Notas de Aula

Equações Diferenciais ParciaisLineares

Rodney Josué Biezuner 1

Departamento de MatemáticaInstituto de Ciências Exatas (ICEx)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula da disciplina Equações Diferenciais B do Ciclo Básico do ICEx.

4 de dezembro de 2018

1E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.

Sumário

0 Introdução: Condução do Calor em uma Barra 40.1 Modelagem F́ısica e Matemática do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.1.1 A Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equação do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.1.3 Condição Inicial e Condição de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.2 Solução do Modelo Matemático: Método de Separação de Variáveis e Séries de Fourier . . . . 100.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1 Séries de Fourier 151.1 Propriedades das Funções Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.1 Periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2 Relações de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.3 Produto Interno no Espaço das Funções Quadrado-Integráveis . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Cálculo dos coeficientes da série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1 Funções Cont́ınuas por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 O Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Séries de Fourier de Funções Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.1 Funções Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.4.2 Extensões Periódicas Pares e Ímpares de Funções Definidas em Intervalos . . . . . . . 30

1.5 Estimativa dos Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6 Diferenciação e Integração Termo a Termo da Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Equação do Calor Unidimensional 402.1 Condição de Dirichlet homogênea: extremidades mantidas à temperatura zero . . . . . . . . . 40

2.1.1 Existência de solução para o problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.2 Prinćıpio do máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.3 Unicidade e estabilidade de soluções para o problema de Dirichlet geral . . . . . . . . 45

2.2 Condição de Dirichlet não homogênea: solução de estado estacionário . . . . . . . . . . . . . 472.3 Condição de Neumann homogênea: extremidades termicamente isoladas . . . . . . . . . . . . 492.4 Condição de Robin homogênea: condições de fronteira mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5 Equação do calor não-homogênea: equação de reação-difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5.1 Fonte independente do tempo: método da solução de estado estacionário . . . . . . . . 542.5.2 Fonte dependente do tempo: método de variação dos parâmetros . . . . . . . . . . . . 562.5.3 O problema geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6 Alguns problemas espećıficos de condução do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.1 Problema da barra com convecção de calor em um extremo . . . . . . . . . . . . . . . 592.6.2 Condições de fronteira de Robin gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.6.3 Problema do anel circular fino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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2.7 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Equação da Onda Unidimensional 653.1 Modelo Matemático da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.1 Vibrações Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.2 Condições Iniciais e de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.1.3 Solução da Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.1.4 Outros Tipos de Vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2 Solução pelo Método de Separação de Variáveis e Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 693.3 A Solução de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3.1 Solução Geral da Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3.2 Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3.3 Solução da Corda Vibrante com Extremidades Fixas pelo Método de D’Alembert . . . 75

3.4 Harmônicos, Energia da Corda e Unicidade de Solução para a Equação da Onda . . . . . . . 783.4.1 Harmônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.4.2 Energia da Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.4.3 Unicidade de Solução para a Equação da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.6 Apêndice 1: A Equação da Onda de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.6.1 Lei de Conservação Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.6.2 Relações Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.6.3 Solução da Equação do Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.7 Apêndice 2: Corda Suspensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Equação do Calor e da Onda em Domı́nios Retangulares 934.1 Séries de Fourier Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.1.1 Definição e Cálculo dos Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.2 Funções de Duas Variáveis Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2 Lei de Conservação no Espaço Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.1 Relações Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3 A Equação do Calor em Domı́nios Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3.1 Solução do problema da condução do calor na chapa retangular com margens mantidas

à temperatura zero por separação de variáveis e séries de Fourier . . . . . . . . . . . . 984.3.2 Solução do problema da condução do calor na chapa retangular termicamente isolada

por separação de variáveis e séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.4 A Equação da Onda em Domı́nios Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4.1 Problema da Membrana Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4.2 Solução do Problema da Membrana Vibrante pelo Método de Separação de Variáveis

e Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.4.3 Linhas Nodais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5 A Equação de Laplace 1065.1 A Equação de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.1.1 Solução da Equação de Laplace no Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.1.2 O Prinćıpio do Máximo e Unicidade de Solução para a Equação de Laplace . . . . . . 109

5.2 A Equação de Laplace no Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2.1 A Equação de Laplace em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2.2 Solução da Equação de Laplace no Disco pelo Método de Separação de Variáveis e

Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3 A Equação de Helmholtz: Autovalores e Autofunções do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . 1145.4 A Equação de Poisson: o Método de Expansão em Autofunções . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

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6 A Equação da Onda no Disco: Vibrações de uma Membrana Circular 1176.1 A Membrana Circular Vibrante: Vibrações Radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2 Funções de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.2.1 Solução Geral da Equação de Bessel: Funções de Bessel do Primeiro Tipo . . . . . . . 1186.2.2 Solução Geral da Equação de Bessel: Funções de Bessel do Segundo Tipo . . . . . . . 1216.2.3 Apêndice: A Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.3 Séries de Funções de Bessel e a Solução do Problema da Membrana Circular Vibrante . . . . 1226.3.1 Ortogonalidade das Funções de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3.2 Séries de Bessel de ordem p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3.3 Solução do Problema da Membrana Circular Vibrante Radial . . . . . . . . . . . . . . 123

6.4 A Membrana Circular Vibrante: Vibrações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.4.1 Uso do Prinćıpio de Superposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7 Equação de Laplace em Domı́nios Tridimensionais Simétricos 1287.1 A Equação de Laplace em um Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.1.1 A Equação de Laplace em Coordenadas Ciĺındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.2 Solução de um Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.3 Funções de Bessel Modificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.1.4 Solução de outro Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.2 A Equação de Laplace em uma Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2.1 A Equação de Laplace em Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2.2 A Equação de Legendre e Polinômios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2.3 Séries de Polinômios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.2.4 Solução da Equação de Laplace na Bola com Simetria Radial . . . . . . . . . . . . . . 137

8 Transformada de Fourier 1398.1 A Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.1.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.2 A Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.2.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.2.2 Séries de Fourier Complexas e a Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.2.3 Propriedades Operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.2.4 Transformada de Fourier da Função Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.2.5 Transformada de Fourier da Função Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.2.6 Transformada de Fourier da Função Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.2.7 Transformada de Fourier da Integral de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.2.8 Tabela de Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.2.9 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.3 O Método da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.3.1 A Equação do Calor para uma Barra Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.3.2 A Equação da Onda em uma Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.3.3 A Equação de Laplace em um Semiplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.3.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.4 Os Teoremas de Parseval e Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.4.1 Prinćıpio da Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Caṕıtulo 0

Introdução: Condução do Calor emuma Barra

0.1 Modelagem F́ısica e Matemática do Problema

0.1.1 A Equação do Calor

Considere uma barra uniforme de comprimento L, feita de material homogêneo condutor de calor. Porbarra uniforme entendemos que a sua seção transversal é sempre igual a uma determinada figura geométricaplana e portanto tem área constante, que denotaremos por A; além disso, a barra pode ser imaginadacomo sendo formada através da translação desta figura na direção perpendicular ao seu plano (em outraspalavras, um cilindro reto cuja base pode ser qualquer figura geométrica, como por exemplo um disco [cilindrocircular reto], uma elipse [cilindro eĺıptico reto], um triângulo [prisma reto], um retângulo [paraleleṕıpedoreto], ou qualquer outra figura geométrica plana). Suponha que a superf́ıcie lateral da barra esteja isoladatermicamente, de modo a não permitir transferências de calor através dela com o ambiente. Transferênciasde calor, se é que ocorrem, podem ocorrer apenas através das extremidades da barra.

A uniformidade da barra, a homogeneidade do material e o isolamento térmico lateral implicam que ofluxo de calor acontece somente na direção longitudinal, isto é, ao longo do comprimento da barra. Portanto,este é um problema de condução de calor unidimensional. Em outras palavras, as variáveis f́ısicas sãoconstantes em cada seção transversal da barra, podendo variar apenas de uma seção para outra.

Consideremos a barra posicionada no eixo x, com uma das extremidades na origem x = 0; a outraextremidade ocupa portanto a posição x = L. Queremos determinar como a temperatura em cada pontoda barra varia à medida que o tempo passa. Para isso, vamos analisar o fluxo de calor ao longo da barra.Inicialmente, considere duas seções transversais da barra, localizadas em x e x+ ∆x, delimitando uma fatiada barra (veja a Figura 0.1 na página seguinte). Através destas seções, calor flui (entra ou sai) para estafatia. Denotaremos o fluxo de calor, isto é, a quantidade de calor por unidade de tempo fluindo para adireita por unidade de área, por φ(x, t); no S.I., o fluxo de calor tem como unidades Joules/m2s.

φ(x, t) = fluxo de calor (quantidade de calor por unidade de tempofluindo para a direita por unidade de área).

Se φ(x, t) < 0, o calor está fluindo para a esquerda. A quantidade total de calor que entra na fatia porunidade de tempo é dada pela diferença entre a quantidade de calor que entra pela seção transversal em xe a quantidade de calor que sai pela seção transversal em x+ ∆x, isto é,

φ(x, t)A− φ(x+ ∆x, t)A.

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É claro que calor pode sair da fatia pela seção transversal em x (se φ(x, t) < 0), assim como calor podeentrar na fatia pela seção transversal em x + ∆x (se φ(x + ∆x, t) < 0); se a diferença acima for negativa,então o resultado final é que calor sai da fatia.

