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Lgica 2013

Lgica de primer orden Alejandro Chmiel

1. Introduccin En estas notas vamos a presentar los lenguajes de primer orden1, en su aspecto sintcti-co y semntico, dando las definiciones y la notacin que vamos a utilizar.

En el libro de Jos Seoane, Lgica y Argumento2, podemos leer una introduccin ms detallada.

2. Lenguajes de orden uno: sintaxis

El primer paso para definir la sintaxis de los lenguajes de orden uno, es definir el alfa-beto. Un alfabeto, como ya se sabe, es un conjunto de smbolos. El alfabeto est formado por los siguientes smbolos comunes a todos los lenguajes de orden uno:

Un conjunto numerable de variables de individuo: x0, x1, x2,, xn, Los smbolos lgicos ya conocidos del lenguaje proposicional: , , , , Los nuevos smbolos lgicos denominados cuantificadores:

o Cuantificador universal o Cuantificar existencial

Los smbolos de puntuacin ya conocidos, los parntesis: (,). A los cuales hay que agregar los smbolos de relacin y de constante.

Un conjunto infinito de smbolos de relacin, donde cada smbolo es de la forma mnR , siendo el subndice n (n>0), la aridad del smbolo de relacin (es decir, la

cantidad de argumentos que exige la relacin), y siendo el suprandice m, el

1 El lector podr comprobar que la notacin utilizada en estas notas est levemente simplificada con respecto a la presentacin dada en el libro, con la finalidad de que la misma sea ms adecuada a una pre-sentacin introductoria.

2Paraintroducirnos en la lgica de primer orden y analizar con mayor profundidad la limitacin que tiene el lenguaje proposicional para capturar ciertos argumentos, recomendamos que se lean los captulos 6 y 7 (en especial la introduccin del captulo 6).

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nmero mediante el cual diferenciamos smbolos de relacin de una misma ari-dad.

Un conjunto de constantes: c0, c1, c2,, cn, Muchas veces cuando escribimos frmulas de primer orden hacemos una leve simplifi-cacin en la notacin, como se indica a continuacin:

(1) Tomamos como smbolos de relacin, las letras P, Q, R, S, T, aclarando expl-citamente, para cada smbolo, su aridad. Ejemplos: (a) Si tengo que representar dos relaciones, una de aridad 1, y otra de aridad 2, puedo hacerlo con estos dos smbolos P y Q, diciendo que P representa una relacin unaria y Q representa una relacin binaria. (b) Si tengo que representar dos relaciones de aridad 2, puedo hacerlo con estos dos smbolos P y Q, diciendo que ambos representan re-laciones binarias. De esta forma, evitamos escribir subndices y suprandices (salvo en los ejercicios de sintaxis).

(2) Como smbolos de constante las letras a, b, c, d, etc. (3) Como smbolos de variable las letras x, y, z, etc. (4) Vale aclarar, que dada una frmula, podemos identificar cul es la aridad de sus

smbolos de relacin por la estructura sintctica de la misma, es decir, no necesi-tamos de los indicadores de aridad para desambiguar una frmula. Por ej. dada la siguiente frmula xy (Pxy Qaxy) sabemos que P es una relacin binaria y Q es ternaria; simplemente porque a continuacin de la P hay dos variables, y cuando terminan los argumentos de la relacin, aparece el conector; y, a conti-nuacin de la Q hay tres variables, cuando terminan los argumentos de la rela-cin aparece el parntesis derecho. Es decir, cuando aparezca un smbolo de re-lacin, podemos ver de qu aridad es, contando las variables que aparecen a con-tinuacin del smbolo, hasta que aparezca, o bien un conector, o bien un parnte-sis.

Aplicando estas indicaciones, una frmula como ( )( )1 2 21 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2x x R x x R x c R x c quedara as: ( )( )x y Pxy Qxa Qxb , simplificando el trabajo de escritura (en es-pecial cuando estamos escribiendo muchas frmulas). Diremos que hay un conjunto de smbolos que son comunes a todos los lenguajes de primer orden (los que se indicaron primero). Sin embargo, los smbolos de relacin y de constante, van a depender del lenguaje particular de primer orden, con el que estemos trabajando. Aclaremos la situacin con un ejemplo: podemos tener un lenguaje de primer orden con dos smbolos de relacin P (smbolo de relacin de aridad uno), Q (smbolo de relacin de aridad dos) y dos constantes a y b. Este es un lenguaje particular de primer orden, que se diferencia de otros lenguajes de primer orden, en los cuales tenemos ms (o me-

