NOCIONS ELEMENTALS SOBRE

LA TEORIA DE LA RELATIVITAT

Aquí tenim l’Albert Einstein quan era un nen,

però el que és més curiós de la figura no és pas la foto

sinó el text que hi ha al seu peu, que veurem ampliat a

la diapositiva següent

Però quaranta anys més tard ja havia revolucionat tota la física

Aquí tenim aquest mateix

nen, però uns quants anys

més tard

El principi de la inèrcia de Galilei:Tots els cossos romanen en un estat de repòs o de moviment uniforme i en línia reca, llevat que una força exterior no els obligui a canviar d'estat.

Els Principia de Newton (1687):El temps absolut, veritable i matemàtic, per si mateix i per la seva pròpia naturalesa, flueix d'una manera uniforme i sense cap relació amb res extern ...L'espai absolut, per la seva pròpia naturalesa i sense cap relació amb res extern, roman sempre similar i

immovible ...

La transformació clàssica o de Galilei

Tenim:

x' = x - vt

y' = y

z' = z

t' = t

Les 7 partícules elementals de principis del s. XIX

1/ La matèria ponderable o matèria amb massa2/ Els corpúsculs de llum3/ Les partícules de calor, sense massa4 i 5/ Les càrregues elèctriques, positives i negatives6 i 7/ Unes partícules magnètiques, de polaritat nord o sud

Esquema de l'experiment d'Oersted

Esquema de l'experiment de Rowland

Recorregut d'anada i tornada d'un avió en el mateix sentit del vent o bé en sentit perpendicular

Efecte de l'arrossegament

d'un raig de llum pel vent de l'èter

(en cas que existeixi)

La taula giratòria de l'experiment de Michelson i Morley

Recorregut real dels raigs de llum en

l'experiment de

Michelson i Morley

Si la Terra arrossegués l'èter en la seva proximitat,

el raig de llum d'una estrella no s'hauria de

desviar en sentit contrari al del desplaçament orbital durant l'interval de temps que necessita per baixar

des de la boca fins al mirall del telescopi i, per

tant, la posició de l'estrella observada mig any més

tard no canviaria

RESUM 1ª SESSIÓ

 - Newton va establir la noció de temps absolut i espai absolut, com a referència universal per a situar qualsevol punt de l'univers.

- El pas de coordenades d'un punt en un SR respecte a un altre es feia segons la transformació de Galilei.

- El principi de relativitat galileà establia que les lleis de la mecànica eren les mateixes per a qualsevol sistema inercial.

- La natura es concebia a base de partícules: matèria, llum, calor, electricitat i magnetisme eren corpuscles de diferents menes.

- En descobrir-se el caràcter ondulatori de la llum va caldre suposar l'existència de l'èter com a suport material de les ones lluminoses, atès que també es transmetien en el buit.

- Si l'èter inundava tot l'univers, hauria pogut servir de referència per a l'establiment de l'espai absolut de Newton, com a SR en repòs respecte a l'èter.

- Els físics van fer grans esforços per trobar el moviment de la Terra respecte a l'eter, però l'experiment de Michelson i Morley va demostrar que aquest vent de l'èter no existia i que la velocitat de la llum era constant respecte a la font emissora. Per tant, o bé la Terra era estacionària respecte a l'èter o bé l'èter no existia.

- Al mateix temps, fenòmens astronòmics com el de l'observació de les binàries eclipsants demostraven que la velocitat de la llum era independent de la velocitat del focus emissor.

Si els dos coets de la

figura van a la mateixa

velocitat, cap dels dos

astronautes pot dir si es

mou de pressa, a poc a poc, o bé si

està aturat del tot

En el cas de llançar una pedra contra un pont des d'un vagó de tren, les velocitats de la pedra i del vagó se sumen o es resten, segons el seu sentit respectiu, per donar la velocitat resultant

En canvi, la llum d'una estrella llunyana sempre ens arriba a la mateixa velocitat, tant si la Terra s'hi acosta com si se n'aparta

Un mateix fenomen observat des de dos llocs diferents, s'observa en instants diferents

Dos esdeveniments poden ser simultanis per a un observador, no ser-ho per a un

altre, i fins i tot poden ocórrer en sentit invers per a

un tercer

x - vtEn lloc de x' = x - vt tenim x' = ---------------

(1 - v2/c2)

y' = y (igualment)z' = z (igualment)

t - (v/c2)xi en lloc de t' = t tenim t' = ---------------

(1 -(v2/c2)

