motivados trabajan mejor. ¿aprendemos jugando? · inteligencias múltiples y potencie la...

Maria Gloria Sáenz Romo

Luis Español González

Máster universitario en Profesorado de ESO, Bachillerato, FP y Enseñanza de Idiomas

Matemáticas

2015-2016

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE ESTUDIOS

Curso Académico

Motivados trabajan mejor. ¿Aprendemos jugando?

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones,

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

Motivados trabajan mejor. ¿Aprendemos jugando?, trabajo fin de estudiosde Maria Gloria Sáenz Romo, dirigido por Luis Español González (publicado por la

Universidad de La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

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Trabajo de Fin de Máster

Motivados trabajan mejor. ¿Aprendemos jugando?

Autora:

María Gloria Sáenz Romo

Tutor: Luis Español González

MÁSTER: Máster en Profesorado, Matemáticas (M06A)

Escuela de Máster y Doctorado

AÑO ACADÉMICO: 2015/2016

AGRADECIMIENTOS

A mi hermana por servirme

de guía e inspiración en esta

aventura que supone la educación.

A mi padre por todo durante tanto.

A mi madre por educarme para la paz, a

través del respeto, cooperación y convivencia.

A mis hermanos por servirme en

ocasiones de conejillos de indias.

A mi pareja por sus consejos y por

acompañarme en todo momento.

A mis compañeros de clase por hacerme

mucho más afable este curso académico

y por las multitudinarias cenas.

Motivados trabajan mejor. ¿Aprendemos jugando? Sáenz-Romo, M. G.

INDICE

1. Introducción …………………………………………………………… 1

2. Cuerpo teórico …………………………………………………… 2

2.1. Aspectos pedagógicos …………………………………… 3

2.1.1. Modelos docentes. Teorías de aprendizaje ……. 3

2.1.2. Estilos cognitivos …………………………………… 4

2.2. Aspectos sociológicos …………………………………… 4

2.3. Aprendizaje y enseñanza de Matemáticas ……………. 6

2.3.1. Motivación …………………………………………… 8

2.3.2. Nuevas tecnologías …………………………………… 9

2.3.3. Contexto legislativo actual …………………………… 10

3. Experiencia prácticas externas …………………………………… 12

3.1. Descripción del centro de realización de las prácticas …… 12

3.1.1. Nivel sociocultural del alumnado …………………… 15

3.2. Estudio del Grupo-Clase …………………………………… 16

3.3. Reflexión procesos de enseñanza-aprendizaje en el aula …. 17

3.3.1. Metodología …………………………………………… 18

3.3.2. Recursos …………………………………………… 19

3.4. Unidad didáctica: Probabilidad …………………………… 20

3.4.1. Introducción …………………………………………… 21

3.4.2. Objetivos …………………………………………… 22

3.4.3. Competencias …………………………………… 22

3.4.4. Contenidos curriculares de la etapa …………… 23

3.4.5. Contenidos de la unidad …………………………… 23

3.4.6. Actividades …………………………………………… 24

3.4.7. Metodología didáctica …………………………… 33

3.4.8. Atención a la diversidad …………………………… 34

3.4.9. Criterios de evaluación curriculares …………… 34

3.4.10. Estándares de aprendizaje …………………… 35

3.4.11. Evaluación …………………………………………… 35

3.4.12. Materiales y recursos …………………………… 35

3.5. Confrontación teoría-práctica …………………………… 36

4. Propuesta de innovación educativa …………………………… 38

4.1. Introducción y contextualización …………………………. 38


4.1.1. Juegos en clase de matemáticas …………………. 38

4.1.2. Uso inteligencias múltiples en el aula …………. 40

4.1.3. Inteligencia emocional …………………………. 41

4.2. Objetivos ………………………………………………… 42

4.3. Marco teórico: Juego cooperativo …………………………. 43

4.4. Descripción del proyecto …………………………………. 44

4.4.1. Uso de la historia de las matemáticas …………. 45

4.4.2. Juego “Peace and Math” …………………………. 46

4.5. Metodología ………………………………………………… 50

4.6. Criterios de evaluación ………………………………… 50

4.7. Materiales y recursos ………………………………………… 51

4.8. Conclusiones ………………………………………………… 51

5. Referencias ………………………………………………………… 53

Anexo 1. Ejercicios sesión 5 Unidad Didáctica.

Anexo 2. Ejercicios sesión 8 Unidad Didáctica.

Anexo 3. Examen evaluación Unidad Didáctica.

Anexo 4. Póster historia de las matemáticas.

Anexo 5. Artículo divulgativo sobre historia de las matemáticas.

Anexo 6. Tablero del juego Peace and Math.

Anexo 7. Tarjetas con preguntas del juego Peace and Math.


1

1. INTRODUCCIÓN

El presente documento constituye el propio Trabajo Fin de Máster, que forma

parte del Máster universitario de Profesorado de Educación Secundaria

Obligatoria y Bachillerato, Formación profesional y Enseñanza de Idiomas de la

Universidad de la Rioja. Concretamente, este trabajo se corresponde con la

especialidad de Matemáticas.

Lo que se va a leer a continuación es una propuesta de innovación educativa

que expone un proyecto de aprendizaje donde el motivo globalizador y título del

mismo es “Motivados trabajan mejor. ¿Aprendemos jugando?”. Este proyecto de

innovación educativa consiste principalmente en introducir el juego en las aulas

de matemáticas desde un enfoque de cooperación, que tenga en cuenta las

inteligencias múltiples y potencie la inteligencia emocional, así como la utilización

la historia de las matemáticas como introducción de la unidad didáctica.


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2. CUERPO TEÓRICO

“La educación es el motor que promueve el bienestar de un país”. Preámbulo

LOMCE

El alumnado es el centro y la razón de ser de la educación. El aprendizaje

en la escuela e instituto está dirigido para formar personas autónomas, críticas y

con pensamiento propio. Nuestras personas y su talento es lo más importante

que tenemos como país. Por ello, la educación es el principal instrumento de

movilidad social que ayuda a superar las barreras económicas y sociales, genera

aspiraciones y ambiciones realizables, y constituye un soporte de la igualdad y

justicia social.

El sistema educativo actual evoluciona hacia un sistema capaz de

encauzar a los estudiantes hacia las trayectorias más adecuadas a sus

capacidades, de forma que puedan hacer realidad sus aspiraciones y estimulen

su espíritu emprendedor.

Como docentes debemos garantizar una educación y formación integral

de calidad para todos los estudiantes. No solo tenemos que garantizar el “saber”

(conocimiento teórico-conceptuales específicos de las materias de aprendizaje)

de los alumnos, sino que también “sepan hacer” (actitud e inteligencia emocional)

y “saber convivir” (principios y hábitos). Además, hoy en día, en la sociedad de

la información en la que vivimos, los importantes ya no es tanto “saber”; sino”

saber qué hacer” con toda la información que tenemos a nuestra disposición.

Debemos formar personas competentes, que no solo realicen bien su trabajo,

sino que también lo hagan demostrando actitud y valores de forma coherente.

El proceso educativo entre docentes y alumnos se desarrolla en un

determinado contexto, cuyos principales elementos son el sistema educativo

(políticas educativas, legislación escolar y diseño curricular base), el contexto

familiar (estructura familiar, nivel sociocultural y económico, participación en el

centro escolar, y valores y estrategias educativas), así como, el centro educativo

(infraestructura, liderazgo pedagógico, modelos de gestión, proyecto educativo

y recursos).


3

2.1. Aspectos pedagógicos

La Didáctica es la disciplina científica, técnica y tecnológica de la

educación que investiga con rigor y precisión lo que ocurre en el proceso de

enseñanza-aprendizaje y llega a establecer unas conclusiones. El fin último de

la didáctica es que el alumno aprenda y el profesor garantice la calidad del

aprendizaje. Se podría decir que la didáctica constituye un marco teórico-práctico

donde puede apoyarse un profesor, aunque se deben tener en cuenta factores

como contexto familiar, económico, social, etc.

2.1.1. Modelos docentes. Teorías de aprendizaje

El objetivo de las teorías de aprendizaje es identificar y comprender los

procesos de adquisición de conocimiento, y a partir de ellos, describir métodos

para garantizar que el aprendizaje sea significativo.

Gracias a los avances de la psicología y teorías instruccionales, que tratan

de sistematizar los mecanismos asociados a los procesos mentales que hacen

posible el aprendizaje, se ha producido un gran desarrollo de las teorías

educativas.

Principalmente, se pueden distinguir dos métodos pedagógicos: el

cognitivista y el conductista.

Cognitivista. El objetivo es especificar lo que los alumnos conocen y cómo

se organiza, cambia y desarrolla el conocimiento. De esta forma, los

cambios en las conductas y habilidades de los estudiantes, son resultado

de cambios en su capacidad intelectual y en su conocimiento. Dentro de

este método se encuentra el constructivismo, basado en que los

conocimientos están en la mente de los alumnos, a los que hay que

entregar las herramientas adecuadas para que generen sus propios

conocimientos y así, resolver problemas. Otorga el papel protagonista al

alumno, siendo el profesor un mero orientador en la adquisición de

conocimientos. Para alcanzar un aprendizaje significativo, los problemas

que se plateen deben ser lo más reales posibles y deben resolverse de

forma cooperativa.

Conductista. Se basa en que el conocimiento se percibe a través de la

conducta y por el cual a una acción del aprendizaje le sucede algo

deseable o no deseable. Basado en el principio de acción-reacción.


4

2.1.2. Estilos cognitivos

Cada alumno tiene una forma diferente de procesar la información, de

interpretar y responder ante una determinada situación, y de enfrentarse a los

problemas. En base a los estilos de aprendizaje y estilos cognitivos se

diferencian dos grandes grupos de alumnos: los dependientes y los

independientes de campo. Un alumno dependiente de campo, dentro del área

de enseñanza de las matemáticas, es aquel al cual le cuesta dividir un

determinado problema en subproblemas, encontrar los datos importantes dentro

de un enunciado, etc. Por lo tanto, la metodología de enseñanza se debe realizar

de forma más estructurada y a través de pequeños retos consecutivos que

supongan la resolución de un reto mucho mayor. Por ejemplo, mediante el uso

de apartados y subapartados dentro de un mismo ejercicio, que le permita ir al

alumno avanzando de poquito en poquito.

2.2. Aspectos sociológicos

La presencia social está relacionada de forma directa con la interacción

entre los estudiantes dentro del aula. El docente tiene la responsabilidad de crear

un espacio para la interacción social, así como fomentar la oportunidad de crear

una comunidad de aprendizaje. El ambiente del grupo y el sentimiento de

pertenencia al mismo, vienen determinados por la percepción del estudiante, y

están relacionados con expresiones sociales, como, por ejemplo, muestras

afectivas que permitan que los estudiantes desarrollen la confianza y se sientan

parte de la comunidad. Asimismo, cabe destacar la importancia de fomentar su

capacidad para realizar preguntas y responder a las de los demás, la capacidad

de expresar aprobación, reconocimiento, etc. Como docentes, debemos

promover comportamientos que crean y mantengan el sentido de compromiso

del grupo.

La escuela, como reflejo de la sociedad en la que se halla inmersa, tiene

como rasgo definitorio la diversidad del alumnado que la compone. Dicha

diversidad se manifiesta en las diferentes necesidades, capacidades, intereses,

motivaciones, ritmos de aprendizaje, orígenes sociales y culturales. Dentro de

esta diversidad, hay alumnos que van a necesitar ayudas temporales,

permanentes, actuaciones ordinarias o extraordinarias, dependiendo de la

interacción entre las características personales del individuo y los recursos que


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le brinde el medio, teniendo como objetivo que cada alumno pueda alcanzar, en

el entorno menos restrictivo posible y con la máxima integración, los objetivos

educativos.

La primera dificultad que nos encontramos como docentes la diversidad

de las aulas (altas capacidades, talentosos, con alguna disfunción, etc.), así que

el potencial (capacidades) hasta donde se puede llegar es distinto. Un profesor

imparte una educación de calidad si consigue que todos sus alumnos desarrollen

al máximo todo su potencial, para ello, el docente debe ser empático y

respetuoso con los tiempos, debe garantizar los derechos de participación y

explicar con claridad, así como dotar de contexto y utilidad lo que enseña. Un

profesor de calidad es aquel que conoce las características de su alumnado

(intereses y motivaciones), controla e interesa al aula, llega a sus alumnos y los

sabe motivar. Por lo tanto, como docentes tenemos la necesidad de atender la

diversidad existente en el aula, utilizando herramientas metodológicas diversas,

entre ellas el aprendizaje cooperativo, y aplicándolas de forma correcta.

Se puede fomentar el aprendizaje cooperativo a través de la formación de

grupos heterogéneos donde los alumnos puedan compartir sus conocimientos,

se potencialice la capacidad reflexiva y de argumentación de los alumnos, así

como se trabaje otras competencias que serán de gran utilidad para el alumno y

se fomente el interés y la motivación en el aula. Por otro lado, el docente debe

apoyarse en la diferenciación de contenidos en la resolución de los problemas,

para que los alumnos con menos competencia matemática se motiven al

realizarlos, y los que están por encima de la media satisfagan su interés por la

asignatura y avancen a su ritmo.

Asimismo, la escuela, en respuesta a las nuevas demandas sociales, debe

asumir su parte de responsabilidad en este proceso dirigido al desarrollo integral

del individuo, y propiciar dentro de su proyecto formativo, el valor añadido de la

competencia emocional de los alumnos. La educación emocional es un proceso

educativo, continuo y permanente, que pretende potenciar el desarrollo de las

competencias emocionales, como elemento esencial del desarrollo integral de la

persona, y con objeto de capacitarle para afrontar mejor los retos que se le

plantean en la vida cotidiana. El Informe Delors (UNESCO 1996) reconoce que

la educación emocional es un complemento indispensable en el desarrollo

cognitivo y una herramienta fundamental de prevención, ya que muchos


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problemas tienen su origen en el ámbito emocional. La educación emocional

tiene como objetivo ayudar a las personas a descubrir, conocer y regular sus

emociones e incorporarlas como competencias.

2.3. Aprendizaje y enseñanza de Matemáticas

“Todo lo que le enseñas directamente a una persona, evitas que lo aprenda”

Rousseau

Hoy en día, el ciudadano debe estar preparado para pensar de forma

matemática en muchos aspectos de su vida. Es nuestra labor como docentes,

enseñar y desarrollar las matemáticas de forma global para favorecer las futuras

conexiones internas.

La Didáctica de las Matemáticas es una disciplina con características propias,

multidisciplinar y no es una simple suma de las partes de las áreas del saber que

constituyen sus fuentes. Los dos enfoques más destacados de la didáctica de

las Matemáticas en relación al proceso de enseñanza-aprendizaje son la teoría

de situaciones y la teoría curricular.

1. La teoría de situaciones, característica de la escuela francesa, se opone

a una pedagogía general, analiza las transformaciones del “saber” y mide

la distancia entre los “saberes”. Existen cuatro polos: el saber, el alumno,

el profesor y el aula, y lo importante es lo que se quiere que los alumnos

sepan.

2. La teoría curricular, característica de la escuela anglosajona, analiza en

profundidad las características psicológicas del profesor, y las relaciones

de este con los alumnos. Su foco de concentración es el alumno, y en

concreto, en cómo se produce el conocimiento en ellos.

Según estándares del NCTM (Consejo Mundial de Profesores de

Matemáticas) los cinco objetivos generales en los currículos españoles actuales

de Matemáticas son los siguientes:

1. Que los alumnos aprendan a valorar la matemática.

2. Que los alumnos se sientan seguros de su capacidad de hacer

matemáticas.

3. Que los alumnos lleguen a resolver problemas matemáticos.

4. Que los alumnos aprendan a comunicarse mediante las matemáticas.


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5. Que los alumnos aprendan a razonar matemáticamente.

De ellos podemos extraer ideas fundamentales en materia de educación,

como, por ejemplo, la importancia de la aptitud de los estudiantes frente a la

asignatura y de que el aprendizaje debe ser significativo, los alumnos deben

profundizar en el conocimiento, “saber explicar” lo que se sabe y saber aplicar

esos conocimientos en un contexto real.

La competencia matemática según el informe PISA, es la capacidad de un

individuo para identificar y entender la función que desempeñan las matemáticas

en el mundo, así como emitir juicios fundamentados y utilizar y relacionarse con

las matemáticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida

de los individuos como ciudadanos comprometidos, reflexivos y constructivos.

Dentro de esta competencia, se evalúan la capacidad para interpretar, formular

y plantear problemas de diferentes contextos, así como la capacidad de analizar,

comunicar y razonar ideas matemáticas de forma efectiva.

El currículo es el proyecto que determina los objetivos de la educación

escolar, es decir, los aspectos de la incorporación de la cultura que la escuela

trata de promover y un plan de acción adecuado, así como recoger las

competencias básicas que el alumno debe obtener. El currículo español actual

establece un plan operativo que detalla qué matemáticas debe alcanzar el

alumno, cómo debe alcanzar el alumno estos objetivos curriculares, qué deben

hacer los profesores y el contexto en el que se desarrolla el proceso de

enseñanza-aprendizaje. Asimismo, se distinguen cuatro estándares curriculares

en todos los niveles de enseñanza no universitaria de Matemáticas:

1. Matemáticas como resolución de problemas.

2. Matemáticas como comunicación.

3. Matemáticas como razonamiento.

4. Conexiones matemáticas internas y externas.

Se pretende potenciar el aprendizaje significativo por parte de los

alumnos, aquel que relaciona la información nueva con la que ya posee,

reajustando y reconstruyendo ambas informaciones en este proceso, y se asume

la hipótesis constructivista del aprendizaje, donde el conocimiento conceptual

debe ser construido activamente desde la propia experiencia y n recibido

pasivamente del entorno por el alumno. El aprendizaje de matemáticas ha de


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tener lugar a través de prácticas que impliquen la actividad del alumno, no es lo

mismo “hacer matemáticas” que “conocer matemáticas”.

Asimismo, el docente debe potenciar el desarrollo de la capacidad de

abstracción, análisis, cálculo, lógica, memoria y visión espacial de los alumnos,

además de realizar una retroalimentación continua de cuál es el grado de

desarrollo y evolución década una de ellas.

2.3.1. Motivación

"La matemática ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolares del

mundo entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos como un

sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario; pero la

enseñanza no debe ser una tortura, y no seríamos buenos profesores si no

procuráramos, por todos los medios, transformar este sufrimiento en goce. lo

cual no significa ausencia de esfuerzo, sino, por el contrario, alumbramiento de

estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces" Puig Adam, 1958

La motivación es una de las causas más importantes del rendimiento

académico, de ella depende el que exista una atención sostenida y un

comportamiento eficaz para la adquisición del aprendizaje.

Es importante también ser conscientes de que no es lo mismo saber

mucho de algo que saber enseñarlo, y es que existe una confusión entre las

matemáticas como disciplina científica y como objeto de estudio escolar. Por otro

lado, si se dominan las estrategias de enseñanza, los alumnos tienen más

facilidades de aprender, aunque no se garantiza que se consiga. Entre estas

técnicas, podemos señalar algunas que son inconscientes: el concepto de

“currículo no intencional” incluye todos aquellos factores que influyen, de manera

indirecta, en el proceso de enseñanza-aprendizaje (por ejemplo: la disposición

del aula, el contexto socio-económico del centro, etc.). Por ello se debe intentar,

en la medida de lo posible, controlar estos factores para optimizar este proceso.

Como guías y orientadores del proceso de enseñanza y aprendizaje de

nuestros alumnos debemos ser organizados y exponer claramente la ruta que

seguiremos a lo largo del curso, de cada tema y cada sesión. Conseguir una

buena estructuración de los contenidos, así como, una buena organización del

tiempo de clase será una de nuestras prioridades. Asimismo, debemos emplear


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diferentes metodologías docentes para llegar a todos los alumnos, fomentar la

capacidad del alumno de investigar y facilitar que construya su propio

conocimiento.

El docente debe ser capaz de descifrar el contenido matemático en

diferentes formas, y de hacérselo llegar al alumno a través de actividades y

ejemplos que despierten su interés y les motive, de manera que facilite su

aprendizaje. Asimismo, es vital mostrar al alumno la utilidad que las matemáticas

tienen en su día a día, buscando actividades y ejemplos apropiados. Por otro

lado, para que el aprendizaje sea efectivo la enseñanza debe realizarse de forma

cíclica, de forma que los nuevos conocimientos son construidos a partir de los

ya existentes, de manera que se descubran nuevos campos de aplicación para

los mismos y se enriquezca su conocimiento. Asimismo, también se debe

fomentar el aprendizaje autónomo de las matemáticas por parte del alumno,

dejando que este vaya incorporando de manera activa y consciente los nuevos

conocimientos, mientras que se realiza un seguimiento del método de estudio

que utiliza de forma que el alumno adquiera la confianza necesaria en su

capacidad matemática que le permitirá resolver adecuadamente los problemas

que le presenten en el futuro. De esta forma, se aumenta el interés y la

motivación por las matemáticas, al ser el propio alumno consciente y constructor

de su aprendizaje.

Por otro lado, y tal y como se ha expuesto en líneas anteriores, se debe

fomentar el trabajo en pequeños grupos, que resulta motivador al adquirir un

compromiso con el grupo; también facilitar nuestra ayuda en aquellos grupos que

más la necesiten mediante intervenciones precisas y positivas. De esta manera,

se favorece un aprendizaje cooperativo en vez de competitivo, la coeducación y

se da la oportunidad de contrastar ideas y llegar a una solución común.

2.3.2. Nuevas tecnologías

La introducción y ampliación de las nuevas TIC en el área de matemáticas

como recurso didáctico para el aprendizaje y resolución de problemas contribuye

a mejorar el desarrollo de la competencia digital, así como despierta la

motivación de los alumnos por esta asignatura.

Los docentes deben tener amplios conocimientos de las nuevas

tecnologías para posteriormente saber guiar a los alumnos. En el campo de las


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matemáticas destacan programas como Geogebra o Cabri, con múltiples

funcionalidades como permitir a los alumnos la comprensión de manera visual

de conceptos matemáticos. Otros programas como el Xlogo son una buena

introducción a la programación informática.

Tanto profesores como centros deben hacer el esfuerzo de incorporar

estás tecnologías como forma de mejorar en las metodologías educativas y

conseguir cada día un mejor proceso de enseñanza-aprendizaje que garantice

una educación de calidad. Aunque debemos ser realistas y responsables, y tener

en cuenta la situación económica actual de muchas instituciones educativas

públicas que no pueden hacer frente al gasto que representa llevar las nuevas

tecnologías a las aulas.

2.3.3. Contexto legislativo actual

Asimismo, no debemos olvidar el contexto actual consecuencia de la

implantación de la Ley Orgánica para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE)

que modifica la Ley Orgánica de Educación (LOE) anteriormente vigente. Los

cambios propuestos en la LOMCE persiguen una simplificación del currículo y

un refuerzo de los aprendizajes instrumentales.

Son numerosas las modificaciones introducidas por la LOMCE, pero

destacan tres cambios que afectan a todas las etapas del sistema educativo y,

algunas de ellas, modifican la estructura de las programaciones didácticas:

1. Definición y elementos del currículo. La LOMCE introduce una

definición de currículo “La regulación de los elementos que determinan los

procesos de enseñanza y aprendizaje para cada una de las enseñanzas” (no

estaba explícita en la LOE) y algunos cambios en los elementos del currículo:

junto a los objetivos, contenidos, competencias clave, metodología didáctica y

criterios de evaluación aparecen los estándares y resultados de aprendizaje. En

cuanto a las competencias también se introducen algunos cambios: dejan de ser

ocho para ser siete y ya no se denominan “competencias básicas”, son

“competencias clave” y hay de dos tipos: dos básicas: lingüísticas (CL) y

matemáticas, ciencia y tecnología (CMCT); y cinco transversales: digital (CD),

aprender a aprender (AA), sociales y cívicas (CSC), iniciativa y

emprendimiento(IE) y conciencia y expresión cultural (CEC). Asimismo, la


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LOMCE establece los objetivos a nivel de la etapa, es decir, no se fijan objetivos

para las asignaturas.