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nos) smbolos de relacin o ms (o menos) smbolos de constante. La eleccin entre uno u otro lenguaje de primer orden, depender del problema con el que estemos trabajando. Por este motivo se dice que los smbolos de relacin y de constante son la parte variable (que cambia de un lenguaje particular a otro) del lenguaje de primer orden. La sintaxis del lenguaje de primer orden se define en dos etapas. Primero definimos los trminos del lenguaje y luego definimos las frmulas del lenguaje. Definicin 1. (Trminos) Conjunto de Trminos del lenguaje: Diremos que:

(i) todas las variables son trminos del lenguaje y (ii) todas las constantes son trminos del lenguaje y (iii) estos son los nicos trminos del lenguaje.

Definicin 2. (Secuencia de formacin) Una secuencia de formacin para un lenguaje de primer orden es una secuencia finita donde cada objeto de la secuencia cumple lo siguiente:

(i) O bien es mn 1 nR t t" donde t1 , t2, , tn son trminos del lenguaje L. (ii) O bien es A , siendo A un objeto anterior en la propia secuencia. (iii) O bien es (AB), siendo A y B objetos que aparecen anteriormente en la se-

cuencia. (iv) O bien es (AB), siendo A y B objetos que aparecen anteriormente en la se-

cuencia. (v) O bien es (AB), siendo A y B objetos que aparecen anteriormente en la se-

cuencia. (vi) O bien es (AB), siendo A y B objetos que aparecen anteriormente en la se-

cuencia. (vii) O bien es xiA, i` , siendo A un objeto anterior en la propia secuencia. (viii) O bien es xiA, i` , siendo A un objeto anterior en la propia secuencia.

Definicin 3. (Frmula) A es una frmula de un lenguaje de primer orden si y solo si existe una secuencia de formacin donde A es el ltimo objeto. Frmulas abiertas y cerradas Antes de definir qu es una frmula cerrada, tenemos que definir la nocin de alcance de un cuantificador; de esta ltima definicin surgirn las nociones de ocurrencia libre y de ocurrencia ligada de una variable en una frmula. Toda frmula de un lenguaje de primer orden es cerrada o abierta, pero no ambas. Podramos decir que una frmula es abierta si no es cerrada. La definicin de frmula cerrada es puramente sintctica, y es de gran importancia a la hora de definir la semntica del lenguaje de primer orden, pues, solo a las frmulas cerradas se les va a asignar un valor de verdad.

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Alcance de un cuantificador: Sea A una frmula de un lenguaje de primer orden, si cuantificamos dicha frmula, ya sea con un cuantificador universal xA o con un cuan-tificador existencial xA, el cuantificador alcanzar a todas las ocurrencias de la varia-ble x en la frmula A. Dicho de otro modo, si ocurre en la frmula A una variable x, la misma va a quedar bajo el alcance del cuantificador. Observacin: Si el cuantificador alcanza una variable que ya estaba bajo el alcance de otro cuantificador, no va a tener efecto sobre dicha variable; podramos decir que pre-domina la primera cuantificacin (Ver el ejemplo 2). Ejemplo 1: supongamos que la frmula A es ( )Px Ry , en dicha expresin, aparecen las variables x e y, si aplico un cuantificador universal, del tipo x, sobre dicha expre-sin, obtengo ( )x Px Ry , de este modo, la variable x que aparece (es lo mismo que decir que ocurre) en la frmula A alcanzada por el cuantificador. Sin embargo, la varia-ble y ocurre en la frmula sin ser alcanzada por un cuantificador. Ejemplo 2: Puede suceder que el cuantificador alcance variables que ya ocurren bajo el alcance de otro cuantificador xxPx. En este caso el cuantificador existencial alcanza la variable x que ya estaba cuantificada por el cuantificador universal, por lo tanto, el cuantificador existencial no va tener efecto sobre dicha variable3. De esta forma decimos que la ocurrencia de una variable en una frmula puede ser libre o ligada. Una variable ocurre ligada si est bajo el alcance de un cuantificador y una variable ocurre libre en caso contrario, es decir, si no est bajo el alcance de un cuanti-ficador. En el ejemplo 1, la variable x ocurre ligada y la variable y ocurre libre. Frmula cerrada: una frmula es cerrada si todas las variables que aparecen en ella ocurren ligadas. Frmula abierta: una frmula es abierta si tiene por lo menos una variable que ocurre libre. Observacin: Una variable puede ocurrir libre y ligada en la misma frmula; por su-puesto que en tal caso debe aparecer por lo menos dos veces, y en dicho caso la frmula en cuestin es abierta.