La transformacióde Lorentz

substitueix la de Galilei

Comprovem que amb la transformació de Lorentz la velocitat de la llum és la mateixa en els dos SR. Si enviem un senyal de llum en el sentit positiu de l'eix de les x, es propaga segons l'equació x = ct

i posant aquest valor a la transformació de Lorentz tenim,

ct - vt (c - v)tx' = -------------- = ------------- (1 - v2/c2) (1 - v2/c2)

t - (v/c2)ct t - vt/c (1-v/c)t (c - v)ti t' = --------------- = -------------- = -------------- = --------------- (1 - v2/c2) (1 - v2/c2) (1 - v2/c2) c(1 - v2/c2)

(c - v) td'on ct' = --------------- = x'

c(1 - v2/c2) O sigui, en el SR xyx tenim x = ct i en el SR x'y'z' tenim x' = ct'

c v/c v v2/c2 1-v2/c2 arrel q. 1/arrel q.300.000 0,10 30.000 0,0100 0,9900 0,9950 1,0050300.000 0,20 60.000 0,0400 0,9600 0,9798 1,0206300.000 0,30 90.000 0,0900 0,9100 0,9539 1,0483300.000 0,40 120.000 0,1600 0,8400 0,9165 1,0911300.000 0,50 150.000 0,2500 0,7500 0,8660 1,1547300.000 0,60 180.000 0,3600 0,6400 0,8000 1,2500300.000 0,70 210.000 0,4900 0,5100 0,7141 1,4003300.000 0,80 240.000 0,6400 0,3600 0,6000 1,6667300.000 0,90 270.000 0,8100 0,1900 0,4359 2,2942300.000 0,91 273.000 0,8281 0,1719 0,4146 2,4119300.000 0,92 276.000 0,8464 0,1536 0,3919 2,5516300.000 0,93 279.000 0,8649 0,1351 0,3676 2,7206300.000 0,94 282.000 0,8836 0,1164 0,3412 2,9311300.000 0,95 285.000 0,9025 0,0975 0,3122 3,2026300.000 0,96 288.000 0,9216 0,0784 0,2800 3,5714300.000 0,97 291.000 0,9409 0,0591 0,2431 4,1135300.000 0,98 294.000 0,9604 0,0396 0,1990 5,0252300.000 0,99 297.000 0,9801 0,0199 0,1411 7,0888300.000 0,995 298.500 0,9900 0,0100 0,0999 10,0125300.000 0,998 299.400 0,9960 0,0040 0,0632 15,8193300.000 0,999 299.700 0,9980 0,0020 0,0447 22,3663

Efecte de les altes

velocitats relatives

Suposem p. ex. v = 0,9c = 270.000 km/s, distàncies en km i t en segons. Sobre el SR x'y'z' tenim una barra d'1 km de llargada posada paral·lelament a l'eix x'. Vegem les coordenades dels seus extrems

referits al SR xyz al cap d'1 segon.

Tenim: x' = (x - 270.000)/0,4359 d'on resultaper a x' = 0 x = 270.000per a x' = 1 x = 270.000 + 0,4359 = 270.000,4359

O sigui que la separació entre els extrems de la barra, mesurats des de terra, només és de 0,4359 km.

Contracció de longituds:

Mesurant L' des de SR trobarem

L' = L(1- v2/c2)

però simètricament, mesurant L des de SR' també trobarem

L = L'(1- v2/c2)

L'energia i la massa:

L'energia cinètica d'un cos de massa m, ja no ve donada per l'expressió

E = 1/2 mv2 sinó per aquesta altra

mc2

Ec = -------------- que tendeix a infinit quan v c (1 - v2/c2)

Així doncs, per elevada que sigui l'energia utilitzada per produir l'acceleració, la velocitat del cos sempre és < c.

Si desenvolupem Ec en sèrie tenim:Ec = mc2 + 1/2 mv2 + 3/8 v4/c2 + …

El primer sumand és l'equivalència de massa i energia, el segon és el corresponent a la mecànica clàssica i els sumands següents són despreciables si v << c

A partir de les equacions de Maxwell s'arriba a la conclusió que un cos que vagi a velocitat v i que absorbeixi una energia E0 en forma de radiació, sense modificar la seva velocitat, experimenta un increment d'energia: E0

-------------(1 - v2/c2)

la qual afegida a l'energia cinètica dóna una energia total de: mc2 + E0

--------------(1 - v2/c2)

El  primer sumand és l'energia que tenia el cos abans d'absorbir l'energia E0 i el segon sumand és l'energia absorbida

Si posem la fórmula anterior en la forma:

(m + E0/c2)c2

---------------- (1 - v2/c2)

veiem que el cos té la mateixa energia cinètica d'un cos de massa

m + E0/c2

que es mogués a la velocitat v

Si dos cossos A i B es mouen l'un respecte a l'altre amb velocitat relativa v,

Si A pot mesurar la massa de B trobarà:M' = M / (1 - v2/c2)

Si B pot mesurar la massa d'A trobarà:M = M' / (1 - v2/c2)

Es a dir "l'altre" objecte sempre apareix amb més massa

Addició de velocitats: Si un observador mesura les velocitats de dos objectes alineats amb ell, p. ex. de dos coets A i B (va i vb) i aleshores els astronautes A o B mesuren la seva velocitat relativa d'un respecte a l'altre (d'A respecte a B o de B respecte a A) trobaran:

va + vb

vab = -------------- 1 + va*vb/c2

D'aquesta equació es veu que quan va i/o vb s'acosten a c, la velocitat relativa vab cada cop és menor que va+vb. De més a més, aquesta equació és simètrica, o sigui que vab = vba

La velocitat relativa de dos objectes, per de pressa que vagin respecte a un observador sempre és < c.

