movimiento tridimencional giroscopico de cuerpos rigidos

2012UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA EAP ING. CIVIL

INDICE

CAPITULO I

Movimiento tridimensional de cuerpos rígidos

En el Movimiento Plano

Rotación Del Solido Rígido

Traslación Del Solido Rígido

Movimiento alrededor de un eje fijo Movimiento de un cuerpo rígido en el espacio tridimensional

CAPITULO II

Movimiento giroscópico y movimiento libre de par

Movimiento giroscópico

Método experimental

Equilibrado de la base

Movimiento de caída de par

CAPITULO III

Momentum angular y energía cinética

El momentum angular

La energía cinética

Movimiento de rotación y T.

Movimiento en el espacio

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CINEMATICA TRIDIMENCIONAL DEL CUERPO RIGIDO

En El Movimiento Plano

Cuando un cuerpo está en movimiento plano general. Existe un punto del cuerpo o fuera del cuya velocidad es cero, dicho punto se llama centro instantáneo de rotación (CIR).

Localizado el centro instantáneo de rotación, todas las velocidades podrán calcularse, asumiendo rotación pura alrededor de dicho punto. Como el CIR cambia de un instante a otro, por tanto su aceleración no es cero; siendo imposible el cálculo de aceleración asumiendo rotación pura alrededor del CIR.

El centro instantáneo de rotación, referido al movimiento plano de un cuerpo, se define como el punto del cuerpo o de su prolongación en el que la velocidad instantánea del cuerpo es nula.

Para localizar el CIR:Si el cuerpo realiza una rotación pura alrededor de un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotación.

Si el cuerpo realiza una traslación pura el centro instantáneo de rotación se encuentra en el infinito en dirección normal a la velocidad de traslación.

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Su posición se puede conocer en cada instante por intersección de las direcciones perpendiculares a la velocidad de dos de sus puntos.

Rotación Del Solido Rígido

Rotación de un sólido rígido se da cuando la trayectoria de todos los puntos de dicho sólido son circunferencias situadas en planos paralelos y cuyos centros se alinean sobre una misma recta o eje de rotación

En la figura anterior se muestra en línea azul la trayectoria circunferencial de un punto P perteneciente a un sólido rígido que describe un movimiento de rotación alrededor del eje de rotación OZ.

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Traslación Del Solido Rígido

La traslación de un sólido rígido se da cuando cualquier recta del sólido permanece en la misma dirección durante el movimiento.

De este modo, si observamos la figura anterior se cumple, para los vectores de posición de los puntos A y B que:

Y por tanto las velocidades de dichos puntos:

El último término del sumando de la ecuación anterior se anula ya que se trata de la derivada de un vector de módulo constante (condición de sólido rígido) y de dirección también constante (movimiento de traslación). Por tanto:

Así, la traslación también se puede definir como el movimiento del sólido rígido en el que todos los puntos del mismo se mueven con la misma velocidad en todo instante y por lo tanto la trayectoria de todos los puntos es la misma.

Sean dos sistemas de referencia F y M que se mueven uno respecto del otro con velocidad constante.

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MOVIMIENTO RELATIVO A SISTEMA DE REFERENCIA EN TRASLACION

En este caso, el movimiento relativo de uno respecto del otro será rectilíneo

uniforme

M se mueve con respecto de F. (Note sin embargo que el movimiento es relativo).Supongamos que en el instante inicial dos orígenes coinciden por lo que

Además se cumple a identidad vectorial . La relación entre las posiciones vistas desde los dos sistemas de referencia es:

La relación entre la velocidad se obtiene derivando esta expresión respecto del tiempo:

Y para obtener la relación entre aceleraciones se vuelve a derivar:

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al ser constante.

COMPONENTES:

Si elegimos los ejes de forma que , y sean paralelos y que este dirigido a lo largo del eje X, podemos expresar de forma sencilla las ecuaciones anteriores en componentes:

EJEMPLO: INTERPRETACION GRAFICA DE

Una barca es capaz de desarrollar una velocidad en aguas tranquilas. Sea la velocidad del agua de un río respecto de la orilla. ¿Con que ángulo debemos dirigir la barca para conseguir atravesar el río siguiendo la dirección perpendicular a la orilla?

