 2.425 4.425

5 3’ (AC) 0 0 0 3

+

+−= 5%,30,35%,30,425.413F

P

A

PVPNI

VPNI = -1.41457 Millones de pesos VPNI = -1,414,570 de pesos Equipo II: Ingresos netos = (200)(50,000) – 2,600,000 = 7,400,000 de pesos Son millones de pesos

Año FEAI Deprec. Ingreso Gravable

Imptos. FEDI

0 -15 0 0 0 -15 1 – 5 7.4 2.4 5 2.5 4.9

AC 5 3 0 0 0 3 AF 5 1.5 0 1.5 0.75 0.75



055.25%,30,75.35%,30,9.415 −=

+

+−=F

P

A

PVPNII

VPNII = -2,055,685 de pesos Con ningún equipo conviene producir este nuevo producto. 4.5 La corporación X desea invertir en un nuevo negocio cuya inversión inicial requerida es de $200 millones (150 millones de activo fijo y 50 millones de activo circulante). Esta corporación estima que los flujos de efectivo que se esperan de este proyecto antes de depreciación e impuestos son $100 millones para el primer año y se espera que estos flujos crezcan en lo sucesivo a una razón del 20% anual. Puesto que los ingresos crecen a una razón anual del 20%, la corporación ha estimado que sus necesidades adicionales de activo circulante también crecerán en lo sucesivo a una razón del 20% anual. Además se sabe que el periodo de depreciación de los activos fijos es de 10 años, y el valor de rescate al término de este periodo se estima en un 10% de activo fijo y un 100% del activo circulante acumulado. Si la tasa de impuestos es de 50% y la TREMA que se utiliza para evaluar varios proyectos es de 25% anual, ¿debería la corporación X aceptar este nuevo proyecto de inversión? P= 200 millones (150 m AF y 50 m AC) FEAI y D = 100(1er año) + 20% Ac adicional = 20% anual Vida fiscal activo Fijo = 10 años V. Rescate Activo Fijo = 10% V. Rescate Activo Circulante = 100% + AC acumulado T. impuestos = 50% TREMA = 25%

Año AC adicional

FEAI Depreciación Ingreso Gravable

Impuestos FEDI

0 0 -200 0 0 0 -200 1 -10 100 15 85 42.5 47.5 2 -12 120 15 105 52.5 55.5 3 -14.4 144 15 129 64.5 65.1 4 -17.28 172.8 15 157.8 78.9 76.62 5 -20.73 207.3 15 192.3 96.15 90.42 6 -24.87 248.7 15 233.7 116.85 106.98 7 -29.84 298.4 15 283.8 141.9 126.66 8 -35.8 358 15 343 171.5 151.2 9 -42.96 429.6 15 414.6 207.3 179.34 10 -51.55 515.5 15 500.32 250.25 213.7

VR 10 0 15 0 15 7.5 7.5 AC 10 0 309.47 0 0 0 309.47



10%,25,530.67

+ 9%,25,34.1798%,25,2.1517%,25,66.1266%,25,106.985%,25,90.42

4%,25,76.62 + 3%,25,1.652%,25,5.551%,25,5.47200

+

+

+

+

+

+

+−=

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

PVPN

VPN = 128.93 millones de pesos, por lo que sí conviene invertir en este proyecto. 4.6 La compañía Z produce 40000 unidades/año de un cierto producto el costo de producción de estas unidades se desglosa como sigue:

Materiales directos $40 Mano de obra directa 7 gastos de fabricación variables 3 Costo unitario variable 50

Actualmente esta compañía tiene la posibilidad de comprar este producto a un precio unitario de $55. Si la compañía decide comprar a un proveedor este producto, el equipo actual que se utiliza para producirlo puede ser vendido en $350,000 (considere que este valor coincide con el valor en libros) además, la compañía estima que la vida remanente para el activo es de 5 años, su valor de rescate al termino de este tiempo es despreciable, y su depreciación anual es de $70,000. Si la tasa de impuestos es de 50% y la TREMA es de 30% ¿debería la compañía Z continuar produciendo dicho producto? Costo unitario variable = $50/ unidad Requiere de 40,000 unidades Si compra el producto: Inversión anual = (40,000)($55/unidad) = $2,200,000 V. Ractual = $350,000 Si lo sigue produciendo: Vida fiscal = 5 años V. R = $0 Depreciación anual = $70,000 Costos anuales = $2,200,000



*Si se produce el producto


Impuestos FEDI

0 -350,000 0 0 0 -350,000 1 -2,000,000 70,000 -2,070,000 -1,035,000 -965,000 2 -2,000,000 70,000 -2,070,000 -1,035,000 -965,000 3 -2,000,000 70,000 -2,070,000 -1,035,000 -965,000 4 -2,000,000 70,000 -2,070,000 -1,035,000 -965,000 5 -2,000,000 70,000 -2,070,000 -1,035,000 -965,000

V.R. 0 0 0 0 0

−

−

−

−−=

5%,30,965,0004%,30,965,000

3%,30,965,000 - 2%,30,000,9651%,30,000,965000,350

F

P

F

P

F

P

F

P

F

PVPN

VPN = -$2,700,257.5 *Si se compra el producto


Impuestos FEDI

0 350,000 0 0 0 350,000 1 -2,200,000 0 -2,200,000 1,100,000 -1,100,000 2 -2,200,000 0 -2,200,000 1,100,000 -1,100,000 3 -2,200,000 0 -2,200,000 1,100,000 -1,100,000 4 -2,200,000 0 -2,200,000 1,100,000 -1,100,000 5 -2,200,000 0 -2,200,000 1,100,000 -1,100,000

1,100,000 ,30%,1 1,100,000 ,30%,2 1,100,000 ,30%,3 -1,100,000 ,30%,4

1,100,000 ,30%,5 350000

P P P PVPN

F F F F

P

F

= − − − −

+

VPN = - $2,329,160.00 Conviene más comprar el producto, pues provoca menos desembolso.



4.7 La Compañía Cintas Adhesivas del Norte S. A. desea adquirir una máquina cortadora para destinarla al nuevo producto que se va a lanzar al mercado. Para este propósito ha iniciado las investigaciones respectivas y ha encontrado que las alternativas disponibles son: 1) Adquirir la máquina cortadora en usa a un costo de $ 1,000,000. Este tipo de maquina puede cortar a una razón de 1,000 m2/hora y requiere para su manejo a una persona cuyo salario por hora es de $50. 2) Adquirir dos máquinas cortadoras en Alemania a un costo de $350,000 cada una. Este tipo de máquina tiene una razón de corte de 500m2/hora y demanda para su manejo una persona cuyo salario es de $30/hora. Ambos tipos de máquina tienen una vida estimada de 10 años al final de los cuales el valor de rescate se considera despreciable. Otra información relevante sobre las alternativas se muestra a continuación: Cortadora USA Cortadora Alemania Seguros / año $80,000 $50,000 Mantenimiento fijo 10,000 7,000 Mantenimiento var./hora 3 4 Costo de la energía/hora 8 5

A) Si la producción anual esperada del nuevo producto en los próximos 10 años es de 5,000,000 m2 y la TREMA es de 25% anual ¿cuál alternativa es la que tiene el menor costo anual equivalente? B) A que razón de producción anual seria indiferente seleccionar cualquiera de las dos alternativas disponibles? Suponiendo que el período de depreciación es de 10 años y la tasa de impuestos es de 50% (utilice el método del valor anual)

Máquina USA Inv. inicial=$1,000,000 Costos fijos=$90,000

Costos V.=$55,000 + $250,000 Costos totales= $395,000

Máquina Alemania Inv. inicial=$700,000 Costos fijos= $(57,000)(2)

a) Una máquina USA:

000,395000,1

1)/000,000,5)(/61($/000,90$

/000,10010 000,000,1

22 =

+=

==

mhrañomhrañoGastos

añoañosónDepreciaci


Grav. Impuestos FEDI

0 -1000,000 0 0 0 -1000,000 1-10 -395,000 100,000 -495,000 -247,500 -147,500

147,500-10%,25,000,000,1

−=P

AVAEUSA

VAEUSA= -427,600



Dos Máquinas Alemanas:

000,504000,1

1)/000,000,5)(/39)(2()000,57)(2(

/000,700

22 =

+=

=

mhrañomhrGastos

añoónDepreciaci


Grav. Impuestos FEDI

0 -2(350000) 0 0 0 -700,000 1-10 -504,000 -70,000 -574,000 287,000 -217,000

VAE2ALEM= - 413,070 Convienen más las dos máquinas alemanas, debido a que provocan menos gastos.

b)

( )( )ppC

pañoPm

mhrhrañoC

alem

USA

078.0000,114000,1)39)(2()000,57)(2(

061.0000,901000

1)61( 000,90

2

2

2

−−=

+−=

−−=−−=

1 máquina USA

Año FEAI Deprec. Ingreso Grav Impuestos FEDI 0 -1000,000 0 0 0 -1000,000

1-10 -90,000-0.061p

-100,000 (-190,000-0.061p) (95,000+0.0305p) (5000-0.0305p)

2 máquinas Alemania:

Año FEAI Deprec. Ingreso Grav.

Impuestos FEDI

0 -700,000 0 0 0 -700,000 1-10 -114,000-

0.078p -70,000 (-184,000-

0.078p) (92,000+0.034

p) (-22,000 -0.034p)

P=? para que sea indistinta la decisión económica. VAEUSA= VAE2 ALEM

pP

Ap

P

A034.0000,2210%,25,-700,0000305.0000,510%,25,000,000,1 −−

=−+

−

P= 6,709,411.8 m2/año



4.8 Una compañía hotelera esta considerando la posibilidad de construir un nuevo hotel en la Isla del Padre. El costo inicial de este hotel de 200 cuartos se estima en $100,000,000 y la amueblada, la cual es conveniente realizar cada cinco años, se estima en $10,000,000. Los costos anuales de operación se estiman que serian del orden de $20,000,000 y la cuota diaria que se piensa cobrar es de $2,000. Por otra parte, esta compañía utiliza un horizonte de planeación de 10 años para evaluar sus proyectos de inversión. Por consiguiente, la compañía estima que el valor de rescate del hotel después de 10 años de uso es de $10,000,000 y el valor de rescate de los muebles después de 5 años de uso es prácticamente nulo. Estimando una razón de ocupación diaria de 90%, una TREMA de 20%, y 365 de operación al año ¿debería de ser construido el hotel? Si tiene una tasa de impuestos de 50%. Si los edificios del hotel se deprecian en un período de 20 años y los muebles y equipos de oficina se deprecian en período de 10 años. (Utilice el método de la TIR) TREMA = 20% T. Impuestos = 50% Ocupación diaria = 90% Ingresos = (2,000)(200)(365)(0.9) Ingresos = $131,400,000 Gastos Anuales = $20,000,000 Año FEAI Depreciación I. Gravable Impuestos FEDI

0 -110,000,000 0 0 0 -110,000,000 1 111,400,000 10,000,000 101,400,000 50,700,000 60,700,000 2 111,400,000 10,000,000 101,400,000 50,700,000 60,700,000 3 111,400,000 10,000,000 101,400,000 50,700,000 60,700,000 4 111,400,000 10,000,000 101,400,000 50,700,000 60,700,000 5 101,400,000 10,000,000 91,400,000 45,700,000 55,700,000 6 101,400,000 10,000,000 101,400,000 50,700,000 60,700,000 7 111,400,000 10,000,000 101,400,000 50,700,000 60,700,000 8 111,400,000 10,000,000 101,400,000 50,700,000 60,700,000 9 111,400,000 10,000,000 101,400,000 50,700,000 60,700,000 10 111,400,000 10,000,000 101,400,000 50,700,000 60,700,000

V.R. 10,000,000 0 10,000,000 5,000,000 5,000,000 *En miles de pesos.

010,20,5010,20,6079,20,6078,20,6077,20,6076,20,607

5,20,5574,20,6073,20,6072,20,6071,20,607100,1

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+−=

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

F

PVPN

Para el valor de la TIR=0.20 el VPN=1432.76 Para el valor de la TIR=0.5290 el VPN = 25.17 Por lo tanto si se interpola a VPN=0 obtenemos: TIR = 0.53 y TIR=52.9% anual, como es mucho mayor que TREMA, por lo que sí conviene.



4.9 Un motor utilizado en un sistema de irrigación puede ser reemplazado por dos diferentes motores de 20 hp. El motor X cuesta $30,000 y opera a una eficiencia de 90%. El motor Y cuesta $20,000 y opera a una eficiencia de 80% el costo de la electricidad es de $5 kilowatt-hora, y la demanda anual para este tipo de motores es de 4000 horas. Además, en este tipo de estudios se utiliza generalmente un horizonte de planeación de 5 años. Si los valores de rescate de estos motores al término del horizonte de planeación son despreciables y si la TREMA que se recomienda usar es de 20% anual ¿Cuál motor debe ser seleccionado? (nota: un hp = 0.746 kilowatt). Si se tiene una tasa de impuestos de 40% y un período de depreciación para las bombas de 5 años (utilice el método de la TIR) MOTOR X

( )( ) añoañohrs

kWhrhpkWhpGastos


/56.555,331$000,45$746.09.020

/000,6$5/000,30

=

=

==

MOTOR Y

( )( ) añoañohrs

kWhrhpkWhpGastos


/00.000,373$000,45$746.08.020

/000,4$5/000,20

=

=

==

MOTOR X – MOTOR Y

Año FEAI Depreciación Ingreso Grav.

Impuestos FEDI

0 -10000 0 0 0 -10000 1- 5 41,444.44 2,000 39,444.44 25,777.76 25,666.66

066.666,251)1(

)1(000,10

66.666,255*,,000,10

5

5

=+

−+

+−=

−

=−

iii

iP

AVAE YX

VAE i %

-15,344 100%

-5,584 200%

4362 300%

i = 256.22% anual, por lo que sí conviene comprar el motor X en lugar del motor Y.