En efecte: Suposem va = vb = c - aleshores tenim,

vab c - + c - c - 2c2 - 2c---- = ---------------- = 2c -------------- = ----------------- c c + (c - )2/c c2 + (c - )2 2c2 - 2c + 2

Sempre el denominador és major que el numerador i, per tant

vab < c, però vab c quan 0

Dilatació del temps: Suposem dos coets idèntics, equipats amb regles de mesura i rellotges iguals, que es mouen per l'espai amb una velocitat relativa v entre ells i que, quan passen l'un al costat de l'altre, els seus rellotges marquen 0. Al cap d'una estona, quan estan separats una distància x, A veu que el rellotge de B va més a poc a poc. El "ritme" del temps que veu és

t' = t (1 - v2/c2)

essent t el temps que A llegeix en el seu propi rellotge. Tant li fa que A i B s'acostin com que se separin

RESUM 2ª SESSIÓ

- Vista la constància de la velocitat de la llum respecte al focus emissor però també respecte a l'observador, Einstein formula els seus dos postulats de la relativitat especial: a/ Les lleis físiques són idèntiques en tots els sistemes inercials, i b/ La velocitat de la llum és la mateixa mesurada en qualsevol SR.

- No podem parlar de simultaneïtat entre esdeveniments ocorreguts i/o observats des de diferents SR. Alguns esdeveniments poden ser simultanis per a un observador, poden no ser-ho per a un altre i poden ocórrer en ordre invers per a un tercer.

- Cal substituir la transformació clàssica o de Galilei per la transformació de Lorentz.

- La diferència entre la transformació de Lorentz i la transformació clàssica només es nota a altes velocitats relatives. P. ex. per a un 10 % de la velocitat de la llum, la diferència només és de l'ordre del 1/2 % i a 0,5c ja és de l'ordre del 15 %.

- Com a conseqüència veiem que cada SR té un espai i un temps propis, que no són iguals als dels altres SR que tenen velocitats relatives amb el nostre o entre ells. L'espai i el temps absoluts de Newton no existeixen en el món físic real.

- Aplicant la transformació de Lorentz es comprova la constància de la velocitat de la llum en els diferents SR amb moviment entre si.

- L'energia cinètica d'un cos tendeix a quan la seva velocitat tendeix a c. Se'n segueix com a conseqüència que un cos no pot assolir mai la velocitat de la llum perquè se li hauria de donar una energia infinita.

- Dit d'altra manera: L'increment de la velocitat i de l'energia d'un cos comporta un augment de la seva massa inert.

- Com a conseqüència en resulta l'equivalència entre massa i energia segons la relació E = mc2, i també en resulta la refosa de les dues lleis de conservació de la massa i de conservació de l'energia en una de sola.

- La velocitat relativa entre dos cossos sempre és inferior a la suma de les seves velocitats relatives respecte a un tercer.

- La dilatació del temps no s'ha de confondre amb l'efecte Doppler relativista consistent a una variació en les lectures fetes des d'un altre SR per efecte de la variació entre la distància de separació dels dos SR.

t en segons d en metres01234

807560350

El contínuum tèmporoespacial o diagrama espai-temps

(posant el temps a l'eix vertical)

Això de voler representar quatre dimensions en un full de paper de dues, sol resultar un nyap

Representació geomètrica o diagrama espai-temps

El con de llum que engloba el moviment possible de tots els punts en el pla xy

La (pseudo)paradoxa

dels bessons:Com cada un

d'ells veu el que passa en el SR de

l'altre

La (pseudo)paradoxa

dels bessons:Línies de

simultaneïtat calculades per A i

per B

RESUM 3ª SESSIÓ

 - En lloc de la representació dinàmica del moviment d'un punt en una (x), dues (x, y), o tres (x, y, z) dimensions espacials, la física moderna prefereix la representació estàtica en dues dimensions espai-temps (x, t), en tres (x, y, t) o en quatre (x, y, z, t). Els dos primers casos són representables gràficament però el tercer no ho és.