Figura 0.1

Esta quantidade de calor total que entra ou sai da fatia por instante de tempo pode ser calculada emfunção das temperaturas nas seções transversais que delimitam a fatia através da Lei de Condução do Calorde Fourier (esta lei foi empiricamente observada por Fourier no ińıcio do século XIX):

Lei de Condução do Calor de Fourier. Sejam P1 e P2 duas placas formadas de um mesmo materiale de mesma área igual a A, mantidas respectivamente a temperaturas constantes T1 e T2. Se elasforem colocadas paralelamente a uma distância d uma da outra, haverá passagem de calor da placamais quente para a placa mais fria e a quantidade de calor transferida de uma placa para a outra porunidade de tempo (ou seja, a taxa de transferência de calor, medida em Joules/s) é dada por

Φ = kA|T2 − T1|

d,

onde k é uma constante espećıfica do material entre as placas, chamada condutividade térmica domaterial.

Denotemos

u(x, t) = temperatura do ponto x da barra no instante de tempo t.

As seções transversais da barra, localizadas em x e x+ ∆x, fazem o papel das duas placasP1 e P2. Denoteas temperaturas nestas seções no instante de tempo t por T1 = u(x, t) e T2 = u(x+ ∆x, t). Então, pela Leide Fourier, o fluxo de calor na direção positiva do eixo x que passa pela seção transversal localizada em x édado por (lembre-se que o fluxo de calor é definido por unidade de área)

φ(x, t) = − lim∆x→0

ku(x+ ∆x, t)− u(x, t)

∆x= −kux(x, t),

de modo que quando a temperatura cresce com x, ux é positivo, mas o calor flui para a esquerda, portanto φé negativo; se a temperatura decresce com x, ux é negativo e o calor flui para a direita, portanto φ é positivo.

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Agora fixe um segmento qualquer da barra entre as posições x = a e x = b. Vamos calcular a quantidadetotal de calor Q que entra neste segmento no peŕıodo de tempo que vai de t0 até t1. Esta é a diferença entreo calor que entra na seção transversal que ocupa a posição x = a e o calor que sai pela seção transversal queocupa a posição x = b durante o peŕıodo de tempo considerado:

Q =

∫ t1t0

φ(a, t)Adt−∫ t1t0

φ(b, t)Adt

=

∫ t1t0

kA[ux(b, t)− ux(a, t)] dt.

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, podemos escrever

ux(b, t)− ux(a, t) =∫ ba

uxx(x, t) dx.

Logo, como k é constante (pois assumimos que a barra é feita de um único material homogêneo), temos

Q = kA

∫ t1t0

∫ ba

uxx(x, t) dxdt. (1)

Por outro lado, também é observado experimentalmente que a quantidade de calor absorvida por umasubstância em um peŕıodo de tempo é diretamente proporcional à massa desta substância e à variação médiade sua temperatura durante o intervalo de tempo considerado:

Q = cm∆u.

A constante de proporcionalidade, denotada por c, depende de cada substância e é chamada o calor espećıficoda substância; em outras palavras, o calor espećıfico nada mais é que a quantidade de calor necessária paraelevar em um grau a temperatura de uma unidade de massa da substância; no S.I., o calor espećıfico temcomo unidades Joules/kgK. Embora o calor espećıfico de uma substância em geral varie com a temperaturaem que ela se encontra (isto é, c = c(u)), para diferenças de temperaturas não muito grandes o calor espećıficoé aproximadamente constante.

Aplicamos esta lei emṕırica novamente a um segmento qualquer da barra entre as posições x = a e x = b.A variação média da temperatura neste segmento da barra no intervalo de tempo que vai de t0 até t1 éobtida tomando-se a média das variações médias das temperaturas de todos os pontos da barra, ou seja

∆u =1

b− a

∫ ba

[u(x, t1)− u(x, t0)] dx.

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo segue que

∆u =1

b− a

∫ ba

[∫ t1t0

ut(x, t) dt

]dx.

Logo, a quantidade de calor absorvida por este segmento é dada por

Q = cm∆u =cm

b− a

∫ ba

∫ t1t0

ut(x, t) dt dx.

sendo m a massa deste segmento e c o calor espećıfico do material que constitui a barra. Escrevendom = ρA(b− a), onde ρ é a densidade da barra, e trocando a ordem dos limites de integração, obtemos

Q = cρA

∫ t1t0

∫ ba

ut(x, t) dxdt. (2)

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Igualando as duas expressões obtidas em (1) e (2) para a quantidade total de calor Q que entra nosegmento da barra entre x = a e x = b no peŕıodo de t0 até t1, obtemos a equação do calor em sua formaintegral:

cρ

∫ t1t0

∫ ba

ut(x, t) dxdt = k

∫ t1t0

∫ ba

uxx(x, t) dxdt.

Mas a, b, t0, t1 são arbitrários, logo os integrandos são necessariamente iguais e assim obtemos a equação docalor na sua forma diferencial

ut = Kuxx, (3)

onde K =k

cρé chamada a difusividade térmica do material. A equação (3) é chamada simplesmente

a equação do calor e representa a lei de variação da temperatura u(x, t) de uma barra uniforme comsuperf́ıcie lateral termicamente isolada. Ela descreve como o calor se espalha ou se difunde com o passar dotempo, um processo f́ısico conhecido como difusão. Outras quantidades f́ısicas também se difundem seguindoesta mesma equação diferencial parcial (em situações unidimensionais), como por exemplo a concentração desubstâncias qúımicas, tais como perfumes ou polutantes, e por este motivo a equação (3) também é chamadamais geralmente de equação de difusão.

Observação: A forma diferencial da equação do calor também pode ser obtida mais diretamente. De fato,diferenciando a lei de Fourier

φ(x, t) = −kux(x, t)

em relação a x obtemosφx = −kuxx. (4)

Por outro lado, vimos acima que

Q = −∫ t1t0

[φ(b, t)− φ(a, t)]Adt = cρA∫ ba

∫ t1t0

ut(x, t) dt dx.

Agora, ao invés de usar a lei de Fourier na integral do lado esquerdo como fizemos acima para obter (1),usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para escrevê-la na forma∫ t1

t0

[φ(b, t)− φ(a, t)]Adt =∫ t1t0

[∫ ba

φx(x, t) dx

]Adt.

Logo,

−∫ ba

∫ t1t0

φx(x, t) dt dx = cρ

∫ ba

∫ t1t0

ut(x, t) dt dx.

Como a, b, t0, t1 são arbitrários, os integrandos devem ser iguais e portanto obtemos a equação

φx = −cρut. (5)

Igualando as expressões (4) e (5) para φx, obtemos novamente a equação do calor. No entanto, é sempreprefeŕıvel obter a formulação integral, como fizemos anteriormente, e a partir dela obter a formulação dife-rencial. A formulação integral tem a vantagem de valer mesmo em situações em que u não é diferenciável,ou mesmo descont́ınua.

Rodney Josué Biezuner 8

0.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equação do Calor

Pode acontecer que a condutividade térmica ao longo da barra não seja constante, mas dependa de x. Estasituação pode ocorrer, por exemplo, se tivermos uma barra formada por várias barras, cada uma delasconstitúıda por um material diferente. Neste caso, usando a lei de Fourier como fizemos para obter (1),desta vez segue que

Q =

∫ t1t0

A[k(b)ux(b, t)− k(a)ux(a, t)] dt,

e usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para escrever

k(b)ux(b, t)− k(a)ux(a, t) =∫ ba

[k(x)ux(x, t)]x dx,

de modo que

Q = A

∫ t1t0

∫ ba

[k(x)ux(x, t)]x dxdt.

Do mesmo modo, pode ocorrer que o calor espećıfico do material que constitui a barra varie com x, assimcomo a sua densidade (o que certamente ocorrerá na situação dada acima como exemplo). Logo,

Q = A

∫ t1t0

∫ ba

c(x)ρ(x)ut(x, t) dxdt

Portanto, nesta situação, a equação do calor que descreve a variação da temperatura da barra com o passardo tempo se torna

c(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x, (6)

Esta equação é chamada a equação do calor na forma divergente.Pode também ocorrer que exista uma fonte interna de calor em regiões da barra, devida por exemplo a

reações qúımicas, nucleares ou aquecimento elétrico. Denotemos

q(x, t) = quantidade de calor gerada por unidade de volume por unidade de tempo.

À quantidade total de calor Q que entra no segmento da barra entre x = a e x = b no peŕıodo de t0 até t1devido ao fenômeno de condução do calor ao longo da barra, deve ser somada a quantidade de calor geradainternamente no segmento durante este peŕıodo, antes de igualar à expressão obtida em (2) (isso nada maisé que a lei de conservação do calor, um caso particular da lei de conservação da energia). Pela definição deq(x, t), este calor gerado internamente é dado por∫ t1

t0

∫ ba

q(x, t)Adxdt.

Portanto, temos que ∫ t1t0

∫ ba

[kuxx(x, t) + q(x, t)] dxdt = cρ

∫ t1t0

∫ ba

ut(x, t) dxdt

e dáı obtemos a equação

ut = Kuxx + q(x, t). (7)

Esta equação é um exemplo de uma equação de reação-difusão.É claro que nada impede que as duas situações acima ocorram simultaneamente. Neste caso, a equação

completa que descreve o fenômeno da condução de calor na barra será

c(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x + q(x, t). (8)

Rodney Josué Biezuner 9

0.1.3 Condição Inicial e Condição de Fronteira

A equação do calor (3) tem um número infinito de soluções. Por exemplo, qualquer função constanteu(x, t) = C ou afim u(x, t) = Ax + B, onde A,B,C são quaisquer constantes reais, satisfaz (3). Umproblema fisico real, no caso obter a distribuição de temperaturas em uma barra, deve ter uma soluçãoúnica. Portanto, é necessário impor restrições adicionais sobre o problema, de modo que possamos obteruma solução única para a equação do calor.

Intuitivamente, parece óbvio que a distribuição de temperaturas na barra ao longo do tempo depende dadistribuição inicial de temperaturas, chamada a condição inicial do problema:

u(x, 0) = f(x).