2. Tipología de asignaturas. Las asignaturas pueden ser de tres tipos:

troncales, específicas y de libre configuración autonómica. No se trata de una

jerarquía en función de la importancia sino de las diferentes competencias que

tendrán las administraciones educativas (gobierno y autonomías) en su

establecimiento y determinación.

3. Evaluaciones externas. Son pruebas externas que se realizarán en

todas las etapas, en primaria no tendrán efectos académicos pero las de la ESO

y Bachillerato sí que tendrán efectos académicos y será necesario superarlas

para obtener las titulaciones correspondientes.


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3. EXPERIENCIA PRACTICAS EXTERNAS

Como parte constitutiva del Máster universitario en Profesorado, tuve la

oportunidad de realizar un periodo de prácticas de la especialidad de

Matemáticas en el I.E.S. Práxedes Mateo Sagasta durante dos meses.

En este periodo de tiempo, que abarco del 29 de febrero al 29 de abril,

lleve a cabo la impartición de dos unidades didácticas, la primera destinada a un

grupo de 1º de Bachillerato modalidad Humanidades y Ciencias Sociales en

régimen nocturno y la segunda dirigida a un grupo de 2º de Bachillerato

modalidad Científico-Técnico en régimen nocturno.

Ambas unidades presentaban una metodología que suponía una

integración de diversos métodos didácticos, con predominio de la metodología

constructivista debido a la importancia de los enfoques comunicativo y

cooperativo, así como el valor de los actitudinal. Esta metodología estuvo

alternada con una metodología tradicional en la impartición de la parte teórica,

mediante lecciones magistrales, y algunos rasgos de la metodología conductista,

sobre todo en lo que se refiere a la aplicación de técnicas de modificación de

conducta.

3.1. Descripción del centro de realización de las prácticas

El Instituto de Educación Secundaria, que lleva el nombre de uno de los

personajes más importantes en la historia de España y de Logroño, Práxedes

Mateo Sagasta, fue fundado en 1843 y con sus más de ciento cincuenta años de

vida es el Instituto más antiguo de Logroño. A lo largo de estos casi dos siglos,

el Instituto ha ido acumulando experiencia y calidad en el ámbito educativo, de

tal forma que en la actualidad se ha convertido en un macrocentro con un

ambicioso número de programas y acciones para la Atención a la diversidad y

con un importante sesgo innovador (Programa de colaboración con la Escuela

Oficial de Idiomas, Proyecto de innovación Lingüística, Programa PROA, Plan

de Estímulo a la lectura, Programa de Formación en valores).

El I.E.S. Práxedes Mateo Sagasta cuenta con régimen de estudios diurno,

nocturno y a distancia. El régimen nocturno está constituido por los estudios de:

Bachillerato nocturno. Este se imparte en Institutos de Educación Secundaria y

en Centros privados de Bachillerato autorizados por el Ministerio de Educación.


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I.E.S. Práxedes Mateo Sagasta

Régimen diurno

Educación Secundaria Obligatoria

(ESO)

1º (LOMCE)

2º (LOE)

3º (LOMCE)

4º (LOE)

Bachillerato

Modalidades:

Científico-Técnico

Humanidades y Ciencias Sociales

1º (LOMCE)

2º (LOE)

Internacional

Régimen nocturno

Bachillerato

Régimen a distancia

Bachillerato

Los alumnos tendrán alguno de los siguientes requisitos: i. ser mayor de

dieciocho años; ii. Ser mayor de dieciséis años y acreditar tener determinadas

circunstancias que les imposibiliten poder hacer los estudios en el régimen

diurno. Fue en este régimen donde impartí mis unidades didácticas.

Figura 1. Esquema representativo del régimen de estudios impartidos en el I.E.S

Respecto a la organización del centro, cabe mencionar que esta asienta

los pilares del funcionamiento de la institución y está constituida por:

- El equipo directivo, órgano ejecutivo de gobierno de los centros públicos,

está integrado por el director, el jefe de estudios y el secretario.


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- La Jefatura de Estudios es el órgano encargado de organizar todas las

actividades académicas del centro. Se ocupa del establecimiento de los horarios,

el control de faltas de asistencia, las faltas de convivencia, la organización de las

tutorías, etc. Sus órganos colegiados son el Consejo Escolar, el Claustro de

profesores, y la Comisión de Coordinación Pedagógica.

- El Consejo Escolar es el órgano de participación en el control y gestión

del centro de los distintos sectores que constituyen la comunidad educativa, con

representantes de todos ellos.

- El Claustro es el órgano de participación de los profesores en el control

y gestión del centro y tiene la responsabilidad de planificar, coordinar, informar

y, en su caso, decidir sobre todos los aspectos docentes del centro.

- La Comisión de Coordinación Pedagógica, que, establece las directrices

generales para la elaboración y revisión de los proyectos curriculares de etapa

asegurando su coherencia con el proyecto educativo del instituto, y las directrices

generales para la elaboración y revisión de las programaciones didácticas de los

departamentos, del plan de orientación académica y profesional y del plan de

acción tutorial.

Asimismo, el Proyecto Educativo del Centro (P.E.C.) define otros aspectos

generales como:

- La línea pedagógica del centro que define los objetivos educativos que

se propone alcanzar la comunidad educativa del instituto, enmarcados en las

exigencias de la Constitución Española (artículo 27) y de la Ley Orgánica de

Educación. El objetivo final del I.E.S. Práxedes Mateo Sagasta es un tipo de

alumno que contribuya a desarrollar en él mismo y en los demás actitudes y

hábitos característicos propios de una sociedad democrática y justa, a través de

una metodología contextualizada, significativa y activa que respete las

peculiaridades de cada área y de cada profesor.

- El Plan de Acción Tutorial elaborado por el departamento de Orientación

en colaboración con los tutores, que deben atender a la formación integral de su

grupo de alumnos y seguir su proceso de aprendizaje y de maduración personal,

en coordinación con el resto del profesorado y con las familias. El plan contempla

la acogida, integración y convivencia del grupo, el desarrollo de la identidad

personal, técnicas del trabajo y estudio, habilidades sociales, orientación

académica y profesional y coordinación del proceso de evaluación.


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- El Plan de Atención a la Diversidad que implica a todo el profesorado,

fomentando una cultura de colaboración y trabajo en equipo, buscando las

medidas educativas adecuadas y la prevención del absentismo y el abandono

escolar, implicando a las familias. Planteando medidas generales, como los

criterios de agrupación y distribución de alumnos; medidas ordinarias

curriculares, y medidas específicas, destinadas al alumnado con necesidad

específica de apoyo educativo (ANEAE), que requiere una atención educativa

diferente a la ordinaria por presentar necesidades educativas especiales o

dificultades específicas de aprendizaje.

- El Plan de Convivencia que parte de unos principios generales, desde

los que establece las normas a tener en cuenta por los distintos miembros de la

Comunidad Educativa, la tipificación de las faltas, la corrección de conductas

contrarias y graves y el procedimiento para la imposición de correcciones y

sanciones.

3.1.1. Nivel sociocultural del alumnado

Su situación céntrica dentro de la ciudad de Logroño y su amplia variedad

de ofertas educativas favorecen a que la procedencia de los alumnos sea muy

diversa, actualmente los alumnos vienen de diez centros distintos, tanto públicos

como privados y de distintos pueblos de La Rioja. También es muy variada la

situación socioeconómica y cultural de los alumnos, en la que encontramos

alumnos de familias con graves dificultades socioeconómicas, sobre todo en los

colectivos de inmigrantes y las minorías étnicas, junto a otros alumnos de

familias obreras y clase media o clase media alta. Para quienes no dispongan de

medios para comprar el material escolar, se ha habilitado un servicio de

préstamo de los libros del curso. Por todo lo expuesto en líneas anteriores y

citando el presente P.E.C., esta variada situación socioeconómica y cultural de

los alumnos, “sigue haciendo del "Sagasta" un centro educativo heterogéneo,

plural, liberal, acogedor”.

No obstante, la realidad del centro es un ejemplo de las grandes

dificultades que surgen en la enseñanza debido a la concentración de alumnado

inmigrante y gitano en determinados centros escolares, algo que ocurre en el

I.E.S. especialmente en el primer ciclo de Secundaria. Cito aquí unas líneas del

4º Informe de la Comisión Europea contra el Racismo y la Intolerancia (ECRI)


16

que son significativas al respecto. El presente informe, en materia de educación,

muestra que “las autoridades deberían revisar los procedimientos de admisión

para garantizar una distribución uniforme de los alumnos españoles, inmigrantes

y gitanos, y tomar medidas para reducir significativamente la deserción de éstos

últimos”.

3.2. Estudio del Grupo-Clase

Durante las siguientes líneas, se va a presentar un estudio del grupo-clase

donde se desarrolló la unidad didáctica en la que se asienta el proyecto de

innovación educativa. El grupo que se va a analizar a es 1º BHCS (Matemáticas

aplicadas de 1º Bachillerato modalidad Humanidades y Ciencias Sociales) en

régimen nocturno.

La mayoría eran jóvenes de entre 18 y 25 años, que, en muchos casos,

abandonaron sus estudios años atrás por diversas circunstancias laborales o

personales, y han decidido darse una segunda oportunidad para poder acceder

a la Universidad o a los ciclos formativos, con un horario vespertino que les

permite continuar con su vida laboral o compaginarlo con otras actividades. Me

gustaría destacar que con la crisis han sido muchos los que han decidido volver

a las aulas, conformando un alumnado diferente al del Bachillerato diurno, más

disciplinado, más maduro y que ha vuelto a los estudios voluntariamente, por un

interés personal, aunque, por otra parte, con menos tiempo para dedicar a sus

estudios fuera el centro.

Aunque el número de alumnos matriculados es el de una clase normal (25

– 30 alumnos), existe un elevado índice de absentismo escolar, solo muy pocos

asisten regularmente a clase y cabe resaltar que no hay estudiantes con

adaptaciones curriculares en los cursos en los que se han realizado las prácticas.

1º BACHILLERATO CCSS NOCTURNO

Aunque, en términos generales, el rendimiento académico del grupo es

bajo y el índice de suspensos es bastante alto, sobre todo si se tiene en cuenta

que están ya en la tercera evaluación, los niveles de aprendizaje de los alumnos

varían mucho entre sí.

Solamente asistían regularmente a clase cinco alumnos, cuatro chicas y

un chico. Al ser un grupo tan pequeño tuve la oportunidad de conocer mejor sus


17

habilidades y personalidades, y así pude proporcionarles una enseñanza de las

matemáticas personalizada.

Aunque en líneas anteriores se ha comentado que el alumnado que cursa

el Bachillerato Nocturno suele ser maduro, he constatado cierto nivel de

inmadurez entre las chicas, que no llegaba a crear conductas disruptivas en

clase al ser tan pequeño el número de alumnos. Aparte de los distintos niveles

de aprendizaje y madurez, constaté la existencia de tres alumnos (un chico y dos

chicas) cuya participación en clase era muy limitada debido a su timidez. En todo

momento, intenté que superaran la vergüenza de hablar en público, mediante la

interacción afectiva y la transmisión de confianza, pero, sobre todo, con el

planteamiento de actividades cooperativas dinámicas a través de las cuales

pudieran ganar seguridad en sí mismos.

Respecto a los condicionamientos socioculturales, se trataba de un grupo

con alumnos de diversas procedencias étnicas. Aparte de la mayoría de alumnos

españoles, había una alumna latinoamericana y un alumno marroquí. Cabe

destacar el caso especial de una alumna española que tuvo que dejar el curso

académico a mediados de abril porque su padre tenía una enfermedad terminal

y se trasladó a la Comunidad Autónoma donde estaba recibiendo tratamiento.

3.3. Reflexión sobre los procesos de enseñanza-aprendizaje en el aula

Antes de comenzar la reflexión sobre los procesos de enseñanza/

aprendizaje llevado a cabo en el aula, querría destacar que mi profesora-tutora

en el centro, María Teresa Pérez Álvarez, no sólo constituye un excelente

modelo que facilita un aprendizaje observacional por parte de los alumnos, sino

que además su manejo de las nuevas tecnologías le permite motivar a los

alumnos y manejar mejor la dinámica de la clase.

Asimismo, me gustaría destacar que la relación de los alumnos con la

profesora-tutora es personalizada, cordial y muy fluida. Además, como estrategia

para motivarlos realiza refuerzos positivos durante el desarrollo de las clases, se

muestra interesada en sus aportaciones y les felicita por sus ideas y puntos de

vista.


18

3.3.1. Metodología

La metodología empleada por la profesora-tutora supone una integración

de diversas metodologías, que se basa principalmente en planteamientos

constructivistas, como, por ejemplo, un enfoque comunicativo, pero que también

incluye esquemas tradicionales.

El formato de las clases presenta el siguiente patrón. Una vez que todos

están sentados, la profesora presenta oralmente las actividades de la sesión del

día. Primero les pide que, si a la hora de repasar les ha surgido alguna duda o

problema, lo planteen. No se dan largas explicaciones academicistas, la teoría

se aprende a base de práctica y de puesta en común de problemas y dudas. El

planteamiento de dudas se desarrolla como una actividad conjunta, en la que

participa el grupo clase, y es productiva para todos los alumnos. La duración de

las clases es de 50 minutos.

El proceso de enseñanza-aprendizaje llevado a cabo por mi profesora-

tutora cumple los siguientes requisitos:

Partir del nivel de desarrollo del alumnado y de sus aprendizajes previos.

Asegurar la construcción de aprendizajes activos y significativos a través

de la movilización de sus conocimientos previos y de la memorización

comprensiva.

Posibilitar que los alumnos y las alumnas realicen aprendizajes

significativos por sí solos.

Favorecer situaciones en las que los alumnos y alumnas deben actualizar

sus conocimientos.

Proporcionar situaciones de aprendizaje que tienen sentido para los

alumnos y alumnas, con el fin de que resulten motivadoras.

Se podría decir que los principios que orientan su práctica educativa son

los siguientes:

Metodología activa. Integración activa de los alumnos y alumnas en la

dinámica general del aula y en la adquisición y configuración de los

aprendizajes. Así como, participación en el diseño y desarrollo del

proceso de enseñanza-aprendizaje.

Motivación. Considera fundamental partir de los intereses, demandas,

necesidades y expectativas de los alumnos y alumnas. También es

importante arbitrar dinámicas que fomenten el trabajo en grupo.


19

Atención a la diversidad del alumnado. Asume como uno de sus principios

básicos tener en cuenta sus diferentes ritmos de aprendizaje, así como

sus distintos intereses y motivaciones. Aunque en Bachillerato, por las

características de la etapa, la madurez del alumnado y la no

obligatoriedad de los estudios, esta actuación es menos crítica.

Respecto a la evaluación del proceso educativo, es concebida de una

forma holística, es decir, analiza todos los aspectos del proceso educativo y

permite la retroalimentación, la aportación de informaciones precisas que

permiten reestructurar la actividad en su conjunto.

3.3.2. Recursos

En las clases apenas se utiliza la pizarra. La profesora utiliza un iPad

conectado al proyector del aula y con la ayuda de un lapicero especial a través

de programa Inkflow escribe en el iPad. El resultado es muy bueno, se ve

perfectamente y facilita que los alumnos presten atención al usar las nuevas

tecnologías y se puedan beneficiar de sus ventajas. A continuación, citaré

algunos de las ventajas que considero más relevantes del uso del iPad en el

aula:

La profesora lleva un control absoluto de lo explicado en cada clase ya

que se guardan todos los archivos creados.

Permite un contacto visual con los estudiantes mucho mayor que con el

sistema tradicional de pizarra y tiza.

Permite volver a atrás en las explicaciones a la hora de resolver alguna

duda planteada por los alumnos, caso imposible si has borrado la pizarra.

Da mucho juego a la hora de utilizar colores, agrandar figuras, etc. Se

favorece la comprensión de los conceptos por parte de los alumnos.

Si existe conexión a internet en el instituto, permite navegar y reforzar la

clase con algún ejemplo interesante.

El uso de este tipo de recurso tiene en cuenta las diferentes inteligencias

múltiples que presentan los alumnos.


20

3.4. Unidad didáctica: Probabilidad

1º BACHILLERATO CCSS NOCTURNO

Durante el desarrollo de mis prácticas en el I.E.S. Práxedes Mateo

Sagasta impartí de forma completa la unidad didáctica de Probabilidad y de

forma parcial la unidad didáctica de Estadística unidimensional y bidimensional.

Antes de comenzar a desarrollar las correspondientes unidades

didácticas, citaré los objetivos curriculares marcados en la LOMCE que se han

de tener en cuenta en la elaboración de la programación didáctica y en el

transcurso del curso académico.

El Bachillerato contribuirá a desarrollar en los alumnos y las alumnas las

capacidades que les permitan:

Ejercer la ciudadanía democrática, desde una perspectiva global, y

adquirir una conciencia cívica responsable, inspirada por los valores de la

Constitución española, así como por los derechos humanos, que fomente

la corresponsabilidad en la construcción de una sociedad justa y

equitativa.

Consolidar una madurez personal y social que les permita actuar de forma

responsable y autónoma y desarrollar su espíritu crítico. Prever y resolver

pacíficamente los conflictos personales, familiares y sociales.

Fomentar la igualdad efectiva de derechos y oportunidades entre hombres

y mujeres, analizar y valorar críticamente las desigualdades y

discriminaciones existentes, y en particular la violencia contra la mujer e

impulsar la igualdad real y la no discriminación de las personas por

cualquier condición o circunstancia personal o social, con atención

especial a las personas con discapacidad.

Afianzar los hábitos de lectura, estudio y disciplina, como condiciones

necesarias para el eficaz aprovechamiento del aprendizaje, y como medio

de desarrollo personal.

Dominar, tanto en su expresión oral como escrita, la lengua castellana y,

en su caso, la lengua cooficial de su Comunidad Autónoma.

Expresarse con fluidez y corrección en una o más lenguas extranjeras.

Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información

y la comunicación.


21

Conocer y valorar críticamente las realidades del mundo contemporáneo,

sus antecedentes históricos y los principales factores de su evolución.

Participar de forma solidaria en el desarrollo y mejora de su entorno social.

Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y

dominar las habilidades básicas propias de la modalidad elegida.

Comprender los elementos y procedimientos fundamentales de la

investigación y de los métodos científicos. Conocer y valorar de forma

crítica la contribución de la ciencia y la tecnología en el cambio de las

condiciones de vida, así como afianzar la sensibilidad y el respeto hacia

el medio ambiente.

Afianzar el espíritu emprendedor con actitudes de creatividad, flexibilidad,

iniciativa, trabajo en equipo, confianza en uno mismo y sentido crítico.

Desarrollar la sensibilidad artística y literaria, así como el criterio estético,

como fuentes de formación y enriquecimiento cultural.

Utilizar la educación física y el deporte para favorecer el desarrollo

personal y social.

Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad

vial.

Por otra parte, y como ya se ha comentado anteriormente, la LOMCE

propone siete competencias que han de desarrollarse durante el curso

académico. Estas competencias se adecuan a los objetivos del curso, y dado

que el alumnado de bachillerato ha superado la E.S.O., se trata de perfeccionar

y ampliar las competencias adquiridas.

Obviamente la competencia que se trabaja por excelencia en Matemáticas

es la competencia matemática (CM) y competencias básicas en ciencia y

tecnología (CMCT). El uso de programas informáticos específicos para

matemáticas favorece la Competencia Digital (CD). Y las demás competencias

se acoplan a los distintos estándares de aprendizaje y objetivos de la asignatura.

3.4.1. Introducción

La presente unidad didáctica está pensada para desarrollarse en tres

semanas de curso (12 horas lectivas).

El centro de interés será la motivación y atención a la diversidad. Para

ello, se desarrollarán una serie de actividades que contemplen las inteligencias


22

múltiples y que tengan en cuenta, a través de la diferenciación de contenidos,

que el ritmo de aprendizaje de los alumnos no es uniforme.

Los alumnos deberán conocer conceptos básicos sobre probabilidad,

diferenciando entre sucesos posibles, probables y seguros y realizando los

cálculos correspondientes.

Es posible que existan algunas dificultades para comprender el significado

de sucesos dependientes e independientes. Estas dificultados se deben prevenir

mediante experimentos sencillos, planteando en cada suceso el interrogante

correspondiente. De todas formas, se realizará una evaluación inicial para

determinar cuál es el nivel de los alumnos, pudiendo así enfocar la enseñanza a

sus necesidades reales.

3.4.2. Objetivos

Conocer y realizar experimentos aleatorios.

Realizar diagramas de árbol.

Calcular variaciones, permutaciones y combinaciones.

Estudiar distintos tipos de sucesos y realizar operaciones con ellos.

Conocer las propiedades de la probabilidad y aplicar la regla de Laplace.

Resolver cálculos y problemas de probabilidad condicionada, realizando

tablas de contingencia y calculando la dependencia e independencia de

sucesos.

3.4.3. Competencias

Comprende la situación planteada en el enunciado de problemas y

responde a las preguntas que se le formulan, empleando números y datos

relacionados entre sí (CL, CMCT, CSC).

Utiliza pautas y modelos matemáticos para resolver ejercicios y

problemas según el contexto (CL, CMCT, CSC).

Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y

compuestos mediante la regla de Laplace y diferentes técnicas de

recuento (CL, CMCT, CD, AA, CSC).

Resuelve y describe situaciones relacionadas con la estadística,

utilizando un vocabulario adecuado (CL, CMCT, CD, AA, CSC).


23

Interpreta y resuelve ejercicios y problemas a partir de informaciones

estadísticas, relacionadas con la vida cotidiana (CL, CMCT, CD, AA,

CSC).

3.4.4. Contenidos curriculares de la etapa

Bloque 1. Procesos, métodos y actitudes en matemáticas

Planificación del proceso de resolución de problemas.

Estrategias y procedimientos puestos en práctica: relación con otros

problemas conocidos, modificación de variables, suponer el problema

resuelto, etc.

Análisis de los resultados obtenidos: coherencia de las soluciones con la

situación, revisión sistemática del proceso, otras formas de resolución,

problemas parecidos.

Elaboración y presentación oral y/o escrita de informes científicos sobre

el proceso seguido en la resolución de un problema.

Realización de investigaciones matemáticas a partir de contextos de la

realidad.

Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes

adecuadas y afrontar las dificultades propias del trabajo científico.

Bloque 4. Estadística y probabilidad

Sucesos. Asignación de probabilidades a sucesos mediante la regla de

Laplace y a partir de su frecuencia relativa.

Aplicación de la combinatoria al cálculo de probabilidades.

Experimentos simples y compuestos. Probabilidad condicionada.

Dependencia e independencia de sucesos.

3.4.5. Contenidos de la unidad

Experimentos aleatorios; método de conteo.

Diagrama de árbol; variaciones, permutaciones, variaciones y

combinaciones.

Sucesos.

Operaciones con sucesos.

Frecuencia y probabilidad.

Propiedades de la probabilidad.


24

Regla de Laplace.

Probabilidad condicionada.

3.4.6. Actividades

Sesión 1 - Definición experimento aleatorio: aquel que depende del azar. No se

puede predecir el resultado.

- Definición espacio muestral, E: conjunto de todos los casos que pueden

ocurrir.

- Ejemplo de espacio muestral en “lanzar una moneda al aire” E = {C, +}

- Definición de suceso. Se representan con letras mayúsculas. Pueden

ser: i) compuestos (formados por varios sucesos elementales) (“sacar un as de

oros”); ii) elementales (formados por un solo elemento) (“sacar un as”)

- Definición de suceso contrario, Ac: cuando no ocurre A.

- Definición de suceso imposible, Ø: el que no puede ocurrir nunca.

- Definición de suceso seguro, E: el que ocurre siempre.

- Operaciones con sucesos. Unión, ∪: A ∪ B: ocurre A, ocurre B u ocurren

los dos a la vez. Intersección, ∩ : A ∩ B: ocurren A y B simultáneamente.

- Introducción del Diagrama de Venn.

- Actividad 1. Si lanzamos un dado y A es obtener un número primo, y B

obtener un número par.

i) Dibuja el Diagrama de Venn

ii) Calcula la unión de A y B

iii) Calcula la intersección de A y B

Soluciones: i)


25

ii) A B = {2, 3, 4, 5, 6}; iii) A B= {2}

Sesión 2

Esta sesión tendrá carácter práctico. Se irán proponiendo una serie de

actividades y mandando salir a la pizarra a desarrollarlas. Se trabajarán sucesos

y operaciones con sucesos.

