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NOTAS SOBRE EL DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS EN LA FACULTAD DE MINAS

El ingeniero Luis Fernando Múnera López se refiere a algunos importantes aspectos de su paso como alumno por la Facultad de Minas entre 1970 y 1975. 1. Rigor de los cursos. A mí me gustó mucho la formación en matemáticas de la facultad. Me pareció rigurosa. No recuerdo ningún curso de matemáticas que fallase en su rigor conceptual. Destaco varios elementos que fueron muy formativos para mí:

La construcción de los conceptos. Con esto quiero señalar que los cursos no se reducían a enseñar la mecánica de los procesos matemáticos sino especialmente la esencia de los conceptos.

El carácter formativo que tenía la lógica matemática. Con cada curso no solamente aprendíamos las técnicas respectivas sino que aprendíamos a pensar de una forma lógica, ordenada, coherente.

La interiorización o apropiación de los conceptos. Los conceptos matemáticos no los aprendimos de memoria, sino que los interiorizamos, los involucramos dentro de nosotros.

En los tres puntos que he mencionado arriba hay una componente común: No veíamos los conceptos matemáticos como algo abstracto sino como algo concreto. No sé si quepa la expresión, pero veíamos y comprendíamos el significado “físico” de cada concepto. Para alcanzar este tipo de aprendizaje se requería aplicar imaginación e intuición, más allá de la mera definición rigurosa. Ejemplo 1. Un ejemplo de esto que aquí digo fue para mí el concepto de límite. Y, asociado con éste, el concepto de la cantidad infinitesimal. ¿Cómo entender el concepto de límite? Yo logré entenderlo bien cuando pude construir y “materializar” en el cerebro una imagen “visual” de él. Este proceso mental implicaba algo más que la abstracción del concepto, implicaba la materialización del mismo. Más que volverlo abstracto había que volverlo concreto, tangible, para poder “verlo”, interiorizarlo y memorizarlo.

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Ejemplo 2. Continuando con el concepto de límite, fue también importante entender y “visualizar” que aunque todo límite implicaba una magnitud infinitesimal tanto de la función como de la variable asociadas, no por ello todos los límites valían igual, sino que su valor dependía de la naturaleza de la función involucrada. Por ejemplo, el límite de una recta cuando la variable tiende a algún valor es distinto al límite de una parábola cuando la variable tiende al mismo valor. Ambos son pequeños, pequeñísimos, pero no por ello son iguales, por el contrario, son diferentes. Entender esto fue fundamental para comprender qué significan y cómo “funcionan” una derivada y una integral. Recuerdo que este tipo de formación intuitiva y perceptiva era una especie de hilo conductor de todos los cursos de matemáticas de la facultad. Como si todos los programas y los profesores estuviesen preparados en esa forma de presentar y enseñar las matemáticas. 2. Carácter teórico o práctico de los cursos. En general los cursos que recibí tuvieron enfoque eminentemente teórico. Eventualmente el profesor ponía algún ejemplo de aplicaciones prácticas que podrían tener los conceptos en la práctica de la ingeniería, pero esto no era sistemático. Lo que sí teníamos muy claro era que necesitábamos estar muy bien preparados en matemáticas para después poder ser buenos ingenieros. Distinto ocurrió con los tres cursos de física que tuvieron la característica de usar casos y ejemplos tomados de la ingeniería para formular y resolver problemas, siempre con profundo rigor matemático y lógico. La física también tuvo para nosotros el carácter formativo, intuitivo y lógico que acabo de describir que tuvieron las matemáticas. Fue tal el rigor en la formación de las matemáticas y la física que cuando después pasamos a las llamadas ciencias de la ingeniería (materiales, hidráulica, geotecnia, etc.) tuvimos cierta dificultad para entender y aceptar que éstas fuesen menos rigurosas y menos exactas que aquellas. Otra cosa muy importante fue que todos nuestros profesores de matemáticos eran ingenieros, no tuvimos entre ellos matemáticos puros. Y por tanto, aunque no enseñaban aplicaciones concretas de las matemáticas a la ingeniería, sí tenían y transmitían en clase el “sabor ingenieril” de los temas. La matemática pura tiene un “saborcito distinto”.

