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1
ÍNDICE DE Contenido PRESENTACIÓN ............................................................................................................................................ 5
CONTRIBUCIÓN DE LOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS EN EL APRENDIZAJE DE LA
FÍSICA. .............................................................................................................................................................. 6
FUNDAMENTOS EPISTEMOLÓGICOS Y PEDAGÓGICOS. ............................................................. 7
TEMA 1 .......................................................................................................................................................... 10
OPERACIONES ARITMÉTICAS CON NÚMEROS REALES .......................................................... 10
1.1 Cuadro sinóptico de operaciones aritméticas ....................................................................... 11
1.2 Ejemplos resueltos ............................................................................................................................ 12
1.3. ACTIVIDADES EN CLASE ............................................................................................................... 15
1.4 EJERCICIOS PROPUESTOS ............................................................................................................. 17
1.5 EVALUACIÓN .................................................................................................................................... 18
1.6. Ejercicio de aplicación de las operaciones aritméticas en la física .............................. 20
TEMA 2 .......................................................................................................................................................... 25
ÁLGEBRA ...................................................................................................................................................... 25
2.1. Operaciones con expresiones algebraicas ............................................................................. 26
2.1.1 Suma de polinomios ..................................................................................................................... 26
2.1.2. Resta de polinomios .................................................................................................................... 26
2.1.3. Multiplicación de polinomios .................................................................................................. 27
2.1.4 Actividad en Clase ......................................................................................................................... 28
2.2 Funciones .............................................................................................................................................. 29
2.2.1. Función lineal ................................................................................................................................. 29
2.2.2. Gráfica de una función lineal y una función afín .............................................................. 30
2
2.2.3. Significado de los términos la función lineal. .................................................................... 30
2.2.4. Evaluación de la función lineal ................................................................................................ 30
2.2.5. Pendiente de la recta ................................................................................................................... 31
2.2.6. Las funciones con relación a la pendiente se pueden clasificar en tres tipos: ..... 33
2.2.7. Ecuación de la recta ..................................................................................................................... 33
2.2.8. Rectas paralelas y rectas perpendiculares. ........................................................................ 35
2.2.9. Función cuadrática ....................................................................................................................... 37
2.2.10. Evaluación de una función cuadrática ............................................................................... 37
2.2.11. Gráfica de una función cuadrática ....................................................................................... 38
2.2.12. Raíces de una función cuadrática ........................................................................................ 39
2.2.13. ACTIVIDADES EN CLASE ......................................................................................................... 41
2.2.14. EJERCICIOS PROPUESTOS ...................................................................................................... 43
2.2.15 EVALUACIÓN ................................................................................................................................. 45
2.2.16. Ejercicio de física con la aplicación de funciones, pendiente de la recta, ecuación
de la recta. 46
2.2.17. ECUACIONES ................................................................................................................................ 49
2.2.18. Pasos para resolver ecuaciones de primer grado. ........................................................ 49
2.2.19. Trucos para resolver ecuaciones de primer grado. ...................................................... 49
2.2.20. Ecuaciones de segundo grado ............................................................................................... 50
2.2.21. Pasos para resolver ecuaciones de segundo grado. ..................................................... 50
2.2.22. Factorización Simple ................................................................................................................. 50
2.2.23. Formula Cuadrática. .................................................................................................................. 51
2.2.24. Sistema de ecuaciones .............................................................................................................. 53
2.2.25. ACTIVIDAD EN CLASE N.-2 .................................................................................................... 55
3
2.2.26. EJERCICIOS PROPUESTOS. ..................................................................................................... 57
2.2.27. EVALUACIÓN ................................................................................................................................. 58
2.2.28. Ejercicios de Física con la Aplicación de Resolución de Ecuaciones ..................... 59
TEMA 3
TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ...................................................................................................... 61
3.1ÁNGULOS..................................................................................................................................................63
3.2. Conversión de medidas de ángulos .......................................................................................... 64
3.3. Equivalencias entre grados sexagesimales y radianes ..................................................... 64
3.4. Teoremas de ángulos ...................................................................................................................... 65
3.5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.............................................................................................. 65
3.6. Funciones Trigonométricas de Ángulos Característicos. ................................................. 67
3.7. Resolución de triángulos rectángulos ...................................................................................... 67
3.8, Pasos para resolver un triángulo rectángulo cuando se conoce el valor de un lado y
un ángulo. 67
3.9. Pasos para resolver un triángulo rectángulo cuando se conoce 2 lados. .................. 69
3.10. Teoremas de triángulos .............................................................................................................. 72
3.11ACTIVIDAD EN CLASE .................................................................................................................. 73
3.12.EVALUACIÓN. ................................................................................................................................... 75
3,13. Ejercicio de física en el bloque curricular movimiento en dos dimensiones con la
aplicación de la trigonometría. ........................................................................................................... 76
3.14. EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................................................................... 79
TEMA 4 .......................................................................................................................................................... 81
EJERCICIOS PROPUESTOS DE APLICACCIÓN DE LOS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
BÁSICOS EN FÍSICA (MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES) ................................................ 81
4
4.1Ejercicios propuestos de aplicacción de las operaciones aritméticas en física
(movimiento en dos dimensiones) .................................................................................................... 81
4.2. Ejercicios propuestos de aplicacción de álgebra en física(movimiento en dos
dimensiones) .............................................................................................................................................. 84
4.3. Ejercicio propuesto de aplicaccion de trigonometría y geometría en física
(movimiento en dos dimensiones) .................................................................................................... 87
5. EVALUACIÓN FINAL............................................................................................................................ 90
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................................ 93
6.ANEXO ........................................................................................................................................................ 94
5
Presentación
Los fundamentos matemáticos son importantes para el aprendizaje de la física, ya que
la física estudia la naturaleza y la matemática permite expresar los resultados.
La unidad cero “Lenguaje de la Física” contiene los fundamentos matemáticos
necesarios para el aprendizaje de la física, explicando de manera fácil, desarrollando
las destrezas por medio de actividades, tareas en clase, ejercicios resueltos y
propuestos para que los estudiantes de bachillerato pueden consolidar los
conocimientos matemáticos y desarrollar con facilidad los ejercicios de física en bloque
curricular movimiento en dos dimensiones.
El currículo plasma en mayor o menor medida las intenciones educativas del país, se
señalan las pautas de acción u orientaciones sobre cómo proceder para hacer realidad
estos objetivos y demostrar que efectivamente se han alcanzado. Un currículo sólido,
bien fundamentado, técnico, coherente y ajustado a las necesidades de aprendizaje de
la sociedad de referencia, junto con recursos que afirmen las condiciones mínimas
necesarias para el mantenimiento de la continuidad y la coherencia en la acumulación
de las intenciones educativas garantizan procesos de enseñanza y aprendizaje de
calidad. (EDUCACIÓN, 2009)
Se aspira que al insertar la unidad cero en los contenidos del currículo de física, se
resuelva un problema educativo y se logre que los estudiantes de primero de
bachillerato mejoren su rendimiento académico en dicha asignatura.
Así como también se pretende que sea una guía para el docente, con la finalidad de
reforzar los conocimientos matemáticos y mejorar la destreza de resolución de
ejercicios de física en el bloque curricular movimiento en dos dimensiones.
6
contribución de los fundamentos matemáticos básicos
Para el aPrendizaje de la física.
Empiezo mencionando la frase de Galileo Galilei: “El libro de la naturaleza está escrito
en el lenguaje matemático”, con ella sintetizo la importancia de mi trabajo investigativo
y la creación de la unidad cero Lenguaje de la física.
En primer año de bachillerato los estudiantes tienen mayor conciencia de la
importancia de las matemáticas, siendo el año en que de acuerdo a su currículo inician
con la signatura de física y los estudios realizados revelan la aplicación concreta de la
matemática en la física.
La física utiliza símbolos para predecir los parámetros importantes de un fenómeno
natural y las matemáticas ofrecen un apoyo para formular sus resultados.
Los conocimientos fundamentales para el aprendizaje de la física son: aritmética,
algebra, trigonometría incluso cálculo para solventar el porqué de un fenómeno. Y la
destreza de su resolución depende de sus conocimientos en matemáticas.
Los componentes del perfil de salida del bachillerato, propagan las características
disciplinares y tienen un carácter integrador; cubren un conjunto de capacidades que
aseguran un desarrollo integral y pleno de los estudiantes. Estos componentes se
enlazan con tres valores fundamentales: justicia, innovación y solidaridad. Por tal
razón con la creación de la unidad cero” Lenguaje de la física” se busca que los
estudiantes tengan conocimientos sólidos que les permita resolver ejercicios con
facilidad en la Asignatura de Física contribuyendo así, para que los estudiantes lleguen
a cumplir con el perfil de salida del bachillerato que plantea el Ministerio de Educación
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fundamentos ePistemológicos y Pedagógicos.
Lucero Álvarez Miño manifiesta en el resumen de su artículo científico “La física es
considerada un área del conocimiento cuyo lenguaje es la matemática”. (Miño, 2016)
Leonor Colombo de Cudmanimanifiesta” Nuestraexperiencia como profesoresde Física y formadores defuturos profesores nosllevaba a intuir suimportancia para favorecerel aprendizaje y la enseñanzade la disciplina así comopara la formación eninvestigación”.
Bunge (1958), quiensostiene que el conocimientocientífico es fáctico, analítico,especializado, claro ypreciso, comunicable,predictivo, verificable,metódico y sistémico.
• Khun (1962), quienatribuye importancia a losfactores sociológicos en laproducción de conocimientocientífico, considerando quelos paradigmas pueden sersusceptibles de cambio yrefutando la visiónacumulativa y gradual de laciencia.
Morin (2007), quienconsidera que todoconocimiento constituye almismo tiempo construccióny reconstrucción a partir deseñales, signos y símbolos, ydel contexto planetario.
En cuanto al fundamentopedagógico.
Ausubel postula en su teoríadel conocimiento que losconocimientos previos sonimportantes para poderllegar a un aprendizajesignificativo del nuevoconocimiento, desde elenfoque constructivista,crítico y reflexivo, laenseñanza de la todas lasciencias, persiguen elaprendizaje significativo y laconstrucción de conceptosnuevos a partir de losconocimientos yexperiencias previas de losestudiantes. Lapersonalización delaprendizaje del área deFísica está relacionada con elconocimiento de lasfortalezas y debilidades decada estudiante, la aplicaciónde la evaluación formativa, eldesarrollo de habilidadescientíficas y cognitivas pormedio de estrategias,técnicas e instrumentosadecuados, adaptados a losdiversos ritmos, estilos deaprendizaje y contextos.
