mÉtodo geoestadÍstico de krige: una aplicaciÓn a la

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Zacatenco

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

MÉTODO GEOESTADÍSTICO DE KRIGE: UNA APLICACIÓN A LA DISTRIBUCIÓN PLUVIAL EN EL ESTADO DE TABASCO

Tesis que para optar por el Grado de Maestro en Ciencias con Especialidad en Ingeniería de Sistemas

presenta:

Lic. Carlos Javier Sosa Paz

Director de Tesis: M. en C. Jorge Sosa Pedroza.

Diciembre 2002


i

Dedicatoria: A Bertha, Javier, Gabriel y Sandra por su apoyo y cariño. A el M. en C. Jorge Sosa Pedroza. A toda persona que le ayude a su desarrollo.

Agradecimientos: Al Instituto Mexicano de Tecnología del Agua, por la información proporcionada para el desarrollo de esta investigación. A mis profesores de la Maestría por su ayuda en mi desarrollo profesional. A el M. en C. Jorge Sosa Pedroza por su confianza en mi capacidad para resolver un problema cuyo resultado se ve reflejado en esta Tesis. Al Dr. Marín Díaz Viera por su apoyo en la parte teórica de la metodología. Al Dr. Francisco Jesús Moral García por sus apuntes que fueron de gran ayuda.


Índice Titulo de la Tesis. Dedicatoria y agradecimientos. i Objetivo y fundamentación. ii Resumen iii Abstract . iv Listado de gráficas y tablas. v Glosario de términos. vi 1 Antecedentes. 1 2 Fundamentos teóricos. 8

2.1 Teoría de las variables regionalizadas. 8 2.1.1 Introducción. 8 2.1.2 Funciones aleatorias. 11 2.1.3 Funciones aleatorias estacionarias. 12 2.1.4 Funciones aleatorias intrínsecas. 16 2.1.5 Funciones aleatorias no intrínsecas. 19 2.1.6 Estacionariedad y Ergodicidad. 20 2.2 Semivariograma. 20 2.2.1 Introducción. 20 2.2.2 Análisis estructural. 21 2.2.3 Semivariograma Experimental. 21 2.2.3.1 Ejemplo 23 2.2.4. Semivariogramas Teóricos. 24 2.2.4.1Condiciones que debe cumplir el semivariograma 24 2.3 Estimación del semivariograma teórico. 28 2.3.1 Introducción. 28 2.3.2 Estimación. 32 2.3.3 Métodos de estimación. 33 2.3.3.1 ¿Estimación local ó global? 34 2.3.3.2 ¿Estimación puntual ó en bloque? 35 2.3.4 La interpolación. 36 2.3.5 Fases de la interpolación. 37 2.3.6 Métodos de la interpolación. 38 2.3.7 ¿Cuántos datos observados se necesitan para estimar

localmente? 39

2.4 La estimación geoestadística 43


2.4.1 Introducción. 43 2.4.2 El modelo de Krige simple. 47 2.4.3 El Krige ordinario. 50 2.4.4 El Krige con un modelo de tendencia.

El Krige Universal. 55 2.4.5 Validación cruzada. 58 2.4.6 Propiedades del modelo de Krige. 60 2.4.7 Entorno y puntos observados para la estimación

de vecindario. 61 3 Metodología. 64 3.1 Introducción. 64 3.2 Pasos de la metodología. 66 3.3 Metodología aplicada al mes de Enero. 66 Conclusiones y recomendaciones. 86 Anexo A. 89 Anexo B. 91 Anexo C. 93 Referencias y Bibliografía. 96


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Objetivo

Generar mapas de distribución de lluvia aplicando el modelo Geoestadístico de Krige para el estado de Tabasco.

Justificación: El crecimiento acelerado que se tiene en los sistemas de telecomunicaciones ha promovido el uso de frecuencias cada vez más altas, tanto para usar anchos de banda mayores como para aumentar las velocidades de transmisión en los sistemas digitales. Esta tendencia tiene, sin embargo, un costo: los efectos de la atmósfera en la propagación electromagnética; Los problemas como la atenuación provocada por la lluvia, la niebla, la nieve, así como la depolarización o el ruido de centelleo y la propia atmósfera influyen en la calidad de la transmisión. Como de estos factores, es la lluvia la que causa el mayor conflicto, es necesario generar mapas del comportamiento pluvial, para así poder planear la potencia necesaria en el diseño de un sistema de comunicaciones. Actualmente, para el cálculo de enlaces en comunicaciones, se usa información extrapolada de Estados Unidos, lo que hace necesario que México genere su propia información. Esta situación ocasiona que eventualmente las señales emitidas a nuestro país no sean de la calidad que se requiere, pues “no llueve igual en México que en aquella región”, es más, la distribución de la lluvia es diferente para diferentes regiones de nuestro país ya que uno de los factores que incide en la distribución de la lluvia es la orografía de la región. Planteamiento del problema: El propósito de este trabajo es la generación de mapas de lluvia, para lo cual se necesita el acopio de información del comportamiento pluvial dentro del territorio nacional, después a esta información se le ordenará para poder alimentar el modelo matemático que se propone (el modelo de Krige) el cual proporciona diferentes soluciones al problema. Finalmente se hará una discriminación de ellos para obtener el que mejor se ajuste a las pruebas de exclusión.


iii

Resumen Este trabajo es el resultado de 2 años de investigación y nace de la necesidad de proponer mapas de lluvia para nuestro país. El objetivo principal de los mapas de lluvia es determinar la distribución y la intensidad de la lluvia. Esta información es un insumo para el diseño de sistemas de telecomunicaciones robustos, en los cuales la atenuación por lluvia tenga el menor impacto posible. Para este estudio se eligió al Estado de Tabasco debido a su alta precipitación pluvial, lo que llevó a la firma de un convenio con COMSAT, la NASA y el IPN p ara desarrollar un estudio de atenuación por lluvia. Ampliando el estudio puntual del convenio, se obtuvo información de 70 observatorios en el estado de Tabasco para determinar su distribución de lluvia. Para cada observatorio se analizaron por lo menos cinco años de información (en algunos hasta 30 años). En una primera etapa se hicieron análisis de series de tiempo de intensidad de lluvia aplicándose Modelos ARIMA. Sin embargo, se concluyó que esto no era suficiente, por lo que se buscó otro tipo de modelo que permitiera generar mapas de lluvia, encontrándose el modelo geoestadístico de Krige, que permite estimar la distribución espacial de la lluvia a partir de observaciones puntuales, obteniéndose mapas de lluvia para cada mes del año.


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Abstract This thesis is the result of two years of research due to the need of determining rain maps for our country. The object of the rain maps is to determine the distribution of rain so that telecomunications systems are designed as robust as necessary to prevent atennuation by rain. For this study the state of Tabasco was chosen since it is a state with very high rain intensity. Furthermore due to a research contract between CONSAT, the NASA and IPN, it was posible to install an observatory in Villahermosa, Tabasco. From the information gathered in this observatory, ARIMA models were constructed. Nevertheless, this was not enough to generate the information needed in telecomunications systems design. Another type of model was necessary and a geoestatistics model was used. This model is due to Krige and is named after him. The model permits the estimation of the spatial distribution of rain based on puntual observations. Data for al least five years and from seventy uniformly distibuted observatories in the state of Tabasco was analized. And with this data, monthly rain maps were generated, appling Krige’s methodology.


v

Índice de Figuras

1.1 Mapa Propuesto por la UIT 5 2.1. Relación entre semivariograma y la función de covarianza. 14 2.2. Parámetros del semivariograma. 15 2.3. Realización de un proceso de Wiener – Levy. 17 2.4. Variograma experimental. 23 2.5. Semivariogramas teóricos más comunes. 26 2.6. Para estimar un punto arbitrario. 40 2.7. Punto estimado. 41 2.8. Puntos empleados para estimar un punto. 42 3.1. Hoja de observatorio. 67 3.2. Localización de los observatorios. 69 3.3. Archivo de texto plano que proporciona ERIC. 70 3.4. Variograma experimental vs. Diferentes variogramas

teóricos. 75-76 3.5. Mapas propuestos de lluvia con diferentes variogramas

teóricos y tipos de modelos de Krige. 77-78 3.6. Gráficas de los estimadores Q1 y Q2 del modelo

exponencial para el mes de Enero. 79 3.7. Mapas propuesto por la metodología de Krige

sobre puesto al estado de Tabasco. 88 3. Tablas

3.1. Promedio mensual acumulado por año de los observatorios 1 y 2. 71-72

3.2. Promedio mensual acumulado de todos los observatorios. 72-74 3.3. Parámetros más usados en la estadística por mes. 74 3.4. Parámetros de los variogramas teóricos. 76 3.5. Selección del mejor modelo basado en los parámetros

Q1 y Q2 79 3.6. Variograma experimental vs. Teórico de todo el año 81-82 3.7. Mapas pluviales propuesto por la metodología de Krige

por mes. 84-85


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Glosario de términos: Alcance (range): Se usa este término para designar el alcance “práctico” o “efectivo” donde la porción es aproximadamente el 95 % del máximo. Para el modelo esférico, la distancia en la que el modelo alcanza el valor máximo, o sill (meseta). Para los modelos gausianos y exponencial, que se aproximan a la meseta asintóticamente. El modelo Nugget tiene una meseta con un rango de cero; el modelo lineal usa “meseta/alcance” simplemente para definir la pendiente. Covarianza: Es una medida estadística de la correlación entre dos variables. En Geoestadística, la covarianza es usualmente tratada como la simple inversión del variograma, calculado como la varianza total de la muestra menos el valor del variograma. Estos valores de covarianza, así como los valores del variograma, se utilizan en las ecuaciones de la matriz de Kriging para una mayor eficiencia de cálculo. Deriva (drift): El valor esperado de una función aleatoria puede ser constante o depender de las coordenadas de la posición. La deriva es una característica de la función aleatoria y no de los datos. Desviación Estándar del Kriging: Error estándar de la estimación calculada para el estimado del Kriging. Por definición, Kriging es el estimador lineal ponderado con una serie particular de pesos los que minimizan el valor de la varianza de la estimación. Estacionaridad: Es una propiedad de la función aleatoria. Se dice que una función aleatoria es estrictamente estacionaria si su función de distribución de probabilidad es invariante a cualquier traslación respecto a un vector h. Función Aleatoria: Puede ser vista como una colección de variables aleatorias que dependen de la posición. Geoestadística: Metodología para el análisis de datos espacialmente correlacionados. El rasgo característico es el uso de variogramas de técnicas relacionadas para cuantificar y modelar la correlación espacial de la estructura. También incluye diferentes técnicas como Kriging, la cual utiliza modelos de correlación espacial. Los métodos geoestadísticos son aplicables en todas las ciencias de la Tierra. Pueden aplicarse para explorar los procesos responsables de la variación espacial, así como también para estimar el valor de propiedades en localidades no conocidas.


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Intervalo (lag): Intervalos de distancia de la clase usada para calcular el variograma. Kriging: Método de interpolación del valor medio ponderado donde los pesos asignados a las muestras minimizan la varianza del error, la que se calcula como una función del modelo de variograma y localizaciones de las muestras relacionadas unas con las otras, y del punto o bloque que está siendo estimado. Kriging de bloques: Estimación del valor de un bloque a partir de los valores de una muestra continua usando Kriging. El área de un bloque es un arreglo de aproximadamente 2x2, 3x3, ó 4x4 puntos con centro en cada nodo de la malla especificada. Se dice que se obtiene un valor suavizado de la estimación. Kriging Ordinario: Es un tipo de Kriging que asume que la media local no está necesariamente cercana a la media de la población, y que usa solamente para el estimado la muestra para la vecindad local. Es el método usado más comúnmente por su robustez. Kriging Puntual: Estimación del valor de un punto de los valores de la muestra cercana usando kriging. El estimado para un punto será casi similar al estimado por un bloque relativamente cercano centrado en el punto, pero la desviación estándar del kriging calculada será alta. Cuando el punto del Kriging coincide con el lugar de la muestra, el estimado tendrá un valor igual al de la muestra. Kriging Simple: Variedad de kriging que asume que las medias locales son relativamente constantes e iguales a la media de la población, la que es bien conocida. La media de la población es usada como un factor en cada estimado local, con todas las muestras en la misma vecindad. No es un método muy usado. Meseta (sill): Límite superior de cualquier modelo de variograma acotado, al que tiende asintóticamente para grandes distancias. Para el modelo lineal, la relación “sill/rango” se usa para definir la pendiente. Modelo Esférico, Exponencial y Lineal: Son unas de las funciones autorizadas que es usada frecuentemente como modelo de variograrna, en combinación con el modelo Nugget.


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Modelo Nugget: Modelo de varianza constante comúnmente usado en combinación con uno o mas funciones cuando se ajustan modelos matemáticos a variograrnas experimentales. Semi- Variograma: Es sinónimo de “variograrna”. No hay acuerdo en la literatura geoestadística de cual término debe usarse y se usan ambos indistintamente. Tendencia (trend): En muchas ocasiones se usa el término intercambiable con el de deriva (drift). Aunque también se asocia con la representación determinística del valor medio obtenida mediante el procedimiento de Análisis de Superficie de Tendencia (Trend Surface Analysis) usualmente como polinomios de las coordenadas mediante ajuste con mínimos cuadrados.


CCAAPPIITTUULLOO 11 ANTECEDENTES

ESTADO DEL ARTE.

Telecomunicaciones:

La posibilidad de que una persona pueda ver un canal de televisión cuya transmisión se origina en otra parte del mundo, comunicarse telefónicamente desde el automóvil, o bien recibir mensajes en un radio localizador es posible por la acción de los satélites, que permiten amplificar las señales recibidas de la tierra para retransmitirlas por medio de ondas electromagnéticas. Sin embargo, esta recepción algunas veces se ve afectada por fenómenos atmosféricos como la lluvia, reconocida como una de las principales causas que alteran la propagación de la energía electromagnética interrumpiendo la transmisión.

En busca de una solución a esta problemática, investigadores de diversos países estudian el fenómeno apoyándose en modelos estadísticos de lluvia que permiten conocer el efecto de ésta en las comunicaciones. Los modelos se basan en análisis meteorológicos y climáticos de la región específica a la cual será enviada la señal electromagnética con el propósito de disminuir riesgos de falla en las transmisiones.

En 1993, la NASA puso en órbita geoestacionaria el satélite experimental ACTS (Advanced Communications Technology Satellite) con el fin de desarrollar experimentos de comunicaciones tanto en enlaces en frecuencias de banda K, como en el desarrollo de comunicaciones enrutadas por el propio satélite sobre haces concentrados. El equipo de investigadores de la ESME presentaron a los directores del proyecto ACTS un proyecto relacionado con propagación en el ACTS con el objetivo de validar algún modelo de atenuación por lluvia o generar alguno aplicable a México, a partir de las mediciones de propagación que se realicen sobre el territorio nacional.

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El Satélite ACTS [1].

El ACTS (Advanced Communications Technology Satellite) es un satélite geoestacionario localizado en 100º de longitud oeste, que fué lanzado el 12 de Septiembre de 1993 y colocado en posición el 28 del mismo mes con una vida útil de 4.2 años. La matriz de conmutación es controlada desde tierra para enrutar la comunicación entre el receptor y el transmisor. El enlace de subida se establece en 30 GHz y el de bajada en 20 GHz, con haces concentrados que permiten mayores densidades de potencia y por tanto antenas de tierra más pequeñas, cuenta además con una antena movible para localizar su haz en áreas no cubiertas.

Las características principales del ACTS son: el uso de procesamiento y conmutación a bordo que permite el enrutamiento de los haces de las antenas en forma acelerada, el uso de la banda Ka en el sistema de comunicaciones lo que permite un mayor ancho de banda utilizable aunque una mayor susceptibilidad a la atenuación por lluvia y el uso de compensación de desvanecimiento por lluvia.

El ACTS se usó para realizar experimentos en: medicina, redes de administración, comunicaciones móviles en tierra y aire, televisión de alta definición, adquisición de datos y varias industrias y universidades norteamericanas realizaron experimentos de propagación en banda Ka. La ESIME y el IMC hicieron una propuesta de experimento a la NASA con las siguientes metas:

-Análisis de datos sobre propagación en banda Ka

-Modelos de predicción de atenuación atmosférica y por lluvia.

