notas est2 cap 1-a

Centro de Investigación y Docencia Económicas, A.C. División de economía

ESTADISTICA II, Prof. Rodolfo Cermeño Programa de Licenciatura en Economía

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1. Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad (Revisión) 1.1 Variables Aleatorias Definición 1: Sea S el espacio muestral de un experimento y s cada uno de los resultados posibles o puntos muestrales. Una variable aleatoria X es una función que asigna un valor real )(sX a cada punto muestral Ss∈ .

Una variable aleatoria puede considerarse como el conjunto de valores numéricos que indican los resultados posibles de un experimento. Cada resultado posible recibe un valor y no es posible que dos resultados diferentes tengan un mismo valor. Cada resultado posible puede ser asociado a una probabilidad de ocurrir, con lo cual se cuantifica la incertidumbre inherente a la variable aleatoria. Definición 2: Una variable aleatoria es una variable que toma valores de acuerdo a una determinada distribución de probabilidad. Notación usual:

( ) :iP X x= Probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor ix ( 3) :P X < Probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores menores que 3.



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1.2 Variables aleatorias discretas Definición: Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito o contablemente infinito de valores reales.

Como ejemplo, considere el experimento de lanzar 2 monedas, con lados H (head) y T (tail), y observar el resultado y defina a la variable aleatoria :X Número observado de ´H s El espacio muestral es { }1 2 3 4: , : , : , :S E HH E HT E TH E TT= y la variable aleatoria X puede tomar 3 valores 0,1,2X = , los cuales corresponden a eventos específicos:

1 2E X→ =

2 3, 1E E X→ =

4 0E X→ = Cada uno de los valores de X puede ser asociado a una determinada probabilidad ( )P X x= , la cual es igual a la suma de las probabilidades de los eventos que corresponden a cada valor x .

4( 0) ( ) 1 4P X P E= = =

2 3( 1) ( ) ( ) 1 2P X P E P E= = + =

1( 2) ( ) 1 4P X P E= = =



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1.2.1 Función de Densidad de Probabilidad de una variable aleatoria discreta Definición: La función de densidad de probabilidad o función de probabilidad ( . .)f p de una variable aleatoria discreta X se define como ( ) ( ) ; 1,2, ,i i if x P X x p i n= = = = L . Donde ix es cualquier valor real de la variable X . Esta función debe satisfacer:

(i) 0 ( ) 1if x≤ ≤

(ii) Si x no es un valor posible de X , entonces ( ) 0f x =

(ii) Si la secuencia 1 2 3, , ,x x x L incluye a todos los valores posibles de X , entonces 1

( ) 1ii

f x∞

=

=∑

1.2.2 Función de Densidad Acumulativa de una variable aleatoria discreta Definición: La función de densidad acumulativa o función de distribución ( . .)f d de una variable aleatoria discreta se define como ( ) ( )i iF x P X x= ≤ ; para ix−∞ < < ∞ . Por tanto, ( )iF x es igual a la suma de todos los valores de ( )f x que corresponden a ix x≤ . Esto es

( ) ( )i

ix x

F x f x≤

=∑ .



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Por definición, la . .f d de una variable aleatoria discreta es una función escalonada y continua hacia la derecha y tiene las siguientes propiedades:

(i) ( ) 0F −∞ = (ii) ( ) 1F ∞ = (iii) Si a b< , entonces ( ) ( )F a F b≤ para cualquier número real a y b (iv) Si la variable aleatoria discreta X puede tomar los valores 1 2 nx x x−∞ < < < < < ∞K ,

entonces 1 1( ) ( )f x F x= y 1( ) ( ) ( )i i if x F x F x −= − para 2,3, ,i n= K . Las funciones de probabilidad ( ) y distribución ( ) del ejemplo anterior se pueden representar en la siguiente tabla:

x ( )f x ( )F x 0 0 para 0x <

0 ¼ ¼ para 0 1x≤ <1 ½ ¾ para 1 2x≤ <2 ¼ 1 para 2 3x≤ <

NOTA: La función de distribución ( )F x está definida para todos los números reales. Por ejemplo, (1.5) = ( ≤ 1.5) = 3/4 aun cuando X no puede tomar el valor 1.5.