FU
ND
AM
EN
TO
S
EP
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FU
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8
ESQUEMA DE
LA UNIDA CERO
"LENGUAJE DE LA FÍSICA"
En el planteamientode la unidad cero“LENGUAJE DE LAFÍSICA” seestablecieron 5temas, los mismosque se articulan conlas destrezas concriterios dedesempeño consecuencia, orden yprogresividad, deacuerdo con elbloque curricularMovimiento en dosdimensiones.
Es necesario aclararque la unidad ceroLenguaje de la físicano se refiere a laenseñanza global dela matemática, sudiseño responde ados objetivosimportantes:proporcionar unaprendizajesignificativo en elbloque curricularmovimiento en dosdimensiones, asícomo reforzar losfundamentosmatemáticos básicosy más que nadanecesarios, parapoder resolverejercicios delmovimientos en dosdimensiones deforma clara y lógica.
NUMEROS REALES
Operaciones aritméticas
Supreción de signos de agrupación
ALGEBRA
Operaciones Algebraicas
Funciones
Función Lineal
Función afín
Pendiente de la recta.
Ecuación de la recta
Función cuadrática
Ecuaciones de primer y segundo grado
Sistema de ecuaciones
TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA.
Ángulos
Tipos de ángulos
Teoremas de ángulos
Conversión de medidas de ángulos
Funciones Trigonométricas
Funciones trigonométricas de ángulos notables
Resolución de triángulos rectángulos
Teoremas de Triángulos
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OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Reforzar los fundamentosmatemáticos básicos para mejorar elaprendizaje de la física en el bloquecurricular movimiento en dosdimensiones en los estudiantes deprimer año de bachillerato.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Fortalecer losconocimientos sobre laresolución de operacionesaritméticas, para mejorar elaprendizaje de la física en elbloque curricularmovimiento en dosdimensiones en losestudiantes de primer añode bachillerato.
Retroalimentar losconocimientos sobreoperaciones algebraicas yresolución de ecuaciones,para mejorar el aprendizajede la física en el bloquecurricular movimiento en dosdimensiones en losestudiantes de primer año debachillerato.
Fortificar los conocimientos detrigonometría, para mejorar elaprendizaje de la física en elbloque curricular movimientoen dos dimensiones en losestudiantes de primer año debachillerato.
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tema 1 OPERACIONES ARITMÉTICAS CON NÚMEROS REALES
Fuente: Elaborado por Carlos tenorio
DESTREZA CON
CRITERIO DE
DESEMPEÑO
CRITERIO DE EVALUACIÓN VALOR
Realizar operaciones combinadas en Z aplicando el orden de operación, y verificar resultados utilizando la tecnología.
CE.M.4.1. Emplea las relaciones de orden, las propiedades algebraicas (adición y multiplicación), las operaciones con distintos tipos de números (Z, Q, I).
Puntualidad
Fuente. Currículo 2019 del Ministerio de Educación Elaborado por: Gabriela Veloz
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1.1 CUADRO SINÓPTICO OPERACIONES ARITMÉTICAS
Elaborado por: Gabriela Veloz
OP
RA
CIO
NES
AR
ITM
ÉTIC
AS
CO
N N
ÚM
ERO
S R
EALE
S
Realizar las operaciones que estén dentro de
los signos de agrupación .
Para suprimir los signos de agrupación debe tomar encuenta .
Se debe suprimir en el siguiente
orden:parentesis, corchetes y llaves.
Si los signos de agrupación son
independientes uno del otro puede
suprimir a la vez.
Si los signos de agrupación
que se van a suprimir se encuentran
precedidos de :
Un número debe suprimir multiplicando el número por los números que se encuentren dentro del signo de agrupación.
Un signo + debe suprimir sin cambiar de signo a los
números que se encuentren dentro del signo de
agrupación.
Un signo - debe suprimir cambiando de signo a los
números que se encuentren dentro del signo de
agrupación.
Resolver potencias y raices
Para las potencias
debe tomar encuenta:
Si la base es negativa
Y el exponente par la potencia es
positiva
Y el exponente impar la potencia
es negativa
Si la base es positiva
La potencia siempre será
positiva.
Para las raices
Si el indice es par
Y el radicando es positivo la raíz es
positiva
Si el indice es impar
La raíz tiene el signo del radicando.
Realizar las multiplicaciones y
divisiones.
De acuerdo al orden que aparezcan.
Realizar las sumas y las restas que aparezcan.
para sumar dos números con el mismo signo suma y conserva el signo, y si son de diferente signo resta y
conserva el signo del número mayor en su valor absoluto
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1.2 Ejemplos resueltos
EJEMPLO 1.2.1
5 – 3 x 2 + 4 – 4 : 2 SOLUCIÓN
Como no hay paréntesis aplicamos el orden de las operaciones: primero se
resuelve las multiplicaciones y divisiones que aparezcan:
5 -3 x 2 + 4 – 4 : 2
Luego de identificar, resolver las operaciones:
5 -3 x 2 + 4 – 4 : 2
5 - 6 + 4 - 2
Sumar y restar para obtener la respuesta:
5 -6 +4 -2 =1
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Ejemplo 1.2.2
(7 +3 ) - (5 x 2) +5 SOLUCIÓN:
Suprimir los signos de agrupación, para ello resolver primero las operaciones que
hay dentro de ellos:
(7 +3 ) - ( 5 x 2 ) + 5
10 - 10 + 5
Sumar y restas. Por tanto, podemos operar de izquierda a derecha y resolvemos la
expresión:
10 - 10 + 5 =5
Ejemplo 1.2.3:
3 x ( 5 x 3 + 6 ) - ( 5 + 12 : 4 ) Suprimir los paréntesis, para lo cual se debe resolver las operaciones que hay
dentro de ellos. ¡Cuidado! Dentro de los paréntesis hay varias operaciones, por eso
tenemos que fijarnos en hacer primero las multiplicaciones y
divisiones dentro de los paréntesis:
3 x ( 5 x 3 + 6 ) - ( 5 + 12 : 4 )
3 x ( 15 + 6 ) - ( 5 + 3 )
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Dentro de los paréntesis hay solo una operación podemos resolverlas:
3 x (15 + 6 ) - ( 5 + 3 )
3 x 21 - 8
Resolver la multiplicación:
3 x 21 - 8
Una vez resuelta la multiplicación podemos resolver la expresión:
63 - 8 = 55
(SÁNCHEZ, 2015)
15
1.3. ACTIVIDADES EN CLASE
1. Escriba el orden de las operaciones que debe seguir para resolver los problemas de operaciones combinadas.
Suma y resta
Multiplicación y División
Potenciación
Radicación
2. Una con una línea el orden que debe seguir para suprimir paréntesis.
Corchetes
Llaves
Paréntesis
3
2
1
Fuente: U. E. Capitán Edmundo Chiriboga Elaborado por: Gabriela Veloz
Riobamba-Ecuador
16
3. Resuelva los siguientes ejercicios
EJERCICIO 3² – 2³(2) + (4)3-8
SOLUCIÓN:
EJERCICIO [(17 − 15)³ + (7 − 12)²] : [(6 − 7) · (12 − 23)]
SOLUCIÓN:
17
1.4 EJERCICIOS PROPUESTOS Fuente: Libro de matema tica la lectura del muchacho
a) 26 + 3 · 5 – 16 =
b) 27 + 5 – 45: 5 + 16 =
c) (2 · 3 + 12) (6 − 4) =
d) 3 · 8 + (6 + 5 – 3) – 16: 4 =
e) 1 + 5 · (2 · 3) ³ =
f) 40 − [30 + 6 (19 − 12)] =
g) 5{4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (10 − 8)} =
h) (2 − 8) + [5 − (−2)] =
i) 6 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
j) 12: [6: (− 2)] =
k) [(− 1)5 − (−3) ³]² =
l) (5 + 18 · 2: 6 − 4) · (4: 2 − 3 + 6): (7 − 8: 2 − 2) ² =
m) [(15 − 15)³ + (7 − 12)²] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =
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1.5 EVALUACIÓN
Fuente: U. E. Capitán Edmundo Chiriboga Riobamba-Ecuador
Elaborado por: Gabriela Veloz
1. Dentro del circulo escriba v si es verdadero o f si es falso en las siguientes expresiones. Cuando sumo dos números negativos la respuesta siempre es negativa. Cuando un signo menos esta precedido de un paréntesis se debe cambiar de signo a todos los números que están dentro del paréntesis. La potencia de un número negativo con exponente par siempre será positiva La raíz de un número negativo cuando el índice es par es siempre negativa.
2. Una con una línea el orden de las operaciones que debe seguir para resolver los problemas de operaciones combinadas.
Suma y resta
Multiplicación y división
Potencia
Radicación
3
4
1
2
19
3. Resuelva el siguiente ejercicio
EJERCICIO 4² – 2³(1) + (7)3-9
SOLUCIÓN:
20
1.6. EJERCICIO DE APLICACIÓN DE LAS OPERACIONES
ARITMÉTICAS EN LA FÍSICA
Ejercicio 1.5.1
Ejemplo 4.6 Esto es verdaderamente un arma. Pág. 82 del libro Serway cuarta
edición. Desde la azotea de un edificio se lanza una piedra hacia arriba a un ángulo de
30 grados con respecto de la horizontal y con una velocidad inicial de 20 m/seg. Como
muestra la figura 4.10. Si la altura del edificio es 45 m. ¿Cuánto tiempo permanece la
pierda en vuelo?
SOLUCIÓN:
vx = v0x = v0 cos ө
vx = v0x = 20 m/seg * cos 30
vx = v0x = 17,32 m/seg
v0y = v0 sen өv0y = 20 m/seg * sen 30 = 20 * 0,5 = 10 m/seg
v0y = 10 m/seg.
vx = v0x
FUENTE: Pág. 82 del libro Serway cuarta edición
Fuente: Elaborado por: Luisa
Corayma y Ana Blanco
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Es importante decir que el sitio donde se inicia el movimiento son las coordenadas
(0,0), de esto se deduce lo que este hacia abajo es negativo y lo que este hacia arriba es
positivo. Por lo anterior la altura del edificio Y = - 45 metros
Y=VOY*t - 𝑔∗𝑡2
2
-45=10*t - 9,8∗𝑡2
2
-45=10t - 4,9t2
Ordeno e igualo a cero la ecuación
- 4,9t2 +10t + 45=0
Multiplico por -1
4,9t2 -10t - 45=0
Aplicar la formula general para determinar el tiempo.