-Ejercicio 1. ¿Cuáles de los conjuntos {1, 2, 3}, {2, 1, 3}, {3, 2, 1}, {2, 3, 1}

son iguales?

Soluciones: Todos son iguales. El orden de los elementos no cambia el suceso.

-Ejercicio 2. ¿Cuáles de los conjuntos siguientes son finitos? i) los meses

del año; ii) {1, 2, 3, …, 98, 99, 100}; iii) el número de personas que viven en La

Tierra; iv. El conjunto de los números reales.

Soluciones: i, ii y iii.

-Ejercicio 3. Determina cuáles de los sucesos siguientes son iguales: Ø,

{0}, {Ø}

Son todos diferentes.

- Ejercicio 4. Sea E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6,

8} y C = {3, 4, 5, 6}. Calcula: i) Ac; ii) A∩B; iii) (A∩B) c; iv) A∪B; v) A-B = A ∩ Bc

Soluciones: i) {5, 6, 7, 8, 9}; ii) {3, 4}; iii) {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9}; iv) {1, 2, 3, 4, 6, 8}; v)

{2, 8}.

- Ejercicio 5. Sea E = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B = {b, d, e}. Calcula: i)

A∪B; ii) A∩B; iii) Bc, iv) B-A; v) Ac∩B; vi) Bc∪A; vii) Ac∩Bc; viii) Bc - Ac; ix) (A∩B)c;

x) (A∪B)c.

En este último ejercicio se les indica a los alumnos que en la siguiente sesión se

explicarán la Leyes de Morgan, las cuales permiten resolver de forma sencilla

este tipo de cuestiones.

Soluciones: i) {a, b, d, e}; ii) {b, d}; iii) {a, c}; iv) {e}; v) {6}; vi) {a, b, c, d}; vii) {c};

viii) {a}; ix) {a, c, e}; x) {c}.

Sesión 3

- Explicación de las Leyes de Morgan que declaran las reglas de

equivalencia en las que muestran que dos proposiciones pueden ser

lógicamente equivalentes. Se utilizarán diagramas de Venn para que

demuestren las igualdades.


26

- Ejercicio 1. Sea E = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B = {b, d, e}. i) A∪B; ii)

A∩B; iii) Bc, iv) B-A; v) Ac∩B; vi) Bc∪A; vii) Ac∩Bc; viii) Bc - Ac; ix) (A∩B)c; x) (A∪B)c.

Sesión 4

- Introducción de la Combinatoria.

- Explicación detallada de permutaciones ordinarias. Influye el orden y se

utilizan todos los elementos. Sin repetición. Son las diferentes maneras de

ordenar todos esos elementos. La única diferencia entre ellas es el orden de

colocación de sus elementos.

- Ejercicio 1. Con las letras de la palabra DISCO ¿cuántas palabras de 5

letras distintas podemos formar? ¿influye el orden de los elementos? Sí, porque

si cambiamos el orden obtenemos palabras distintas. ¿cogemos todos los

elementos disponibles? Sí. ¿se pueden repetir elementos? No. Permutaciones

sin repetición de 5 elementos tomados de 5 en 5.

𝑃𝑛=𝑛!

- Definición de la función factorial. Se multiplica la serie de números que

descienden. Se pone como ejemplo el 4! = “cuatro factorial” ó “factorial de 4” 4!

= 4*3*2*1 = 24

- 7! = 7*6*5*4*3*2*1=5.040; 1! = 1; 0! = 1

- Calcular el factorial utilizando un valor anterior. 7! = 7*6*5*4!

- Ejercicio 2. ¿Cuánto es 10! si 9! es 362.880?

Solución: 10!= 10*9!= 3.628.800

- Explicación detallada de variaciones ordinarias de m elementos de n a

todas las posibles agrupaciones ordenadas que podamos hacer de esos m

elementos.

𝑉𝑚,𝑛=𝑚!/((𝑚−𝑛)!)

Influye el orden

Sí

Todos los elementos

Permutaciones ordinarias

𝑃𝑛 = 𝑛!

Solo una parte

Variaciones ordinarias

𝑉𝑚, 𝑛 =𝑚!

(𝑚 − 𝑛)!

No Combinaciones 𝐶𝑚, 𝑛 =𝑚𝑛

= 𝑚!

𝑛!(𝑚−𝑛)!


27

- Ejercicio 3. ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con

1, 2, 3, 4, 5, 6? ¿influye el orden de los elementos? Sí, porque si cambiamos el

orden obtenemos números distintas. ¿cogemos todos los elementos

disponibles? No. ¿se pueden repetir elementos? No. Variación sin repetición de

6 elementos tomados de 3 en 3.

𝑉𝑚,𝑛=𝑚!/((𝑚−𝑛)!)

Solución: 𝑉 6,3=6!/((6−3)!)=(6∗5∗4∗3!)/3!= 6*5*4 = 120

- Explicación detallada de combinaciones. Se llaman combinaciones de m

elementos tomados de n en n (m ≥ n) a todas las agrupaciones posibles que

pueden hacerse con los m elementos de forma que: No entran todos los

elementos. No importa el orden. No se repiten los elementos.

𝑪 𝑚,𝑛 = 𝑚! / (𝒏! (𝑚−𝑛)!)

- Ejercicio 4. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos

tomados de 4 en 4.

¿influye el orden de los elementos? No. ¿cogemos todos los elementos

disponibles? No. ¿se pueden repetir elementos? No. Combinaciones sin

repetición de 10 elementos tomados de 4 en 4.

- Introducción de un nuevo parámetro: repeticiones.

Sesión 5

- Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento

se repite 𝛼 veces, el segundo 𝛽 veces, el tercero 𝛾 veces, ...

PR𝛼, 𝛽, 𝛾

𝑛=

𝒏!

𝛼!𝛽!𝛾!

- Ejercicio 1. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de

nueve cifras se pueden formar?

Cuando hay repetición

Permutaciones con repetición, PR

PR𝛼, 𝛽, 𝛾

𝑛=

𝑛!

𝛼!𝛽!𝛾!

Variaciones con repetición, VR

𝑉𝑅 𝑚, 𝑛 = 𝑚𝑛


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¿influye el orden de los elementos? Sí, porque si cambiamos el orden obtenemos

palabras distintas. ¿cogemos todos los elementos disponibles? Sí. ¿se pueden

repetir elementos? Sí.

Permutaciones con repetición de 9 elementos tomados de 4 en 4, 3 en 3 y 2 en

2.

Solución: PR = 9!/3!4!2! = (9∗8∗7∗6∗5∗4!)/(3∗2∗1∗4!∗2∗1)=(9∗8∗7∗5)/2=1.260

- Variaciones con repetición. Llamaremos variaciones de m elementos de

n a todas las posibles agrupaciones ordenadas que podamos hacer de esos m

elementos.

𝑉𝑅 𝑚, 𝑛=𝑚^𝑛

- Ejercicio 3. ¿Cuántas apuestas distintas se pueden hacer en la quiniela

para cubrir todas las posibilidades? Nota: Incluido el pleno al 15. ¿influye el orden

de los elementos? Sí, porque si cambiamos el orden obtenemos resultados

distintos. ¿cogemos todos los elementos disponibles? No. ¿se pueden repetir

elementos? Sí. Para rellenar una quiniela usamos tres signos 1, X, 2, luego

tenemos tres elementos. Se rellenan 15 casillas, por tanto, los agrupamos de 15

en 15.

Solución: 𝑉𝑅 3, 15=315=14.348.907

- A continuación, se propone una serie de ejercicios para que apliquen los

conocimientos estudiados en la anterior y en la presente sesión (ver anexo 1).

Sesión 6

- Se continúa con la serie de ejercicios propuesta la sesión anterior (ver

anexo 1).

Sesión 7

- Introducción Probabilidad, rama de las matemáticas que analiza los

experimentos aleatorios.

- Definición de experimento aleatorio (EA): es aquel en el cual no podemos

predecir el resultado preciso. “Lanzar una moneda”, “tirar un dado”, etc. Aunque

podemos enumerar el conjunto de todos los resultados posibles del experimento

y decidir cuán probable es un resultado determinado.


29

- Ejercicio 1. Si tiramos un dado al aire. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} “Tirar un dado”.

i) Sea A el suceso “sale un número par”. Dibujar el diagrama de árbol. ii)Sea B

el suceso “sale un número primo”. Dibujar el diagrama de Venn.

- Regla de Laplace. Si se trata de un experimento aleatorio regular, la

probabilidad de un suceso A se puede calcular como el número de casos

favorables a A entre el número de casos totales. 𝑃(𝐴) =𝑛º 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝐴

𝑛º 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

- Ley de los grandes números.

La probabilidad se puede definir como el número hacia el que tienden las

frecuencias relativas de un suceso cuando repetimos el experimento aleatorio un

número elevado de veces. Frecuencia relativa de un suceso =

𝑛º 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑒 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜

𝑛º 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑒 ℎ𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜

- Ejercicio 2. Lanzamos una moneda 100 veces y se obtiene cara 42

veces. ¿Cuál es la frecuencia relativa del suceso A = “salir cara”? ¿Y la

frecuencia relativa del suceso B = “salir cruz”?

Solución: 𝑓(𝐴)=42/100=0,42; 𝑓(𝐵)=58/100=0,58

- Ejercicio 3. Cuatro amigos lanzan 100 veces cada uno una moneda y

anotan los resultados. i) Razona si la moneda está o no trucada; ii) Calcula tu

frecuencia relativa en el suceso “salir cara”; iii) Calcula la probabilidad del suceso

“salir cara”.

Moneda Raquel Glenda Yassine Marta

Cara 70 68 69 72

Cruz 30 32 31 28

Soluciones: i) La moneda esta trucada ya que para que no estuviese trucada, el

número de caras y el número de cruces deberían ser más o menos el mismo; ii)

La frecuencia relativa del número de caras en cada caso es: f(Raquel)=0,70;

f(Glenda)=0,68; f(Yassine)=0,69; f(Marta)=0,72. iii) La probabilidad de obtener

cara se aproxima a 0,7

- Explicación de las propiedades de la probabilidad.

La probabilidad de cualquier suceso es siempre mayor o igual que 0 y

menor o igual que 1. 𝟎 ≤ 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏


30

La probabilidad del suceso seguro es 1 y la probabilidad del suceso

imposible es 0. 𝑷(𝑬) = 𝟏; 𝑷 (∅) = 𝟎

La probabilidad de cualquier suceso es igual a 1 menos la probabilidad de

su contrario. 𝑷(𝑨) = 𝟏 − 𝑷(𝑨C)

Cuando dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es la

suma de sus probabilidades. 𝑷(𝑨∪𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)

Para dos sucesos cualesquiera, A y B, se verifica siempre que la

probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades menos

la de la intersección. 𝑷(𝑨∪𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨∩𝑩)

- Ejercicio 4. La probabilidad de que una persona use gafas (A) es 0,60; la

probabilidad de que tenga los ojos claros (B) es de 0,60 y la probabilidad de que

use gafas y tenga los ojos claros (A∩B) es 0,52. Calcula la probabilidad de que,

elegida una persona al azar. i) no use gafas; ii) use gafas o tenga los ojos claros;

iii) no use gafas o no tenga los ojos claros.

Soluciones: i) 𝑃 (𝐴)c = 1−𝑃 (𝐴); 𝑃 (𝐴)c = 1−0,60 = 0,40; ii) 𝑃 (𝐴∪𝐵) = 𝑃 (𝐴)+𝑃 (𝐵) –

𝑃 (𝐴∩𝐵); 𝑃 (𝐴∪𝐵) = 0,60 + 0,60 − 0,52 = 0,68; iii) 𝑃 (𝐴c ∪𝐵c) = 𝑃 (𝐴∩𝐵)c = 1 – 𝑃

(𝐴∩𝐵); 𝑃 (𝐴c ∪𝐵c) = 1 − 0,52 = 0,48

- Ejercicio 5. De los sucesos A y B de un experimento aleatorio se sabe

que P (A) = 2 / 5, P (B) = 1 / 3 y 𝑷 (𝑨c∩𝑩c) = 1 / 3. Calcula: 𝑃(𝐴∪𝐵); 𝑃(𝐴∩𝐵);

𝑃(𝐴c∪𝐵c)

Soluciones: i) 2/3; ii) 0,06; iii) 0,93

Sesión 8

En esta sesión se realizará un repaso de todo lo visto anteriormente en la unidad

para reforzar conocimientos.

- Los alumnos deberán trabajar por su cuenta durante 20 minutos y

posteriormente corregiremos los ejercicios (ver anexo 2) en la pizarra y en

algunos casos, saldrán a exponer el ejercicio.

Sesión 9

- Recordar la regla de Laplace.

- Ejercicio 1. En la Lotería Primitiva se sacan 6 bolas de una urna que

contiene 49 bolas con la misma probabilidad de salir, por lo que es un


31

experimento regular y se puede aplicar la regla de Laplace. Halla la probabilidad

de acertar los 6 números en el sorteo de la Lotería Primitiva.

𝑃 (𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜) =𝑛º 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜

𝑛º 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

¿Cuál es el nº casos posibles? Mediante combinatoria. Nos debemos preguntar:

¿influye el orden? ¿se cogen todos los elementos? ¿se repiten?

Solución:

𝐶 49,6 = (496

) =49!

6! (49 − 6)!=

49!

6! 43!= 13 983 816

𝑃 (𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑜) =1

13983816= 0,0000000715

- Ejercicio 2. Se extrae una carta de la baraja española. Calcula la

probabilidad de que sea: i) una espada; ii) una figura; iii) una figura de bastos; iv)

un as de oros o copas.

Soluciones: i) P(una espada) = 10/40 = ¼ =0,25; ii) P(una figura) = 12/40 = 0,30;

iii) P(una figura de bastos) = 3/40 = 0,075; iv) P(un as de oros o copas= 2/40 =

1/20 = 0,05

- Ejercicio 3. De una urna con 8 bolas numeradas del 1 al 8 se extraen

consecutivamente dos y se anota los números de dos cifras que se forman con

sus dígitos. Calcula la probabilidad de que el número sea múltiplo de 5.

1º ¿Cuántos casos posibles hay? ¿influye el orden? ¿se cogen todos los

elementos? ¿hay repetición? Sí influye el orden. No se cogen todos los

elementos. No se repiten.

Variación ordinaria de 8 elementos tomados de 2 en 2.

Solución: 𝑉𝑚, 𝑛 =𝑚!

(𝑚−𝑛)! = 𝑉 8, 2 =

8!

(8−2)!=

8∗7∗6!

6!= 8*7 = 56

De esos 56 casos posibles solo nos interesan los que acaben en 5.

{15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85}

*el 55 no puede darse porque se extraen consecutivamente las bolas.

𝑃 (𝑛º 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 5) =7

56= 0,125

Sesión 10

- Dependencia e independencia de sucesos.

Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no influye en la

del otro o al revés. 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴/𝐵)


32

- Teniendo en cuenta la definición de probabilidad condicionada, ver que

dos sucesos son independientes, si cumplen una cualquiera de las tres

condiciones siguientes: 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴/𝐵); 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝐵; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵)

- Remarcar la diferencia entre los sucesos independientes con

incompatibles para evitar posibles confusiones.

Sesión 11

- Probabilidad condicionada. 𝑃(𝐵 𝐼 𝐴)

La probabilidad de un suceso B, cuando sabemos que ha ocurrido otro suceso

A.

𝑃(𝐵 𝐼 𝐴) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)

𝑃(𝐴)

- Ejercicio 1. Se lanza un dado. Si sale par, se extrae una bola de la urna

1. Si sale un 1, se extrae una bola de la urna 2. En cualquier otro caso, se extrae

una bola de la urna 3. Si se lanza un dado que no esté trucado, halla la

probabilidad de que: i) la bola extraída sea de color rojo. ii) la bola extraída

proceda de la urna 3 si sabemos que es de color rojo.

Bolas Urna 1 Urna 2 Urna 3

Rojas 3 2 1

Negras 4 5 6

- Ejercicio 2. En una bolsa hay 6 caramelos de menta (M) y dos caramelos

de limón (L). Se escoge un caramelo al azar y no se repone la bolsa. Después

se escoge un segundo caramelo al azar. Halla la probabilidad de que: i) se haya

escogido uno de cada tipo. ii) sabiendo que se ha escogido uno de cada tipo, la

probabilidad de que el primer caramelo escogido sea de menta

Soluciones: i) P (uno de cada tipo) = P (M, L) + P (L, M) = 12/56 + 12/56 = 24/56

= 3/7

ii) 𝑃(𝐵 𝐼 𝐴) = 𝑃(𝐵∩𝐴)

𝑃(𝐴); P (1º menta) (M, L) = 12/56 = 3/14; P (uno de cada tipo) =

3/7; 𝑃(𝑀, 𝐿 𝐼 𝑀, 𝐿 ∪ 𝐿, 𝑀 ) = 3/14

3/7= 1/2

- Ejercicio 3. En una clase de 25 alumnos, 16 estudian francés, 11 alemán

y 4 ningún idioma. Si se elige a un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:


33

i) el alumno estudie francés, sabiendo que estudia alemán. ii) el alumno estudie

ambos idiomas, sabiendo que al menos estudia uno de los idiomas.

Soluciones: i) 𝑃 (𝐹 𝐼 𝐴) = 6/11; ii) 𝑃 (𝐹∩𝐴 𝐼 𝐹∪𝐴) = 6/21

- Ejercicio 4. Se hizo una encuesta a 40 personas sobre gustos a la hora

de elegir destino de vacaciones. 23 contestaron que les gustaba viajar a la playa,

20 a la montaña y 5 a ninguno de los dos sitios. Si se elige a una persona al azar,

calcula la probabilidad de que: i) le guste viajar a la playa, sabiendo que no le

gusta la montaña.

ii) le guste viajar a la montaña, sabiendo que le gusta viajar a la playa.

ii) le guste viajar a la playa y la montaña, sabiendo que le gusta al menos una de

las dos.

i) 𝑃 (𝑃 𝐼 𝑀c) = 15/20; ii) 𝑃 (𝑀 𝐼 𝑃) = 8/23; iii) 𝑃 (𝑃∩𝑀 𝐼 𝑃∪𝑀) = 8/35

Sesión 12

- Examen de evaluación de la presente unidad didáctica (ver anexo 3).

3.4.7. Metodología didáctica

Los criterios metodológicos que han presidido la elaboración de la unidad

didáctica asumen una concepción constructiva del aprendizaje. Esto significa

tener en cuenta el punto de partida del alumnado y la forma en que éste elabora

los conocimientos matemáticos. Los alumnos tienen un cierto nivel de relaciones

con la vida real, basadas en las experiencias que poseen. Se parte así de estas

experiencias para introducir los conocimientos matemáticos. En ocasiones la

experiencia es provocada mediante la manipulación de objetos o mediante

supuestos reales. También se parte de un cierto nivel de contacto con las

matemáticas, traducido en los conocimientos previos. A veces la introducción de

un mero contenido matemático se hace a partir de esos contenidos ya asimilados

anteriormente y cuyo dominio se comprueba en el momento oportuno. Los

alumnos construyen sus conceptos, trabajando sobre una gran variedad de

situaciones concretas que se proponen. Proceden por abstracciones sucesivas,

desde la experiencia manipulativa y la comprensión intuitiva, pasando por etapas

intermedias de representación, mediante dibujos, esquemas, gráficos, etc., hasta

la comprensión razonada con el manejo de notaciones, figuras y símbolos


34

abstractos. Asimismo, se trabajará tanto con el modelo discursivo/expositivo, con

el modelo experiencial y en determinadas ocasiones, con el trabajo por tareas.

Asimismo, los principios metodológicos que se han tenido en cuenta al

elaborar la unidad didáctica son los siguientes: actividad y experimentación,

participación, motivación, personalización, interacción, significatividad,

funcionalidad y evaluación formativa.

A la hora de agrupar la clase para el desarrollo de las actividades, se

realizarán: tareas individuales o agrupamiento flexible.

3.4.8. Atención a la diversidad

Desde el aula, se debe adoptar una metodología que favorezca el

aprendizaje de todo el alumnado en su diversidad. Se propondrán actividades

abiertas, para que cada alumno las realice según sus posibilidades y se

ofrecerán esas actividades con una gradación de dificultad en cada unidad

didáctica (diferenciación de contenidos).

Para lograr estos objetivos, se iniciará cada unidad didáctica con una

breve evaluación inicial que permita calibrar los conocimientos previos del grupo

en ese tema concreto, para facilitar la significatividad de los nuevos contenidos,

así como organizar en el aula actividades lo más diversas posible que faciliten

diferentes tipos y grados de ayuda.

3.4.9. Criterios de evaluación curriculares

Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de

problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las

soluciones obtenidas.

Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad

cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o

probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones

problemáticas de la realidad.

Asignar probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos simples y

compuestos, utilizando la regla de Laplace en combinación con diferentes

técnicas de recuento y la axiomática de la probabilidad, empleando los

resultados numéricos obtenidos en la toma de decisiones en contextos

relacionados con las ciencias sociales.


35

Utilizar el vocabulario adecuado para la descripción de situaciones

relacionadas con el azar y la estadística, analizando un conjunto de datos

o interpretando de forma crítica informaciones estadísticas presentes en

los medios de comunicación, la publicidad y otros ámbitos, detectando

posibles errores y manipulaciones tanto en la presentación de los datos

como de las conclusiones.

Sensibilidad y gusto por la presentación clara y ordenada de los cálculos

numéricos.

3.4.10. Estándares de aprendizaje

Analiza y comprende el enunciado a resolver (datos, relaciones entre los

datos, condiciones, conocimientos matemáticos necesarios, etc.).

Usa, elabora o construye modelos matemáticos adecuados que permitan

la resolución del problema o problemas dentro del campo de las

matemáticas.

Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y

compuestos mediante la regla de Laplace y diferentes técnicas de

recuento.

Utiliza un vocabulario adecuado para describir situaciones relacionadas

con el azar y la estadística.

Razona y argumenta la interpretación de informaciones estadísticas o

relacionadas con el azar presentes en la vida cotidiana.

3.4.11. Evaluación

- Observación directa del trabajo diario (20%).

- Análisis y valoración de tareas especialmente creadas para la evaluación

(10%).

- Valoración cuantitativa del avance individual (calificaciones) (70%).

3.4.12. Materiales y recursos

- Los programas informáticos que se utilicen en el desarrollo de la unidad

didáctica como Excel y PowerPoint.

- Libro de texto 1º Bachillerato modalidad Humanidades y Ciencias Sociales.

Editorial Santillana.


36

- Libro de texto Estudios Matemáticos Nivel Medio. Programa del Diploma del

IB. Editorial Oxford.

- Dossier de ejercicios.

- Pizarra, proyector.

3.5. Confrontación teoría-práctica

Haber cursado el Máster universitario en Profesorado de Educación

Secundaria y Bachillerato me ha servido para la adquisición de los conocimientos

y las competencias necesarias para ejercer la labor docente, habiendo aprendido

los aspectos más generales mediante el estudio de la Pedagogía, la Psicología

y la Sociología aplicadas al ámbito educativo, además de haber profundizado en

los aspectos propios de la Didáctica de las matemáticas en las asignaturas de

Aprendizaje y enseñanza e Innovación docente. Por otra parte, haber llevado a

cabo un período de prácticas de la especialidad matemáticas en el I.E.S.

Práxedes Mateo Sagasta me ha permitido comparar las nociones teóricas

aprendidas en las asignaturas del Máster con la realidad de unas aulas

particulares. De esta confrontación entre la parte teórica y la parte práctica del

Máster he aprendido que es necesaria una adaptación de la teoría didáctica a la

práctica docente, es decir, tal y como es necesario ajustar el currículo oficial a la

programación de aula (y a las posibles adaptaciones curriculares), también hay

que saber acomodar los principios teóricos a la idiosincrasia de cada grupo-clase

con el fin de que el aprendizaje de esos alumnos sea significativo y cumpla las

altas expectativas iniciales.