Esta é a única condição inicial necessária. Matematicamente, esta necessidade é expressa pelo fato da equaçãodiferencial parcial (3) possuir uma derivada parcial em relação ao tempo de primeira ordem (como no caso deequações diferenciais ordinárias de primeira ordem, em que é necessário saber apenas uma condição inicial,o valor da função no instante inicial, para se conhecer a solução única da equação).

Além disso, a distribuição de temperaturas na barra ao longo do tempo também deve depender do quese passa nas extremidades da barra, que podem não estar isoladas termicamente e portanto podem permitira entrada ou sáıda de calor, influindo na distribuição de temperaturas da barra com o passar do tempo. Ascondições nas extremidades da barra são chamadas de condições de fronteira. Matematicamente, isso sedeve ao fato da equação diferencial parcial (3) depender também da variável x. Podemos imaginar váriostipos de condições de fronteira para o problema da barra:

1. Extremidades mantidas a temperaturas constantes:

u(0, t) = T1 e u(L, t) = T2.

2. Temperaturas nas extremidades variando com o tempo de acordo com funções conhecidas:

u(0, t) = g1(t) e u(L, t) = g2(t).

3. Extremidades isoladas termicamente (ou seja, o fluxo de calor através das extremidades é nulo e abarra está completamente isolada):

ux(0, t) = ux(L, t) = 0.

4. Fluxo de calor através das extremidades é conhecido:

ux(0, t) = h1(t) e ux(L, t) = h2(t).

5. Combinação de quaisquer duas das condições acima:

u(0, t) = 0 e ux(L, t) = 0.

Com uma condição inicial e qualquer uma destas condições de fronteira o problema matemático estábem posto, admitindo uma única solução, conforme veremos em detalhes em um caṕıtulo posterior. Umacondição do tipo 1 ou 2, em que são dados valores para a solução da equação diferencial parcial na fronteira,é chamada uma condição de Dirichlet. Uma condição do tipo 3 ou 4, em que são dados valores para aderivada da solução da equação diferencial parcial na fronteira em relação à variável espacial, é chamadauma condição de Neumann. Uma condição mista, envolvendo tanto o valor da solução como o de suaderivada espacial na fronteira, exemplificada pela condição do tipo 5, é chamada uma condição de Robin.

Rodney Josué Biezuner 10

Observação: O fato da equação do calor (3) ter uma derivada parcial em relação à variável x de segundaordem não tem nada a ver com o fato de precisarmos de duas condições de fronteira. Este fato é simples-mente uma conseqüência da fronteira de um segmento ser formada por dois pontos (no caso, a fronteira dosegmento [0, L] é formada pelos pontos 0 e L). Na verdade, essencialmente temos apenas uma condição defronteira; o que ocorre é que, no caso de um segmento, a fronteira é desconexa e esta condição de fronteiraé mais facilmente expressa por duas sentenças. Este conceito ficará mais claro quando estudarmos equaçõesdiferenciais parciais em regiões do plano e do espaço.

Uma condição de fronteira de grande interesse prático ocorre quando a barra está em contato com umfluido em movimento, como ar ou água. Como exemplo desta situação, imagine uma barra quente emcontato com ar mais frio em movimento. Calor deixa a barra, aquecendo o ar, que leva o calor embora,sendo substituido por ar mais frio, no conhecido processo de convecção. Experimentos mostram que o fluxodo calor que deixa a barra é proporcional à diferença de temperatura entre a barra e a temperatura exterior:

Kux(0, t) = H[u(0, t)− T ];

T é a temperatura externa e a constante de proporcionalidade H é chamada o coeficiente de transferência decalor ou coeficiente de convecção. Esta é a chamada lei de resfriamento de Newton. Note que esta condiçãode fronteira envolve uma combinação linear entre u e ux e é uma condição de Robin. Como pela lei deFourier o fluxo de calor é dado por φ = −kux, temos que φ(0, t) = −kH[u(0, t)−T ], de modo que se a barraestá mais quente que o ambiente exterior (u(0, t) > T ), o fluxo é negativo, isto é, na direção negativa do eixox, saindo da extremidade da barra localizada em x = 0 para o ambiente externo, e vice-versa. Por causadisso, no caso da outra extremidade, localizada no ponto x = L, a lei de resfriamento de Newton deve entãoser escrita na forma

Kux(L, t) = −H[u(L, t)− T ].

A constanteH depende do material que forma a barra e das propriedades do fluido (tais como sua velocidade).

0.2 Solução do Modelo Matemático: Método de Separação deVariáveis e Séries de Fourier

O modelo matemático que obtivemos para a distribuição de temperaturas em uma barra cuja superf́ıcielateral está isolada termicamente com o passar do tempo é uma equação diferencial parcial com condiçãoinicial e condição de fronteira. Vamos tentar resolver o problema espećıfico em que as extremidades dabarra estão mantidas à temperatura constante igual a 0 (correspondente à condição de Dirichlet 1 da seçãoanterior, chamada de condição de Dirichlet homogênea): ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f(x) se 0 6 x 6 L,

u(0, t) = u(L, t) = 0. se t > 0.(9)

Tentaremos resolver este problema pelo chamado método de separação de variáveis. No método deseparação de variáveis, supomos que a solução u(x, t) do problema pode ser escrita como o produto de duasfunções de uma variável, uma dependendo apenas de x e a outra dependendo apenas de t:

u(x, t) = F (x)G(t). (10)

Esta é apenas uma suposição, que pode ou não ser correta (na verdade, veremos que em geral esta suposiçãoestá errada, mas ainda assim ela nos ajudará a encontrar a solução correta para o problema). A vantagemde fazer esta suposição é que ela simplifica consideravelmente o problema, transformando um problema deresolver uma equação diferencial parcial, que não sabemos como fazer, em um problema de resolver uma

Rodney Josué Biezuner 11

equação diferencial ordinária, que sabemos como fazer. De fato, substituindo (10) na equação do calor,obtemos

F (x)G′(t) = KF ′′(x)G(t)

dondeF ′′(x)

F (x)=

1

K

G′(t)

G(t).

Note que o lado esquerdo desta equação depende apenas de x, enquanto que o lado direito depende apenasde t. Isso só pode ser posśıvel se na verdade ambos os lados forem independentes de x e t, isto é,

F ′′(x)

F (x)= σ e

1

K

G′(t)

G(t)= σ

onde σ ∈ R é uma constante. Portanto o problema se reduz a resolver duas equações diferenciais ordinárias:

• A equação diferencial de segunda ordem

F ′′(x)− σF (x) = 0 (11)

para 0 < x < L.

• A equação diferencial de primeira ordem

G′(t)− σKG(t) = 0 (12)

para t > 0.

Vamos resolver primeiro (11). Fazemos isso, apesar dela ser uma equação mais complexa que (12), porqueas condições de fronteira de (9) implicam que F satisfaz as condições

F (0) = F (L) = 0. (13)

De fato, a condição de fronteira u(0, t) = 0 implica que F (0)G(t) = 0 para todo t > 0, o que por sua vezimplica que F (0) = 0 (a menos que G(t) = 0 para todo t, o que significaria que u ≡ 0, uma solução que nãonos interessa, exceto no caso raro em que a condição inicial seja também f ≡ 0); similarmente a condiçãode fronteira u(L, t) = F (L)G(t) = 0 implica que F (L) = 0. A condição (13) restringe as soluções de (11), oque ultimamente limitará os valores posśıveis de σ. Em prinćıpio, há três soluções posśıveis, dependendo dosinal de σ:

1. σ > 0 : Neste caso, a solução geral de (11) é da forma

F (x) = c1e√σx + c2e

−√σx.

Logo, a condição (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c1 + c2 = 0

c1e√σL + c2e

−√σL = 0

.

Mas a única solução deste sistema é c1 = c2 = 0, o que levaria a F ≡ 0 e portanto u ≡ 0, solução quenão nos interessa.

2. σ = 0 : A solução geral de (11) neste caso é da forma

F (x) = c1x+ c2.

A condição (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c2 = 0c1L+ c2 = 0

.

cuja única solução também é c1 = c2 = 0 e novamente F ≡ 0, o que não nos interessa.

Rodney Josué Biezuner 12

3. σ < 0 : Denotando λ =√−σ, a solução geral de (11) neste último caso é da forma

F (x) = c1 cosλx+ c2 senλx.

A condição (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{c1 = 0c2 senλL = 0

.

Como não queremos c2 = 0, devemos ter senλL = 0, o que implica λL = nπ, onde n ∈ N pode ser uminteiro positivo qualquer.

Portanto, para cada valor de n uma solução não nula para o problema (11), (13) é da forma

Fn(x) = sennπ

Lx, (14)

por este motivo chamada uma autofunção para o problema (11),(13) associada ao autovalor

− σ = λ2n =n2π2

L2. (15)

A equação (12) é imediatamente resolvida através de uma integração simples. A solução de (12) é daforma

G(t) = ceσKt,

onde c ∈ R é uma constante real. Como os valores de σ para que o problema (9) tenha soluções não nulassão os dados em (15), segue que para cada valor de n temos uma solução relevante de (12) dada por (a menosda constante)

Gn(x) = e−n2π2

L2Kt. (16)

Segue que para cada n = 1, 2, 3, . . ., temos uma função

un(x, t) = e−n2π2

L2Kt sen

nπ

Lx

que é uma solução para a equação diferencial parcial do problema (9) satisfazendo às suas condições defronteira.

Por outro lado, precisamos de uma solução que também satisfaça à condição inicial u(x, 0) = f(x). Logo,as soluções que encontramos só funcionam se a função f(x) tem uma forma muito particular, ou seja, sef(x) for um múltiplo escalar da função seno. Por exemplo,

se f(x) = 3 senπ

Lx, então (9) tem solução u(x, t) = 3u1;

se f(x) = 17 sen5π

Lx, então (9) tem solução u(x, t) = 17u5.