𝑡 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
22
APLICACIÓN DE OPERACIONES ARITMÉTICAS N.-1
𝑡 =−10±√(10)2−4(4,9)(−45)
2(4,9)
𝑡 =−10 ± √100 + 882
9,8
𝑡 =−10 ± √982
9,8
t =−10 ± 31,33
9,8
t =41,33
9,8
t=4,218s
¿Cuál es la velocidad de la piedra justo antes de que golpee el suelo?
VY =V0Y – g * t LEY FÍSICA
APLICACIÓN DE OPERACIONES ARITMETICAS N.-2
VY =10𝑚
𝑠 – 9,8
𝑚2
𝑠* 4,21s
VY =10𝑚
𝑠 – 9,8
m
𝑆2* 4,21s
VY =10𝑚
𝑠 – 41,33
𝑚
𝑠
VY =-31,33 𝒎
𝒔
23
Ejercicio 1.5.3
Ejemplo 4.7 Los exploradores extraviados. Pág. 82 del libro Serway cuarta
edición. Un avión de rescate en Alaska deja caer un paquete de provisiones a un grupo
de exploradores extraviados, como se muestra en la fig. 4.11. Si el avión viaja
horizontalmente a 40 m/s. Y a una altura de 100 metros sobre el suelo. ¿Dónde cae el
paquete en relación con el punto en que se soltó?
SOLUCIÓN
FUENTE: Pág. 82 del libro Serway cuarta edición.
¿Dónde cae el paquete en relación con el punto en que se soltó?
Determinar el tVUELO
Y =1
2 g t2
2Y = g t2
2 𝑌
𝑔= t2
24
APLICACIÓN DE OPERACIONES ARITMÉTICAS N.- 1 EJERCICIO 2
tv= √2𝑌
𝑔 = √
2∗100
9,8 =√
200
9,8 =√20,4=4,51s
X=V0 * tVUELO= 40𝑚
𝑠 * 4,51s=180,4m
0
VY=V0Y+g*t
VY=g*tVUELO
VY=9,8m
𝑆2* 4,51s
VY=44,19m
s
La velocidad inicial en el eje x se mantiene constante VX=V0=40m
s
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tema 2
álgebra
FUENTE: Elaborado por imágenes animadas de profesores
DESTREZA CON CRITERIO DE DESEMPEÑO CRITERIO DE EVALUACIÓN
VALOR
M.4.1.9. Aplicar las propiedades algebraicas (adición y multiplicación) de los números enteros en la suma de monomios homogéneos y la multiplicación de términos algebraicos. M.4.1.10 Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en Z en la solución de problemas. M.4.1.24. Operar con polinomios de grado ≤2 (adición y producto por escalar) en ejercicios numéricos y algebraicos. M.4.1.20. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en Q en la solución de problemas sencillos. M.4.1.32. Calcular expresiones numéricas y algebraicas usando las operaciones básicas y las propiedades algebraicas en R. M.4.1.33. Reconocer y calcular productos notables e identificar factores de expresiones algebraicas. M.4.1.38. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en R para resolver problemas sencillos.
CE.M.4.1. Emplea las relaciones de orden, las propiedades algebraicas (adición y multiplicación), las operaciones con distintos tipos de números (Z, Q, I) y expresiones algebraicas, para afrontar inecuaciones y ecuaciones con soluciones de diferentes campos numéricos, y resolver problemas de la vida real, seleccionando la forma de cálculo apropiada e interpretando y juzgando las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema; analiza la necesidad del uso de la tecnología.
El respeto
Fuente: Currículo 2019 Ministerio de Educación Elaborado por: Gabriela Veloz
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2.1. Operaciones con expresiones algebraicas
2.1.1 Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del
mismo grado.
P(x) = 2x3 + 2x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
1. Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3- 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 2x - 3) + (2x3 - 3x2+ 4x)
2. Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 2x + 4x – 3
3. Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x - 3
P(x) + Q(x) =x3 + 6x
2.1.2. Resta de polinomios
Para restar polinomios se debe sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) - Q(x) = (2x3 + 3x2 - 3) - (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) - Q(x) = 2x2 + 3x2 - 3 - 2x3 + 3x2 - 4x
P(x) - Q(x) = 2x3 - 2x3 + 3x2 + 3x2 - 4x - 3
P(x) - Q(x) = 6x2 -4x – 3
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2.1.3. Multiplicación de polinomios
. Multiplicación de un número por un polinomio Se debe multiplicar el número por todos los términos que están dentro del paréntesis.
Ejemplo: 2 · (2x3 - 3x2 + 2x - 2) = 4x3 - 6x2 + 4x - 4
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio Se aplica la propiedad
distributiva.
Ejemplo: 4x2 · (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 8x5- 12x4 + 16x3 - 8x2
3. Multiplicación de polinomios Se multiplica cada término del primer
polinomio con todos los términos del segundo polinomio.
Ejemplo:
P(x) = 2x2 - 2 Q(x) = x3 - 3x2 + 4x
P(x) · Q(x) = (2x2 – 2x) · (x3 - 3x2 + 4x)
P(x) · Q(x) =2x5 - 6x4 + 8x3 -2x4 +6x3 -8x2
P(x) · Q(x) =2x5 - 8x4 + 14x3 - 8x2
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2.1.4 Actividad en Clase
Fuente: U. E. Capitán Edmundo Chiriboga Riobamba-Ecuador Elaborado por: Gabriela Veloz
1. Realice las siguientes operaciones con polinomios
➢ Sumar (2x³ + x² -5) + (x² + x +6)
➢ Restar x³ + 2x² - x – 4 de 3x³ - 5x² + 3
➢ Multiplicar (x + 2)(x – 3)
2. Resuelva las siguientes multiplicaciones entre polinomios.
✓ (x-2) (x+2)
✓ (x2 +5x+2) (3x3 +2x+1)
29
2.2 funciones
Una función es una relación que existe entre dos variables, en la cual; a cada valor de la
primera variable le corresponde un único valor de la segunda variable.
A la primera variable se le denomina variable independiente y se representa con la
letra x.
A la segunda variable se le denomina variable dependiente y se representa con la letra
y
Elementos de una función
Los elementos de una función f son:
2.2.1. Función lineal En algebra elemental
En el contexto del análisis matemático:
Dominio
Valores de la variable
independiente (x)
Recorrido
Valores de la variable dependiente (y)
Es una función polinómica de la forma
f(x)=mx+b, su grafica es una línea recta.
La función lineal es de la forma y=mx, donde b=0, que
representa gráficamente a una línea recta que pasa por el
origen.
La función afín es de la forma y=mx+b, llamada también
transformación lineal en el contexto del algebra lineal.
Gráfica de una función Lineal
30
2.2.2. Gráfica de una función lineal y una función
afín
Fuente: Elaborado por Gabriela Veloz
2.2.3. Significado de los términos la función lineal.
2.2.4. Evaluación de la función lineal
Para evaluar una función se debe determinar el valor de la variable dependiente, dado
el valor de la variable independiente.
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-5 0 5
Función Afín
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 0 2 4
Función Lineal
m = pendiente
de la recta
(constantes)
b = punto de
corte de la recta
con el eje y
(constante)
x = variable
f( x ) = mx +b
31
Ejemplo.2.2.4.1
Evaluar la función f (x) = 3x + 2 cuando el valor numérico de x es 3.
f ( 3 ) = 3(3)+2
f( 3 ) =9+2
2.2.5. Pendiente de la recta
Para determinar la pendiente de la recta se debe tomar en cuenta lo siguiente:
• Cuando tenemos la función lineal de la pendiente es el valor de m.
Ejemplo 2.5.6.1
Determine la pendiente de la recta de que representa a la función:
f(x)= 3x+6.
f(x)=mx+b
m=3
• Cuando se conoce dos puntos de la recta se debe aplicar la fórmula.
𝑚 =𝑌2−𝑌1
𝑋2−𝑋1
Ejemplo 2.5.6.2
Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-1,1) y (3,2).
Solución: Aplique la fórmula
𝑚 =𝑌2−𝑌1
𝑋2−𝑋1
𝑚 =2 − 1
3 + 1
𝑚 =1
4
f ( 3 ) = 11
32
Ejemplo 2.5.6.3.
Observe la gráfica de la función y determine la pendiente de la recta.
Fuente: Elaborado por Gabriela Veloz
Solución:
a) Elegir dos puntos que pasan por la recta
(-2,0) y (2,4)
b) Aplicar la formula
𝑚 =𝑌2−𝑌1
𝑋2−𝑋1
𝑚 =4−0
2+2
𝑚 =4
4
𝑚 = 1
33
2.2.6. Las funciones con relación a la pendiente se
pueden clasificar en tres tipos:
2.2.7. Ecuación de la recta
La ecuación de la recta se puede determinar mediante la pendiente (m) y un punto de
la recta, utilizamos la siguiente expresión:
Ejemplo 2.2.7.1
Determinar la ecuación de la recta que tiene como pendiente m=2 y pasa por el punto
(2,3).
Solución: Remplazar los datos en la expresión:
(y - y1) = m(x - x1)
(y - 3) =2(x - 2)
y =2x – 4
Ecuación de la recta
Fun
cio
nes
Lin
eal
esCreciente m>0
Decreciente m<0
Constante m = 0
(y - y1) = m(x - x1)
y = 2x– 1
34
Ejemplo 2.2.7.2
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2,5) y (4,9)
Solución:
Hallar la pendiente
𝑚 =𝑌2−𝑌1
𝑋2−𝑋1
𝑚 =9−5
4−2
𝑚 =4
2
𝑚 = 2
Reemplazar los datos en: (y - y1) = m (x - x1)
(y - 5) =2(x - 2)
y =2x – 4+5
Ecuación de la recta.
y = 2x+ 1
35
2.2.8. Rectas Paralelas y rectas perpendiculares.
Paralelas. - Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
Ejemplo 2.2.8.1
Determine si las rectas son paralelas f(x) =2x+1; y=2x+3 .
Solución:
f(x) =2x+1 y=2x+3
m1=2 m2=2
Como m1= m2 las 2 rectas son paralelas
Gráfica.