-Distribución de duración de desvanecimientos

-Modelos para el escalamiento de frecuencia

-Formas de mitigación de anomalías en propagación

-Modelo para el efecto de humedad en las antenas

-Revisión de los mapas regionales de lluvia

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Dada la indudable necesidad que el país tiene de caracterizar sus comunicaciones futuras, tanto terrestres como satelitales en frecuencias superiores a 10 GHz, en las que los efectos en la atmósfera empiezan a ser significativos, es imprescindible el realizar estudios sistemáticos y sostenidos de características de la lluvia y de propagación electromagnética en diferentes regiones del país considerando que el cálculo de enlaces debe llevar al diseño de sistemas más eficientes y confiables, por lo que la posibilidad de participar en el proyecto ACTS abrió una esperanza de empezar a desarrollar en México este tipo de estudios. En la ESIME, el proyecto de atenuación por lluvia ha seguido avanzando, tanto con estudios de campo sobre la distribución de lluvia en la República y con el análisis de los modelos que sobre el fenómeno de atenuación existen en la actualidad, como el de Crane y el de Manning. En relación con ésto último se trabaja actualmente en el desarrollo de programas de cómputo para sistematizar el análisis bajo las condiciones de México para validar los datos que de este fenómeno se tienen en otras regiones del planeta con características climatológicas similares y que se extrapolan para los cálculos de enlace en el país. El trabajo sobre el proyecto en la ESIME se ha centrado en dos líneas, por un lado es el análisis de los principales modelos usados para predecir el fenómeno: el de Crane ("Prediction of attenuation by rain", IEEE transactions on Commun, Sept. 1980) que es el más utilizado y que representa la base para la norma definida por el CCIR y por otro lado el modelo de Robert Manning ("A unified statistical rain attenuation model for communication Link Fade Predictions") trabajo hecho en la NASA para análisis de atenuación por lluvia específico para el ACTS. La otra línea de trabajo, es el análisis probabilístico y estadístico de la distribución de lluvia sobre diferentes regiones del país. Se ha recopilado información sobre incidencia y niveles de lluvia sobre diferentes regiones del país y aunque en forma incompleta, permiten generar análisis sobre la distribución de la lluvia en el país. Es en este marco que se realizó el trabajo de investigación que dio origen a esta tesis.

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Atenuación por Lluvia Las señales de los satélites utilizan las bandas de comunicaciones comerciales C, Ku y Ka, para transmisiones entre cuatro y 30 gigahertz (GHz).[2] En frecuencias superiores a los diez GHz la lluvia es un factor dominante en lo que a atenuación de señales se refiere. Esto se debe, a que la energía electromagnética es absorbida y convertida en calor por las gotas de lluvia, además de desviar las ondas de su dirección. La forma y el tamaño de las gotas de lluvia que en ocasiones son comparables con la longitud de onda, están relacionadas directamente con la pérdida de energía electromagnética. Debido a las fallas que este fenómeno atmosférico puede causar en las telecomunicaciones, se hace necesario realizar un análisis y determinar la distribución de la lluvia con el propósito de corregir sus efectos en enlaces de microondas a fin de disminuir las posibilidades de falla en la transmisión de señales de los satélites. La información que se obtiene con los modelos geoestadísticos permite construir mapas de lluvia que sirven para alimentar los modelos matemáticos de atenuación y diseñar enlaces de comunicaciones en microondas con la potencia adecuada. Los datos sobre precipitación pluvial en los que se sustenta el diseño de satélites que envían señales a nuestro territorio, están fundamentados en información extrapolada de los sistemas meteorológicos de Estados Unidos a nuestro país UIT “Unión Internacional de Telecomunicaciones” Figura 1.1. Esta situación ocasiona que eventualmente las señales emitidas a nuestro país no sean de la calidad que se requiere, pues “no llueve igual en México que en aquella región”.

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Figura 1.1 Mapa Propuesto por la UIT

Al comparar los informes estadounidenses que actualmente se emplean para nuestro país con los obtenidos en el SMN, se observó que los niveles de lluvia empleados en los modelos que se usan para predecir atenuación por lluvia son diferentes a los reales [2].

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Es por esto que surge la necesidad de generar mapas de lluvia que realmente sean representativos de nuestra región.

Para este estudio es necesario contar con una base de datos confiable que permita aplicar métodos geoestadísticos para determinar la distribución de la lluvia, para lo cual se recurrió al IMTA. Además, después de una investigación bibliográfica se encontró el Modelo de Kriege, el cual permite construir áreas geográficas continuas a partir de estimaciones puntuales.

GEOESTADÍSTICA: Matheron, padre de la Geoestadística en su forma actual, la definió como “la aplicación del formalismo de las funciones aleatorias al reconocimiento y estimación de fenómenos naturales” [3]. El concepto de función aleatoria, basta decir que puede visualizarse como una variable aleatoria definida en todos los puntos del espacio, o lo que es igual, cada evento de la función aleatoria es una función espacial. Lo característico de las funciones aleatorias es que cada realización se puede concebir como suma de una componente estructurada y otra aparentemente errática. La componente estructurada es la que permite asegurar que, si nos encontramos en una zona en que se han realizado varias medidas por encima de lo normal, lo más probable es que las medidas adicionales también sean altas. La componente aleatoria es la que impide predecir con exactitud el valor de dichas medidas hipotéticas. Muchos fenómenos naturales presentan estas características. Por ello, no resulta sorprendente que el formalismo de las funciones aleatorias se aplique principalmente al estudio de fenómenos naturales. De hecho, la Geoestadística se ha empleado en la mayoría de las Ciencias de la Tierra: Geología, Geotécnica, Minería, edafología, hidrología, meteorología, etc. El objetivo de la Geoestadística es la caracterización del fenómeno natural, lo que conduce a varios tipos de aplicaciones. El primero es la estimación métodos de cartografía automática, cálculo de valores promediados, etc. a partir de un conjunto de medidas. La innovación de la Geoestadística permite obtener no sólo la estimación sino también una medida de la incertidumbre. La estimación suele producir mapas que son mucho más “suaves” que la realidad. Por ello, en los casos en que la variabilidad espacial sea de interés es necesario recurrir a técnicas de simulación, (segundo grupo de aplicaciones de la Geoestadística), a fin de obtener realizaciones factibles de la variable estudiada.

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Otro tipo de aplicaciones son las que proporcionan medidas sobre la incertidumbre de la estimación, la Geoestadística constituye un marco ideal para seleccionar la ubicación de puntos de muestreo de forma que se minimice la incertidumbre de estimación. Los orígenes de la Geoestadística están en la minería. Como antecedentes suelen citarse los trabajos de Sichel y Krige [4]. El primero observó la naturaleza asimétrica de la distribución del contenido de oro en las minas sudafricanas, la equiparó a una distribución lognormal y desarrolló las fórmulas básicas para esta distribución. Ello permitía una primera estimación de las reservas, pero suponía implícitamente que los datos eran independientes, en clara contradicción con la experiencia de que existen “zonas” más ricas que otras. Una primera aproximación a la solución de este problema fue dada por Krige que propuso una variante del método de medias móviles que puede considerarse equivalente al del Krige simple que, como veremos, es uno de los métodos básicos de estimación lineal. Sin embargo, la formulación rigurosa y la solución del problema de estimación vino de la mano de Matheron [3]. En años sucesivos, la teoría se fue depurando ampliando el campo de validez y reduciendo las hipótesis necesarias y se desarrollaron las técnicas de aplicación, fundamentalmente por las aportaciones de Matheron y su grupo en la Escuela de Minas de Paris. Desde la minería, las técnicas Geoestadísticas se han exportado a otros muchos campos y, como técnica, la Geoestadística parece haber alcanzado su madurez. En la actualidad, las áreas de trabajo más activas se encuentran por un lado, en el estudio de las implicaciones, que sobre las distintas ramas del conocimiento, tienen las funciones aleatorias y el formalismo Geoestadístico y, por otro, en la búsqueda de formulaciones alternativas para la caracterización de la variabilidad espacial.

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CCAAPPIITTUULLOO 22

FFUUNNDDAAMMEENNTTOOSS TTEEÓÓRRIICCOOSS [[55,,66,,77,,88,,99,,1100]]

2.1 LA TEORÍA DE LAS VARIABLES REGIONALIZADAS.

Introducción

La variación espacial de cualquier atributo o propiedad continua, es generalmente demasiado irregular como para que sea modelada con una función matemática simple. La propiedad es conocida entonces como variable regionalizada, aplicándose este concepto, por ejemplo, tanto para la variación de la presión atmosférica, de cualquier parámetro físico o químico del suelo, o para la altura con respecto a un nivel de referencia. Por tanto, se puede decir que cualquier variable distribuida en el espacio es regionalizada. La geoestadística es la aplicación de la teoría de las variables regionalizadas a la estimación de procesos o fenómenos en el espacio.

Desde un punto de vista matemático, una variable regionalizada es simplemente una función f(x) que tiene un cierto valor para todas las coordenadas x (en un espacio de 1, 2 o 3 dimensiones).

Una variable regionalizada tiene dos aspectos aparentemente contradictorios:

• Un aspecto general estructurado, el cual puede caracterizarse con una función determinística. • Un aspecto errático, aleatorio, local, el cual representa una variación impredecible de un punto a otro.

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La representación de la variación espacial de una variable regionalizada se realiza mediante la suma de tres componentes:

Si se distingue una tendencia espacial, se puede eliminar y tratar a los residuos como variables regionalizadas.

Un tratamiento adecuado del comportamiento espacial de una variable tiene que tener en cuenta la doble vertiente de aleatoriedad y estructura para conseguir una representación simple de su distribución.

El valor observado en cualquier punto, x, se considera como el resultado, z(x), de una variable aleatoria, Z(x). A la media se le denomina deriva (drift en la literatura inglesa), m(x). En los puntos no observados, donde no se han tomado medidas, los valores z(x) están definidos, aunque son desconocidos y también son el resultado de una variable aleatoria Z(x).

Supóngase que se ha muestreado en N puntos de un cierto lugar, C. Esas observaciones son variables aleatorias, resultado de un proceso aleatorio. Este conjunto de N observaciones es el resultado de la función aleatoria de la variable regionalizada, pudiendo establecerse la comparación con el lanzamiento de un dado o con la jugada a un número de la lotería. En principio, teóricamente, podrían obtenerse infinitas repeticiones de tales experimentos, lo cual permitiría determinar la función de distribución de la función aleatoria.

Sólo si es posible inferir, al menos parcialmente, la función de distribución de la función aleatoria Z(x), tendrá sentido operativo la interpretación probabilística de una variable regionalizada como un resultado de la función aleatoria Z(x). De la misma forma que no es posible encontrar la función de distribución de una variable aleatoria a partir de una única observación, como por ejemplo el resultado de arrojar un dado con un solo lanzamiento, tampoco será posible la inferencia estadística a partir de un solo evento; o sea, la inferencia estadística, la estimación de los parámetros de una variable regionalizada, debe efectuarse con la información contenida en una muestra de la población, con varias observaciones de la variable aleatoria.

Existe una gran cantidad de variables que pueden ser modeladas como funciones aleatorias, extendiéndose sus aplicaciones a una gran cantidad de campos. Algunos ejemplos son:

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1. Variables topográficas y geológicas: altura respecto al nivel del mar, profundidad del nivel freático, potencia de un horizonte, profundidad a un horizonte determinado, etc.

2. Parámetros de calidad de diferentes minerales.

3. Variables hidráulicas e hidrológicas: porosidad y permeabilidad, potencial hidráulico, medidas de lluvia y escurrimientos, etc.

4. En ciencias ambientales: concentraciones de elementos en el suelo, tipos de suelos, contaminantes en el suelo, en el agua o en el aire, conteo de nematodos, lombrices de tierra en el suelo, densidades de árboles, etc.

5. En la pesca: conteo de peces, temperatura del agua, salinidad, densidades de mariscos, etc.

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2.1.2 Funciones Aleatorias

En teoría de probabilidad una serie de k variables aleatorias dependientes Z1, Z2,... Zn definen un vector aleatorio Z = (Z1, Z2 ,... Zk) con k componentes. Análogamente cuando el valor de una función Z(x) es una variable aleatoria al variar x en el espacio Rn de n dimensiones, Z(x) define una familia de variables aleatorias. A cada punto x0 del espacio le corresponde una variable aleatoria Z(x0). La función aleatoria Z(x) puede también interpretarse como una función del punto x, cuyo “valor” en x0 no es un número sino una variable aleatoria. Nótese que en general que las variables aleatorias correspondientes a dos puntos Z(x1) y Z(x2) no tienen porqué ser necesariamente independientes.

Considérese una función aleatoria Z(x) definida en Rn. Para cualesquiera k puntos x1,x2,...,xk, el vector aleatorio [Z(x1),Z(x2),...,Z(xk)] se caracteriza por su función de distribución k-variable.

El conjunto de todas estas distribuciones para todo valor k y para cualquier selección de puntos en Rn constituye la “ley espacial de probabilidad” de la función aleatoria Z(x). En geoestadística lineal son suficientes los dos primeros momentos de la distribución de Z(x). De hecho, en la mayoría de las aplicaciones prácticas la información disponible no permite inferir momentos de mayor orden.

El momento de primer orden es la esperanza matemática definida como:

( ) ( )E Z x m x= Ecuación 2.1. 1

Los tres momentos de segundo orden considerados en geoestadística son:

a) La varianza o momento de segundo orden de Z(x) respecto a m(x): ( ) ( ) ( ){ }22 Var Z x E Z x m xσ = = −

Ecuación 2.1. 2

En general,Var es una función de x. ( )Z x

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b) La covarianza de dos variables aleatorias Z(xi) y Z(xj), C(xi, xj), definida como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ },i j i i j jC x x E Z x m x Z x m x = − − Ecuación 2.1. 3

En general una función de xi y xj. Esta función se llama a veces función de autocovarianza.

c) El semivariograma

( ) ( ) ( ){ }21,2i j i jx x E Z x Z xγ = −

Ecuación 2.1.4

Si se dispone de una sola observación de Z en cada punto, no se puede hallar la covarianza ya que no se conocen las medias. Sólo suponiéndose que los valores en diferentes lugares son distintas observaciones del atributo, podría superarse el inconveniente encontrado, ya que la media sería constante con independencia de los puntos considerados. Esto es lo que se denomina estacionariedad.

2.1.3 Funciones Aleatorias Estacionarias

Se dice que una función aleatoria es estrictamente estacionaria si su función de distribución es invariante respecto a cualquier traslación de vector h, o lo que es lo mismo, la función de distribución del vector aleatorio [Z(x1),Z(x2),...,Z(xk)] es idéntica a la del vector [Z(x1+h), Z(x2+h) ,... Z(xk+h)] para cualquier h. Sin embargo, puesto que la geoestadística lineal se basa en los primeros momentos de la función aleatoria, es suficiente suponer que estos dos momentos existen y limitar la hipótesis de estacionariedad a los dos primeros momentos. Se dice que una función aleatoria Z(x) es estacionaria de segundo orden si:

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a) ( )E Z x existe y no depende de x, es decir,

( ) para todo xE Z x m= Ecuación 2.1. 5

b) Para toda pareja de variables aleatorias ( ) ( ){ },Z x h Z x+ su covarianza existe y sólo depende del vector de separación h, es decir,

( ) ( ) ( ) ( )2,C x h x E Z x h Z x m C h+ = + − = Ecuación 2.1. 6

La estacionariedad de la covarianza implica que la varianza Var existe, es finita y no depende de x es decir,

( )Z x

( ) ( )0Z x C= Var . Así mismo, bajo esta hipótesis el semivariograma también es estacionario y se cumple que:

( ) ( ) ( ){ }21,2

x h x E Z x h Z xγ + = + −

Ecuación 2.1. 7

Podría considerarse que el semivariograma es repetitivo, redundante e innecesario ya que mide la variabilidad espacial del fenómeno de forma similar a la más conocida función de covarianza. Efectivamente, cuando la función aleatoria es estacionaria, la relación entre el semivariograma y la covarianza es inmediata, ya que de acuerdo con (2.1.7) se cumple

( ) ( ) ( ){ }( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

2

2 2

12

12 2

h E Z x h Z x

E Z x h m E Z x m

E Z x h m Z x m

Var Z E Z x h m Z x m

γ = + −

+ − + − = − + − −

= − + − −

Ecuación 2.1. 8

13


y puesto que de (2.1.7) se deduce que:

( ) ( ) ( )C h E Z x h m Z x m= + − − Ecuación 2.1. 9

se obtiene finalmente que

( ) ( ) ( )h Var Z C hγ = − Ecuación 2.1. 10

Es decir, bajo la hipótesis de estacionariedad el semivariograma resulta ser igual a la varianza menos la covarianza, por lo que la equivalencia es total (ver figura 2.1). Sin embargo, cuando la media varía “lentamente” de forma que en la escala local se puede suponer constante (aunque desconocida), el semivariograma es independiente del valor local de dicha media, mientras que la autocovarianza requiere su estimación. Esto introduce un sesgo en el cálculo de la función de autocovarianza [11]. En este sentido, γ(h) es un estadístico más conveniente que C(h), para aquellas funciones cuya media varía lentamente.