4.10 Resolver el siguiente problema suponiendo que el período de depreciación de las máquinas es de 10 años y la tasa de impuestos es de 50% (utilice el método del valor anual). Cierta compañía desea adquirir una máquina cortadora que necesita para elaborar el nuevo producto que pretende lanzar al mercado. Para ello tiene dos alternativas de compra:



A) Una máquina hecha en USA a un costo de $1,000,000. Su producción es de 1000m2/hora y requiere para su manejo a un operador cuyo salario es de $50/hora. B) Dos máquinas hechas en Alemania, cada una con una razón de corte de 500 m2/hora y cuyo costo es de $350,000. Cada máquina requiere de un operador con un salario de $30/hora. Ambos tipos de máquina tienen una vida estimada de 10 años, al final de los cuales su valor es despreciable. Sus gastos estimados son los siguientes:

Concepto Máquina USA Máquina Alemania Póliza de seguro/año $80,000 $50,000 Mantenimiento fijo/año $10,000 $7,000 Mantenimiento variable/hora $3 $4 Energía eléctrica/hora $8 $5

Si la producción anual esperada del nuevo producto en los próximos 10 años es de 5,000,000 m2 y la TREMA de esta compañía es del 25% anual, ¿cuál alternativa le conviene más? Solución: A) 1 máquina B) 2 máquinas p = $1,000,000 p = $350,000 c/u

producción = 1000m2/hora producción = 500 m2/hora c/u

salario = $50/hora salario = $30/hora c/u n = 10 años VR=0 Producción anual = 5 000,000 m2

i= 25% ¿Cuál alternativa conviene más? Para máquina USA: Si 1000 m2 --------1 hora 5 000 000 m2--------- X X=5 000horas/año

Mantenimiento variable = ( ) añohoraañohoras /000,15$3$000,5 =

Energía eléctrica = ( ) añohoraañohoras /000,40$8$000,5 =

GOM = póliza de seguro + mantenimiento fijo + mantenimiento variable + energía eléctrica + salario GOM = $80,000 + $10,000 + $15,000 + $40,000 + 5 000horas/año($50/hora) GOM = $395,000/año



Diagrama FEAI USA:

[ ][ ]

5.347,410,2$

)5705.3(395000$1000000$

10%,25,395000$1000000$

%,,

−=−−=

−−=

−−=

USA

USA

USA

USA

VPN

VPNA

PVPN

niAPAPVPN

Para máquina Alemania: Si 500m2 --------1 Hora 2 500 000m2--------- X X = 5 000 Horas/año Mantenimiento variable = 5 000horas/año($4/hora) = $20 000/año(2 máquinas) = $40 000/año Energía eléctrica = 5 000horas/año($5/hora) = $25 000/año(2 máquinas) = $50 000/año GOM = póliza de seguro + mantenimiento fijo + mantenimiento variable + energía eléctrica + salario GOM = $50,000(2) + $7,000(2) + $40,000 + $50,000 + 5 000horas/año($30/hora)(2) GOM = $504,000/año Diagrama FEAI Alemania:



[ ][ ]

532,499,2$

)5705.3(504000$700000$

10%,25,504000$700000$

%,,

−=−−=

−−=

−−=

USA

USA

Alemania

Alemania

VPN

VPNA

PVPN

niAPAPVPN

Máquina USA:

añoaños

ónDepreciaci USA /000,100$10

000,000,1$ ==

Año FEAI Depreciación Ing. gravable Impuesto FEDI 0 -1,000,000 0 0 0 -1,000,000

1-10 -395,000 100,000 -495,000 -247,500 -1,475,000 Diagrama FEDI USA:

[ ][ ]

147500)28.0(1000000

14750010%,25,1000000

%,,

−−=

−−=

−−=

VAEP

AVAE

AniPAPVAE

VAE = - $427,500 Máquina Alemania:

añoaños

ónDepreciaci Alemania /000,70$10

000,700$ ==

Año FEAI Depreciación Ing. gravable Impuesto FEDI

0 -700,000 0 0 0 -700,000 1-10 -504,000 70,000 -574,000 -287,000 -217,000



Diagrama FEDI Alemania:

[ ][ ]

217000)28.0(700000

21700010%,25,700000

%,,

−−=

−−=

−−=

VAEP

AVAE

AniPAPVAE

VAE = - $413,000 Conviene comprar las dos máquinas de Alemania por resultar un menor desembolso. 4.11 Se desea escoger entre 3 alternativas posibles de equipo, los cuales cuentan con la siguiente información:

Equipo Actual Equipo Nuevo Equipo Rentado VR0 = $500,000 P = $2,000,000 Renta anticipada=$250,000/año

n = 10 años n = 10 años cualquier n VR10 = $25,000 VR10 = $200,000 No aplica

GOM = $400,000/año GOM = $200,000/año GOM = $100,000/año Bonificación

Equipo.Actual=$250,000

TREMA = 20% anual Suponga que: 1) El equipo actual se deprecia en 10 años 2) El equipo actual se compró hace 2 años en $300,000 3) La renta es 100% deducible 4) El equipo nuevo se depreciará en 10 años 5) La tasa de impuestos es de 50% *Factor de ajuste = 1 ¿Cuál alternativa de equipo conviene más?



Solución: EQUIPO ACTUAL:

( )

000,240$

2000,30$

000,300$

/000,30$10

000,300$

1

=

−=

−=

==

∑=

VL

añosaño

VL

DiCVL

añoaños

ónDepreciaci

n

i

EQUIPO NUEVO:

añoaños

ónDepreciaci /000,200$10

000,000,2$ ==

Diagramas FEAI: EQUIPO ACTUAL:

EQUIPO NUEVO:



EQUIPO RENTADO:

Equipo Actual:

Año FEAI Depreciación Ing. Gravable Impuesto FEDI 0 -240,000 0 0 0 -240,000

1-8 -400,000 30,000 -430,000 -215,000 -185,000 9-10 -400,000 0 -400,000 -200,000 -200,000 10 25,000 0 GEC=25,000 12,500 12,500

000,25

)1)(0(000,25

))((

=−=

−=

GEC

GEC

fVLVRGEC

Equipo Nuevo:

Año FEAI Depreciación Ing. Gravable Impuesto FEDI 0 -2,000,000 0 0 0 -2,000,000 0 250,000 0 GEC(1)=

10,000 5,000 245,000

1-10 -200,000 200,000 -400,000 -200,000 0 10 200,000 0 GEC(2)=

200,000 100,000 100,000

( )( )

25,000 240,000

10,000

(1) ( )( )

200,000 (0)(1)

200,000

GEC VR VL f

GEC

GEC

GEC VR VL f

GEC

GEC

= −= −=

== −=



Equipo Rentado:

Año FEAI Depreciación Ing. Gravable Impuesto FEDI 0 500,000 0 GEC(1)=

260,000 130,000 370,000

0 -250,000 0 0 -250,000 0 1-9 -250,000 0 0 -250,000 0 1-9 -100,000 0 -100,000 -50,000 -50,000 10 -100,000 0 -100,000 -50,000 -50,000

Diagramas FEDI: EQUIPO ACTUAL:

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]

[ ])0385.0(500,12)2.2(000,200)2385.0)(8372.3(000,185)2385.0(000,240

10%,20,500,122%,20,000,200

10%,20,8%,20,000,18510%,20,000,240

+−+−−=

+−+

+−−=

actual

actual

VAE

añosFAañosA

F

añosPAañosA

PañosPAVAE

VAEactual = - $243,005.61 EQUIPO NUEVO:



[ ] [ ])0385.0(000,100)2385.0(000,755,1

10%,20,000,10010%,20,000,755,1

+−=

+−=

nuevo

nuevo

VAE

añosFAañosP

AVAE

VAEnuevo = - $414,717.5 EQUIPO RENTADO:

[ ]000,50)2385.0(000,370

000,5010%,20,000,370

−=

−=

nuevo

rentado

VAE

añosPAVAE

VAErentado = $38,245 La mejor alternativa resultar ser rentar el equipo debido a que se tendrá un menor desembolso. 4.13 Considere que cierta compañía compró hace cinco años una propiedad a un costo de $5,000,000, de los cuales $1,000,000 correspondían al terreno y $4,000,000 a edificios y construcciones. Así mismo suponga que esta compañía vende la propiedad ahora en una cantidad de $30, 000,000. Si la tasa de impuestos de esta compañía es del 50%. ¿Cuáles serían los impuestos que se tendrían que pagar por la ganancia del capital que resulta por la venta de la propiedad? (Estime que los edificios y las construcciones se deprecian en un periodo de 20 años). Solución: VR=30, 000,000 El costo esta distribuido de la siguiente manera.

1,000,0005,000,000

4,000,000

TerrenoC

Edificios

→= →



La depreciación esta dada por:

( ) ( )

$4,000,000$200,000 /

20( )*

30,000,000 30,000,000 $200,000 / * 5

$1,320,000

anualDep año

GEC VR VL f

GEC año

GEC

= =

= −

= − −

=

Calculamos el impuesto:

( ) ( )I $1,320,000 * 0.5

I $660,000

==

4.14 Una compañía esta considerando la posibilidad de reemplazar su equipo actual de manejo de materiales, por uno que puede ser comprado o arrendado. Con el sistema actual se tienen gastos de operación y mantenimiento anuales de $400,000, una vida remanente estimada de 10 años y un valor de rescate al término de esta vida de $25,000. El valor de rescate actual es de $500,000. El nuevo sistema cuyo costo inicial es de $2, 000,000, tiene una vida de 10 años, el valor de rescate de $200,000 y gastos anuales de operación y mantenimiento de $200,000. Si el sistema es comprado el sistema actual puede ser vendido en $250,000. Si el nuevo sistema es arrendado, la renta que se pagaría sería de $250,000 al principio de cada año. Además se incurrirían en gastos de operación y mantenimiento de $100,000/año. Considerando:

1) El equipo actual se deprecia en un periodo de 10 años 2) El quipo actual se compro hace 2 años a un costo de $300,000 3) La renta en caso de que el sistema sea arrendado es totalmente deducible 4) El equipo nuevo se deprecia en un periodo de 10 años 5) La tasa de impuestos es del 50% y TREMA 20% anual.

Solución:

a) Análisis para el equipo actual

( )

$300,000/ $30,000 /

10_ /

/ *2

$300,000 $30,000 / *2

$240,000

Depr año año

VL C Depr acom año

VL C Depr año años

VL año años

VL

= =

= −= −= −=



Nota: Todas las cantidades siguientes son miles de pesos


Impuestos FEDI

0 -240 0 0 0 -240 1-8 -400 -30 -430 215 -185 9-10 25 0 25 -12.5 12.5

Evaluación considerando depreciación e impuestos.

T

T

F=P' [F/P, 20%,1]

F= -200,000(1.2)

F= -$240,000

F =12,500-200,000-240,000

F = -$457500

( ) ( ) ( )( )

240,000 / ,20%,10 185,000 / ,20%,8 / ,20%,10

427,500 / ,20%,10

$243,005.6

ACTUAL

ACTUAL

A P P A A PVAE

A F

VAE

− − =

−

= −

b) Análisis para el equipo nuevo

$2,000,000/ $200,000 /

10*

250,000 (240,000)*1

$10,000

Depr año año

GEC VR VL f

GEC

GEC

= =

= −= −=





0 -2,000 0 0 0 -2,000 0 250 0 10 -5 245

1-10 -200 -200 -400 200 0 10 200 0 200 -100 100


( ) ( )1,755,000 / ,20%,10 100,000 / ,20%,10

$413,525.0COMPRAR

COMPRAR

VAE A P A F

VAE

= − += −

c) Análisis para el equipo a rentar.

$2,000,000/ $200,000 /

10*

500,000 (240,000)*1

$260,000

Depr año año

GEC VR VL f

GEC

GEC

= =

= −= −=



0 500 0 260 -130 370 0 -250 0 -250 125 -125

1-9 -350 0 -350 175 -175 10 -100 0 -100 50 -50




( ) ( ) ( )( )

245,000 / ,20%,10 175,000 / ,20%,9 * / ,20%,10

50,000 / ,20%,10

$111,736.36

RENTAR

COMPRAR

A P P A A PVAE

A F

VAE

− =

−

= −

Conclusión: la opción más viable es la de rentar el equipo. 4.15 Equipos utilizados en determinada operación son evaluados periódicamente. El método de análisis compara el valor actual del activo con el valor presente de los flujos de efectivo que el equipo generará en el futuro. En base a este análisis se puede continuar con el equipo, venderlo o remplazarlo por una unidad más eficiente. Si se utiliza una TREMA de 25% anual y una tasa de impuestos de 50%, ¿Con cuál de los siguientes equipos se recomienda seguir operando? (Suponga que los equipos se compraron hace tres años y que de acuerdo a la ley del impuesto sobre la renta se deben depreciar en un periodo de 10 años).

Concepto Máquina I Máquina II

Costo original $ 200,000.00 $ 500,000.00

Dep. Acumulada $60,000.00 $150,000.00

Valor en libros(actual) $ 140,000.00 $ 350,000.00

Valor en libros Real.

(actual)

$ 190,000.00 $ 250,000.00

Vida remanente 7 años 7 años

Valor de rescate

Ingresos

$ 20,000.00

30,000*(1.08e(k-1))

$ 60,000.00

60,000*(1.1e(k-1))

(Asuma que k = 0 para el año 3)



Para la maquina I


Impuestos FEDI

0 -140 0 0 0 -140 1 30 -20 10 -5 25 2 32.4 -20 12.4 -6.2 26.2 3 34.99 -20 14.99 -7.495 27.49 4 37.79 -20 17.79 -8.895 28.89 5 40.81 -20 20.81 -10.405 30.405 6 44.07 -20 24.07 -12.035 32.035 7 47.6 -20 27.6 -13.8 33.8 7 20 0 20 -10 10

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

140 25 / ,25%,1 26.2* / ,25%,2 27.49 / ,25%,3

28.89 / ,25%,4 30.40 / ,25%,5 ..... 10 / ,25%,7

$49778.8

I

I

P F P F P FVPN

P F P F P F

VPN

− + + + =

+ + + +

= −

Para la máquina II:


Impuestos FEDI

0 -350 0 0 0 -350 1 60 -50 10 -5 55 2 66 -50 16 -8 58 3 72.6 -50 22.6 -11.3 61.3 4 79.86 -50 29.86 -14.93 64.93 5 87.84 -50 37.84 -18.92 68.92 6 96.63 -50 46.63 -23.315 73.315 7 106.293 -50 56.293 -28.146 78.147 7 60 0 60 -30 30

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

350 55 / ,25%,1 58 / ,25%,2 61.3 / ,25%,3

64.93 / ,25%,4 68.92 / ,25%,5 ..... 30 / ,25%,7

$146,419.7

I

I

P F P F P FVPN

P F P F P F

VPN

− + + + =

+ + + +

= −

Conclusión: la mejor opción es el de seguir operando la primera máquina.



4.16 Una compañía hotelera esta considerando la posibilidad de construir un nuevo hotel en la Isla de Padre. El costo inicial de este hotel es de 200 cuartos y se estima en $100, 000,000 y la amueblada la cual es conveniente realizar cada 5 años se estima en $10, 000,000. Los costos anuales de operación se estiman de $20, 000,000 y la cuota diaria que se piensa cobrar es de $800. Por otra parte esta compañía utiliza un horizonte de planeación de 10 años para evaluar sus proyectos de inversión. La compañía estima que el valor de rescate del hotel después de 10 años sería de $10,000,000. Y el valor de rescate de los muebles después de 5 años de uso es nulo. Estimando una razón de ocupación diaria de 50%, una TREMA de 20% y 365 días de operación al año ¿debería el hotel ser construido? Suponga ahora que:

a) La cuota diaria es de $2,000 b) La razón de ocupación diaria es de 90% c) La tasa de impuestos es del 50% d) Los edificios del hotel se deprecian en un periodo de 20 años. e) Los muebles se deprecian en un periodo de 10 años

Nota: Utilice el método que más le convenga. Consideraciones:

• Los muebles no se venderán después de cada 5 años. • Se supondrá que el factor de ajuste es de 1. • Se considerara el valor de rescate.

Se supone que se llenan 0.9*200 cuartos diarios solamente. Entonces diario entran de ingresos lo siguiente. Ingreso diario= $180*2000=$360,000 Ingreso anual=$131, 400,000 Sacando la depreciación por años para cado activo.