De esta forma, la tarea del docente podría resumirse en la contextualización

de la enseñanza y del aprendizaje dentro de cada grupo-clase, partiendo siempre

de unas asentadas bases teóricas que le permitan no sólo planificar las propias

prácticas, sino también reflexionar sobre las mismas para perfeccionarlas

(metodologías, indicadores de calidad en la evaluación, proyectos de innovación

e investigación educativa…).

No obstante, desde mi punto de vista, la reflexión continua y el

perfeccionamiento constante de las propias prácticas docentes presenta una

situación bastante precaria en el sistema educativo español actual al sustentarse

casi de forma exclusiva en la vocación y motivación del profesorado. La falta de

inversión económica en educación (y la escasa cotización por la innovación e


37

investigación docente), unida a los últimos recortes en el ámbito educativo, es la

causa de que sean muchos los profesores que opten por no dedicar sus horas

de ocio a la elaboración de proyectos de innovación educativa, por los que, en

mi opinión, se debería obtener no sólo una recompensa de satisfacción personal,

sino también una remuneración económica (aunque fuera mediante el

intercambio por horas lectivas). Esta sería una manera de incentivar la

innovación y la investigación docente y de mejorar la calidad del sistema

educativo español que completaría la labor que ya realizan los concursos y

premios a los mejores proyectos de innovación e investigación educativa. Pues,

tal y como yo lo veo, que la gente trabaje gratis et amore no sólo es muy idealista,

sino también insostenible.


38

4. PROPUESTA DE INNOVACIÓN EDUCATIVA

“Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo” Benjamin

Franklin

4.1. Introducción y contextualización

La presente propuesta de innovación educativa radica en la exposición de

un proyecto de innovación dirigido al curso correspondiente a 1º de Bachillerato

modalidad Humanidades y Ciencias Sociales nocturno, en la unidad didáctica

incluida dentro del Bloque Estadística y Probabilidad: Probabilidad. El motivo

globalizador del proyecto es “Motivados trabajan mejor. ¿Aprendemos

jugando?”. En concreto, se trata del desarrollo del proceso de enseñanza-

aprendizaje mediante el juego Peace & Math, la historia de las matemáticas y el

uso de las inteligencias múltiples.

De esta manera, a través del referido proyecto, se realiza el aprendizaje

de los contenidos del currículo oficial y se adquieren competencias para la vida,

haciendo posible, al mismo tiempo, que los alumnos estén interesados por la

asignatura y que reciban una educación de calidad.

4.1.1. Juegos en clase de matemáticas

En primer lugar, antes de presentar la propuesta de innovación educativa,

habría que introducir que el papel de los recursos en el aula de matemáticas

cobra una importancia cada vez mayor, considerándose incluso el interés de

tener un “taller de matemáticas” en las aulas. En la presente propuesta de

innovación se considera al juego como un recurso potencial. Este ayuda a los

estudiantes a adquirir altos niveles de destreza en el desarrollo del pensamiento

matemático. Asimismo, sirve para enseñar contenidos y estrategias de

resolución de problemas. Una clase con un juego es una sesión motivada desde

el comienzo hasta el final, produce entusiasmo, diversión, interés, motivación,

desbloqueo y gusto por estudiar matemáticas. Por otro lado, atiende las

peculiaridades individuales de cada alumno, especialmente esta característica

se ve reforzada en este proyecto al utilizar las inteligencias múltiples como

estrategia complementaria del proceso de enseñanza-aprendizaje. Otra de las

ventajas que merece la pena destacar del uso del juego en clase es que conduce

al alumno a la conquista de su autonomía, y a la adquisición de una conducta


39

que le ayudará en sus actividades. Mediante el juego el alumnado no solo se

divierte, sino que desarrolla su personalidad y estado anímico.

El juego tiene un claro valor educativo y resulta ser un valioso elemento

metodológico. Aun así, nuestro sistema educativo lo considera una actividad

poco seria y no adecuada para los procesos de enseñanza-aprendizaje que

tienen lugar dentro del aula. Sin embargo, son muchos los autores (Miguel de

Guzmán, Piaget, Vigosky, etc.) que defienden al juego como instrumento

didáctico que puede ayudar a los docentes en una pedagogía activa, a “hacer

matemáticas en la clase de matemáticas”, frente un aprendizaje pasivo, así como

a tener en cuenta los procesos intelectuales y los afectivos, al intercambio de

actitudes y puntos de vista, al trabajo cooperativo y a propiciar la creatividad y la

imaginación.

Por otra parte, es un elemento de estimulación, exploración y motivación,

ya que el uso del juego en clase fomenta la desinhibición, el desbloqueo

emocional y el carácter lúdico. Mediante el juego se pueden crear situaciones de

gran valor educativo y cognitivo que permitan a los alumnos descubrir,

experimentar, investigar, reflexionar y resolver problemas. De esta forma se

consigue que el aprendizaje sea significativo y muy diferente del que se produce

en situaciones tradicionales.

Es esencial destacar el papel del docente durante el juego como agente

orientador de los procesos de aprendizaje de matemáticas por los alumnos. Un

juego bien elegido desde el punto de vista metodológico y bien dirigido por parte

del profesor, puede servir para introducir un tema, ayudar a comprender mejor

los conceptos, afianzar los conocimientos ya adquiridos, reforzar automatismos

o consolidad un contenido.

Teorías matemáticas muy importantes, como por ejemplo la teoría de

probabilidad, han surgido teniendo como origen algún juego o pasatiempo, lo

que nos lleva a pensar que el juego ayuda en el desarrollo intelectual fomentando

la creatividad y el ingenio en los alumnos. En este proyecto se incluye una sesión

donde se les presentará a los alumnos un póster sobre la historia de la

probabilidad. Asimismo, se potenciará la lectura mediante una sugerencia de

lectura de un artículo matemático.


40

4.1.2. Uso inteligencias múltiples en el aula

Con objeto de potenciar las distintas habilidades de los alumnos se integra

en el juego el uso de las inteligencias múltiples propuestas por Howard Gardner.

Estamos acostumbrados a pensar en la inteligencia como una capacidad

unitaria, sin embargo, en oposición a esos enfoques de perfil más bien

reduccionista, Gardner propone un enfoque de inteligencias múltiples. Se trata

de un planteamiento sugerente, para él una inteligencia es la "capacidad de

resolver problemas o de crear productos que sean valiosos en uno o más

ambientes culturales". Lo sustantivo de su teoría consiste en reconocer la

existencia de ocho inteligencias diferentes e independientes, que pueden

interactuar y potenciarse recíprocamente. La existencia de una de ellas, sin

embargo, no es predictiva de la existencia de alguna de las otras.

Todos nacemos con unas potencialidades marcadas por la genética. Pero

esas potencialidades se van a desarrollar de una manera o de otra dependiendo

de las experiencias vividas, la educación recibida, etc. Como bien decía Ortega

y Gasset “yo soy yo y mis circunstancias”. Ningún deportista de elite llega a la

cima sin entrenar, por buenas que sean sus cualidades naturales. Lo mismo se

puede decir de los matemáticos, los poetas, o de la gente emocionalmente

inteligente.

Figura 2. Inteligencias múltiples propuestas por Howard Gardner

Según el análisis de las ocho inteligencias, todos los seres humanos son

capaces de conocer el mundo de ocho modos diferentes, pero donde todos ellos

se diferencian es en la intensidad de esas inteligencias. De esta forma, como

Lingüístico-Verbal

Lógico-Matemática

Espacial Interpersonal

Musical

Tipos inteligencias según Gardner

NaturalistaIntrapersonal

Corporal-Cinestésica


41

docentes cabe preguntarnos lo siguiente: Si la inteligencia es la capacidad que

le permite al ser humano resolver problemas, ¿por qué no le brindamos al

alumno la oportunidad de desarrollarla en su plenitud en la medida que lo permita

su condición particular?

Al personalizarse el aprendizaje y trabajar las inteligencias múltiples se

logra una mejor atención a la diversidad y una mayor integración de todos los

estudiantes. Es más difícil que un alumno quede atrás porque se potencian al

máximo las aptitudes según su tipo de inteligencia y el profesor conoce mejor

sus necesidades, por lo que puede adaptarse a ellas y a su estilo de aprendizaje.

4.1.3. Inteligencia emocional

Daniel Goleman definió la inteligencia emocional como la capacidad para

reconocer nuestros propios sentimientos y los ajenos, de automotivarnos, y de

manejar de manera positiva nuestras emociones, sobre todo aquellas que tienen

que ver con nuestras relaciones humanas. La inteligencia emocional es para él

una forma de interactuar con el mundo que tiene muy en cuenta los sentimientos,

y engloba habilidades tales como el control de los impulsos, la autoconciencia,

la motivación, el entusiasmo, la perseverancia, la empatía, la agilidad mental,

etc., que configuran rasgos de carácter, como la autodisciplina, la compasión o

el altruismo, indispensables para una buena y creativa adaptación social.

A la hora de andar por la vida es más importante saber descifrar nuestras

emociones que saber integrar. Las empresas lo saben bien y cuando contratan

a alguien no piden sólo un buen currículo, además buscan un conjunto de

características psicológicas como son la capacidad de llevarse bien con los

colegas, la capacidad de resolver conflictos, la capacidad de comunicarse, etc.

El que tengamos o no esas cualidades o habilidades va a depender del grado de

desarrollo de nuestra inteligencia emocional.

Nuestro sistema educativo no es neutro, no presta la misma atención a

todos los estilos de aprendizaje, ni valora por igual todas las inteligencias o

capacidades. No hay más que mirar el horario de cualquier alumno para darse

cuenta de ello. Sin embargo, hoy en día, se está planteando por primera vez que,

de la misma manera que practicamos y desarrollamos la competencia

matemática, la lingüística o la corporal-cinestésica, se practique también el


42

conjunto de capacidades que nos permiten relacionarnos de manera adecuada

con el mundo exterior y con nosotros mismos, es decir la inteligencia emocional.

Por otro lado, existen emociones que favorecen el proceso de aprendizaje

y otras lo dificultan e incluso lo bloquean. Para aprender es necesario prestar

atención, comprender y memorizar lo aprendido, y todos conocemos a alumnos

que por miedo o ansiedad excesiva son incapaces de contestar en un examen,

su mente se ha quedado ‘en blanco’ por causa de un estado emocional intenso

que le impide demostrar lo que se sabe. Si queremos frenar el preocupante

índice de abandono y fracaso escolar que se da en nuestro país, no queda más

remedio que abordar la educación emocional desde la etapa de infantil hasta el

fin del proceso educativo. Las personas que se han formado para ser

emocionalmente inteligentes tienen mejores resultados académicos y se sienten

motivadas para aprender durante toda la vida.

El análisis de la sociedad actual permite entrever que muchos de los

problemas con que se encuentran las personas, y en particular los adolescentes,

tienen mucho que ver con el "analfabetismo emocional”. Las personas incapaces

de dominar su inteligencia emocional tienen relaciones familiares y profesionales

conflictivas, y se debaten permanentemente en inútiles luchas internas que les

impiden no sólo establecer relaciones saludables con los demás, sino también

ellos mismos y con el entorno. El maestro deja de ser un transmisor de

conocimientos y se convierte en un guía que acompaña el proceso de

aprendizaje real del alumno permitiéndole adquirir las competencias requeridas

en pleno siglo XXI. Richard Gerver lo explica muy bien, “la educación formal,

clásica, basada en superar exámenes, no crea personas creativas e innovadoras

preparadas para el futuro que les tocará vivir en el siglo XXII, sino personas que

se acostumbran a ser gestionadas (a que les digan qué tienen que aprender y

cómo lo tienen que aprender). La educación clásica provoca que muchas

personas sean fracasadas porque esperan ser gestionadas”.

4.2. Objetivos

Conseguir que los alumnos estén motivados en clase de matemáticas.

Conseguir que el alumno relacione las matemáticas con la vida real y con

otras materias, y que sepa aplicar los conocimientos adquiridos.


43

Conseguir que los alumnos construyan su propio conocimiento, mediante

su experiencia propia, para que este conocimiento sea más duradero.

Conseguir que los alumnos se diviertan aprendiendo matemáticas y las

vinculen con emociones positivas.

Estimular la curiosidad e interés por resolver problemas matemáticos.

Fomentar el sentido de cooperación como parte de un equipo de trabajo.

Fomentar la autonomía y responsabilidad del alumno en su aprendizaje.

Potenciar la capacidad de resolución de problemas.

Potenciar el desarrollo integral del alumno con una base de conocimiento

flexible y profunda.

Potenciar la interacción del alumno con sus compañeros y el profesor,

generando discusiones que permitan desarrollar la competencia

lingüística, así como la social y ciudadana.

Transferir el aprendizaje recibido a situaciones reales.

4.3. Marco teórico: Juego cooperativo

“Lo mágico de los juegos cooperativos gira en torno a varias libertades que

ayudan el desarrollo de la cooperación, de los buenos sentimientos y del apoyo

mutuo” Terry Orlick. Libro: “Libre para cooperar, libres para crear”.

El juego cooperativo se caracteriza por eliminar la competencia, no hay

nadie que pierda o gane. La meta que se persigue no es ganar sino obtener un

determinado objetivo de equipo. Estas actividades constituyen los contenidos

transversales de la educación.

Los juegos cooperativos favorecen el desarrollo de capacidades nuevas

a quienes por sus limitaciones se ven excluidos o se autoexcluyen en el aula.

Esta es una primera reflexión para hablar de educación por la paz. Si como

docentes nos proponemos fomentar actividades sin competición y sin necesidad

de que se trabaje uno en contra de otro, se eliminará en gran medida el

sentimiento de frustración y de torpeza en el aula. De esta forma se conseguirá

que el trabajo sea mucho más relajado, creativo y, sobre todo, mucho más

humanizado, mediante juegos que fomenten la amistad, la colaboración y el

trabajo en grupo como algo necesario y divertido, sin necesidad de que alguien

gane o pierda.


44

En este tipo de juegos se trata al alumnado como seres autónomos

responsables y se consigue que ellos comiencen al comportarse como personas

capaces de sentirse importantes y mejorando su control personal. Una

experiencia temprana de cooperación, creatividad y elección les permitirá ser

más felices en la cooperación y más sanos en la competición.

Investigaciones recientes muestran cómo la interacción y la cooperación

entre el alumnado cuando se enfrentan a las metas de grupo y la búsqueda

común de estrategias para la resolución de un determinado problema suelen

ofrecer mejores resultados.

Sin duda, una actividad interesante desde el punto de vista educativo y de

análisis de juegos cooperativos consiste en modificar juegos tradicionalmente

competitivos en otros en los cuales la colaboración entre los participantes sea

necesaria para concluir el juego. En el presente proyecto de innovación

educativa se ha modificado la estructura del juego popularmente conocido como

Trivial pursuit y se ha creado Peace and Math, con carácter cooperativo y

matemático. Se ha elegido este nombre en honor del lema hippie Peace and

Love, ya que se considera que jugar cooperativamente, es sinónimo de echar

cimientos para una sociedad pacífica.

4.4. Descripción del proyecto

Este proyecto de innovación educativa consiste principalmente en

introducir los juegos en las aulas de matemáticas desde un enfoque de

cooperación, que tenga en cuenta las inteligencias múltiples y potencie la

inteligencia emocional. Asimismo, también se apoya en la historia de las

matemáticas y lecturas recomendadas de revistas de divulgación matemática

que puedan ser de interés. Establece modificaciones sobre la programación

realizada en la Unidad Didáctica (Sección 3.4).

Para seleccionar adecuadamente los juegos es muy importante conocer

las necesidades e intereses de las clases a las que vayan dirigidas las

actividades. El presente proyecto está dirigido a la clase de 1º Bachillerato CCSS

con la que trabaje en mi periodo de prácticas formativas, como se ha podido leer

en el correspondiente estudio del grupo-clase (Sección 3.2) era un grupo peculiar

por su número reducido de alumnos que asistían asiduamente a clase y por sus

características académicas y personales.


45

Los procesos de pensamiento en el desarrollo de las matemáticas son los

mismos que se desarrollan en el juego. Las fases de la resolución de problemas,

las estrategias heurísticas, los métodos y las herramientas son similares a las

que pueden utilizarse en la exploración de un juego. Es muy importante que los

alumnos comprendan las reglas del juego (requisitos, movimientos y/o cómo

ganar), conciban un plan (¿he jugado a algo similar? y/o selección de posibles

estrategias), ejecución del plan y evalúen su resultado (¿era la estrategia

seleccionada la mejor posible?).

4.4.1. Uso de la historia de las matemáticas

Se lleva a cabo una introducción de la historia de la probabilidad a través de

presentaciones en clase de un póster (ver anexo 4) diseñado con objeto

divulgativo y con carácter lúdico ya que incluye curiosidades de los grandes

matemáticos, ¿sabías qué…? y datos interesantes. Para la realización del póster

se han seleccionado ciertos autores de distintas épocas de la historia de las

matemáticas que han trabajado en el campo de la probabilidad y la estadística.

El póster está estructurado en cuatro partes en función de la cronología de estos

matemáticos. Gráficamente, cada autor estará representado por un círculo,

componiendo entre todos ellos un diagrama de Venn. Los círculos de los autores

de la misma época tendrán intersección no vacía. El gráfico se estructura, pues,

en cuatro componentes conexas (cuatro épocas: Renacimiento, siglo XVII, siglo

XVIII y siglos XIX-XX), cada una con los siguientes autores:

Renacimiento: Tartaglia, Cardano y Galileo.

Siglo XVII: Fermat, Bernoulli y Pascal.

Siglo XVIII: Laplace y Gauss.

Siglos XIX y XX: Fisher y Kolmogorov.

En cada una de las secciones se comentarán los aspectos más relevantes

de las contribuciones de estos autores al desarrollo de la matemática (en

particular, a la estadística y la probabilidad).

Asimismo, se potenciará la lectura y el tratamiento de la información como

estrategia de aprendizaje. La lectura comprensiva constituye un factor

fundamental para el desarrollo de las competencias básicas. El docente debe

fomentar el hábito y el gusto por la lectura proporcionándoles textos

seleccionados sobre historia de las matemáticas, curiosidades, conexiones con


46

otras disciplinas o aplicaciones en el día a día. En el presente proyecto de

innovación se les sugerirá a los alumnos la lectura de un artículo matemático

divulgativo de la revista SUMA titulado “El problema de los dados del caballero

de Méré: soluciones publicadas en el siglo XVII” (ver anexo 5) directamente

relacionado con la segunda sección del póster.

4.4.2. Juego “Peace and Math”

Me gustaría comenzar explicando el qué me ha llevado a nombrar de esta

forma tan especial a este juego que he diseñado basándome en el Trivial Pursuit

y quién mejor que John Lennon para ayudarme.

“If someone thinks that love and peace is a cliche that must have been left

behind in the Sixties, that's his problem. Love and peace are eternal”.

Pero no debemos olvidar que estamos en clase de matemáticas, donde

estas son las grandes protagonistas, así que el nombre de este juego

cooperativo no podía ser otro que “Peace and Math”. Además, este título nos

dará la oportunidad de crear un “mini” debate ético en clase sobre las conexiones

y repercusiones de las matemáticas con la paz. Asimismo, si algún alumno se

encuentra interesado se le facilitará el siguiente artículo titulado: “Mathematics

and Peace: Our Responsabilities” que versa sobre las responsabilidades de los

matemáticos y profesores de matemáticas sobre cuestiones sociales,

medioambientales y militares relacionadas con la paz. De esta forma, se fomenta

la competencia lingüística, a la vez que la social y cívica y la de conciencia y

expresión cultural.

Como ya se ha expuesto en líneas anteriores dentro del juego se tienen

en cuenta las distintas inteligencias que presentan los alumnos y se incluye

alguna casilla con preguntas extraídas del juego de mesa Mindtrap, también

preguntas que han caído otros años en las Pruebas de Acceso a la Universidad

(PAU) –Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II- en las diferentes

comunidades autónomas de nuestro país.

A continuación, paso a explicar de forma más detallada las principales

características del juego y la finalidad de cada una de ellas. Posteriormente,

describiré la dinámica del mismo.


47

a

b

Inteligencias múltiples

Por excelencia, la inteligencia lógico-matemática es la que se desarrolla en

mayor grado con este juego, ya que todas las preguntas a las que tienen que dar

respuesta tienen carácter matemático, con el objetivo de potenciar la capacidad

lógico-deductiva y de resolución de problemas por parte de los alumnos.

Asimismo, la inteligencia naturalista, la corporal-cinestésica, la lingüístico-verbal

y la interpersonal son las siguientes que más se potencian con este juego, ya

que tienen casillas propias. En las mismas, las preguntas matemáticas a las

cuales tiene que dar solución el alumno están focalizadas a su vez, a cada una

de estas inteligencias.

Inteligencia naturalista. Este tipo de inteligencia es utilizada al observar y

estudiar la naturaleza. La capacidad de poder estudiar nuestro alrededor

es una forma de estimular este tipo de inteligencia, siempre fijándonos en

los aspectos naturales con los que vivimos.

Inteligencia corporal-cinestésica. La capacidad de utilizar el cuerpo para

resolver problemas o realizar actividades. Dentro de este tipo de

inteligencia están los deportistas, cirujanos y bailarines.

Inteligencia lingüístico-verbal. El uso amplio del lenguaje ha sido parte

esencial para el desarrollo de este tipo de inteligencia.

Inteligencia interpersonal. Está basada en la capacidad de manejar las

relaciones humanas, la empatía con las personas y el reconocer sus

motivaciones, razones y emociones que los mueven. Dentro de esta los

alumnos encontrarán preguntas que recojan la inteligencia musical y

espacial, y deberán contestarla demostrando un excelente trabajo

cooperativo, así como organizativo y de liderazgo.

Figura 3. Casillas de Peace and Math para las inteligencias naturalista (a),

corporal-cinestésica (b), lingüístico-verbal (c) e interpersonal (d).

c

d


48

Por otro lado, la inteligencia intrapersonal se trabajará al terminar el juego ya

que los alumnos deberán trabajar individualmente. Este tipo de inteligencia nos

permite formar una imagen precisa de nosotros mismos, entender nuestras

necesidades y características, así como nuestras cualidades y defectos.

Mindtrap

Figura 4. Juego de mesa MindTrap

Son enigmas de pensamiento lateral hechos juego de mesa desde hace

muchos años. Cada enigma nos presenta un fragmento de una historia y,

mediante preguntas el alumno debe intentar dar la respuesta correcta al enigma

planteado.

El cálculo mental y la estimación son habilidades que se desarrollan de

manera superficial en primaria y al llegar a secundaria y bachillerato esas

habilidades se pierden por el uso de la calculadora, debido a la comodidad y

seguridad que la misma ofrece al obtener un resultado. La inclusión de este tipo

de cuestiones en el juego pretende destacar la importancia de desarrollar el

cálculo mental como una habilidad para la vida y que debe incluirse en el

planteamiento educativo. Con objeto de despertar un poco las mentes de los

alumnos. Algunos de ellos retan la capacidad deductiva del individuo, otros,

simplemente, requieren algún cálculo o incluso se pueden resolver con una

pequeña ecuación matemática. Incluso se incluyen algunas cuestiones que no

tienen base matemática alguna, pero que pueden ser utilizados para intentar que

los alumnos se fijen en los enunciados de los problemas que se les proponen,

pues es muy frecuente que no sepan resolver un ejercicio porque no leen bien

los enunciados.

Preguntas PAU

El pasado mes de junio se celebró la última Prueba de Acceso a la

Universidad. La Ley Orgánica para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE)


49

ha suprimido este examen, poniendo, en su lugar, que cada campus universitario

pueda establecer sus propios mecanismos de selección de alumnos. De forma

paralela, la Ley Wert introduce una reválida al final de Bachillerato que los

alumnos tendrán que realizar si quieren obtener el título y seguir estudiando, a

diferencia de lo que ocurre ahora. La reválida va a ser la heredera de la

Selectividad por dos razones, en primer lugar, porque el Gobierno va a dejar

bastante margen de actuación a las comunidades autónomas, tal y como ocurre

ahora y, en segundo lugar, porque el formato será muy parecido.

El objetivo de estas preguntas es familiarizar al alumnado con el tipo de

ejercicios y, a la vez, motivarlos al estar resolviendo preguntas que están

diseñadas para alumnos de un curso superior.