3Cuando veamos la funcin de interpretacin en la seccin 4 (definicin 7), va a quedar ms claro por qu no tiene ningn efecto.

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Ejemplo 3: En ( )xPx Qx x ocurre libre (en el consecuente del condicional) y ocu-rre ligada (en el antecedente). Tiene por lo menos una variable que ocurre libre, por lo tanto, la frmula es abierta. Ejemplo 4: En ( )xPx Qy x ocurre ligada e y ocurre libre, por lo tanto, la frmula es abierta. Ejemplo 5. En ( )x Px Qx x ocurre ligada, y es la nica variable que aparece en la frmula, por lo tanto es una frmula cerrada. Note el lector la diferencia sintctica entre esta frmula y la frmula del ejemplo 3.

3. Breve introduccin a la teora intuitiva de conjuntos Previamente a la semntica del lenguaje de primer orden, tenemos que contar con algu-nos conceptos matemticos bsicos, como el concepto de conjunto y de relacin. En esta seccin de las notas introduciremos muy brevemente dichos conceptos4. Se entender por conjunto una coleccin de objetos. Los objetos que pertenecen al con-junto se denominan elementos del conjunto. Dichos objetos deben ser perfectamente identificables, y dado un conjunto y un objeto, siempre es el caso que el objeto pertene-ce al conjunto o no pertenece, pero no ambos. Definimos un conjunto X por extensin, dando la lista de elementos que pertenecen a dicho conjunto, con la siguiente notacin X = {x1, x2,, xn} , escribiendo todos los elementos entre llaves y separados por coma. Por supuesto que la lista es finita, por lo cual, evidentemente, no podemos definir por extensin conjuntos infinitos. Dado un conjunto, que podemos llamar conjunto universo, y escribir con la letra U, de-finimos un conjunto por comprensin mediante el siguiente esquema: A={x: xU y P(x)}, donde P est en lugar de la descripcin de una propiedad. El esquema anterior puede leerse as: el conjunto de los x tales que pertenecen al uni-verso y tienen la propiedad P. Decimos que A es un subconjunto de B si y solo si todos los elementos de A son ele-mentos de B. Esto lo escribimos as: A B. 4Para estudiar una introduccin ms amplia a la teora intuitiva de conjuntos es recomendable que lean el captulo 2 del libro Lgica y Argumento.

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Los elementos de un conjunto no tienen un orden entre s, por eso es que {a,b} = {b,a}, es decir, escribir los elementos de un conjunto en distinto orden, no cambia al conjunto. Si queremos representar la nocin de orden tenemos que introducir un nuevo concepto matemtico. El concepto de par ordenado permitir capturar la nocin de que dos ele-mentos estn ordenados entre s. Dicho concepto se puede definir a partir del concepto de conjunto. Un par ordenado se escribe as ; x es la primera componente del par, e y es la segunda componente del par; De este modo Dados dos conjuntos A y B, podemos definir el producto cartesiano entre ambos con-juntos, de la siguiente forma: AxB = { : xA e yB} Es el conjunto de todos los pares ordenados, donde la primera componente del par est en A y la segunda est en B. Observemos que los elementos del producto cartesiano son pares ordenados. Notemos que si A = B, obtenemos AxA = { : xA e yA} En tal caso podemos simplificar la notacin: AxA = A2. La nocin de par ordenado se generaliza para poder capturar la nocin de orden entre tres elementos, y en general, entre n elementos, del siguiente modo: Una terna es ; es decir, tres elementos ordenados. Una cudrupla es ; cuatro elementos ordenados. Una n-upla es ; n elementos ordenados. Luego defino el producto entre tres conjuntos, A, B y C, de la siguiente forma: AxBxC = { : xA , yB , zC} As tambin, como definimos A2, podemos definir A3, y en general An. Definicin (Relacin binaria de A en B): Una relacin binaria de A en B, es un subcon-junto de AxB. Si A = B, se dice que es una relacin binaria de A en A (tambin se dice relacin binaria sobre el conjunto A), es decir, un subconjunto de A2 (es decir de AxA). Definicin (Relacin de aridad n sobre un conjunto A): una relacin n-aria sobre el con-junto A, es un subconjunto de An.