Figura 2.1 Relación entre el semivariograma y la función de covarianza

En el caso de funciones no acotadas con varianza infinita (es decir, no estacionarias), la covarianza no está definida en el origen. El semivariograma sin embargo es siempre idénticamente nulo en el origen. En la práctica, cuando la varianza es grande, C(h) suele tomar valores grandes estando mal definida cerca del origen. El semivariograma por el contrario toma valores pequeños y presenta un mejor comportamiento para los mismos datos. Por estos motivos, es más frecuente trabajar con el semivariograma que con la función de autocovarianza. Normalmente el semivariograma es una función monótona no decreciente, ya que al aumentar h también aumenta, al menos en sentido cuadrático, la diferencia entre Z(x+h) y Z(x) (ver figura 2.2). Si Z es estacionaria, γ alcanza un valor límite constante llamado meseta que coincide con la varianza σ2 de Z.

14


La distancia a la que se alcanza este valor se denomina rango o alcance y marca la zona de influencia en torno a un punto, más allá de la cual la autocorrelación es nula. Aunque γ(0) = 0, con frecuencia el semivariograma es discontinuo en el origen, con un salto finito que se llama pepita, o efecto pepita (del inglés “nugget”). Por último, se define como distancia integral o alcance integral el valor de h en el que las áreas rayadas en la figura 2.2 son iguales. Por tanto es la distancia tal que su producto por la meseta es igual al área existente por encima del semivariograma. La distancia integral suele emplearse para medir el grado de correlación espacial de la variable.

Figura 2. 2 Parámetros del semivariograma

Una tercera función que también caracteriza la estructura de correlación es el correlograma ρ(h) definido como el cociente entre la covarianza C(h) y la varianza:

( ) ( )( )

( )( )

10 0

C h hh

C Cγ

ρ = = −

Ecuación 2.1.11

15


2.1.4 Funciones Aleatorias Intrínsecas

Como se acaba de ver, para una función aleatoria estacionaria de segundo orden existen la varianza y la covarianza. Sin embargo, existen funciones aleatorias y fenómenos físicos reales que muestran una capacidad casi ilimitada de variación. Para estas funciones no están definidas ni la varianza ni la covarianza. El mecanismo Browniano es un ejemplo de fenómeno físico para el que la varianza es infinita y sin embargo el semivariograma es finito (o lo que es lo mismo, la varianza de los incrementos de la variable es finita).

1k kZ Z kε+ = + Ecuación 2.1.12

donde los εk son variables aleatorias independientes con una distribución normal de media cero y varianza igual a uno. De acuerdo con su definición, los valores del proceso en dos puntos k y k+h separados una distancia h se relacionan a través de

11 −+++ ++++= hkkkkhk ZZ εεε L

Ecuación 2.1.13

La varianza de Zk+h viene dada por

( ) ( ) ( )hZVarZVar khk γ2+=+ Ecuación 2.1.14

Puede apreciarse que dicha varianza crece indefinidamente al aumentar h y además depende de k. Por tanto este proceso no tiene una varianza finita. La Figura 2.3 muestra una realización de este tipo de procesos. Puede verse cómo efectivamente el proceso tiene una elevada capacidad de variación. El rango de valores de la variable aumenta con el intervalo de distancias que se considere.

16


Figura 2. 3 Realización de un proceso Wiener-Levy

Si se consideran los incrementos de la variable (Zk+h - Zk ), se puede ver que tienen una media y una varianza independientes de k ya que:

( )1

0k h

k h k ii k

E Z Z E ε+ −

+=

− = =

∑

Ecuación 2.1.15

( )1k h

k h k ii k

Var Z Z Var hε+ −

+=

− = =

∑

Ecuación 2.1. 16

Por tanto el semivariograma de este proceso viene dado por

( ) ( )212 2k h k

hh E Z Zγ + = − =

Ecuación 2.1. 17

17


Acabamos de ver que existen funciones aleatorias cuya varianza no existe y sin embargo sus incrementos [Z(x+h)-Z(x)] tienen una varianza finita. Esta es la motivación para definir el concepto de funciones aleatorias intrínsecas como aquéllas cuyos incrementos [Z(x+h)-Z(x)] tienen esperanza matemática y varianza definidas e independientes de x para todo vector h, es decir:

( ) ( ) ( )E Z x h Z x m h+ − = Ecuación 2.1. 18

( ) ( ) ( )Var Z x h Z x G h+ − = Ecuación 2.1. 19

La función m(h) es la función media que es necesariamente lineal en h ya que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1Z x h h Z x Z x h h Z x h Z x h Z x + + − = + + − + + + − Ecuación 2.1. 20

y tomando la esperanza matemática se tiene:

( ) ( ) ( )1 2 2 1m h h m h m h+ = + Ecuación 2.1. 21

Aunque no es indispensable, es habitual suponer m(h) = 0. Si no fuese así, se definiría la función aleatoria [Z(x) - m(x)]. Con m(h) = 0, (2.3.6) y (2.3.7) pasan a ser:

( ) ( ) 0E Z x h Z x+ − = Ecuación 2.1. 22

( ) ( ){ } ( )22E Z x h Z x hγ+ − =

Ecuación 2.1. 23

Es evidente que una función aleatoria estacionaria de segundo orden es siempre intrínseca.

18


2.1.5 Funciones Aleatorias No Intrínsecas

Cuando una función aleatoria presenta una deriva, es decir, cuando su esperanza matemática no es constante se dice que la función aleatoria no es estacionaria. Si además sus incrementos de primer orden [Z(x+h) - Z(x)] tampoco son estacionarios se dice que dicha función aleatoria no es intrínseca.

Las funciones aleatorias no intrínsecas son aquellas cuya esperanza matemática depende de x:

( ) ( )E Z x m x= Ecuación 2.1.24

es decir, solo depende de x, pero crece con el cuadrado de h. Esta circunstancia es importante a la hora de detectar la existencia de una deriva.

Existen diferentes alternativas para el tratamiento de funciones aleatorias no intrínsecas, tales como:

(a) Suponer que Z(x) es localmente intrínseca. (b) Suponer que la deriva m(x) tiene un comportamiento definido a priori. (c) Suponer que el semivariograma de los residuos es estacionario y

conocido (d) Suponer que la deriva m(x) puede ser aproximada mediante un

polinomio de orden k cuyos coeficientes son determinados mediante mínimos cuadrados.

(e) Generalizar el concepto de funciones aleatorias intrínsecas al caso en que considerando incrementos de orden k>0 se obtiene una función aleatoria estacionaria.

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2.1.6 Estacionariedad y Ergodicidad

En su forma más general, se dice que un proceso es ergódico si se pueden determinar todos sus estadísticos a partir de una sola de sus realizaciones [12]. Esta hipótesis puede relajarse un poco, mediante la definición de conceptos tales como “ergodicidad en la media”, “ergodicidad en la varianza”, etc.

2.2 SEMIVARIOGRAMA

2.2.1. Introducción

En la literatura relacionada con la geoestadística, al proceso de estimación del variograma se le denomina análisis estructural. Mediante el variograma se resume la información que se puede obtener de una variable en un punto, a partir del conocimiento de una serie de valores en las proximidades de dicho punto. Ello permite que el método de Krige, como se verá más adelante, tenga en cuenta la variabilidad espacial de la propiedad o fenómeno objeto de estudio.

Para la estimación del variograma es necesario que se tenga un conocimiento intenso del fenómeno a estudiar, con el fin de precisar los patrones de variabilidad espacial que puedan esperarse y su dependencia con la distancia. La herramienta base para la estimación del variograma es el denominado variograma experimental, constituido a partir de los datos muestrales, el cual debe ajustarse a un modelo adecuado que se integre en la técnica de Krige. Dicho ajuste no se realiza en base a una metodología definida, dejando un margen extenso de maniobra a la experiencia del usuario y a unas decisiones subjetivas del mismo.

20


Conviene destacar que, aunque se hable del variograma, de forma alternativa podría trabajarse con las funciones de correlación o de covarianza. De cualquier forma, el análisis de la continuidad espacial de una serie de datos no es un proceso rápido, en el sentido que es necesario varios intentos y aproximaciones para llegar al resultado final. Cuando no se obtiene una clara descripción de la variabilidad espacial, el análisis de las causas que originan los malos resultados puede dar lugar a una mejor compresión del fenómeno.

2.2.2. Análisis Estructural

El análisis estructural es el proceso de definición del modelo geoestadístico, en el marco de los conceptos definidos en el anteriormente. Así, el análisis estructural implica especificar el tipo de hipótesis que se van a hacer sobre la variabilidad del fenómeno en estudio. Es decir, implica definir si la variable se puede considerar estacionaria, o no; si requiere la definición de una tendencia y, en caso de requerirla, la forma que tendrá dicha tendencia; si es suficiente suponer que la variable es intrínseca, etc. Además de lo anterior, se incluye dentro del análisis estructural la estimación del semivariograma.

2.2.3. Semivariograma Experimental

Como ya se ha apuntado varias veces, el semivariograma se estima en base a los datos y a la estructura del fenómeno. En principio, si solo se dispusiese de los datos, el semivariograma se estimaría directamente a partir de su definición (2.1.4) como:

( ) ( ) ( ) ( )( )

2*

1

12

N h

i ii

h Z x h ZN h

γ=

x ≅ + − ∑

Ecuación 2.2.1

21


Donde γ* es el semivariograma experimental, Z(xi) son los valores experimentales en los puntos xi , en los que se dispone de datos tanto en xi como en xi+ h ; N(h) es el número de pares de puntos separados por una distancia h. Cabe notar que esta definición es consecuencia inmediata de (2.1.8) si se tiene en cuenta que, en términos de valores esperados:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ){ }2 2

1

1 N h

i ii

E Z x h Z x E Z x Z xN h =

+ − = − +

∑ h

Ecuación 2.2.2

Hay que hacer un pequeño análisis: en primer lugar, el número de parejas disminuye al aumentar la distancia h. Si bien esto no tiene porqué ser así siempre, es común que el número de parejas se reduzca a partir de una cierta distancia. Esto hace que para distancias grandes la, estimación del semivariograma sea poco fiable y limita el máximo valor de h para e1 que se puede estimar el semivariograma. A veces se cita como máxima distancia la mitad de la dimensión del dominio. Sin embargo, es frecuente que haya que conformarse con valores mucho menores.

En la práctica, y especialmente cuando se trabaja en dos o tres dimensiones, las distancias entre los puntos de cada pareja son distintos y puede no haber dos parejas de puntos situados a la misina distancia. Por lo tanto, no es posible aplicar con fiabilidad la fórmula (2.2.1).

22


2.2.3.1. Ejemplo del cálculo

Supongamos que tenemos los siguientes datos que están espaciados a una distancia de 5 metros en línea:

8 6 4 3 6 5 7 2 8 9 5 6 3 | | | | | | | | | | | | |

5mts

El cálculo del primer conjunto de datos para la distancia de 5 metros es:

( ) [ ] 625.431416521312212*2

15 222222222222 =+++++++++++=•γ

Esto es tenemos 12 parejas a una distancia de 5 metros de separación.

El cálculo del segundo conjunto de datos pero ahora, para la distancia de 10 metros es:

( ) [ ] 2272.52337131223411*2

110 22222222222 =++++++++++=•γ

En la figura 2.5 se aprecia el variograma experimental que se obtiene del ejercicio anterior.

Variograma Experimental

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5

Conjunto de datos

Vario

gram

a

6

Figura 2. 4 Variograma Experimental

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2.2.4. Semivariogramas Teóricos.

En la sección anterior se definió el semivariograma experimental. En la práctica, lo que se hace es calcularlo y ajustarlo a algún semivariograma teórico. En esta sección se describen las propiedades y requisitos que debe satisfacer el semivariograma y, en particular, las de los modelos teóricos de semivariogramas, que se presentan después.

El calificativo de teórico puede inducir a confusión. Los semivariogramas teóricos no son más que funciones con una expresión analítica sencilla y que, por ello, se emplean frecuentemente para representar semivariogramas reales. Debe indicarse, sin embargo, que en general sus expresiones no se han deducido a partir de ninguna hipótesis especial, ni pretenden representar procesos específicos. En este sentido, los modelos teóricos de semivariograma no son realmente teóricos y este apelativo debe entenderse como acuñado por la práctica y no como un calificativo estricto.

2.2.4.1. Condiciones que debe cumplir el semivariograma

Cuando se habla de modelos de semivariograma, uno se está refiriendo a una serie de funciones de las que se sabe que satisfacen las condiciones anteriores. Estas funciones son las utilizadas en la práctica para ajustar los semivariogramas experimentales, ya que estos últimos pueden no satisfacerlas y son más incómodos para trabajar con ellos. Los más comunes se muestran en la Figura 2.5 y se describen a continuación.

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i. Efecto Pepita Puro. Este modelo es indicativo de un fenómeno sin ninguna autocorrelación espacial. No es común emplearlo solo, sino en combinación con algún otro, por las propiedades que se verán mas adelante. Su ecuación es

( )0 0

0h

hS h

γ=

= >

Ecuación 2.2. 3

ii. Modelo Esférico. Su ecuación está dada por

( )

3

3 2

0

S h h h ah a a

S h

γ

− ≤ =

>

Ecuación 2.2. 4

Sus características, pues, son el alcance a y la meseta S mientras que la pendiente en el origen es igual a 1.5 S/a y la distancia integral λ viene dada por:

3

0

1 3 112 2 1

a h hS dS a a

λ = − + =

∫

52

h a

Ecuación 2.2. 5

25


Figura 2. 5 Semivariogramas teóricos más comunes.

El modelo esférico es uno de los más empleados en la práctica .Se caracteriza porque alcanza la meseta, para una distancia finita (h = a). Es indicativo de fenómenos continuos (o con un conjunto a lo sumo numerable de discontinuidades), aunque no derivables. Es decir, fenómenos cuya representación puede presentar quiebros.

26


iii. Modelo exponencial. Viene dado por

( ) 1hah S eγ

− = −

Ecuación 2.2. 6

Por lo tanto, alcanza su meseta de forma asintótica:

1ha

h

Meseta S e Slim −

→∞

= − =

Ecuación 2.2. 7

iv. Modelo Gaussiano. Viene dado por la expresión:

( )2

21 ehah Sλ

− = −

Ecuación 2.2. 8

También alcanza su meseta asintóticamente

( )h

Meseta h Slim γ→∞

= =

Ecuación 2.2. 9

Como ya hemos repetido varias veces, la validez, en cada caso particular, del método de Krige se fundamenta en que el semivariograma sea correcto, Para ello se requiere un sólido conocimiento del semivariograma y sus partes, de forma que la información subjetiva de la variable a estudiar ayude, o por lo menos establezca cotas, durante el proceso de estimación del semivariograma.

27


2.3 ESTIMACIÓN DEL SEMIVARIOGRAMA TEÓRICO.

2.3.1 Introducción

La estimación del semivariograma plantea serias dificultades ya que requiere estimar momentos de segundo orden de una variable a partir de una sola de sus posibles valores. A continuación se describen brevemente, las características y propiedades de los métodos más comúnmente utilizados en la estimación del semivariograma. Estos métodos pueden clasificarse en cinco grandes grupos:

I. Método de los momentos.

II. Método de los mínimos cuadrados.

III. Ajuste a sentimiento.

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I. METODO DE LOS MOMENTOS

De la misma forma que un estimador insesgado del momento de 2° orden de cualquier variable aleatoria Y puede obtenerse a partir de N observaciones independientes Yi como:

( )[ ] ∑=i

iYN

YE 2*2 1

Ecuación 2.3. 1

se puede adoptar un estimador γ*(h) del semivariograma como (Matheron, 1963):

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑ −=i

ii xZyZhM

h 2*

21γ

Ecuación 2.3. 2

donde M(h) es el número total de parejas tales que yi = xi + h. Este estimador γ*(h) es el llamado semivariograma experimental.