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Movimiento alrededor de un eje fijo

Sin perder generalidad supongamos que el eje de rotación es el eje z. Sea A

un punto del cuerpo rígido y su vector de posición, [Fig. 3-6]. Como se

sabe, la velocidad de A, , es tangente a la trayectoria y ésta está contenida

en un plano perpendicular al eje de rotación. El desplazamiento angular de la

recta OA se denota

por y su velocidad angular por .

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Ejemplo usando CIR:

Ø = arc tan (150/75) ø =63.44

180-(63.44+90) = 26.56

BD/sen 26.56 = CD CD = 200/(0.45) = 444.4 mm

BC/sen 63.44(CD)

BC= 0.895(444.4) = 397.7 mm

VB= WAB (AB)

VB= 4rad/seg (0.25) = 1m/s

VB = WBD (BC) ---> WBD= VB/BC

WBC= 1m/ (0,3977m) = 25. 14

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rad/seg. VD= WBD (CD) =

25.14(1.04444m)

VD= 1.117m/s

WDE= VD/ED= 1.117 m/s / (0.1677) = 6.66 rad/seg.

USANDO CIR: Ejemplo

Vd = WDE x ED = 35 rad/seg x 8” = 280 pulg/seg

Vd = WBD x CD -> WBD =

Vd/CD Wbd = 280/8 = 35

rad/seg

Wbd = Wbdhf

El punto con velocidad cero

es: Vd/Wbdhf

D, es el punto fijo en este instante, solamente

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ACELERACION ABSOLUTA Y RELATIVA EN EL MOVIMIENTO:

Plano General

Vamos a analizar ahora el movimiento de un sistema rígido aplicando una metodología distinta a la vista recientemente.

Para ello analizaremos el movimiento del sólido respecto de una terna que se mueve con respecto a otra considerada fija y a la cual se desea referir el movimiento.

A la terna "fija" la llamamos absoluta y a la móvil, de arrastre siendo el

vector rotación absoluta de la terna móvil y la velocidad de dicho punto también absoluta, pueden distinguirse 3 movimientos:

1) Movimiento Relativo: es el movimiento del sistema rígido con respecto a la terna de arrastre como si ésta estuviese fija.

2) Movimiento de Arrastre: Es el movimiento del sólido como si estuviera solidariamente unido a la terna móvil y ésta lo "arrastrase" en su movimiento.

3) Movimiento Absoluto: Es el movimiento del sistema rígido respecto de la terna absoluta como consecuencia de la simultaneidad de los dos movimientos anteriores.

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Habrá siempre un movimiento absoluto y uno relativo pero puede haber muchos de arrastre según las ternas que se intercalen; todos ellos pueden reducirse a uno solo por composición de movimientos.

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Notar que es la velocidad de rotación de los ejes

mientras que la velocidad de rotación del sólido es (ambas absolutas).

Tomemos un punto P del sólido y analicemos cuál sería su velocidad conrespecto a la terna absoluta como consecuencia de los movimientos relativos y de arrastre. Será:

(19)

derivando con respecto al tiempo:

(19’)

pero siendo vectores de posición con respecto a la terna absoluta, sus derivadas temporales darán las velocidades de P y 01 respecto del

sistema absoluto;

Con respecto a los 3 últimos sumandos del lado derecho de la igualdad, pueden aplicarse las fórmulas de Poisson, obteniéndose:

Por lo tanto y teniendo en cuenta que los 3 primeros sumandos representan la velocidad de P como si la terna móvil estuviese quieta:

(20)

Donde: = velocidad absoluta de

P = velocidad relativa de P

= sería la velocidad de P como si éste fuese arrastrado por la terna

móvil (velocidad de arrastre); así, rotaría con y 01 sería el centro de reducción.

Es decir que la velocidad absoluta de un punto cualquiera de un sistemaRígido resulta de la suma de sus velocidades de arrastre y relativa.