100,000,000$5,000,000 /

2010,000,000

$1,000,000 /10

EDEF

MUEB

Dep año

Dep año

= =

= =

El valor en libros para el edificio del hotel al transcurso de los 10 años.

( )_10

_10

_10

* .

100,000,000 $5,000,000 / *(10 )

50,000,000

EDIF acom

EDIF

EDIF

VL C Dep No años

VL año años

VL

= −

= −

=

El valor en libros para los muebles del hotel al transcurso de los 10 años.



( )_10

_10

_10

* .

10,000,000 $1,000,000 / *(5 )

$5,000,000

MUEB acom

MUEB

MUEB

VL C Dep No años

VL año años

VL

= −

= −

=


Gravable Impuesto FEDI

0 0

-100 -10

0 0

0 0

0 0

-100 -10

1-4 -20 5 -25 -12.5 -7.5 1-4 5 5 5 5

131.4 -10 -20

131.4 -5

5 0 5 5 1

126.4 -10 -25

126.4 -6

63.2 -5

-12.5 63.2 -3

68.2 -5

-7.5 68.2 -2

6-9 6-9 10

-20 131.4 -20

5 5 5

-25 126.4 -25

-12.5 63.2 -12.5

-7.5 68.2 -7.5

10 131.4 5 126.4 63.2 68.2 10 -5 1 -6 -3 -2 10 50 0 50 25 25

Utilizando el método del valor anual equivalente:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

110 60.7* / ,20%,4 54 / ,20%,5

60.7* / ,20%,4 * / ,20%,5 83.7* / ,20%,10

110 60.7* 2.5887 54 0.4019

60.7* 2.5887 * 0.4019 83.7* 0.1615

$145.393

INVERSION

INVERSION

INVERSION

P A P FVPN

P A P F P F

VPN

VPN

− + + =

+ +

− + + =

+ +

=



Como todas las cantidades se estuvieron manejando en millones de pesos, entonces la cantidad anterior, representa lo siguiente.

$145,393,380.8INVERSIONVPN =

Conclusión: como las utilidades al día de hoy son de un valor considerablemente grande, entonces invertir en el proyecto es una buena opción.



CAPÍTULO V

ANÁLISIS DE REEMPLAZO



ANÁLISIS DE REEMPLAZO

Capítulo V

La formulación de un plan de reemplazamiento (sustitución de algún bien) juega un papel muy importante en la determinación de la tecnología básica y el progreso económico de una empresa. Un reemplazamiento apresurado, o indebido, origina en la empresa una disminución en su capital, y por lo tanto, una disminución en la disponibilidad de dinero para emprender proyectos de inversión más rentables. Por otro lado, un reemplazamiento retardado origina excesivos costos de operación y mantenimiento para la empresa. Por lo tanto, toda empresa debe de establecer una política eficiente de reemplazo para cada uno de los activos que utiliza. 5.1 CAUSAS QUE ORIGINAN UN ESTUDIO DE REEMPLAZO

Son cuatro las razones por las que se debe hacer un estudio de reemplazo de los activos de la empresa, lo que tienen en común es que ya no resulta costeable frente a otro activo competidor: * insuficiencia e ineptitud * mantenimiento excesivo * eficiencia decreciente * antigüedad Cualquiera de ellas indica la necesidad de un estudio de reemplazo, pero generalmente son dos o más causas las que indican la urgencia de dicho estudio. A continuación se describirá cada una de ellas. A) Reemplazo por insuficiencia e ineptitud. Un activo físico, cuya capacidad sea inadecuada por prestar los servicios que se esperan de él, es un buen candidato para la sustitución. Esto incluye a aquellos activos que, aunque se encuentran en buen estado, ya no satisfacen las necesidades por las cuales se compraron. B) Reemplazo por mantenimiento excesivo. En muy pocas ocasiones se dañan al mismo tiempo todas las partes de una máquina. Se ha demostrado que es más económico reparar muchos tipos de activos para mantener y extender su utilidad. Sin embargo, puede llegar el momento en que los desembolsos por concepto de reparaciones se hacen tan excesivos que vale la pena hacer un buen estudio para determinar si el servicio requerido se puede tener mediante otras alternativas más económicas.



C) Reemplazo por eficiencia deficiente. Generalmente, un equipo trabaja con máximo rendimiento en los primeros años de su vida, y esta eficiencia va disminuyendo con el uso y edad. Cuando los costos que origina la ineficiencia de operación de una máquina son excesivos, conviene investigar si existen otras máquinas en el mercado con las que se tenga el mismo servicio a menor costo. D) Reemplazo por antigüedad (obsolescencia). En el mercado siempre existirán activos con características tecnológicas más ventajosas que las de los activos actualmente utilizados. Con frecuencia el mejoramiento tecnológico es tan rápido que resulta económico reemplazar un activo en buenas condiciones de operación. E) Reemplazo por una combinación de factores. Generalmente es una combinación de factores lo que conduce a un estudio de reemplazo. El análisis y la decisión realizados sobre él, deberían estar basados en estimativos acerca del futuro, pues el pasado es irrelevante. 5.2 FACTORES A CONSIDERAR EN UN ESTUDIO DE REEMPLAZO En un análisis de reemplazo es necesario considerar una serie de factores sin los cuales la decisión que se tome no producirá los resultados deseados. A continuación se explican algunos de estos factores. 1. Horizonte de planeación. Es el lapso de tiempo futuro considerado en el análisis. A menudo, un horizonte de planeación infinito se usa cuando es difícil o imposible predecir la terminación de la actividad considerada. 2. La tecnología. Es muy importante considerar las características tecnológicas de los equipos que son candidatos para sustituir a los obsoletos. 3. Comportamiento de los ingresos y los gastos Es común suponer que el comportamiento de los ingresos y los gastos a lo largo del horizonte de planeación es constante, o bien, que tienen un comportamiento lineal. Sin embargo, cuando se detecta un patrón de comportamiento de los gastos o se vislumbra cómo la inflación va a afectar a los ingresos y a los gastos, se deben incluir tales consideraciones en el estudio de reemplazo. 4. Disponibilidad de capital. Si la empresa no cuenta con los fondos necesarios, no podrá llevar a cabo el reemplazo de un activo por muy justificado que se encuentre. 5. Inflación. En épocas inflacionarias (Capítulo VI), el acceso a pasivos a largo plazo es limitado, y, al disminuir la oferta de préstamos hipotecarios de largo plazo, las empresas tienen que crecer al ritmo de crecimiento de sus utilidades generadas.



5.3 TIPOS DE REEMPLAZO El estudio de reemplazo se puede hacer de dos maneras: • Mediante la determinación de la vida económica de un activo. Busca determinar por adelantado

el servicio de vida económica de un activo, optimizando el valor anual equivalente, o algún otro modelo matemático que determine por adelantado el período óptimo de reemplazo del activo.

• Mediante el análisis económico entre el activo actual (defensor) y el propuesto (retador). Analiza si conviene mantener al activo viejo o reemplazarlo por uno nuevo.

5.3.1 DETERMINACIÓN DE LA VIDA ECONÓMICA DEL ACTIVO EXISTENTE Para poder hacer esta determinación se deben considerar los siguientes costos,

a) inversión inicial b) costos inherentes del activo (operación y mantenimiento) c) costos relativos a modelos mejorados

Los costos inherentes, producidos por la operación y mantenimiento, son costos con tendencia ascendentes debido al mantenimiento excesivo y a la eficiencia decreciente que la edad del activo origina. Los costos relativos resultan al diferenciar los costos inherentes del activo de los costos de otro activo mejorado que nos dé el mismo servicio. Son los más difíciles de evaluar, pues no es fácil predecir con exactitud el grado de mejoramiento tecnológico que pudiera tener un activo en un futuro distante. Los costos relativos crecen con la edad del activo. 5.3.1.1 MODELO MATEMATICO

Se ha propuesto un modelo matemático para determinar la vida económica del activo, y es el siguiente:

)%,,/()1(

)(....

)1(

)1(

1

NipAi

tBFF

i

tCCtDPMín

N

jN

eNNNj

IjRjj

+−−

+++

−−−−− ∑

=

(5.1)

donde, P = Inversión inicial Dj = Depreciación del activo en el año j t = Tasa de impuestos CRj = Costo relativo del activo en el año j CI j = Costos inherentes del activo en el año j FN = Valor realizable del activo al final del año n BN = Valor en libros del activo al final del año n N = Período óptimo de tiempo a permanecer con el activo te = Tasa de impuestos que grava pérdidas o ganancias extraordinarias del capital.



Con la anterior ecuación se probarán diferentes valores de n hasta encontrar aquél que minimiza el costo total anual equivalente. Ejemplo Para ilustrar una aplicación del modelo anterior, suponga que una empresa desea adquirir cierto equipo para reemplazar al actual. El costo del equipo es de $50, 000 y los valores de rescate, valores en libros, costos inherentes y relativos, se muestran en la Tabla 5.1, la tasa de impuestos es del 50 % y TREMA de 20 % anual. Final del año valor en libros valor de rescate costos inherentes costos relativos

1 $ 40,000 $ 36,000 $ 5,000 $ 0 2 $ 30,000 $ 28,000 $ 6,000 $ 2,000 3 $ 20,000 $ 24,000 $ 7,000 $ 2,500 4 $ 10,000 $ 16,000 $ 9,000 $ 4,000 5 0 $ 2,000 $ 11,000 $ 6,000

Tabla 5.1

En la tabla 5.2, se presenta el costo anual equivalente para diferentes períodos de permanencia con el activo. Ahí se puede apreciar que el costo anual equivalente es mínimo para un período de 4 años, siendo éste el período óptimo de reemplazo, N*

Año

Costos totales

después de impuestos

Valores de rescate

después de impuestos

Valor presente si permanece N años con el

activo

Factor de anualidad

equivalente

Costo anual equivalente

0 -$ 50,000 0 1 $ 2,500 $ 38,000 - 16,250 1.2000 -19,500 2 $ 0 $ 29,000 - 27,779 0.6545 -18,184 3 -$ 1,000 $ 22,000 - 35,764 0.4747 -16,977 4 -$ 3,500 $ 13,000 - 43,913 0.3863 -16,063 5 $ 6,500 $ 1,000 - 52,393 0.3344 -17,520

Tabla 5.2

5.3.2 ANÁLISIS ECONÓMICO ENTRE EL ACTIVO ACTUAL Y EL ACTIVO PROPUESTO.

En algunas ocasiones se desea determinar el tiempo adicional que se debe permanecer con un activo actualmente en uso. Para lograr esto, el principal problema es determinar el horizonte de planeación. Además, un activo puede tener una o más de las siguientes vidas: * Vida física, mientras funciona o existe. * Vida económica (o vida útil), mientras reporta ganancias (utilidades) * Vida fiscal, mientras tiene valor en libros contables



A continuación se describen algunas reglas que pueden usarse para determinar el horizonte de planeación. 5.3.2.1 LA VIDA REMANENTE DEL DEFENSOR ES MAYOR O IGUAL A LA DEL RETADOR Cuando la vida remanente del defensor (activo actual o viejo) es mayor o igual a la del retador (activo nuevo), se recomienda fijar esta última como horizonte de planeación. Posteriormente, se realiza la comparación de sus flujos de efectivo durante dicho horizonte de planeación (del retador). 5.3.2.2 LA VIDA REMANENTE DEL DEFENSOR ES MENOR QUE LA DEL RETADOR Cuando la vida remanente del defensor es menor a la vida económica del retador, o bien cuando se conoce con exactitud el período de tiempo durante el cual se va a requerir el servicio que proporciona el activo (horizonte de planeación conocido), se pueden hacer dos cosas, - Fijar el horizonte de planeación igual a la vida remanente del defensor (lo cual no es muy aconsejable), pues se desaprovecharía parte de la vida económica del retador, - Fijar un horizonte de planeación igual a la vida económica del retador y determinar la serie de activos que se deben de tener durante este período de tiempo, mediante el siguiente algoritmo de programación dinámica. Cabe aclarar que esto supone que a lo largo de la vida del retador se pueden comprar varios defensores idénticos en tecnología y precio, siendo ilógico debido a los avances tecnológicos en el campo en cuestión y las variaciones de los precios a través del tiempo por diferentes causas, entre ellas la inflación. - Fijar un horizonte de planeación igual a la vida económica del retador, pero suponiendo que se va a permanecer con el defensor durante su vida remanente y después continuar con el retador hasta que finalice el horizonte de planeación establecido. Este método desperdicia un poco de la vida del retador, pero logra trabajar sobre bases reales.

ALGORITMO DE MAO DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA

Cuando la vida remanente del defensor es menor a la vida económica del retador, o bien que ya se conozca el horizonte de planeación a utilizar, se puede manejar el siguiente algoritmo de programación dinámica. 1.- El primer paso para su aplicación es obtener tanto para el defensor como para el retador, el valor futuro de los flujos de efectivo respectivos para cada uno de los próximos años. 2.- Después de fijar el horizonte de planeación, se empieza a analizar para el primer año si vale la pena continuar un año más con el defensor o se adquiere el activo nuevo (retador).



3.- Para el segundo año, las alternativas serían: a) hacer el último reemplazo en el año cero b) hacer el último reemplazo en el año uno c) permanecer dos años con el activo viejo. 4.- Para los siguientes años, la lógica de generación de alternativas sería la misma. Una vez analizadas todas las alternativas de cada uno de los años del horizonte de planeación, la solución óptima es aquella en que los activos maximizan el valor futuro al final del horizonte de planeación. La determinación de esta serie de activos se obtiene a partir de la siguiente fórmula de recurrencia:

{ }max ( )(1 ) ( )uaTur uaFSA T i FNA T+ + (5.2)

0,1, ,uaT t= …

Donde: Tur = tiempo en el cual se hizo el último reemplazo Tua = tiempo que permanecería con el último activo de la serie FNA (Tua) = valor futuro del nuevo activo si se permanece con él un tiempo igual a tu�

FSA (Tur) = valor futuro en el tiempo tur de uno o una secuencia de activos, los cuales pueden ser: el defensor, el retador y la serie de retadores; o bien esta secuencia debe estar formada por puros retadores.

Una explicación gráfica de esta fórmula se muestra en la siguiente figura, donde t es un período de tiempo menor o igual al horizonte de planeación seleccionado, tur es el tiempo en el cual se va a introducir el último activo de la serie, tu� es el tiempo que se va a permanecer con este activo. FSA (Tur) FNA (Tuα) Serie de activos tuα tur

t

Figura 5.1 Serie de activos a utilizar durante un tiempo t



PROBLEMAS RESUELTOS 5.1 El costo inicial requerido por cierto equipo es de $100,00. Sus gastos de operación y mantenimiento son de $30,000 para el primer año y se espera que estos gastos se incrementen en lo sucesivo a una razón de $ 10,000/año. El valor de rescate de este activo en los próximos años se espera que se comporte de la siguiente manera:

)(000,15000,100 kVRk −= para añosk 5,...2,1=

Si el período de depreciación del activo es de 5 años, la tasa de impuestos que grava utilidad o sea pérdidas ordinarias y extraordinarias es de 50% y la TREMA que se utiliza es de 20% anual, determina el periodo óptimo de reemplazo de este activo.