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II. METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

Una forma de ajustar un modelo de semivariograma al semivariograma experimental consiste en utilizar el método de los mínimos cuadrados. El problema que se plantea es el de estimar los parámetros del semivariograma que mejor se ajusta (en términos de error cuadrático medio) al semivariograma experimental. En la formulación de Tough y Leyslion [12] el problema consiste en minimizar la suma ponderada de los errores cuadráticos

( ) ( )[ ]∑=

−cN

iiii hhw

1

2*γγ

Ecuación 2.3. 3

donde Nc es el número de clases en los que se calcula el semivariograma experimental γ*(h) y wi son los pesos asignados a cada valor de γ*(hi), que suelen tomarse inversamente proporcionales a su varianza.

En la formulación de Bastin y Gevers (1985)[13] se minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias entre el modelo de semivariograma adoptado γ (xi - xj) y el semivariograma muestral que se calcula como γ*(xi - xj) =1/2(Zi - Zj)2 para todo i = 1, 2, ... N, j = i+l, ..., N. Aunque sencillo, el método de los mínimos cuadrados ordinarios no tiene en cuenta la posibilidad de que los valores de γ*(xi - xj) estén correlacioriados. El ignorar esta correlación puede conducir a situaciones en las que los parámetros del semivariograma empeoran al aumentar el número de datos. Este problema se puede evitar utilizando mínimos cuadrados generalizados, lo cual requiere conocer e invertir la matriz de covarianza de las diferencias [γ*(xi - xj) - γ (xi - xj)] que en general tiene un tamaño excesivamente grande.

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III. AJUSTE A SENTIMIENTO

El método de los mínimos cuadrados produce un ajuste basado únicamente en el número Ni de parejas sin tener en cuenta ciertos aspectos cualitativos del semivariograma experimental. Por ejemplo, es un hecho bien conocido que es crucial representar adecuadamente el comportamiento del semivariograma cerca del origen. Además, las fluctuaciones de γ*(hi) para valores grandes de h son en cierto modo inherentes al proceso de estimación del semivariograma por lo que no deben preocuparnos demasiado.

El método de ajuste a sentimiento consiste en seleccionar los parámetros del semivariograma teniendo en cuenta una serie de consideraciones de tipo cualitativo tales como:

a) Basta con que el modelo ajustado refleje los principales aspectos del semivariograma experimental. No se deben intentar ajustar los mínimos detalles ya que en general éstos son una característica del verdadero semivariograma ya que en general éstos no son una característica del verdadero semivariograma sino más bien fluctuaciones.

b) El comportamiento de γ*(hi) a grandes distancias junto con el conocimiento de la varianza. s2 determinarán la presencia o no de una meseta S. En caso afirmativo, el valor de s2 servirá de orientación para estimar S.

c) El valor del efecto pepita puede ser obtenido extrapolando los primeros puntos del semivariograma experimental hasta cortar el eje de ordenadas.

31


d) En general el ajuste del modelo γ (h) al semivariograma experimental puede mejorarse considerando modelos compuestos del tipo:

( ) ( )∑=i

i hh γγ

Ecuación 2.3. 4

donde cada una de las componentes γ (h) son modelos básicos (exponencial, esférico, etc.). Este tipo de semivariograma puede presentarse cuando la variabilidad aleatoria de Z responde al efecto combinado de varios mecanismos que actúan a diferentes escalas.

El sentido común y el conocimiento físico del fenómeno o variable que se estudia son esenciales a lo largo de todo el proceso de estimación del semivariograma. En este sentido deben tenerse en cuenta las consideraciones respecto al comportamiento del semivariograma en el entorno del origen y a grandes distancias.

2.3.2 Estimación.

En cualquier trabajo geoestadístico, el principal objetivo del mismo es la caracterización de la variable o fenómeno investigado en todos los puntos que no se tiene conocimiento, partiéndose de la información suministrada por los puntos observados, aquellos donde se conoce el valor exacto de la variable. Por ello, no basta con efectuar una descripción del conjunto de datos; ni es suficiente la realización de un análisis estructural de ellos, describiéndose la estructura de correlación espacial de los valores observados, mediante el variograma. Todo esto constituye una valiosa fuente de información para llegar a la etapa principal de la investigación geoestadística: la estimación.

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Antes de la descripción de los procesos de estimación geoestadística, conviene revisar una serie de consideraciones acerca de la estimación en sí. Existen diversos métodos de estimación, cuyo uso dependerá del tipo de problema que se trate de resolver. Previamente a la elección de un método particular, se debe estar en condiciones de determinar estas cuestiones:

a) La estimación a realizar, ¿será local o global? b) ¿Se desea una estimación puntual o para extensiones mayores, en

bloques?

2.3.3 Métodos de estimación.

En geoestadística, los métodos de estimación que se emplean están basados en combinaciones lineales ponderadas:

∑=

ω=n

1iiiest SS

Ecuación 2.3. 5

siendo S1, S2, ..., Sn, los n datos disponibles, ω1, ω2,..., ωn, los pesos asignados a los datos Si, y Sest el valor estimado.

En base a la expresión 2.3.5, para conocer el valor estimado, Sest, es necesario determinar tanto los valores observados a utilizar, Si, como los pesos que se asignan a cada punto, ωi. La geoestadística es capaz de encontrar los valores óptimos que se asignan a cada peso; una buena comprensión del fenómeno objeto de estudio, así como de la geología del área experimental, permitirán determinar cuáles y cuántos son los datos que deben emplearse.

33


Generalmente, aunque no se requiera en todos los métodos de estimación, los pesos están estandarizados para que su suma sea la unidad.

Las diferentes metodologías de estimación se establecen en función de la forma utilizada para asignar los pesos a los datos observados. Los métodos se basan tanto en criterios estadísticos como en consideraciones racionales, los cuales no tienen que ser incompatibles, sino todo lo contrario, con frecuencia lo que dicta el sentido común es lo mejor desde un punto de vista estadístico.

2.3.3.1 ¿Estimación local o global?

Constituye la primera cuestión a resolver antes de iniciar la selección de uno de los métodos de estimación.

Estimación global es aquella que se realiza en una amplia zona, dentro de la cual conocemos diversos puntos.

Estimación local es la realizada en un área reducida, con pocos puntos (o ninguno), lo cual obliga a seleccionar datos situados fuera de dicha área.

El objetivo de una estimación global suele ser la determinación de algunas características de los datos sobre la totalidad del área de interés, por lo que se realiza en las primeras fases de los trabajos. Un valor global único no satisface cualquier estudio, requiriéndose de forma adicional una serie de estimaciones locales. Por ejemplo, en un trabajo en el cual se investigue la contaminación del suelo, por cualquier compuesto, la estimación de la concentración global no es suficiente para decidir las localizaciones particulares en las cuales las concentraciones están sobre un límite.

34


Conviene también considerar la situación de los datos cuando se realiza una estimación global. Si los datos se tomaron en una red regular o de forma aleatoria, la estimación es fácil. Si existen datos agrupados en regiones concretas, la estimación debe considerar este hecho, asignándole pesos reducidos a esos datos.

Cuando las estimaciones son locales, además del agrupamiento de los datos se debe considerar la distancia al punto a estimar. Las muestras más próximas al punto estimado tendrán unos pesos mayores que las más alejadas.

2.3.3.2 ¿Estimación puntual o en bloque?

Dependiendo del tamaño de la región del área experimental a la cual se asocia la estimación realizada, se distingue entre estimación puntual, cuando la región es un punto, y estimación en bloque, cuando el tamaño es mayor.

El método de estimación que se use dependerá en gran medida del tamaño de lo que se desee estimar.

En los trabajos relacionados con las ciencias de la tierra, el tamaño de las muestras es un factor de gran importancia, ya que existe una relación entre dicho tamaño y la distribución de sus valores. Considérese el siguiente ejemplo: si se determina la riqueza en oro en muestras de roca muy pequeñas, de 1kg, la variabilidad entre datos es mucho mayor que si las muestras son rocas de 500 kg.

35


Cuando el tamaño de las muestras es mayor, la cantidad de datos dentro de las clases mayores tiende a disminuir; lo mismo ocurre con los datos pertenecientes a las clases menores.

En muchos trabajos, el tamaño de las muestras no coincide con el de las estimaciones que se pretenden realizar. Por ejemplo, cuando se trata de estimar la resistencia a la penetración en un suelo, los ensayos se realizan sobre un tamaño de muestra muy reducido. A partir de esas medidas puntuales se deben realizar estimaciones para superficies de terreno más amplias.

Aunque existen diversos procedimientos matemáticos para ajustar una distribución, de tal forma que se reduzca su varianza mientras la media se mantiene inalterada, sin embargo, dependen de suposiciones no verificables.

2.3.4 La Interpolación

Se define la interpolación como el procedimiento para predecir el valor de los atributos en lugares no muestreados, a partir de medidas realizadas en localizaciones puntuales existentes dentro de la misma área o región.

Si la predicción se realiza en un lugar exterior al área abarcada por las observaciones, se tiene una extrapolación.

El objeto de la interpolación es pasar de datos puntuales a dominios continuos, con el fin de realizar comparaciones y observaciones de los patrones espaciales resultantes.

36


Los casos, en los cuales se necesita interpolar, pueden clasificarse en 3 grupos:

1. Cuando se tienen datos observados no abarcan todo el dominio de interés.

Se puede partir de una situación inicial con muchos o pocos datos observados. Un conjunto de datos densos, son habituales cuando se desea crear un modelo de elevación digital (DEM en siglas inglesas), a partir de fotografías aéreas o imágenes de satélite, donde los datos son baratos de conseguir y los atributos se observan directamente. Sin embargo, cuando el costo de adquisición de datos es alto, tanto por los análisis en laboratorio como por los ensayos de campo, la variación espacial de los atributos investigados tienen que ser derivados de forma indirecta.

2. Si se requiere una superficie con un nivel de resolución, un tamaño de celda o una orientación, distinta a la que se posee.

Un ejemplo lo constituye el caso de conversión de imágenes escaneadas, con un tamaño u orientación determinada.

3. Si se desea una superficie representada por un modelo diferente al original.

Por ejemplo, transformación de una superficie matricial (raster) a una vectorial, o viceversa.

2.3.5 Fases en la interpolación.

Cuando se desea conocer los valores de los atributos en los puntos no observados, se procede a la interpolación sobre la zona experimental a través de una serie de etapas. Éstas son:

37


1. Sobre el área experimental debe definirse una retícula, generalmente rectangular, con un espaciamiento concreto entre nodos y con un origen conocido.

2. En la red se estima el valor de cada nodo por selección de los puntos próximos con valores conocidos.

3. Se realiza un filtrado de los valores de los nodos, con el fin de suavizar las líneas de contornos resultantes y permitir un mejor ajuste con los valores originales.

4. El resultado constituirá un mapa y un sistema de información georreferenciado. Los mapas constan de imágenes y/o líneas. Las imágenes son retículas, regulares o irregulares, en las cuales la variación del valor representado se indica por zonas de diferentes colores o gradientes de colores. Las líneas constituyen isolíneas, uniendo valores iguales, perfiles verticales y otros tipos de líneas, como cursos de aguas, carreteras, etc. Las imágenes y líneas suelen combinarse para mejorar las representaciones.

2.3.6 Métodos de interpolación

Aunque son muchos los métodos existentes, pueden encuadrarse en dos grupos:

a) Métodos globales. Consideran todos los datos observados del área; permite interpolar un valor en cualquier punto dentro del dominio de los datos originales. La eliminación de un dato tiene como consecuencia una alteración del dominio de definición de la función empleada.

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b) Métodos locales. Emplean funciones determinadas para ciertas regiones o parcelas del área experimental. Tiene la ventaja, con respecto a los globales, de que la eliminación de un dato sólo afecta a los puntos próximos al mismo. Ejemplos de estos métodos son la triangulación, el inverso de la distancia y el Krige.

2.3.7 ¿Cuántos datos observados se necesitan para estimar localmente?

La respuesta más habitual a la pregunta planteada sería la definición de un área de influencia y emplear todos los puntos que se encuentren en ella. Esa área de influencia es normalmente una elipse centrada en el punto a estimar, con sus ejes principales orientados en las direcciones de máxima y mínima continuidad espacial.

Elegida el área de influencia, elíptica o circular, a continuación se debe seleccionar su tamaño. Éste será función del número mínimo de muestras que se desee englobar. Si los datos se distribuyen regularmente, el área de influencia debe contener como poco una decena de muestras. Si los datos no están regularmente distribuidos, el área debe ser algo mayor que el espaciamiento medio entre muestras.

También se debe limitar el número máximo de muestras a considerar, ya que el uso de muchas muestras incrementa notablemente los cálculos y, a medida que aumenta la distancia al punto a estimar, las asunciones de estacionariedad son más dudosas. Los cálculos a realizar disminuyen si se combinan varias muestras, de las que están muy alejadas, en un solo valor (figura 2.6).

39


Aunque suele recomendarse que el área de influencia tenga un radio inferior al rango del variograma, la experiencia demuestra que si hay pocos puntos observados dentro de ese radio, las estimaciones mejoran sustancialmente cuando se consideran algunas muestras situadas a una distancia mayor que el rango.

Otro problema que suele encontrarse es la presencia de muestras muy cercanas, por lo tanto redundantes. Existen diversas técnicas para reducir esas posibles redundancias, siendo la más habitual la selección por cuadrantes. Consiste en dividir la zona de influencia alrededor del punto donde se realiza la estimación en cuatro cuadrados, todos ellos con un vértice común (coincidente con el propio punto). Definidos los cuadrantes, se decide el número de muestras que debe contener cada uno. Las muestras escogidas serán las más próximas al punto a estimar (figura 2.7).

P

Figura 2. 6 Para la estimación de un atributo en el punto indicado, P, se agrupan los datos observados (circunferencias) situados fuera del cuadrado rojo. Los pesos que se asignen a las agrupaciones de puntos se dividirán en partes iguales

entre todas las muestras que constituyan cada grupo.

40


Figura 2. 7 Uso del método de selección por cuadrantes para evitar las redundancias producidas por las muestras próximas entre sí. Se indica en azul los puntos observados seleccionados cuando se escogen los tres datos más próximos al

punto a estimar (cuadrado negro)

Finalmente, conviene decidir si las muestras seleccionadas para estimar en un punto, después de aplicar todo lo anterior cuando se precise, son o no relevantes. Es una buena práctica revisar la configuración de las muestras a emplear y decidir finalmente, de una forma subjetiva pero con una base racional, cuales se usarán para la estimación. Aunque habitualmente se define una estrategia común para toda la zona experimental, esto no es siempre positivo. Lo que produce buenos resultados en ciertas áreas, con unos datos concretos, puede que no actúe bien en otras, con diferentes datos.

41


La decisión acerca de la selección de datos relevantes para la estimación en un punto es más importante que la elección de un método concreto (figura 2.8).

1215

109

2016

18

23

157914

21

12

P

Figura 2. 8 Puntos observados que se emplearán para estimar en P. En función del objetivo final del trabajo, convendrá o no considerar el punto indicado en rojo, con un valor anormal.

42


2.4 LA ESTIMACIÓN GEOESTADÍSTICA: EL KRIGEADO.

2.4.1 Introducción.

La mayoría de los métodos de interpolación dan lugar a unos resultados semejantes cuando los datos son abundantes. Sin embargo, cuando escasean, las suposiciones que se realizan, sobre la variación del atributo en los lugares observados y la elección del método apropiado, son críticas, si se desea evitar unos resultados pobres.

Los métodos geoestadísticos de interpolación, conocidos como krigeado (kriging en la literatura inglesa), intentan optimizar la interpolación mediante la división de la variación espacial en tres componentes:

a. La variación determinística; diferentes niveles o tendencias que pueden tratarse como información primaria.

b. Las variaciones autocorrelacionadas espacialmente, pero difíciles de explicar físicamente.

c. El ruido no correlacionado.

Las variaciones espaciales correlacionadas se tratan en funciones como el variograma, las cuales muestran la información para optimizar los pesos y elegir unos radios precisos de búsqueda de datos.

Los métodos geoestadísticos muestran una gran flexibilidad para la interpolación, pudiéndose estimar valores puntuales o en volúmenes más grandes que el soporte, así como métodos para incorporar información secundaria. Todos estos métodos dan lugar a unas superficies muy suaves, además de una estimación de la varianza en todos los puntos, lo cual no puede realizarse con otros métodos de interpolación.

43


En contraste con otros interpoladores suaves, los cuales muestran un solo valor local medio, mediante simulaciones condicionales, conocidos el variograma y las observaciones originales, se puede conseguir un conjunto de realizaciones para mostrar el intervalo de valores posibles.

