¿muy, muy rápido?...i. el área de un triángulo mide 12 cm2. si la base del triángulo mide 2 cm...
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¿Muy, muy rápido?
DE ENTRADA.
ACTIVIDAD 1.
¿Cuánto mide el perímetro de un triángulo equilátero de lado 1? ¿Y el de lado 3? ¿Y el de
lado 7?
Sobre una hoja cuadriculada, traza un sistema de coordenadas rectangulares y localiza los
puntos (L, P), donde L es la longitud del lado del triángulo y P es el Perímetro
correspondiente. Estos tres puntos, ¿están alineados?
Intenta generalizar y contesta la pregunta: ¿Cuánto mide el perímetro de un triángulo
equilátero de lado x? ¿El punto de coordenadas (x, P(x)) está sobre la recta que contiene a
los demás?
Finalmente, ¿Cuál es la razón entre el perímetro del triángulo y la longitud del lado?
¿Cuánto mide el perímetro de un cuadrado de lado 1? ¿Y el del lado 3? ¿Cuánto mide el
perímetro de un cuadrado de lado ? ¿Y el del lado X? Los puntos cuyas coordenadas
son de la forma (X, P(X)), ¿están sobre una línea recta? ¿Cómo escribes en su forma
general las coordenadas descritas anteriormente?
Calcula la razón ( ( ))
¿Cuánto mide el perímetro de un pentágono regular de lado x? ¿Cuál es la razón entre el
perímetro del pentágono y el lado? ¿Están alineados los puntos de Coordenadas (x, P(x))
para cualesquier valor de x?
Compara las gráficas anteriores con la de ésta última propuesta. ¿Cuáles son sus
semejanzas y sus diferencias?
¿Cómo es la gráfica (Longitud, Perímetro) para los hexágonos regulares? Ahora considera
un polígono regular de n lados ¿podrías escribir la expresión algebraica que representa su
perímetro? Grafica la relación (lado, perímetro) y comenta tus observaciones.
ACTIVIDAD 2.
Un vehículo se desplaza a rapidez constante de 0.5
¿Qué distancia habrá recorrido
después de media hora de viaje? ¿Y después de una hora? Ubica en un sistema de
coordenadas cartesianas los puntos (t, d) donde t representa el tiempo transcurrido y d la
distancia recorrida y traza la curva que contiene a esos puntos.
Te sugerimos usar una escala como la siguiente:
¿Qué distancia recorrió el vehículo entre el minuto 20 y el minuto 50? ¿Y entre el 50 y el
80?
Llena los espacios que faltan de la siguiente tabla. Después contesta lo que se te pide.
Entre el minuto
y el minuto
El tiempo transcurrido
es de… minutos
La distancia recorrida es
de … kilómetros
La razón distancia entre tiempo es de…
0 10
0 40
0 20
10 50
15 85
35 85
20 60
0 x
¿Hay alguna relación entre la inclinación de la recta y la velocidad del vehículo? ¿Hay
alguna relación entre la velocidad del vehículo y la razón distancia entre tiempo? ¿Existe
alguna relación entre la inclinación de la recta y la razón distancia entre tiempo?
DE INTERMEDIO.
ACTIVIDAD 3.
Una bomba automática de un tinaco se prende cuando ésta tiene 100 litros de agua; si la
bomba lleva al tinaco 50 litros de agua por minuto y el tinaco tiene capacidad para 800
litros de agua, ¿Cuánto tiempo tardara en llenarse?
¿Cuánta agua tiene el tinaco después de un minuto? ¿Y después de 2 minutos?
Grafica en un sistema de coordenadas rectangulares los puntos de la forma (t, l), donde t
es el tiempo y l los litros. Traza la recta que pasa por ellos. Te sugerimos usar una escala
como la que te presentamos a continuación.
¿Cuántos litros entraron al tinaco entre el minuto 2 y el minuto 7? ¿Y entre el minuto 5 y
el minuto 10?
Al igual que la actividad anterior, te proponemos llenar los datos que faltan en la tabla.
Entre el minuto …
y el minuto …
El tiempo transcurrido
es de … minutos
La cantidad de agua
vertida en el tinaco
es de … litros
La razón “cantidad de agua vertida” entre
“tiempo transcurrido” es
de …
0 2
0 7
3 10
2 11
4 13
0 x
¿Cómo se refleja en la gráfica el hecho de que el tinaco ya tuviera 100 litros de agua al
momento de prenderse la bomba?