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Veamos ahora qué ocurre con la aceleración; derivamos dos veces la expresión (19):

(21)

Resolvamos el primer paréntesis:

=

= El segundo paréntesis nos da:

; Por (20)

=

Reemplazamos en (21)

(22)

Donde: aceleración absoluta

de P Aceleración relativa de

P

es la forma impropia de la ley de distribución de aceleraciones en un sistema rígido (tal como si éste fuese arrastrado por la terna móvil) y se denomina aceleración de arrastre.

Aceleración complementaria o de Coriolis, aparece por la rotación de los ejes de la terna móvil y representa la diferencia en aceleración de P como si fuera medida a partir de unos ejes (0,i,j,k) no giratorios y de otros (01, i1, j1, k1) giratorios, ambos con origen en 01. Se anula si no hay rotación o bien si no

Hay movimiento relativo y también en los movimientos

helicoidales

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Así resulta: (22’)

MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO EN EL ESPACIO TRIDIMENCIONAL

I) Movimiento de un cuerpo rígido en un punto fijo:El desplazamiento más general de un cuerpo rígido con un punto fijo es una rotación alrededor de un eje que pasa por el punto.

Así, la distancia (r) desde el punto fijo (O) hasta cualquier partícula P del solido es la misma en cualquier posición del cuerpo rígido, por tanto la trayectoria del movimiento de P, está en la superficie de una esfera de radio r, centrada en O.

El eje de rotación cambia de dirección en cada instante y por tanto dos o más rotaciones infinitesimales en torno a ejes diferentes equivalen a una sola rotación resultante en torno a un eje que pasa por el punto fijo (teorema de Euler)

La aceleración angular α representa cambios simultáneos en la magnitud y dirección de la velocidad angular ( w ), y por tanto ( α ) no tiene la dirección del eje instantáneo de rotación.

En cualquier instante:

Al calcular (α), puede ser útil usar la extensión del teorema Omega:

Donde Ω, es laVelocidad angular del marco rotatorio OXYZ.

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Movimiento general:

La velocidad de B, VB relativa al sistema de referencia AX`Y`Z`. Como A esEl punto fijo:

Donde w es la velocidad angular del cuerpo en un

La aceleración es:

Estas ecuaciones muestran que el movimiento más general de un cuerpo rígido es equivalente, en cualquier instante dado, a la suma de una traslación en el cual todas las partículas del cuerpo tienen la misma velocidad y aceleración que una partícula de referencia A, y de un movimiento en el

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que la partícula A se supone fija

Hay que recordar que w y α no son colineales, y que la aceleración dela partícula del cuero en su movimiento relativo al sistema de referencia AX`Y`Z`no puede determinarse como si el cuerpo estuviera rotando permanentemente alrededor del eje instantáneo que pasa por A.

Movimiento tridimensional de una partícula con respecto a un sistema de referencia en rotación. Aceleración de coriolis.

Si se denota por F, el sistema rotatorio OXYZ, entoncesVP = VP´ + VP / FVP =Velocidad absoluta de la partícula

VP´ =Velocidad del punto p´ del sistema de referencia en movimiento, F que

coincide con P.

VP / F = Velocidad de P relativa al sistema de referencia en movimiento F .

La aceleración absoluta:

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AP = Aceleración absoluta de la partícula aP´ = Aceleración del punto p´ del

sistema de referencia en movimiento, F que coincide con P.

AP / F = Aceleración de P relativa al sistema de referencia en movimiento F.

EJEMPLO.

La barra AB gira en el sentido de las manecillas del reloj con velocidad angular constante de 8 rad/seg. Y la varilla EF gira en el sentido de las manecillas del reloj con velocidad angular constante de 6 rad/s, para el instante mostrado, determine a) la velocidad angular de la barra BD, b) la velocidad relativa del collarin D, respecto a la varilla EF.

IMAGEN 4

Barra AB:Rotación alrededor de A.

Varilla EF: Sistema referencial en rotación:

Asumir velocidad relativaVD =? ↑

EF

Barra BD: Movimiento Plano General. Asumir wBD en sentido horario

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Collar D: deslizamiento ε rotación barra EF con velocidad relativa ↑

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Componentes.