AÑO VALOR LIBROS

VALOR DE RESCATE

GASTOS DE OPERACIÓN

FACTOR AJUSTABLE

1 80,000 85,000 30,000 1 2 60,000 70,000 40,000 1.55 3 40,000 55,000 50,000 2.8 4 20,000 40,000 60,000 5.57 5 0 25,000 70,000 7.17

AÑO FEAI DEPREC. INGRESO GRAVABLE

IMPUESTOS

FEDI

0 -100 --- --- --- -100 1 -30 20 -50 -25 -5 1 85 --- 5 2,5 82.5

PRIMER AÑO

VR GEC=85-80*1=5 0 -100 --- --- --- -100 1 -30 20 -50 -25 -5 2 -40 20 -60 -30 -10 2 70 --- -23 -11.5 81.5

2 AÑOS

VR 70-60*1.55=-23 0 -100 --- --- --- -100 1 -30 20 -50 -25 -5 2 -40 20 -60 -30 -10 3 -50 20 -70 -35 -15 3 55 --- -57 -28.3 83.5

3 AÑOS

VR 55-40*2.8=-57 0 -100 --- --- --- -100 1 -30 20 -50 -25 -5 2 -40 20 -60 -30 -10 3 -50 20 -70 -35 -15 4 -60 20 -80 -40 -20 4 40 --- -71.4 -35.7 -75.7

4 AÑOS

VR 40-20*5.57=-71.4



0 -100 --- --- --- -100 1 -30 20 -50 -25 -5 2 -40 20 -60 -30 -10 3 -50 20 -70 -35 -15 4 -60 20 -80 -40 -20 5 -70 20 -90 -45 -25 5 25 --- 25 12,5 12.5

5 AÑOS

VR GEC=25-0=25

49.963,44$5%,20,

5%,20,5.124%,20,20

3%,20,152%,20,101%,20,5100

92.898,35$4%20,

4%,20,7.753%,20,152%,20,101%,20,5100

765.926,33$3%,20,3%,20,5.682%,20,101%,20,5100

34.679,35$2%,20,2%,20,55.711%,20,5100

1.503,42$1%,20,1%,20,5.77100

3344.05

3863.0

4

4747.0

3

6545.0

2

2.18333.0

−=

+

−

−

−

−−

=

−=

+

−

−

−−=

−=

−

−

−−=

−=

+

−−=

−=

+−=

P

A

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

VAE

P

A

F

P

F

P

F

P

F

PVAE

P

A

F

P

F

P

F

PVAE

P

A

F

P

F

PVAE

P

A

F

PVAE

Por lo tanto el periodo óptimo de reemplazo es el año 3 ya que tiene menor VAE.



5.2 La inversión inicial requerida por una nueva máquina es de $500,000. Sus gastos de operación y mantenimiento son $150,000 para el primer año y se espera que estos gastos se incrementen en lo sucesivo a una razón del 10% anual. El valor de rescate de este activo en los próximos años se espera que se comporte de la siguiente manera:

kkVR )90.0(000,500= para 10,...2,1=k

Si el período de depreciación del activo es de 10 años, la tasa de impuestos que grava utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 40% y la TREMA que se utiliza es de 30% anual, determina el periodo óptimo de reemplazo del activo. La depreciación es lineal hasta 10 años, Depreciación anual = $500,000/10 años = $50,000/año TREMA i = 30% anual, Tasa de impuestos t = 40%.

Tabla 1. Flujos de efectivo antes de impuestos del activo, en miles de pesos.

Año Valor en Libros

Valor de Rescate

Gastos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

450 405

364.5 328.05 295.245 265.721 239.149 215.234 193.710 174.339

150 165

181.5 199.650 219.615 241.577 265.734 292.308 321.538 353.692

Ganancias extraordinarias de capital de los diferentes períodos de permanencia (en miles de pesos): GECK= utilidad extraordinaria al final del año k. GEC1=450-450(1) =0 GEC4=328.05-300(5.57) = -1342.95 GEC2=405-400(1.55) = -215 GEC5=295.245-250(7.17) = -1497.25 GEC3=364.5-350(2.8) = -615.5



Tabla 2. Flujos de efectivo después de impuestos del activo, en miles de pesos.

Año FEAI Depreciación Cantidad gravable

Impuestos FEDI

Permanecer un año con el activo 0 1 1

-$500.000 -150.000 450.000

50

-200.000

80.000

-500.000 -70.000 450.000

VAE=[-500+380(P/F,30%,1)](A/P,30%,1)= -270.015 Permanecer 2 años con el activo

0 1 2 2

-$500.000 -150.000 -165.000 405.000

50 50

-200.000 -215.000 -215.000

80.000 86.000 86.000

-500.000 -70.000 -79.000 491.000

( ) -227.8342%,30,2,30,4127692.070500

7348.0

=

+−−=P

A

F

PVAE

Permanecer 3 años con el activo 0 1 2 3 3

-$500.000 -150.000 -165.000 -181.500 364.500

50 50 50

-200.000 -215.000 -231.500 -615.500

80.000 86.000 92.600 246.200

-500.000 -70.000 -79.000 -88.900 610.700

( ) -199.9033%,30,3%,30,8.5215917.079844.553

5506.04552.0

=

+−−=P

A

F

PVAE

Permanecer 4 años con el activo 0 1 2 3 4 4

-$500.000 -150.000 -165.000 -181.500 -199.650 328.050

50 50 50 50

-200.000 -215.000 -231.500 -249.650 -1342.950

80.000 86.000 92.600 99.860 537.180

-500.000 -70.000 -79.000 -88.900 -99.790 865.230

( ) -172.2114%,30,4%,30,44.7654552.09.88588.600

4616.03501.0

=

+−−=P

A

F

PVAE

Permanecer 5 años con el activo 0 1 2 3 4 5 5

-$500.000 -150.000 -165.000 -181.500 -199.650 -219.615 295.245

50 50 50 50 50

-200.000 -215.000 -231.500 -249.650 -269.615 -1497.250

80.000 86.000 92.600 99.860 105.846 598.902

-500.000 -70.000 -79.000 -88.900 -99.790 -113.769 894.147

-191.0515%,30,5%,30,378.782992.675

4106.02693.0

=

+−=P

A

F

PVAE

Período óptimo de reemplazo del activo: al final del año 4, debido a que presenta menor VAE.



5.3 Una compañía utiliza en su proceso productivo una mezcladora automática que compró hace 5 años. La mezcladora originalmente costó $800,000. Actualmente la mezcladora puede ser vendida en $500,000. Además, con esta mezcladora se puede seguir operando por 10 años adicionales al final de los cuales el valor de rescate se estima en $100,000. También, se estima que los costos anuales de operación y mantenimiento en los próximos 10 años serían del orden de $250,000. Finalmente considera que el período de depreciación de esta maquina es de 10 años. Puesto que la demanda que enfrenta esta compañía ha sufrido un incremento significativo, una nueva mezcladora es requerida. Si se continúa operando con la mezcladora actual, solamente sería requerido adquirir una mezcladora cuyo costo inicial es de $750,000, sus gastos de operación y mantenimiento son de $200,000/año y su valor de rescate después de 10 años de uso se estima en $100,000. Además el período de depreciación de esta máquina de acuerdo a la ley es de 10 años. Por otra parte si la mezcladora actual es vendida, una mezcladora de mucha mayor capacidad sería adquirida. El costo inicial de ésta se estima en $2, 000,000, su valor de rescate al final de su vida fiscal de 10 años se estima en $200,000, y sus gastos anuales de operación y mantenimiento se estiman en $250,000. Si la tasa de impuestos que grava utilidades (pérdidas) ordinarias y extraordinarias es de 50% y la TREMA utilizada es de 30% anual, determina usando el método de la TIR la mejor alternativa. Alternativa A: Flujos de efectivo de la alternativa de permanecer con máquina actual y otra máquina adicional. La máquina actual se ha depreciado por 5 años, se compró hace 5 años, y le restan solo 5 años de depreciación. Al “comprar” la máquina actual se ahorra impuesto (*).



Tabla 1. Flujos de efectivo después de impuestos para la alternativa A, en miles de pesos.

AÑO

F.E.A.I.

DEPRECIACIÓN

CANTIDAD GRAVABLE

IMPUESTOS

F.E.D.I.

0 1-5 1-10 10

- (500+750) -450 -450 200

(80+75)

75

-100* -605 -525

200**

-50 -302.5 -262.5 100

-1200 -147.5 -187.5 100

* GEC = V.R. - V.L.= 500 – 400 = 100 **GEC= 200 – 0 = 200

Alternativa B: Para la solución se utilizará el método de la TIR, por lo que, si solo se conocen los astos y la alternativa “Nada hacer” no se considera, entonces la alternativa de menor inversión queda justificada. A continuación se presentan los flujos de efectivo de la alternativa de reemplazar la máquina actual por otra nueva.

Tabla 2. Flujo de efectivo después de impuestos de la alternativa B, en miles de pesos.

AÑO F.E.A.I.

DEPRECIACIÓN

CANTIDAD GRAVABLE

IMPUESTOS

F.E.D.I.

0 1-10 10

-$2000 -250 200

200

-450 200*

-225 100

-2000 -25 100

*GEC= V.R - V.L = 200 -0 = 200

Impuestos = - 200(0.5) = -100

Ahora se obtiene la tabla del incremento en la inversión, para después obtener el valor presente de los flujos de efectivo para saber si se justifica esta inversión.



Tabla 3. Flujo de efectivo del incremento de la inversión

AÑO FEDI B

FEDI A

DIFERENCIA B – A

0 1 – 5 6 – 10

10

- 2000 - 25 - 25 100

- 1200 - 147.5 -187.5 100

- 800 122.5 162.5

0

05*,,5*,,'

5.1625*,,5.122800 =

+

+−= iF

Pi

A

Pi

A

PVAE

De ahí se despeja el valor de i* que hace cero el valor presente: TIR = i* = 11.25%. Ya que TIR(11.25%) es menor que TREMA (30%), entonces la inversión no se justifica, por lo que la mejor alternativa será permanecer con la máquina actual más una adicional (alternativa A).

5.4 Un conjunto de cintas magnéticas que se utilizan en la operación del sistema computacional de la compañía x, tuvieron un costo inicial hace dos años de $500,000. Sin embargo, debido al gran avance tecnológico que existe en esta área, actualmente en el mercado existen cintas magnéticas que pueden incrementar significativamente la velocidad de procesamiento del sistema computacional. La reducción en el tiempo de procesamiento de la información se estima que sea del orden de 20%. Si las cintas actuales son vendidas su valor realizable se estima en $300,000. Además, se sabe que el costo inicial del nuevo conjunto de cintas magnéticas es de $1, 000,000. Por otra parte, se anticipa que la actual computadora será reemplazada dentro de cuatro años se estima en $100,000 y $500,000 respectivamente. También, se sabe que la computadora trabaja 8 horas diarias durante 20 días al mes. Si el costo de operación de la computadora es de 500/hora, la vida fiscal de las cintas magnéticas es de 8 años, la tasa que graba utilidades (perdidas) ordinarias y extraordinarias es de 50% y la TREMA utilizada es de 20%, ¿debería reemplazarse el conjunto de cintas magnéticas?

Horas de trabajo al año=

Costos anuales=

GEC0 = 300 - 375 = -75000 Dep. anual=

TABLA 1. Flujo de efectivo de las cintas actuales (defensor), en miles de pesos.

Año F.E.A.I Depreciación Cantidad gravable

Ahorro en impuestos

F.E.D.I

0 1 – 4

4

-$300 - 960 100

0 -$62.5

0

-75.0 -1022.5 -25.0

-37.5 511.25 12.50

-337.500 -448.750 112.500


Notas de Clase de Ingeniería Económica Ma.de Guadalupe García Hernández 150

TABLA 2. Flujo de efectivo de las cintas nuevas (retador), en miles de pesos.

Año F.E.A.I Depreciación Cantidad gravable

Ahorro en impuestos

F.E.D.I

0 0

1 – 4 4

+$300 -$10000

- 768 500

0 0

-125.000 0

-75.0 0

-893 0

-37.5 0

511.25 0

-337.500 -10000

-321.500 500.000

TABLA 3. Flujo de efectivo de la diferencia de la inversión

Año Retador F.E.D.I

Defensor F.E.D.I

Diferencia Ret – Def

0 1 – 4

4

-1000.000 -321.500 500.000

-337.500 -448.750 112.500

-662.500 127.250 387.500

VPNINC = -662.5 + 127.25 (P/A, 20%, 4) +

= -662.5 + 127.5 (2.5887) + 186.873 = -662.5 + 516.285 = -146.215 Conclusión: el valor presente es negativo, lo que nos indica que el incremento de la inversión no se

justifica por lo que la mejor alternativa es mantener las cintas actuales. 5.5 Para un valor de una TREMA de 10%, encuentre la vida económica del siguiente activo cuyos ingresos netos anuales y valores de rescate en los próximos años se comportan de acuerdo a las siguientes funciones:

INk = 50(.85)k-1 para k = 1,2… VRk = 100(.75)k para k = 0,1…

TABLA 1. Flujos de efectivo en miles de pesos

Año (k) 0 1 2 3 4 5 6

INk 50.00 42.50 36.125 30.706 26.100 22.185 VRk 100 75.00 56.25 42.188 31.641 23.730 17.798

Permanecer 1 año 50 + 75

(A/P,10%,1) = 15

100



Permanecer 2 años 50 42.5 + 56.25 (A/P,10%,2) 100 VAE = 15.595 Permanecer 3 años Año 0 1 2 3 F.E -100 50 42.5 72.313 (A/P,10%,3) = 15.8493 Permanecer 4 años Año 0 1 2 3 4 F.E -100 50 42.5 36.125 62.347 (A/P,10%,4) = 17.8 Permanecer 5 años Año 0 1 2 3 4 5 F.E -100 50 42.5 36.125 30.706 49.830 (A/P,10%,5) = 15.7312 Conclusión: dado que en el año 4 hay un valor anual equivalente máximo, entonces la vida económica

del activo es de 4 años. 5.6 Suponga que actualmente se tiene operando un activo idéntico al del problema 5.5 el cual se compro hace 3 años. Para este tipo de activo, determine por medio de programación dinámica, la política óptima de reemplazo si se usa un horizonte de planeación de 8 años.