El problema de la estimación de los atributos en los lugares no muestreados, se favorece de forma especial cuando se considera la existencia de un modelo de dependencia espacial. Las variables naturales se distribuyen en el espacio de una forma continua; la suposición común, referente a que los lugares próximos son más parecidos entre sí que al estar más alejados, suele cumplirse en la naturaleza.

El krigeaje, o krigeado, es el nombre genérico utilizado por los usuarios de la geoestadística para denominar a una familia de algoritmos de regresión mediante mínimos cuadrados, en reconocimiento al trabajo pionero de Danie Krige, en 1951.

Todos los estimadores del tipo krigeaje no son sino variantes del estimador lineal básico, definido como:

[ ]∑=

−ω=−n

1iiii

* )x(m)x(Z)x(m)x(Z

Ecuación 2.4. 1

donde ωi son los pesos asignados a los datos z(xi), siendo éstos realizaciones de la variable aleatoria Z(xi). Los valores esperados de las variables aleatorias Z(x) y Z(xi) son m(x) y m(xi) respectivamente.

El número de datos, n, considerado en la estimación, varía de un lugar a otro. En la práctica se emplean los datos existentes en las proximidades del punto a estimar, dentro de un entorno definido al principio.

44


Debido a que tanto los valores desconocidos, z(x), como los datos, z(xi) son realizaciones de las variables aleatorias Z(x) y Z(xi), se puede definir el error de la estimación, , como una variable aleatoria. )x(Z)x(Z −∗

Todos los tipos de modelos de Krige comparten el objetivo de minimizar la varianza del error (o de la estimación), , con la restricción de ser un estimador insesgado, o sea:

)x(2Eσ

[ ] Mínimo)x(Z)x(ZVar)x( *2E →−=σ

Ecuación 2.4. 2

con la restricción,

[ ] 0)x(Z)x(ZE * =− Ecuación 2.4. 3

Las clases de modelos de Krige varían en función del modelo adoptado para la función aleatoria Z(x). Ésta se descompone en una componente residual, R(x), y otra relativa a la tendencia, m(x):

m(x) R(x) Z(x) += Ecuación 2.4. 4

La componente residual se modela como una función aleatoria estacionaria con media nula y covarianza C(h):

[ ] 0)x(RE = Ecuación 2.4. 5

[ ] [ ] )h(C)hx(R)x(RE)hx(R),x(RCov =+⋅=+ Ecuación 2.4. 6

45


Así, se tiene:

[ ] )x(m)x(ZE = Ecuación 2.4. 7

En función del modelo considerado para la tendencia, m(x), se pueden distinguir tres tipos de modelos de Krige:

1). Krige simple. Considera que la media, m(x), es conocida y constante en toda el área experimental: m)x(m =

2). Krige ordinario. Considera las fluctuaciones locales de la media, limitando el dominio de estacionariedad de la misma a un ámbito local:

, pero desconocida. ( ) Constantem x =

3). Krige con un modelo de tendencia (krigeado universal). Considera la media desconocida, pero variando suavemente dentro de cada entorno local y, por tanto, en toda el área de estudio. El modelo de tendencia se modela como una combinación lineal de funciones, fj(x):

∑=

=k

0jjj )x(f)x(a)x(m

Ecuación 2.4. 8

siendo aj(x) constantes pero desconocidas.

Por convención, f0(x) = 1, por lo que cuando j = 0, equivale al Krige ordinario.

46


2.4.2 El modelo de Krige simple.

Considerando la componente m(x) como una media estacionaria, la expresión 2.4.1.1 puede escribirse como una combinación lineal de n+1 datos, los n valores aleatorios Z(xi) y la media, m:

[ ] ∑ ∑∑= ==

ω−+ω=+−ω=

n

1i

n

1iiii

n

1iii

*KS m1)x(Zmm)x(Z)x(Z

Ecuación 2.4. 9

Los n pesos ωi se determinan minimizando la varianza del error bajo la restricción de ser insesgado:

[ ] Mínimo)x(Z)x(ZVar)x( *KS

2E →−=σ

Ecuación 2.4. 10

Si se deben cumplir las condiciones de sesgo nulo y varianza mínima:

1). Estimación insesgada.

[ ] [ ]( ) [ ]

( ) 0mmmm

)x(ZEm)x(ZEm)x(Z)x(ZE

n

1ii

n

1iii

*KS

=−−ω+=

=−−ω+=−

∑

∑

=

=

Ecuación 2.4. 11

47


2). Estimación con varianza mínima.

[ ] [ ]

[ ]

[ ] 2

11 1

*22*

2**2

)()(),()(

)(2)()(

)()(2))(())((

))()(()()()(

σ

ωωω

σ

=−=−

−−−+−=

=−+=

=−=−=

∑∑∑== =

iijiji

i

n

iiiiji

n

i

n

jji

KSKS

KSKSE

xxCyxZxZCovxxCsiendo

xxCxxCxxC

xZxZxZxZE

xZxZExZxZVarx

Ecuación 2.4. 12

La minimización de la varianza de la estimación se consigue igualando a cero las primeras derivadas parciales:

∑

∑

=

=

=−=−⇒

⇒==−−−=∂∂

n

jijij

n

jijij

i

E

nixxCxxC

nixxCxxC

1

1

2

,...,1)()(

,...,10)(2)(2

ω

ωωσ

Ecuación 2.4. 13

El sistema anterior, compuesto por n ecuaciones lineales, se conoce como el sistema de ecuaciones normales o el sistema de Krige simple.

La varianza mínima del error, llamada también varianza del Krige simple, se obtiene sustituyendo la expresión 2.4.1.13 en la 2.4.1.12:

∑=

−ω−σ=σn

1iii

22KS )xx(C)x(

Ecuación 2.4. 14

48


Notación matricial.

El sistema del Krige simple, expresión 2.4.1.13, puede expresarse matricialmente de la forma:

CVK =⋅

Ecuación 2.4. 15

siendo,

−−

−−=

)xx(C...)xx(C

)xx(C...)xx(CK

nn1n

n111

MMM ;

=

n

Vω

ωM

1

;

−

−=

)xx(C

)xx(CC

n

1

M

Ecuación 2.4. 16

Los pesos, requeridos en el estimador, se obtienen por tanto:

CKV 1 ⋅= −

Ecuación 2.4. 17

La formulación matricial de la varianza quedará de la forma:

CKCCV)x( 1t2t22KS ⋅⋅−σ=⋅−σ=σ −

Ecuación 2.4. 18

El sistema de Krige simple tiene una solución única, y la varianza del Krige es positiva, si la matriz de la covarianza, K, es positiva, lo cual se consigue si:

a. Para i ≠ j ⇒ xi ≠ xj b. El modelo de covarianza, C(h), es permisible.

49


2.4.3 El Krige ordinario.

En la práctica, la media no es una constante en toda la zona de estudio, sino que varía localmente y, además, no se conoce.

El estimador lineal es una combinación lineal de las n variables aleatorias, Z(xi), más la media local constante, m(x):

)x(m1)x(Z)x(Zn

1ii

n

1iii

*KO

ω−+ω= ∑∑

==

Ecuación 2.4. 19

Los n pesos ωi deben determinarse minimizando la varianza del error, con la restricción de ser una estimación insesgada.

Cumpliéndose las condiciones de sesgo nulo y mínima varianza:


[ ] ∑∑==

=ω⇒=−ω=−n

1ii

n

1ii

*KO 10)x(m)x(m)x(Z)x(ZE

Ecuación 2.4. 20

50



La minimización de la varianza, con la condición de sesgo nulo anterior, requiere la definición de la Lagrangiano, consistente en una función de los pesos, ωi , y un parámetro de Lagrange, µ.

Si se intenta realizar la minimización de σ , sería muy dificultoso, ya que las n primeras derivadas parciales generarían n ecuaciones con n incognitas; la condición de sesgo nulo añadiría otra ecuación sin introducir más incógnitas, dando lugar a un sistema de n+1 ecuaciones y sólo n incógnitas, de muy difícil solución.

2E

Para evitar ese problema, se introduce otra incógnita, el parámetro de Lagrange, µ. Así, la expresión 2.4.1.10 quedaría:

−ωµ+−ω−σ+−ωω=σ ∑∑∑∑

=== =

12)xx(C2)xx(C)x(n

1iii

n

1ii

2ji

n

1i

n

1jji

2E

Ecuación 2.4. 21

teniendo en cuenta que:

012n

1ii =

−ωµ ∑

=

Ecuación 2.4. 22

Ahora se puede proceder a minimizar la varianza de la estimación:

∑=

==µ+−−−ω=ω∂σ∂ n

1jijij

i

2E n,...,1i02)xx(C2)xx(C2

Ecuación 2.4. 23

51


o sea,

∑=

=−=+−n

jijij nixxCxxC

1,...,1)()( µω

Ecuación 2.4. 24

Las n ecuaciones anteriores forman el sistema del Krige ordinario, junto a

. ∑=

=ωn

1ii 1

La varianza mínima del error, o varianza del Krige ordinario, se obtiene sustituyendo las ecuaciones anteriores en la expresión 2.4.21:

µ−−ω−σ=σ ∑=

n

1iii

22KO )xx(C)x(

Ecuación 2.4. 25

Si se expresa en función del variograma, considerando la relación , el sistema del Krige ordinario queda de la forma: ( ) ( ) ( )0C h C hγ= −

∑

∑

=

=

=

=−=−−

n

ii

n

jijij nixxxx

1

1

1

,...,1)()(

ω

γµγω

Ecuación 2.4. 26

52


siendo γ(xi-xj) la semivarianza para la distancia entre xi y xj, y γ(xi-x) la semivarianza para la distancia entre xi y el punto estimado x.

Anteriormente, el sistema de Krige simple no pudo expresarse en función del variograma, ya que no tiene una restricción como en este caso.

La varianza de la estimación, en función del variograma, será:

∑=

−γω+µ=σn

1iii

2KO )xx()x(

Ecuación 2.4. 27

Notación matricial.

El sistema del Krige ordinario puede expresarse matricialmente:

CVK =⋅

Ecuación 2.4. 28

siendo,

−−

−−

=

0111)xx(C)xx(C

1)xx(C...)xx(C

Knn1n

n111

L

L

MMMM ;

µω

ω

=n

1

VM ;

−

−

=

1)xx(C

)xx(C

Cn

1

M

Ecuación 2.4. 29

53


Los pesos se obtendrán:

CKV ⋅= −1

Ecuación 2.4. 30

La formulación matricial de la varianza será:

CV)x( 22KO ⋅−σ=σ

Ecuación 2.4. 31

En función de la semivarianza, el sistema del Krige ordinario se expresa:

BVA =⋅

Ecuación 2.4. 32

siendo,

−γ−γ

−γ−γ

=

0111)xx()xx(

1)xx(...)xx(

Ann1n

n111

L

L

MMMM ;

−

−

=

1)(

)( 1

xx

xx

Bnγ

γM

Ecuación 2.4. 33

Por tanto, los pesos se obtienen:

BAV 1 ⋅= −

Ecuación 2.4. 34

54


La varianza del Krige ordinario se expresa:

BV)x(2KO ⋅=σ

Ecuación 2.4. 35

2.4.4 El Krige con un modelo de tendencia. El Krige universal.

En algunas ocasiones, la consideración de la media local como constante, incluso en áreas pequeñas, es muy inapropiada, como se asume en el Krige ordinario. En el Krige con una tendencia se modela la variación local de la media como una función de las coordenadas:

∑=

=k

0jjj )x(f)x(a)x(m

Ecuación 2.4. 36

siendo aj(x) desconocidas pero constantes localmente, y fj(x) funciones conocidas.

El estimador lineal puede expresarse como:

∑ ∑∑

∑ ∑∑

= ==

= ==

ω−+ω=

=

−ω+=

n

1i

n

1iijij

k

0jjii

k

0j

k

0jijji

n

1iijj

*KU

)x(f)x(f)x(a)x(Z

)x(f)x(a)x(Z)x(f)x(a)x(Z

Ecuación 2.4. 37

55


Con la restricción,

k ..., 1, 0, j ,)()(1

==∑=

n

iijij xfxf ω

Ecuación 2.4. 38

desaparecen los k+1 coeficientes aj(x).

Así, el estimador queda como una combinación lineal de las n variables aleatorias, Z(xi):

∑=

ω=n

1iii

*KU )x(Z)x(Z

Ecuación 2.4. 39

con la restricción anterior.

Imponiéndose las condiciones de sesgo nulo y mínima varianza:


[ ]

0)()()(

)()()()()()()()(

0 1

1 001

*

=

−=

=−=−=−

∑ ∑

∑ ∑∑∑

= =

= ===

k

jj

n

iijij

n

i

k

jjj

k

jijji

n

iiiKU

xfxfxa

xfxaxfxaxmxmxZxZE

ω

ωω

Ecuación 2.4. 40

por la restricción impuesta.

56



Al igual que en el Krige ordinario, se requiere emplear la Lagrangiana. El procedimiento es similar, salvo que ahora se necesitan k+1 parámetros de Lagrange para las k+1 restricciones sobre los pesos.

Con las n+k+1 primeras derivadas parciales igualadas a 0, se consigue el sistema de n+k+1 ecuaciones lineales:

kjxfxf

nixxCxfxxC

j

n

kkjk

n

kk

i

k

jijj

n

kkik

,...,1;)()(

1

,...,1;)()()(

1

1

01

==

=

=−=+−

∑

∑

∑∑

=

=

==

ω

ω

µω

Ecuación 2.4. 41

La varianza mínima del error se obtiene como:

∑∑==

µ−−ω−σ=σk

0jji

n

1iii

22KU )x(f)xx(C)x(

Ecuación 2.4. 42

Para j = 0, el sistema es igual al del Krige ordinario.

57


2.4.5 Validación cruzada.

Antes de proceder a utilizar algún método de Krige para estimar en toda el área experimental, se recomienda que diversas estrategias sean probadas en una sub-región.

Las técnicas de la validación cruzada ayudan a evaluar la influencia de diferentes parámetros sobre las estimaciones resultantes, optimizando el número de puntos observados que intervienen en la interpolación y comprobando la validez de las asunciones realizadas (sobre la estacionariedad, el ajuste de un modelo teórico determinado para el variograma, etc.).

Previamente a la enumeración de las técnicas que se pueden elegir para la validación cruzada, conviene dejar claro que el número adecuado de datos observados que genera la mejor validación no tiene porqué producir las mejores estimaciones en los puntos estimados.

A continuación, con independencia del método seleccionado, se utiliza un índice para evaluar los resultados del Krige:

a) Uso de la estadística descriptiva.

Comparación entre los estadísticos de la base de datos de valores medidos y estimados. A medida que sean más parecidos, las estimaciones serán más precisas.

58


b) Error medio, EM:

( )∑=

−=n

1ii

*i )x(Z)x(Z

n1EM

Ecuación 2.4. 43

Las mejores estimaciones son aquellas que hacen que EM tienda a 0.

Cuando EMC tiende a 0, las estimaciones son más precisas.

c) Varianza reducida, VR:

∑=

σ−

=n

1i

2

iK

i*

i

)x()x(Z)x(Z

n1VR

Ecuación 2.4. 44

Las mejores estimaciones se consiguen cuando VR tiende a 1.

59


2.4.6 Propiedades generales del modelo de Krige.

Conviene considerar que las características del Krige son muy deseables desde el punto de vista de la estimación, lo cual hace que estos estimadores sean superiores a otros.

Los rasgos fundamentales son:

a) El krigeado es un estimador BLUE:

2Error minimo: minimoEB Best σ→ ≡ →

*Estimacion lineal: i iL Linear Z Zω→ ≡ =∑

( ) ( )*U Unbiased Insesgado E Z E Z→ ≡ =

E Estimado→

Sin embargo, conviene matizar que la minimización del error se realiza suponiendo que se conoce el variograma con exactitud. La estimación del variograma es un proceso difícil y no cuantificable, o sea, los variogramas no se conocen exactamente. Por tanto, que el Krige es un BLUE requiere esta matización.

Además, si se supone que el variograma es conocido con exactitud, puede que otros métodos de estimación, no lineales, muestren unos errores de estimación menores. El único caso, en el cual el Krige da lugar a la mejor estimación absoluta, es aquel donde la función aleatoria tiene una distribución normal.

b) El Krige es un estimador exacto. Es decir: , para todos los puntos observados. La varianza del Krige en esos puntos es nula: , o sea, la incertidumbre es nula.