Matematización

El proceso de aprendizaje exige a los alumnos el análisis del problema en

función de sus conocimientos previos, el desarrollo de técnicas matemáticas

adecuadas y la aplicación de las mismas para resolver el problema. La

enseñanza de las matemáticas debe promover la interdisciplinaridad de la

materia, incluyendo la investigación de las conexiones y de la interacción de las

matemáticas y sus diversas aplicaciones. Por otro lado, el aprendizaje de las

matemáticas mejora cuando se le plantean al alumno actividades relacionadas

con situaciones reales, de su interés y próximas a él.

Por ello para finalizar el juego, cada miembro del equipo deberá desarrollar

una pregunta para el trivial realizada a través de la matematización.

Figura 5. Proceso matematización

Problema en el

mundo real

Enunciado matemático

del problema

Elección del modelo matemático

Solución dentro del

modelo

Soluciones reales


50

Dinámica del juego

Lo primero es saber con cuántos alumnos contamos en clase para jugar,

se realizarán grupos de unos 4 alumnos cada uno. En este caso en particular,

como el proyecto se realizará en la clase de 1º BHCS nocturno donde solamente

cuatro alumnos asistían normalmente a clase, toda la clase será un equipo.

Saldrán desde la casilla de La Rioja y comenzarán respondiendo a la

pregunta, si saben hacerla podrán tirar el dado e ir a la siguiente, si fallan o no

saben, el profesor explicará los conceptos teóricos y les dará otra oportunidad

para resolverlo.

El objetivo será conseguir los cuatro símbolos Peace and Math:

naturalista, corporal-cinestésico, lingüístico-verbal e interpersonal que serán

conseguidos al acertar a la primera la pregunta de cada casilla situada en un

extremo del tablero.

Para finalizar el mismo, todos los componentes del equipo deberán

realizar una pregunta a través de la matematización y contestar correctamente

la diseñada por otro miembro del equipo.

4.5. Metodología

La metodología de este proyecto se basa en el modelo constructivista y en la

inclusión de la inteligencia emocional. Se pretende un metodología activa,

intuitiva y motivadora que despierte el interés y fomente el proceso de

enseñanza-aprendizaje de las matemáticas mediante el juego, a partir de los

conocimientos previos y experiencias personales.

Se fomentarán las clases activas donde los alumnos desarrollen su

competencia matemática, participando activamente en clase, comentando

estrategias y/o los diferentes métodos usados para resolver un problema

matemático que se derive del juego. Los alumnos expondrán, discutirán y

defenderán sus ideas.

4.6. Criterios de evaluación

Capacidad de trabajar en grupo del alumno.

Comportamiento en el aula y respeto hacia sus compañeros y hacia el

profesor.


51

Capacidad de relacionar los contenidos matemáticos del juego con los de

otras asignaturas.

Empleo de los recursos que dispone para solucionar los problemas

matemáticos planteados en el juego.

Participación del alumno en clase.

Realización de las lecturas sugeridas.

Capacidad de utilizar un razonamiento matemático para la toma de

decisiones en la resolución de los problemas propuestos.

Como este proyecto de innovación educativa se puede aplicar perfectamente

a los conceptos matemáticos trabajado en la unidad didáctica a la que va dirigido,

Probabilidad, se dará una puntuación del 30%.

4.7. Materiales y recursos

- Tablero Peace and Math (ver anexo 6).

- Tarjetas con preguntas (ver anexo 7).

- Tarjetas en blanco.

- Lapiceros y gomas.

- Dado.

- Fichas.

Figura 6. Fichas por equipos de juego Peace and Math

4.8. Conclusiones

“Para que un comportamiento cambie, primero tiene que hacerlo la situación en

la que se produce”

El aprendizaje de las matemáticas para ser fructífero y responder a las

demandas de los alumnos y de la sociedad, debe ser activo y estar vinculado a

situaciones reales próximas y de interés para el alumno. Para ello, se plantea la

creación de nuevas situaciones de enseñanza-aprendizaje mediante un enfoque

esencialmente cooperativo.


52

El uso del juego en clase es una fuente de ideas con las que interesar a

los alumnos por las matemáticas. Las ventajas del juego como recurso didáctico

son innumerables, pero considero más importantes los siguientes: el

entusiasmo, la diversión, el desbloqueo, el interés y la motivación por parte de

los alumnos. Con él conseguiremos que las matemáticas se vean como algo útil

y lleno de interés.

Cabe destacar que es inherente al juego la utilización de una pedagogía

activa, un trabajo colaborativo en grupo donde se fomentará el desarrollo de la

expresión oral y la reflexión sobre el razonamiento seguido para alcanzar la

solución. Asimismo, también se ve potenciada el desarrollo de las competencias

sociales ya que al jugar los alumnos deben compartir, discutir, hablar y llegar a

una solución común.

Asimismo, se potencia la capacidad socioafectiva del alumnado, se

trabajan contenidos de carácter actitudinal y se atiende a la diversidad, mientras

se fomenta que los alumnos utilicen los conocimientos adquiridos para resolver

problemas, utilizando estrategias, tomando decisiones conjuntas, realizando

cálculos, etc. Por lo que se favorece el desarrollo del pensamiento y

razonamiento matemático.


53

5. REFERENCIAS

Antonio, M., Gonzáles, L., Lorenzo, J. y Molano, A. Matemáticas 1º

Bachillerato aplicadas a las Ciencias Sociales I. Proyecto la Casa del Saber.

Editorial Santillana.

Armstrong, T. (2006) Inteligencias múltiples en el aula, Paidós.

Bisquerra, R. (2003) Educación emocional y competencias básicas para

la vida. Revista de Investigación Educativa, 1, 21, 7-43.

Blythe, P. & Fensom, J. Estudios Matemáticos Nivel Medio. Programa del

Diploma del IB. Editorial Oxford.

Boletín Oficial de La Rioja del 19 de junio de 2015, por el que se establece

el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria.

D’Ambrosio, U. (1998) Mathematics and peace: Our responsibilities. ZDM,

30(3), 67-73.

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Bachillerato para la Comunidad Autónoma de La Rioja.

Delors, J. (1996) La educación encierra un tesoro. Madrid: Santillana,

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Extremera, N. y Fernández-Berrocal, P. (2002) Educando emociones: la

educación de la inteligencia emocional en la escuela y la familia. En p.

Fernández-berrocal y n. Ramos díaz (eds). Corazones inteligentes (pp. 353-

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Fernández-Berrocal, P. y Extremera, N. (2002) La inteligencia emocional

como una habilidad esencial en la escuela. Revista Iberoamericana de

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Gardner, H. (1994) Estructuras de la mente: la teoría de las inteligencias

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54

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Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad

educativa.

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“Matemáticas y Coeducación. Jornadas sobre matemáticas y Coeducación,

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Nalda, F. N. (2013) Procesos y contextos educativos: nuevas perspectivas

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Pág. 20

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Grijalbo.

Santos, J. B., & Ruiz, J. A. C. (2007) El problema de los dados del

caballero de Méré: soluciones publicadas en el siglo XVII. Suma: Revista sobre

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Vizmanos, J. R. y Anzola, M. Algoritmo. Matemáticas. 2º Bachillerato

Ciencias de la Naturales y de la Salud – Tecnología. Editorial SM. ISBN: 978-84-

348-9369-6


55

ANEXO 1

1. Con los dígitos impares, ¿cuántos números de 5 cifras distintas se pueden

formar?

Permutaciones ordinarias sin repetición de 5 elementos tomados de 5 en 5.

𝑃𝑛=𝑛!

2. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4

son blancas, 3 amarillas y 2 azules?

Permutaciones con repetición de 9 elementos tomados de 4 en 4 (𝛼), de 3 en 3

(𝛽) y de 2 en 2 (𝛾).

PR𝛼, 𝛽, 𝛾

𝑛=

𝒏!

𝛼!𝛽!𝛾!

3. Queremos ordenar los 7 libros que tenemos: 4 son de matemáticas, 2 de

lengua y 1 de biología. ¿De cuántas formas podemos ordenarlos en un estante?

*Los libros de una misma materia son iguales

Permutaciones con repetición de 7 elementos tomados de 4 en 4 (𝛼), de 2 en 2

(𝛽) y de 1 en 1 (𝛾).

4. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de

butacas?

Permutaciones ordinarias sin repetición de 8 elementos tomados de 8 en 8.

5. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres

alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

Combinaciones sin repetición de 35 elementos tomados de 3 en 3.

𝑪 𝑚,𝑛 = 𝑚! / (𝒏! (𝑚−𝑛)!)

6. En la final de unas olimpiadas corren la final de 100 m 8 atletas. ¿De cuántas

formas se puede configurar el pódium?

Variaciones ordinarias sin repetición de 8 elementos tomados de 3 en 3.

𝑉𝑚,𝑛=𝑚!/((𝑚−𝑛)!)

7. El sistema de matrículas de vehículos consiste en un número de 4 dígitos

seguido de un bloque de 3 letras consonantes. ¿Cuántas placas hay con la

misma parte numérica?

Variaciones con repetición de 10 elementos tomados de 4 en 4.

𝑉𝑅 𝑚, 𝑛=𝑚𝑛


56

ANEXO 2

Combinatoria

1. ¿De cuántas formas distintas se puede formar el pódium de una carrera de

800 metros litros en la que corren 8 atletas?

2. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 3 personas en un banco?

3. ¿Cuántas combinaciones de 4 letras se pueden hacer con la palabra GLORIA?

4. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden escribir con los dígitos del 1 al 9 sin

que se repita ninguna cifra? ¿Y si se repiten las cifras?

5. Cuántos helados de 3 sabores diferentes se pueden servir en una heladería

que dispone de 12 sabores distintos?

6. Calcula el número de posibilidades…

i) al elegir 3 modelos de teléfono de 7 posibles

ii) al rellenar una quiniela de 14 partidos

iii) al colocar 6 plantas en 6 macetas

iv) al elegir claves de 3 letras con las letras que forman la palabra CALOR

Probabilidad

7. En una clase de 29 alumnos, 19 estudian francés, 14 estudian alemán y 5

estudian ambas. Calcula el número de alumnos que no estudian ninguna de las

dos lenguas.

8. Hay 145 personas que contestaron una encuesta. Se les preguntó qué jugo

de frutas preferían entre naranja, melocotón o piña. Los resultados de las

respuestas fueron los siguientes: 15 no preferían ninguno de los 3; 55 preferían

piña; 80 preferían melocotón;

75 preferían naranja; 35 preferían naranja y melocotón; 20 preferían naranja y

piña; y 30 preferían melocotón y piña. Halla el número de personas que preferían

los 3 tipos de jugo.


57

ANEXO 3

1. Lanzamos dos dados y anotamos la diferencia entre la puntuación mayor y la

menor. Escribe el espacio muestral. (1 punto)

2. En la clase de 1º de Bachillerato de CCSS son veinte alumnos. Se quiere

elegir un comité formado por tres alumnos. a. ¿Cuántos comités se pueden

formar? b. ¿Cuántos comités se pueden formar si Raquel es una de las

integrantes? (2 puntos)

3. De una bolsa que contiene cinco bolas azules, seis negras y tres rojas se

sacan tres de ellas sin reposición. a. Calcula la probabilidad de que sean del

mismo color. b. ¿Cuántas posibilidades existen de formar series de 14 bolas?

(1,5 puntos)

4. Una empresa fabrica MP4 en tres fábricas. El 35% de la producción en la

fábrica A, el 45% en la B y el resto en la C. La probabilidad de que un MP4 de la

fábrica A sea defectuoso es de 0,0015, de que lo sea de la B es de 0,001, y de

que lo sea de la C es de 0,0005. Escogido un MP4 al azar, calcula: a. la

probabilidad de que sea defectuoso. b. la probabilidad de que proceda de la

fábrica A, sabiendo que es defectuoso. (2,5 puntos)

5. Se hizo una encuesta a cuarenta alumnos de 4 de la E.S.O, preguntándoles

si en 1º de Bachillerato iban a cursar Economía y/o Latín. Veintidós contestaron

que Economía.

Doce contestaron que estudiarían Latín. Diez respondieron que ninguna de las

dos.

Si se elige un alumno al azar, calcula la probabilidad de que: a. Estudie

Economía. b. No estudie Economía. c. Estudie Economía y Latín. d. No estudie

Economía o no estudie Latín. e. Estudie Economía, sabiendo que estudia Latín.

f. Estudie Latín, sabiendo que al menos estudia uno de las dos asignaturas. (3

puntos)

Probabilid

ad Origen:

¿altruista

o mundano?

¿Cómo ganar apuestas?

“tirar un

par de dados

24 veces, y

apostar si

saldrá o no,

al menos un

seis doble”

¿SABÍAS QUE …?

La cola del pavo real en

vuelo, es el ejemplo clásico

del modelo de selección auto-

reforzante de Fisher.

CURIOSIDAD

En el siglo XIX, ¡la estadística ayudó a neutralizar un brote de cólera en

Londres! Para encontrar las causas de la enfermedad, un médico

representó en un mapa los lugares donde habían aparecido casos de

cólera. El análisis estadístico del patrón obtenido sugería que el brote

podía haber sido provocado por el agua de una de las fuentes del distrito.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Motivados trabajan mejor. ¿Aprendemos jugando?

CURIOSIDAD

En una carta a Gottfried

Leibniz, Jakob

Bernoulli escribió: “La

ley de grandes números

es una regla que incluso

la persona más estúpida

conoce mediante cierto

instinto natural per se y

sin instrucción previa”.

TEORÍA

PROBABILIDAD

¿SABÍAS QUE …?

Pascal intentó

convencernos de la

existencia de Dios

utilizando la

probabilidad

matemática

Decía que, aunque

no se conoce de

modo seguro si Dios

existe, lo racional es

apostar que sí existe.

“Ley de los

grandes

números” ¿SON ÚTILES LOS CONOCIMIENTOS

ESTADÍSTICOS?

¿Se puede ganar a la ruleta utilizando

la estadística?

LA FABULOSA HISTORIA DE LOS PELAYO

CURIOSIDAD

Galileo fue un gran

astrónomo, y a pesar

de sus grandes

conocimientos, la

idea de que fue el

inventor del

telescopio es falsa.

¿SABÍAS QUE …?

Al italiano Niccolo

Fontana le llamaban

“Tartaglia” debido a su

tartamudeo provocado

por un golpe en la

mandíbula propiciado

por un militar durante

un saqueo de su ciudad

natal

El primer libro de la historia sobre teoría de la

probabilidad es “De Ludo Aleae” de Girolamo Cardano.

Este está básicamente dedicado al juego del dado.

Cita

"Todo matemático cree que está por delante de todos los

demás. La razón por la que no lo dicen en público, es

porque son gente inteligente".

Andréi Kolmogórov

Los fundamentos de

la Teoría de la

Probabilidad

¿Sabías que Fisher…?

Usó la matemática para

combinar las leyes de

Mendel con la selección

natural.

Fue uno de los mayores

fundadores de la genética

de poblaciones.

Propuso el modelo de

selección sexual runaway y

la hipótesis del hijo sexy.

¿SABÍAS QUE …?

La curva de

distribución de los

errores fue publicada

en un folleto de De

Moivre y con el paso

del tiempo pasó a

llamarse Distribución

Normal de Gauss.

“Teoría de la

probabilidad es

el sentido común

reducido al

cálculo.”

“El príncipe

de los

matemáticos”

TEORÍA

PROBABILIDAD

DD

Anécdota historica… Cuando el famoso viajero y aficionado a

las ciencias barón Alexander von Humboldt preguntó a Laplace

quién era el mayor matemático de Alemania. Laplace replicó:

Pfaff - “Y entonces Gauss, ¿qué? (preguntó el asombrado von

Humboldt)- ¡Gauss es el mayor matemático del mundo!

Jugador empedernido

Los Juegos de Azar “De

Ludo Aleae”

Cálculo de

frecuencias

Cálculo de

probabilidades

Distribución

normal.

Campana de

Gauss

ANEXO 4

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:R._A._Fischer.jpg

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Peacock_Flying.jpg

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sir_Ronald_Aylmer_Fisher_plaque.jpg

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kolm_lect_prep.jpg

43

El Caballero de Méré fue un filósofo y escritor que vivió durante el reinado de Luis XIV. En primer lugar, propuso lanzar un dadocuatro veces consecutivas y apostar que saldría por lo menos un seis; si el seis no saliese, entonces el oponente ganaría el juego.En el segundo juego, de Méré propone lanzar dos dados 24 veces y apostar que la pareja de seis aparecería por lo menos una vez.Estos dos juegos son llamados problemas de Méré. De Méré acudió a su amigo Blaise Pascal (1623-1662) y le planteó calcular laprobabilidad de ganar en estos juegos. En este artículo son examinadas las soluciones propuestas en el siglo XVII.

Chevalier de Méré was a philosopher and a man of letters during the reign of Louis XIV. Firstly, he proposed to throw one die fourtimes in a row and wagered that at least one six would appear; if no six turned up then the opponent won. In his second game, deMéré proposed to throw two dice 24 times and bet that two sixes would turn up at least once. Theses two games are called de Méré’sproblems. De Méré approached his friend Blaise Pascal (1623-1662) and asked him to calculate the probability of winning in the-ses games. In the current paper the three solutions given in the seventeenth century are examined.

veces ha ocurrido en la historia de las matemáticas y, enparticular, en la del cálculo de probabilidades. Un determina-do problema se convierte en una especie de río donde viertenagua todos sus afluentes. El problema es la excusa para quediferentes autores en distintas épocas (muchos de ellos dedi-cados a otras ramas del saber) entren en este particularmundo del cálculo en el azar y aporten sus soluciones, susexperiencias en otras investigaciones, y su visión de la proba-bilidad y del campo donde se quiere aplicar. Se nos vienen ala mente problemas como el de Los Tres Dados (juego delAzar), que ya estaba presente en el Libro de Ajedrez deAlfonso X el Sabio, El Problema de los Puntos, El Problema dela Ruina del Jugador, La Paradoja de San Petesburgo, etc.

Uno de los problemas que podría formar parte de la catego-ría antes mencionada es el que podríamos llamar (de hechoasí ha sido referenciado alguna vez) El Problema de los Dados

Jesús Basulto SantosJosé Antonio Camúñez RuizUniversidad de Sevilla. Sevilla

El problema de los dados del caballero deMéré: soluciones publicadas en el siglo XVII

A del Caballero de Méré. Autores célebres de la historia tem-prana del Cálculo de Probabilidades lo abordaron con mejoro peor acierto. Así, podemos citar a Cardano, Huygens,Caramuel, Montmort, de Moivre, Bernoulli, Struyck oSimpson. En la correspondencia entre Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665) (que se produjo entre elverano y el otoño de 1654) este problema estuvo presenteaunque, entre las cartas que se conservan de esta correspon-dencia, sólo encontramos una referencia al mismo, sin reso-lución alguna por parte de uno ni de otro, dándose a enten-der que ambos conocían perfectamente la solución y que nomerecía la pena perder el tiempo con ella. En concreto, el pro-blema lo encontramos en la carta que Pascal envió a Fermatel 29 de julio de 1654, donde se evidencia que había sido pro-puesto por el Caballero de Mére, amigo del primero.

En la carta, Pascal expone una dificultad que asombrabamucho al caballero de Méré. De Méré conocía que si aposta-ba por conseguir al menos un seis al lanzar un dado perfectoen 4 tiradas, había una ventaja a su favor de 671 contra 625,lo cual es cierto como comprobaremos más adelante. Encambio, si se intenta conseguir un sonnez con dos dados (o

56

Noviembre 2007, pp. 43-54

De Méré conocía que siapostaba por conseguir almenos un seis al lanzar undado perfecto en 4 tiradas,

había una ventaja a su favor de671 contra 625, lo cual es cierto.

sea, obtener un seis doble al lanzar dos dados al mismo tiem-po), hay desventaja al intentarlo en 24 tiradas. De Méré usabael argumento de que 4 es a 6 (siendo 6 el número de posiblesresultados al lanzar un dado) como 24 es a 36 (con 36 elnúmero de posibles resultados al lanzar dos dados). Si con 4lanzamientos de un solo dado hay ventajas a mi favor, ¿porqué no con 24 de dos dados? Y añade Pascal:

Esto provocaba su gran escándalo, que le hacía decir a todoel mundo que las proposiciones no eran constantes y que laAritmética es contradictoria.

En la carta, Pascal dice que no tiene tiempo de enviarle lasolución al problema que ha confundido al señor de Méré yescribe pero usted lo verá fácilmente por los principios quetiene.

La contestación de Fermat a esta carta ha desaparecido, por loque no sabemos si en la misma abordó este problema. Comoya se ha dicho, en el resto de la correspondencia que se con-serva entre ambos, no se vuelve sobre este asunto, con lo queno conocemos cuál fue la solución de Pascal, ni tampoco porqué de Méré conocía que, efectivamente, no hay ventajas en24 tiradas de dos dados. Como veremos más adelante, la pro-babilidad de obtener al menos un sonnez en 24 tiradas es0,4914. ¿La capacidad y la experiencia del Caballero comojugador llegaban a tal extremo como para intuir empírica-mente que esa probabilidad es inferior a 0,5, es decir, que nohay ventaja? Lo dudamos. Probablemente de Méré tenía suspropias reglas de cálculo. Nos atrevemos a aventurar que,realmente, tenía dos reglas de cálculo que le llevaban a resul-tados contradictorios, razón por la cual se lo plantea a Pascal.

Una presentación formal del problema en sí puede ser lasiguiente:

Conociendo la probabilidad que un jugador tiene de conse-guir éxito en una partida, ¿qué número de partidas garantizaal mismo una probabilidad igual de conseguir al menos unéxito que de no conseguirlo (o sea, una probabilidad 0,5 deconseguirlo)?

Se supone que las partidas son independientes entre sí, deforma que el resultado de cada una de ellas no altera los resul-

tados futuros (el jugador no va aprendiendo conforme se vadesarrollando el juego), lo cual queda perfectamente repre-sentado en un juego de puro azar como el lanzamiento de unamoneda equilibrada o de un dado no trucado. Por tanto, elproblema plantea la determinación del número de lanzamien-tos que producen el equilibrio: cuando coinciden las probabi-lidades de ganar y perder, con lo que, la idea de juego justo tanpresente en todos los autores de la historia temprana de laprobabilidad subyace como razón de ser del mismo.

Una resolución actual del problema sería la siguiente:

Si p y q son las probabilidades de éxito y fracaso, respectiva-mente, que tiene el jugador en cada partida con, lógicamente,p + q = 1, y si n es el número buscado de partidas, la soluciónse encuentra despejando n en la igualdad:

P[éxito en la 1ª partida] + P[fracaso en la 1ª y éxito en la 2ª] +P[fracaso en la 1ª y 2ª y éxito en la 3ª] + ... + P[fracaso en lasn-1 primeras partidas y éxito en la n-ésima] = 1⁄2

O sea, p + qp + q2p + ... + qn-1p = 1⁄2, lo que es lo mismo que (1+ q + q2 + ... + qn-1)p = 1⁄2, donde la suma del primer miembroes la de una progresión geométrica limitada de razón q, yteniendo en cuenta que p = 1 – q, la igualdad anterior se redu-ce a 1 – qn = 1⁄2, o bien, qn = 1⁄2. El valor de n que satisface esaigualdad es la solución buscada. Bajo forma logarítmica ten-dríamos

Realmente, estamos usando la modelización probabilísticaconocida como Modelo Geométrico de parámetro p, quemide el número de experimentos independientes de Bernoullihasta conseguir el primer éxito. El primer miembro de laigualdad anterior es la Función de Distribución de este mode-lo, que viene dada por F(x) = 1 – q[x] , lo que nos lleva de nuevoa 1 – qn = 1⁄2.

Este problema se fue generalizando con el discurrir de la his-toria y, así, leemos como enunciado más universal encontrarel número de partidas que debe disponer un jugador paraintentar conseguir al menos c éxitos con una probabilidadigual de conseguirlo que de no conseguirlo. Como veremos,Huygens hará esta generalización para el caso de c = 2.

nq

lnln

2

SUMA 56Noviembre 2007

44

¿Es didáctico mostrar lo queintentaron nuestros clásicos a lahora de resolver problemas tanconocidos en la historia de estadisciplina?