Fuente: Elaborado por Gabriela Veloz
Perpendiculares. -Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es
igual a -1.
-4
-2
0
2
4
6
8
-3 -2 -1 0 1 2 3
36
Ejemplo 2.2.8.2
Determine si las rectas son perpendiculares y=2x+1; y=-0,5x-7.
Solución. Multiplique las pendientes
m1 = 2 m2= -0,5
m1 . m2 =-1
2. (-0,5)=-1 Las dos rectas son perpendiculares.
Gráfica
Fuente: Libro del Ministerio de Educación de 10mo Grado
37
2.2.9. Función cuadrática
Fuente: Elaborado por Gabriela Veloz
2.2.10. Evaluación de una función cuadrática
Para evaluar una función cuadrática se debe reemplazar el valor de x por un valor que
pertenezca al dominio de la función.
Ejemplo 2.2.10.1
Evalúe la siguiente función f(x)=2x2 +3x+4 para los siguientes valores de x= 1,2,-3,-1
f(x)=2x2 +3x+4 x=1 Solución:
f(1)=2(1)2 +3(1)+4
f(1)=2(1) +3+4
f(1)=2 +3+4
f(1)=9
GR
ÁFI
CA
CO
EFIC
IEN
TESEl
em
en
tos
Def
inic
iónEs una
función polinómica de la forma
ax2 +bx+c
donde a≠o
Eje de simetria
x = −𝑏
𝑎
Vértice
(−𝑏
𝑎,
−𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎)
Orientación
convexa si
a > 0 U
cóncava si
a < 0 ∩
Puntos de corte con los ejes OX, OY
Su gráfica representa una parábola
Por sus coeficientes puede ser: y=ax2; b, c=0
y=ax2 +c; b=0
y=ax2 +bx ; c=0
y=ax2 +bx+c; a, b, c≠0
38
f(x)=2x2 +3x+4 x=2
Solución:
f (1) =2(2)2 +3(2) +4
f (1) =2(4) +6+4
f (1) =8+3+4
f(1)=15
f(x)=2x2 +3x+4 x=-3
Solución:
f (1) =2(-3)2 +3(-3) +4
f (1) =2(9) -9+4
f (1) =18-9+4
f(1)=13
f(x)=2x2 +3x+4 x=-1
Solución:
f (1) =2(-1)2 +3(-1) +4
f (1) =2(1) -3+4
f (1) =2-3+4
f(1)=3
Fuente: Elaborado por Gabriela Veloz
2.2.11. Gráfica de una función cuadrática
Para graficar una función cuadrática se debe realizar una tabla de valores.
Ejemplo 2.2.11.1
Graficar la siguiente función g(x)=2x2 +x-3
X y=g(x)=2x2 +x-3 (x,y)
-2 g(x)=2x2 +x-3= 2(-2)2 +(-2)-3=8-2-3=3 (-2,3)
-1 g(x)=2x2 +x-3= 2(-1)2 +(-1)-3=2-1-3=-2 (-1,-2)
0 g(x)=2x2 +x-3= 2(0)2 +(0)-3=0+0-3=-3 (0,-3)
1 g(x)=2x2 +x-3= 2(1)2 +(1)-3=2+1-3=0 (1,0)
2 g(x)=2x2 +x-3= 2(2)2 +(2)-3=8+2-3=7 (2,7)
39
Gráfica.
Fuente: Elaborado por Gabriela Veloz
2.2.12. Raíces de una función cuadrática
Para determinar las raíces de una función cuadrática se debe factorizar el trinomio.
-5
0
5
10
15
20
-4 -2 0 2 4
y
4.- Despejar el valor de x en cada factor
(x - 3) = 0 (x +2 ) = 0
x 1= 3 x 2= -2
3.- Igualar a cero cada factor
(x - 3) = 0 (x +2 ) = 0
2.- Factorizar
(x - 3) (x + 2)
1.- Igualar a cero
x2 - x - 6 = 0
Ejemplo: f(x) = x2 - x - 6 :PROCESO
40
Ejemplo 2.2.12.1
Determinar las raíces de f(x)=2x2 +8x+ 15
Solución:
f(x)=2x2 +9x+ 10
(2x +5) (x + 2)
(2x +5) =0 (x + 2) =0
x1 = -5
2 x2 = -2
41
2.2.13. Actividades en clase
Escriba en el espacio en blanco el tipo de función que corresponde.
*f (x) =2x+3 *g (x) =3x * h(x) =2x2+9x+10
Evalúe las siguientes funciones para x= -3 ; x= 5 ; x= 0
*f (x) =5x+2 *g (x) =2x * h(x) =x2+7x+10
Grafique las siguientes funciones:
• g(x)=x-2
• F(x)=2x2 +5
1
2
3
42
Determine el valor de la pendiente de las siguientes funciones.
f(x)=2x+3
Función que pasa por los puntos (1,2) y
(4,4)
Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (1,4)
Determine las raíces de la siguiente funcione cuadrática:
f(x)=4x2 +16x + 15
4
5
6
43
2.2.14. Ejercicios propuestos
1.- Realice la gráfica de las siguientes funciones:
f(x) = 3x+2
f(x) = x2 -5x+6
2.-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m en
cada caso.
a. P(27, 4) y m = 4
b. P(21, 7) y m = 2
c. P(5, 6) y m = 5
d. P(2, 1) y m = 1
e. P(0, 1) y m = 3
3.- Evalúe las siguientes funciones para los valores de x=2; 3; -1
f(x)= x+5 f(x)= x2+2
4.-Halla la pendiente y la ecuación de la recta que pasa por cada par de puntos.
a. (1, 25) y (22, 1)
b. (2, 14) y (21, 27)
c. (22, 22) y (0, 10)
d. (23, 5) y (24, 21)
e. (21, 0) y (0, 21)
f. (25, 3) y (4, 1)
5.- Indica, en cada caso, si las rectas dadas son paralelas o no. Justifica tus respuestas.
a. y = 4x 2 - y y = 4x + 3
b. y = -x - 1 y y = 2x- 3
6.-Estudia la pendiente de la recta. Luego, indica si las rectas son perpendiculares o
no.
y = -3
4 x+7 y y = -
4
3 x-1
44
7.-Encuentra las rectas perpendiculares o paralela a la recta dada, según se indique.
a.-La ecuación de la recta perpendicular a y = -3x + 5 que pasa por el punto (2, 6).
b.-La ecuación de la recta paralela a la recta x - 5y = 15 que pasa por el punto (22, 5).
8.- Determine las raíces de las siguientes funciones.
• 2x2+ 9x+20 • x2 +5x+6
45
2.2.15 eValuación
1.- Subraye la respuesta correcta:
El conjunto de valores de la variable independiente es:
• El dominio de la función • El recorrido de la función • La pendiente de la función
Una función es creciente si su pendiente es:
• Mayor que cero • Menor que cero • Igual a cero
La grafica de una ecuación cuadrática es:
• Una recta • Una parábola • No está definida
Dos rectas son paralelas si:
• Sus pendientes son iguales • Si el producto de sus pendientes es igual a -1 • Si la pendiente es indeterminada.
2.- Resuelva
• Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,4) y (-2,4)
• Determine la ecuación de la recta que tiene como pendiente m= 2 y pasa por el punto (-1,3)
• Grafique la siguiente función x2 +3
• Determine las raíces de f(x) =x2 –x-20
46
2.2.16. Ejercicio de física con la aplicación de
funciones, pendiente de la recta, ecuación de la
recta.
Un auto se mueve con velocidad constante determine la gráfica de la posición vs el
tiempo y explique.
Fuente: Elaborado por Khan Academy
Solución:
Se toma en cuenta que el Punto C indica la posición del objeto en un tiempo de 20
segundos. El punto B representa la posición del objeto en un tiempo de solo 10
segundos. Así que, el tiempo que le tomó al objeto desplazarse desde el punto B al C
fue de 20s – 10s = 10s. Por otro lado, en el Punto C el objeto se encontraba a 100 m
del origen de coordenadas y en el Punto B se encontraba a 50 m. Por lo tanto, la
distancia entre los puntos B y C es de 100 m – 50 m = 50 m. Así que, podemos concluir
que al objeto le tomó un tiempo de 10 s desplazarse del Punto B al C y que la
distancia que recorrió al hacer esto fue de 50 m.
Análisis del movimiento Si se toma en cuenta el mismo análisis que el descrito
arriba notarás que al moverse del punto C al D, el objeto recorrerá la misma
distancia, 50 m, en el mismo tiempo, 10 s. Lo mismo ocurre al desplazarse del punto
47
D al E y del Punto E al F y del F al G. Como la distancia y el tiempo son los mismos en
todos estos casos, decimos que el objeto se mueve con una rapidez constante o
uniforme.
La ecuación de la pendiente
Si te fijas en la gráfica, todos los puntos, A hasta G, se encuentran en una línea recta.
Las líneas rectas se caracterizan por que tienen una cantidad que es constante: su
pendiente. Para aplicar la ecuación para calcular la pendiente se requiere analizar la
gráfica. Para calcular la pendiente de la línea recta, tenemos que escoger dos puntos
en la gráfica, digamos los puntos: A y C.
Estos puntos tienen coordenadas:
(x1,y1) = (0s,0m) y (x2, y2) = (20s, 100m)
Usemos la ecuación para el cálculo de la pendiente. Nota que el resultado es 5 m/s.
Es decir, ¡la pendiente de la recta es la rapidez con que se mueve el objeto!
Podemos considerar que el eje de y representa la posición del objeto al norte. La
pendiente de una gráfica de posición vs tiempo es la velocidad del objeto. Su
velocidad es… 5m/s, al Norte. Como la pendiente es constante su velocidad es
uniforme. Esto significa que posee la misma velocidad a través de todo el recorrido.
48
Cálculo de la pendiente
Al dividir la distancia que le toma al objeto entre el tiempo que le toma desplazarse en esa
distancia verás algo interesante. Estarás calculando la pendiente. Por ejemplo, cuando el
objeto se desplaza del punto B al C, tenemos: distancia/tiempo = 50 m/10 s = 5 m/s
Tabla de datos
La siguiente tabla de datos resume los resultados.
Fuente: Física en línea Dra. Elba M Sepúlveda, Ed.D
49
2.2.17. ecuaciones
Definición de ecuación
Una ecuación es una igualdad que existe entre dos expresiones algebraicas, la cual nos
permite encontrar el valor de la incógnita.