EJEMPLO # 1:La varilla AB puede deslizarse libremente a lo largo del piso y el plano inclinado. En el instante que se muestra la velocidad del extremo A es de 4.2 pie/seg. hacia la izquierda. Determine la velocidad angular de la varilla y la velocidad del extremo B de la varilla.

Sen. β = 1 2 _ β = 36.862

Tag θ = 12;θ = 67.38°5VA = 4.2 pie/seg.VB/A = r WAB = _ 20 _ WAB

12VB = VBVB = VA + VB/A

ø = 180 – θ – (90° - β)ø = 59.49

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MOVIMIENTO GIROSCOPICO

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EJEMPLO:

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METODO EXPERIMENTAL

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EQUILIBRADO DE LA BASE

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MOVIMIENTO DE CAIDA DE PAR

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MOMENTUM ANGULAR Y ENERGIA CINETICA

Como las velocidades de dos puntos de un cuerpo rígido están relacionadas de acuerdo a 9.1, es una tarea más o menos simple establecer expresiones que permiten el cálculo de la energía cinética y del momentum momentum angular. Deberemos distinguir dos casos. Cuando en el movimiento del cuerpo se mantiene un punto fijo y cuando no. Cuando hay un punto que se mantiene fijo el movimiento se denomina rotacional.

Movimiento rotacional

Si el cuerpo puede moverse manteniendo un punto O fijo, entonces el movimiento del cuerpo es se llama rotacional. Si plano de movimiento es el plano OX Y entonces el eje de rotación es el eje OZ. Si el ángulo que describe la rotación del cuerpo lo llamamos θ, y su aumento corresponde según la regla de la mano derecha al eje OZ, entonces

Dado que �vO = 0 las velocidades de los otros puntos del cuerpo serán

Con esto evaluaremos el momentum angular y la energía cinética

ELMOMENTUM ANGULAR

Todas las partículas del cuerpo, los elementos de masa dm, tienen movimiento circunferencial con centro en O y podemos calcular el momentum angular como sigue.

Desarrollando el doble producto cruz

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L


Donde para movimiento plano el segundo término se anula, luego

En esta expresión se ha separado el factor que tiene que ver con el movimiento con otro factor que sólo tiene que ver con la distribución de masa del cuerpo

Aquí IO se conoce como el momento de inercia en el punto O del cuerpo respecto al eje OZ . Si miramos a la integral como una sumatoria entonces el momentum angular es "la suma de las masas por sus distancias al cuadrado al eje de la rotación".

Ejemplos de cálculo de momentos de inercia

Los momentos de inercia serán dados pero es conveniente entender como se calculan.

Para una barra de largo L y de masa M en un extremo. Si se elige el eje OX a lo largo de la barra entonces como la densidad lineal de masa es M

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Para una barra de largo L y de masa M en su centro de masa. Si se elige el eje GX a lo largo de la barra entonces respecto al cálculo anterior, los límites de la integral son otros

Para un disco de masa M y radio R en su centro. Ahora podemos tomar como elemento de masa la masa entre r y r + dr. La densidad superficial de masa es M de modo que

Aro de masa M y radio R en su centro. Ahora todas las masas están a distancia R de modo que

Para comprender mejor sobre el significado del momento de inercia, comparemos.

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y las respectivas ecuaciones de movimiento sobre las cuales se profundizará más adelante

donde �α = d �ω/dt es la aceleración angular. Se puede entonces comprender que la cantidad de movimiento lineal es proporcional a la velocidad de traslación �vG y la constante de proporcionalidad es la masa. Similarmente resulta que la cantidad de movimiento es el momento de inercia. O sea el momento de inercia juega el rol de la masa cuando hay rotaciones. Similarmente se pueden comparar los roles dinámi- cos. A una dada fuerza, el cuerpo acelera menos a mayor masa. A un dado torque un cuerpo acelera angularmente menos a mayor momento de inercia.

La energía cinética

Haciendo un cálculo similar para la energía cinética, resultará

Dónde.