Encuentra una fórmula que exprese la cantidad de litros que tiene el tinaco en función del
tiempo transcurrido. ¿Cómo se refleja en ésta fórmula el hecho de que el tinaco ya tuviera
100 litros al momento de prenderse la bomba?
¿Qué relación hay entre la rapidez de llenado del tinaco y la razón “litros de agua
vertidos” entre “tiempo transcurrido”?
Cuando el tinaco está lleno, se abre una llave de la cual salen 20
. ¿Cuánto tiempo
tarda en prenderse la bomba? ¿Cuántos litros han salido a los 10 minutos? ¿Cuánto queda
en el tinaco? ¿Cuánto queda en el tinaco después de transcurridos X minutos?
Elabora una gráfica minutos-litros de agua en el tinaco, usando la misma escala que ya te
propusimos. Grafica sólo los primeros 15 minutos.
¿Qué diferencia sustancial encuentras en ésta gráfica y las anteriores?
Llena la tabla que te proponemos para que visualices mejor la idea.
Entre el minuto …
y el minuto …
El tiempo transcurrido
es de … minutos
La cantidad de agua
que sale del tinaco
es de … litros
La razón “cantidad de agua que sale” entre
“tiempo transcurrido” es
de …
0 5
2 7
3 10
5 12
4 13
0 x
¿Cómo se refleja en la gráfica el hecho de que el tinaco tuviera 800 litros de agua al
momento de comenzar a vaciarse?
Encuentra una fórmula que exprese la cantidad de litros que tiene el tinaco en función del
tiempo transcurrido. ¿Cómo se refleja en la fórmula el hecho de que el tinaco tuviera 800
litros de agua al momento de comenzar a vaciarse?
¿Qué relación hay entre la rapidez de vaciado del tinaco y la razón “litros de agua que
salen” entre “tiempo transcurrido”?
Para finalizar te proponemos 3 ejercicios en los que deberás hacer un análisis similar a lo
anterior y reforzar lo que has aprendido.
I. El área de un triángulo mide 12 cm2. Si la base del triángulo mide 2 cm ¿cuánto
mide su altura? ¿Y si la base mide 4 cm? Grafica las parejas de puntos
(base, altura) para distintos valores de la base. ¿Es constante la razón de
cambio? ¿La grafica es una recta?
II. Un tinaco de 1500 litros se surte de dos llaves. De la llave A sale el agua a
razón de 20 litros por minuto y de la llave B sale el agua a razón de 15 litros por
minuto. Si sólo se abre la llave A ¿cuántos litros habrán caído al tinaco después
de 10 minutos? ¿Y después de media hora? Grafica los puntos de la forma
(tiempo, litros de agua en el tinaco). ¿Es constante la razón de cambio? ¿La
gráfica es una recta?
III. Una cisterna de 10000 litros tiene dos llaves de entrada. Con la primera llave se
llena en 3 horas y con la segunda se llena en 4 horas. ¿Cuánto tiempo tarda en
llenarse si se abren las dos llaves a la vez?
DE SALIDA.
ACTIVIDAD 4.
Trabajar en equipo para describir las variables cuantitativas que están presentes en los
siguientes problemas propuestos. Después hay que escribir la solución.
1. Se sabe que si la temperatura permanece constante, entonces la presión de un gas
encerrado en un recipiente es inversamente proporcional al volumen. La presión
de cierto gas dentro de un globo esférico de 9 pulgadas de radio es de 20 libras por
pulgada cuadrada (
). Si el radio del globo aumenta a 12 pulgadas, determina
la nueva presión del gas.
2. El peso que puede soportar una viga con sección transversal rectangular varía
proporcionalmente al ancho y al cuadrado del alto de la sección transversal y es
inversamente proporcional a la longitud de la viga. Si una viga que tiene una
sección transversal de 2X4 pulgadas y 8 pies de longitud, soporta una carga de 500
libras (lb), ¿Qué peso soportará una viga de 2X8 pulgadas y 10 pies de longitud?
(Nota: el ancho es la dimensión más corta de la sección transversal)
3. Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de
gramos
después de t horas.
(a) ¿Cuánto creció durante el intervalo ?
(b) ¿Cuál fue su crecimiento medio durante el intervalo ?
(c) Cuál fue su razón de crecimiento instantáneo cuando t=2?