2.2.18. Pasos para resolver ecuaciones de primer
grado.
Para resolver ecuaciones de primer grado se debe:
Agrupar los números de forma que a un lado queden los que tienen la incógnita “x”, y
al otro los que no la tienen. Ejemplo: 3x+1=4x+7, nos quedaría en este paso 3x-4x=7-1.
Tome en cuenta que, para pasar de un miembro a otro con la operación contraria, es
decir si en él un miembro está sumando pasará al otro restando y así sucesivamente.
Reduce términos semejantes y resuelve las operaciones indicadas en cada miembro de
la ecuación.
3x-4x=7-1
7x = 6
Despeja la incógnita
𝑥 =6
7
2.2.19. Trucos Para Resolver Ecuaciones De Primer
Grado. Si un término se repite en ambos lados de la ecuación, se pueden eliminar. Por ejemplo:
x+1-2x=4-2x+6. Aquí podríamos eliminar “3x” de ambos lados y seguir con la ecuación.
Si todos los números de la ecuación son negativos, se pueden eliminar. Ejemplo: -3x=-
5 se convierte en 3x=5.
50
Si la incógnita es negativa, pase al otro lado de la ecuación para que sea positiva.
Ejemplo: -2x=2, la cambiamos de lado y se queda 0=2+2x.
Si en una fracción hay un signo menos, se debe aplicar la ley de los signos y tendríamos
el signo de la fracción.
2.2.20. Ecuaciones De Segundo Grado
DEFINICIÓN. -Tiene la forma ax2+ bx + c = 0, siendo a, b y c números reales (a≠0),
donde x toma el nombre de variable o incógnita, a y b se llaman coeficientes de las
incógnitas y c recibe el nombre de término independiente.
2.2.21. Pasos Para Resolver Ecuaciones De Segundo
Grado.
1.- Factorización simple
2.- Completando el cuadrado
3.- Formula cuadrática
2.2.22. Factorización Simple
¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado por factorización?
Se debe resolver como trinomios de la forma x2 +px+q, cuando a = 1.
Ejemplo:
x² + 2x – 15 = 0
Buscamos dos números que multiplicados den -18 y sumados 3, y nos encontramos con
que el 5 y el -3.
(x + 5) (x – 3) = 0
x + 5 =0 despejando; x = -5 x – 3 = 0
Despejando; x = 3 Las soluciones son:
x1 = -6 y x2 = 3.
51
2.2.23. Fórmula Cuadrática.
¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas con la fórmula cuadrática?
La fórmula es la siguiente:
Simplemente sustituimos nuestros valores de a, b y c en la fórmula y obtendremos los
valores de x.
EJEMPLO
2(2x+1) =10+20x+2x2
4x+2=10+20x+2x2
Ubicamos los términos semejantes a un mismo miembro de la ecuación.
4x+2-10-20x =
-16x-8= 2x2
Igualar a cero
0= 2x2 +16x+8
2x2 +16x+8=0
a=2 b=16 c=8
52
Aplicar la fórmula general
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−16 ± √162 − 4 ∗ 2 ∗ 8
2 ∗ 2
𝑥 =−16 ± √256 − 64
4
𝑥 =−16 ± 13,85
4
x1 =0,54
x2 =7,46
53
2.2.24. SISTEMA DE ECUACIONES
Fuente: Elaborado por Gabriela Veloz
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
Se reemplaza la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, consiguiendo una ecuación con una sola incógnita.
Se soluciona la ecuación.
El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
Se resuelve la ecuación.
El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
MÉTODO DE REDUCCIÓN
• Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
• La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
• Se resuelve la ecuación resultante.
• El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
• Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
METODO GRÁFICO
Se grafica cada una de las ecuaciones en un solo gráfico.
Si la grafica son dos rectas paralelas no hay solución
Si la grafica son dos rectas perpendiculares el pun to de intersección es la solución.
Si en la grafica la una recta coincide con la otra recta tiene infitas soluciones.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS
DE ECUACIONES
54
Ejemplo 2.2.24.1
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
{2𝑥 + 𝑦 = 1
2𝑥 + 4𝑦 = 6
Despejar la variable y en la ecuación 1
2x +y =1
y=1-2x
Reemplazar en la ecuación 2
2x +4(1-2x) =6
2x+4-8x=6
2x-8x=6-4
-6x=2
x = 2
−6
x = 1
−3
Reemplazamos el valor de x
y =1-2(1
−3)
y =1-2(1
−3)
y =1+ (2
3)
y=5
3
55
2.2.25. ACTIVIDAD EN CLASE N.-2
Fuente: U. E. Capitán Edmundo Chiriboga Riobamba-Ecuador
Elaborado por: Gabriela Veloz
1. Resolver las siguientes ecuaciones
• 3x + 2 = 4 - ( 2 - 2x )
SOLUCIÓN
• 𝟐𝒙
𝟑+
𝟐𝐱
𝟐=
𝟏+𝟐𝐱
𝟐
SOLUCIÓN
56
2. Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones.
3. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones.
{𝑥 + 2𝑦 = 2𝑥 − 2𝑦 = 3
}
• Solución
x2 + 2x + 2 = 0
• Solución
x2 -4x+4
57
2.2.26. Ejercicios Propuestos.
FUENTE: Elaborado por Soal Latihan Matematika
1. RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES
a) 2x -6 =-3x
b) 12x-5x+5=3x-3x+6
c) 6x+2=4x+10
2. RESUELVA LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES
{2𝑥 + 𝑦 = 43𝑥 − 𝑦 = 1
}
{2𝑥 + 2𝑦 = 43𝑥 − 𝑦 = 1
}
{4𝑥 + 4𝑦 = 42𝑥 − 𝑦 = 8
}
58
2.2.27. EVALUACIÓN FUENTE: Elaborado por Soal Latihan Matematika
a) RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES Y SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA
a) 2x -5 =-3x
• 1 • -1 • 3 • Ninguna
b) -12x-5x+7=-4x-3x+2
• 2 • -2 • 4 • Ninguna
b) RESUELVA EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES UTILIZANDO EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Y COMPRUBE SI LOS VALORES DE LAS VARIABLES SON CORRECTOS. Valores de las variables: x= 0 ; y=1
{−3𝑥 + 4𝑦 = 43𝑥 − 𝑦 = −1
}
59
2.2.28. Ejercicios De Física Con La Aplicación De
Resolución De Ecuaciones
Ejemplo 4.5 Donde pone el ojo pone la bala. Pág. 81 del libro Serway cuarta
edición. En una conferencia demostrativa muy popular, un proyectil se dispara contra
un blanco de tal manera que el primero sale del rifle al mismo tiempo que el blanco se deja caer en
reposo, como muestra la figura 4.9. Se demostrará que si el rifle esta inicialmente dirigido
hacia el blanco estacionario, aun así, el proyectil hará diana.
FUENTE: Pág. 81 del libro Serway cuarta edición
FIGURA 4.9 Razonamiento y solución
Se puede argumentar que el choque resultara bajo las condiciones establecidas observando que tanto
el proyectil como el blanco experimentan la misma aceleración aY= - g tan pronto como
se liberan. Primero observe en la figura 4.9 que la coordenada y inicial del blanco es XTtgϴ y que
disminuye a lo largo de una distancia=½ g t2 en un tiempo t.
En consecuencia, la coordenada y del blanco como una función del tiempo es, según la
ecuación 4.14.
60
y=XT tanθ
Pero Y=1
2𝑔𝑡2
reemplazamos en
y=XT tanθ=YT + Y
XT tanθ - 1
2𝑔𝑦2=YT
Si después de esto se escriben las ecuaciones para x y y correspondientes a la
trayectoria del proyectil a lo largo del tiempo, utilizando las ecuaciones 4.12 y 4.13 en
forma simultánea, se obtiene
Y=V0Y*t -1
2𝑔𝑡2
Y=V0 sen θ t -1
2𝑔𝑡2
t=𝑋
V0 COS θ
Yp =V0 senθ*t - 1
2𝑔𝑡2
Reemplazamos t
APLICACIÓN DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES N.- 1
Yp =V0 senθ(𝑋
V0 COS θ) -
1
2𝑔𝑡2
Yp = senθ(𝑋
COS θ) -
1
2𝑔𝑡2
Yp = tanθ - 1
2𝑔𝑡2
xp =xt=Yp=YT Se produce el choque
61
tema 3
trigonometría y geometría
Fuente: U. E. Capitán Edmundo Chiriboga
Riobamba-Ecuador
Elaborado por: Gabriela Veloz
Fuente:: Elaborado por María Del Pilar Cruz López
62
DESTREZA CON
CRITERIO DE
DESEMPEÑO
CRITERIO DE EVALUACIÓN
VALOR
M.4.2.15. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos. M.4.2.16. Definir e identificar las relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo (seno, coseno, tangente) para resolver numéricamente triángulos rectángulos. M.4.2.17. Resolver y plantear problemas que involucren triángulos rectángulos en contextos reales, e interpretar y juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema.
CE.M.4.6. Utiliza estrategias de descomposición en triángulos en el cálculo de áreas de figuras compuestas, y en el cálculo de cuerpos compuestos; aplica el teorema de Pitágoras y las relaciones trigonométricas para el cálculo de longitudes desconocidas de elementos de polígonos o cuerpos geométricos, como requerimiento previo a calcular áreas de polígonos regulares, y áreas y volúmenes de cuerpos, en contextos geométricos o en situaciones reales. Valora el trabajo en equipo con una actitud flexible, abierta y crítica.
Responsabilidad
Fuente: Currículo 2019 del Ministerio de Educación Elaborado por. Gabriela Veloz
63
3.1 ángulos
Es la parte del plano determinada por dos semirrectas llamadas lados que se cortan en
un punto de origen llamado vértice del ángulo.
tiPos de ángulos
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo Complementario
Ángulo suplementario
<90°
>90°
=180°
=90°
1+2=90°
1+2=180°
0
64
3.2. CONVERSIÓN DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
Para realizar la conversión de grados a radianes y de radianes a grados realizamos lo
siguiente:
1) Para transformar de grados a radianes, se multiplica por Π y se divide entre 180º; y se simplifica. Es decir:
rad = grados ⋅π180∘rad = grados ⋅π180∘
2) Para transformar de radianes a grados, se multiplica por 180º y se divide entre Π; y se simplifica. Es decir:
grados = rad ⋅180∘πgrados = rad ⋅180∘π
3.3. Equivalencias entre grados sexagesimales y
radianes
Grados Radianes
FUENTE: Elaborado por Gabriela Veloz
65
3.4. Teoremas de ángulos
Fuente: Libro de Geometría de Euclides
3.5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los
catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Es decir, la igualación por su
cociente de sus 2 catetos y la hipotenusa a, b y c.
Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.
66
El seno de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
sen ∝=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=
𝑎
𝑐
El coseno es la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y
la hipotenusa (c).
cos ∝=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=
𝑏
𝑐
La tangente es el cociente entre el cateto opuesto (a) y el cateto adyacente (b).
cos ∝=𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒=
𝑎
𝑏
67
3.6. Funciones Trigonométricas de Ángulos
Característicos.
El seno, coseno y tangente de los ángulos de 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:
Fuente: Elaborado por Martín Marbello
3.7. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo es determinar el valor de los lados y el valor de los
ángulos.
3.8, Pasos Para Resolver Un Triángulo Rectángulo
Cuando Se Conoce El Valor De Un Lado Y Un Ángulo.
Para resolver un triángulo rectángulo se recomienda seguir los siguientes pasos:
❖ Se debe utilizar una función trigonométrica que contenga el lado conocido y un lado desconocido.
68
❖ Despejar el lado desconocido.
❖ Una vez hallado el valor del lado, se puede utilizar Pitágoras para determinar
el otro lado del triángulo.
❖ Utilice cualquier función trigonométrica para determinar el otro ángulo, o
aplique el teorema “la suma de los ángulos internos es igual a 180” y determine
el otro ángulo.
EJEMPLO Resolver el siguiente triángulo rectángulo
C
b=5cm a=
A B
c=
a) Aplicar la función seno
𝑠𝑒𝑛40° =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=
𝑏
𝑎𝑠𝑒𝑛40° =
5𝑐𝑚
𝑎
𝑠𝑒𝑛40° . 𝑎 = 5𝑐𝑚
𝑎 =5𝑐𝑚
𝑠𝑒𝑛 40°
40°
69
𝑎 =5𝑐𝑚
0,6428
𝑎 = 7,78𝑐𝑚
b) Aplicar el teorema de Pitágoras y despejamos el lado desconocido.
a2 =b2+c2
c2 =a2-b2
c2 =(7,78cm)2-(5cm)2
c2 =60,53cm2-25cm2
c2 =35,53cm2
𝑐 = √35,53𝑐𝑚
c = 5,96
c) Aplicamos el teorema de la suma interna de los ángulos.
A+B+C=180°C=180°-90°-40°
C°=50°
3.9. Pasos Para Resolver Un Triángulo Rectángulo
Cuando Se Conoce 2 Lados.
Tiene dos opciones:
1.1. Aplicar el teorema de Pitágoras
70
1.2. Aplicar una función trigonométrica para determinar el valor del ángulo.
❖ Si eligió la opción 1.1 encontró el valor de un lado, entonces debe utilizar las funciones trigonométricas para determinar el valor de los ángulos.
❖ Si eligió la opción 1.2 encontró el valor del ángulo, entonces debe utilizar las funciones trigonométricas para determinar del lado y de los ángulos.
Ejemplo: Resolver el siguiente triángulo rectángulo.
F
e=6m d=
D E f= 3m
a) Utilizar el teorema de Pitágoras para determinar el valor de la
hipotenusa.
d2 =e2+f2
d2 =(6m)2+(3m)2
d2 =36m2+9m2
d2 =45m2
𝑑 = √45𝑚
d = 6,7m
α
71
b) Utilizar seno para determinar el ángulo α
𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=
𝑒
𝑑
𝑠𝑒𝑛𝛼 =6𝑚
6,7𝑚
𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0,8955
𝛼 =sen-1 0,8955
𝛼 = 64°
c) Aplicar el teorema de la suma interna de los ángulos.
D+E+F=180°
F=180°-90°-64°
F=26°.
72
3.10. Teoremas de triángulos Si dos lados y el ángulo
comprendido entre ellos en un
triángulo son congruentes,
respectivamente, a dos lados y
el ángulo comprendido entre
ellos en otro triángulo,
entonces los triángulos son
congruentes
* Si un lado y sus dos ángulos
adyacentes en un triángulo son
congruentes, respectivamente,
a un lado y sus ángulos
adyacentes en otro triángulo,
entonces los triángulos son
congruentes.
Si tres lados de un triángulo son
congruentes, respectivamente,
a tres lados de otro triángulo,
entonces los triángulos son
congruentes
Teorema de Thales. En un
triángulo podemos ver que
toda paralela a un lado de un
triángulo determina dos
triángulos semejantes entre sí,
ya que sus lados son
proporcionales y sus ángulos
son iguales.
Fuente: Elaborado por Gabriela Veloz
73
3.11ACTIVIDAD EN CLASE
1) Expresa en radianes los siguientes ángulos dados en grados:
90º 120º 135º 150º
2) Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes:
3𝜋
4
5𝜋
2
13𝜋
5
3) Reduce al primer giro los siguientes ángulos:
a) 6π radianes
b) -5π radianes
4) Pasar de grados, minutos y segundos a grados decimales.
a) 22° 18’ 30”
b) 2° 18’ 30”
5) Dado los ángulos α y β hallar α + β , α - β , 2α , β/5 , el complementario de α y el suplementario de β :
a) α=12° 18’ 30”
b) β=45° 18’ 32”
6) Hallar la medida en radianes de un ángulo central contenido por un arco de 35 cm en una circunferencia de radio 5 cm.
Fuente: U. E. Capitán Edmundo Chiriboga
Riobamba-Ecuador
Elaborado por: Gabriela Veloz
74
7) Demuestra que, en un triángulo isósceles, los ángulos de la base son iguales. B A C
8) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.
9) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo
10) Resolver los siguientes triángulos rectángulos.
Fuente: Física de Vallejo Zambrano tomo 1
11) Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°.
75
3.12. EVALUACIÓN.
Fuente: U. E. Capitán Edmundo Chiriboga Riobamba-Ecuador
Elaborado por: Gabriela Veloz
1) Expresa en radianes los siguientes ángulos dados en grados:
90º
120º
2) Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes:
3𝜋
4
13𝜋
5
3) Pasar de grados, minutos y segundos a grados decimales. a) 22° 18’ 30”
b) 2° 18’ 30”
4) Hallar la medida en radianes de un ángulo central contenido por un arco de 35 cm en una circunferencia de radio 5 c.
5) Resolver los siguientes triángulos rectángulos.
Fuente: Física de Vallejo-Zambrano tomo 1
76
3,13. EJERCICIO DE FÍSICA EN EL BLOQUE CURRICULAR MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES CON LA APLICACIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA.
Ejercicio 3.5.1. (Julián, 2017) Al realizar un Movimiento Circular Uniformemente
Acelerado un objeto describe un radio de 0.8 m y efectúa una vuelta completa en 0.2
segundos para este instante, calcular: a) velocidad angular, b) velocidad tangencial, c)
aceleración tangencial, d) aceleración centrípeta, e) aceleración resultante.
Fuente: Libro de Física de Julián 2017
Solución: Vamos a utilizar las fórmulas expuestas en cada definición, así que prestar
mucha atención. Porque será de gran relevancia.
Datos: r = 0.8 m
T = 0.2 s
a) Calculando la Velocidad Angular
Para calcular la velocidad angular, podemos usar la siguiente fórmula, que relaciona
solamente al periodo.
𝑤 =2𝜋
𝑇=
2(3,1416)rad
0,2𝑠= 31,42
𝑟𝑎𝑑
𝑠
a) Calculando la velocidad tangencial
Para poder obtener la velocidad tangencial, aplicamos la fórmula y sustituimos los
datos.
77
𝑤 =2𝜋𝑟
𝑇=
2(3,1416)(0,8)
0,2𝑠= 25,13
𝑚
𝑠
b) Calculando la aceleración tangencial
Para obtener la aceleración tangencial, necesitamos saber la aceleración
angular, para ello aplicamos la fórmula:
𝛼 =𝑤
𝑡=
31.42𝑟𝑎𝑑
𝑠0,2𝑠
= 157,1𝑟𝑎𝑑
𝑠2
Ahora si aplicamos la fórmula de la aceleración tangencial.
at =𝛼𝑟 = (157,1𝑟𝑎𝑑
𝑠2 )(0.8𝑚) = 125,68𝑚
𝑠2
c) Calculando la aceleración centrípeta.
Para obtener la aceleración centrípeta, aplicamos la siguiente fórmula y
sustituimos datos:
ac=𝑣𝑠2
𝑟=
(25,13𝑚
𝑠)2
0,8𝑚= 789,4
𝑚
𝑠2
d) Calculando la velocidad resultante
Aplicamos la siguiente fórmula:
78
• Observa la siguiente gráfica y determina la aceleración centrípeta.
Solución:
Si se considera el cambio de velocidad, ∆v = v f − vi , que experimenta un
móvil en un pequeño intervalo de tiempo ∆t , se ve que ∆v es radial y está
dirigido hacia el centro curvatura. La aceleración, por lo tanto, también tiene
esa dirección y sentido, y por eso se denomina aceleración centrípeta.
79
3.14. ejercicios ProPuestos
Fuente: U. E. Capitán Edmundo Chiriboga Riobamba-Ecuador
Elaborado por: Gabriela Veloz
1) Expresa en radianes los siguientes ángulos dados en grados:
180º 210º 225º 240º
270º 300º 315º 330º
2) Expresa las siguientes medidas de ángulos en grados o radianes, según proceda:
a. 20°
b. 120°
c. 9,8 rad
d. 5π rad
3) Reduce al primer giro los siguientes ángulos:
700°
1620°
4) Reduce al primer giro los siguientes ángulos:
4π radianes
23 radianes
80
5) Expresar en radianes los siguientes ángulos:
170°45´
3°4´9”
6) Dado los ángulos α y β hallar α + β, α - β, 2α, β/5, el
complementario de α y el suplementario de β:
β=40°
7) Indicar cuales son los ángulos iguales y explicar porque.
8) Resolver los siguientes triángulos rectángulos
• De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver
el triángulo.
9) Demuestre que los dos triángulos son semejantes.