É óbvio que isso raramente ocorre.Na verdade, porém, ainda podemos obter soluções para o problema (9) a partir destas soluções se f(x)

for apenas uma combinação linear de senos. Por exemplo,

se f(x) = 3 senπ

Lx+ 25 sen

9π

Lx, então (9) tem solução u(x, t) = 3u1 + 25u9;

se f(x) = 4 sen2π

Lx− 2

3sen

22π

Lx+√

5 sen901π

Lx, então (9) tem solução u(x, t) = 4u2 −

2

3u22 +

√5u901.

Isso é verdade porque a equação do calor é uma equação linear, o que significa que combinações linearesde soluções da equação diferencial são também soluções da equação diferencial e, além disso, as condições

Rodney Josué Biezuner 13

de fronteira de (9) são homogêneas, logo combinações lineares de soluções que satisfazem as condiçõesde fronteira continuam satisfazendo as condições de fronteira (isso pode ser imediatamente verificado e édeixado para o leitor se convencer). Assim, qualquer expressão da forma (isto é, qualquer combinação linearde soluções)

u(x, t) =

N∑n=1

cnun(x, t)

é uma solução da equação do calor satisfazendo as condições de fronteira em (9). Em particular, se

f(x) =

N∑n=1

cn sennπ

Lx,

segue que

u(x, t) =

N∑n=1

cne−n2π2

L2Kt sen

nπ

Lx (17)

é uma solução do problema (9).Mas, na maioria dos casos, f não é uma combinação linear de senos. Então Fourier teve a idéia brilhante

de tomar “combinações lineares infinitas”, isto é, séries infinitas, assumindo que toda função pode ser escritacomo uma série infinita de senos. Em outras palavras, assumindo que podemos escrever toda função f naforma

f(x) =

∞∑n=1

cn sennπ

Lx

para certos coeficientes bem determinados cn, o que atualmente chamamos a série de Fourier de f , então ocandidato para solução do problema de valor inicial e de condição de fronteira (9) seria a função

u(x, t) =

∞∑n=1

cne−n2π2

L2Kt sen

nπ

Lx. (18)

Isso nos leva imediatamente às seguintes indagações:

1. Será que toda função f(x) realmente pode ser escrita como uma série de Fourier?

2. Se a resposta à pergunta anterior for negativa, quais são as funções que possuem séries de Fourier?Será que elas formam uma classe suficientemente grande para abranger todas ou uma quantidadesignificativa das funções que surgem nos problemas práticos?

3. Mesmo que f(x) possa ser representada por uma série de Fourier, será que a série definida acima parau(x, t) converge para uma função diferenciável em t e duas vezes diferenciável em x que é a solução de(9)?

Estas perguntas mostram a necessidade de se desenvolver uma teoria para as séries de Fourier. Faremos issono próximo caṕıtulo.

Observação: Note que nem o candidato à solução (18), e nem mesmo a solução (17), são produtos de duasfunções de uma variável, uma dependendo apenas de x e outra dependendo apenas de t (elas são na realidadesomas de produtos de funções de uma variável, soma finita em um caso, soma infinita no outro). Portanto asuposição inicial de que partimos no método de separação de variáveis é errada para a maioria das condiçõesiniciais, a não ser que elas sejam múltiplos de sen(nπx/L). Mas, usando a linearidade da equação do calor,pudemos usar as soluções obtidas através do método de separação de variáveis e a partir delas construir asolução para o problema geral. Este é um método frequentemente usado em ciências exatas: simplificar umproblema complexo através de uma suposição simplificadora que em geral não é válida, mas, a partir dasolução para o problema simplificado, construir a solução correta para o problema complicado.

Rodney Josué Biezuner 14

0.3 Exerćıcios

1. Mostre que a equação do calor é linear, isto é, se u1(x, t) e u2(x, t) são soluções da equação diferencialparcial ut = Kuxx, então au1(x, t) + bu2(x, t) também é, quaisquer que sejam a, b ∈ R. Além disso, seelas satisfazem as condições de fronteira homogêneas u(0, t) = u(L, t) = 0, então au1(x, t) + bu2(x, t)também satisfaz.

2. Mostre que a equação mais geral do calor, c(x)ρ(x)ut = [K(x)ux]x + q(x, t), também é uma equaçãolinear.

3. Proceda como fizemos no texto e encontre um candidato à solução para o seguinte problema de valorinicial com condição de fronteira de Neumann homogênea: ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = ux(L, t) = 0 se t > 0,

u(x, 0) = f(x) se 0 6 x 6 L.

Caṕıtulo 1

Séries de Fourier

Para determinar a possibilidade de uma determinada função poder ser expressa como uma série de Fourier,bem como para obter os coeficientes da série de Fourier da função quando isso ocorrer, precisamos estudarcertas propriedades das funções seno e cosseno.

1.1 Propriedades das Funções Seno e Cosseno

1.1.1 Periodicidade

1.1 Definição. Uma função f : R −→ R é periódica se existe T ∈ R, T 6= 0, tal que f(x+ T ) = f(x) paratodo x ∈ R. O número real T é chamado um peŕıodo para a função f .

Claramente, se T é um peŕıodo para a função f , então qualquer múltiplo inteiro de T também é um peŕıodopara f : 2T , −2T , 3T , −3T , 4T , −4T , etc. Por exemplo,

f(x+ 3T ) = f((x+ 2T ) + T ) = f(x+ 2T ) = f((x+ T ) + T ) = f(x+ T ) = f(x).

1.2 Definição. O menor peŕıodo positivo de uma função periódica f é chamado o peŕıodo fundamentalde f .

Em geral, o peŕıodo fundamental de uma função periódica é chamado simplesmente de o peŕıodo da função.

1.3 Exemplo. a) As funções seno e cosseno são periódicas e ambas têm peŕıodo 2π.

b) Funções constantes são funções periódicas que não possuem peŕıodo fundamental, pois qualquernúmero real não nulo é um peŕıodo para a função constante, logo não existe um menor peŕıodo positivo.Do mesmo modo, a função

f(x) =

{1 se x é racional,0 se x é irracional,

é uma função periódica que não possui peŕıodo fundamental, pois todo número racional não nulo é umpeŕıodo para f (mas observe que números irracionais não são peŕıodos para f).

c) A função f(x) = x − [x], onde [x] é a função piso, isto é, [x] é maior inteiro menor que ou igual ax, é periódica de peŕıodo 1.

15

Rodney Josué Biezuner 16

−3 −2 −1 0 1 2 3−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 1.1. f(x) = x− [x].

d) Podemos encontrar uma infinidade de exemplos de funções periódicas, simplesmente definindo umafunção em um intervalo de comprimento T e declarando que ela é periódica de peŕıodo T , desta formadefinindo ela na reta toda. Ou seja, suponha que a função f foi inicialmente definida no intervalo Ide comprimento T ; dado x ∈ R, se x /∈ I determine um inteiro k tal que x+ kT ∈ I (k é positivo se xestá localizado à esquerda do intervalo I e negativo se x está à direita de I) e defina

f(x) = f(x+ kT ).

Desta forma, definimos uma função f na reta toda que é automaticamente periódica de peŕıodo T . Porexemplo, podemos definir uma função g por

g(x) =

{−x se − L 6 x < 0,x se 0 6 x < L,

e declará-la periódica de peŕıodo 2L.

−6 −4 −2 0 2 4 6−1

0

1

2

3

Figura 1.2. L = 2.

Para que a definição desta extensão periódica seja consistente, observe que o intervalo I deve ser fechadoem um extremo e aberto no outro ou, se o intervalo I for fechado nos dois extremos, a função deve teros mesmos valores nestes extremos. �

Com relação aos peŕıodos das funções que constituem a série de Fourier, fazemos a seguinte importanteobservação:

1.4 Proposição. As funções sennπx

Le cos

nπx

Ltêm peŕıodo fundamental igual a

2L

n.

Prova. De fato, na verdade vale a seguinte afirmação mais geral: para qualquer valor α ∈ R, α 6= 0,

senαx e cosαx têm peŕıodo fundamental igual a2π

α.

Rodney Josué Biezuner 17

Isso pode ser determinado através do argumento a seguir. Queremos encontrar o menor valor positivo de Tpara o qual vale

senα(x+ T ) = senαx para todo x ∈ R,

ou seja,senαx cosαT + cosαx senαT = senαx para todo x ∈ R.

Para determinar αT , o que consequentemente determinará T , basta obter os valores de senαT e cosαT ,pois um ângulo fica completamente determinado quando se conhece os valores de seu seno e de seu cosseno,a menos de múltiplos de 2π. Para isso, observamos que a equação acima é válida para qualquer valor de x.Em particular, substituindo o valor x = 0 na expressão acima, obtemos (já que sen 0 = 0 e cos 0 = 1)

senαT = 0,

e conclúımos que αT deve ser um múltiplo de π. Agora, substituindo o valor x =π

2αna expressão acima,

obtemos (já que senπ

2= 1 e cos

π

2= 0)

cosαT = 1.

Logo, αT é necessariamente um múltiplo de 2π. Como queremos o menor valor positivo de T , segue que

αT = 2π

e, portanto,

T =2π

α.

A mesma conclusão vale para a função cosαx, já que a função cosseno nada mais é que a função seno defasadaπ/2. �

1.5 Corolário. As funções sennπx

Le cos

nπx

Ltêm um peŕıodo em comum, igual a 2L.