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4. Lenguajes de orden uno: semntica

La semntica de la lgica de primer orden consiste de un modo anlogo a lo que hici-mos con la lgica proposicional- en interpretar el lenguaje de primer orden, es decir, darle un valor de verdad a las frmulas del lenguaje. Para simplificar vamos a interpre-tar solamente las frmulas cerradas. Vamos a interpretar un lenguaje particular de primer orden. Obtenemos un lenguaje particular cuando seleccionamos un conjunto de smbolos de relacin y un conjunto de smbolos de constante; podramos tener un lenguaje de primer orden que no tiene cons-tantes. Por ejemplo, obtenemos un lenguaje particular de primer orden al seleccionar los si-guientes smbolos de relacin 11R ,

21R , y

12R ; y, los siguientes smbolos de constante c1

y c2. Por qu hacemos tal seleccin? Simplemente porque el problema con el que es-tamos trabajando requiere de dos smbolos de relacin unaria, un smbolo de relacin binaria, y dos individuos destacados, o sea, requiere de dos constantes. Seleccionamos ciertos smbolos de relacin y ciertos smbolos de constante, para obtener un lenguaje particular de primer orden, porque as lo requiere el problema, es decir, la teora ma-temtica, o fsica, o lo que sea que estemos representando con dicho lenguaje5. Llamaremos L a un lenguaje particular de primer orden. Para definir la semntica para dicho lenguaje L, primero tenemos que dar la estructura sobre la cual va a trabajar, a la cual llamaremos estructura-L; antes de definir la funcin de interpretacin que trabajar con dicha estructura. Para definir la estructura-L, primero tenemos que indicar un conjunto no vaco, llamado universo de discurso, o dominio de la estructura, que denotaremos por U. Decimos que una estructura-L, es adecuada al lenguaje L, porque:

Cada smbolo de relacin se corresponder con un conjunto en la estructura. Si es una relacin unaria se corresponder con un subconjunto del universo U, si es una relacin binaria se corresponder con un subconjunto de U2, es decir, con un conjunto de pares ordenados, o sea, una relacin binaria sobre U. En general, si es una relacin n-aria, se corresponder con un subconjunto de Un , es decir, con un conjunto de n-tuplas.

Cada smbolo de constante se corresponder con un nico elemento del univer-so.

5 En clase vamos a representar varios tipos de problemas, mediante los cuales va a quedar ms claro en virtud de qu hacemos tal seleccin.

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Definicin 4. (Estructura-L) Sea L un lenguaje de primer orden, decimos que una es-tructura-L, la cual denotaremos con la letra E 6, consiste de:

1. Un conjunto (no vaco), que llamaremos dominio (conjunto universo), y lo deno-taremos con la letra U.

2. Un nico elemento del conjunto para cada smbolo de constante7. Es decir, a ca-da smbolo de constante le haremos corresponder un elemento del dominio U. Por ejemplo, al smbolo de constante ci le asignamos un objeto que est en el dominio que podemos llamar *ic 8.

3. Una relacin con la aridad adecuada para cada smbolo de relacin. Esto se ex-presa matemticamente diciendo que a cada smbolo de relacin mnR le tenemos

que asignar una relacin m nnR U (recordemos que n es la aridad de la rela-cin). Del mismo modo en que lo hicimos para las constantes, tambin colocamos un *

encima de la relacin *mnR (ms especficamente, sobre el ndice m), para indi-

car la diferencia entre el smbolo de relacin mnR y la relacin perteneciente a

la estructura *mnR ; en tal caso, diremos que

*nm

n UR . Observacin importante:

Notemos que podemos construir infinitas estructuras-L para un mismo lenguaje de primer orden L, las cuales podran ser referidas como E1-L, E2-L, , En-L, . Esto lo podemos comprobar, ya que solamente cambiando el universo (por ej. agregando un elemento) obtenemos otra estructura-L para el mismo lenguaje.

6 Se asume que una estructura E siempre se corresponde con un lenguaje L, es decir, damos una estructura para un lenguaje de primer orden particular. Esto lo podemos hacer explcito con la siguiente notacin E-L, indicando de este modo el vnculo entre la estructura y el lenguaje; pero, en general, sabemos a qu lenguaje estamos haciendo referencia por el contexto, por lo cual, tan solo denotaremos la estructura con la letra E, salvo que sea necesario indicar el lenguaje.

7Ms de un smbolo de constante podra referir al mismo elemento del universo (aunque esto no suele hacerse). Ahora, no puede haber un smbolo de constante refiriendo a ms de un elemento del universo. Es importante aclarar que si el lenguaje L no tiene smbolos de constante entonces la estructura no va a tener elementos destacados correspondindose con dichos smbolos.