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Destaco algo importante: En esos cursos de matemáticas no se utilizaba ningún equipo o instrumento, diferente de la regla de cálculo. Creo que aprender a manejar la regla de cálculo ayudó mucho en la formación de la lógica. Y que el no haber utilizado calculadoras o computadores en estos cursos de matemáticas nos fortaleció en el aprendizaje de los conceptos y de los procesos. 3. Profesores y cursos. Con mucho gusto te hago una breve mención de los profesores asociada con la reseña de los cursos que me dictaron. De todos guardo un recuerdo grato y agradecido, por todo lo que me dieron para la ingeniería y para la vida. Cálculo 1. Nos introdujo en las matemáticas para la ingeniería, con aportes valiosos en lógica y en teoría de conjuntos. Profesor, Jorge Cuervo, riguroso, claro, frío, distante. Álgebra y trigonometría: Yo traía buena formación en álgebra y me fortaleció los conceptos. Trigonometría fue muy enriquecedora. Profesor, Hernán Vasco, riguroso, analítico, intelectual, culto, muy cálido con los estudiantes. Geometría: Quizás el curso más formativo que tuve en toda la carrera. Resolver problemas de geometría me enseñó muchísimo. Era muy bonito cuando después de lucharle mucho a un problema se llegaba a un punto muerto, sin solución, y había que empezar de nuevo por un camino diferente... y llegar por ahí a feliz término. Profesor, Benjamín Farbiarz, joven, riguroso y muy buen profesor. Me sorprendía que a veces planteaba un problema en el tablero y al intentar solucionarlo él se iba por el “camino equivocado” y no llegaba a la solución. Entonces se detenía, nos invitaba a pensar y a empezar por un camino diferente; esto podía parecer como mala preparación de la clase, pero hoy pienso que verlo patinar en el tablero nos ayudó en nuestra formación de ingenieros, pues nos mostraba que los errores enseñan tanto como los aciertos. Cálculo 2. Curso muy formativo en el concepto del límite y en el manejo de las derivadas. Profesor Juan Santamaría, Juancarpintería, muy riguroso en la enseñanza, exigía mucho trabajo personal. Cálculo 3. Curso muy intenso en manejo de integrales. Me impactó mucho que el profesor, el doctor Jorge Ramírez, el Mazo, nos motivaba mucho a aprender soluciones de memoria de los integrales “inmediatos”, sin exigirnos

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desarrollarlos... para no perder tiempo en la solución de los problemas. Profesor muy exigente, distante en clase, pero muy amable en el trato personal directo. Geometría Analítica. Un curso bellísimo que nos enseñó a poner las figuras geométricas de dos y de tres dimensiones en forma de ecuaciones, mediante hermosas aplicaciones de la operación de integración. Fundamental para la práctica de la ingeniería. El capítulo de las secciones cónicas y las curvas asociadas a ellas es de lo más bello que yo conozco. No recuerdo el nombre del profesor. Álgebra Lineal. Un curso fundamental en la comprensión y manejo de vectores y matrices como ordenamientos de números. Mucho nos sirvió para entender los conceptos funcionales de vectores y matrices y para su manejo mediante los computadores. Profesor, Jorge Ignacio Paz, claro, riguroso y muy amable. Se interesó por introducirnos y prepararnos para la ingeniería. Ecuaciones Diferenciales. Un curso fundamental para el manejo de las llamadas ciencias de la ingeniería. El profesor Ricardo Arenas, buen profesor pero orientó el curso más a la solución mecánica de las ecuaciones diferenciales que a la comprensión de los procesos de solución. Matemáticas Especiales. La última asignatura de matemáticas, incluía temas especiales para aplicaciones de alta complejidad en ingeniería. Profesor Gabriel Poveda Ramos, un maestro en todo el sentido de la palabra. 4. Textos de referencia Conservo, como tesoros, varios de mis libros de texto de matemáticas. Hoy los releo con el placer intelectual de meterme en los conceptos sin la presión de los exámenes, je, je, je. Destaco un detalle: la mayoría eran versiones originales en inglés y francés, pues las traducciones, cuando se conseguían, eran más costosas, amén del riesgo de posibles imprecisiones, y me produjeron, de paso, el enorme beneficio de aprender de entrada el vocabulario técnico de la ingeniería en inglés, lo cual ha sido invaluable en mi vida profesional. COURS DE GÉOMÉTRIE, par Une Reunion de Professeurs ÁLGEBRA, de Paul K. Rees y Fred W. Sparks

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NOTAS DE GEOMETRÍA, del profesor Navarro (mimeografiadas) TEORÍA DE CONJUNTOS Y ANÁLISIS DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS, de Bernardo Jiménez V. PLANE TRIGONOMETRY, de A. Spitzbart y R. H. Bardell LINEAR ALGEBRA, de G. Hadley ANALYTIC GEOMETRY: A VECTOR APPROACH, de Charles Wesler. UNIVERSITY CALCULUS WITH ANALYTIC GEOMETRY, de C. B. Morrey, Jr. ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS, de Erwin Kreyszig. Medellín, octubre de 2013