Es posible que De Méré tuvierados reglas de cálculo que le

llevaban a resultadoscontradictorios, razón por la

cual le plantea elproblema a Pascal.

Cuando un estudiante está iniciándose en el cálculo de proba-bilidades, disponiendo de un bagaje matemático básico comoel que ya tiene en el bachillerato, creemos interesante que élmismo aborde la resolución de problemas como éste. Sepuede aprovechar, entonces, para describirle el contexto en elque se plantea por primera vez en la historia conocida de estecálculo (probablemente, el problema es más antiguo de lo queconocemos) y, usando la táctica de aprendizaje a partir delerror o a partir de los intentos de resolución de los primerosautores, podemos conseguir, creemos, una motivación añadi-da en el alumno. ¿Es didáctico mostrar lo que intentaronnuestros clásicos a la hora de resolver problemas tan conoci-dos en la historia de esta disciplina? Creemos que sí, y estarazón justifica el análisis de lo que algunos de ellos hicieron eneste contexto. Así pues, el objetivo de este trabajo es describirlas primeras resoluciones publicadas de este problema, lascuales aparecieron en el siglo XVII. En este siglo es cuandocomienzan a publicarse los primeros libros sobre el cálculobajo el dominio del azar, y tres autores incluyeron en suspublicaciones la resolución de este problema: el italianoGirolamo Cardano (cuyo texto aunque escrito sobre 1540 nofue publicado hasta mucho después de su muerte, en 1663), elholandés Christiaan Huygens (cuyo pequeño tratado fuepublicado en latín en 1657, y en holandés en 1660) y el espa-ñol Juan Caramuel (cuya obra enciclopédica sobre matemáti-cas fue publicada en 1670 y en ella se incluía un fragmentodedicado al cálculo que estaba naciendo). En ese orden seránanalizadas sus soluciones en los siguientes epígrafes. Para losdos últimos ya existía el precedente de la resolución delProblema de los Puntos o Regla de los Repartos para JuegosInacabados, conocida a partir de la correspondencia entrePascal y Fermat, cuyos principios y métodos fueron guía yfuente de inspiración para los autores posteriores, como secomprueba en la forma de resolver el problema que nos ocupapor parte de Huygens y Caramuel.

Cardano

Girolamo Cardano (1501 – 1576),médico, matemático, filósofo,escritor, astrólogo, jugador,…dejó como manuscrito sin pu -bli car el Liber de Ludo Aleae(Li bro de Juegos de Azar) quefue impreso por primera vez,después de su muerte, en el año1663, en el primer volumen delas obras completas de esteautor.

En este texto encontramos 8 capítulos dedicados a introducirreglas de cálculo en juegos de azar. En el capítulo 6, el autorestablece un principio básico:

En todo juego el principio más fundamental es simplemen-te la igualdad de condiciones, esto es, de los contrincantes,de los mirones, del dinero, de la situación, del cubilete y delmismo dado. En la medida en que usted se aparte de laigualdad, si es a favor de su contrincante, usted es tonto, ysi es al suyo propio, usted es injusto.

Como ya se ha comentado, y como se puede observar cuandose estudian a los primeros autores del cálculo de probabilida-des, la idea de juego justo, de la equidad, está siempre presen-te como principio y guía para el cálculo. Así, Bellhouse (2005)mantiene que la idea aristotélica de justicia está presente en eltrabajo de Cardano.

Hay autores que, al hablar sobre la parte probabilística delLiber de Ludo Aleae, se quejan de lo dif ícil de su lectura. Tod -hun ter (1865) resume sus impresiones en una nota de deses-peración: El tratado está tan mal escrito que apenas resultainteligible. Se puede asentir que ciertas secciones del libro noson comprensibles al estudiarlas por primera vez; algunos delos pensamientos de Cardano sólo surgen después de muchoanálisis y usando información sobre reglas de juegos de suépoca, muchas de ellas desconocidas hoy. Pero el esfuerzo quese dedique al estudio del libro es recompensado; al finalencontramos muchas secciones enteramente lúcidas, mos-trándonos un Cardano que conoce perfectamente el juego yque acaba entrando en los dominios del cálculo en el azar.

Una razón por la que resulta confuso el tratado, en cuanto asus argumentos probabilísticos, está en el hecho de que, paraalgunos casos, el autor hace uso de dos métodos de cálculodistintos. El primero es nuestro método estándar para hallaruna probabilidad, recuento directo de los resultados favora-bles frente al total de posibles. Siempre que usa este procedi-miento sus cálculos son correctos. El segundo método parecerepresentar lo que fue su primera aproximación a estos pro-blemas. Es el que Ore (1953) llama razonamiento sobre laganancia media. La lectura del texto nos hace pensar querecurre a este método en los problemas que le resultan másdif íciles. El mismo, en general, es fácil de aplicar, pero susaproximaciones a la solución correcta resultan poco afinadas.El mismo Cardano era consciente de que los resultados obte-nidos de esta forma no coincidían con los resultados correc-

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Al final del Liber de Ludo Aleaeencontramos muchas seccionesenteramente lúcidas,mostrándonos un Cardano queconoce perfectamente el juego yque acaba entrando en losdominios del cálculo en el azar.

tos, pero no era capaz de dar explicaciones satisfactorias a lasdiscrepancias; algunas de sus oscuras elucidaciones en estecontexto podrían estar influidas por el problema de intentarconseguir armonizar los dos puntos de vista.

Para explicar este razonamiento sobre la ganancia media con-sideramos el lanzamiento de un dado, caso donde el autor lointroduce por primera vez. La probabilidad que tiene una caracualquiera de aparecer en un único lanzamiento es 1⁄.Entonces, Cardano argumenta que dos lanzamientos produci-rían 2 · 1⁄ = 1⁄ de probabilidad de conseguir el punto deseado,y en tres lanzamientos dicha probabilidad sería 3 · 1⁄ = 1⁄2. Elvalor correcto de la probabilidad de que un punto concreto(por ejemplo, un as) aparezca una vez, y sólo una, en tres lan-zamientos consecutivos de un dado es ⁄2, y la probabilidadde que aparezca al menos una vez es 1⁄2, por lo que en nin-guno de los casos se da el resultado de Cardano.

Es obvio que el razonamiento de la ganancia media produce,en general, resultados erróneos, como enseguida se compren-de. Por ejemplo, para 6 lanzamientos esto implicaría que elseis aparecería con seguridad, e incluso llevaría a probabilida-des mayores que uno para más de 6 lanzamientos. Realmente,Cardano está calculando la media o esperanza de una variablealeatoria de tipo binomial, con probabilidad de éxito igual a 1⁄y con n igual al número de lanzamientos, y él convierte dichamedia en probabilidad. Ese es su error.

En el capítulo 11 del Liber aparece el problema que más de unsiglo después será planteado por De Méré a Pascal. En elejemplo que ambos citan, Cardano y De Méré, el jugadorlanza dos dados varias veces consecutivas hasta que consiguedoble seis.

Cardano no encuentra la solución correcta del problema dadoque recurre al razonamiento sobre la media que, según elejemplo de arriba, da lugar al siguiente argumento: sea p laprobabilidad de éxito en una prueba individual. Si se realizann intentos la probabilidad de conseguir éxito sería np (comoya se ha dicho, esto no es una probabilidad, es una esperanza).Si este número se iguala a 1⁄2 se producirá la igualdad, esto es,tendría igual chance de tener éxito o de fracasar. Entonces, elcorrespondiente número de intentos sería n = 1/2p.

Cardano aplica ese resultado a algunos ejemplos. Así, si unolanza dos dados hasta que aparece el doble seis, cuya probabi-lidad es 1⁄, entonces el número de partidas necesarias, segúnsu criterio es 18. El valor correcto se encuentra entre 24 y 25,por lo que la aproximación de Cardano no es especialmentebuena. Y si lanzamos un solo dado hasta que sale el seis, cuyaprobabilidad es 1⁄, el número buscado según Cardano es 3,resultado que él ya había presentado en su capítulo 9 y que seaproxima más que el anterior al valor correcto, dado que éstese encuentra entre 3 y 4.

Huygens

Christiaan Huygens(1629 – 1695), científi-co holandés con apor-taciones muy impor-tantes a la f ísica y a laastronomía a lo largode su rica vida científi-ca. En 1655, cuandosó lo tenía 26 años, setras lada a Francia pararecibir un doctoradoen leyes en la Univer si -dad Protestante deAn gers, estableciéndo-se en París entre julio ynoviembre de aquelaño. Allí tuvo conocimiento de la correspondencia entre Pascaly Fermat que se había producido un año antes, accediendo a losproblemas resueltos por ambos y a los métodos empleados ensus resoluciones, aunque el acceso no fue directo, sino, quizás,a través de comentarios en tertulias científicas.

A su vuelta a Holanda escribió De Ratiociniis in Ludo Aleae(Calculando en juegos de azar), un pequeño tratado donde seresuelven los problemas sobre juegos de azar que flotaban enel ambiente en aquellos momentos. Estaba destinado para serincorporado como apéndice de una gran obra que su maestrovan Schooten quería publicar. Esa obra, y en particular el tra-tado de Huygens, fue publicada en latín en 1657. En la carta allector que aparece al principio del tratado, van Schooten pre-senta este tratado como una oportunidad más de mostrar lasaplicaciones de este arte (el álgebra), el cual había enseñadohacía algún tiempo a su discípulo: en ese momento estaba enjuego la aplicabilidad universal de la recién creada ArsAnalítica. La carta de Huygens, que sirve de prefacio, tambiénes empleada para enfatizar la grandeza del campo sobre elcual se extiende nuestro Arte Algebraico. Y para reforzar elargumento añade:

…cuanto más dif ícil parece determinar por la razón lo quees incierto y sometido al azar, tanto más admirable parece-rá la ciencia que consiga este resultado.

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De Ratiociniis in Ludo Aleaeestaba destinado para serincorporado como apéndice deuna gran obra que su maestrovan Schooten quería publicar.

¿No será grande una ciencia, si ésta consigue dominar el azar?

El pequeño tratado se convirtió en el primer trabajo impresosobre cálculo de probabilidades y referencia básica para losautores que en los inicios del siglo XVIII irrumpieron tanarrolladoramente en la consolidación del mismo.

En el tratado, Huygens establece el principio que debe regir loque él entendía por juego justo. A partir del mismo, demues-tra 14 proposiciones, en las que las tres primeras definen lasbases del cálculo. Desde la 4ª a la 9ª están dedicadas a aportardiversas formas y soluciones del Problema de los Puntos, y lasúltimas a problemas de los que nos interesan en este trabajo.

Las proposiciones básicas son introducidas para efectuarvaloraciones de juegos o loterías simples a través de la espe-ranza matemática. De esta forma, cuando después el autortropieza con loterías compuestas, para llevar a cabo la valora-ción de las mismas procede a la sustitución de las simples porsus respectivas esperanzas. O sea, sustituye la situación deincertidumbre que supone una lotería por la valoración de lamisma. Es lo que hoy día se conoce como equivalente cierto(Basulto, Camúñez y Domínguez, 2002). De las tres proposi-ciones básicas, exponemos aquí el enunciado de la tercera porser la que el autor usó después para resolver el problema quenos ocupa:

Siendo p el número de casos en que me puede correspon-der a y q el número de casos en que puede hacerlo b, asu-

miendo que todos los casos son igualmente posibles, miesperanza será igual a (pa + qb)/(p+q).

Vemos pues que, en esta proposición, se valora una loteríacon dos posibles resultados o premios y con probabilidadesdistintas.

En las proposiciones 10, 11 y 12, Huygens enuncia y resuelvelos problemas que nos ocupan. La proposición 10 tiene elsiguiente enunciado:

Encontrar en cuántas veces se puede aceptar lanzar un seiscon un dado.

O sea, analiza en primer lugar el caso que sí conocía el Caba -lle ro de Méré. Estudiemos este caso. Nos planteamos ¿quénúmero mínimo de lanzamientos será necesario para garanti-

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Índice del libro V de van Schooten donde se incluye en el últimoapartado el Tratado de Christaan Huygens

zar que exista ventaja para el jugador, que la probabilidad deobtener al menos un seis en esos lanzamientos sea superior a 0,5?

Para resolverlo, el autor construye una ecuación recurrente devaloraciones o esperanzas del jugador que lanza, en los dis-tintos lanzamientos que va a efectuar. Veamos cómo lo hacecon un ejemplo. Pensemos en un juego en el que se va a efec-tuar hasta un máximo de tres lanzamientos de un dado per-fecto (hasta un máximo de tres partidas), y en el que un juga-dor, que ya hemos identificado como jugador que lanza, gana-rá el juego y, por tanto, se detendrán los lanzamientos, si enuno de ellos sale un seis. Si han transcurrido los tres lanza-mientos y no ha conseguido el seis, el jugador que lanza pier-de el juego. En cada lanzamiento definimos una variable tipoBernoulli, que toma el valor 1, éxito (sale el seis) con probabi-lidad 1⁄ y 0, fracaso, (no sale el seis) con probabilidad ⁄.Represen tamos el juego con el siguiente diagrama, en el quese han enumerado las partidas en sentido contrario a la ocu-rrencia cronológica de las mismas.

Usando su proposición 3, Huygens valora la partida número 1de este juego. Si el premio es 0 (si pierde la partida) y 1 (si lagana), el valor esperado de esta partida para el jugador quelanza es

A continuación, Huygens sustituye la partida número 1 por suvaloración e1. El esquema muestra la nueva situación.

Entonces, la valoración de la segunda partida para el jugadorque lanza (usando de nuevo la proposición 3) es

En el siguiente paso, Huygens sustituye esa segunda partidapor su valoración y consigue así el valor esperado de la terce-ra. El esquema refleja la nueva sustitución.

Obtiene entonces

Generalizando, el autor obtiene la ecuación recurrente

donde

que permite calcular la esperanza o valoración del jugadorque lanza, de la partida (n+1)-ésima a partir de la n-ésima. Osea, esa ecuación relaciona los valores esperados de dos parti-das consecutivas.

La ecuación puede resolverse por sustituciones sucesivas, obte-niéndose en como la suma de los términos de una progresióngeométrica finita de razón ⁄. La solución que se obtiene es

o bien

Una vez obtenido en, Huygens construye tres funciones sobrelos enteros positivos asociadas al caso de n partidas o lanza-mientos en el juego:

en

n n

n6 5

6

en

n

1

56

3

2

5/6

1/6

1/6

5/6

1 (sale 6)

1 (sale 6)

e1

e156

016

116

3

2

1

5/6

1/6

1/6

1/6

5/6

5/60 (no sale 6)

1 (sale 6)

1 (sale 6)

1 (sale 6) e116

.

e en n 156

16

e e3 256

16

e e e2 1 156

16

156

16

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f(n) = número de alternativas favorables al jugador quelanza.

g(n) = número total de alternativas.h(n) = número de alternativas desfavorables al jugador que

lanza.

Y concluye que f(n) = 6n – 5n, g(n) = 6n y h(n) = 5n.

Sea ahora n0 el número mínimo de lanzamientos tal que elnúmero de alternativas favorables al seis supere al de las des-favorables. Se ha de verificar f(n0) ≥ h(n0). Esa desigualdadconduce a . En la tabla siguiente mostramos losvalores que toman los dos miembros de esta desigualdad paralos sucesivos números de lanzamientos y comprobamos quen0=4, o sea, que para 4 lanzamientos se produce el cambio desentido en la desigualdad, con lo que, con 4 lanzamientos con-secutivos de un dado hay ventajas para el jugador que apues-ta a obtener al menos un seis.

En el último caso, para 4 lanzamientos, el número de alterna-tivas favorables al jugador es f(4) = 64 – 54 =671, el total dealternativas es g(4) = 64 = 1296, y el número de alternativasdesfavorables es h(4) = 54 =625, coincidiendo estos resultadoscon los expresados por el caballero de Méré. La tabla siguien-te es la que, realmente, Huygens presentó como solución aeste problema.

En la proposición 11, Huygens estudia este problema perocuando se lanzan dos dados a la vez y se quieren conseguir dosseises (el caso cuya solución escandalizaba al Caballero deMéré). La resolución es idéntica, reemplazando las chances 1y 5 anteriores con un lanzamiento de un dado, por las chan-ces 1 y 35 por un lanzamiento con dos dados, lo que le da,como valoración del primer lanzamiento para el primer juga-dor, 1⁄ (entre los 36 posibles lanzamientos de dos dados sólohay 1 que favorece al jugador que lanza), o bien, e1 = 1⁄, entérminos de esperanza del primer jugador, si el total apostadoes 1, siendo esta cantidad para el que gana y 0 para el que pier-de. Para dos lanzamientos (de los dos dados a la vez), Huygensencuentra como relación entre las esperanzas del jugador quelanza la ecuación recurrente

donde sustituyendo e1, tenemos el resultado e2 = 1⁄2: espe-ranza del jugador que lanza los dos dados apostando por obte-ner el doble seis en dos lanzamientos consecutivos y cuandola apuesta total es 1. Podemos interpretar la cantidad anterioren términos de probabilidades de ganar de ambos jugadores,o parafraseando a Huygens, la relación entre las chances deambos jugadores es como 71 (para el que lanza) a 1225, o sea1296 – 71, para el otro jugador. Por tanto, la opción de doslanzamientos sigue siendo muy desfavorable para el jugadorque lanza.

Llegado a este punto, Huygens observa que necesita acelerarla recurrencia para no hacer los cálculos excesivamentetediosos.

Entonces, utiliza los números anteriores, 71 y 1225, para sal-tar de la situación de 2 lanzamientos con los dados a la de 4.Señala que el recorrido desde e4 hasta e2 es similar al de e2hasta el final. Usando las chances de este último recorridoconcluye que el jugador que lanza tiene 1225 posibilidades dellegar a e2 y 71 de ganar. Obtiene entonces

por lo que las chances de ambos están en la relación 178991 a1500625, pues 1500625 = 1679616 – 178991.

Después informa que ha usado este método para encontrar e8,e16 y e24, y que, en el último las chances son ligeramente meno-res que 1:1 (tiene aún una ligera desventaja), mientras que con25 ya hay ventaja para el primer jugador, pues las chances sonsuperiores a 1:1. Escribimos de nuevo la ecuación recurrenteque está planteando:

e e4 212251296

711296

1789911679616

6 2 50 0n n

N.º de lan-zamientos

n2 · 5n

Total dealternativas

6n

Alternativasfavorables

6n – 5n

Alternativasdesfavorables

5n

1 10 6 1 5

2 50 36 11 25

3 250 216 91 125

4 1250 1296 671 625

e e2 13536

136

Número de lanzamientos Chance del primero al segundo

1 1 a 5

2 11 a 25

3 91 a 125

4 671 a 625 (más de 1 contra 1,añade Huygens)

5 4651 a 3125 (aproximada-mente 3 a 2)

6 31031 a 15625 (aproximada-mente 2 a 1)

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Con esta termina lo que Huygens explica sobre este caso.Completamos nosotros la resolución del problema añadiendolas funciones f, g y h que Huygens construyó para el caso ante-rior: f(n) = 36n – 35n, g(n) = 36n y h(n) = 35n.

También deducimos que el número mínimo de lanzamientos,n0, para que haya más alternativas favorables al seis doble queen contra, debe verificar la desigualdad .

En la tabla siguiente comprobamos que dicho número míni-mo ha de ser 25, y no 24 como argumentaba el caballero deMére. No presentamos las potencias exactas, sino aproxima-ciones en las que aparecen las primeras cifras, puesto que sonsuficientes para efectuar las comparaciones.

Así, la probabilidad de obtener al menos un seis doble en 24tiradas es

Mientras que la de obtenerlo en 25 tiradas es

En la proposición 12, Huygens presenta el siguiente problema:

Encontrar el número de dados con el que se puede aceptarlanzar 2 seises en la primera tirada.

O sea, con cuántos dados apostaría un jugador con ventaja, aconseguir dos seis en un solo lanzamiento de todos ellos. Estoes, obviamente, una generalización de las proposiciones 10 y11. Huygens reformula el problema como sigue:

Encontrar cuántas tiradas de un dado son necesarias paratener al menos una chance igual de conseguir dos seises.

En términos de esperanza, sea en la del jugador que lanzacuando apuesta que conseguirá al menos 2 seises en n lanza-mientos. Hablando en términos de probabilidad, Huygens

plantea la siguiente ecuación recurrente para resolver esteproblema: La probabilidad de obtener al menos 2 seises en n+1lanzamientos es igual al producto de la probabilidad de obte-ner al menos 1 seis en primer lanzamiento por la probabilidadde obtener al menos 1 seis en los n lanzamientos últimos másla probabilidad de no obtener seises en el primer lanzamientopor la probabilidad de obtener al menos 2 seises en los n lan-zamientos últimos.

Observamos que la última probabilidad del segundo miembroes la misma que la del primer miembro pero con n lanza-mientos en lugar de n + 1. Ahí está la clave de la ecuaciónrecurrente que Huygens obtiene para este problema. Además,la probabilidad de obtener al menos un seis en n lanzamien-tos es la complementaria de la de no obtener ninguno en esoslanzamientos, o sea:

Si la apuesta es 1, la probabilidad se convierte en esperanzadel jugador que lanza y la ecuación recurrente de Huygenstoma la forma

lo que, partiendo de e2 = 1⁄, encuentra e3 = 1⁄2, y así hastae10, que es ligeramente superior a 0,5. Escribe:

…tomando así cada vez un lanzamiento más, se encuentraque se puede aceptar con ventaja cuando el número de lan-zamientos es 10. O sea, con n = 10 dará una ventaja ligera-mente superior a 1:1.

Con esto termina lo que Huygens aporta a la resolución delproblema que nos ocupa en su tratado. Hemos de notar que,como se ha visto, Huygens no utiliza logaritmos para facilitarel cálculo. Korteweg (1920) señala que ese hecho ha impedidoa Huygens la generalización del problema. Se pregunta

¿Por qué Huygens se limitó en su tratado de 1657 al caso deuno y dos dados y no ha sabido resolver el problema en esteúltimo caso nada más que por unos cálculos que debían serbastante penosos?

Y añade

Es cierto que el cálculo de los logaritmos no parece haberformado parte de los cursos enseñados por van Schooten yque se encuentra en los manuscritos de Huygens, algunoescrito antes de 1661… Sin embargo, parece inadmisibleque Huygens no haya tenido conocimiento antes de 1657de una rama tan importante de la matemática, sin dudabien conocida en Holanda por los trabajos de Vlack1.

e e e nn n 1 15

361

361

361 2+ , , , ,...

e en

n

n

1

16

156

56

36 2 350 0n n

36 3536

13536

0 5055315425 25

25

25

' ...

36 3536

13536

0 4914038824 24

24

24

' ...

N.º de lanzamientosdel gran dado 36n 2 · 35n

24 2,24 · 1037 2,28 · 1037

25 8,08 · 1039 7,99 · 1039

P nobtener al menos 1 seis en los

lanzamientos últimos

1

56

n

50


Caramuel

Juan Caramuel yLob ko witz (1606 –1682), na ci do enMa drid, estudia hu -ma ni dades y filoso-f ía en la Univer si -dad de Alcalá y a los17 años inicia la ca -rrera eclesiástica in -gre sando en la or -den del Cister. Pasavarios años en losPaíses Bajos donderecibe una elevadaformación matemá-tica. Publica trata-dos sobre matemáti-cas y arquitectura y fallece siendo obispo de Vigevano, a unos50 kilómetros de Milán.

Caramuel se nos muestra como un hombre enciclopédico,que aborda todas las disciplinas del saber con pasión y condignidad, aunque sin someterse a ninguna escuela o argu-mento de autoridad. A veces, se nos presenta como un rebel-de para la ciencia. Para uno de sus enemigos

tenía Caramuel ingenio como ocho, elocuencia como cincoy juicio como dos.

Un hombre así no podía dejar pasar la oportunidad de ofrecersu particular visión sobre el cálculo naciente en juegos de azar.