Prova. Como qualquer múltiplo inteiro do peŕıodo fundamental é um peŕıodo, segue do resultado anterior

que n · 2Ln

= 2L é um peŕıodo comum para sennπx

Le cos

nπx

L. �

sin(x)sin(2*x)sin(3*x)

1 2 3 4 5 6

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

x

y

cos(x)cos(2*x)cos(3*x)

1 2 3 4 5 6

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

x

y

Figura 1.3. Gráficos de sennx e cosnx para n = 1, 2, 3 (L = π).

Rodney Josué Biezuner 18

1.1.2 Relações de Ortogonalidade

Para o cálculo dos coeficientes da série de Fourier de uma função (quando existir), as seguintes relações de

ortogonalidade entre as funções sennπx

Le cos

nπx

Ldesempenham um papel fundamental:

∫ L−L

cosnπx

Lsen

mπx

Ldx = 0 para todos n,m;∫ L

−Lcos

nπx

Lcos

mπx

Ldx =

{L se n = m,0 se n 6= m;∫ L

−Lsen

nπx

Lsen

mπx

Ldx =

{L se n = m,0 se n 6= m.

Estas relações podem ser obtidas através de integração direta e uso das identidades trigonométricas. Porexemplo, se n 6= m, escrevemos∫ L

−Lsen

nπx

Lsen

mπx

Ldx =

1

2

∫ L−L

[cos

(n−m)πxL

− cos (n+m)πxL

]dx

=1

2

1

π

[1

n−msen

(n−m)πxL

− 1n+m

sen(n+m)πx

L

∣∣∣∣L−L

= 0.

Se n = m, escrevemos∫ L−L

sennπx

Lsen

mπx

Ldx =

∫ L−L

(sen

nπx

L

)2dx =

1

2

∫ L−L

[1− cos 2nπx

L

]dx

=1

2

[x− L

2nπsen

2nπx

L

∣∣∣∣L−L

= L.

1.1.3 Produto Interno no Espaço das Funções Quadrado-Integráveis

O nome relações de ortogonalidade deve-se ao fato de que as expressões acima significam que as funções

sennπx

Le cos

nπx

Lsão ortogonais no espaço vetorial das funções quadrado-integráveis definidas no intervalo

[−L,L]. De fato, no espaço

L2([a, b]) =

{u : [a, b] −→ R :

∫ ba

u2(x) dx

Rodney Josué Biezuner 19

Como o ângulo entre dois vetores é definido por

](u, v) = arccos〈u, v〉‖u‖ ‖v‖

,

segue que duas funções são ortogonais se ∫ ba

u(x)v(x) dx = 0.

1.2 Cálculo dos coeficientes da série de Fourier

Suponha que possamos expressar uma função f : R→ R na forma

f(x) =a02

+

∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sen

nπx

L

), (1.1)

ou seja, que a série no lado direito seja convergente e convirja para a função f em todo ponto x ∈ R. Olado direito da expressão acima é chamado a série de Fourier de f . [O motivo de termos escrito a02 aoinvés de simplesmente a0 ficará claro a seguir.] Em particular, f tem que ser periódica com peŕıodo 2L,

pois este é o peŕıodo comum das funções sennπx

Le cos

nπx

L; portanto, funções definidas na reta toda que

não satisfazem esta condição não possuem séries de Fourier. Suponha, além disso, que a função f sejaintegrável no intervalo [−L,L] e que a série do lado direito possa ser integrada termo a termo. Das relaçõesde ortogonalidade (observando que a função identicamente 1 corresponde a cos

nπx

Lpara n = 0) segue que

∫ L−L

f(x) dx =a02

∫ L−L

dx+

∞∑n=1

(an

∫ L−L

cosnπx

Ldx+ bn

∫ L−L

sennπx

Ldx

)= a0L,

donde

a0 =1

L

∫ L−Lf(x) dx. (1.2)

Os outros coeficientes também podem ser obtidos facilmente explorando as relações de ortogonalidade. Mul-

tiplicando ambos os lados da equação (1.1) por cosnπx

Le integrando de −L a L, obtemos

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx =

a02

∫ L−L

cosnπx

Ldx+

∞∑m=1

(am

∫ L−L

cosmπx

Lcos

nπx

Ldx+ bm

∫ L−L

senmπx

Lcos

nπx

Ldx

)= anL,

donde

an =1

L

∫ L−Lf(x) cos

nπx

Ldx. (1.3)

[Por este motivo escrevemos o termo constante da série de Fourier na forma a02 : deste modo, a fórmula paraos coeficientes an é a mesma, independente se n = 0 ou n 6= 0.] Analogamente, multiplicando ambos os ladosda equação (1.1) por sen

nπx

Le integrando de −L a L, obtemos

bn =1

L

∫ L−Lf(x) sen

nπx

Ldx. (1.4)

Rodney Josué Biezuner 20

1.6 Exemplo. Admitindo que existe uma série de Fourier que convirja para a função abaixo, calcule os seuscoeficientes.

f(x) =

−x se − L 6 x 6 0,x se 0 6 x < L,é periódica de peŕıodo 2L.

Solução. Temos

a0 =1

L

∫ L−L

f(x) dx =1

L

[−∫ 0−L

x dx+

∫ L0

x dx

]=

1

L

(L2

2+L2

2

)= L.

Os outros coeficientes podem ser calculados através de integração por partes. Temos

an =1

L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx =

1

L

[−∫ 0−L

x cosnπx

Ldx+

∫ L0

x cosnπx

Ldx

]

=1

L

[(− Lnπ

x sennπx

L

∣∣∣∣0−L

+L

nπ

∫ 0−L

sennπx

Ldx

)+

(L

nπx sen

nπx

L

∣∣∣∣L0

− Lnπ

∫ L0

sennπx

Ldx

)]

=1

L

[− L

2

n2π2cos

nπx

L

∣∣∣∣0−L

+L2

n2π2cos

nπx

L

∣∣∣∣L0

]

=1

L

[− L

2

n2π2+

L2

n2π2cosnπ +

L2

n2π2cosnπ − L

2

n2π2

]=

2L

n2π2(cosnπ − 1)

=

{0 se n é par,

− 4Ln2π2

se n é ı́mpar.

e

bn =1

L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx =

1

L

[−∫ 0−L

x sennπx

Ldx+

∫ L0

x sennπx

Ldx

]

=1

L

[(L

nπx cos

nπx

L

∣∣∣∣0−L− Lnπ

∫ 0−L

cosnπx

Ldx

)+

(− Lnπ

x cosnπx

L

∣∣∣∣L0

+L

nπ

∫ L0

cosnπx

Ldx

)]

=1

L

[L2

nπcosnπ − L

2

n2π2sen

nπx

L

∣∣∣∣0−L− L

2

nπcosnπ +

L2

n2π2sen

nπx

L

∣∣∣∣L0

]= 0.

Portanto,

f(x) =L

2− 4Lπ2

∞∑n=1

1

(2n− 1)2cos

(2n− 1)πxL

.

Observe que a série do lado direito é convergente em todo ponto x, já que os coeficientes diminuem na

razão de1

(2n− 1)2,

∣∣∣∣cos (2n− 1)πxL∣∣∣∣ 6 1 e a série ∑∞n=1 1n2 é sabidamente convergente.

Veja na Figura 1.3 a seguir os gráficos das somas parciais da série de Fourier de f desde n = 1 atén = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 e 10. Observe como a convergência é bastante rápida. Para k = 10 a somaparcial da série de Fourier de f é virtualmente indistinguivel de f dentro da resolução utilizada.

Rodney Josué Biezuner 21

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2k = 1

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2k = 2

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2k = 3

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2k = 4

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2k = 5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2k = 10

Figura 1.4. Somas parciais da série de Fourier da função f .

Por outro lado, a convergência é mais lenta nas quinas, isto é, nos pontos onde f não é diferenciável.Para perceber isso melhor, considere x = L = π, de modo

π =π

2− 4π

∞∑n=1

1

(2n− 1)2cos(2n− 1)π

ouπ2

8=∞∑n=1

1

(2n− 1)2= 1 +

1

9+

1

25+

1

49+ . . .

Rodney Josué Biezuner 22

Enquanto que π = 3.1415926536 é uma aproximação para π com 10 casas decimais, temos:√√√√8 k∑n=1

1

(2n− 1)2=

3.141274327 se k = 1000,3.141589470 se k = 100000,3.141592335 se k = 1000000.

�

1.3 Teorema de Fourier

Vamos determinar condições suficientes para que uma função f possua uma série de Fourier e para que estaconvirja para f na maioria dos pontos de seu domı́nio.

Primeiramente, a condição para que a série de Fourier de f exista (mesmo que ela possa não convergirpara f em nenhum ponto). Considere uma função f : R −→ R periódica de peŕıodo 2L e absolutamenteintegrável no intervalo [−L,L]. Então os coeficientes de Fourier de f

an =1

L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx, n = 0, 1, 2, . . . ,

bn =1

L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx, n = 1, 2, . . . ,

estão bem definidos, pois ∫ L−L|f(x)| dx

Rodney Josué Biezuner 23

é cont́ınua por partes em qualquer intervalo fechado da reta. Seus pontos de descontinuidade são ospontos com valores inteiros e os limites laterais nestes pontos são −1 e 1.

−3 −2 −1 1 2 3

−1.0

−0.5

0.5

1.0

x

y

Figura 1.5

b) A função

g(x) =

1 se x < 0,0 se x = 0,

sen1

xse x > 0,

não é cont́ınua por partes no intervalo [−1, 1] pois não existe o limite lateral à direita em x = 0.

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Figura 1.6

c) Similarmente, a função

h(x) =

1

|x|se x < 0,

0 se x = 0,1 se x > 0,

não é cont́ınua por partes no intervalo [−1, 1], pois não existe o limite lateral à esquerda em x = 0.