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que nuevamente puede compararse con la energía cinética cuando hay pura traslación

Movimiento de rotación y traslación

Si el cuerpo se mueve en el plano OX Y sin restricciones, entonces el cuerpo tiene simultáneamente movimiento de traslación y de rotación. El cuerpo se desplaza y además gira un ángulo θ, por lo tanto nuevamente

Entonces el momentum angular respecto al centro de masa G resultará

y el teorema de Koenig determina el momentum angular respecto a O que resulta ser

La energía cinética será, de acuerdo al teorema de Koenig, la suma de las energías cinéticas traslacional y

El término IG se denomina momento de inercia del cuerpo en el centro de masa respecto al eje GZ y está dado por

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Movimiento en el espacio

Aún cuando este tema no será profundizado en este texto, explicaremos algo de lo que ocurre cuando un cuerpo rígido se mueve libremente en el espacio, esto es en tres dimensiones. Ahora su velocidad angular no permanece con dirección fija y en general tendremos

siendo las componentes de la velocidad angular funciones de las derivadas de los ángulos de orientación del cuerpo.Si el cuerpo mantiene un punto fijo, entonces sigue siendo válido que

de manera que igualmente se obtiene

Si desarrollamos el doble producto cruz se obtiene

Ahora, a diferencia del movimiento plano,

luego debemos desarrollar

Si tomamos las componentes cartesianas de esta ecuación se obtienen tres ecuaciones

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Al usar notación de matrices, estas ecuaciones lineales en ωx, ωy y ωz

pueden escribirse

donde los elementos de la diagonal de la matriz indicada, denominados momentos de inercia respecto a los ejes, están dados por

y los elementos de fuera de la diagonal, denominados productos de inercia,están dados por

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Esta matriz 3 × 3 la denotaremos por HO y se conoce como la matriz de inercia del cuerpo en el origen O, es decir

y la relación fundamental entre cantidad de movimiento angular y velocidadangular, puede escribirse

en el entendido que tanto L � O como �ω son matrices columna con las componentes de los respectivos vectores como sus elementos. Similarmente, para la energía cinética puede demostrarse que

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CAPITULO I

CINEMATICA TRIDIMENCIONAL DEL CUERPO RIGIDO

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CAPITULO II

MOVIMIENTO GIROSCOPICO YMOVIMIENTO LIBRE DE PAR

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CAPITULO III

MOMENTUM ANGULAR Y ENERGIA CINETICA

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BIBLIOGRAFIA

E. Pina Garza, Dinámica de rotaciones, Universidad AutónomaMetropolitana, México (1996) Sección 16.

S.T. Thornton y J.B. Marion, Classical Dynamics of ParticlesAnd Systems, 5th edition. Thomson, Belmont, CA (2004) Secci´on 11.12.

M. Alonso y E.J. Finn, Física, Vol. I (Addison-Wesley Iberoamericana,México, 1986) Cap. 10.

http://aransa.upc.es/ED/diego/apuntes/mov_rel_trasla.pdf

Halliday, Resnick e Walker - 4a. Edição

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INTRODUCCION

Un caso especial importante de estos sistemas es aquel en que la distancia entre dos partículas cualesquiera permanece constante en el tiempo, esto es un…………………………………………………………………………………………

CUERPO RIGIDO………………………………………………………………………

A pesar que no existen cuerpos que sean estrictamente rígidos, todos los cuerpos pueden ser deformados, sin embargo el modelo del cuerpo rígido es útil en muchos casos en que la deformación es despreciable. La descripción cinemática y dinámica de un cuerpo extenso aunque este sea rígido en un movimiento en tres dimensiones matemáticamente es muy complejo y es tratado en libros avanzados de dinámica. Es complejo porque un cuerpo tiene seis grados de libertad; su movimiento involucra traslación a lo largo de tres ejes perpendiculares y rotación alrededor de cada uno de estos ejes. No llegaremos a hacer un tratamiento general directo, pero si desarrollaremos el movimiento del cuerpo rígido en tres dimensiones.

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DEDICATORIA

A dios por darNOS la vida, a

NUESTRAS familias quienes son los

que NOS apoyan, al docente del curso, por sus

consejos y

enseñanzas.


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