)x(Z)x(Z* =0)x(2

K =σ

60


Esta propiedad es altamente deseable y suele emplearse como argumento a favor del Krige sobre alternativas como el ajuste polinómico mediante mínimos cuadrados.

c) Las ecuaciones del Krige, por tanto los pesos, ωi, no dependen de los valores medidos de las variables, sino de sus posiciones y del variograma.

Esto es interesante para algunas aplicaciones prácticas. Particularmente, la varianza del error de la estimación sólo depende del variograma y de los pesos, solución de la ecuaciones de Krige, por tanto, independientes de los valores medidos.

El hecho de poder calcularse la varianza antes de realizar las mediciones, es una propiedad muy útil para el diseño de redes de observación.

2.4.7 Entorno y puntos observados para la estimación de vecindarios.

En todo proceso de estimación local debe decidirse con antelación la manera de seleccionar los datos observados que den lugar a unos resultados óptimos, sin tener que disponer de toda la base de datos para la estimación en cada uno de los puntos del área experimental.

Aplicándose al caso del Krige, puede procederse de diversas maneras, fijando una serie de parámetros. Éstos son:

61


1) Tamaño del entorno alrededor del punto a estimar vecindario.

Teóricamente, el tamaño del entorno que se emplee para la interpolación puede ser tan grande como toda el área experimental. Pero esto no tiene mucho sentido en la mayor parte de los casos, ya que los puntos observados situados lejos del punto a estimar aportan una información muy escasa. El Krige es un estimador eminentemente local.

En principio, una buena guía para la determinación del tamaño del entorno es el rango del variograma. Se podría decir que una dimensión mayor al rango no es adecuada, ya que los puntos estarían demasiados alejados como para tener una dependencia espacial entre los mismos.

2) Número mínimo de puntos observados a considerar en la estimación del vecindario.

Debe considerarse dos cuestiones opuestas. La interpolación, para que sea adecuada, debe basarse en una cantidad suficiente de puntos, recomendándose un número mayor de 10. Sin embargo, si se toma un número muy escaso de puntos, el entorno del área alrededor del punto a estimar puede reducirse considerablemente, llegando incluso a ser menor que el área real de muestreo. Ello conlleva una aceptación de interpolaciones con sólo 2 o 3 puntos.

3) Número máximo de puntos observados a considerar en la estimación.

Se podría considerar un número tan alto de puntos observados que, la adición de otro dato, no cambia la estimación. O sea, los pesos serían tan pequeños que podrían eliminarse dichos puntos. Esto suele ocurrir cuando el número de puntos observados es de 20-25.

62


En la práctica, existen 3 aproximaciones alternativas:

a) Se fija el tamaño del entorno y se usan todos los puntos observados que englobe.

b) Se fija el número de puntos observados y se permita que el entorno varíe. c) Se fijan los tres parámetros.

63


CCAAPPIITTUULLOO 33

MMEETTOODDOOLLOOGGÍÍAA

3.1 INTRODUCCIÓN:

En el departamento de Ingeniería en Telecomunicaciones de la Sección de Graduados e Investigación de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica del IPN, se inició un estudio sobre la atenuación de las microondas causada por la lluvia.

A partir de información proporcionada por el Servicio Meteorológico Nacional (SMN), de donde obtuvieron datos sobre las precipitaciones pluviales de veinte años a la fecha, se seleccionó la información correspondiente a ciudades con diferente precipitación pluvial: Coatzacoalcos, Veracruz donde existe una alta precipitación, la ciudad de México con precipitación media y, Hermosillo, Sonora, con lluvias escasas.

Al comparar estos datos contra los informes estadounidenses que actualmente se emplean para nuestro país, se observó que los niveles de lluvia empleados en los modelos que se usan para predecir atenuación por lluvia son diferentes a los reales.

Apoyado por la Secretaría de Comunicaciones y Transportes y por un convenio con la compañía norteamericana Laboratorios COMSAT, el equipo científico del IPN, instaló en el mes de septiembre de 1998, en Villahermosa, Tabasco, una estación receptora. Ésta cuenta con una antena dirigida a un satélite experimental puesto en órbita en 1993 por la Administración Nacional de Aeronáutica y el Espacio (NASA), la cual recibe señales estables que alimentan a un sistema de medición y que a su vez envía información a una computadora. La estación proporciona datos sobre cuánto llueve y cuál es el tamaño de las gotas. Estas referencias permiten correlacionar los niveles reales

64


de lluvia con los niveles de energía electromagnética recibidas desde el satélite.

La precipitación pluvial es una variable aleatoria. Dado que el comportamiento que se desea modelar de este fenómeno depende de la distribución geográfica de los observatorios, se considera que los datos son variables aleatorias regionalizadas, por lo tanto la técnica más adecuada para el modelado es la técnica de Krige.

65


3.2 PASOS DE LA METODOLOGÍA

La metodología se puede enumerar las siguientes etapas:

1) Análisis exploratorio de los datos.

2) Cálculo del variograma experimental y ajuste de un modelo teórico al

mismo.

3) Realización de la estimación y cálculo de la varianza del error y escoger

el que tenga la menor media y varianza mínima.

4) Dibujo de isolíneas de la variable o atributo.

5) Dibujo de isolíneas de la incertidumbre (por ejemplo, la desviación

típica).

3.3 METODOLOGÍA APLICADA AL MES DE ENERO. Esta metodología se aplicó en principio para el mes de enero que es la que se muestra a continuación y después se aplicó a los meses restantes.

El observatorio, nos proporcionó datos diarios de 1961 a 1985. Esta información nos fue proporcionada en hojas (Figura 3.1), las cuales son el formato de captura general para todos los observatorios de México.

En el formato de captura se encuentra información diaria, así como los promedios mensuales de los siguientes parámetros: temperatura observada, temperatura mínima, temperatura máxima, evaporación, tormenta eléctrica, granizo, cobertura del cielo, nublado y precipitación pluvial

66


Figura 3. 1 Hoja de Observatorio

Teniendo la información en esta forma, no era posible analizarla con facilidad por lo que fue necesario sistematizarla. Para tal efecto se utilizó la hoja de cálculo de Excel.

Durante este proceso se encontró una base de datos llamada ERIC “Extractor Rápido de Información Climatológica”por sus siglas, creado por el Instituto Mexicano de Tecnología del Agua “IMTA”, la cual almacena datos históricos de 8320 observatorios distribuidos en todo el país. Gracias a esta base de datos, sólo fue necesario constatar la veracidad de los datos en ERIC contra la información en las hojas de captura, encontrándose pequeñas diferencias en ERIC, que suponemos son errores de captura.

Una vez que se terminó la comparación se procedió a obtener los promedios mensuales de cada año. Hay que recordar que la información que se tiene son datos diarios de 1961 a 1985, para lo cual se desarrolló un programa en Excel Anexo A.

Una vez que se depuraron los datos se hizo un estudio con los modelos ARIMA (Modelos autorregresivos y de medias móviles) [14].

67


Al término de este estudio y dado que ya se tenía una base de datos fidedigna, (ERIC), se emprendió la búsqueda de alguna técnica que permitiera modelar el comportamiento de la lluvia, (generación de mapas pluviales), encontrándose el modelo de Krige. Este modelo permite generar áreas geográficas continuas a partir de estimaciones puntuales, entendiéndose para esta investigación, como dato puntual al promedio mensual acumulado de lluvia en cada observatorio. Para presentar la información en la forma requerida por este modelo y dado que la lluvia es un fenómeno cíclico, el estudio se planteó de la siguiente forma:

a) Los observatorios elegidos están distribuidos aleatoriamente (información puntual) dentro de una región (Tabasco) y

b) de los datos históricos diarios, por observatorio, se calcularon los

promedios mensuales y después se agruparon en doce series, una para cada uno de los meses. Para cada serie mensual, se calculó el promedio sobre el número de años, obteniéndose un dato representativo de cada mes.

LOCALIZACIÓN DE LOS OBSERVATORIOS

El estado cuenta con 84 observatorios distribuidos aleatoriamente como se puede observar en la Figura 3.2.

La base de datos ERIC no sólo proporciona datos climatológicos, también proporciona el nombre de los observatorios y su localización geográfica (longitud y latitud), como se aprecia en el anexo B. De la base de datos se extrajeron los observatorios del estado de Tabasco. El primer paso fue verificar que los observatorios realmente pertenecieran al estado, para esto se utilizó un software llamado MapPonit, desarrollado por Microsoft, el mapa que se obtuvo es el de la siguiente figura 3.2:

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Figura 3. 2 Localización de los Observatorios en Tabasco

Como se puede apreciar en la Figura 3.2 todos los observatorios pertenecen al estado.

TRATAMIENTO DE LOS DATOS HISTÓRICOS.

a) Limpieza de los datos

Con la ayuda de ERIC se extrajeron los datos históricos de precipitación diaria desde 1961 a 1988 para los 84 observatorios pertenecientes al estado de Tabasco. Cabe mencionar que sólo se hizo la extracción de la información para este período debido a que no existen mas datos históricos ya que el estado de Tabasco no ha proporcionado mayor información: Otro punto importante que hay que tomar en cuenta es que ERIC proporciona esta información en archivos planos de texto como se puede apreciar en la siguiente Figura 3.3.

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Figura 3. 3 Archivo de texto.

En el anexo B, se puede consultar la información necesaria para poder conocer las claves de los observatorios; en la figura 3.3, que corresponde a un archivo plano de texto, el valor correspondiente a la clave 27001 significa que corresponde al observatorio Balancan de Domínguez, que se encuentra a 17° 80” de latitud y a 92° 53” de longitud, y los datos corresponden al año de 1961, donde los números de la izquierda representan los días del mes y los datos, el acumulado diario.

También se puede observar que existe un valor (NO_D), que significa ausencia de información, este dato genera un error al momento de importar estos archivos a Excel, debido a que desacomoda los datos. Para poder reacomodar la información fue necesario hacerlo manualmente ya que no se puede hacer un programa computacional para tal efecto, debido a que es necesario revisar número por número.

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Al final de este proceso se descartaron 9 de los 84 observatorios debido a que tienen muy poca información (menos de un año). De los 75 observatorios restantes, el número de datos históricos varía, pero en su gran mayoría tienen por lo menos 10 años de información.

CÁLCULO DE PROMEDIOS MENSUALES

Una vez depurados los datos se procedió al cálculo de los promedios mensuales. Para este proceso se ocupó nuevamente el programa utilizado en la primera etapa (anexo A), y los resultados se muestran a continuación en la Tabla 3.1 de solo dos observatorios.

AÑO OBSERVATORIO 1. Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

1961 183.4 79 26.5 115 185 257 224.4 239.5 113 301.3 55 73

1962 175 13.5 64 310 145 228 73.5 259 248 249 81 16

1963 93.1 77 74.5 44 90 57.5 275 324 643.4 159.4 107.6 99.5

1964 82 21.5 27 66.2 118.5 331.5 75 181.5 168.5 162.7 122.3

1965 51.9 19.4 10.9 98 9.7 401.3 176.8 216.3 252 386.3 177.1 112.2

1966 152.3 19.8 142 26.4 134.4 765 336 336.5 445.5 404 107 71.5

1967 197 106.5 58.5 77.5 112 394.5 105.1 77.5 528 388.5 83.5 39

1968 110.5 116.5 78 28 172 479 150.5 164 166.5 333 137.5

1969 239.6 80.5 25.5 202 132 122.1 396.5 190 143.5 52.5

1970 64.5 22 14.5 101 64.5 329.5 325.5 268 386 225.5 152 79.2

1971 64 3.5 86.6 23.5 1.5 365.5 317 386 286.5 130 134 164.5

1972 126.5 75.5 0 137 60.6 407.7 464.5

1973 359.5 455 238 339

1974 44.5 134.5 133.5 121 302.5 83.5 284 266.4 314.2 66.1 51.5

1975 76.7 76.5 45 0 185.7 194.5 535.5 724.5 1328 363 120

1976 146.5 140 5 60 439 149.5 416.5 224.5 148.5 435.6 432

1977 102.5 197

Promedio 119.4 73.48 50.9286 83.04 137.314 316.607 223.921 281.521 354.48667 330.947 171.9357 112.1929

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AÑO OBSERVATORIO 2

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

1969 218.8 430.8 411.5

1970 124.2 18.6 13.4 33.2 54.9 375.8 250 220.2 295.9 485.2 124 31.9

1971 91.2 12.2 129.5 7.4 16.3 72.8 224.8 307.7 205.7 199.3 169.4 91.9

1972 270.1 75.9 0 23 0 403.9 198.9 170.1 121.8 134.3 362 202.1

1973 97.9 39.5 0 51.7 97.5 138 105.8 438.5 243.2 471.1 79.4 159.8

1974 100.8 186.2 0 27.9 127.2 340.9 53.3 76.5 483.8 310 219.9 34.9

1975 104.4 220.8 3 0 65.9 186.5 70.3 80.2 284 505.8 338.8

1976 121.9 111.9 10 102.7 47.2 185.3 126.2 249.9 85.9 400 474.7 267.4

1977 102.3 121.5 10.2 29.4 0 126.2 204.9 131.2 206.9 180.8 178.5 133

1978 74.5 148.3 120.3 2.7 84 164.6 391 138.3 261.6 370.9 308.9 117.2

1979 103.4 46.1 56.6 36.5 189.9 280.6 134.9 185.2 194.9

1980 74.1 100.1 54 18.5 234.6 107.7 86.4 377.9 320.5 260.4 192.1

1981 60.4 92.2 4.5 22.8 12.3 299.4 151.7 246.3 401.5 399.2 75.2 95.9

1982 65.7 133.2 26 36.5 77.8 207.6 214.7 103.6 96.1 165.5

1983 166.6 34.1 149.5 20.2 31 103.8 151.2 143.6 65.9 239.3

Promedio 111.3 95.76 40.2308 32 58.75 224.031 173.14 190.315 249.90769 331.654 238.3692 148.1462

Tabla 3. 1 Promedio mensual acumulado por año por observatorio.

En la tabla 3.1 se muestran los promedios mensuales por año y al final se proporciona el promedio de todos los años por mes.

El concentrado final de todos los promedios mensuales por observatorio, se presentan en la Tabla 3.2.