- El moviment unidimensional d'un punt en una gràfica espai-temps ha de quedar sempre comprès en el sector que va de l'eix vertical del temps fins a la recta que representa el moviment d'un raig de llum. Fora d'aquest sector no hi ha esdeveniments possibles perquè haurien hagut d'ocórrer a una velocitat superior a la de la llum.

- En una gràfica espai-temps la velocitat d'un punt en moviment és igual a la tangent de l'angle format per l'eix vertical del temps i la recta que uneix el punt a l'origen.

- La recta que representa el moviment d'un raig de llum en un espai unidimensional es generalitza a un con en el cas de propagació de la llum en un espai bidimensional.

- L'anomenada paradoxa dels bessons ens il·lustra la no simetria de les dues situacions, atès que el moviment d'un dels dos personatges comporta acceleracions i desacceleracions respecte a la resta de les masses de l'univers mentre que l'altre no en queda afectat.

- De més a més, el seu atent examen és un bon exercici per entendre millor el tema de la contracció de longituds i de la dilatació del temps, i també de separar aquest darrer fenomen del de l'efecte Doppler relativístic.

El principi d'equivalència

Una altra figura per mostrar el

principi d'equivalència

La curvatura dels raigs

de llum

a/ Móns unidimensionals:a1/ Finit i limitata2/ Finit i il·limitat

b/ Móns bidimensionals:b1/ Finit i limitatb2/ Finit i il·limitat

c/ Móns tridimensionals:c1/ Finit i limitatc2/ Finit i il·limitat

Tampoc no m'agrada gens això d'intentar

representar la curvatura de l'espai-

temps en forma d'una mena de llit

elàstic deformat per un pes. Trobo que és

una manera molt confusionària de

representar aquesta realitat

RESUM 4ª SESSIÓ

- El principi d'equivalència ens diu que estar en un moviment accelerat en un lloc sense camp gravitatori o estar quiet en un lloc amb camp gravitatori són situacions equivalents, i dir una cosa o dir-ne una altra només depèn d'un sistema de referència extern al qual referir el nostre moviment.

- Dit d'altra manera: En un punt qualsevol de l'espai els efectes de la gravitació i del moviment accelerat són equivalents i no es poden distingir l'un de l'altre.

- La igualtat de la massa gravitatòria i la massa inert, i també la curvatura dels raigs de llum són conseqüències necessàries del principi d’equivalència.

- En un espai bidimensional que es transformi per deformació en una superfície esfèrica, una línia recta passa a ser un circle màxim. De manera similar l'espai-temps quadridimensional pla de Minkowski es deforma en un espai-temps quadridimensional corbat, ben definit mate-màticament, que rep el nom d'espai de Riemann, on les rectes ja no són les rectes euclidianes sinó les trajectòries dels raigs de llum. És a dir que l'efecte de la gravitació sobre la trajectòria de la radiació electromagnètica fa que calgui abandonar la geometria euclidiana com a definitòria de l'espai físic.

- La mateixa relativitat especial també comporta la curvatura de l'espai-temps ja que la contracció de longituds duu a una relació circumferència/diàmetre diferent de .

- La física clàssica és vàlida en l’àmbit restringit de les petites masses, distàncies i velocitats, però cal assumir la física relativista en els altres casos.

- Històricament es va assolir la unificació de les lleis del moviment de tots els cossos i també la dels fenòmens de la llum, l’electricitat i el magnetisme. Més recentment s’ha assolit la unificació de l’electrodinàmica quàntica amb la teoria de les interaccions forta i feble, però encara resta pendent la unificació d’aquestes tres forces amb la de la gravetat.

- Finalment, la Relativitat no és només una teoria coherent en si mateixa i amb el resultat de l'experiment de Michelson i Morley sinó que també ha estat corroborada per altres proves experimentals de molt diversa índole.

UNA PETITA BIBLIOGRAFIA

- Einstein. El Correu de la Unesco nº 17, de juny 1979. Barcelona.

- Bertrand Russell. ABC de la relatividad. Editorial Ariel. Barcelona 1984.

- James A. Coleman. Relativity for the layman. Penguin Books. Londres 1987.

- Albert Einstein i Leopold Infeld. L'evolució de la física. Edicions 62. Barcelona 1984.

- Albert Einstein, Adolf Grünbaum, AS. Eddington i altres. La teoria de la relatividad. Alianza Editorial. Madrid 1986.

- Fritz Rohrlich. De la paradoxa a la realitat. Enciclopèdia Catalana. Barcelona 1994.

- Albert Einstein. Sobre la teoría de la relatividad y otras contribuciones científicas. Antonio Bosch, editor. Barcelona 1985.

- La relativitat (cicle de conferències al Museu de la Ciència de Barcelona). Fundació Caixa de Pensions. Barcelona 1985.

- Manuel Lucini. Principios fundamentales de las nuevas mecánicas. Editorial Labor. Barcelona 1966.