TABLA 1. Flujos de efectivo en miles de pesos

DEFENSOR Año (k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

INk 30.710 26.10 22.200 18.87 16.040 13.63 11.60 9.85 VRk 42.20 31.641 23.73 17.80 13.35 10.013 7.51 5.632 4.224

RETADOR

Año (k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 INk 50.00 42.50 36.125 30.710 26.100 22.200 18.87 16.040 VRk 100 75.00 56.25 42.188 31.641 23.73 17.800 13.35 10.013



Ahora se obtendrán los valores futuros del defensor (en miles de pesos) VF1 = -42.2 (1.1) + 62.35 = 15.93

VF2 = -42.2 (1.1)2 + 30.72 (1.1) + 49.83 = 32.55

Vf 3 = -42.2 (1.1)3 + 30.71 (1.1)2 + 26.1 (1.1) + 40 = 49.7

VF4 = -42.2 (1.1)4 + 30.71 (1.1)3 + 26.1 (1.1)2 + 22.2 (1.1) + 32.22 = 67.31

VF5 = -42.2 (1.1)5 + 30.71 (1.1)4 + 26.1 (1.1)3 + 22.2 (1.1)2 + 18.87 (1.1) + 26.1 = 85.46

VF6 = -42.2 (1.1)6 + 30.71 (1.1)5 + 26.1 (1.1)4 + 22.2 (1.1)3 + 18.87 (1.1)2 + 16.04 (1.1) +…

…+ 21.14 = 104.1

VF7 = -42.2 (1.1)7 + 30.71 (1.1)6 + 26.1 (1.1)5 + 22.2 (1.1)4 + 18.87 (1.1)3 + 16.04 (1.1)2 +…

…+ 13.63 (1.1) + 17.23 = 123.45

VF8 = -42.2 (1.1)8 + 30.71 (1.1)7 + 26.1 (1.1)6 + 22.2 (1.1)5 + 18.87 (1.1)4 + 16.04 (1.1)3 +…

…+ 13.63 (1.1)2 + 11.6 (1.1) + 14.1 = 143.71

Los valores futuros para el retador son los mismos que los obtenidos en el problema, solo se le agregan los de los años 7 y 8.

VF7 = -100 (1.1)7 + 50 (1.1)6 + 42.5 (1.1)5 + 36.125 (1.1)4 + 30.7 (1.1)3 + 26.1 (1.1)2 + 22.2 (1.1) +..

…+ 32.22 = 144.14

Vf 8 = -100 (1.1)8 + 50 (1.1)7 + 42.5 (1.1)6 + 36.125 (1.1)5 + 30.7 (1.1)4 + 26.1 (1.1)3 + 22.2 (1.1)2 +..

…+ 18.887 (1.1) + 26.05 = 169.92

TABLA 2. Valores futuros para diferentes tiempos de permanencia con el defensor y con el retador, en miles de pesos.

Año 1 2 3 4 5 6 7 8 Defensor 15.930 32.550 49.700 67.310 85.460 104.100 123.45 143.71 Retador 15-000 32.750 52.475 73.650 96.033 119.530 144.14 169.92



TABLA 3. Combinación óptima de activos para cada periodo de tiempo analizado, en miles de pesos

t tua tur FSA (t) = FSA (tur).(1.1)tua + FNA (tua) Nuevo V.F de defensor

1 0 1 15.930 = 15.930 (1.1)0

+ 0.000 VF1= 15.930

1 0 15.000 = 0.000 (1.1)1 + 15.000

2 0 2 32.550 = 32.550 (1.1)0 + 0.000

1 1 32.523 = 15.930 (1.1)1 + 15.000 VF2= 32.75

2 0 32.750 = 0.000 (1.1)2 + 32.750

3 0 3 49.700 = 49.700 (1.1)0

+ 0.000

1 2 51.025 = 32.750 (1.1)1

+ 15.000 VF3= 52.475

2 1 52.025 = 15.930 (1.1)2

+ 32.750

3 0 52.475 = 0.000 (1.1)3

+ 52.475

4 0 4 67.310 = 67.310 (1.1)0

+ 0.000

1 3 72.723 = 52.475 (1.1)1

+ 15.000

2 2 72.378 = 32.750 (1.1)2

+ 32.750 VF4= 73.678

3 1 73.678 = 15.930 (1.1)3

+ 52.475

4 0 73.650 = 0.000 (1.1)4

+ 73.650

5 0 5 85.460 = 85.460 (1.1)0

+ 0.000

1 4 96.046 = 73.678 (1.1)1

+ 15.000

2 3 96.245 = 52.475 (1.1)2

+ 32.750

3 2 96.065 = 32.750 (1.1)3

+ 52.475 VF5= 96.973

4 1 96.973 = 15.930 (1.1)4

+ 73.650

5 0 96.033 = 0.000 (1.1)5

+ 96.033

6 0 6 104.100 = 104.100 (1.1)0

+ 0.000

1 5 121.670 = 96.973 (1.1)1

+ 15.000

2 4 121.900 = 73.678 (1.1)2

+ 32.750

3 3 122.319 =

52.475 (1.1)3

+ 52.475 VF6= 122.319

4 2 121.599 = 32.750 (1.1)4

+ 73.650

5 1 121.688 = 15.930 (1.1)5

+ 96.033

6 0 119.530 = 0.000 (1.1)6

+ 119.530

7 0 7 123.450 = 123.450 (1.1)0

+ 0.000

1 6 149.55 = 122.319 (1.1)1

+ 15.000

2 5 150.087 = 96.973 (1.1)2

+ 32.750

3 4 150.540 = 73.678 (1.1)3

+ 52.475 VF7= 150.540

4 3 150.478 = 52.475 (1.1)4

+ 73.650

5 2 148.777 = 32.750 (1.1)5

+ 96.033

6 1 147.751 = 15.930 (1.1)6

+ 119.530

7 0 144.140 = 0.000 (1.1)7

+ 144.140

8 0 8 143.710 = 143.710 (1.1)0

+ 0.000

1 7 180.594 = 150.540 (1.1)1

+ 15.000

2 6 180.756 = 122.319 (1.1)2

+ 32.750

3 5 181.546 = 96.973 (1.1)3

+ 52.475 VF8= 181.546

4 4 181.522 = 73.678 (1.1)4

+ 73.650

5 3 180.545 = 52.475 (1.1)5

+ 96.033

6 2 177.549 = 32.750 (1.1)6

+ 119.530

7 1 175.183 = 15.930 (1.1)7

+ 144.140

8 0 169.920 = 0.000 (1.1)0

+ 169.920



Conclusión: Tomando como base 8 años, horizonte de planeación, vemos en al taba 3 que el valor futuro mayor se presenta cuando, tua = 3 y tur = 5. Ahora si tomamos t = 5 años, el mayor valor futuro se presenta cuando tua = 4 y tur = 1. Enseguida hacemos t = 1 año, y encontramos que el valor futuro se maximiza cuando tua = 0 y tur = 1. De acuerdo a lo anterior tenemos la siguiente política de reemplazo para el defensor:

1° Permanecer un año más con el activo actual. 2° Vender el activo actual al final del primer año y comprar el activo nuevo con el que se permanecerá cuatro años. 3° Vender el activo al final del año 5 y comprar otro nuevo con el que se permanecerá los últimos tres años.



CAPÍTULO VI

EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN

EN SITUACIÓN INFLACIONARIA



EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN EN SITUACIÓN INFLACIONARIA

Capítulo VI

Los incrementos significativos en los niveles generales de precios, tanto de los artículos como de los servicios, han originado la necesidad de modificar los procedimientos tradicionales de evaluación de propuestas de inversión, para lograr una mejor asignación de capital. Un ambiente crónico inflacionario disminuye considerablemente el poder de compra de la unidad monetaria, causando grandes divergencias entre flujos de efectivo futuros reales y nominales. De esta forma, como se desea obtener rendimientos reales, se debe incluir el impacto de la inflación al hacer un análisis económico. 6.1 CONCEPTO DE INFLACIÓN Inflación es la medida de la disminución en el poder de compra de la unidad monetaria. También es la elevación persistente del nivel de precios, o la depreciación gradual de la moneda frente a otros bienes. Existen dos clases de inflación: * general o abierta, en la cual todos los precios y costos se incrementan en la misma proporción. * reprimida o diferencial , en la que la tasa de inflación dependerá del sector económico involucrado. 6.2 CAUSAS DE LA INFLACIÓN El proceso inflacionario en el valor de mercado de un bien o de un servicio se puede presentar debido a tres causas fundamentales y a continuación se enumeran. 6.2.1 ELEVACIÓN DE LOS COSTOS DE PRODUCCIÓN Que pueden ser debido a:

a) escasez relativa de los recursos naturales a lo largo del tiempo (petróleo, minerales, terrenos, etcétera). b) elevación del nivel de vida de la población, es decir, se espera que el trabajo sea crecientemente remunerativo. c) avances tecnológicos.



6.2.2 EMPUJE DE LOS COSTOS POR LA MANO DE OBRA Es decir, las presiones sociales que ejercen sindicatos y otros organismos, para lograr aumentos de salarios y mejores condiciones de trabajo, que al incrementar el costo de la mano de obra crean una espiral inflacionaria. 6.2.3 TIRÓN DE LA DEMANDA El aumento en el consumo del producto, disparado por distintas circunstancias, origina un desequilibrio entre la oferta y la demanda, que se traduce en un aumento de precios debido a la especulación, esto, a su vez, da lugar al aumento de salarios para compensar su poder de compra, originando una espiral inflacionaria. 6.3 EFECTO DE LA INFLACIÓN SOBRE EL VPN El valor presente de los flujos de efectivo generados por un proyecto pueden ser calculados utilizando la ecuación correspondiente al subtema 3.2, la cual solamente es válida cuando no existe inflación.

∑ = ++−=

ant tt

i

SSVPN

10 )1(

(6.1) donde St es el flujo de efectivo neto del período t y So es la inversión inicial. Por otro lado, cuando existe una tasa de inflación general, ii, los flujos de efectivo futuros no tendrán el mismo poder adquisitivo del año cero. Por consiguiente, antes de determinar el VPN, los flujos deberán ser deflactados (reducidos por la inflación), S’t, quedando de la siguiente manera:

∑ =

+

++−=

ant

tit

i

t ii

SSVPN

10 )1()1(

'

(6.1a) Esta ecuación corrige el poder adquisitivo de los flujos defectivo futuros. En ella se puede observar que si la tasa de inflación es cero la Ecuación 6.1a se transforma en la anterior. Es conveniente señalar que estos flujos no son iguales, lo cual es obvio, puesto que en épocas inflacionarias los flujos de efectivos se están incrementando de acuerdo a las tasas de inflación prevalecientes. S1 S2 Sn

1 2 n S0

Figura 6.1 Flujos de efectivos sin considerar inflación.



S1/(1+it) S2/(1+it)

2 Sn/(1+it)n

1 2 n S0

Figura 6.2 Flujos de efectivos considerando inflación.

6.4 EFECTO DE LA INFLACIÓN SOBRE LA TIR El flujo de efectivo X tendría un valor de X(1+i) al final del próximo año si es invertido a una tasa de interés i. Si la tasa de interés es tal que el valor presente neto es cero, entonces, dicha tasa de interés es la tasa interna de rendimiento, TIR. Por otro lado, si existe una tasa de inflación anual, i i, entonces una tasa interna de rendimiento efectiva, ie, puede ser obtenida por la siguiente ecuación:

)1(

)(

i

ie i

iii

+−= (6.2)

donde i es la TIR nominal (sin inflación) y ie es la TIR real (con inflación). La anterior fórmula solamente es válida para un período. Como las vidas de las inversiones duran más de un período, es necesario primero deflactar los flujos de efectivo después de impuestos y luego encontrar la tasa de interés efectiva que iguala a cero su valor presente. 6.5 EFECTO DE LA INFLACIÓN SOBRE EL ACTIVO FIJO El efecto dañino de la inflación en inversiones de activo fijo se debe principalmente a que la depreciación se hace en función del costo histórico del activo. El efecto de determinar la depreciación en esta forma, es incrementar los impuestos a pagar en términos reales y disminuir, por ende, los flujos de efectivo reales después de impuestos. Las deducciones por depreciación son calculadas tomando como base los valores históricos de los activos, no sus valores de mercado, y por otro lado los impuestos son funciones directa de los ingresos, no del poder adquisitivo de ellos. Por consiguiente, a medida que los ingresos se incrementan como resultados de la inflación y las deducciones por concepto de depreciación son mantenidas constantes, el ingreso gravable (utilidad) crece desmesuradamente. Esto origina que una empresa no pueda recuperar, a través de la depreciación, el costo de reemplazo de un activo en tiempos de altas tasas inflacionarias.



Sin embargo, el cargo por depreciación, de acuerdo a la Ley del Impuesto sobre la Renta, debe ser calculado de acuerdo con los costos históricos de los activos. VPN Inflación erróneamente considerada. VPN=0 Inflación correctamente considerada. 0 5 10 Inflación (i%)

Figura 6.3 Valor presente como una función de la tasa de inflación. La disminución en el VPN considerando a la inflación se debe exclusivamente a los impuestos pagados, debido a que éstos se incrementan, en términos reales, en proporción directa a la tasa de inflación y a la vida del activo, disminuyendo la TIR del proyecto. 6.6 EFECTO DE LA INFLACIÓN EN INVERSIONES DE ACTIV O CIRCULANTE Estas inversiones también se ven afectadas por la inflación al perder poder adquisitivo, y aún en mayor proporción que las inversiones en activo fijo. El efecto de la inflación en inversiones con el mismo nivel de activo circulante es el mismo. Por el contrario, en inversiones con diferentes proporciones de activo circulante sufrirán distintos impactos inflacionarios. 6.6.1 INVERSIONES CON EL MISMO NIVEL DE ACTIVO CIRCULANTE Los proyectos que requieren mayores niveles de activo circulante son afectados mayormente por la inflación, debido a que dinero adicional debe ser invertido para mantener el mismo poder de compra de los artículos a los nuevos niveles de precio. Un fenómeno igual ocurre con los fondos invertidos en cuentas por cobrar, pues estas inversiones adicionales de activo circulante pueden reducir seriamente la tasa interna de rendimiento del proyecto de inversión. Cabe señalar que a medida que la tasa de inflación se incrementa, el rendimiento de una inversión en activo circulante es más afectado que el rendimiento de una inversión en activo fijo, debido a que las inversiones adicionales de activo circulante castigan más al rendimiento del proyecto que la disminución en los ahorros atribuibles a la depreciación y el aumento en los impuestos realmente pagados que origina una inversión en activo fijo.



6.6.2 INVERSIONES CON DIFERENTES PROPORCIONES DE ACTIVO CIRCULANTE Si dos empresas tienen el mismo nivel de inversión total (activo circulante + activo fijo), idénticos niveles de ingresos y gastos, pero diferentes proporciones de activo circulante, se verán afectadas en distintas proporciones, teniendo mayor impacto por la inflación la empresa con mayor cantidad de activo circulante. Lo anterior es de esperarse, puesto que empresas con altos niveles de activos circulantes requieren de inversiones adicionales futuras, capaces de mantener los inventarios de seguridad requeridos y el adecuado nivel de cuentas por cobrar, mientras que las empresas con mayor activo fijo no requieren de inversiones adicionales sino hasta el momento de reemplazar a los activos. Además, es menos rentable hacer inversiones cada año a hacerlas cada cinco o diez años. Por otro lado, ya se ha explicado que daña menos el rendimiento de un proyecto el pagar más impuestos en términos reales, que las inversiones adicionales periódicas requeridas por una inversión de activo circulante. 6.7 EFECTO DE LA INFLACIÓN EN ACTIVOS NO DEPRECIA BLES Muchas inversiones de capital pueden consistir parcialmente de terrenos, que aumentan de precio con el ritmo inflacionario, y siendo estos activos no depreciables se les considera como inversiones atractivas en épocas inflacionarias. Sin embargo ni estas inversiones son inmunes a ella, puesto que si el valor del activo se incrementa con el nivel de precios, esto provoca una ganancia extraordinaria del capital al momento de venderlo. Por otro lado, como las ganancias extraordinarias son gravables, entonces el rendimiento que se obtiene en la adquisición de un terreno disminuye considerablemente debido a los impuestos que se pagan sobre dichas ganancias. 6.8 INFLACIÓN DIFERENCIAL A lo largo del tema se utilizó el término inflación general, es decir, se suponen que todos los elementos que intervienen en un mismo proyecto de inversión, se incrementan en la misma proporción. Sin embargo, la mano de obra directa e indirecta, la materia prima, los gastos generales de fabricación, etc., se pueden incrementar a diferentes tasas de inflación, y éstas se ponderarán con el porcentaje de gasto correspondiente a cada área, con lo que se encuentra la inflación diferencial prevaleciente en ese proyecto. Esto es muy importante para no afectar al rendimiento de un proyecto, y que en un momento dado pudiera hacerlo incosteable.