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1.3 Variables aleatorias continuas Definición: Una variable aleatoria es continua si está definida para todos los valores posibles de la línea de números reales o por lo menos en un subconjunto o intervalo de ésta. 1.3.1 Función de Densidad de Probabilidad de una variable aleatoria continua Definición: La función de densidad de probabilidad o función de probabilidad ( . .)f p de una variable aleatoria continua X es una función real que satisface:

(i) ( ) 0f x ≥ para todo x

(ii) ( ) 1f x dx∞

−∞

=∫

(iii) Para cualquier ,a b tal que a b−∞ < < < ∞ , ( ) ( )b

a

P a X b f x dx≤ ≤ = ∫

NOTAS: (1) Dado que los valores posibles de X no son contables, la probabilidad de que X tome

cualquier valor particular es cero: ( = ) = 0 (2) A diferencia del caso discreto, la . .f p de una variable continua no mide ( )P X x= .

Solamente las áreas bajo ( )f x indican las probabilidades asociadas con los intervalos correspondientes.



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1.3.2 Función de Densidad Acumulativa Definición: La función de densidad acumulativa o función de distribución ( . .)f d de una variable

aleatoria continua X se define como ( ) ( ) ( )x

F x P X x f s ds−∞

= ≤ = ∫ ; para ix−∞ < < ∞ . Donde

( )f s es el valor de la . . en el punto . La . .f d satisface:

(i) ( ) 0F −∞ = (ii) ( ) 1F ∞ = (iii) Si a b< , ( ) ( )F a F b≤ (iv) ( ) ( ) ( )P a X b F b F a≤ ≤ = −

(v) ( )( ) '( )dF xf x F xdx

= =

Como ejemplo, considere la siguiente . .f p para la variable aleatoria :

33 , 0

( )0, en otro caso

xe xf x

−⎧ >= ⎨⎩

A continuación procedemos a verificar esta función, evaluar algunas probabilidades, derivar la . . correspondiente y ver la relación entre ambas funciones y el cálculo de probabilidades.



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(a) Verificación de la función de probabilidad: (i) ( ) 0f x ≥ para todo valor 0x >

(ii) 3

3

0 0

( ) 3 3lim 13

txx

t

ef x dx e dx∞ ∞ −

−

→∞−∞

⎤= = =⎥− ⎦

∫ ∫

(b) Evaluación de (0.5 1)P X≤ ≤ y (0 0.5)P X≤ ≤ :

En general: 3

3 3( ) 3 3 33

bb b xx x

a a a

eP a X b e dx e dx−

− − ⎡ ⎤≤ ≤ = = = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

∫ ∫

Para 0.5, 1a b= = , 3 1.5

3 1.53 33 3

e e e e− −

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(0.5 1) 0.17334309P X⇒ ≤ ≤ =

Para 0.0, 0.5a b= = , 1.5 0

1.53 3 13 3

e e e−

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(0.0 0.5) 0.77686984P X⇒ ≤ ≤ = (c) Obtención de la función de distribución:

3 3

00

( ) ( ) 3x x

xs sF x f s ds e ds e− −

−∞

⎤= = = − ⎦∫ ∫ ( )3 0 31x xe e e− −= − − = − 3

0, 0( )

1 , 0x

xF x

e x−

≤⎧⇒ = ⎨

− >⎩



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En la siguiente gráfica se muestra las funciones de probabilidad y de distribución:

(iv) Evaluación de ( 1/ 2)F x = y ( 1)F x =

3(1/ 2)( 1/ 2) 1 0.77686984F x e−= = − =

3(1)( 1) 1 0.95021293F x e−= = − = (v) Evaluación alternativa de (0.5 1)P X≤ ≤ :

(0.5 1) ( 1) ( 0.5) 0.95021293-0.77686984 0.17334309P X F x F x≤ ≤ = = − = = =

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

f(x)

y F

(x)

Funciones de Probabilidad f(x) = 3*exp(-3*x) y Distribución F(x) = 1 - exp(-3*x)

f(x)

F(x)



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1.3.3 Función de Densidad Condicional Definición: Sea X una variable aleatoria continua con . . ( )f x . La función densidad condicional

de X dado a X b≤ ≤ se define como

( ) ,( )( / )

0, en otro caso

b

a

f x a x bf x dxf x a X b

⎧ ≤ ≤⎪⎪≤ ≤ = ⎨⎪⎪⎩

∫ , siempre que

( ) 0b

a

f x dx >∫ .

Nótese que este resultado se relaciona con el teorema de probabilidad condicional o “Regla de Bayes” que establece que ( | ) = ( ∩ )/ ( ). En este caso, = , −∞ ≤ ≤ ∞ y = , ≤ ≤ . Utilizando los resultados del ejemplo anterior se puede obtener la densidad condicional de X dado (0.5 1)X≤ ≤ .