Este autor se propuso escribir un curso completo de todas lasmatemáticas de su tiempo en 1667 y, durante tres años, dedi-ca un arduo esfuerzo a este asunto, que se vio culminado conla publicación en 1670, en la imprenta de su obispado, enCampania, de una monumental obra, en dos volúmenes, titu-lada Mathesis biceps. Vetus et nova. La misma está dividida en10 sintagmas, 4 en el primer volumen y 6 en el segundo. Sus

1800 páginas constituyen una auténtica enciclopedia de lasmatemáticas, recogiéndose en ella todos los conocimientosmatemáticos de los antiguos, las aportaciones de los moder-nos y sus propias contribuciones a esta ciencia. Para Franklin(2001) esta obra constituye el compendio más completo de laciencia matemática publicada hasta aquel momento.

En el Sintagma VI, nuestro autor estudia la Combinatoria,tema al que ya había dedicado algún esfuerzo en su anteriorobra, Mathesis audax. Caramuel sigue el estudio anterior deSebastián Izquierdo2, a quien cita muchas veces. Pero la com-binatoria es para Caramuel algo más, es la ramificación del arslulliana que más validez conserva. Considera la combinatoriacomo un instrumento indispensable para estudiar cualquierdisciplina, como lo muestra el apartado incluido en este sin-tagma, el Kybeia3, fragmento que nos interesa, pues es el quededica a estudiar los juegos, dando una visión bastante intere-sante sobre el origen de los mismos, e introduciendo sus prin-cipios que servirán de base para llevar a cabo los cálculosnecesarios en la resolución de problemas.

Kybeia ocupa las páginas 972-995 del segundo volumen deMathesis biceps, o sea, apenas 24 páginas, de las que las ocho

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Caramuel se propuso escribirun curso completo de todas lasmatemáticas de su tiempo en

1667 y, durante tres años,dedica un arduo esfuerzo a esteasunto, que se vio culminadocon la publicación en 1670 de

Mathesis biceps. Vetus et nova.

últimas están dedicadas a reproducir el tratado de Huygensque Caramuel, erróneamente, atribuye al astrónomo danés,Christiaan Severin Longomontanus.

Igual que sus antecesores, lo primero que se plantea Cara -muel es definir la situación de equidad en el juego y, portanto, establecer lo que para él era un juego justo. Introduceel término peligro, tan español, como sinónimo del másactual riesgo. Y también, el término esperanza como lo con-trario de peligro. Como primer principio establece que enuna partida no sólo debe saberse de antemano si existe peli-gro, sino también cuánto. Pues la cantidad de dinero a arries-gar depende de la cantidad de peligro. O sea, a mayor peligromenos dinero a apostar.

Se propone, por tanto, medir la cantidad de esperanza y peli-gro que tiene cada jugador y definir su apuesta en función deello. Como uno de sus ejemplos ilustrativos, introduce el casode un jugador que lanza dos dados al mismo tiempo y se pro-pone conseguir un determinado resultado. Para este caso pre-senta una tabla con las esperanzas y peligros de dicho jugador,equivalentes a lo que hoy llamamos casos favorables y casosdesfavorables y, entonces, añade una tabla de apuestas ensituaciones de desigual probabilidad. Así, de manera implíci-ta está construyendo una tabla con las probabilidades de obte-ner los diferentes resultados al lanzar dos dados. Nos dice quesi, por ejemplo, un jugador apuesta a que la suma de las pun-tuaciones de los dos dados al ser lanzados será 7, entonces,este jugador tiene 6 esperanzas (6 resultados favorables) y 30peligros (30 posibles lanzamientos de dos dados que nosuman 7) por lo que, si el jugador apuesta una moneda, el queapuesta en su contra ha de poner cinco (en la proporción de 6a 30).

El artículo III de Kybeia está dedicado a la resolución de pro-blemas del tipo de los del Caballero de Méré. Ahora bien, sólotrata los casos en los que se lanza un único dado, que son losrecogidos por Huygens en su proposición 10. Como veremos,aunque los resultados que da Caramuel son correctos, suforma de resolución es algo distinta a la de Huygens.

En el primer número del artículo III encontramos el caso mássencillo: el jugador quiere lanzar un cinco tirando el dado unasola vez. Para el jugador que lanza, la proporción entre espe-ranza y peligro es de 1 a 5 (su probabilidad de ganar el juegoes 1⁄). Se pregunta nuestro autor, si el jugador ganase 12doblones por conseguir ese éxito, ¿cuánto ha de pagar porparticipar en ese juego? Una sexta parte, o sea, 2 doblones.

Después resuelve el caso en el que el jugador intenta conse-guir un éxito en dos pruebas. Sabemos que dicha probabili-dad es

Caramuel obtiene este mismo resultado razonando sobre loque deben apostar tanto el que lanza como quien le reta paraque se observe una equidad y, de este modo, la diferencia en laapuesta se fije conforme a la desigualdad establecida en elpeligro.

Supongamos que el total apostado es de 36 monedas. Si en elprimer lanzamiento el jugador que lanza obtuviese éxito, sellevaría las 36 monedas, si no, le queda aún un lanzamientomás cuya probabilidad es 1⁄. Nos dice el autor que este juga-dor sólo se juega ganancia en el primer lanzamiento: o bien logana todo (y no se efectúa el segundo lanzamiento), o bien,gana su derecho a una segunda tirada cuyo valor es 6, o sea, 1⁄de 36 (introduce también, como Huygens, la valoración deuna partida que no se ha jugado, o sea, la valoración de unasituación de incertidumbre). Entonces, si la segunda tiradavale 6 y, en total, puede ganar 36, los 30 de diferencia (el restolo llama Caramuel) son los que se utilizan para saber lo que seacumula a esos 6 a la hora de valorar la primera tirada: la sextaparte de esos 30, que es 5, sumados a los 6 de la segunda tira-da nos dan 11, siendo ésta la valoración inicial del juego parael jugador que lanza. La diferencia hasta 36, o sea 25, es lavaloración para el otro jugador.

Con un razonamiento recurrente resuelve el caso en el que seintenta conseguir un éxito en tres pruebas. Según lo anterior,el valor del segundo lanzamiento es 11⁄. O sea, si se apuestan36 monedas, el segundo lanzamiento (la posibilidad de lanzaruna segunda y una tercera vez, para ser más correcto) vale 11monedas. La diferencia con 36 es 25. Pues bien, 1⁄ de 25 es loque hay que sumar a esos 11 para valorar la primera tirada, ola posibilidad de intentarlo en tres pruebas, resultando 15·1⁄de las 36. O sea, la probabilidad de conseguir éxito en tres lan-zamientos es (15·1⁄)/36 pero

como me parece que no te gustan las fracciones de fraccio-nes, dividamos estos números por seis: así, (15·1⁄6)/36 se con-vierte en 15⁄216.

16

56

16

1136

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El artículo III de Kybeia estádedicado a la resolución deproblemas del tipo de los del

Caballero de Méré. Ahora bien,sólo trata los casos en los que selanza un único dado, que son

los recogidos por Huygens en suproposición 10.

Escribe Caramuel, siendo éste el resultado correcto. Y añade:

Podrás desarrollar esta operación hasta el infinito, dandopara ello la siguiente regla general: Súmale al resultadoinmediatamente anterior, para el que expone, quien tira eldado, la sexta parte del resto.

Si A es la apuesta total, la tabla 1 , construida según esta regla,muestra lo que ha de apostar el jugador que lanza y quien lereta, según el número de intentos que tiene para conseguirlo.

Por tanto, para saber lo que ha de apostar el contrario, alaumentar un intento, se resta una sexta parte de lo que apos-tó en el número de intentos anterior. Una tabla similar, perocon más simplificación en el desarrollo algebraico, es la queofrece Caramuel llegando hasta seis intentos.

A continuación aborda la resolución de este tipo de proble-mas usando logaritmos (es la primera vez en la historia de laprobabilidad que se usa esta herramienta para resolver el pro-blema del Caballero de Méré). Ahora bien, el uso de los mis-mos es sólo para apoyar los cálculos ya realizados. Por ejem-plo, si el jugador pretende sacar un cinco en tres lanzamien-

tos, y el total apostado es 36, entonces lo que él ha de poner es36 · 1⁄2, y el contrario 36 · 1⁄2. Pues bien, el cálculo de esacantidad lo lleva a cabo tomando primero el logaritmo de lamisma y, luego, el antilogaritmo, siendo éste para el jugadorcontrario 20,834, por lo que el que lanza debe apostar 15,166.De esta forma presenta una tabla donde, en la primera colum-na está el número de intentos, en la segunda, el logaritmo dela cantidad que debe apostar el contrario, en la tercera el anti-logaritmo, o sea, la cantidad que debe apostar el contrario enforma decimal (no fraccionaria), en la cuarta, lo que debeapostar el que lanza (también en forma decimal), y en la últi-ma, la opinión más generalizada entre los jugadores respectoa cómo se debía apostar y que difiere sensiblemente de suspropios cálculos. Esta columna demuestra, además, queCaramuel conocía bastante bien estos ambientes de juego.

53


N.º de intentos Apuesta del jugador Apuesta del contrario

1 16

A 1 16

56

A A

2

16

16

116

16

536

1136

A A

A A

1 16

536

2536

56

16

56

2536

A A

A A A

o bien,

3

16

536

16

1 16

536

16

536

25216

A A

A 91

216A

1 16

536

25216

125216

2536

16

2536

A A

A Ao bien,

Tabla 1

1 A1 Trigonometría Artificialis, sive Magnus Canon Triangulo rumLogarithmus, del año 1663.

2 Pharus Scientarum, 1659, Disp. XXIX, De Combinatione. 3 En griego Kybeia significa juego de dados.

NOTAS

El signo = entre las cifras de la segunda y tercera columnasrepresenta la coma decimal.

En la tabla se muestra, aunque Caramuel no hace referencia aello, el cambio en las apuestas de los dos jugadores al pasar de3 a 4 lanzamientos, siendo a partir de 4 el juego favorable aljugador que lanza.

54


BASULTO SANTOS, J.; CAMÚÑEZ RUIZ, J. A. y DOMÍNGUEZQUINTERO, A. M. (2002): “El Método Universal de Pascal comoun Equivalente Cierto: el Problema de los Puntos”, Historia de laProbabilidad y de la estadística, Editorial AC, Madrid, 19-34.

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VELARDE LOMBRAÑA, J. (1989): Juan Caramuel. Vida y Obra,Pentalfa Ediciones, Oviedo.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Si tengo que sacar elpunto

Logaritmos07918 Mi rival pondrá Luego apostaré Opinión general

De una vez 1,47712 30=000 contra 6=000 6 contra 30. Total 36

En dos 1,39794 25=000 contra 11=000 12 contra 24. Total 36

En tres 1,31876 20=834 contra 15=166 18 contra 18. Total 36

En cuatro 1,23958 17=362 contra 19=638 24 contra 12. Total 36

En cinco 1,16040 14=468 contra 22=532 30 contra 6. Total 36

En seis 1,08122 12=056 contra 23=944 36 contra 6. Total 36

En siete 1,00204 10=047 contra 25=953

En ocho 0.92286 8=373 contra 27=627

En nueve 0.84368 6=977 contra 29=023

En diez 0.76450 5=814 contra 30=186

En once 0,68532 C

0,79180 D

1,47712 E Suma de ambos 36,000 F

Tabla de Caramuel

Motivados aprenden mejor. ¿Aprendemos jugando?

Mo

tiv

ado

s aprenden m

ejo

r. ¿A

prendem

os jugando

?

Mo

tiv

ado

s aprenden m

ejo

r. ¿A

prendem

os jugando

?

Motivados aprenden mejor. ¿Aprendemos jugando?

ANEXO 6

Una urna, A, contiene siete bolas numeradas del 1 al 7. Otra

urna, B, contiene cinco bolas numeradas del 1 al 5 Lanzamos

una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara,

extraeremos una bola de la urna A, y si sale cruz, la

extraeremos de la urna B. Calcule la probabilidad del

siguiente suceso: “La bola haya sido extraída de la urna A y

el número sea par”.

Antonio va a la compra dos días de cada cinco. A lo largo del

tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera

parte de los días que va a la compra y la mitad de los días

que no va. Elegido un día al azar: ¿Cuál es la probabilidad

de que la fruta esté de oferta ese día?

Antonio va a la compra dos días de cada cinco. A lo largo del

tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera

parte de los días que va a la compra y la mitad de los días

que no va. Elegido un día al azar: Calcule la probabilidad de

que ese día Antonio vaya a la compra o la fruta este de oferta.

El 55% de los alumnos de un centro docente utiliza en su

desplazamiento transporte público, el 30% uso vehículo

propio y el resto va andando. El 65% de los que utilizan

transporte público son mujeres, el 70% de los que usan

vehículo propio son hombres y el 52% de los que van andando

son mujeres. Elegido al azar un alumno, calcule la

probabilidad de que sea hombre.

El 55% de los alumnos de un centro docente utiliza en su

desplazamiento transporte público, el 30% uso vehículo propio y el

resto va andando. El 65% de los que utilizan transporte público son

mujeres, el 70% de los que usan vehículo propio son hombres y el

52% de los que van andando son mujeres. Elegido al azar un

hombre, alumno del centro, ¿cuál es la probabilidad de que vaya

andando?

De los sucesos aleatorios independientes A y B se sabe que

P (A) = 0.3 y que P(Bc) = 0.25.

Calcule la probabilidad de P(A∪B)

De los sucesos aleatorios independientes A y B se sabe

que P (A) = 0.3 y que P(Bc) = 0.25. Calcule la

probabilidad de P(A∪B)



probabilidad de 𝑃(𝐴/𝐵𝑐)



probabilidad de 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐)

El 47% de las personas de una ciudad son mujeres y el 53% restante

hombres. De entre las mujeres, un 28% son jóvenes (entre 0 y 25

años), un 38% son adultas (entre 26 y 64 años) y un 34 % donde la

tercera edad (65 años o más). De entre los hombres un 26% son

jóvenes, un 43% son adultos y un 31% son de la tercera edad. Si

elegimos una persona de la ciudad al azar, ¿cuál es la probabilidad

de que sea una mujer de la tercera edad?





extraeremos de la urna B. Calcule la probabilidad del siguiente

suceso: “El número de la bola extraída sea par”.





extraeremos de la urna B. Calcule las probabilidades de los

siguientes sucesos: “La bola sea de la urna A, si ha salido un

número par”.

ANEXO 7

El 47% de las personas de una ciudad son mujeres y el 53%

restante hombres. De entre las mujeres, un 28% son jóvenes (entre

0 y 25 años), un 38% son adultas (entre 26 y 64 años) y un 34 %

donde la tercera edad (65 años o más). De entre los hombres un

26% son jóvenes, un 43% son adultos y un 31% son de la tercera

edad. Si elegimos una persona de la ciudad al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que sea de la tercera edad?

En el departamento textil de unos grandes almacenes se

encuentran mezcladas y a la venta 100 camisetas de la marca

A, 60 de la marca B y 40 de la marca C. La probabilidad de

que una camiseta tenga tara es de 0.01 en la marca A; 0.02

para la marca B y 0.03 para la marca C. Un comprador elige

una camiseta al azar. Calcula la probabilidad de que la

camiseta tenga tara.


encuentran mezcladas y a la venta 100 camisetas de la marca

A, 60 de la marca B y 40 de la marca C. La probabilidad de

que una camiseta tenga tara es de 0.01 en la marca A; 0.02

para la marca B y 0.03 para la marca C. Un comprador elige

una camiseta al azar. Calcula la probabilidad de que la

camiseta sea de la marca B.


encuentran mezcladas y a la venta 100 camisetas de la marca A,

60 de la marca B y 40 de la marca C. La probabilidad de que una

camiseta tenga tara es de 0.01 en la marca A; 0.02 para la marca

B y 0.03 para la marca C. Un comprador elige una camiseta al

azar. Sabiendo que la camiseta elegida tiene tara, ¿cuál es la

probabilidad de que sea de la marca B?

De los usuarios de móvil de un país, se sabe que un 30% tiene un móvil marca Sanso con sistema operativo Andry. De los que tienen un móvil marca Sanso, el 40% uso al sistema operativo Andry. Si se selecciona al azar una persona con móvil de ese país: ¿Cuál es la probabilidad de que su móvil sea marca Sanso, pero no use el sistema operativo Sanso?

En un día determinado, el 20% de los clientes de una estación de servicio repostó gasolina, y el resto, gasoil Entre los que repostaron gasolina, el 30% compró algo en la tienda de la estación. Entre los que repostaron gasoil, solo el 5% compró algo en la tienda. De entre los clientes que repostaron ese día, ¿qué porcentaje compró algo en la tienda?

De los empleados de una empresa, se sabe que el 40% acude

al trabajo en transporte público, que el 75% come en la

empresa y que le 30% acude al trabajo en transporte público

y come en la empresa. ¿Qué porcentaje acude al trabajo en

transporte público y no come en la empresa?

En un día determinado, el 20% de los clientes de una estación de servicio repostó gasolina, y el resto, gasoil Entre los que repostaron gasolina, el 30% compró algo en la tienda de la estación. Entre los que repostaron gasoil, solo el 5% compró algo en la tienda. De entre los clientes que repostaron ese día y compraron en la tienda, ¿qué porcentaje repostó gasolina?

De los empleados de una empresa, se sabe que el 40% acude

al trabajo en transporte público, que el 75% come en la

empresa y que le 30% acude al trabajo en transporte público

y come en la empresa. Dentro de los que comen en la

empresa, ¿qué porcentaje usa el transporte público?






elegimos una persona de la ciudad al azar de entre las de la tercera

edad, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?






elegimos una mujer de la ciudad al azar de entre las que tienen 26

años o más, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la tercera edad?

De los usuarios de móvil de un país, se sabe que un 30%

tiene un móvil marca Sanso con sistema operativo Andry. De

los que tienen un móvil marca Sanso, el 40% uso al sistema

operativo Andry. Si se selecciona al azar una persona con

móvil de ese país. ¿Cuál es la probabilidad de que su móvil

sea de marca Sanso?

De los turistas que visitaron Asturias el año pasado, el 5% eran españoles y viajaban en avión. Además, se sabe que un 20% eran extranjeros y que el 25% de los que viajaron en avión eran españoles. Si se selecciona un turista al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en avión?

Juan, Isabel y Elena son tres estudiantes que deciden

presentarse a la prueba de nivel B2 de inglés que organiza la

Universidad. La probabilidad que tienen de superarla es,

respectivamente, de 3/4, 2/3 y 2/5. Calcular las probabilidades

de que solo la supera uno de ellos.





de que al menos uno de ellos la supera.

En una población, el 40% de los habitantes ven habitualmente

la televisión, el 10% leen habitualmente y el 1% ven la

televisión y leen habitualmente. Se elige un habitante al azar,

¿cuál es la probabilidad de que vea la televisión o lea

habitualmente o las dos cosas?

En una población, el 40% de los habitantes ven habitualmente

la televisión, el 10% leen habitualmente y el 1% ven la

televisión y leen habitualmente. Se elige un habitante al azar

y ve la televisión habitualmente, ¿cuál es la probabilidad de

que lea habitualmente?

En una empresa hay tres robots, A, B y C,

dedicados a soldar productos. El 15% de los productos son soldados

por el robot A, el 20% por el robot B y el 65% por el C. Se sabe que

la probabilidad de que un producto tenga un defecto de soldadura

es de 0.02 si ha sido soldado por el robot A, 0.03 por el robot B y

0.01 por el robot C. Elegido un producto al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que tenga un defecto de soldadura?

En una empresa hay tres robots, A, B y C, dedicados a soldar productos. El 15% de los productos son soldados por el robot A, el 20% por el robot B y el 65% por el C. Se sabe que la probabilidad de que un producto tenga un defecto de soldadura es de 0.02 si ha sido soldado por el robot A, 0.03 por el robot B y 0.01 por el robot C. Se escoge un producto al hacer y resulta tener un defecto de soldadura, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido soldado por el robot A?

En un colegio, el 30% de los alumnos juegan al baloncesto, el

40% juegan al futbol, y el 50% juegan al fútbol o al baloncesto

o a ambos deportes. Se elige un alumno al azar y juega al

baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que juegue al fútbol?

En un colegio, el 30% de los alumnos juegan al baloncesto, el

40% juegan al futbol, y el 50% juegan al fútbol o al baloncesto

o a ambos deportes. Se elige un alumno al azar, ¿cuál es la

probabilidad de que juegue al fútbol y juegue al baloncesto?

Sean A y B dos sucesos independientes, tal que P (A) = 0.2 y

𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 0.16. Halla la probabilidad de Ac ∩ Bc.

De los turistas que visitaron Asturias el año pasado, el 5%

eran españoles y viajaban en avión. Además, se sabe que un

20% eran extranjeros y que el 25% de los que viajaron en

avión eran españoles. Si se selecciona un turista al azar entre

los extranjeros, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado

en avión?





de que los tres suspendan la prueba.

Una fábrica de piezas para aviones está organizada en

tres secciones. La sección A fabrica el 30% de las piezas, la sección

B el 35%, mientras que el resto se fabrican en la sección C. La

probabilidad de encontrar una pieza defectuosa es de 0.01; 0.015 y

0.009 según se considere la sección A, B o C, respectivamente.

Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar salga

defectuosa de dicha fábrica.

Según el informe anual La Sociedad de la Información 2015,

el 63% de los usuarios de móvil en España tiene Smartphone. Entre los

propietarios de este tipo de teléfono, el 77% lo emplea para su conexión

habitual a Internet. Sin embargo, entre los propietarios de otros tipos de

teléfono móvil solo el 8% lo emplea para la conexión habitual a Internet.

Calcula la probabilidad de conectarse habitualmente a Internet a través del

teléfono móvil.

Según el informe anual La Sociedad de la Información 2012,

el 63% de los usuarios de móvil en España tiene Smartphone. Entre los

propietarios de este tipo de teléfono, el 77% lo emplea para su conexión

habitual a Internet. Sin embargo, entre los propietarios de otros tipos de

teléfono móvil solo el 8% lo emplea para la conexión habitual a Internet. Si

un usuario emplea habitualmente el teléfono móvil para conectarse a

Internet, halla la probabilidad de que sea propietario de un smartphone.

En una ciudad, la probabilidad de que llueva un día de junio

es del 10%, y de que haga sol, un 75% Si no es posible que

en un mismo día de junio llueva y haga sol simultáneamente,

¿cuál es la probabilidad de que en un día de junio no llueva ni

haga sol?

El 60% de los clientes de una frutería compran naranjas y el

30% no compra ni naranjas ni manzanas. ¿Qué porcentaje de

clientes compra manzanas, pero no naranjas?

Una factoría dispone de tres máquinas para

fabricar una misma pieza. La más antigua fabrica 1000

unidades al día, de las que el 2% son defectuosas. La

segunda máquina más antigua, 3000 unidades al día, de las

que el 1,5% son defectuosas. La más moderna fabrica 4000

unidades al día, con el 0,5% defectuosas. Se pide: ¿cuál es la

probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa?

Una factoría dispone de tres máquinas para fabricar

una misma pieza. La más antigua fabrica 1000 unidades al día, de

las que el 2% son defectuosas. La segunda máquina más antigua,

3000 unidades al día, de las que el 1,5% son defectuosas. La más

moderna fabrica 4000 unidades al día, con el 0,5% defectuosas. Si

una pieza elegida al azar es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de

que haya sido fabricada en la máquina más antigua?

En una empresa el 30% de los trabadores son técnicos

informáticos y el 20% son técnicos electrónicos, mientras que

un 10% tienen las dos especialidades. Calcula la probabilidad

de que un trabajador de dicha empresa seleccionado al azar

sea técnico informático o electrónico.

Una factoría dispone de tres máquinas para fabricar una misma pieza. La más antigua fabrica 1000 unidades al día, de las que el 2% son defectuosas. La segunda máquina más antigua, 3000 unidades al día, de las que el 1,5% son defectuosas. La más moderna fabrica 4000 unidades al día, con el 0,5% defectuosas. Sabiendo que una pieza elegida al azar no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la máquina más moderna?



un 10% tienen las dos especialidades. Si seleccionamos al

azar a un técnico electrónico, ¿cuál es la probabilidad de que

sea también técnico informático?