PROBLEMAS RESUELTOS

6.1 Suponga que cierta empresa está considerando la posibilidad de reemplazar una máquina vieja por una nueva. El precio actual de la nueva máquina instalada es de $100,000. Las utilidades antes de depreciación e impuestos (suponiendo que no hay inflación) se estiman en $40,000 para los próximos 5 años. Al término de este tiempo el valor de rescate será de $30,000. Si la inflación promedio anual de los próximos años es de 15%, la vida fiscal del activo es de 5 años y la tasa de impuestos es de 50% ¿cuál es la TIR que esta empresa obtiene en la adquisición de este activo sin considerar inflación y tomándola en cuenta? Son miles de pesos. i i =15% anual, tasa de impuestos=50% UNAI=$40/año Depreciación máquina nueva=$100/5 años=$20/año a) Sin considerar inflación

Año FEAI Dep Ing. gravable Impuestos FEDI

0 -100 -100

De 1 a 5 40 20 20 10 30

5 30 30 15 15

05*,,155*,,30100 =

+

+−= iF

Pi

A

PVPN

i* = 18.86% anual b) Considerando inflación del 15% anual

Año FEAI Dep Ing. gravable Impuestos FEDI St FEDI St’

0 -100 -100 -100

1 (40)(1.15)=46 20 26 13 33 28.69

2 52.9 20 32.9 16.45 36.45 27.56

3 60.83 20 40.83 20.41 40.42 26.57

4 69.96 20 49.96 24.98 44.98 25.72

5 80.45 20 60.45 30.22 50.23 24.97

5 60.34 60.34 30.17 30.17 14.99

05*,,97.39

4*,,72.253*,,57.262*,,56.271*,,69.28100

=

+

+

+

+

+−=

iF

P

iF

Pi

F

Pi

F

Pi

F

PVPN



i* = 14.4% anual. Conclusión: A mayor inflación, menor TIR en el proyecto (menos conviene el reemplazo). Si la TREMA fuera del 20% anual, entonces como TIR < TREMA entonces no convendría reemplazarla sin considerar inflación y mucho menos considerando inflación. 6.2 Cierta compañía desea seleccionar la mejor de las máquinas que se muestran a continuación. Si la tasa de inflación de los próximos 5 años es del 20% anual, la TREMA es de 20% anual y la tasa de impuestos es 50%, ¿cuál máquina será la mejor alternativa?

Concepto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3

Inversión inicial 100 000 150 000 250 000

Costos en año k 40 000(1.1)k-1 30 000(1.08)k-1 15 000(1.05)k-1

Valor de rescate 30 000 40 000 60 000

Vida fiscal 5 años 5 años 5 años

Máquina 1: (son miles de pesos) Depreciación anual=$ 100/5 años = $ 20/año

Año FEAI Dep Ingresos grav.

Impuestos St S’t

0 -100 -100 -100

1 40(1.1)º(1.2)=-48 20 -68 -34 -14 -11.66

2 40(1.1)1(1.2)2=-63.36 20 -83.36 -41.68 -21.68 -15.05

3 40(1.1)2(1.2)3=-83.63 20 -103.39 -51.81 -31.81 -18.41

4 40(1.1)3(1.2)4=-

110.39 20 -130.39 -65.2 -45.2 -21.79

5 40(1.1)4(1.2)5=-

145.72 20 -165.72 -82.86 -62.86 -25.29

5 VR=30(1.2)5=+74.64 +74.64 +37.31 37.31 +14.99

5%,20,26.10

4%,20,79.213%,20,41.182%,20,05.151%,20,66.11100

−

−

−

−

−−=

F

P

F

P

F

P

F

P

F

P

VPN1= - 145.46 miles de pesos



Máquina 2: (son miles de pesos) Depreciación anual=$ 150/5 años = $ 30/año


Impuestos St S’t

0 -150 -150 -150

1 30(1.08)º(1.2)=-36 30 -66 -33 -3 -2.5

2 30(1.08)1(1.2)2=-46.66 30 -76.66 -38.33 -8 -5.55

3 30(1.08)2(1.2)3=-60.46 30 -90.46 -45.23 -15.23 -8.82

4 30(1.08)3(1.2)4=-78.36 30 -108.36 -54.18 -29.18 -11.66

5 30(1.08)4(1.2)5=-101.55 30 -131.55 -65.77 -35.78 -14.38

5 VR=40(1.2)5=+99.53 +99.53 +49.76 49.76 20

5%,20,62.5

4%,20,66.113%,20,82.82%,20,55.51%,20,5.21502

−

−

−

−

−−=

F

P

F

P

F

P

F

P

F

PVPN

VPN2= - 164.37 miles de pesos Máquina 3: (son miles de pesos) Depreciación anual=$ 250/5 años = $ 50/año


Impuestos St S’t

0 -250 -250 -250

1 15(1.05)º(1.2)=-18 50 -68 -34 16 +13.33

2 15(1.05)1(1.2)2=-22.68 50 -72.68 -36.34 +13.66 +9.49

3 15(1.05)2(1.2)3=-28.57 50 -78.57 -39.28 +10.71 +6.2

4 15(1.05)3(1.2)4=-36 50 -86 -43 7 +3.37

5 15(1.05)4(1.2)5=-45.36 50 -95.36 -47.68 +2.32 0.93

5 VR=60(1.2)5=+149.3 +149.3 +74.65 74.65 30



5%,20,93.30

4%,20,37.33%,20,2.62%,20,49.91%,20,33.132503

+

+

+

+

+−=

F

P

F

P

F

P

F

P

F

PVPN

VPN3= - 214.66 miles de pesos Conclusión: la mejor alternativa es la Máquina 1, pues ocasiona menor desembolso. 6.3 Para el problema 6.1 determine una gráfica que realice la TIR con inflaciones de 5%, 10%, 15% y 20% anual. a) %5=Li

Año FEAI Depreciación Ing. Grav Impuesto FEDI FEDI deflact 0 -100,000 0 0 0 -100,000 -100,000 1 42,000 20,000 20,000 -11,000 31,000 29,523 2 44,100 20,000 24,000 -12,000 32,050 29,670 3 46,305 20,000 26,305 -13,152 33,153 28,639 4 48,620 20,000 28,620 -14,310 34,310 28,226 5 51,051 20,000 31,051 -15,525 35,526 27,835 5* 38,288 0 38,288 -19,144 19,144 15,000

( ) ( ) ( ) ( )( ) 05,,42,835

4,,226,283,,639,282,,670,291,,523,29000,100

=+

++++−=

TIRFP

TIRFPTIRF

PTIRFPTIRF

PVPN

16.6%TIR = b) %10=Li

Año FEAI Depreciación Ing. Grav Impuesto FEDI FEDI deflact 0 -100,000 0 0 0 -100,000 -100,000 1 44,000 20,000 24,000 -12,000 32,000 29,090 2 48,400 20,000 28,400 -14,200 34,200 28,264 3 53,240 20,000 33,240 -16,620 36,620 27,513 4 58,564 20,000 38,564 -19,262 39,282 26,830 5 64,420 20,000 44,420 -22,210 42,210 26,209 5* 48,315 0 48,315 -24,157 24,157 15,000

( ) ( ) ( ) ( )( ) 05,,41,209

4,,830,263,,513,272,,264,281,,090,29000,100

=+

++++−=

TIRFP

TIRFPTIRF

PTIRFPTIRF

PVPN

15.23%TIR =



b) %23.15=Li Año FEAI Depreciación Ing. grava Impuesto FEDI FEDI deflact

0 -100,000 0 0 0 -100,000 -100,000 1 48,000 20,000 28,000 -14,000 34,000 28,333 2 57,600 20,000 37,600 -18,800 38,800 26,264 3 69,120 20,000 49,120 -24,560 44,560 25,513 4 82,944 20,000 62,944 -31,472 51,472 24,830 5 99,533 20,000 79,533 -39,766 59,767 5* 74,649 0 74,650 -37,324 37,324

39,209

( ) ( ) ( ) ( )( ) 05,,39,018

4,,822,243,,787,252,,944,261,,333,28000,100

=+

++++−=

TIRFP

TIRFPTIRF

PTIRFPTIRF

PVPN

13.17%TIR = Por lo que la grafica queda de la siguiente manera:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2013

13.5

14

14.5

15

15.5

16

16.5

17

iL %inflacion

% T

IR



6.4 ¿Cuál es la TIR que se obtiene en el problema 6.1 si la inflación en los primeros 5 años es de 10%, 12%, 13%, 16% y 18% respectivamente?.

Año FEAI Depreciación Ing. gravable Impuesto FEDI FEDI deflac 0 -1000000 0 0 0 -1000000 -1000000 1 44000 20000 24000 -12000 32000 29090 2 49280 20000 29280 -14040 34640 28117 3 56179 20000 36179 -18069 38090 27120 4 65167 20000 45167 -22583 45584 26138 5 76898 20000 56898 -28449 48449 402201 5* 57673 0 57673 -28886 28836 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) 05,4020

4,261383,271202,281171,290201000000

=+

++++−=

TRIFP

TRIFPTRIF

PTRIFPTRIF

PVPN

%13.14=TIR Para 12%

237.15%10 −−

X−−%12 ( )( ) %79056.14237.15237.15121.1452' =+−=X

121.14%15 −− Para 14%

237.15%10 −−

X−−%14 ( )( ) %3442.14237.15237.15121.1454' =+−=X

121.14%15 −− Para 16%

121.14%15 −−

X−−%16 ( )( ) %9322.13121.14121.14177.1351' =+−=X

117.13%20 −− Para 18%

121.14%15 −−

X−−%18 ( )( ) %5546.13121.14121.14177.1353' =+−=X

177.13%20 −−



6.5 La compañía W desea seleccionar la mejor de las maquinas que se encuentran a continuación. Si la tasa de inflación de los próximos 5 años es de 20% anual, la TREMA es de 20% y la tasa de impuesto es 50%. ¿cuál maquina representaría la mejor alternativa para la compañía W?

Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Inversión inicial $100,000 $150,000 $250,000

Costo en el año K 40,000(1.10)K-1 30,000(1.08)K-1 15,000(1.05)K-1

Valor de rescate 30,000 40,000 60,000 Vida fiscal 5 años 5 años 5 años

Son miles de pesos.

205

100 ==Dep 305

150 ==Dep 505

250 ==Dep

*Maquina 1. Año FEAI Depreciación Ing.grav Impuestos St St+

0 -100 0 0 0 -100 -100 1 )2.1()1.1(40* o

-48

-20 -68 34 -14 -11.66

2 2)2.1)(1.1(40* -63.36

-20 -83.36 41.68 -21.68 -15.05

3 -83.63 -20 -103.63 51.81 -31.81 -18.41 4 -110.39 -20 -130.39 65.2 -45.2 -21.79 5 -145.72 -20 -165.72 82.86 -62.86 -25.79 5* 0)2.1(30* -valor de

rescate 74.64

0 74.64 -37.31 37.31 14.99

( ) ( ) ( ) ( )46.14546.45100

2.1

26.10

2.1

29.21

2.1

41.18

2.1

05.15

2.1

66.11100

5432−=−−=−−−−−−=VPN


0 -150 - - - -150 -150 1 -36 -30 -66 33 -3 -2.5 2 -46.66 -30 -76.66 38.33 -8 -5.55 3 -60.46 -30 -90.46 45.23 -25.23 -8.82 4 -78.36 -30 -108.36 54.28 -29.18 -11.66 5 -101.55 -30 -131.55 65.77 -35.78 -14.38 5* 99.53 0 99.53 -49.76 49.76 20

( ) ( ) ( ) ( )37.164

2.1

62.16

2.1

66.11

2.1

82.8

2.1

55.5

2.1

5.2150

5432−=−−−−−−=VPN




0 -250 - - - -250 -250 1 -18 -50 -68 34 16 13.33 2 -22.68 -50 -72.68 36.34 13.66 9.49 3 -28.57 -50 -78.57 39.28 10.71 6.20 4 -36 -50 -86 43 7 3.37 5 -45.36 -50 -95.36 47.68 2.32 0.93 5* 149.3 0 149.3 -74.65 74.65 30

( ) ( ) ( ) ( )66.214

2.1

11.20

2.1

03.7

2.1

72.8

2.1

79.10

2.1

33.13250

5432−=−−−−−−=VPN

Máquina VPN 1 -145.46 2 -164.37 3 -214.88

La mejor alternativa es la máquina 1 (debido a que provoca menor desembolso)



6.6 Resuelva el problema anterior suponiendo que la inflación en los próximos 5 años es de 14%,16%, 18%, 20% y 22% respectivamente

TREMA=20%

( )54321 1.2

2024.9

1.2

21.28

1.2

17.8

1.2

11.23100

+=VPN −−−−− VPN1= − 143.928

( )54322 1.2

2013.84

1.2

10.88

1.2

7.88

1.2

4.86

1.2

1.84150

+=VPN −−−−−− VPN2= − 162.2443

( )54323 1.2

301.83

1.2

4.67

1.2

7.75

1.2

11.03

1.2

14.43250

+++++=VPN −− VPN2= − 210.7867

Por lo tanto podemos observar que la mejor alternativa es la máquina No.1

FEAI DEPREC ING.GRAV St FEDI St ' FEDI0 -100 -1001 -156 -20 -65.6 328 -12.8 -11.232 -58.19 -20 -78.19 390.92 -19.09 -14.443 -75.53 -20 -95.53 47.76 -27.76 -17.84 -99.69 -20 -119.68 598.46 -39.85 -21.285 -13.79 -20 -153.99 76.89 -56.89 -24.95 68.53 68.53 -34.27 34.27 15

0 -150 -1501 -34.2 -30 -64.2 32.1 -2.1 -1.842 -42.85 -30 -72.85 35.42 -6.42 -4.863 -54.6 -30 -84.6 42.3 -12.09 -7.884 -70.77 -30 -100.77 50.38 -20.38 -10.895 -93.24 -30 -123.24 61.62 -31.62 -1.845 91.38 91.38 -45.69 -45.69 20

0 -250 -2501 -17.1 -50 -67.1 33.55 16.45 14.432 -20.83 -50 -70.83 35.41 14.59 11.033 -25.81 -50 -75.81 37.9 12.09 7.754 -32.52 -50 -82.52 41.26 8.74 4.675 -41.65 -50 -91.65 45.82 4.17 1.835 137.06 137.07 -68.53 -68.5 30

Maquina 1

Año Imp o Ahorro

Maquina 2

Maquina 3



6.7 Resolver el problema 4.3 suponiendo que la inflación en los próximos 10 años es de 20% anual. Trema = 25% Tasa de impuesto = 40% Inflación = 20%

000,000,1

000,000,2

000,500,2

000,000,5

====

ACs

AFs

ACo

AFo

Sin inflación.