Se sabe que 1

3

0.5

(0.5 1) 3 0.17334309xP X e dx−≤ ≤ = =∫ . Por tanto

3 33 =17.306718 ,0.5 1( / 0.5 1) 0.17334309

0, en otro caso

x xe e xf x X

− −⎧ ≤ ≤⎪≤ ≤ = ⎨⎪⎩



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La siguiente gráfica muestra las funciones ( ) y ( |0.5 < < 1).

Es importante notar que la función de densidad condicional satisface:

(i) ( |0.5 ≤ ≤ 1) ≥ 0 y (ii) ( |0.5 ≤ ≤ 1). = 1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

X

f(x)

y f(

x/0.

5<x<

1)Densidad y Densidad Condicional de f(x) = 3*exp(-3x)

f(x) f(x/0.5<X<1)



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1.4 Variables bivariadas discretas Definición: Una variable aleatoria bivariada discreta es una variable que toma un número contable de valores en el plano bi-dimensional de números reales con ciertas probabilidades. 1.4.1 Función de Probabilidad Conjunta Definición: La función de densidad de probabilidad conjunta o función de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas X y Y se define como ( , ) ( , )f x y P X x Y y= = = , para cada par de valores 2( , )x y R∈ , donde 2R denota el plano bi-dimensional de números reales. La función

( , )f x y debe satisfacer: (i) ( , ) 0f x y ≥ (ii) ( , ) 1

x yf x y =∑∑ [la doble suma indica la suma de todos los pares posibles ( , )x y ]

(iii) Si A y B son conjuntos de valores de x y y respectivamente, entonces ( , ) ( , )

x A y BP X A Y B f x y

∈ ∈

∈ ∈ =∑∑



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1.4.2 Función de Distribución Conjunta Definición: La función de densidad acumulativa conjunta o función de distribución conjunta se define como ( , ) ( , ) ( , )

X x Y yF x y P X x Y y f x y

≤ ≤

= ≤ ≤ = ∑∑

1.4.3 Función de Probabilidad Marginal Definición: La función de probabilidad marginal de las variables aleatorias discretas X y Y se define respectivamente como:

1( ) ( ) ( , ); 1,2, ,

m

i i jj

g x P X x P X x Y y i n=

= = = = = =∑ K

1

( ) ( ) ( , ); 1,2, ,n

j i ji

h y P Y y P X x Y y j m=

= = = = = =∑ K

Para cada valor específico de = ( = ), la probabilidad marginal se obtiene sumando las probabilidades conjuntas de todos los pares de valores ( , ) que contienen a ( ). 1.4.4 Función de Probabilidad Condicional Definición: La función de probabilidad condicional de iX x= dado jY y= se define como:

( / )i jf x Y y= =( , )

( / )( )

i ji j

j

P X x Y yP X x Y y

P Y y= =

= = ==

, siempre que ( ) 0jP Y y= > .



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El siguiente ejemplo permite ilustrar de manera sencilla los conceptos anteriores. Considere una población compuesta de a hombres fumadores, b mujeres fumadoras, c hombres no fumadores y d mujeres no fumadoras tal que a b c d T+ + + = es el número total de personas. En este caso, se puede definir las variables aleatorias discretas:

1 si una persona seleccionada aleatoriamente es mujer0 si una persona seleccionada aleatoriamente es hombre

X ⎧= ⎨⎩

1 si una persona seleccionada aleatoriamente es fumador0 si una persona seleccionada aleatoriamente es no fumador

Y ⎧= ⎨⎩

Entonces ( 0, 1)P X Y a T= = = , ( 1, 1)P X Y b T= = = , ( 0, 0)P X Y c T= = = y ( 1, 0)P X Y d T= = = .

