A1

A2

A3

An

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Administración y Contaduría Cátedra: Estadística I Profesor: Simón Córdova U.

Teorema de la Probabilidad Total Si un suceso B puede ocurrir condicionado por los sucesos A1, A2, A3, ... An; los cuales son mutuamente excluyentes dos a dos, entonces, la probabilidad de ocurrencia del

suceso B puede ser expresada por: P(B) = 1

( / ). ( )n

i

P B Ai P Ai

Demostración: Podemos representar gráficamente la hipótesis del teorema de la siguiente manera: Suceso

B

En términos conjuntistas, el suceso B viene dado por:

B = (A1∩B) U (A2∩B) U (A3∩B) U . . . U (An∩B) Luego, aplicando el operador probabilidad a los conjuntos anteriores se tiene: _a/ P(B) = P(A1∩B)+P(A2∩B)+P(A3∩B)+…+P(An∩B) Pero: P(A1 ∩ B) = P(B/A1)P(A1) P(A2 ∩ B) = P(B/A2)P(A2) P(A3 ∩ B) = P(B/A3)P(A3) . . . P(An ∩ B) = P(B/An)P(An) debido a que B ocurre dada la ocurrencia de A1, A2, A3,---, o An ; por lo tanto, sustituyendo las probabilidades condicionales en la ecuación _a/, se tiene finalmente: P(B) = P(B/A1)*P(A1)+P(B/A2)*P(A2)+P(B/A3)*P(A3)+…+P(B/An)*P(An); es decir,

P(B) = n

i=1

P(B/Ai).P(Ai)

Teorema de Bayes Si un suceso B puede ocurrir asociado a los sucesos A1, A2, ... , An,, los cuales

son MEX dos a dos; es decir, AiAj=, entonces, la probabilidad de ocurrencia

de cualquier suceso Ar , sabiendo que ocurrió el suceso B, (r=1,2,…,n), viene

dada por: P(B/Ar).P(Ar) P(Ar/B) = -------------------; donde P(B) es la probabilidad total del teorema anterior. P(B) Por tanto, P(B/Ar).P(Ar) P(B/Ar).P(Ar) P(Ar/B) = ____________________________________________ = _____________

P(B/A1).P(A1) + P(B/A2).P(A2) + ... + P(B/Ar).P(Ar) 1

( / ). ( )r

i

P B Ai P Ai

Eventos (Ai) y sus

probabilidades P(Bi)P(Ai) P(B/Ai) P(AinB) P(Ai/B)

P(I) 0,10 0,02 0,0020 0,0227

P(II) 0,20 0,08 0,0160 0,1818

P(III) 0,70 0,10 0,0700 0,7955

1,00 P(BUENO)= 0,0880 1,0000

Eventos (Ai) y sus

probabilidades P(Bc)P(Ai) P(B

C/Ai) P(AinB

C) P(Ai/B

C)

P(I) 0,10 0,98 0,0980 0,1075

P(II) 0,20 0,92 0,1840 0,2018

P(III) 0,70 0,90 0,6300 0,6908

1,00 P(MALO)= 0,9120 1,0000

Probabilidades revisadas o

a posterioriProbabilidades conjuntas

Probabilidades

condicionalesProbabilidades a priori

P(B/A1) P(A1nB)

0,0227 = P(A1/B)

P(A1) 0,02 0,002

0,10

P(BC/A1) P(A1nB

C)

0,1075 = P(A1/BC)

0,98 0,098

P(B/A2) P(A2nB)

0,1818 = P(A2/B)

P(A2) 0,08 0,016

1

0,20

P(BC/A2) P(A2nB

C)

0,2018 = P(A2/BC)

0,92 0,184

P(B/A3) P(A3nB)

0,7955 = P(A3/B)

P(A3) 0,10 0,07

0,70

P(BC/A3) P(A3nB

C)

0,6908 = P(A3/BC)

0,90 0,63

PRACTICA TEOREMA DE BAYES Y CRITERIO DEL VALOR MONETARIO ESPERADO 1. Estudios hechos por la Asociación de Educación demuestran que el 30 % de los

profesores de la nación dejan la profesión después de 10 años. Además, entre quienes la abandonan, el 60 % tienen un título avanzado, mientras que entre los que no dejan la profesión, el 20 % tienen un título avanzado. En señor “X”, el profesor favorito de los estudiantes, acaba de obtener un título avanzado. ¿Cuál es la probabilidad de que deje a los estudiantes y consiga un trabajo distinto?.

2. Una empresa manufacturera tiene planes en Chicago y Houston. La planta de

Chicago produce el 40 % de la producción total, con un 40 % en la tasa de defectos. La planta de Houston tiene una tasa de defectos de 20 %. Si solo se encuentra que una unidad es defectuosa; ¿es mas probable que provenga de Chicago o Houston?

3. Suponiendo que existen números iguales de estudiantes varones y mujeres en una

secundaria y que la probabilidad es 1/5 de que un estudiante varón y 1/25 de que una estudiante mujer se especialice en ciencias, ¿Cuál es la probabilidad de que: 3.1 un estudiante seleccionado al azar sea un estudiante de ciencias varón? 3.2 un estudiante seleccionado al azar sea un estudiante de ciencias? 3.3 un estudiante de ciencias seleccionado al azar sea varón?

4. Supóngase que se ha aplicado una prueba al nivel de secundaria para verificar si los estudiantes son o no aptos para estudiar los años superiores del bachillerato y que se ha obtenido la siguiente experiencia: de los estudiantes que cursaron

satisfactoriamente el primer año del bachillerato, el 80 % de ellos aprobó el exámen. De los estudiantes que no hicieron buenos estudios durante su primer año de bachillerato, el 30 % de ellos aprobó el exámen. Se supone que el exámen no se usó como prueba de admisión. Si se sabe que solamente el 70 % de los alumnos del primer año de bachillerato estudian satisfactoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante que pasó la prueba sea un estudiante satisfactorio?.

5. Supongamos que para detectar cierta enfermedad rara se ha perfeccionado una

prueba a tal grado que mediante ésta es posible descubrir dicho mal en el 97 % del total de individuos afectados. Supongamos, además, que cuando se aplica a individuos sanos, en el 5% de ellos se diagnostica de manera errónea en el sentido de afirmar que ha contraído el mal. Finalmente, supongamos que cuando se ensaya en individuos que padece alguna otra enfermedad mas benigna, en el 10 % de ellos se diagnostica incorrectamente. Se sabe que los individuos de los tres tipos aquí considerados se presentan en una población suficientemente grande, en cantidades que equivalen al 1%, 96% y 3% respectivamente. El problema es calcular la probabilidad de que un individuo de dicha población, escogido al azar y al cual se le aplique la prueba, en realidad tenga la enfermedad rara cuando la prueba así lo indique.