Observatorio Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

1 119.38 73.48 50.93 83.04 137.31 316.61 223.92 281.52 354.49 330.95 171.94 112.19

2 111.25 95.76 40.23 32.00 58.75 224.03 173.14 190.32 249.91 331.65 238.37 148.15

3 157.11 77.79 44.67 38.29 75.46 242.09 170.02 251.57 333.19 367.71 244.28 139.58

4 116.78 99.86 74.79 85.10 142.81 277.43 244.64 275.03 420.98 295.64 168.94 159.14

6 85.31 73.75 50.22 44.80 98.68 312.75 228.55 250.44 348.85 283.21 182.78 119.51

7 153.38 90.41 48.27 57.98 66.51 239.19 187.77 248.51 331.54 377.29 203.70 167.71

8 141.13 89.69 54.51 45.38 70.82 227.26 157.78 227.02 329.26 340.86 166.94 129.26

9 161.76 117.71 44.16 48.37 62.66 219.90 132.11 163.72 311.71 366.39 200.19 142.14

10 122.13 100.16 48.49 44.04 79.99 218.73 138.50 215.27 292.36 299.46 201.13 158.94

11 230.11 158.68 120.52 106.25 138.94 327.34 296.05 361.35 471.38 429.67 279.53 249.80

12 100.65 94.69 46.22 50.31 112.82 280.33 239.91 277.06 366.18 333.46 198.47 153.57

13 187.12 85.00 45.53 50.39 71.27 217.76 137.80 202.89 305.39 344.14 185.48 129.71

14 114.95 84.30 36.47 43.04 55.79 229.36 151.56 203.14 254.94 279.81 197.19 92.50

15 136.91 95.50 75.74 45.08 102.64 320.42 245.95 338.68 402.23 359.11 210.24 159.19

16 110.89 55.74 30.22 34.11 33.64 176.33 179.34 166.56 279.96 280.52 181.18 131.68

72


17 151.83 81.61 69.67 55.97 64.91 266.43 234.25 310.48 332.82 343.92 168.84 128.11

18 133.16 68.01 54.97 46.24 67.98 223.68 215.81 297.44 315.81 307.85 118.79 84.84

19 153.77 148.78 88.18 80.38 121.63 283.61 179.77 295.26 388.56 435.43 278.17 212.82

20 136.99 102.70 47.57 46.41 72.67 168.32 147.65 171.55 256.45 307.21 160.97 140.46

21 65.05 83.45 54.73 38.33 92.82 281.85 200.19 282.10 321.77 270.48 184.18 137.78

22 192.67 169.04 123.67 88.15 125.82 322.95 252.32 361.09 502.75 456.23 285.51 235.69

23 113.60 39.90 65.75 27.33 73.30 408.53 386.65 500.87 678.75 386.30 162.53 102.05

24 142.86 164.93 87.23 77.79 97.23 287.94 227.75 339.57 371.73 385.02 279.11 213.82

25 122.45 36.35 156.50 62.50 116.95 234.65 252.67 417.93 308.15 200.63 248.97 43.25

26 182.98 85.48 49.77 48.49 68.63 267.71 207.22 301.32 328.95 449.71 242.20 207.85

27 205.94 187.88 110.54 100.93 127.44 318.47 258.27 392.03 450.81 462.58 322.72 236.78

28 107.37 89.33 62.55 55.61 74.51 219.43 207.73 259.72 325.04 320.96 181.52 136.88

29 128.06 94.70 48.89 39.84 64.36 211.20 159.28 225.98 260.59 322.78 176.78 139.30

30 158.07 112.89 79.00 72.38 114.11 290.12 210.60 264.11 379.77 344.83 205.55 167.43

31 160.45 116.77 87.75 84.35 108.19 289.65 206.80 260.26 342.22 359.73 241.89 157.96

32 203.59 124.08 90.91 73.78 106.31 308.58 312.46 375.09 403.82 411.48 224.87 202.70

33 172.35 88.36 53.32 49.97 83.84 295.58 239.42 296.91 343.72 380.81 194.16 153.82

34 154.04 113.80 53.32 39.63 65.97 150.86 128.46 147.10 269.24 339.91 169.10 156.90

35 137.48 99.49 62.19 45.08 97.04 268.44 255.08 317.25 366.39 341.50 182.56 150.53

36 118.32 117.03 60.48 47.12 108.68 256.72 167.91 223.29 317.00 360.66 179.45 150.42

37 149.93 90.98 60.80 42.10 92.68 239.33 172.84 248.74 335.48 295.56 166.31 130.22

38 139.55 133.96 60.81 39.61 72.71 218.40 153.99 213.52 286.56 332.30 246.12 173.39

39 136.44 75.15 54.85 40.17 78.01 209.70 176.03 214.10 329.79 315.10 159.17 123.61

40 63.20 48.48 38.12 40.54 95.77 213.72 167.87 186.50 284.90 200.77 122.87 76.30

41 147.21 93.29 68.63 35.26 100.05 218.43 183.91 249.57 323.80 326.03 207.96 104.35

42 257.56 215.42 143.08 157.60 212.19 353.60 274.90 377.59 552.21 512.71 309.64 256.45

43 272.64 104.29 150.00 135.93 108.11 338.27 322.57 394.26 409.04 481.60 194.95 241.25

44 284.53 217.76 124.57 115.23 158.31 363.88 311.08 419.33 593.04 481.70 323.12 307.86

45 299.57 250.56 157.03 128.86 173.69 367.86 337.80 448.02 599.87 479.98 339.89 311.59

46 107.97 96.63 70.03 67.97 143.68 268.16 204.95 232.83 392.27 291.51 156.30 150.65

47 105.06 69.37 47.13 58.35 115.47 239.27 211.36 237.81 331.36 277.96 141.53 117.84

48 133.01 123.66 96.72 67.46 130.98 261.21 179.90 261.76 400.11 344.52 179.35 179.01

49 103.51 130.20 67.14 51.98 80.46 273.08 155.50 230.06 264.35 341.41 194.99 121.82

50 123.18 85.89 36.63 37.76 67.47 185.16 152.33 195.70 281.98 301.54 165.16 124.90

51 152.05 118.49 44.15 37.43 84.92 239.49 159.08 230.98 343.47 341.86 215.53 135.52

52 189.50 74.90 56.09 54.13 55.72 130.04 101.48 156.34 288.28 433.86 171.86 179.29

53 135.37 86.90 50.48 50.67 68.42 180.03 146.90 169.94 306.52 324.50 183.28 162.32

54 134.74 85.22 52.46 47.30 87.11 211.80 166.50 216.80 344.12 319.10 160.28 145.65

55 297.38 183.25 115.79 83.50 92.04 237.86 269.38 298.96 355.27 360.31 183.27 158.38

56 88.72 87.23 46.75 52.04 139.11 278.07 211.10 235.72 314.48 313.48 167.23 109.42

57 156.83 81.43 58.17 60.71 40.79 129.13 97.00 162.53 298.18 406.23 147.10 184.54

59 53.18 70.43 41.26 35.88 104.39 224.38 168.33 278.70 271.98 203.85 159.22 85.93

60 105.23 118.60 42.17 45.60 105.92 233.73 177.25 198.89 313.80 353.23 184.86 155.93

61 225.79 298.07 140.95 133.15 129.04 398.11 288.73 447.13 587.07 494.58 429.30 357.18

63 63.23 93.63 56.72 41.41 113.13 242.17 155.97 226.93 324.99 213.46 141.63 122.42

64 54.70 52.70 70.15 134.30 180.95 208.60 455.60 420.30 256.70 157.40 76.20

65 121.82 143.56 55.13 46.74 97.14 297.66 190.95 249.28 399.48 362.64 236.30 120.86

66 268.14 303.61 166.73 92.13 153.20 398.36 279.26 414.78 642.48 566.71 490.78 391.49

73


69 94.02 72.90 37.50 43.15 70.77 197.34 167.37 196.37 293.30 290.09 154.37 149.99

70 232.63 232.17 144.08 113.22 211.15 410.91 267.99 327.62 530.76 559.89 336.09 283.93

73 89.58 114.50 83.30 38.27 120.00 223.30 141.90 150.47 295.93 252.13 181.40 144.33

74 99.17 118.87 80.90 33.07 131.13 257.37 216.17 167.37 333.27 254.80 168.70 180.30

75 59.83 143.83 39.17 12.23 45.03 141.63 230.93 222.63 357.20 282.80 157.50 121.33

76 104.85 134.60 70.63 25.67 132.20 219.90 176.40 164.55 306.37 220.90 152.27 75.33

77 110.78 127.70 59.73 37.57 132.90 259.40 134.20 179.63 352.43 293.40 212.45 143.25

78 105.98 141.42 64.44 53.10 92.42 149.64 128.04 150.32 415.64 286.30 165.75 129.16

79 111.45 129.48 84.30 42.27 157.47 218.80 190.47 192.43 352.67 253.57 196.45 186.40

80 105.43 126.03 67.13 29.27 125.57 243.83 149.33 188.90 378.23 225.50 187.40 146.55

81 72.27 112.83 24.57 22.07 18.50 202.03 143.23 194.68 219.75 236.74 236.42 158.73

85 42.55 50.05 14.55 40.00 27.40 242.10 230.80 179.90 339.63 312.20 380.60 218.10

Tabla 3. 2 Promedio mensual acumulado de todos los observatorios.

METODOLOGÍA DE KRIGE. En una primera etapa se aplica la metodología para el mes de Enero, y después se repite para los meses restantes.

1.- ANÁLISIS EXPLORATORIO DE LOS DATOS.

El primer paso es hacer un análisis de la precipitación por mes, para analizar su comportamiento; esto es, verificar que los datos sean estacionarios y detectar datos atípicos. En el caso de existir datos atípicos hay que eliminarlos del estudio debido a que estos datos generan un sesgo en el análisis. Otro análisis que se debe de hacer es el cálculo de algunos de los parámetros mas usuales como son la media, variancia, máximo y el mínimo, tabla 3.3

Observatorio. enero febrero marzo abril mayo junio julio agosto septiembre octubre noviembre diciembre

Mínimo 42.55 36.35 14.55 12.2333 18.5 129.1 97 147.1 219.75 200.63 118.7917 43.25

Máximo 299.573 303.61 166.73 157.604 212.191 410.9 386.65 500.87 678.75 566.71 490.775 391.4889

Media 141.18 114.07 70.143 57.9737 99.4639 254.4 202.13 262.13 361.16014 341.46 209.3734 161.2559

Variancia 3348.46 2762 1188.1 817.516 1423.28 4022 3327.85 7271.7 8710.2284 6569.1 4600.49 3891.629

Desviación 57.8658 52.555 34.469 28.5922 37.7264 63.42 57.6875 85.274 93.328605 81.05 67.82691 62.38292

Tabla 3. 3 Parámetros más utilizados en la estadística por mes.

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2.- VARIOGRAMA EXPERIMENTAL Y VARIOGRAMA TEÓRICO.

Una vez que se verifica que los datos tengan un comportamiento estacionario, se procede al cálculo del variograma experimental y en base a este cálculo se procede a ajustar algún variograma teórico, el cual podrá ser esférico, exponencial, o gaussiano. Con ello se obtienen los parámetros más importantes de este modelo que son el nuget o “efecto pepita”, sill o “meseta” y finalmente lag o “distancia”. Para este proceso se utilizó un programa llamado Easykrig desarrollado en Matlab y creado por Dezhang Chu y Woods Hole[15], en la Figura 3.5 se presenta el variograma experimental contra los tres modelos teóricos.

MODELO EXPONENCIAL

MODELO GAUSSIANO

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MODELOS ESFÉRICO

Figura 3. 4 Variograma experimental vs. Diferentes semivariogramas teóricos.

Obteniéndose los siguientes parámetros para los tres modelos teóricos antes mencionados en la tabla 3.4:

ENERO Modelo Esférico Exponencial GaussianoNuget 0.296 0.085 0.72

Sill 1.22 1.35 1.06 Length 0.616 0.33 0.248

Tabla 3. 4 Parámetros de los variogramas teóricos.

Los variogramas teóricos son utilizados como insumos para la técnica de Krige.

3.- ESTIMACIÓN DE LA TÉCNICA DE KRIGE Y DIBUJO DE ISOLÍNEAS.

Como se expuso anteriormente en el marco teórico, el variograma es utilizado para hacer el cálculo de los pesos de influencia de diferentes puntos observados, sobre algún punto que se desea estimar (desconocido), en algún perímetro previamente definido. Este proceso es el que finalmente generará los mapas.

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Para esta actividad se ocupa nuevamente el programa de Easykrig, el cual realiza todos los cálculos, y sólo es necesario especificar los diferentes parámetros a utilizar, como:

• Modelo teórico de variograma a utilizar, así como sus tres parámetros. • El radio de búsqueda. • El número máximo y mínimo de puntos que se desean como puntos de

influencia. • Krige Ordinario • Krige Universal

Por lo tanto se utilizaron los tres modelos teóricos del variograma para los dos modelos de Krige, el Universal y el Ordinario. A continuación aparecen las gráficas de los seis modelos.

ORDINARIO UNIVERSAL

EXPONENCIAL

GAUSS

77


ESFERICO

Figura 3. 5 Mapas propuestos de lluvia con diferentes variogramas teóricos y tipos de modelos de

Krige.

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SELECCIÓN DEL MEJOR MODELO. Finalmente hay de determinar cual de los tres modelos utilizados en la técnica de Krige es el mejor, por lo que es necesario verificar los valores del error medio y el de la Varianza reducida, los cuales deben tender a cero y a uno respectivamente.

El programa de Easykrig hace estas dos pruebas y propone regiones de aceptación para el error medio (Q1) y la varianza reducida (Q2), como se puede ver en el siguiente figura 3.7:

Figura 3. 6 Gráficas de estimadores Q1 y Q2 del modelo exponencial para el mes de Enero.

En la siguiente Tabla 3.5 se muestra el análisis concentrado de los resultados

ENERO Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.296 0.085 0.72

Sill 1.22 1.35 1.06 Length 0.616 0.33 0.248

Kriging

Ordinario Kriging

UniversalKriging

OrdinarioKriging

UniversalKriging

Ordinario Kriging

UniversalQ1 -0.0178 -0.0613 -0.0378 -0.0691 -0.0084 -0.0547 Q2 0.3503 0.3295 0.7251 0.4771 0.3063 0.2835

Tabla 3. 5 Selección del mejor modelo basado en los parámetros Q1 y Q2

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Como se observa tanto Q1 como Q2, caen dentro del área de aceptación, para el modelo del variograma exponencial aplicado al Krige Ordinario y no así para los otros modelos, por lo tanto podemos inferir que el modelo exponencial propuesto para el variograma teórico aplicado al Krige Ordinario son aceptables.

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1 ESTACIONARIEDAD Una característica importante de la gráfica del variograma experimental, es que si presentará alguna tendencia cuadrática o exponencial se podría pensar que los datos no son estacionarios. Pero como se puede apreciar en las en los Semivariogramas experimentales para todos los meses no se aprecia ninguna tendencia, por lo que podemos suponer estacionariedad de los datos.

2 SEMIVARIOGRAMA:

A continuación se presentan los variogramas experimentales y el semivariograma teórico ajustado con un modelo exponencial.

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Tabla 3. 6 Variograma Experimental vs. Teóricos de todo el año. En casi todos los meses, el modelo propuesto se ajusta aceptablemente a cada uno de los variogramas experimentales, con excepción del mes de Diciembre que no se puede ajustar a un modelo exponencial por la curva que presenta al

82


inicio. La elección de un buen modelo teórico se verá reflejado en los estadísticos de Q1 y Q2, que se presentarán en el anexo C.

83


3 MODELO DE KRIGE.

Una vez analizados los semivariogramas, se procedió a aplicar el Modelo de Kriege para generar los mapas de lluvia. Estos se presentan a continuación.

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Tabla 3. 7 Mapas Pluviales por mes.

Para el análisis de los mapas de lluvia es importante destacar que las escalas de color son diferentes mes a mes por lo que es necesario, en primera instancia revisar las curvas de nivel y posteriormente considerar los cambios en la intensidad del color.

Es necesario hacer notar que independientemente del mes que se analice, la intensidad de lluvia siempre es mayor en la parte inferior de la gráfica, indicado por los colores rojo y amarillo. Esto se debe a que geográficamente esta área corresponde al costado de las Montañas del Norte del estado de Chiapas.

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Cabe mencionar que las montañas desempeñan un papel importante en la frecuencia de las lluvias, puesto que obligan a elevarse a las masas de aire, lo que provoca la rápida condensación del agua y su precipitación como lluvia y nieve. La parte superior de la gráfica corresponde al área limítrofe con el mar y es por esto que la intensidad de lluvia es menor.

4 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES A pesar de la facilidad de aplicación de la metodología, ésta no ha sido ampliamente difundida. Para llevar a cabo la investigación presentada en este trabajo, fue necesario invertir más de un año en depurar la información y varios meses en la búsqueda de una técnica que permitiera el análisis de la precipitación pluvial. Una vez encontrada, fue necesario contactar a los especialistas de esta técnica para asesorías, debido a la poca información disponible. Una vez asimilada la técnica fue sencillo aplicarla al estudio y determinar los modelos que se aplican para la generación de mapas pluviales. Estos mapas son de gran importancia para los investigadores de diversas áreas por que se podría hacer un análisis de campos de siembra, construcción de presas, etc. y en específico para el área de telecomunicaciones, ya que con ellos se puede determinar los parámetros de señalización en sistemas de transmisión. En el desarrollo de este trabajo, surgen varias ideas que podrían mejorar y ampliar los resultados, las cuales se presentan a continuación: Como primer punto se podría proponer una malla de observatorios los cuales se pondrían en lugares estratégicos para un mejor análisis y optimizar los recursos, esto es, si se pone atención en la ubicación de los observatorios, vemos que existen áreas con varios observatorios y en otras regiones no hay observatorios.

86


Tener un sistema de captura o de lectura de los datos sistematizada, para que aunque fuesen vacaciones no se perdiera la información, lo cual ayudaría para el análisis de los datos puesto que sería más confiable. No realizar el estudio sobre estados, si no por áreas geográficas, debido a que se desperdicia información muy valiosa al no contemplar observatorios que pertenecen a otros estados. En esta investigación sólo se incluye la ubicación geográfica de los observatorios (longitud y latitud) y se podría proponer una tercera variable, como el tiempo y hacer un estudio partiendo en dos o más etapas para ver si es posible ver algún incremento o decremento. Otro análisis que serviría de complemento, es el del modelo de descomposición, los cuales permiten descomponer un fenómeno en tres factores: ciclo, estacionalidad y tendencia. Cierto es que el fenómeno de la lluvia depende de otros factores como la deforestación, el fenómeno del niño y de la niña, etc., siendo importante concentrar el análisis de datos desde 1998 a la fecha para ver como impactan todos estos factores o fenómenos en un estudio como el que se presenta. Otra característica importante que también se debe de contemplar en estudios futuros es la orografía debido a que ésta influye fuertemente en el fenómeno pluvial. Esto se detectó al analizar los mapas generados y descubrir que la cordillera norte acotaba la distribución pluvial. Finalmente, se puede concluir que este estudio es importante, específicamente para el estado de Tabasco, donde la precipitación pluvial es una de las más altas en México y los resultados podrían se considerados para determinar los valores máximos necesarios de los parámetros en el diseño de sistemas de telecomunicaciones.