Igualmente ( , ) 1x y

a b c d Tf x yT T T T T

= + + + = =∑∑

Función de probabilidad conjunta, marginal y condicional de dado =

1x = (mujer) 0x = (hombre) ( )h y : . .f p de Y1y = (fumador) b T a T ( )a b T+ 0y = (no fumador) d T c T ( )c d T+

( )g x : . .f p de X ( )b d T+ ( )a c T+ ( | = 1): . . condicional ( )b a b+ ( )a a b+



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1.4.5 Independencia Definición: Las variables aleatorias discretas X y Y son independientes si los eventos ( )iX x= y ( )jY y= son independientes ∀ , . Es decir ( , ) ( ) * ( )i j i jP X x Y y P X x P Y y= = = = = ∀ , . Considere la siguiente distribución de probabilidad bi-variada discreta:

1y 2y K my ( )ig x

1x 1 1( , )f x y 1 2( , )f x y K 1( , )mf x y 1( )g x

2x 2 1( , )f x y 2 2( , )f x y K 2( , )mf x y 2( )g xM M M K M M

nx 1( , )nf x y 2( , )nf x y K ( , )n mf x y ( )ng x( )jh y 1( )h y 1( )h y K 1( )h y

Las variables aleatorias discretas X y Y son independientes si y solo si cada fila (renglón) es proporcional a cualquier otra fila (renglón) o, equivalentemente, cada columna es proporcional a cualquier otra columna. La explicación de este resultado es que si efectivamente X y Y son independientes, para

cualquier par de renglones r y s , la razón ( , )( , )

r j

s j

f x yf x y

es la misma para todo j . Específicamente,

( , ) ( / )* ( ) ( / ) ( )( , ) ( / )* ( ) ( / ) ( )

r j r j j r j r

s j s j j s j s

f x y P x y P y P x y P xf x y P x y P y P x y P x

= = = , para todo j .

Este resultado implica que cualquier par de renglones r y s son proporcionales entre si.



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1.5 Variables bivariadas continuas Definición: Una variable aleatoria bivariada continua es una variable definida para todos los valores del plano real bidimensional. 1.5.1 Función de Probabilidad Conjunta Definición: La función de densidad de probabilidad conjunta o función de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuas X y Y es cualquier función real ( , )f x y tal que: (i) ( , ) 0f x y ≥

(ii) ( , ) 1f x y dxdy∞ ∞

−∞ −∞

=∫ ∫

Para cualquier valor 1 2 1 2, , ,x x y y en el plano de números reales, tal que 1 2x x≤ y 1 2y y≤ ≤ ≤ , ≤ ≤ = ( , ) 1.5.2 Función de Distribución Conjunta Definición: Si X y Y son variables aleatorias continuas su función de distribución acumulativa conjunta o función de distribución conjunta se define como:

( , ) ( , ) ( , )y x

F x y P X x Y y f s t dsdt−∞ −∞

= ≤ ≤ = ∫ ∫ , para todo 2( , )x y R∈ .

Al igual que en caso univariado ( , )( , ) F x yf x yx y

∂=∂ ∂

, siempre que las derivadas parciales existan.



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Como ejemplo considere la siguiente función de probabilidad conjunta: ( ) ; 0, 0

( , )0 en otro caso

x ye x yf x y

− +⎧ > >= ⎨⎩

Determinar (1 2,0 2)P X Y≤ ≤ ≤ ≤ .

Por Definición: 2 2 2 2

( )

0 1 0 1

(1 2,0 2) ( , ) x y

y x y x

P X Y f x y dxdy e dxdy− +

= = = =

≤ ≤ ≤ ≤ = =∫ ∫ ∫ ∫

Evaluando la integral sobre x se tiene: 2

2( ) ( ) (2 ) (1 )

11

x y x y y y

x

e dx e e e− + − + − + − +

=

⎤= − = − +⎦∫

Integrando sobre y al resultado anterior se puede obtener: − ( ) + ( ) = ( ) − ( ) ≅ 0.2

La siguiente gráfica ilustra la función de probabilidad conjunta anterior. En el plano ( , ) se muestra los valores posibles de las dos variables aleatorias. La altura de la gráfica muestra los valores correspondientes de ),( yxf que en este caso están dados por ( )x ye− + . El valor

(1 2,0 2) 0.2P X Y≤ ≤ ≤ ≤ = se puede representar por el volumen que tiene como “piso” al área comprendida entre (1 2) y (0 2)X Y≤ ≤ ≤ ≤ y como “techo” al plano determinado por los valores de la función ( )x ye− + .