B
A C
81
tema 4
ejercicios ProPuestos de aPlicación de los fundamentos matemáticos básicos en física (moVimiento en dos dimensiones)
4.1 EJERCICIOS PROPUESTOS DE APLICACIÓN DE Las operaciones aritméticas EN FÍSICA (MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES)
Ejercicio 4.1.1. Problema 4.11 Edición cuarta SERWAY En un bar local, un cliente
hace deslizar un tarro vacío de cerveza sobre la barra para que vuelva a llenarlo. El
cantinero esta momentáneamente distraído, y no ve el tarro, el cual cae de la barra y
golpea el piso a 1,4 metros de la misma.
Si la altura de la barra es de 0.86 metros.
Determinar
¿Con qué velocidad abandono el tarro de la barra?
¿Cuál fue la dirección de la velocidad del tarro justo antes de chocar con el piso?
Ejercicio 4.1.2. Problema 4.2 El salto de longitud. Edición cuarta SERWAY Un atleta de salto de longitud deja el piso a un ángulo de 20° respecto a la
horizontal y a una rapidez de 11m/s a) ¿Hasta dónde salta? (suponga que el
movimiento del atleta es equivalente al de una partícula.)
Ejercicio 4.1.3. Problema 4.0 Edición cuarta SERWAY. Un avión de rescate
de Alaska deja caer un paquete de raciones de emergencia a un grupo de
exploradores atrapados, como se muestra en la figura 4.11. Si el avión viaja a
40m/s. Se le deja caer un paquete a un observador en la Tierra desde el avión
de rescate, el cual sigue la trayectoria que se observa. horizontalmente a 40 m/s
82
a una altura de 100 m arriba del suelo, ¿a qué distancia caerá el paquete
respecto al punto donde se soltó?
Figura 4.11
Ejercicio 4.1.4. Problema 20 (Educación, 2018) Un proyectil es lanzado desde lo alto
de un acantilado de 150 m de altura con una velocidad inicial de 400 m/s y con un
ángulo de inclinación de 30°.Determina: a. Las componentes de la velocidad inicial; b.
El tiempo que tarda en caer al suelo; c. El alcance; d. La altura máxima.
Ejercicio 4.1.5. Problema 21. (Educación, 2018) Una barca pretende cruzar un río con
una velocidad de 12 m/s perpendicular a la corriente. La velocidad de la corriente es
de 10 m/s. Calcula: a. El tiempo que tarda la barca en atravesar el río si éste tiene una
anchura de 150 m; b. La distancia que recorre la barca.
Ejercicio 4.1.6. Problema 22. (Educación, 2018) Un futbolista patea hacia el arco con
una velocidad de 15 m/s. Calcula: a. el alcance para un ángulo de tiro de 30°, 45° y 60°;
b. el tiempo que el balón permanece en el aire en cada uno de los supuestos anteriores.
Ejemplo 4.1.7. Problema 3.6 (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009) Un
bateador golpea una pelota de béisbol de modo que ésta sale del bate a una rapidez v0
= 37.0 m/s con un ángulo α0 = 53.1°, en un lugar donde g = 9.80 m/s2 . a) Calcule la
posición de la pelota y la magnitud y dirección de su velocidad cuando t = 2.00 s.
83
b) Determine cuándo la pelota alcanza el punto más alto y su altura h en ese punto. c)
Obtenga el alcance horizontal R, es decir, la distancia horizontal desde el punto de
partida hasta donde la pelota cae al suelo.
Ejemplo 4.1.8. Problema 3.9 (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009) Usted lanza
una pelota desde su ventana a 8.0 m del suelo. Cuando la pelota sale de su mano, se
mueve a 10.0 m/s con un ángulo de 20° debajo de la horizontal. ¿A qué distancia
horizontal de su ventana la pelota llegará al piso? Desprecie la resistencia del aire.
Ejemplo 4.1.9. Problema 3.10. (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009)Un
helicóptero militar está en una misión de entrenamiento y vuela horizontalmente con
una rapidez de 60.0 m>s y accidentalmente suelta una bomba (desactivada, por suerte)
a una altitud de 300 m. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) ¿Qué tiempo tarda
la bomba en llegar al suelo? b) ¿Qué distancia horizontal viaja mientras cae? c) Obtenga
las componentes horizontal y vertical de su velocidad justo antes de llegar al suelo.
Ejercicio 4.1.10.Problema3.11. (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009) Dos
grillos, Chirpy y Milada, saltan desde lo alto de un acantilado vertical. Chirpy
simplemente se deja caer y llega al suelo en 3.50 s; en tanto que Milada salta
horizontalmente con una rapidez inicial de 95.0 cm/s. ¿A qué distancia de la base del
acantilado tocará Milada el suelo?
Ejercicio 4.1.11.Problema3.22. (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009)
Suponga que el ángulo inicial a0 de la figura 3.26 es de 42.08 y la distancia d es de
3.00m. ¿Dónde se encontrarán el dardo y el mono, si la rapidez inicial del dardo es a)
12.0 m/s? b) ¿8.0 m/s? c) ¿Qué sucederá si la rapidez inicial del dardo es de 4?0 m/s?
Dibuje la trayectoria en cada caso.
84
4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS DE Aplicación DE álgebra EN FISICA (MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES)
Ejercicio 4.2.1. Ejemplo 3.8 Altura y alcance de un proyectil. Edición segunda
Física Universitaria. Para un proyectil lanzado con rapidez v0 y ángulo inicial a0
(entre 0° y 90°), deduzca expresiones generales para la altura máxima h y el alcance
horizontal R (figura 3.23). Para una v0, dada, ¿qué valor de a0 da la altura máxima? ¿Y
qué valor da el alcance horizontal máximo?
Ejercicio 4.2.2. Ejemplo 3.6 Cuerpo que se proyecta horizontalmente. Edición
segunda Física Universitaria. Un acróbata en motocicleta se lanza del borde de un
risco. Justo en el borde, su velocidad es horizontal con magnitud de 9.0 m>s. Obtenga
la posición, distancia desde el borde y velocidad de la motocicleta después de 0.50 s.
Ejercicio 4.2.3. Problema 4.21 Edición cuarta SERWAY. Durante la primera guerra
mundial los alemanes tenían un cañón llamado Big Bertha que se usó para bombardear
Paris. Los proyectiles tenían una velocidad inicial de 1.7 km/sa una inclinación de 55°
con la horizontal. Para dar en el blanco, se hacían ajustes en relación con la resistencia
del aire y otros efectos. Si ignoramos esos efectos:
¿Cuál era el alcance de los proyectiles? (Serway, 2000)
Ejercicio 4.2.4.Problema 3.18. (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009) Una
pistola que dispara una luz bengala le imprime una velocidad inicial de 125 m/s en un
ángulo de 55.0° sobre la horizontal. Ignore la resistencia del aire. Si la bengala se
dispara, obtenga su altura máxima y la distancia del punto de disparo al punto de caída,
a) en los salares planos de Utah y b) en el Mar de la Tranquilidad en la Luna, donde g =
1.67 m/s2.
Ejercicio 4.2.5.Problema 3.19. (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009) Un
pelotero de grandes ligas batea una pelota de modo que sale del bate con una rapidez
de 30.0 m/s y un ángulo de 36.9° sobre la horizontal. Ignore la resistencia del aire.
85
a) ¿En cuáles dos instantes la pelota estuvo a 10.0 m sobre el punto en que se salió del
bate? b) Obtenga las componentes horizontal y vertical de la velocidad de la pelota en
cada uno de los dos instantes calculados en el inciso a). c) ¿Qué magnitud y dirección
tenía la velocidad de la pelota al regresar al nivel en el que se bateó?
Ejercicio 4.2.6.Problema 3.24. (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009) Los
bomberos están lanzando un chorro de agua a un edificio en llamas, utilizando una
manguera de alta presión que imprime al agua una rapidez de 25.0 m/s al salir por la
boquilla. Una vez que sale de la manguera, el agua se mueve con movimiento de
proyectil. Los bomberos ajustan el ángulo de elevación de la manguera hasta que el
agua tarda 3.00 s en llegar a un edificio que está a 45.0 m de distancia. Ignore la
resistencia del aire y suponga que la boquilla de la manguera está a nivel del suelo. a)
Calcule el ángulo de elevación de a. b) Determine la rapidez y aceleración del agua en
el punto más alto de su trayectoria. c) ¿A qué altura sobre el suelo incide el agua sobre
el edificio, y con qué rapidez lo hace?
Ejercicio 4.2.7.Problema 3.25. (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009) Un globo
de 124 kg que lleva una canastilla de 22 kg desciende con rapidez constante hacia abajo
de 20.0 m/s. Una piedra de 1.0 kg se lanza desde la canastilla con una velocidad inicial
de 15.0 m/s perpendicular a la trayectoria del globo en descenso, medida relativa a una
persona en reposo en la canasta. Esa persona ve que la piedra choca contra el suelo
6.00 s después de lanzarse. Suponga que el globo continúa su descenso a los 20.0 m/s
constantes. a) ¿A qué altura estaba el globo cuando se lanzó
la piedra? b) ¿Y cuando chocó contra el suelo? c) En el instante en que la piedra tocó el
suelo, ¿a qué distancia estaba de la canastilla? d) Determine las componentes
horizontal y vertical de la velocidad de la piedra justo antes de chocar contra el suelo,
relativas a un observador i) en reposo en la canastilla; ii) en reposo en el suelo.
86
Ejercicio 4.2.8. Problema 3.26. (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009) Un
cañón, situado a 60.0 m de la base de un risco vertical de 25.0 m de altura, dispara un
obús de 15 kg con un ángulo de 43.08 sobre la horizontal, hacia el risco. a) ¿Qué
velocidad inicial mínima debe tener el obús para librar el borde superior del risco? b)
El suelo en la parte superior del risco es plano, con una altura constante de 25.0 m
sobre el cañón. En las condiciones del inciso a), ¿a qué distancia del borde del risco cae
el obús? 3.27. Un avión vuela con una velocidad de 90.0 m/s a un ángulo de 23.0° arriba
de la horizontal. Cuando está 114 m directamente arriba de un perro parado en suelo
plano, se cae una maleta del compartimiento de equipaje. ¿A qué distancia del perro
caerá la maleta? Ignore la resistencia del aire.