Rodney Josué Biezuner 24

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

Figura 1.7

�

1.3.2 O Teorema de Fourier

1.9 Teorema. (Teorema de Fourier) Seja f : R −→ R uma função periódica de peŕıodo 2L, tal que f e f ′são cont́ınuas por partes no intervalo [−L,L]. Então a série de Fourier de f

a02

+

∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sen

nπx

L

)onde

an =1

L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx, n = 0, 1, 2, . . . ,

bn =1

L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx, n = 1, 2, . . . ,

converge para f(x) se f é cont́ınua em x e para a média dos limites lateraisf(x+) + f(x−)

2se f é

descont́ınua em x.

Observe que se f é cont́ınua em x, então a média dos limites laterais de f em x é exatamente igual a f(x); oteorema poderia ter sido enunciado em uma forma mais compacta simplesmente afirmando que se f satisfazas condições do enunciado, então a série de Fourier de f converge sempre para a média dos limites lateraisf(x+) + f(x−)

2.

1.10 Exemplo. a) Defina

f(x) =

{x2 sen

1

xse x 6= 0,

0 se x = 0.

Observe que f é cont́ınua ( limx→0

x2 sen1

x= 0), mas f ′ não é cont́ınua por partes, pois apesar da derivada

existir em x = 0, não existe nenhum dos limites laterais da derivada em x = 0:

f ′(x) =

{2x sen

1

x− cos 1

xse x 6= 0,

0 se x = 0.

Rodney Josué Biezuner 25

−0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

x

y

−0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Figura 1.8: Gráficos de f (acima) e f ′ (abaixo).

b) (Onda quadrada) Defina f : R −→ R por

f(x) =

{0 se − L < x < 0,L se 0 < x < L,

e f periódica de peŕıodo 2L. Observe que f satisfaz as hipóteses do teorema de Fourier, já que suaderivada é a função identicamente nula, exceto nos pontos múltiplos de L, onde a derivada não existe.

Rodney Josué Biezuner 26

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.5

1.0

x

y

Figura 1.9: L = 1.

Vamos calcular a série de Fourier de f . Temos

a0 =1

L

∫ L−L

f(x) dx =

∫ L0

dx = L,

an =1

L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx =

∫ L0

cosnπx

Ldx =

L

nπsen

nπx

L

∣∣∣L0

= 0,

bn =1

L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx =

∫ L0

sennπx

Ldx = − L

nπcos

nπx

L

∣∣∣L0

=L

nπ(1− cosnπ)

=

{0 se n é par,

2L

nπse n é ı́mpar.

Portanto,

f(x) =L

2+

2L

π

∞∑n=1

1

2n− 1sen

(2n− 1)πxL

.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

1

2

3

x

y

Figura 1.10: Gráfico das somas parciais desde n = 1 até n = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 (L = π).

Rodney Josué Biezuner 27

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

1

2

3

x

y

Figura 1.11: Gráfico da soma parcial desde n = 1 até n = 10 (L = π).

Para os valores de descontinuidade (x = kL, k ∈ Z), os senos se anulam e a série de Fourier de f temvalor igual a L/2, exatamente a média dos limites laterais nestes pontos. Nos demais pontos, a sériede Fourier converge para f , mas com uma convergência lenta, já que os seus coeficientes são da ordemde 1/(2n− 1).c) (Onda triangular) Defina g : R −→ R por

g(x) =

{−x se − L 6 x < 0,x se 0 6 x < L,

e g periódica de peŕıodo 2L. Observe que g é cont́ınua e diferenciável por partes (isto é, g′ é cont́ınuapor partes), logo a série de Fourier de g converge para g em todo ponto. A série de Fourier de g foicalculada no Exemplo 1.6. �

1.4 Séries de Fourier de Funções Pares e Ímpares

1.4.1 Funções Pares e Ímpares

Funções pares e funções ı́mpares têm séries de Fourier mais simples que as de outras funções.

1.11 Definição. Uma função real f : R −→ R é par se f(−x) = f(x); f é ı́mpar se f(−x) = −f(x).

1.12 Exemplo. a) As funções constantes, |x|, x2, x4, x2n e cos nπxL

para qualquer n ∈ N, ex2 , são funçõespares.

b) As funções x, x3, x2n+1 e sennπx

Lpara qualquer n ∈ N, são funções ı́mpares.

c) As funções ex, x2 + x+ 1 não são nem pares, nem ı́mpares. �

1.13 Proposição. (Propriedades elementares das funções pares e ı́mpares)

(i) A soma de duas funções pares é uma função par; a soma de duas funções ı́mpares é uma função ı́mpar.

(ii) A soma de uma função par e uma função ı́mpar não é par, nem ı́mpar (a não ser que uma delas seja afunção nula).

(iii) O produto de duas funções pares é uma função par; o produto de duas funções ı́mpares é uma funçãopar.

Rodney Josué Biezuner 28

(iv) O produto de uma função par e uma funções ı́mpar é uma função ı́mpar.

Prova: A verificação destas propriedades é muito fácil: por exemplo, se f e g são ı́mpares, então

(f + g)(−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x) + (−g(x)) = −(f + g)(x),(fg)(−x) = f(−x)g(−x) = (−f(x))(−g(x)) = f(x)g(x) = (fg)(x).

As demais propriedades são deixadas para o leitor verificar. �

1.14 Proposição. (Integração de funções pares e ı́mpares)

(a) Seja f : R −→ R uma função par, integrável em qualquer intervalo limitado. Então, para todo L ∈ Rvale ∫ L

−Lf(x) dx = 2

∫ L0

f(x) dx.

(b) Seja f : R −→ R uma função ı́mpar, integrável em qualquer intervalo limitado. Então, para todo L ∈ Rvale ∫ L

−Lf(x) dx = 0.

Prova: Temos ∫ L−L

f(x) dx =

∫ 0−L

f(x) dx+

∫ L0

f(x) dx.

Fazendo a mudança de variável t = −x na primeira integral, se f for par temos∫ L−L

f(x) dx =

∫ 0L

f(−t) (−dt) +∫ L

0

f(x) dx = −∫ 0L

f(t) dt+

∫ L0

f(x) dx

=

∫ L0

f(t) dt+

∫ L0

f(x) dx = 2

∫ L0

f(x) dx,

e se f for ı́mpar temos∫ L−L

f(x) dx =

∫ 0L

f(−t) (−dt) +∫ L

0

f(x) dx =

∫ 0L

f(t) dt+

∫ L0

f(x) dx

= −∫ L

0

f(t) dt+

∫ L0

f(x) dx = 0.

�Como conseqüência destas duas proposições, obtemos que a série de Fourier para uma função par é uma

série de cossenos, enquanto que a série de Fourier para uma função ı́mpar é uma série de senos:

1.15 Proposição. (Séries de Fourier de funções pares e ı́mpares)

(a) Seja f : R −→ R uma função par que satisfaz as hipóteses do Teorema de Fourier. Então,

an =2

L

∫ L0

f(x) cosnπx

Ldx, n = 0, 1, 2, . . . ,

bn = 0 para todo n,

logo

f(x) =a02

+

∞∑n=1

an cosnπx

L.

Rodney Josué Biezuner 29

(b) Seja f : R −→ R uma função ı́mpar que satisfaz as hipóteses do Teorema de Fourier. Então,

an = 0 para todo n,

bn =2

L

∫ L0

f(x) sennπx

Ldx, n = 1, 2, . . . ,

logo

f(x) =

∞∑n=1

bn sennπx

L.

1.16 Exemplo. (Onda em dente de serra) Considere a função f(x) = x, se −L < x < L, f(−L) = f(L) =0, periódica de peŕıodo 2L.

−3 −2 −1 1 2 3

−1.0

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Figura 1.12

Como f é ı́mpar, temos an = 0 e

bn =2

L

∫ L0

f(x) sennπx

Ldx =

2

L

∫ L0

x sennπx

Ldx =

2

L

[− Lnπ

x cosnπx

L

∣∣∣L0

+L

nπ

∫ L0

cosnπx

Ldx

]

=2

nπ

[−L cosnπ + L

nπsen

nπx

L

∣∣∣L0

]= −2L

nπcosnπ

=2L

nπ(−1)n+1,

logo a série de Fourier de f é a série de senos

f(x) =2L

π

∞∑n=1

(−1)n+1

nsen

nπx

L.

Rodney Josué Biezuner 30

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

Figura 1.13: Gráfico das somas parciais desde n = 1 até n = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 (L = π).

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

Figura 1.14: Gráfico da soma parcial desde n = 1 até n = 10 (L = π).

�

1.4.2 Extensões Periódicas Pares e Ímpares de Funções Definidas em Intervalos

Dada uma função f : [0, L] −→ R definida em um intervalo fechado, diferenciável por partes, podemos obtervárias séries de Fourier diferentes para f . De fato, para obter uma série de Fourier para f , precisamosextender f a uma função definida na reta toda e que seja periódica, de peŕıodo 2L. No entanto, estaextensão pode ser realizada de uma infinidade de maneiras diferentes, desde que a função resultante satisfaçaas hipóteses do Teorema de Fourier. As extensões mais utilizadas na prática são as extensões de f a umafunção par, de modo que a série de Fourier de f é uma série exclusivamente de cossenos, e de f a uma funçãoı́mpar, de modo que a série de Fourier de f é uma série exclusivamente de senos. Qual delas é escolhidadepende da aplicação prática que se tem em mente, como veremos mais tarde, embora às vezes a escolhatambém é ditada pela diferença da velocidade de convergência entre as séries obtidas (veja o exemplo aseguir).1. Extensão periódica par de f :

Defina f(x) = f(−x) para x ∈ [−L, 0] e declare f periódica de peŕıodo 2L.