8El asterisco se suele utilizar para diferenciar con mayor claridad el objeto del lenguaje ci del objeto perteneciente al dominio de la estructura *ic .

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Ahora que ya contamos con la definicin de estructura, tenemos que definir la interpre-tacin, es decir, una funcin que le asigne a cada frmula cerrada un valor de verdad. Definicin 5. (Valuacin) Una valuacin es una asignacin de un nico valor de ver-dad a cada frmula del lenguaje. Igual que suceda en lgica proposicional, no todas las valuaciones capturan el signifi-cado intuitivo de los conectores lgicos. Por lo cual, aquellas valuaciones que nos inte-resan son las que respetan las siguientes restricciones, que llamaremos interpretaciones. Antes de dar la definicin de interpretacin tenemos que introducir la nocin de lengua-je extendido. Definicin 6. (Lenguaje extendido) Sea L un lenguaje de primer orden, y E una estruc-tura-L, diremos que el lenguaje extendido de L para la estructura E, al que llamaremos L, es el lenguaje L, ms un smbolo de constante para cada elemento del universo U. Es decir, para cada elemento aU, agregamos un smbolo a en el lenguaje. A cada una de estas nuevas constantes se le asignar el elemento correspondiente en el universo U de la estructura. Definicin 7. (Interpretacin) Se dice que una valuacin IE (que trabaja sobre una es-tructura-L9) para el lenguaje extendido L, es una interpretacin de las frmulas cerra-das si y solo si cumple las siguientes condiciones (para frmulas A y B cualesquiera):

1. ( )mn 1 2 nR t , t , , t es verdadero si y solo si < E1t , E2t , , Ent > *mnR

2. IE(A) =V si y solo si IE (A) = F 3. IE (AB) = V si y solo si IE(A) = V y IE (B) =V 4. IE (AB) = F si y solo si IE(A)=F y IE (B) =F 5. IE (A B) = F si y solo si IE (A) = V y IE (B) =F 6. IE (A B) = V si y solo si IE (A) = IE (B) 7. IE(xA) = V si y solo si para todo elemento a del dominio IE (A( a / x)) = V 8. IE(xA) = V si y solo si existe por lo menos un elemento a del dominio tal que

IE(A( a / x)) = V.

9La notacin IE hace explcita la conexin entre la funcin de interpretacin y la estructura E. Recuerde que dicha estructura es una estructura-L, es decir, est relacionada a un lenguaje L, y la funcin de inter-pretacin trabajar con el lenguaje L extendido para la estructura E, al que llamamos L.

Dado que como ya se dijo- para un lenguaje L hay infinitas estructuras E-L, entonces contamos con infinitas interpretaciones para dicho lenguaje, una por cada estructura.

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Dos observaciones importantes:

1. La expresin E1t significa el elemento del universo de la estructura E al que le

corresponde el trmino 1t . Dado que las frmulas que estamos evaluando son

cerradas, los trminos it que vamos a tener que evaluar sern siempre constantes,

por lo tanto, a Eit le corresponder un elemento en el universo, el elemento co-

rrespondiente a la constante en cuestin. Es decir, it siempre va a ser una cons-tante, como por ejemplo cj, y a una constante del lenguaje siempre le correspon-de un elemento particular en el dominio de la estructura.

2. La expresin A( a / x) se interpreta como la sustitucin de todas las ocurrencias libres de la variable x en A (es decir, que no estn bajo el alcance de un cuantifi-cador) por la constante a . Es importante aclarar, que si la frmula A no tiene ninguna ocurre libre de la variable x, la sustitucin no realiza ningn cambio en la frmula (es decir, no realiza ninguna operacin, no tiene efecto sobre A). Si esto ltimo sucede A( a / x) = A.

Definicin 8. (Modelo) Dada una interpretacin IE y una frmula cerrada A, diremos que IE es modelo de A si y solo si IE(A) = V. Dada una interpretacin IE y un conjunto de frmulas cerradas , si para toda frmula A , es cierto que IE(A) = V entonces IE es modelo de . Definicin 9. (Verdad Lgica) Una frmula cerrada A es una verdad lgica si toda interpretacin IE es modelo de A. Definicin 10. (Consecuencia Semntica) Sea un conjunto de frmulas cerradas y A una frmula cerrada. Se dice que A es consecuencia semntica de (Notacin: A) si todo modelo de es tambin modelo de A.