Una fábrica de piezas para aviones está organizada en

tres secciones. La sección A fabrica el 30% de las piezas, la sección

B el 35%, mientras que el resto se fabrican en la sección C. La

probabilidad de encontrar una pieza defectuosa es de 0.01; 0.015 y

0.009 según se considere la sección A, B o C, respectivamente. Si

elegida una pieza al azar es defectuosa, ¿qué probabilidad hay de

que sea de la sección B?

Se elige al azar un número de 4 cifras distintas escrito con las

cifras 7, 2, 3 y 8. Calcula la probabilidad de que dicho número

sea mayor que 7500.



un 10% tienen las dos especialidades. Si seleccionamos un

trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un

técnico que tiene solo una de las especialidades?

Un tarro contiene 25 caramelos de naranja, 12 de limón y 8 de

café. Se extraen dos caramelos al azar sin reemplazamiento.

Calcula la probabilidad de que ninguno sea de café.

Los alumnos de 2º de Bachillerato de un instituto se van de

excursión al campo el próximo domingo. Desafortunadamente, el hombre

del tiempo ha predicho que lloverá ese día. Se sabe, de predicciones

anteriores, que cuando llueve, el hombre del tiempo predice lluvia el 90%

de las veces. Mientras que cuando no llueve, predice lluvia un 10% de las

veces. Si sabemos que en la zona a la que van los alumnos llueve el 5%

de los días, ¿cuál es la probabilidad de que llueva el domingo?

Se va proceder a la selección de investigadores para

un centro aeroespacial. Se realizan 3 pruebas independientes: A

(idiomas), B (conocimiento teóricos y prácticos) y C (pruebas

físicas). Para acceder al puesto, hay que superar las tres pruebas.

Se sabe, de los procesos anteriores, que la prueba A la superan el

10%, la B el 40% y la C el 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que un

candidato sea seleccionado?

Se va proceder a la selección de investigadores para

un centro aeroespacial. Se realizan 3 pruebas independientes: A

(idiomas), B (conocimiento teóricos y prácticos) y C (pruebas

físicas). Para acceder al puesto, hay que superar las tres pruebas.

Se sabe, de los procesos anteriores, que la prueba A la superan el

10%, la B el 40% y la C el 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que un

candidato no sea seleccionado por fallar en una prueba solamente?

Se va proceder a la selección de investigadores para un

centro aeroespacial. Se realizan 3 pruebas independientes: A (idiomas), B

(conocimiento teóricos y prácticos) y C (pruebas físicas). Para acceder al

puesto, hay que superar las tres pruebas. Se sabe, de los procesos

anteriores, que la prueba A la superan el 10%, la B el 40% y la C el 20%.

Sabiendo que un candidato ha pasado exactamente dos pruebas ¿cuál es

la probabilidad de haya fallado en la prueba B? *Nota: Todos los candidatos

realizan las tres pruebas.

Sean A y B dos sucesos tales que la probabilidad de que

ambos ocurran simultáneamente es 1/10 y la probabilidad de

que no ocurra ninguno de los dos es 1/5. Además, se sabe

que P(A/B) = 1/4. Calcula la probabilidad de que ocurra alguno

de los dos sucesos.

Una fábrica produce CD en dos turnos. El primer

turno produce 2000 discos diarios y el segundo turno produce

3000. Por la experiencia pasada, se sabe que en el primer

turno y en el segundo turno se producen 1% y 2% de discos

defectuosos, respectivamente. Al final del día e selecciono al

azar un disco de la producción total. Determina la probabilidad

de que el CD sea defectuoso.

Sean A y B dos sucesos tales que la probabilidad de que

ambos ocurran simultáneamente es 1/10 y la probabilidad de

que no ocurra ninguno de los dos es 1/5. Además, se sabe

que P(A/B) = 1/4. Calcula la probabilidad de que ocurra solo

el suceso A.

Una fábrica produce CD en dos turnos. El primer

turno produce 2000 discos diarios y el segundo turno produce

3000. Por la experiencia pasada, se sabe que en el primer turno

y en el segundo turno se producen 1% y 2% de discos

defectuosos, respectivamente. Al final del día e selecciono al

azar un disco de la producción total. Si el CD no es defectuoso,

calcula la probabilidad de que provenga del primer turno.

Un tarro contiene 25 caramelos de naranja, 12 de limón y 8 de

café. Se extraen dos caramelos al azar sin reemplazamiento.

Calcula la probabilidad de que ambos sean de naranja.

Un tarro contiene 25 caramelos de naranja, 12 de limón y 8

de café. Se extraen dos caramelos al azar sin

reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que ambos sean

del mismo sabor.

En cierto curso de segundo de Bachillerato de un

IES el 72.5% de los alumnos aprobaron Matemáticas. De los

alumnos que aprobaron Matemáticas, el 70% aprobaron

también Biología. Por otra parte, el 33.3% de los que no

aprobaron Matemáticas, aprobaron Biología. Expresar los

datos proporcionados como probabilidades y dar un árbol que

presente los datos.

En cierto curso de segundo de Bachillerato de un IES el 72.5% de los alumnos aprobaron Matemáticas. De los alumnos que aprobaron Matemáticas, el 70% aprobaron también Biología. Por otra parte, el 33.3% de los que no aprobaron Matemáticas, aprobaron Biología. Si un estudiante no aprobó Biología, ¿qué probabilidad hay de que aprobara Matemáticas?

Dados dos sucesos, se sabe que: 𝑃(𝐴) = 0.6; 𝑃(𝐵) =

0.3; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.2

Calcular 𝑃(𝐴/B), 𝑃(𝐴/𝐴 ∩ 𝐵)

Dados dos sucesos, se sabe que: 𝑃(𝐴) = 0.6; 𝑃(𝐵) =

0.3; 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.2

Calcular 𝑃(𝐴 ∪B) y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵/𝐴 ∪ 𝐵) y 𝑃(𝐴/𝐴 ∪ 𝐵)

En una determinada fábrica de automóviles, el 10% de los

coches tienen defecto en el motor, el 8% tienen defectos en

la carrocería y el 4% tienen defectos en ambos. Se pide

expresar los datos proporcionados como probabilidades.


coches tienen defecto en el motor, el 8% tienen defectos en la

carrocería y el 4% tienen defectos en ambos. ¿Cuál es la

probabilidad de que un coche tenga al menos un defecto?


coches tienen defecto en el motor, el 8% tienen defectos en

la carrocería y el 4% tienen defectos en ambos. ¿Cuál es la

probabilidad de que un coche no sea defectuoso?

En un comercio se vende gofio de tres marcas (A, B y C)

en paquetes de un kilogramo. Dos séptimas partes son de la marca A,

cinco novenas partes son de la marca B y el resto es de la marca C. A

veces algún paquete de gofio presenta defectos que no lo hacen apto

para su comercialización. Esto ocurre en el 0.3% de la marca A, en el

0.5% de la marca B y en el 0.4% de la marca C. Si un cliente del

comercio elige al azar un paquete de gofio, si presenta defectos, ¿cuál

es la probabilidad de que sea de la marca B?

En un comercio se vende gofio de tres marcas (A, B y C) en paquetes de un kilogramo. Dos séptimas partes son de la marca A, cinco novenas partes son de la marca B y el resto es de la marca C. A veces algún paquete de gofio presenta defectos que no lo hacen apto para su comercialización. Esto ocurre en el 0.3% de la marca A, en el 0.5% de la marca B y en el 0.4% de la marca C. Si un cliente del comercio elige al azar un paquete de gofio, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos?

En una gran empresa el 55% son hombres. Entre los

hombres, son fijos el 30% y el resto temporales. Entre las

mujeres, son fijas el 60% y el resto temporales. Construir el

diagrama de árbol de probabilidades descrito en el enunciado.





aprobaron Matemáticas, aprobaron Biología. ¿Qué porcentaje

consiguió aprobar ambas asignaturas a la vez?





aprobaron Matemáticas, aprobaron Biología. ¿Cuál fue el

porcentaje de aprobados en la asignatura de Biología?

En una gran empresa el 55% son hombres. Entre los

hombres, son fijos el 30% y el resto temporales. Entre las

mujeres, son fijas el 60% y el resto temporales. ¿Qué

proporción de fijos y temporales tiene la empresa?

Mi porcentaje de acierto en lanzamientos de tiro libre es del

60%. Si realizo dos lanzamientos, calcular la probabilidad de

acertar, al menos, uno de ellos.

Una empresa vinícola tiene una cuarta parte de sus

viñedos en Rioja Alta y los restantes en Rioja Alavesa. En los

viñedos de Rioja Alta, un tercio de las fincas están plantadas con

cepas de la variedad garnacha y las restantes con cepas de la

variedad tempranillo. En el caso de Rioja Alavesa, el número de

fincas de ambas variedades es igual. ¿Cuál es la probabilidad de

que al elegir una finca al azar sea de la variedad garnacha?

Una empresa vinícola tiene una cuarta parte de sus

viñedos en Rioja Alta y los restantes en Rioja Alavesa. En los viñedos

de Rioja Alta, un tercio de las fincas están plantadas con cepas de la

variedad garnacha y las restantes con cepas de la variedad tempranillo.

En el caso de Rioja Alavesa, el número de fincas de ambas variedades

es igual. Si la finca elegida es variedad garnacha, ¿cuál es la

probabilidad de que esté situada en Rioja Alavesa?

Una empresa vinícola tiene una cuarta parte de sus viñedos en

Rioja Alta y los restantes en Rioja Alavesa. En los viñedos de Rioja Alta, un

tercio de las fincas están plantadas con cepas de la variedad garnacha y las

restantes con cepas de la variedad tempranillo. En el caso de Rioja Alavesa, el

número de fincas de ambas variedades es igual. Durante el año pasado, una

décima parte del total de las fincas de la empresa tuvo una plaga de cochinilla

y, entre ellas la décima parte era la uva garnacha. ¿Cuál es la probabilidad de

que una finca de uva garnacha no sufriese a plaga durante el año pasado?

En mi instituto hablan inglés el 60% de los chicos y el 70% de

las chicas. Si el 40% de los alumnos son chicas, calcula el

porcentaje de alumnos del centro que hablan inglés.

Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral tales que:

𝑃(𝐴) = 0.4; 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0.5; 𝑃(𝐵/A) = 0.5.

Calcule 𝑃(𝐵)

Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral tales que:

𝑃(𝐴) = 0.4; 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0.5; 𝑃(𝐵/A) = 0.5.

Calcule 𝑃(𝐴/𝐵C)

Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos

urnas A y B. La urna A contiene 3 bolas rojas y 2 negras; la

urna B contiene 2 rojas y 3 negras. Lanzamos el dado: si el

número obtenido es 1 o 2 extraemos una bola de la urna A;

en caso contrario, extraemos una bola de la urna B. Si la bola

extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de quesea de la urna

A?

Se dispone de un dado cúbico equilibrado y dos urnas A y B. La urna A contiene 3 bolas rojas y 2 negras; la urna B contiene 2 rojas y 3 negras. Lanzamos el dado: si el número obtenido es 1 o 2 extraemos una bola de la urna A; en caso contrario, extraemos una bola de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola roja?

Al analizar las actividades de ocio de un grupo de

trabajadores fueron clasificadas como deportistas o no

deportistas y como lectores o no lectores. SE sabe que el 55%

de los trabajadores se clasificaron como deportistas o

lectores, el 40% como deportistas y el 30% como lectores. Se

elige un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que

sea deportista y no sea lector?

Mi porcentaje de acierto en lanzamientos de tiro libre es del

60%. Si realizo dos lanzamientos, calcular la probabilidad de

acertar solamente un lanzamiento.

Al analizar las actividades de ocio de un grupo de

trabajadores fueron clasificadas como deportistas o no

deportistas y como lectores o no lectores. SE sabe que el 55%

de los trabajadores se clasificaron como deportistas o

lectores, el 40% como deportistas y el 30% como lectores. Se

elige un trabajador al azar. Sabiendo que le trabajador elegido

es lector, calcúlese la probabilidad de que sea deportista.

En una población el 60% de los individuos toma diariamente

leche y el 40% toma diariamente yogur. Además, el 30% de

los individuos toma leche y yogur diariamente. ¿Cuál es la

probabilidad de que un individuo tome a diario leche, pero no

yogur?



los individuos toma leche y yogur diariamente. ¿Cuál es la

probabilidad de que un individuo tome a diario leche o yogur?



los individuos toma leche y yogur diariamente. Si un individuo

toma diariamente leche, ¿cuál es la probabilidad de que

también tome a diario yogur?

En una clase hay 15 chicos y 15 chicas que van

a realizar el siguiente experimento aleatorio: se tiene una caja

azul con 10 bolas numeradas del 1 al 10 y una caja verde con

5 bolas numeradas del 1 al 5; se elige una persona al azar de

la clase, si es chica extrae una bola de la caja azul, y si es un

chico, extrae una bola de la caja verde. ¿Cuál es la

probabilidad de extraer un número par?

En una clase hay 15 chicos y 15 chicas que van a

realizar el siguiente experimento aleatorio: se tiene una caja azul

con 10 bolas numeradas del 1 al 10 y una caja verde con 5 bolas

numeradas del 1 al 5; se elige una persona al azar de la clase, si

es chica extrae una bola de la caja azul, y si es un chico, extrae

una bola de la caja verde. Si el número extraído ha sido par, ¿cuál

es la probabilidad de que haya sido extraído por una chica?

Sean A y B dos sucesos tales que P(A)=0.2; P(B)=0.5 y

P(A∪B)=0.65.

¿Son independientes ambos sucesos? Razonar la respuesta.

Un enfermo que debe decidir si se somete a una

operación, solicita la opinión de tres médicos especialistas. Por

experiencias anteriores, se sabe que los tres médicos tienen

opiniones diferentes e independientes y que las probabilidades

de aconsejar un tipo de operación u otra son respectivamente,

0.8, 0.5 y 0.3. Calcule la probabilidad de que ningún de ellos

aconseje la operación.

Sean A y B dos sucesos tales que P(A)=0.2; P(B)=0.5 y

P(A∪B)=0.65.

Calcular P(A/B)




opiniones diferentes e independientes y que las probabilidades de

aconsejar un tipo de operación u otra son respectivamente, 0.8, 0.5

y 0.3. Calcule la probabilidad de que al menos uno de ellos aconseje

la operación.

Una tienda de trajes de caballero trabaja con tres

sastres. Un 5%de los clientes atendidos por el sastre A no

queda satisfecho, tampoco el 8% de los atendidos por el

sastre B ni el 10% de los atendidos por el sastre C. El 55% de

los arreglos se encargan al sastre A, el 30% al B y el 15%

restante el C. Calcúlese la probabilidad de que un cliente no

quede satisfecho con el arreglo.

Una tienda de trajes de caballero trabaja con tres sastres. Un 5%de los clientes atendidos por el sastre A no queda satisfecho, tampoco el 8% de los atendidos por el sastre B ni el 10% de los atendidos por el sastre C. El 55% de los arreglos se encargan al sastre A, el 30% al B y el 15% restante el C. S un cliente no ha quedado satisfecho, calcule la probabilidad de que le haya hecho el arreglo el sastre A.




opiniones diferentes e independientes y que las probabilidades de

aconsejar un tipo de operación u otra son respectivamente, 0.8, 0.5

y 0.3. Calcule la probabilidad de que solo uno aconseje la operación.

Un estudiante busca una fórmula en tres libros

de Estadística. Las probabilidades de que la citada fórmula se

encuentre en el 1º, 2º o 3er libro son respectivamente 0.5, 0.6

y 0.7. Suponiendo que los sucesos son mutuamente

independientes, calcule la probabilidad de que la fórmula si el

estudiante elige uno de estos libros al azar.

El servicio de emergencias del Gobierno Vasco

predice que va a haber temporal en las próximas 48 horas con

una probabilidad del 90%. Cuando hay temporal se sabe que la

probabilidad de que haya olas mayores de 6 metros es del 50%.

Sin temporal la probabilidad de olas de ese tipo es del 1%. ¿Cuál

es la probabilidad de que en las próximas 48 horas se produzcan

ola de más de 6 metros?

El servicio de emergencias del Gobierno Vasco

predice que va a haber temporal en las próximas 48 horas con una

probabilidad del 90%. Cuando hay temporal se sabe que la

probabilidad de que haya olas mayores de 6 metros es del 50%. Sin

temporal la probabilidad de olas de ese tipo es del 1%. Sabiendo

que ha habido olas de 6 metros, ¿cuál es la probabilidad de que se

hayan producido cuando haya habido temporal?

En una universidad el 80% son mujeres. De entre estas, el

60% van a la universidad en autobús, y el resto, por otros

medios. De entre ellos, los hombres, van la mitad en autobús.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar

sea mujer y vaya a la universidad en autobús?

En una universidad el 80% son mujeres. De entre estas, el 60% van a la universidad en autobús, y el resto, por otros medios. De entre ellos, los hombres, van la mitad en autobús. Sabiendo que una persona elegida al azar, no va a la universidad en autobús, ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

Se hacen dos lanzamientos de un dado equilibrado y se

consideran los sucesos A: “la suma de las dos puntuaciones

es par” y B “la suma de las dos puntuaciones es impar”.

Calcular 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑦 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)

Imagine tres cajas cerradas que contienen fruta y todas ellas

mal etiquetadas. En una de las etiquetas hay escrito

“cerezas”, en la otra “plátanos” y en la tercera “plátanos y

cerezas”. ¿Cómo pondría las etiquetas correctamente si sólo

pudiese coger una fruta de las cajas?

Se hacen dos lanzamientos de un dado equilibrado y se

consideran los sucesos A: “la suma de las dos puntuaciones

es par” y B “la suma de las dos puntuaciones es impar”. ¿Son

independientes los sucesos A y B?

¿Cuál era la montaña más alta de España antes de que se

descubriera el Teide?





independientes, calcule la probabilidad de que la fórmula se

encuentre solamente en un libro.





independientes, calcule la probabilidad de que la fórmula se

encuentre en ninguno de los tres libros.

El profesor Retorta tiene un cajón lleno de calcetines; hay 24

rojos y 24 verdes. Como en la habitación no hay luz, no sabe

cuántos debe coger para estar seguro de que hay un par del

mismo color. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe coger?

¿Qué ocurriría si entrase en una habitación totalmente llena

de gas metano y encendiese una cerilla? ¿Por qué?

¿Qué empleo es, según las estadísticas, el más peligrosos de

los Estados Unidos?

Un club exclusivamente masculino tiene 600 miembros. El 5%

lleva un solo pendiente, la mitad del 95% restante lleva dos

pendientes y la otra mitad no lleva ninguno. ¿Cuántos

pendientes usan en total?

Si siete personas se encuentran en una fiesta y cada una de

ellas da una vez la mano a las demás, ¿cuántos apretones de

mano se habrán dado?

Si se bebiera una lata de cola “sin cafeína”, es decir con un

97% menos de cafeína que en una lata normal, ¿cuántas latas

debería beberse para tomar la misma cantidad de cafeína que

en una lata de cola normal?

Víctor Tretas compró un coche usado por 600.000 pesetas y

los vendió a Cándido Catas por 800.000. Al cabo de unos

meses, se lo volvió a comprar por 1.000.000 ptas. Y lo vendió

a otra persona por 1.200.000 ptas. ¿Ganó Tretas algún

dinero? ¿Cuánto?

En una ciudad del centro del país, el 5% de la población no

figura en la guía telefónica. Si eligiese 100 nombres al azar en

esa guía, ¿cuántos de ellos tendrían teléfonos que figuran en

ella?

Don Emilio Castelar, uno de los presidentes de la

Primera República Española (1873-1874) tenía, además de

unos impresionantes bigotes, verdaderas dotes de líder y de

gobernante. Sin embargo, como tributo a la verdad histórica,

hay que admitir que su madre nunca votó por él. ¿Sabes por

qué?

¿Qué números de la serie son divisibles por dos? 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9.

El Sr. y la Sra. Ciruela tienen seis hijas y cada hija tiene un

hermano. ¿Cuántos miembros tiene la familia Ciruela?

Usado todavía en la actualidad en algunos lugares del mundo,

hay un antiguo invento que permite ver, sin dificultad, a través

de las paredes ¿Cuál es?

Si tengo los siguientes minerales: halita (NaCl), pirita (FeS2)

y amatista (Fe+3). ¿Cuál es la probabilidad de que me sepa

salado si me llevo el mineral a la boca?

¿Cuál es la probabilidad de viajar a una comunidad

autónoma uniprovincial española?

En una bolsa hay 6 mariquitas (M) y dos lagartijas (L). Se

escoge un animal al azar y no se repone la bolsa. Después se

escoge un segundo animal al azar. Halla la probabilidad de

que el primer animal escogido sea una mariquita sabiendo que

se ha escogido uno de cada.

Una clase de biología consta de seis niñas y 10 niños. Si se

escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de

seleccionar tres niños.

Si paseando por el campo te encuentras con Rosmanirus officinalis (Romero), Papaver rhoeas (Amapola) y Mentha spicata (Hierbabuena). ¿Cuál es la probabilidad de que cojas

una aromática?

En una clase de 20 alumnos a 10 les gusta viajar a la playa,

14 a la montaña y 2 que no les gusta viajar a ninguno de los

dos destinos. ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un

alumno al azar le guste viajar a la playa y a la montaña?

En una carrera de 100 metros lisos hay 6 corredores

numerados del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el

número 4 acabe el primero?

En una clase de pilates hay 10 hombres y 20 mujeres; la mitad

de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos

castaños. Determinar la probabilidad de que una persona

elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de

dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que

sea múltiplo de 4.

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos

obtenidos. Calcula la probabilidad de que salga el 7.

Busca la probabilidad de que, al echar un dado al aire, salga

un número par.

Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que salga

6 en todos.

Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente,

otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la

probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una

moneda al azar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de

que salga cara.

Dos personas van juntas al cine y hay 6 películas en la

cartelera, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas personas

quieran ver la misma película?

En un cine hay 7 películas en la cartelera. 3 son de acción, 2

de ciencia ficción, una de terror y otra de comedia. Si se elige

una peli al azar, ¿cuál es la probabilidad de elegir una peli de

acción o de comedia?

En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una

persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva.

A continuación, otra persona B elige otro libro al azar. ¿Cuál

es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una

novela?

En la sección de generación del 27 de una biblioteca hay 3

libros de Rafael Alberti, 2 de Luis Cernuda, 4 de Federico

García Lorca y 1 de Jorge Guillén. ¿Qué probabilidad hay de

que elija el de Jorge Guillén?

Durante este mes tienes pensado ir 6 días al cine. Hay en

cartelera 3 películas de terror, 6 de acción y 5 de comedia.

¿Cuántas combinaciones posibles puedes hacer?

Una librería ofrece un precio especial si compras 4 de los 10

best-sellers actuales. ¿De cuántas maneras puedes hacer la

selección?

Durante los meses de junio a septiembre el museo de El

Prado expone una colección de El Bosco que quieres ver.

¿Qué probabilidad hay de que la veas si tienes pensado ir a

Madrid dos veces en lo que queda de año?

Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de

las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como

asignatura optativa. ¿Cuál es la probabilidad de que una

persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

La caja fuerte de Fernando el Católico se abría con una

clave de 5 dígitos. ¿Cuántas claves posibles hay?

En un concierto de The Wildborns hay 1473 personas, 853 son chicos y el resto chicas, si el bajista lanza su púa al final del concierto ¿Cuál es la probabilidad de que una chica la coja al vuelo?

De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de

ellas. Calcular la probabilidad de que dos sean copas.

Halla la probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces

se obtenga al menos una cruz, ¿a quién pertenece el teorema

que utilizas?

De una urna con 8 bolas numeradas del 1 al 8 se extraen

consecutivamente dos y se anota los números de dos cifras

que se forman con sus dígitos. Calcula la probabilidad de que

el número sea múltiplo de 5.

El sistema de matrículas de vehículos consiste en un número

de 4 dígitos seguido de un bloque de 3 letras consonantes.

¿Cuántas placas hay con la misma parte numérica?

Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Si se

extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que no sea

roja.

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de

que su mujer viva 20 años es 1/3. Calcular la probabilidad de

que ambos vivan 20 años

motivados trabajan mejor. ¿aprendemos jugando? · inteligencias múltiples y potencie la...

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