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Figura 3. 7 Mapa propuesto por la metodología de Krige sobrepuesto el estado de Tabasco.


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ANAEXO A Macros utilizadas en la depuración de los datos. Sub promedio() ' ' promedio Macro ' Macro grabada el 23/10/2000 por Carlos Sosa Paz '' ren = 33121 col = 2 renpro = 977 colpro = 3 prome = 0 suma = 0 contador = 0 Sheets("SALIDALIMPIA").Select For años = 0 To 45 For mes = 1 To 12 prome = 0 suma = 0 contador = 0 Sheets("SALIDALIMPIA").Select ren = 33121 + (34 * años) For dia = 1 To 31 If (Cells(ren, col).Value2 >= 0) Then suma = suma + Cells(ren, col).Value2 contador = contador + 1 ren = ren + 1 End If Next dia col = col + 1 If (contador = 0) Then Sheets("Promedios").Select Cells(renpro, colpro).Value = 0 colpro = colpro + 1 Else prome = suma / contador Sheets("Promedios").Select Cells(renpro, colpro).Value = prome colpro = colpro + 1 End If Next mes col = 2 renpro = renpro + 1 colpro = 3 Next años End Sub


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Sub COPIA() ' ' COPIA Macro ' Macro grabada el 13/05/2002 por csosa ' ' Dim rencopia As Integer Dim colcopia As Integer Dim ren As Integer Dim col As Integer Dim i As Integer Dim estacion As String ren = 1 col = 2 rencopia = 2 colcopia = 2 For i = 0 To 1183 estacion = Range(Cells(ren, col), Cells(ren, col)).Value & Range(Cells(ren, col + 1), Cells(ren, col + 1)).Value 'Selection.Copy Sheets("Hoja2").Select Range(Cells(rencopia, colcopia), Cells(rencopia, colcopia)).Value = estacion 'ActiveSheet.Paste Sheets("TABASCO").Select ren = ren + 3 rencopia = rencopia + 1 Next i End Sub


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ANEXO B

TABASCO Observatorio NOMBRE Latitud Longitud

grados min grados min 1 BALANCAN DE DOMINGUEZ, 17 48 92 32 2 BENITO JUAREZ, CENTLA 18 28 92 43 3 BLASILLO, HUIMANGUILLO 18 6 93 56 4 BOCA DEL CERRO, (DGE) 17 26 91 31 5 BUENAVISTA, BALANCAN 18 0 91 27 6 CAMPO E W 75, CARDENAS 18 0 93 37 7 CARDENAS, CARDENA (DGE) 18 1 93 22 8 COMALCALCO, COMALCALCO 18 16 93 13 9 CUNDUACAN, CUNDUACAN 18 4 93 11 10 DOS PATRIAS, TACOTALPA 17 36 92 50 11 EMILIANO ZAPATA,E.ZAPAT 17 45 91 46 12 ENCRUCIJADA, CARDENAS 18 18 93 29 13 ESCUELA INGENIERIA,DGE 18 1 92 56 14 FCO. RUEDA,HUIMANGUILLO 17 50 93 54 15 FRONTERA A. OBREGON, 18 32 92 39 16 HUIMANGUILLO, (DGE) 17 50 93 24 17 HUIMANGUILLO, (SMN) 17 52 93 28 18 JALAPA, JALAPA (DGE) 17 47 92 48 19 JALPA DE MENDEZ, JALPA 18 12 93 3 20 MACTUM, TENOSIQUE (DGE) 17 37 91 17 21 KILOMETRO 262 MACUSPANA 17 37 92 34 22 LAGUNA DEL ROSARIO, DGE 17 50 93 48 23 LA HUASTECA, TEAPA(DGE) 17 45 92 55 24 L. CARDENAS, MACUSPANA 17 59 92 55 25 LA VENTA, HUIMANGUILLO 18 8 94 1 26 LOMAS ALEGRES,TACOTALPA 17 36 92 41 27 JONUTA, JONUTA (DGE) 18 6 92 9 28 MACULTEPEC, CENTRO(DGE) 18 10 92 50 29 MACUSPANA,MACUSPAN(DGE) 17 46 92 35 30 MACUSPANA,MACUSPAN(SMN) 17 45 92 36 31 MEZCALAPA, HUIMANGUILLO 17 38 93 25 32 MOSQUITERO, HUIMANGUILL 17 44 93 38 33 MOSQUITERO, HUIMANGUILL 17 44 93 38 34 PARAISO, PARAISO (DGE) 18 24 93 13 35 PAREDON, HUIMANGUILLO 17 47 93 22 36 PASO DE CUNDUACAN,(DGE) 18 0 93 7 37 PUEBLO NUEVO, CENTRO 17 50 92 54 38 REFORMA, JALPA 18 19 93 4 39 SAMARIA, CUNDUACAN 18 1 93 16 40 SAN PEDRO, BALANCAN 17 46 91 10 41 SANTA ROSALIA, CARDENAS 18 6 92 32 42 TAPIJULAPA, TACOTALPA 17 28 92 47 43 TACOTALPA, TACOTALPA 17 36 92 49 44 TEAPA, TEAPA (DGE) 17 33 92 58 45 TEAPA,TEAPA (SMN) 17 33 92 57


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Observat orio NOMBRE Latitud Longitud grados min grados min

46 TENOSIQUE DE P. SUAREZ, 17 29 91 26 47 TENOSIQUE, TENOSIQUE 17 29 91 26 48 TEPETITAN, MACUSPANA 17 49 92 21 49 TEQUILA, JALAPA (DGE) 17 52 93 44 50 TRES BRAZOS, CENTLA DGE 18 25 92 38 51 TULIPAN, CUNDUACAN 18 10 93 17 52 TUPILCO, COMALCALCO DGE 18 26 93 28 53 VICENTE GUERRERO,CENTLA 18 23 92 55 54 VILLAHERMOSA,CENTR(DGE) 17 59 92 57 55 VILLAHERMOSA,CENTR(SMN) 17 59 92 55 56 BALANCAN DE DOMINGUEZ, 17 49 91 33 57 COMALCALCO, COMALCALCO 18 16 93 13 58 EL TRIUNFO, BALANCAN 17 57 91 10 59 GONZALEZ, CENTRO (DGE) 17 56 92 59 60 PUYACATENGO, TEAPA(DGE) 17 32 92 56 61 APATZINGAN, BALANCAN 17 36 91 4 62 CUAUHTEMOC, BALANCAN 17 50 91 1 63 DOS MONTES, CENTRO(DGE) 17 59 92 55 64 EL MARTILLO, TENOSIQUE 17 17 91 1 65 CAMPO EXP. PUYACATENGO, 17 33 92 57 66 CHABLE, E. ZAPATA (DGE) 17 52 91 46 67 OXOLOTAN, TACOTALPA DGE 17 22 92 45 68 POBLADO C-09, CARDENAS 18 18 93 25 69 POBLADO C-11, CARDENAS 18 18 93 33 70 POBLADO C-15, CARDENAS 18 14 93 29 71 POBLADO C-16, CARDENAS 18 14 93 25 72 POBLADO C-22, CARDENAS 18 9 93 33 73 POBLADO C-28, CARDENAS 18 4 93 25 74 POBLADO C-29, CARDENAS 18 7 93 21 75 P. C-32, HUIMANGUILLO 17 58 93 25 76 PRESIDENTE V. GOMEZ F., 17 47 92 41 77 NACAJUCA, NACAJUCA(DGE) 17 22 93 0 78 MIRAMAR, CENTLA (DGE) 18 30 92 45 79 HULERIA, BALANCAN 17 59 91 23 80 LA T, BALANCAN 17 52 91 32 81 JOSE COLOMO, MACUSPANA 17 56 92 28 82 EL PIPILA, BALANCAN 17 58 91 36 83 PLAYA LARGA, JONUTA 17 56 91 48 84 PLAYAS DEL ROSARIO 17 50 92 55 85 SAN ELPIDIO, BALANCAN 18 0 91 34


93

Anexo C A continuación se presenta el mejor modelo para cada mes de terminados por los valores de Q1 y Q2, así como los valores para el “sill, nugget, y lag”, cabe recordar que el valor de Q1 debe de tender a cero y el valor de Q2 a 1. Enero Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.296 0.126 0.72

Sill 1.22 1.35 1.06 Length 0.616 0.316 0.248

Kriging

Ordinario Kriging

Universal Kriging

Ordinario Kriging

Universal Kriging

Ordinario Kriging

Universal

Q1 -0.0178 -0.0613 Q1 -0.0378 -0.0691 Q1 -0.0084 -0.0547 Q2 0.3503 0.3295 Q2 0.7251 0.4771 Q2 0.3063 0.2835

Febrero Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.268 0.0392 0.383

Sill 1.15 1.21 1.15 Length 0.43 0.164 0.208

Kriging

Ordinario Kriging

Universal

Kriging Ordinario

Kriging Universal

Kriging

Ordinario Kriging

Universal Q1 0.1491 0.1145 Q1 0.1931 0.1617 Q1 0.1483 0.111 Q2 0.2468 0.2129 Q2 0.6328 0.6049 Q2 0.2363 0.2042

Marzo Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.273 0.0615 0.426

Sill 1.15 1.15 1.16 Length 0.537 0.22 0.271

Kriging

Ordinario Kriging

Universal Kriging

Ordinario Kriging

Universal Kriging

Ordinario Kriging


Abril Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.0624 0.084 0.232

Sill 1.24 1.33 1.28 Length 0.602 0.31 0.311

Kriging

Ordinario Kriging

Universal

Kriging Ordinario

Kriging Universal

Kriging

Ordinario Kriging

Universal Q1 0.05058 -0.02171 Q1 -0.0338 -0.00828 Q1 -0.0464 -0.0426 Q2 0.91088 1.969 Q2 0.6337 1.8104 Q2 0.7243 1.435


94

Mayo Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.0524 0.094 0.132

Sill 1.23 1.35 1.18 Length 0.652 0.315 0.411

Kriging

Ordinario Kriging

Universal

Kriging Ordinario

Kriging Universal

Kriging

Ordinario Kriging

Universal Q1 0.09058 -0.2171 Q1 -0.0238 -0.0828 Q1 -0.0564 -0.0426 Q2 0.99088 2.069 Q2 0.5337 1.9104 Q2 0.7643 1.435

Junio Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.0379 0.047 0.257

Sill 1.32 1.63 1.35 Length 0.655 0.402 0.343

Kriging

Ordinario Kriging

Universal

Kriging Ordinario

Kriging Universal

Kriging

Ordinario Kriging

Universal Q1 -0.0921 -0.1272 Q1 -0.084 -0.1087 Q1 -0.0563 -0.098 Q2 0.6856 0.7334 Q2 0.6361 0.4896 Q2 0.3555 0.3883

Julio Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.23 0.101 0.386

Sill 1.27 1.32 1.25 Length 0.634 0.289 0.323

Kriging

Ordinario Kriging

Universal Kriging

Ordinario Kriging

Universal Kriging

Ordinario Kriging

Universal

Q1 0.033 Q1 0.0154 0.03982 Q1 0.0594 0.0524 Q2 0.6072 Q2 0.7509 1.603 Q2 0.5801 1.092

Agosto Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.0561 0 0.275

Sill 1.29 1.46 1.32 Length 0.615 0.295 0.312

Kriging

Ordinario Kriging

Universal Kriging

Ordinario Kriging

Universal Kriging

Ordinario Kriging

Universal Q1 -0.1069 -0.0946 Q1 -0.0821 Q1 -0.0178 -0.029913 Q2 0.8748 1.2792 Q2 1.03 Q2 0.4934 0.7058


95

Septiembre Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.212 0.011 0.293

Sill 1.16 1.29 1.17 Length 0.518 0.39 0.262

Kriging

Ordinario Kriging

Universal

Kriging Ordinario

Kriging

Ordinario Kriging


Octubre Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.198 0.025 0.383

Sill 1.21 1.27 1.22 Length 0.528 0.193 0.27

Kriging

Ordinario Kriging

Universal

Kriging Ordinario

Kriging Universal

Kriging

Ordinario Kriging

Universal Q1 -0.202 -0.0586 Q1 0.13 -0.1998 Q1 -0.0317 -0.0707 Q2 0.299 0.2563 Q2 0.7425 0.4189 Q2 0.2587 -0.2066

Noviembre Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.125 0.157 0.302

Sill 1.22 1.29 1.22 Length 0.452 0.17 0.226

Kriging

Ordinario Kriging

Universal

Kriging Ordinario

Kriging Universal

Kriging

Ordinario Kriging

Universal Q1 0.0139 -0.025 Q1 0.125 -0.250 Q1 0.255 -0.015 Q2 0.2364 0.2189 Q2 0.788 0.155 Q2 0.204 0.199

Diciembre Modelo Esférico Exponencial Gaussiano Nuget 0.146 0.06 0.107

Sill 1.2 1.29 1.21 Length 0.413 0.18 0.212

Kriging

Ordinario Kriging

Universal Kriging

Ordinario Kriging

Universal Kriging

Ordinario Kriging

Universal

Q1 0.1437 0.1138 Q1 0.01121 -0.1998 Q1 0.2044 -0.015 Q2 0.3388 0.3328 Q2 0.5063 0.4189 Q2 0.6501 0.199


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Referencias [1] Miguel Angel Ortiz Ortiz Junio 1998“Análisis de Atenuación por Lluvia Sobre el Territorio Mexicano” [2] Jorge Sosa-Pedroza Carlos Sosa-Paz Daniel Torres-Bardales 2000 “Analysis of Rain Attenuation in México Area: Propagation or Satellite and Space Communications” ICT 2000 International Conference on Telecomunications. [3]Matheron G 1962. Traité de géostatistique appliquée Editorial Technip, France. [4] SICHEL, H.S., 1947, “An experimental and theoretical investigation of bias error in mine sampling with special reference to narrow gold reefs” Editorial Transactions, Institution of Mining and Metallurgy, Londres. Krige, D.G 1951., “A Statistical Approach to Some Basic Mine Problems on the Witwatersrand,” Revista químico metalurgia y mineria de la Sociedad de Africa. [5].- Samper, F.J. y J. Carrera, 1990 “Geoestadística, aplicaciones a la hidrología subterránea” Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeriría Barcelona. [6].- Kitadinis, P.K. 1997 “Introduction to Geostatistics: Applications in Hydrogeology” Cambrige University. [7].- Armstrong Margaret 1998 “Basci Linear Geostatistics” Ecole des Mines de Paris. [8].- Francisco Jesús Moral García “La representación gráfica de las variables regionalizadas. geoestadística lineal” [9].- Martín Díaz Viera notas del curso “Geoestadística Aplicada” 2002. [10]- Clayton V. Deutsch, Andre G. Jounerl “GSLIB Geoestatistical Software Library and User´s Guide” Oxford University Press. [11] .-Anderson, T.W. (1971). “The Analysis of Time Series”, Editorial John Wiley, New York


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[12] Tough-J-G; Leyshon-P-R 1985 “A program to fit the spherical and exponential models to experimental semi-variograms” Editorial: Polytech. Wales, del Departamento de matemáticas y computación,, Pontypridd, United-Kingdom pagina 30 [13] M. Gevers and G. Bastin, “On the estimation of the variogram in spatial interpolation methods used in groundwater flow modeling in Applications of Information and Control Sytems”, editorial D.G. Lainiotis and N.S. Tzannes, Reidel Publishing pagina 30 [14] Jorge Sosa Carlos Sosa Bertha Paz 2000 “ARIMA models in the rain attenuation prediction in a Mexican tropical area ” Proceedings of the 2000 IEEE International Symposium and USNC/URSI National Radio Science Meeting. [15]Easy Kriging desarollado por Dezhang Chu y Woods Hole en el instituto de Oceanografia de Rimouski, Qc, Canada.

mÉtodo geoestadÍstico de krige: una aplicaciÓn a la

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