Rodney Josué Biezuner 31

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−20

20

40

60

80

100

x

y

Figura 1.15: Extensão par.

2. Extensão periódica ı́mpar de f :Defina f(x) = −f(−x) para x ∈ [−L, 0) e declare f periódica de peŕıodo 2L.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−100

−80

−60

−40

−20

20

40

60

80

100

x

y

Figura 1.16: Extensão ı́mpar.

1.17 Exemplo. Considere a função f(x) = x se 0 6 x 6 L. Se tomarmos a extensão periódica par de f ,obteremos a função

f(x) =

{−x se − L 6 x < 0,x se 0 6 x < L,

f(x) = f(x+ 2L),

que é a onda triangular, cuja série de Fourier é a série de cossenos que já obtivemos anteriormente:

f(x) =L

2− 4Lπ2

∞∑n=1

1

(2n− 1)2cos

(2n− 1)πxL

.

Por outro lado, se tomarmos a extensão periódica ı́mpar de f (redefinindo f(L) = 0), obteremos afunção

f(x) = x se − L < x < L,f(x) = f(x+ 2L), f(−L) = f(L) = 0,

Rodney Josué Biezuner 32

que é a onda em dente de serra, cuja série de Fourier é a série de senos calculada acima:

f(x) =2L

π

∞∑n=1

(−1)n+1

nsen

nπx

L.

Os coeficientes de Fourier da série de cossenos de f decrescem na ordem de1

n2, enquanto que os

coeficientes de Fourier da série de senos de f decrescem na ordem de1

n. Portanto, a convergência da

expansão em cossenos de f é muito mais rápida do que a convergência da expansão em senos de f . Issose deve ao fato de que a extensão de f a uma função par é uma função cont́ınua na reta toda, enquantoque a extensão de f a uma função ı́mpar é uma função que possui descontinuidades nos pontos daforma x = 2kL, k ∈ Z. Em geral, como veremos na seção a seguir, quanto maior a regularidade de f ,mais rápida é a convergência da sua série de Fourier. �

1.5 Estimativa dos Coeficientes de Fourier

A rapidez da convergência da série de Fourier depende dos coeficientes de Fourier. Seja f periódica depeŕıodo 2L. Suponha que1. f é absolutamente integrável em [−L,L].

Neste caso, podemos obter a seguinte estimativa simples para os coeficientes de Fourier:

|an| =

∣∣∣∣∣ 1L∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx

∣∣∣∣∣ 6 1L∫ L−L|f(x)|

∣∣∣cos nπxL

∣∣∣ dx 6 1L

∫ L−L|f(x)| dx,

|bn| =

∣∣∣∣∣ 1L∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx

∣∣∣∣∣ 6 1L∫ L−L|f(x)|

∣∣∣sen nπxL

∣∣∣ dx 6 1L

∫ L−L|f(x)| dx.

Definindo a constante

M0 =1

L

∫ L−L|f(x)| dx,

obtemos portanto as seguintes estimativas para os coeficientes de Fourier:

|an| , |bn| 6M0 para todo n. (1.5)

Como a função é apenas integrável, tudo o que conseguimos obter é que os coeficientes de Fourier sãolimitados. A série de Fourier pode nem mesmo convergir. Suponha agora que2. f é cont́ınua e sua derivada f ′ é absolutamente integrável em [−L,L].

Desta vez podemos integrar por partes para obter

an =1

L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx =

1

nπf(x) sen

nπx

L

∣∣∣L−L− 1nπ

∫ L−L

f ′(x) sennπx

Ldx

de modo que

an = −1

nπ

∫ L−L

f ′(x) sennπx

Ldx. (1.6)

Analogamente,

bn =1

L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx = − 1

nπf(x) cos

nπx

L

∣∣∣L−L

+1

nπ

∫ L−L

f ′(x) cosnπx

Ldx

= − 1nπ

(f(L) cosnπ − f(−L) cos(−nπ)) + 1nπ

∫ L−L

f ′(x) cosnπx

Ldx

Rodney Josué Biezuner 33

de modo que

bn =1

nπ

∫ L−L

f ′(x) cosnπx

Ldx. (1.7)

Denotando os coeficientes de Fourier da derivada f ′ de f por

a′n =1

L

∫ L−L

f ′(x) cosnπx

Ldx,

b′n =1

L

∫ L−L

f ′(x) sennπx

Ldx,

segue que

an = −L

nπb′n, (1.8)

bn =L

nπa′n.

Como já vimos antes (no passo 1), temos que

|a′n| , |b′n| 6 M̂1 para todo n, (1.9)

onde

M̂1 =1

L

∫ L−L|f ′(x)| dx. (1.10)

Portanto, se M1 =L

πM̂1, segue que

|an| , |bn| 6M1n

para todo n 6= 0. (1.11)

Desta vez, com as hipóteses adicionais sobre f (f mais regular, mais suave), obtivemos que os coeficientesde Fourier convergem para zero quando n tende a infinito. Isso ainda não assegura que a série de Fourierconverge, é claro. Suponha agora que3. f e f ′ são cont́ınuas e a derivada segunda f ′′ é absolutamente integrável em [−L,L].

Usando o passo 2 acima, temos

a′n = −L

nπb′′n,

b′n =L

nπa′′n,

donde

an = −L

nπb′n = −

L

nπ

(L

nπa′′n

)= − L

n2π2a′′n, (1.12)

bn =L

nπa′n =

L

nπ

(− Lnπ

b′′n

)= − L

n2π2b′′n.

Do passo 1, temos que|a′′n| , |b′′n| 6 M̂2 para todo n 6= 0, (1.13)

onde

M̂2 =1

L

∫ L−L|f ′′(x)| dx. (1.14)

Rodney Josué Biezuner 34

Portanto, se M2 =L2

π2M̂2, segue que

|an| , |bn| 6M2n2

para todo n 6= 0. (1.15)

Nestas condições, sem usar o Teorema de Fourier conclúımos pelo teste da comparação que a série de Fourier

converge, pois a série∞∑n=1

1

n2é convergente (mas é claro que isso não permite concluir que a série de Fourier

converge para f). Além disso, a velocidade de convergência é relativamente rápida, de ordem quadrática.Procedendo por indução, vemos que quanto mais regular ou suave f for, mais rapidamente os coeficientes

de Fourier convergem para zero e, consequentemente, maior será a velocidade de convergência da série deFourier.

Os cálculos acima mostram também que é posśıvel calcular os coeficientes de Fourier das derivadas deuma função a partir dos coeficientes de Fourier da própria função.

Todos estes resultados são resumidos no teorema a seguir:

1.18 Teorema. (Coeficientes de Fourier das derivadas de uma função) Seja f : R −→ R uma funçãoperiódica de peŕıodo 2L, k vezes diferenciável, tal que f, f ′, f ′′, ..., f (k−1) são cont́ınuas em R e f (k) éabsolutamente integrável em [−L,L]. Então, se a(j)n , b(j)n denotam os coeficientes de Fourier de f (j),temos para 2 6 j 6 k

a′n =nπ

Lbn b

′n = −

nπ

Lan

a′′n = −n2π2

L2an b

′′n = −

n2π2

L2bn

a′′′n = −n3π3

L3bn, b

′′′n =

n3π3

L3an,

a(4)n =

n4π4

L4an, b

(4)n =

n4π4

L4bn,

......

a(j)n =

σjnjπj

Ljan se n é par,

σjnjπj

Ljbn se n é ı́mpar,

b(j)n =

σj+1

njπj

Ljbn se n é par,

σj+1njπj

Ljan se n é ı́mpar,

onde

σj =

{1 se j = 0 mod 4 ou j = 1 mod 4,−1 se j = 2 mod 4 ou j = 3 mod 4.

Além disso, existe uma constante Mk > 0 tal que

|an| , |bn| 6Mknk

para todo n 6= 0.

Prova: Dos resultados que obtivemos acima segue que

an = −1

nπ

∫ L−L

f ′(x) sennπx

Ldx = − L

nπ

1

L

∫ L−L

f ′(x) sennπx

Ldx = − L

nπb′n,

bn =1

nπ

∫ L−L

f ′(x) cosnπx

Ldx =

L

nπ

1

L

∫ L−L

f ′(x) cosnπx

Ldx =

L

nπa′n.

Rodney Josué Biezuner 35

dondea′n =

nπ

Lbn e b

′n = −

nπ

Lan.

O resultado geral segue por indução:

a′′n =nπ

Lb′n =

nπ

L

(−nπLan

)= −n

2π2

L2an,

b′′n = −nπ

La′n = −

nπ

L

(nπLbn

)= −n

2π2

L2bn,

a′′′n =nπ

Lb′′n =

nπ

L

(−n

2π2

L2bn

)= −n

3π3

L3bn,

b′′′n = −nπ

La′′n = −

nπ

L

(−n

2π2

L2an

)=n3π3

L3an,

a(4)n =nπ

Lb′′′n =

nπ

L

(n3π3

L3an

)=n4π4

L4an,

b(4)n = −nπ

La′′′n = −

nπ

L

(−n

3π3

L3bn

)=n4π4

L4bn,

a(5)n =nπ

Lb(4)n =

nπ

L

(n4π4

L4bn

)=n5π5

L5bn,

b(5)n = −nπ

La(4)n = −

nπ

L

(n4π4

L4an

)= −n

5π5

L5bn,

e assim por diante.A constante Mk é dada por

Mk =Lk

πk

(1

L

∫ L−L

∣∣∣f (k)(x)∣∣∣ dx) .�

1.6 Diferenciação e Integração Termo a Termo da Série de Fourier

Quando formos resolver equações diferenciais parciais através de séries de Fourier, será importante poderdiferenciar as séries de Fourier termo a termo (por exemplo, para calcular uxx para o candidato à solução daequação do calor obtida na Introdução), portanto é necessário saber em que condições isso pode ser feito:

1.19 Teorema. (Diferenciação Termo a Termo da Série de Fourier) Seja f : R −→ R uma função periódicade peŕıodo 2L, tal que f é cont́ınua em R e f ′ e f ′′ são cont́ınuas por partes, de modo que vale oTeorema de Fourier e a série de Fourier de f é dada por

f(x) =a02

+

∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sen

nπx

L

).