Ejercicio 4.2.9. Carlos y Saúl están viendo el futbol y observan al portero sacar el balón
desde el césped a una velocidad de 28 m/s. Si la pelota sale del suelo con un ángulo de
45° y cae sobre el campo sin que antes lo toque ningún jugador, calcular:
✓ Altura máxima del balón
✓ Distancia desde el portero hasta el punto donde caerá en el campo
✓ Tiempo en que la pelota estará en el aire
Ejercicio 4.2.10. Camila y Emilio están jugando en el patio de un colegio, cuando el
balón sale al exterior por encima de las mallas del campo. Una mujer le da una patada
al balón para devolverlo al interior. Sabiendo que el muro del patio tiene 2,5 m de
altura, que el hombre está a 43 m del muro y que patea el balón a 22 m/s con un ángulo
de 50°, averiguar si consigue que la pelota vuelva a entrar al patio o, por el contrario,
pasa sobre el muro.
87
4.3. EJERCICIO PROPUESTO DE Aplicación DE trigonometría EN FÍSICA (MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES)
Ejemplo 4.3.1. Ejercicio 12. Problema 1 Edición 2010. Física De Vallejo-
Zambrano Tomo 1. Ejercicio 12 Problema 1 Edición 2010. Física De Vallejo-
Zambrano Tomo 1. Un automóvil parte del reposo en una vía circular de 400m de radio
con MCUV, hasta que alcanza una rapidez de 72km/h en un tiempo de 50s. (Vallejo-
Zambrano, 2010)
Determinar
a) La velocidad angular final
b) La velocidad angular media
c) La aceleración angular
d) El desplazamiento angular
Ejercicio 4.3.2. Problema 3.28. (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009). Imagine
que, en su primer día de trabajo para un fabricante de electrodomésticos, le piden que
averigüe qué hacerle al periodo de rotación de una lavadora para triplicar la
aceleración centrípeta, y usted impresiona a su jefa contestando inmediatamente. ¿Qué
le contesta?
Ejercicio 4.3.3. Problema 3.29. (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009) La Tierra
tiene 6380 km de radio y gira una vez sobre su eje en 24 h. a) ¿Qué aceleración radial
tiene un objeto en el ecuador? Dé su respuesta en m/s2 y como fracción de g. b) Si arad
en el ecuador fuera mayor que g, los objetos saldrían volando hacia el espacio.
(Veremos por qué en el capítulo 5.) ¿Cuál tendría que ser el periodo de rotación para
que esto sucediera?
Ejercicio 4.3.4. Problema 3.30. (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009) Un
modelo de rotor de helicóptero tiene cuatro aspas, cada una de 3.40 m de longitud
desde el eje central hasta la punta. El modelo se gira en un túnel de viento a 550 rpm.
88
a) ¿Qué rapidez lineal tiene la punta del aspa en m/s? b) ¿Qué aceleración radial tiene
la punta del aspa, expresada como un múltiplo de la aceleración debida a la gravedad,
es decir, g= 3.31. En una prueba de un “traje g”, un voluntario se gira en un círculo
horizontal de 7.0 m de radio. ¿Con qué periodo de rotación la aceleración centrípeta
tiene magnitud de a) 3?0g? b) ¿10g?
Ejercicio 4.3.5.Problema 3.32. (Young, Hugh D. y Roger A. Freedman, 2009) El radio
de la órbita terrestre alrededor del Sol (suponiendo que fuera circular) es de y la Tierra
la recorre en 365 días. a) Calcule la magnitud de la velocidad orbital de la Tierra en
m/s. b) Calcule la aceleración radial de la Tierra hacia el Sol en m/s2. c) Repita los
incisos a) y b) para el movimiento del planeta Mercurio (radio orbital 5 5.79 3 107 km,
periodo orbital 5 88.0 días).
Ejercicio 4.3.6. La rueda de un coche de 40 cm de radio gira a 200 r.p.m. Calcula: a) El
módulo de la velocidad angular en rad/s, b) El módulo de la velocidad lineal de su
borde.
Ejercicio 4.3.7. César observa su CD-ROM, que tiene un radio de 5 cm y gira a una
velocidad de 1500 rpm, ayuda a Cesar a determinar: a) El módulo de la velocidad
angular en rad/s, b) El módulo de la velocidad lineal de su borde. Resultado: v= 20.7
m/s c) Su frecuencia.
Ejercicio 4.3.8. María compra un CD-ROM de 6 cm de radio, cuan María escucha el CD-
ROMM esta gira a una velocidad de 2500 rpm. Si tarda en pararse 16 s, calcula: a) El
módulo de la aceleración angular, b) Las vueltas que da antes detenerse.
Ejercicio 4.3.9. Un camión con unas ruedas de 60 cm de radio acelera desde 0 hasta
80 km/h en 3 s. Calcular: a) El módulo de la aceleración angular, b) Las vueltas que da
en ese tiempo, c) El módulo de la aceleración normal para t= 4 s
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Ejercicio 4.3.10. Una centrifugadora pasa de estar detenida a girar a 350 r.p.m. en 12
s. Si el radio del tambor es de 20 cm, calcular: a) El módulo de la aceleración angular,
b) Las vueltas que da en ese tiempo, c) El módulo de la velocidad angular para t=8 s
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5.- EVALUACIÓN FINAL
INSTRUCCIONES
✓ Lea detenidamente cada pregunta y conteste lo solicitado.
✓ El valor de cada pregunta es de 2 puntos cada una.
✓ No se admite el uso del corrector ni tachones.
OBJETIVO. - Evaluar los conocimientos adquiridos luego de la aplicación de la
unidad cero” Lenguaje de la Física”.
CUESTIONARIO
1. RESUELVA LAS SIGUIENTES OPERACIONES Y SUBRAYE LAS
RESPUESTA CORRECTA.
➢ (-1)20
➢ (-1)33
➢ c) (-3)5 . (2)4 . ((-4)2 + (-2))
➢ (−3)5.(+7)2
(−4)2+(−2)
a) 1; -1;-54 432;−1701
2 b)-1; -1;-54 442;−
1701
4 c) 1; -1;-54 432;
1701
2 d) 2; -1;54 432;−
1701
2
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2. RESUELVE Y COMPLETA LOS ESPACIOS CON LAS RESPUESTAS
CORRECTAS.
a) 5a + 3a – 2a – 7a +3a =
b) 4b +6a - 2b – 3a + 4a - 5b =
c) 6x3 – 5xy2 +3x3 -5x3 +2xy2 + 3xy2 +2x3 =
a) 2a; 7a-3b; 6x3 b) a) 2a; 7a+3b; 6x3 c) 2a; 7a-3b; 6x3 d) a; 6a-3b; 6x
3. ENCIERRA EN UN CIRCULO CADA CASO, EL VALOR DE X QUE ES LA
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
a) 3x + 4 = 10 → x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 b) 5x − 6 = 9 → x = 1 x = 2 x = 3 x = 4
4. RESUELVA Y SUBRAYE LA RESPUESTA CORRECTA Las ciudades A, B y C son los vértices de un triángulo rectángulo:
Calcular la distancia entre las ciudades A y C y entre las ciudades B y C si
la ciudad B se encuentra a 100km de la ciudad A y la carretera que una A
con B forma un ángulo de 35º con la carretera que une A con C.
a) 122,1Km; 60,08Km b) 102,1Km; 70,08 Km c) 122,1Km; 70,08 Km
92
5. RESUELVA
Un avión de rescate en Alaska deja caer un paquete de provisiones a un
grupo de exploradores extraviados, como se muestra en la figura 4.11.Si el
avión viaja horizontalmente a 40 m/s. Y a una altura de 100 metros sobre
el suelo. Donde cae el paquete en relación con el punto en que soltó.
FUENTE: Edición cuarta SERWAY
93
bibliografía
(s.f.).
Ausubel. (1973). Teoria del aprendizaje. En Ausubel, Teoria del aprendizaje. Buenos
Aires.
EDUCACIÓN, M. D. (2009).
Educación, M. d. (2018). Física 1° curso. En M. d. Educación, Física 1° curso (págs. 40-
41). Quito: Don Bosco.
EDUCACIÓN, M. D. (2019). CURRICULO DE MATEMÁTICA . En M. D. EDUCACIÓN,
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Julián, C. (2017). Movimiento Circular.
Miño, L. á. (2016). Relación de la física con la matemática. Nueva manera de asociar
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SÁNCHEZ, S. (2015). Operaciones Aritméticas. Quito.
Serway. (2000). Física. En Serway, Física. Buenos Aires: McGraw-Hill.
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Young, Hugh D. y Roger A. Freedman. (2009). Física Universitaria. En H. D. Young, Física
Universitaria (pág. 107). México: Pearson Educación.
94
6. aneXo
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO INSTITUTO DE POSGRADO
MAESTRIA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN, APRENDIZAJE DE LA FÍSICA FICHA DE OBSERVACIÓN: Dirigida los estudiantes de Primero de Bachillerato de la Unidad Educativa Capitán Edmundo Chiriboga. OBJETIVO: Obtener información sobre los conocimientos de los fundamentos matemáticos básicos que dominan los estudiantes para mejorar el aprendizaje de la física en el bloque curricular Movimiento en dos dimensiones.
N.º PARÁMETROS A SER OBSERVADOS 1ro BGU A 1ro BGU B
SI % NO % SI % NO %
1 Resuelven correctamente los problemas de movimiento en dos dimensiones
2 Participan en forma grupal durante el desarrollo de los problemas de movimiento en dos dimensiones.
3 Aplican la resolución de operaciones aritméticas en el desarrollo de los problemas de movimiento en dos dimensiones.
4 Desarrollan los ejercicios de física en el bloque curricular movimientos en dos dimensiones, utilizando correctamente los conocimientos de operaciones algebraicas.
5 Aplican correctamente los conocimientos de ecuaciones de primer grado en la resolución de problemas de movimiento en dos dimensiones.
6 Aplican correctamente los conocimientos de ecuaciones de segundo grado en la resolución de problemas de Movimiento en dos dimensiones.
7 Miden el alcance de los aprendizajes requeridos en las leyes del movimiento en dos dimensiones
8 Relacionan los conocimientos de trigonometría con la resolución de problemas de física en el bloque curricular movimientos en dos dimensiones.
9 Mejoran en el desarrollo de problemas de física en el bloque curricular movimientos en dos dimensiones con el dominio de resolución de triángulos rectángulos.
10 Aplican correctamente las funciones trigonométricas en el desarrollo de problemas de física en el bloque curricular movimientos en dos dimensiones
1
Gab
riel
a V
elo
z B
asti
das