000,000,1

)000,000,2)(2.0(

000,500,2

)000,000,5)(12.0(

10

10

10

10

====

VR

VR

VR

VR

Utilidad Anual. Año 0 al 5 =2,000,000 Año 6 al 10 = 3,000,000

*Son Miles de pesos Año ∆ACs ∆ACo FEAI Deprecia

ción. Ing. grav.

Impuestos FEDI sin

deflact

FEDI defiactado

0 -7,500 0 0 0 -7,500 -7,500 1 0 -5001 2,4002 -500 1,900 -760 1,140 950 2 0 -6003 2,880 -500 2,380 -952 1,328 922 3 0 -720 3,450 -500 2,956 -1,182 1,553.6 900 4 0 -864 4,147.2 -500 3,647.2 -1,458.8 1,824.3 880 5 0 -

1,036.8 4,976.7 -500 4,476.7 -1,790.7 2,149.2 863.7

5 0 0 -4,976.74 0 0 0 -4,976.6

-2,000

5 0 0 -2,488 0 0 0 -2,488 -1,000 6 -497.65 -1,244 8,9586 -

(500+4976)

7,960 -3,184 4,032 1,350.6

7 -597.12 -149.3 10,750 -997.6 9,752.4 -3,901 4,758.8 1,328 8 -716.54 -

1,791.6 12,900 -997.6 11,902 -4,761 5,631.1 1,309.6

9 -859.85 -2,150 15,478 -997.6 14,480 -5,792 6,677.7 1,294.2 10 -1,031.82 -2,580 18,576 -997.6 17,577.

6 -7,031 7,932.8 1,281

10 0 0 3,7157 0 3,15 -1,486 2,230 360 10 0 0 15,479.38 0 0 0 15,479.

3 2,500

10 0 0 2,476.69 0 -0.015 0.006 2,481.6 401 10 0 0 6,191 0 0 0 6,191 1,000

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 425.1

261,4

25.1

2.294,1

25.1

.309,1

25.1

328,1

25.1

6.350,1

25.1

3.136,2

25.1

880

25.1

900

25.1

922

25.1

950500,7

109

8

6

765432

−=+

++++−++++−=VPN



Por lo que no se recomienda emprender este negocio, pues reporta perdidas (VPN < 0). El VRAC no es gravable, pues no representa ganancia, solo compensación ala perdida de poder adquisitivo debido a la inflación.

Anotaciones 1 (2,500)(0.2) = 500 2 (2,00)(1.2) = 2,400 3 (500)(1.2) = 600 4 (2000)(1.2)5 = 4,976.6

Dep. anual AFo=-500 5 (0.2)(02,488) = 497.6 6 (3000)(1.2)6 = 8,958 7 (0.12)(5000)(1.2)10 = 3,715 8 (2500)(1.2)10 = 15,479.3

Dep. Anual AFs=4,976.6/10 = 497.6 9 (0.2)(2000)(1.2)10 = 497.6 10 VR-VL =VR-[costo inicial- dep.acum]

=2,476-[4,976-(5)(497.6)] =-12.6 - 0.015

=-12.585 6.8 Resolver el problema 4.5 suponiendo que la inflación en los próximos 10 años es de 15% anual. Datos. Para los próximos 10 años.

%20

5.0

%25

%15

==

==

j

t

TREMA

anuali

MònDepreciaci 1510

150 ==



1950)2.1)(15.1)(50(* =−

683.60)1.0()15.1)(150( 10 ==AF

45.252,1)2.1)(1()15.1)(50( 1010 ==Ac

%15=ii anual.

*Son millones de pesos.

AÑO ∆AC FEAI DEP ING.GRAV IMP FEDI FEDI def 0 ----- -200 ---- ---- ---- -200 -200 1 -19 115 -15 100 -50 46 48.0 2 -26.22 158.7 -15 143.7 -71.85 60.63 45.85 3 -36.2 219 -15 204 -102 80.8 53.1273 4 -44.93 302.23 -15 287.23 -143.6 108.7 62.149 5 -68.9 417.07 -15 402.07 -201.03 147.135 73.1520 6 -95.09 575.56 -15 560.56 -208.28 200.19 86.5476 7 -131.22 794.28 -15 779.28 -389.64 273.42 102.788 8 -181.09 1,096.1 -15 1,081.8 -540.55 374.96 122.411 9 -249.9 1,512.6 -15 1,497.6 -748.8 513.9 148.08 10 -344.87 2,087.42 -15 2,072.42 -1,036.21 706.34 174.59 10 ----- 60.683 ---- 60.683 -30.3415 30.343 7.5 10 ----- 1252.45 ---- ---- 1,252.45 309.59

68.49159.3095.759.174 =++

)10%,25,(68.491)9%,25,(08.146

)8%,25,(411.122)7%,25,(788.102

)6%,25,(5476.86)5%,25,(1520.73

)4%,25,(149.62)3%,25,(1273.53

)2%,25,(86.45)1%,25,(40200

FP

FP

FP

FP

FP

FP

FP

FP

FP

FPVPN

++

+++

+++

+++

+++−=

)1074.0(68.491)1342.0(08.146

)1678.0(411.122)2019.0(788.102

)2621.0(5476.86)3277.0(1520.73

)4096.0(149.62)5120.0(1273.53

)6400.0(86.45)8000.0(40200

++++++++

++++++−=VPN

500,162,75$=VPN

Por lo tanto se acepta el proyecto.



6.9 Resuelva el problema 6.5 suponiendo que la inflación en los próximos 5 años es de 14%, 16%, 18%, 20% y 22% respectivamente. Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Inversión inicial $100 000 $180 000 $250 000 Costos en el año H 40 000 30 000 15 000 Valor de rescate 30 000 40 000 10 000 Vida fiscal 5 años 5 años 5 años

Maquina 1 Año FEAI Dprec. Ingreso

gravable Impuestos Aumentos Constantes

0 -100 -100 1 -45.6 -20 -65.6 32.8 -12.8 -11.23 2 -58.18 -20 -78.19 39.09 -19.09 -14.44 3 -75.53 -20 -95.53 47.76 -27.76 -17.8 4 -99.7 -20 -119.07 59.85 -39.85 -21.28 5 -113.79 -20 -153.79 76.89 -56.89 -24.90 5 68.53 68.53 -34.26 34.26 15

Maquina 2 0 -150 -150 1 -34.2 -30 -64.2 32.1 -2.1 -1.84 2 -42.85 -30 -72.85 35.42 -6.42 -4.86 3 -54.60 -30 -84.60 42.30 -12.30 -7.88 4 -70.77 -30 -100.77 50.38 -20.38 -10.89 5 -93.24 -30 -123.24 61.62 -31.62 -13.84 5 91.38 91.38 -45.69 -45.69 20

Maquina 3 0 -250 -250 1 -17.1 -50 -67.1 33.55 16.45 14.43 2 -20.83 -50 -70.83 35.41 14.59 11.03 3 -25.81 -50 -75.81 37.90 12.09 7.75 4 -32.52 -50 -82.52 41.26 8.74 4.67 5 -41.65 -50 -91.65 45.82 4.17 1.83 5 137.06 137.07 -68.53 -68.53 30 TREMA= 20%

VPN1= VPN1= -143.928

VPN2= VPN2= -162.2443

VPN3= VPN3= -210.7867 Por lo tanto la mejor alternativa es la maquina 1



6.10 La compañía Z desea incrementar su inversión en activo circulante (caja, inventarios, cuentas por cobrar, etc.), en un millón de pesos. Con esta inversión la compañía piensa que sus utilidades se van a incrementar en $450 000 anuales, durante 5 años, al final de los cuales la inversión inicial será recuperada en un 100%.Si la tasa de impuestos es de 50%, y la inflación promedio anual de los próximos 5 años es de 18%, ¿Cuál es la TIR que la compañía obtiene en esta inversión? Son miles de pesos ii=18% año ∆Ac

+18% FEAI +18%

∆ utilidades ∆ impuestos. FEDI sin deflactar

FEDI deflactados

0 -1000 -1000 -1000 1 -180 531 531 -265.5 85.5 72.46 2 -212.4 626.6 626.6 -313.3 100.9 72.46 3 -250.632 739.36 739.36 -369.68 119.05 72.46 4 -295.75 872.45 872.45 -436.22 140.47 72.46 5 -348.98 1029.5 1029.5 -514.75 165.77 72.46 5 0 2287.75 0 0 2287.75 1000 venta *(100)(1.18)5=2287.75 VPN= -100 + 72.46(P/A, i*,s) + 1000(P/F, i* ,s)=0 i*=7.24% *(180)(1.18)=212.4 (212.4)(1.18)=250.63 … **(450)(1.18)=531



CAPÍTULO VII

SELECCIÓN DE PROYECTOS EN CONDICIONES

LIMITADAS DE PRESUPUESTO



SELECCIÓN DE PROYECTOS EN CONDICIONES

LIMITADAS DE PRESUPUESTO

Capítulo VII

En toda corporación se tiene el gran problema de optimizar el uso de los recursos económicos en todas sus divisiones. Para lograrlo, necesita determinar los flujos de efectivo que genera cada división, perteneciente a dicha corporación, así como sus capacidades de endeudamiento, sus posibles fuentes de financiamiento y los flujos de efectivo entre divisiones. Primero se generan todas las combinaciones de presupuestos de cada división y éstas serán las alternativas mutuamente exclusivas. Después se seleccionará la mejor alternativa, de acuerdo con las condiciones limitadas de presupuesto. La restricción en el presupuesto puede ser resuelta a través de modelos matemáticos que seguirán dos criterios: uno que no permite endeudamiento en ninguna de las divisiones de la corporación y otro que sí lo permite y, además, supone que el exceso de efectivo que se presente en una división se podrá destinar a inversiones líquidas a corto plazo. Por último, se analizará el grado de efectividad que se logra cuando las decisiones se hacen en forma secuencial y cuando se hacen en forma periódica 7.1 GENERACIÓN DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUSI VAS El comportamiento que puede existir en un conjunto de propuestas puede ser: - mutuamente exclusivo - independiente - contingente Cada combinación de propuestas representa una alternativa mutuamente exclusiva, donde la aceptación de una de ellas implica el rechazo del resto, pues ella es única. Su flujo de efectivo de cada período se obtiene al sumar los correspondientes de todas las propuestas en ese período. Supongamos que una corporación está formada por 3 divisiones, y que cada una de estas haga una propuesta. Utilizando a los números binarios, donde cero significa el rechazo de la propuesta y uno es su aceptación.



Alternativas Propuestas

Mut. exclusivas División 1 División 2 División 3 1 0 0 0 2 1 0 0 3 0 1 0 4 0 0 1 5 1 1 0 6 1 0 1 7 0 1 1 8 1 1 1

Tabla 7.1 Alternativas mutuamente exclusivas

Ahora, si se tienen 2 alternativas para las propuestas de las divisiones 1 y 2, y suponiendo que la división 3 no tiene propuesta de inversión.

Alternativas División 1 División 2 Mut. exclusivas A1 A2 B1 B2

1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 3 0 1 0 0 4 0 0 1 0 5 0 0 0 1 6 1 0 1 0 7 1 0 0 1 8 0 1 1 0 9 0 1 0 1

Tabla 7.2 Alternativas con propuesta de inversión

Aquí se muestra el conjunto de alternativas mutuamente exclusivas posibles. Las propuestas A1, A2, B1 y B2 son de ese tipo. Sin embargo, la selección de la propuesta A1 ó A2 es independiente de la selección de B1 ó B2, es decir, no afecta en nada el aceptarlas o rechazarlas. Ahora bien, alternativa contingente significa la parte proporcional con la que uno contribuye, en unión con otros, para conseguir un fin. Es decir, que se necesitan para existir. Si las propuestas son contingentes, también es posible agruparlas en un conjunto de alternativas mutuamente exclusivas. Suponga que en una determinada división se generan 3 propuestas: A, B y C, donde C es contingente a la aceptación de las propuestas A y B y la propuesta B es contingente a la aceptación de la propuesta A, como se puede apreciar en la siguiente tabla.



Alternativa Propuestas mutuamente exclusivas A B C

1 0 0 0 2 1 0 0 3 1 1 0 4 1 1 1

Tabla 7.3 Propuestas

Los anteriores ejemplos resultaron muy sencillos. Sin embargo, la realidad es que en una división existen muchas áreas de inversión (producción, distribución, mercadotecnia, etc.) y dentro de cada área de inversión, pueden existir varias propuestas mutuamente exclusivas. La programación lineal resolverá este problema más adelante. La siguiente figura muestra un diagrama para una corporación con 2 divisiones, con sus posibles combinaciones de propuestas.

Figura 7.1 Propuestas generadas Donde el número total de combinaciones de propuestas, N, se obtiene mediante la siguiente ecuación:

+

+===

)1()1( ,21

,11

21

j

n

jj

n

jPPN ππ (7.1)

Corporaciónn

División 1

División 2

A1, 1

A1, 2

A1, n1

A2, 1

A2, 2

A2, n2

P1

P1

P1

P1

P1

P1

P2

P2

P2

P2

P2

P2

Px

Py

Pz

Pa

Pb

Pc



donde, P1,j =Cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del área j dentro de la división 1 P2,j =Cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del área j dentro de la división 2 n1 =Cantidad de áreas de inversión dentro de la división 1 n2 =Cantidad de áreas de inversión dentro de la división 2 Para una corporación con n divisiones y en la cual cada división tiene ni áreas de inversión, entonces la ecuación anterior se transforma en,

+=

==)1( ,

11ji

n

j

n

iPN

i

ππ (7.2)

Donde, Pi,j = cantidad de propuestas mutuamente exclusivas del área j dentro de la división i. En condiciones limitadas de presupuesto, se tendrán que eliminar aquellas combinaciones de propuestas que requieran más dinero del que se dispone. 7.2 SELECCIÓN ENTRE MUCHOS PROYECTOS CON RESTRICCIONES Cuando se tiene un grupo de muchas áreas de inversión con interrelaciones técnicas dentro de ellas y además se tienen limitaciones económicas (como siempre sucede), se complica mucho la selección de la mejor alternativa. La metodología es la siguiente: formar todas las combinaciones posibles de propuestas, desechando a las que requieren más dinero del disponible o que rinden poco, y escogiendo a las de mayor valor presente. Ejemplo Suponga que en una división determinada de la corporación se tienen únicamente dos áreas de inversión (vea la siguiente tabla). Además, suponga que se disponen de $400,000 para inversiones.