Então a série de Fourier de f ′ é a série obtida derivando termo a termo a série de Fourier de f :

f ′(x) =

∞∑n=1

(−nπLan sen

nπx

L+nπ

Lbn cos

nπx

L

).

Prova: Pelo Teorema de Fourier, sabemos que f ′ possui uma série de Fourier que converge para f ′ nospontos de continuidade de f ′ e para a média dos limites laterais de f ′ nos pontos de descontinuidade:

f ′(x) =A02

+

∞∑n=1

(An cos

nπx

L+Bn sen

nπx

L

).

Rodney Josué Biezuner 36

Para provar este teorema, basta provar que

A0 = 0,

An =nπ

Lbn,

Bn = −nπ

Lan.

Temos

A0 =1

L

∫ L−L

f ′(x) dx =1

L(f(L)− f(−L)) = 0

porque f tem peŕıodo 2L, logo f(L) = f(−L). Assumindo, para simplificar a demonstração, que f ′ écont́ınua, podemos integrar por partes para obter os outros coeficientes:

An =1

L

∫ L−L

f ′(x) cosnπx

Ldx =

1

L

[L

nπf(x) cos

nπx

L

∣∣∣L−L

+L

nπ

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx

]

=L

nπ

[1

L(f(L) cosnπ − f(−L) cos(−nπ)) + 1

L

∫ L−L

f(x) sennπx

Ldx

]

=L

nπbn.

Bn =1

L

∫ L−L

f ′(x) sennπx

Ldx =

1

L

[L

nπf(x) sen

nπx

L

∣∣∣L−L− Lnπ

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx

]

= − Lnπ

[1

L

∫ L−L

f(x) cosnπx

Ldx

]

= − Lnπ

an.

�

1.20 Exemplo. Se f é descont́ınua, então a conclusão deste teorema falha: mesmo que f possua uma sériede Fourier que converge para f em seus pontos de continuidade, não podemos derivar a série de Fourierde f termo a termo para encontrar a série de Fourier de f ′. Por exemplo, se f : R −→ R é a onda emdente de serra, isto é, a função periódica de peŕıodo 2L definida no intervalo fechado [−L,L] por

f(x) =

{x se − L < x < L,0 se x = L,−L,

então a série de Fourier de f é a série de senos dada por

f(x) =2L

π

∞∑n=1

(−1)n+1

nsen

nπx

L,

como vimos anteriormente. Como f ′ satisfaz também as hipóteses do Teorema de Fourier, sabemosque f ′ também possui uma série de Fourier que converge para f ′ nos pontos de continuidade e para amédia dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. No entanto, como f não é cont́ınua, ocorreque esta série de Fourier não pode ser obtida através da derivação termo a termo da série de Fourierde f . De fato, a derivada termo a termo da série de Fourier de f

2

∞∑n=1

(−1)n+1 cos nπxL

Rodney Josué Biezuner 37

não é nem mesmo uma série convergente em nenhum ponto, divergindo tanto nos pontos de desconti-nuidade como em pontos de continuidade de f . Por exemplo, no ponto x = 0, a série é

2

∞∑n=1

(−1)n+1 = 2(1− 1 + 1− 1 + ...)

que oscila entre os valores 2 e 0, enquanto que no ponto x = L, a série é

2

∞∑n=1

(−1)n+1 = 2(−1 + 1− 1 + 1− ...)

que oscila entre os valores −2 e 0. Em geral, a série diverge em qualquer ponto porque

limn→∞

cosnx 6= 0

para todo x ∈ R. Para provar isso, suponha por absurdo que limn→∞

cosnx = 0 para algum x. Isso

implica evidentemente que limn→∞

cos2 nx = 0 também, pois limn→∞

cos2 nx =(

limn→∞

cosnx)2

. Também

segue que limn→∞

cos 2nx = 0, pois {cos 2nx} é uma subseqüência de {cosnx}. Mas então, tomando olimite quando n→∞ em ambos os lados da identidade trigonométrica

cos2 nx =1 + cos 2nx

2,

obteremos o absurdo 0 = 1/2. Isso prova que limn→∞

cosnx 6= 0 para todo x ∈ R e portanto a sériediverge em todos os pontos.

Podemos calcular a série de Fourier de f ′ diretamente a partir da definição de f ′: temos que f ′(x) = 1se −L < x < L, f ′ não está definida nos pontos múltiplos de L (mas podemos redefinir nestes pontoscomo valendo 1) e é periódica de peŕıodo 2L, logo seus coeficientes de Fourier (note que f ′ é par) são

a0 =1

L

∫ 2L0

f(x) dx =1

L

∫ 2L0

dx = 2,

an =1

L

∫ 2L0

cosnπx

Ldx = 0,

bn = 0,

e sua série de Fourier é, portanto,f ′(x) ≡ 1.

Podeŕıamos ter chegado a este resultado imediatamente, sem precisar de calcular os coeficientes deFourier de f ′, porque a série de Fourier de uma função definida na reta é única.

No caso da questão de se é permitido integrar termo a termo a série de Fourier de f , as hipóteses sobref para que isso seja posśıvel são muito mais fracas. Podemos integrar a série de Fourier de f termo a termopara obter a integral de f mesmo quando a série de Fourier de f não converge uniformemente para f . De fato,podemos integrar a série de Fourier de f mesmo quando a série de Fourier de f não converge pontualmentepara f , e mesmo quando ela não é uma série convergente! Para mostrarmos isso, necessitaremos do seguinteresultado elementar:

1.21 Proposição. Seja f : R −→ R uma função periódica de peŕıodo T . Então, para qualquer a ∈ R vale∫ T0

f(x) dx =

∫ a+Ta

f(x) dx.

Rodney Josué Biezuner 38

Prova: Definindo uma função F : R −→ R por

F (a) =

∫ a+Ta

f(x) dx,

basta provar que F é constante. Para isso, mostraremos que F ′ ≡ 0. De fato, escrevendo

F (a) =

∫ 0a

f(x) dx+

∫ a+T0

f(x) dx = −∫ a

0

f(x) dx+

∫ a+T0

f(x) dx

segue do teorema fundamental do cálculo que

F ′(a) = −f(a) + f(a+ T ) = 0.

�Em outras palavras, este resultado diz que a integral de uma função periódica de peŕıodo T tem o mesmovalor em qualquer intervalo de comprimento T .

1.22 Teorema. (Integração Termo a Termo da Série de Fourier) Seja f : R −→ R uma função periódica depeŕıodo 2L, tal que f é cont́ınua por partes. Então, mesmo se a série de Fourier de f

a02

+

∞∑n=1

(an cos

nπx

L+ bn sen

nπx

L

)não for convergente, ainda assim temos∫ t

0

f(x) dx =a02t+

L

π

∞∑n=1

[ann

sennπt

L− bn

n

(cos

nπt

L− 1)]

para todo t ∈ R.

Prova: Defina

F (t) =

∫ t0

[f(x)− a0

2

]dx.

Observe que F satisfaz as hipóteses do Teorema de Fourier. De fato, F é periódica de peŕıodo 2L, pois

F (t+ 2L) =

∫ t+2L0

[f(x)− a0

2

]dx =

∫ t0

[f(x)− a0

2

]dx+

∫ t+2Lt

[f(x)− a0

2

]dx

= F (t) +

∫ t+2Lt

[f(x)− a0

2

]dx

e ∫ t+2Lt

[f(x)− a0

2

]dx =

∫ t+2Lt

f(x) dx− a02

∫ t+2Lt

dx =

∫ t+2Lt

f(x) dx− 12

(1

L

∫ L−L

f(x) dx

)2L

=

∫ L−L

f(x) dx−∫ L−L

f(x) dx = 0.

Além disso, F é cont́ınua na reta toda, pois é a integral de uma função cont́ınua por partes, e F ′ = f écont́ınua por partes, por hipótese. Portanto, F possui uma série de Fourier que converge para F em todoponto:

F (t) =A02

+

∞∑n=1

(An cos

nπt

L+Bn sen

nπt

L

).

Rodney Josué Biezuner 39

Calculando os coeficientes da série de Fourier de F , através de integração por partes obtemos

An =1

L

∫ L−L

F (t) cosnπt

Ldt =

1

L

[L

nπF (t) sen

nπt

L

∣∣∣∣L−L− Lnπ

∫ L−L

F ′(t) sennπt

Ldt

]

= − 1nπ

[∫ L−L

(f(t)− a0

2

)sen

nπx

Ldt

]= − 1

nπ

[Lbn −

a02

∫ L−L

sennπx

Ldt

]

= − Lnπ

bn,

Bn =1

L

∫ L−L

F (t) sennπt

Ldt =

1

L

[− Lnπ

F (t) cosnπt

L

∣∣∣∣L−L

+L

nπ

∫ L−L

F ′(t) cosnπt

Ldt

]

=1

nπ

[∫ L−L

(f(t)− a0

2

)cos

nπx

Ldt

]=

1

nπ

[Lan −

a02

∫ L−L

cosnπx

Ldt

]

=L

nπan.

Falta calcular A0. Para isso, notamos que da definição de F segue que F (0) = 0, logo

A02

= −∞∑n=1

An =L

π

∞∑n=1

bnn.

Assim