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00.5

11.5

22.5

3 00.5

11.5

22.5

30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Y

Función de probabilidad Conjunta: f(x,y) = exp(-(x+y))

X

f(x,y

)



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1.5.3 Función de Densidad Marginal Definición: Sean ( , )X Y variables aleatorias continuas con función de densidad conjunta ( , )f x y . La función de probabilidad marginal de X y Y se define respectivamente como:

( ) ( , ) ;g x f x y dy x∞

−∞

= −∞ < < ∞∫ y ( ) ( , ) ;h y f x y dx y∞

−∞

= −∞ < < ∞∫

1.5.4 Función de Densidad Condicional Definición: Sea ( , )f x y la función de densidad conjunta de las variables aleatorias continuas ( , )X Y , la función de densidad condicional de X dado jY y= se define como:

( , )( / )

( )j

jj

f x yf x y

h y= , siempre que ( ) 0jh y >

El numerador y denominador se ilustran en la siguiente gráfica:



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Considere la siguiente función de probabilidad conjunta: 2 ( 2 );0 1,0 1

( , ) 30 en otro caso

x y x yf x y

⎧ + < < < <⎪= ⎨⎪⎩

La función de densidad marginal de X se obtiene integrando sobre y: 11

2

00

2 2 2( ) ( , ) ( 2 ) ( ) ( 1)3 3 3

g x f x y dy x y dy xy y x∞

−∞

⎤= = + = + = +⎥⎦∫ ∫ ⇒2 ( 1);0 1

( ) 30 en otro caso

x xg x

⎧ + < <⎪= ⎨⎪⎩

Igualmente, la función de densidad marginal de Y se obtiene integrando sobre x: 11

2

00

2 2 1 1( ) ( , ) ( 2 ) 2 (1 4 )3 3 2 3

h y f x y dx x y dx x yx y∞

−∞

⎡ ⎤= = + = + = +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ⇒ 1 (1 4 );0 1

( ) 30 en otro caso

y yh y

⎧ + < <⎪= ⎨⎪⎩

Evaluación de la probabilidad condicional ≤ | = :

Por definición, la función de densidad condicional es:

2 ( 2 )( , ) 2 43( / ) 1( ) 1 4(1 4 )3

x yf x y x yf x yh y yy

+ += = =++

Evaluando la función anterior en 12

Y = se obtiene: 1 2( / ) ( 1)2 3

f x Y x= = +



20

Finalmente, obtenemos: 1/ 21/ 2

2

00

1 1 2 2 1 2 1 1 5( / ) ( 1)2 2 3 3 2 3 8 2 12

P X Y x dx x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ = = + = + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

1.5.5 Independencia Definición: Las variables aleatorias ,X Y son independientes si y solo si ( , ) ( ). ( )f x y g x h y= para todos los valores ( , )x y en el plano real.

Dado que ( , ) ( / ). ( )f x y f x y h y= , las variables ,X Y son independientes si ( / ) ( )f x y g x= , lo cual implica que la condición Y y= no afecta a la distribución de probabilidad de X . NOTA: La condición ( , ) ( ). ( )f x y g x h y= en la definición anterior es equivalente a:

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( )* ( )P x X x y Y y P x X x P y Y y≤ ≤ ≤ ≤ = ≤ ≤ ≤ ≤ , para todos los valores de 1 2 1 2, , ,x x y y tal que 1 2 1 2,x x y y≤ ≤ . Utilizando la información de los ejemplos dados anteriormente se puede determinar si las variables

,X Y son independientes.

En el caso de la . . conjunta 2 ( 2 );0 1,0 1

( , ) 30 en otro caso

x y x yf x y

⎧ + < < < <⎪= ⎨⎪⎩



21

2 2 1( , ) ( 2 ) ( )* ( ) ( 1)* (1 4 )3 3 3

f x y x y g x h y x y= + ≠ = + +

Entonces se puede concluir que ,X Y no son independientes.

En el caso de la función de probabilidad conjunta:( ) ; 0, 0

( , )0 en otro caso

x ye x yf x y

− +⎧ > >= ⎨⎩

La función de densidad marginal de X es:

( ) ( ) ( )

00

( ) ( , ) [lim ] [ ]x y x y x y x x

yg x f x y dy e dy e e e e

∞ ∞∞− + − + − + − −

→∞−∞

⎤= = = − = − − − =⎦∫ ∫

Igualmente, la función de densidad marginal de Y es:

( ) ( ) ( )

00

( ) ( , ) [lim ] [ ]x y x y x y y y

xh y f x y dx e dx e e e e

∞ ∞∞− + − + − + − −

→∞−∞

⎤= = = − = − − − =⎦∫ ∫

Se puede concluir entonces que las variables ,X Y son independientes puesto que:

( )( , ) ( )* ( ) ( )*( )x y x yf x y g x h y e e e− − − += = =

notas est2 cap 1-a

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