Área

Propuestas mutuamente exclusivas

Inversión

inicial

Valor presente

neto P1,1 $ 150,000 $68,000 P1,2 180,000 80,000 1 P1,3 300,000 137,000 P1,4 200,000 76,000 P2,1 $ 60,000 30,000 P2,2 100,000 20,000 2 *P1

2,2 20,000 15,000 (Obligada) P2,3 208,000 100,000

*P12,3 32,000 28,000

Tabla 7.4



Es claro que la propuesta P1,4 puede ser descartada, pues cuesta $200,000 y rinde $76,000, siendo que hay otras propuestas con menor inversión y mayor rendimiento, como lo es la P1,2; con $180,000 invertidos y rendimiento de $80,000. Las demás propuestas del área 1 rinden mayor valor presente neto, a mayor costo. Además, tenemos la alternativa cero, "no hacer nada", es decir no tomar ninguna de estas alternativas. En la siguiente tabla se enumeran todas las alternativas mutuamente exclusivas que se pueden generar (todas incluyen una propuesta del área obligada) con su costo total y se marcan con un asterisco las alternativas que exceden al presupuesto total. Alternat. mutuamen.

Propuestas

Inversión inicial

Valor presente

exclusivas P1,1 P1,2 P1,3 P2,1 P2.2 P12,2 P2,3 P1

2,3 neto 1 0 0 0 1 0 0 0 0 $ 60.000 $ 30,000 2 0 0 0 0 1 0 0 0 100,000 20,000 3 0 0 0 0 1 1 0 0 120,000 35,000 4 0 0 0 0 0 1 1 0 208,000 100,000 5 0 0 0 0 0 0 1 1 240,000 128,000 6 1 0 0 1 0 0 0 0 210,000 38,000 7 0 1 0 1 0 0 0 0 240,000 50,000 8 0 0 1 1 0 0 0 0 360,000 107,000 9 1 0 0 0 1 0 0 0 250,000 88,000 10 0 1 0 0 1 0 0 0 280,000 100,000 11 0 0 1 0 1 0 0 0 400,000 157,000 12 1 0 0 0 1 1 0 0 270,000 103,000 13 0 1 0 0 1 1 0 0 300,000 115,000 14 0 0 1 0 1 1 0 0 420,000* 172,000 15 1 0 0 0 0 0 1 0 358,000 168,000 16 0 1 0 0 0 0 1 0 388,000 180,000 17 0 0 1 0 0 0 1 0 508,000* 237,000 18 1 0 0 0 0 0 1 1 390,000 196,0001

19 0 1 0 0 0 0 1 1 420,000* 208,000 20 0 0 1 0 0 0 1 1 540,000* 265,000

Tabla 7.5

La mejor alternativa por consiguiente, es aceptar la propuesta P1,1 del área 1 y las propuestas P2,3 y P'2,3 del área 2 (esta última es contingente a P2,3). Cabe aclarar que el criterio más eficiente usado con mayor frecuencia es el valor presente de la inversión total. Pero igualmente es válido usar el valor anual equivalente, el valor futuro o la tasa interna de rendimiento. 7.3 FORMULACIÓN CON PROGRAMACIÓN ENTERA Las limitaciones en dinero, las interrelaciones técnicas de las propuestas y las tendencias de crecimiento de cada una de las divisiones que integran la corporación, requiere de la formulación y el desarrollo de un modelo de programación entera, sobre todo cuando en la corporación se generan muchas propuestas de inversión.



7.3.1 CONSTRUCCIÓN DEL MODELO SIN CONSIDERAR PASIVO Un modelo matemático de programación entera tiene tres componentes principales, * La función objetivo, la cual puede ser maximizada o minimizada * Restricciones- condición de no-negatividad de las variables de decisión

1. La función objetivo matemáticamente se expresa así:

∑∑∑=== +

=T

tjkt

jktn

k

m

j

Xi

SVPNMAX

011 )1(_ (7.3)

donde, VPN = Valor presente neto Sjkt = Flujo de efectivo neto del proyecto j en la división k durante el período t Xjk = Variable de decisión, la cual puede tomar un valor de CERO cuando el proyecto j de la división k es rechazado o UNO cuando es aceptado. i = Tasa de recuperación mínima atractiva (TREMA) 2. Por otro lado, las restricciones más comunes que se presentan en este tipo de modelos matemáticos son las siguientes. A) RESTRICCIÓN FINANCIERA

∑ ∑∑∑∑= ====

<T

t

T

tkt

n

kjkjkt

n

k

m

j

bXA0 0111

donde, A jkt = Necesidades de efectivo (nuevas inversiones) del proyecto j en la división k, durante el período t. bkt = Disponibilidad de capital en la división k durante el período t (tienen que ser pronosticadas) B) PROPUESTAS MUTUAMENTE EXCLUSIVAS Pueden existir propuestas que se consideran mutuamente exclusivas, es decir, la aceptación de una de ellas implica el rechazo del resto. Por ejemplo, si los proyectos 1, 2 y 3 de la división 1 son mutuamente exclusivos, entonces matemáticamente se pueden expresar como,

11,31,21,1 ≤++ XXX

Aquí solamente una de las variables puede tomar el valor de uno y el resto el de cero, en el sistema binario. Además, existe la posibilidad de rechazar todas las propuestas. C) RELACIONES DE CONTINGENCIA En algunas ocasiones, la aceptación de un proyecto depende de la aceptación previa de otro proyecto, al cual está relacionado. Entonces:



01,21,1 ≥+− XX

Aquí no se permite que X1,1 valga 1 a menos que X2,1 valga 1. Pero X2,1 puede ser 1 con X1,1 igual a cero. Además, tanto X1,1 como X2,1 pueden ser cero al mismo tiempo. D) ÁREA OBLIGADA Probablemente exista dentro de una división un "área obligada", es decir un área en la cual es forzoso escoger una propuesta de entre las varias que pertenecen a dicha área. Por ejemplo, para 3 propuestas, su expresión matemática es la siguiente:

11,31,21,1 =++ XXX

3. La condición de no-negatividad de las variables de decisión limita sus valores a, - CERO proyecto rechazado - UNO proyecto aceptado Lo cual significa que cada variable de decisión puede tomar solamente dos valores. Sin embargo, si la condición de no negatividad se expresa de la siguiente manera:

10 << jkX

Implica la posibilidad de aceptar solo una parte del proyecto y rechazar el resto. Esta formulación (programación lineal) es factible de utilizar solo en los casos en que los tipos de proyectos usan bonos, acciones, etcétera. Si el proyecto es obtener maquinaria, entonces la programación lineal es inadecuada, debido a que no se puede comprar solamente una parte de la máquina. 7.3.2 CONSTRUCCIÓN DEL MODELO CONSIDERANDO INCREMENTOS EN EL PASIVO E INVERSIONES LÍQUIDAS Si consideramos la posibilidad de aumentar el pasivo (préstamo externo) de cada una de las divisiones, entonces proyectos rechazados por falta de recursos podrán ser aceptados. También es necesario señalar que, a pesar de que el mejor financiamiento es a través de pasivos, éstos no deben aumentarse desmedidamente, pues resultaría peligrosa una palanca financiera excesiva. Además, en este modelo se considera factible invertir toda la disponibilidad del dinero ocioso en inversiones líquidas de corto plazo. Entonces el modelo resulta:

∑∑∑ ∑∑∑∑= == = === +

++

−+

=n

k

T

tt

tkL

T

t

n

k

T

tt

tkbjkt

jktn

k

m

j i

ACi

i

PiX

i

SVPNMAX

1 0

,

0 1 0

,

11 )1()1()1(_

(7.4)

Sujeto a:

∑ ∑ ∑ ∑∑= = = ==

≤+−m

j

n

k

n

k

n

kkkk

n

kjkjk bACPXA

1 1 1 11,1,1,

11



∑ ∑ ∑∑∑∑∑= = = =

−−== =

+−++m

j

n

k

n

k

T

ttkLtk

T

t

n

k

T

tbjkjkt ACiPiXA

1 1 1 21,1,

21 2

)1()1(

∑ ∑ ∑∑∑∑= = = ===

≤+n

k

n

k

n

k

T

ttktk

T

t

nT

ttk bACP

1 1 1 2,,

22,

tktk LPP ,, ≤

jkX puede ser cero o uno

0, ,, ≥tktk ACP para k=1,2,….n y T=1,2,….T

donde, P k,t = Cantidad de dinero obtenida a través de pasivo por la división k durante el período t (los plazos de estos pasivos se asumen de 1 período) AC k,t = Cantidad de dinero que la división k destina a inversiones líquidas de corto plazo durante el período t ( vida supuesta de 1 período) LP k,t = Nivel máximo de pasivo que la división k puede tener durante el periodo t i b = Costo de las fuentes de financiamiento (pasivo) i L = Rendimiento obtenido de las inversiones líquidas de corto plazo En este nuevo modelo se pueden tener las mismas restricciones del modelo anterior. 7.3.3 UTILIDAD Y APLICABILIDAD En situaciones donde haya muchas áreas de inversión con muchas alternativas , cada una de poco monto, la programación entera resulta inútil, pues probablemente no justifique el gasto de tiempo de computadora, en tal caso será mejor utilizar algún método de selección aproximado (siguiente subtema). En situaciones con mediana cantidad de áreas de inversión, con algunos proyectos requiriendo inversiones fuertes de dinero, el uso de estas formulaciones permite explorar ordenadamente todas las combinaciones posibles de propuestas y obtener la mejor combinación. 7.4 MÉTODOS DE SELECCIÓN APROXIMADOS Se tienen otras herramientas para seleccionar la mejor combinación de propuestas en condiciones limitadas de presupuesto, además de la programación lineal o entera. Estos métodos son, - ordenado por tasa interna de rendimiento - ordenado por valor presente por peso invertido - ordenados combinados Los métodos de selección aproximados han tenido bastante éxito debido a que en la realidad se tienen que hacer estimaciones acerca del futuro, por ejemplo inflación, tasas de interés, disponibilidad de capital, etcétera. 7.4.1 ORDENADO POR TASA INTERNA DE RENDIMIENTO Para una división se puede escoger dentro de cada área de inversión, la mejor alternativa. Posteriormente se ordenan descendentemente en cuanto a su TIR, y se aceptan propuestas hasta que se agote el presupuesto. Resulta muy simple este método, pero se deben analizar los resultados con



criterio real, para no caer en la trampa del aceptar propuestas de poco dinero invertido y mucha TIR, en lugar de propuestas de mucho dinero y poco rendimiento, pues el dinero efectivo resultante sería menor. Esto suponiendo que el financiamiento son utilidades generadas por la división. Por otro lado, si la compañía utiliza pasivo para financiar parte de las nuevas inversiones (es lo mejor, siempre y cuando el rendimiento obtenido en las nuevas inversiones sea mayor que el costo del pasivo), su proceso de selección es de acuerdo a la siguiente figura: TIR

∆UR = Incremento en utilidades retenidas. ∆ P = Incremento en pasivo.

∑ Inversión inicial

∆ UR. X ∆ UR + ∆ P

Figura 7.2 Proceso de selección considerando apalancamiento financiero.

Aquí se observa que los proyectos que están antes de X son aceptados si el incremento en el pasivo permitido es mayor que (X-∆UR). Por el contrario, si el incremento en pasivo permisible es muy raquítico, entonces algunos proyectos serán rechazados a pesar de tener un rendimiento aceptable, debido a que no se debe aumentar el pasivo en forma irracional y desmedida, sino de acuerdo a una cierta estructura financiera previamente establecida. 7.4.2 ORDENADO DEL VALOR PRESENTE POR PESO INVERTIDO Su mecánica es similar a la anterior, con la diferencia de que se obtiene la relación de valor presente con la inversión requerida, para las mejores alternativas dentro de cada área de inversión, y esa relación se usa para ordenar las propuestas, poniendo primero a las de mayor índice (mayor eficiencia económica), es decir, las que tengan mayor ganancia por peso invertido. Este método es aún más sencillo que el anteriormente expuesto. También se le conoce como relación beneficio-costo. 7.4.3 ORDENADOS COMBINADOS Tiene la ventaja de permitir varios ordenamientos al utilizar diferentes índices como son: TIR, valor presente por peso invertido o relación beneficio-costo. El procedimiento es el siguiente:



* Se generan todas las alternativas mutuamente exclusivas dentro de cada área de inversión, para todas las divisiones que integran la corporación.

* Después se ordenan con respecto a cada índice y se seleccionan los mayores índices, generalmente el que relaciona beneficio - costo es el más usado.

* Al aceptar una alternativa dentro de un área de inversión, automáticamente se elimina al resto de las alternativas dentro de la misma área. Si a alguna alternativa no le alcanzan los fondos, se elimina y se pasa a la siguiente alternativa, hasta agotarse el presupuesto.

El proceso se hace para todos los índices que parezca oportuno y se selecciona aquella alternativa con la cual se maximiza el valor presente. Este método resulta muy recomendable y su confiabilidad compite con la programación entera. Ahora, para el caso en que se tenga un área de inversión obligada se recomienda lo siguiente: • Si las áreas obligadas tienen alternativas únicas, adoptarlas de antemano, pues son decisiones ya

tomadas. • Si las áreas obligadas tienen varias alternativas, establecer límites al dinero que se puede gastar

antes de seleccionar alguna alternativa del área obligada, de tal modo que el proyecto más pequeño del área se pueda tomar.

7.5 DECISIONES SECUENCIALES Y DECISIONES EN GRUPO Tanto los modelos de programación entera como los métodos aproximados que se estudiaron en las anteriores secciones, suponen que se presenta un grupo de proyectos disponibles actualmente o en un futuro específico. Sin embargo, los proyectos aparecen secuencialmente, es decir, uno después de otro y no siempre por grupos de proyectos, debido en cierta parte al continuo desarrollo tecnológico en todos los campos. Entonces, es conveniente analizar qué procedimiento de decisión es más efectivo: si decisiones secuenciales o en grupo. La primera, tomar decisiones secuenciales a medida que las propuestas de inversión van surgiendo, tienen la ventaja aparente de ganar tiempo, sobre todo si éstas resultan altamente productivas. La segunda, tomar decisiones en grupo, en forma periódica, tiene la ventaja de lograr un panorama más amplio, sobre todo en el caso de tener fondos limitados para inversión. Este procedimiento de inversión es más efectivo, obviamente. La práctica dice que es mejor tomar decisiones sobre un grupo de propuestas que se presentan durante un año, que para períodos más cortos o más largos. De cualquier forma, las diferencias en los rendimientos que se obtuvieron con cada uno de éstos son insignificantes.



REFERENCIAS 1. Coss Bu, Raúl “Análisis y evaluación de proyectos de inversión" Segunda edición Editorial LIMUSA México, 1992 2. Uriegas Torres, Carlos “Análisis económico de sistemas en la Ingeniería" Primera edición Editorial LIMUSA México, 1987 3. Thuesen, H.G., Fabricky, W.J. & Thuesen, G.J. "Ingeniería Económica” Editorial Prentice Hall Traducción de la 1a.edición México, 1996 4. Blank, Leland & Tarquin “Ingeniería Económica " Editorial McGraw-Hill Traducción de la 2a.edición México, 1987 5. Grant, Eugene L. “Principios de Ingeniería Económica " C.E.C.S.A. México, 1980

notasdeclase_ingeconomica_21072010

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